2.5 平面向量的数量积（题型专练）高一数学北师大版必修第二册

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2.5平面向量的数量积 投影与投影向量 向量的数量积 利用公式求向量的数量积 数量积的坐标表示 向量模的坐标表示 向量数量积的坐标表示 2.5平面向量的数量积 向量平行与垂直的坐标运算 利用数量积求模 利用数量积求夹角 向量数量积的综合应用 利用数量积求参 向量数量积的最值或取值范围 A 基础达标题 题型一平面向量数量积的概念辨析 1.【答案】D 2.【答案】A 3.【答案】C 4.【答案】B 5.【答案】C 6.【答案】C 7.【答案】BD 题型二求投影数量与投影向量 1.【答案】A 2.【答案】D 3.【答案】A 4.【答案】A 5.【答案】B 6【答案】y6 7.【答案】-4 1/12 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 8.【答案】-2 9.【详解】<1①根据菱形的性质得BE1AD,CD=4D=3, 所以在直角三角形△BCD中，|BD=5,CD=3,由勾股定理得BC=4. :△ABC为直角三角形，且LACB= 2 cos∠BAC=AC=3 'cos∠ABC=BC、4 AB 5 AB 5 所以a丽.C-C1cog-∠4BC)=5x4x(←cos乙A80=20x个)=-16 C2)4C在AB上的投影的数量为AC·cos(4C,AB)=3 x cos ZBAC=3×2-号，☐ (3)AB在BE上的投影的数量为 =4 |AB|cos(AB,BE)=5×cos(π-∠ABC)=-5cos∠ABC=-5× 5 题型三利用定义求平面向量的数量积 1.【答案】C 2.【答案】A 3.【答案】B 4.【答案】C 5.【答案】D 6.【答案】2 7.【答案】-6 8.【答案】2 题型四利用数量积求平面向量的模或夹角 1.【答案】A 2.【答案】C 3.【答案】A 4.【答案】A 5.【答案】ACD 6.【答案】√5 2/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 7.【答案】4 8.【答案】5万 14 9【案1 10.【答案】-2 14 11.【详解】(1)由已知，a.b=4×8× :a+b2=a2+2a.b+b2 =16+2×(-16)+64=48, a+b=45. (2)4ā-2b2=16a2-16a.b+4b2 =16×16-16×(-16)+4×64=3×162 4a-26=16V3. 题型五运用向量的坐标运算求向量的模、夹角及投影向量 1.【答案】C 2.【答案】C 3.【答案】A 4.【答案】A 5.【答案】BD 6.【答案】ABD 7.【答案】ABD 8.【答案】 7296 25'25 9.【详解】(1)因为平面向量ā=(2，-3)，b=(3,m),c=(7,-5),且c=xa+b, 所以c=xa+b=x(2,-3)+(3,m)=(2x+3,m-3x)=（7,-5). [2x+3=7 x=2 则有 m-3x=-5'解得 m=1 (2)因为平面向量a=(2,-3),b=(3,m),a/1b, 3/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 所以解=所以量=2-,6-》 所以a+26=2-3引+23)-&12 所以a+2b=V64+144=4V13. 题型六利用数量积解决向量垂直问题 1.【答案】B 2.【答案】A 3.【答案】D 4.【答案】B 5.【答案】D 6.【答案】D 7.【答案】AD 8.【答案】4 9.【答案】4 10.【详解】(1)由ā=(2,0)，6=1,4)知ā+6=(3,4)，所以ā+万=V32+42=5. (2)由ā=(2,0)，6=L,4)知ā+6=(3,4)，mā-6=(2m-1,-4), 因为(a+b)⊥(ma-b), 所以(a+6)-(ma-)=6m-3-16=0,解得：m=19. 6 11.【详解】(1)a+2b=(1,4)+2(2,3)=(5,10); (2)|d=V12+44=17; (3)已知c=元ā-b=1(1,4-(2,3)=(2-2,42-3,因为b1c,bc=0, 即(2-2)×2+(41-3)x3=0,所以元=13 14 12.【详解】(1)由向量a=(3,2),c=(-8,-1,得ac=3x(-8)+2x(-1)=-26,a=√13，c=√65， 所以a与c夹角余弦值为csa,0=a:c=一-26=-25 |alcv13.√655 4/12 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)由a=(3,2),b=x,-1,得a+2b=(3+2x,0),2a-b=(6-x,5), 由(a+2b)1(2a-),得3+2x6-x)=0,而x>0,则x=6,i=(6,-1), a-i=(←3,3)，所以a-=32. 题型七利用数量积判断三角形的形状 1.【答案】C 2.【答案】D 3.【答案】c 4.【答案】A 5.【答案】c 6.【答案】D 7.【答案】C 8.【答案】A B 能力提升题 题型一利用向量数量积的几何意义解决点到直线的距离问题 1.【答案】A 2.【答案】B 3.【答案】ABD 4.【答案】3N2 14 5.【答案】2 6.【详解】(1)依题意，得CA=(2,3)-（-2,1=(4,2), CB=(4,-1)-(-2,1=(6,-2), CA.CB=4×6+2×(-2)=20; 5/12 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 CA.CB 20 (2)因为Cos∠ACB= 2 CCE V20×V402 又LACB∈[O,,所以LACB=T (3)点A到直线BC的距离为 d-Clsin ZACB-0x. 2 7.【详解】(1)由题知，b=(k,2),2ā-b=2(1,1+k)-(k,2)=(2-k,2k), 若向量2a-b与6的夹角为锐角， 由2ā-bb>0得，k(2-k)+4k>0,k2-6k<0.解得0<k<6. 又由(1)知，当k=1时，向量2a-6与6平行. 所以若向量2ā-b与五的夹角为锐角，则k的取值范围为0,1)U(1,6)· (2)依题意，CB=(4,-1)-（-2,1)=(6,-2), CA.CB=4×6+2×-2)=20, CA.CB 20 因为Cos∠ACB= 2 CACB20×V402' 又∠4CBe0,,所以∠4C8= 点A到直线BC的距离为 d-Csim LACB=20x. 8.【详解】(1)设直线1的法向量n=(x,y). 由题知直线1的一个方向向量为AB=(-4,3). 由直线l的法向量与直线I垂直，则AB.n=0. 所以-4x+3y=0,取x=3,y=4 则直线1的一个法向量=(3,4). (满足-4x+3y=0即可) (2)向量PA在法向量7让的投影向量m=Fcos(PA,” !n 6/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以m=PA n 又因为PA=(2,3),,n=(3,4)· 所以m5=6+12_18 5 5 则点P到直线1的距离为 18 题型二利用平面向量的数量积解决模的最值或范围问题 1.【答案】A 2.【答案】A 3.【答案】1 4.【答案】2 5.【答案】 3 题型三利用平面向量数量积与夹角求参数 1.【答案】B 2.【答案】D 3.【答案】D 4.【答案】B 5.【详解】(1)因为向量a=(-1,0),6=(m,),且a5的夹角为元 则co ab m=2 4 Vm2+2,解得m=-1, 所以，b=(-1,1,则a+2b=（-1,0)+2(-1,1)=（-3,2), 故a+2=V-3)'+2=3 (2)由(1)可得a+b=（-1,0)+元(-1,1=(-1-1，入)，且a+2b=(-3,2), 国为+6与+25所成的角是镜角，测则6+列6+2训=3以+32以>0，解有>子 且向量a+16与a+2b不共线，则-31≠-21-2，即2≠2， 7/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 因此，实数入的取值范围是 22* 6.【详解】(1)由a16,得2x+3-x2=0,解得x=-1或x=3, 所以x=-1或x=3 (2)由a与c的夹角是钝角，得ac<0且a与c不共线， -3+5x<0 则 -3x≠5解得x<二且x=-二， 5 所以的取值范国是（国，多U(房 7.【详解】(1)因为a=(2,1),b=(3,-1),所以2a-mb=(4-3m,2+m),3a-b=(3,4). 因为2a-mb与3a-b垂直， 所以(2a-mb3a-=3(4-3m)+42+m)=0,解得m=4, 故当实数m的值为4时，满足题意。 (2)由题意，a+kb=(2,1+k(3,-1)=(2+3k,1-k),3a+2b=(6,3)+(6,-2)=(12,1), 因为a+kb与3a+2b所成的角为锐角， 所以(a+k63a+2b)>0,且a+k6与3a+2b不共线， 由(a+k6列3ā+26=12(2+3k)+(1-k)>0,即35k>-25,解得k>- 7 当ā+k5与3a+2万共线时，2+3k=121-),解得k=2 ，2 所以，当a+kb与3a+2b不共线时，k≠。 3 综上可知，实数太的取值范国为（号引[后+】 题型四向量数量积的最值与取值范围问题 1.【答案】c 2.【答案】C 3.【答案】B 4.【答案】A 5.【答案】D 6.【答案】2 8/12 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 7.【答案】 4-2V2 0 8.【详解】：e,-2e?与1e,+e2的夹角为钝角， g-2e)g+8)<0,且e-2e,与e+0不平行， g+0-2)eg-2g<0,且}*2. 入1 又=2=2，且G与6的夹角为行 4以+0-20x2x1-2<02-1<0,且A=分<分且头* 2 29 (2)由题意得ā=(2，-2)，b=(4,5), 则a在万让的投影向量是闪同 a.bb2×4-2×5(4,5)810 16+25V16+25 -41’41 810 即a在五上的投影向量的坐标为 41’41 (3)解：设1PO=x(0≤x≤4)，则|PC=4-x, :0是AB的中点，(PA+PB)·PC=2P0.PC=-2x(4-x)=2x2-8x=2(x-2)2-8, ·当x=2时，(PA+PB)PC取得最小值-8. 9.【详解】(1)如图， F 过点E作EG∥AB,交BF于点G. 因为E是BC中点，所以EC=1 FC2 因为F是CD中点，所以CF=1 DC-2' 因为EG/AB,所以AO=EG-1 AE AB 4' 所以o-在-(+-r, (2)设8E=CF=k,ke0,l, BC CD AE =AB+kAD,AF =(1-k AB+AD, 9/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以A正.AF=(AB+kAD):[(1-AB+AD =-k2-2k+5=-(k+1)2+6,k∈[0,1 所以的取值范围为2,5] 拓展培优题 1.【答案】B 2.【答案】C 3.【答案】B 4.【答案】D 5.【答案】D 6.【答案】BCD 7.【答案】ABD 8.【答案】ABD 9【答案】号 10【答米)号 11.【答案】 84 3 4 12.【详解】(1)因D=4AE,AF=FB,GC=2DG,则EF=AF-AE=}AB-AD0, G=D+DG-而+号孤@ 4 由①x3+②，可得+B=3EF+EG,化简即得：B=18F+6EG, 11 11 又由0×兮②×分可得（日爱40-号F-号c,化简即得：D=开+是G 11 11 2)由1)可知，面-孤-4而，G-而+兮孤， 测丽乐+而-c=西}西-}而而而+兮西 10/12 2.5 平面向量的数量积 题型一 平面向量数量积的概念辨析 1.下面给出的关系式中，正确的个数是（   ） ①；②；③；④. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】平面向量数量积的定义及辨析、数量积的运算律 【分析】数乘的性质即可求解①④，根据数量积的性质即可求解②③. 【详解】，，， 表示与共线的向量，表示与共线的向量，故两者不一定相等， 故①②③正确，④错误， 故选：D 2.在等式①；②；③；④若，且，则；其中正确的命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】平面向量数量积的定义及辨析 【分析】由零向量、向量数乘、数量积等概念和性质，即可判断正误，进而确定答案. 【详解】零向量与任何向量的数量积都为0，故①错误； 0乘以任何向量都为零向量，故②正确； 向量的加减、数乘满足结合律，而向量数量积不满足结合律，故③错误； 不一定有，如满足条件，结论不成立，故④错误； 故选：A 3.设，，都是非零向量，则下列等式不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量数量积的概念辨析、空间向量的加减运算 【分析】本题考查向量加减法和数量积的运算律，根据运算律判断即可． 【详解】由向量加法的结合律知A项正确；由向量数量积的运算律知B项、D项正确；C项若，不共线且不垂直，则，故C不一定正确． 故选：C. 4.设、为空间中的任意两个非零向量，有下列各式： ①；②；③；④. 其中正确的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间向量数量积的应用、空间向量数量积的概念辨析 【分析】利用空间向量数量积的定义可判断①、②、③；利用空间向量数量积的运算律可判断④. 【详解】对于①，，①正确； 对于②，向量不能作比值，即错误，②错误； 对于③，设、的夹角为，则，③错误； 对于④，由空间向量数量积的运算性质可得，④正确. 故选：B. 5.以下关于两个非零向量的数量积的叙述中，错误的是（    ） A．两个向量同向共线，则他们的数量积是正的 B．两个向量反向共线，则他们的数量积是负的 C．两个向量的数量积是负的，则他们夹角为钝角 D．两个向量的数量积是0，则他们互相垂直 【答案】C 【知识点】平面向量数量积的定义及辨析 【分析】根据数量积的定义和向量夹角的范围确定答案. 【详解】对于任意得两个非零向量，，其中. 若两个非零向量同向共线，则，，，故A正确； 若两个非零向量反向共线，则，，，故B正确； 若这两个非零向量的数量积是负的，则，，故C错误； 若两个非零向量的数量积是0，则，，互相垂直，故D正确. 故选: C. 6.如图，网格纸上的每个小正方形的边长均为1，下列关于向量，，，的判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平面向量数量积的定义及辨析 【分析】根据平面向量数量积的定义即可判断. 【详解】由平面向量数量积的定义得 由图可知，夹角为锐角，则,故A错误； 夹角为钝角，则,故B错误； 夹角为锐角，则,故C正确； 夹角为锐角，则，故D错误. 故选：C. 7.(多选)设是任意的非零向量，且它们相互不共线，下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】平面向量数量积的定义及辨析 【分析】根据平面向量数量积的运算律判断． 【详解】解析：因为数量积不满足结合律，故A不正确；由数量积的性质可知B正确，C中结论不一定成立，D运算正确． 故选：BD． 题型二 求投影数量与投影向量 1.已知向量，满足，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平面向量数量积的定义及辨析、求投影向量 【分析】根据已知条件，结合向量的投影向量公式，即可求解. 【详解】设与夹角为，求在上的投影向量公式为：， 所以根据题意，即， 将代入可得：，而，所以. 故选：. 2.已知，，向量与向量的夹角为，则向量在向量方向上的投影数量等于（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【知识点】平面向量数量积的定义及辨析 【分析】根据题意直接计算即可. 【详解】向量在向量方向上的投影数量为. 故选：D. 3.已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求投影向量 【分析】直接根据投影向量的定义计算可得. 【详解】因为，且，由投影向量的定义，向量在上的投影向量为：. 故选：A. 4.已知向量与向量均为单位向量，且，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平面向量数量积的几何意义、平面向量数量积的定义及辨析 【分析】由已知条件求出，再由投影向量公式计算即可求出答案． 【详解】因为，，， 所以， ， 故向量在向量上的投影向量为， 故选：A. 5.已知向量满足，若为在上的投影向量，则向量夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求投影向量 【分析】根据在上的投影向量为，再构建方程求解． 【详解】由为在上的投影向量， 则， 所以， 所以． 6.已知，向量在向量上的投影向量为，则与夹角的余弦值为______. 【答案】 【知识点】向量夹角的计算、求投影向量 【详解】设与的夹角为，则向量在向量上的投影向量为， 所以，所以. 7.若平面向量､满足条件：､，则向量在向量的方向上的数量投影为___________. 【答案】 【知识点】平面向量数量积的定义及辨析 【分析】根据数量投影的知识求得正确答案. 【详解】向量在向量的方向上的数量投影为. 故答案为： 8.已知向量满足且，则在方向上的数量投影为______. 【答案】 【知识点】平面向量数量积的定义及辨析 【分析】先求得，进而求得在方向上的数量投影. 【详解】，， 所以在方向上的数量投影为. 故答案为： 9.如图，在菱形中，其对角线，．求： (1)； (2)在上的投影的数量； (3)在上的投影的数量． 【答案】(1)； (2)； (3). 【知识点】平面向量数量积的几何意义、用定义求向量的数量积 【分析】（1）先由菱形的性质可得，，进而在直角三角形可得，再由数量积的定义可得； （2）直接由平面向量数量积的几何意义计算可得； （3）直接由平面向量数量积的几何意义计算可得. 【详解】（1）根据菱形的性质得， 所以在直角三角形中，，，由勾股定理得. 为直角三角形，且． ，． 所以． （2）在上的投影的数量为． （3）在上的投影的数量为 ． 题型三 利用定义求平面向量的数量积 1.已知向量与的夹角为60°，其中，，则（    ） A．6 B．5 C．3 D．2 【答案】C 【知识点】平面向量数量积的定义及辨析 【分析】根据向量数量积公式，即可求解. 【详解】. 故选：C 2.已知空间单位向量的夹角为，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】根据条件，利用数量积的定义及运算律，即可求解. 【详解】因为向量是单位向量，且两向量的夹角为， 则， 所以. 故选：A. 3.在平行四边形中，，，，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】向量加法的法则、用定义求向量的数量积 【分析】根据线性运算及数量积的定义计算求解. 【详解】因为， 在平行四边形中，，， 所以. 4.已知中，若，且点在上，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【知识点】用定义求向量的数量积 【详解】中，由，得， ，又，且点在上，则， 所以. 5.在中，，且为的中点，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用基底表示向量、用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】以为基底，利用平面向量基本定理表示，利用数量积的运算即可求解. 【详解】由题意得： ， 又， 所以 . 6.已知在方向上的投影数量是，则______． 【答案】2 【知识点】平面向量数量积的几何意义、用定义求向量的数量积 【分析】利用向量数量积的几何意义计算. 【详解】由已知，， 则． 故答案为：2 7.已知向量与的夹角为，，，则________． 【答案】 【知识点】平面向量数量积的定义及辨析 【分析】根据向量数量积的定义，即可求解. 【详解】. 故答案为： 8.为圆O的一条弦，且，则的值为_______. 【答案】2 【知识点】平面向量数量积的几何意义 【分析】根据向量的数量积的几何意义直接可得. 【详解】取弦的中点，连接，根据圆的垂径定理，可得，如图. 因为,所以. 根据向量数量积的几何意义：    题型四 利用数量积求平面向量的模或夹角 1.已知，方向相同，且，，则（   ） A．10 B．100 C．11 D．121 【答案】A 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、已知模求数量积 【分析】根据题意，两向量方向相同，结合向量的模性质求解即可. 【详解】由题意可得：因为，同向，所以向量夹角为零.且， 所以. 故选：A. 2.若平面向量两两的夹角相等，且，则（   ） A．3 B．4 C．3或0 D．4或1 【答案】C 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】由的夹角均为和夹角均为，两类情况讨论，通过求模的平方即可求解. 【详解】当的夹角均为时， 则 ， ； 当的夹角均为时， 所以 综上或0； 故选：C 3.已知非零向量，满足，则，角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算 【详解】因为， 所以，则， 所以. 4.已知非零向量的夹角为，若在上的投影向量为，且，则（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、已知数量积求模、求投影向量 【分析】根据非零向量的夹角为，在上的投影向量为，得出，然后利用化简计算即可得出. 【详解】因为非零向量的夹角为， 所以， 又在上的投影向量为， 所以， 由，得 即， 所以， 故选：A. 5.（多选）已知向量满足，，则（    ） A．与的夹角为 B．与的夹角为 C． D． 【答案】ACD 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、向量夹角的计算、垂直关系的向量表示 【分析】根据向量数量积的运算律，求出向量与的夹角即可判断A、B，再根据向量模的计算公式及向量垂直的性质判断C、D即可. 【详解】设与的夹角为， 由得， 将代入得，∴， 又，∴，故A正确，B错误; ，故C正确; ，故，故D正确. 故选：ACD. 6.已知单位向量，满足，则___________． 【答案】 【知识点】用定义求向量的数量积、已知数量积求模、向量夹角的计算 【详解】因为， 所以， 即，整理得，而，则. 所以. 7.已知向量、的夹角为，且，，则___________ 【答案】4 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】根据向量模长公式及数量积公式，得，再解方程即可． 【详解】， 即，解得或（舍去）， 则． 故答案为：． 8.向量满足且，则与所成夹角的余弦值为___________． 【答案】 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算 【详解】由． ． ． 设夹角为，则． 9.如图所示，已知在中，，，，在上，且，在上，且，为与的交点，则________． 【答案】 【知识点】平面向量基本定理的应用、向量夹角的计算 【分析】设，，以为基底，表示出，，利用平面向量数量积的有关运算求与的夹角即可. 【详解】设，，与的夹角为， 则，， 因为，． 所以， 又，，所以． 又因为，所以，即向量，的夹角． 故答案为： 10.已知平面向量满足：，记向量与向量的夹角为，则的值为_____． 【答案】 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算 【分析】根据数量积的运算律求，，，再结合向量夹角公式求结论. 【详解】， ， ， 所以． 故答案为：. 11.已知，，与的夹角是．计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】用定义求向量的数量积、已知数量积求模 【分析】（1）由数量积的定义求得，再通过即可求解； （2）通过即可求解. 【详解】（1）由已知，． ， ． （2） ． 题型五 运用向量的坐标运算求向量的模、夹角及投影向量 1.已知向量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、数量积的运算律、数量积的坐标表示、坐标计算向量的模 【分析】由可得，由可得，最后应用模长公式即可求解. 【详解】因为，所以，展开整理得， 由得，即， 所以，即 所以. 2.已知平面向量，，若，则与的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示、向量夹角的坐标表示 【详解】因为，则，则，解得， 则，， 则与的夹角的余弦值为. 3.在平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，若向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求投影向量 【分析】由向量的加法求得，然后利用投影向量的公式求得结果. 【详解】， ∴. 故选：A. 4.已知向量和满足，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求投影向量 【详解】由已知，所以， 故向量在向量上的投影向量为. 5.（多选）已知向量，，则下列说法正确的有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【知识点】由向量共线（平行）求参数、数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、利用向量垂直求参数 【分析】对于A B，根据向量平行、垂直的坐标关系列方程即可求解；对于C，根据模的定义列方程可求解；对于D，根据数量积的坐标运算求解即可. 【详解】对于A，若，则，解得，故A错误； 对于B，若，则，解得，故B正确； 对于C，若，则，解得，故C错误； 对于D，若，则，所以，故D正确. 故选：BD. 6.（多选）已知平面向量，则（   ） A．当时， B．当时，的最小值为 C．当时， D．当时， 【答案】ABD 【知识点】数量积的运算律、垂直关系的向量表示、数量积的坐标表示、坐标计算向量的模 【分析】利用向量垂直的坐标表示可判定A，利用向量数量积的坐标表示结合二次函数计算可判定B，利用向量模长的坐标表示及一元二次不等式的计算、结合消元法可判定C、D. 【详解】对于A，当时，，即，故A正确； 对于B，当时，即， 所以， 当且仅当时取得等号，故B正确； 对于C，当时，则，所以， 解之得或，故C错误； 对于D，当时，则，所以， 而，则，故D正确. 故选：ABD 7.（多选）已知向量，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则在方向上的投影向量的坐标为 【答案】ABD 【知识点】由向量共线（平行）求参数、坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示、求投影向量 【分析】通过向量的垂直、平行、模长、投影向量的定义和公式，逐一分析选项得出结果. 【详解】选项A：若，则，解得，A正确. 选项B：若，，则，B正确. 选项C：，若，则， 解得，C错误. 选项D：若，，，， 在方向上的投影向量为，D正确. 故选：ABD 8.已知两个粒子、从同一点发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为，，则在上的投影向量为____________． 【答案】 【知识点】求投影向量 【分析】根据投影向量的计算公式即可直接求解. 【详解】因为，， 所以与的夹角的余弦值为． 在上的投影向量为． 故答案为： 9.已知平面向量，，. (1)若，且，求和的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数、坐标计算向量的模 【分析】（1）根据平面向量运算的坐标公式列出等式和方程组，求解即可. （2）先根据求出值，然后根据向量的模公式求出结果即可. 【详解】（1）因为平面向量，，，且， 所以. 则有，解得. （2）因为平面向量，，， 所以，解得，所以向量，， 所以. 所以. 题型六 利用数量积解决向量垂直问题 1.已知向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、向量垂直的坐标表示 【分析】由向量垂直的坐标运算先求出，然后根据充分必要条件的关系判断. 【详解】由题知，若，则， 即，解得， 而是的必要不充分条件， 即“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 2.已知两个非零向量．若，则锐角（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】垂直关系的向量表示 【分析】利用向量垂直的坐标运算求解即可. 【详解】因为两个非零向量．且， 所以，因为不为0， 所以,则锐角， 故选:A 3.已知非零向量、满足，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、垂直关系的向量表示、坐标计算向量的模 【分析】由条件结合向量垂直则数量积为可得，再应用模长公式及数量积运算律即可求解. 【详解】因为，则，即， 又，即， 又，所以， 所以. 故选：D 4.已知平面向量，若，则（   ） A．2 B． C．3 D．5 【答案】B 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示 【分析】计算的坐标，再利用计算得出，再利用求模公式计算. 【详解】由题意得，， 因，则，得， 则，则. 故选：B 5.已知平面向量，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示 【分析】利用平面向量数量积的坐标运算结合模长公式计算即可. 【详解】因为，所以，即，即， 则. 故选:D． 6.已知平面向量，若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【知识点】坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示 【分析】由向量垂直的坐标表示求得，再结合坐标运算及模长公式即可求解. 【详解】因为， 所以，解得， 所以， 所以， 故选：D 7.(多选)已知，且，求向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】向量垂直的坐标表示 【分析】设，由题可得，解方程即可求解. 【详解】设，则或. 或． 故选：AD 8.已知向量，若，则实数__________． 【答案】4 【知识点】数量积的坐标表示、向量垂直的坐标表示、利用向量垂直求参数 【分析】由题意可知，则求解即可. 【详解】由题意得，因为，所以，解得 故答案为：4. 9.已知向量，满足，，与的夹角为，，则_______. 【答案】4 【知识点】利用向量垂直求参数、平面向量数量积的定义及辨析 【分析】利用向量垂直以及数量积的运算法则，可得，在结合题目所给的模，代入即可求得. 【详解】， 即，又 故答案为：4 10.已知向量，． (1)求的值； (2)，求. 【答案】(1)5 (2) 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示 【分析】（1）由向量加法的坐标表示、模的坐标计算公式求解即可； （2）由向量垂直得数量积为0，可用坐标表示并列出方程求解即可. 【详解】（1）由，知，所以． （2）由，知，， 因为， 所以，解得：. 11.已知向量. (1)求的坐标； (2)求； (3)若，且，求实数的值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、数量积的坐标表示、向量垂直的坐标表示 【分析】（1）根据向量的坐标运算奇数求解； （2）应用模长公式计算求解； （3）先应用坐标运算得出再应用垂直的坐标公式计算求解. 【详解】（1）； （2）； （3）已知，因为， 即，所以. 12.已知向量，， (1)求与夹角余弦值. (2)当且时，求； 【答案】(1)； (2). 【知识点】向量夹角的计算、数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示 【分析】（1）利用向量坐标运算求出向量夹角的余弦. （2）利用向量的坐标运算，及向量垂直的坐标表示求出，进而利用坐标求出向量的模. 【详解】（1）由向量，，得，， 所以与夹角余弦值为. （2）由，，得， 由，得，而，则，， ，所以. 题型七 利用数量积判断三角形的形状 1.已知在中，，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【知识点】平面向量数量积的定义及辨析 【分析】由向量数量积的定义式可得,即可判断 【详解】， , 又 为三角形内角，是钝角， 即是钝角三角形. 故选：C. 2.在中，，若，则下列结论正确的为（    ） A．一定为钝角三角形 B．一定不为直角三角形 C．一定为锐角三角形 D．可为任意三角形 【答案】D 【知识点】平面向量数量积的定义及辨析 【分析】根据数量积的概念即可判断为锐角，再利用三角形的定义判断即可. 【详解】因为，所以，所以， 所以为锐角，但是不能确定其它角是否为锐角、直角或钝角，所以不能确定的形状， 故可为任意三角形. 故选：D 3.满足的△ABC（    ） A．一定为锐角三角形 B．一定为直角三角形 C．一定为钝角三角形 D．可能为锐角三角形或直角三角形或钝角三角形 【答案】C 【知识点】平面向量数量积的定义及辨析、向量在几何中的其他应用 【分析】由向量数量积的定义及三角形内角的性质可得，即可判断三角形形状. 【详解】由，而， 所以且，故. 所以△ABC一定为钝角三角形. 故选：C 4.已知，，则的形状为（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 【答案】A 【知识点】坐标计算向量的模 【分析】利用向量运算求出，根据模长公式得到三边相等. 【详解】因为，，所以, 因为，所以是等边三角形， 故选：A 5.在中，满足，则的形状为（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【知识点】垂直关系的向量表示 【分析】取的中点，由题可得，据此可判断选项正误. 【详解】取的中点，则，所以． 又，故，即为等腰三角形. 故选：C． 6.在中，若，则的形状一定是（   ） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【知识点】垂直关系的向量表示、数量积的运算律 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律，结合垂直关系的向量表示判断即可. 【详解】在中，由，得，则， 因此，所以是直角三角形. 故选：D 7.在中，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【知识点】向量加法法则的几何应用、垂直关系的向量表示 【分析】由，所以，即，判断的形状． 【详解】因为，所以， 所以，所以，即， 所以的形状是直角三角形． 故选：C． 8.已知点M是所在平面内一点，满足，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【知识点】向量减法的法则、数量积的运算律、垂直关系的向量表示 【分析】利用向量的减法，数量积的运算律计算即得. 【详解】由，得，即， 两边平方并化简得，则，即，所以是直角三角形. 故选：A 题型一 利用向量数量积的几何意义解决点到直线的距离问题 1.已知向量，，则点A到的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【知识点】数量积的坐标表示、向量夹角的坐标表示 【分析】由已知、可求角B，然后由得所求. 【详解】由题意得， 因为，所以， 又因为，所以点A到的距离为. 故选：A 2.设，为直线l上的两个不同的点，则，我们把与向量垂直的非零向量称为直线l的法向量．如果直线l经过点P（1，2），且它的一个法向量是（3，-1），则点A（3，2）到直线l的距离为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量模的坐标表示、数量积的坐标表示 【分析】根据题意，求得和直线的一个法向量为，结合距离公式，即可求解. 【详解】由点和，可得， 又由直线的一个法向量为， 所以点到直线的距离为. 故选：B. 3.（多选）在中，AB=6，AC=10，，D为BC的中点，E为的垂心，则（   ） A． B． C． D．点E到直线AB的距离为 【答案】ABD 【知识点】向量夹角的计算、数量积的坐标表示、坐标计算向量的模 【分析】以A为原点，AB所在直线为x轴，建系，计算出各点的坐标以及向量的坐标，再逐一判断. 【详解】如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系， 则，，，， 所以，，，， ，A正确； ，B正确； ，C错误； 设，则，所以，得， 所以点E到直线AB的距离为，D正确． 故选：ABD 4.已知单位向量，的夹角为，，，则点到的距离______. 【答案】 【知识点】向量减法的法则、数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】要求点到的距离，可先求出的向量，再利用等面积法计算即可求出结果. 【详解】因为，， 所以. 已知、为单位向量，夹角为，故. 则，即. ，即. ，即. 所以三角形为等腰三角形，点到的距离. 设点到的距离，的面积， 则，解得. 所以点到的距离为. 故答案为： 5.已知点，向量，过点以向量为方向向量的直线为，求点到直线的距离． 【答案】 【知识点】数量积的坐标表示、向量模的坐标表示、向量在几何中的其他应用 【分析】首先求出，再求出，，，最后根据距离计算可得. 【详解】因为点，向量，则， 所以，， 过点以向量为方向向量的直线， 所以点到直线的距离． 6.已知点，，，求： (1)的值； (2)的大小； (3)点A到直线BC的距离． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、向量在几何中的其他应用、向量夹角的坐标表示 【分析】（1）根据数量积得坐标公式计算即可； （2）利用数量积求出得余弦值，即可得解； （3）根据点A到直线BC的距离为计算即可. 【详解】（1）依题意，得， ， ； （2）因为， 又，所以； （3）点A到直线BC的距离为 ． 7.（1）已知，向量，.若向量与的夹角为锐角，求的取值范围. （2）已知点，，.求点到直线的距离. 【答案】（1）；（2） 【知识点】由向量共线（平行）求参数、向量夹角的计算 【分析】（1）两向量夹角为锐角可转化数量积为大于零，但需排除向量共线的情况； （2）根据点到直线的距离为计算即可. 【详解】（1）由题知，，， 若向量与的夹角为锐角， 由得，，.解得. 又由(1)知，当时，向量与平行. 所以若向量与的夹角为锐角，则的取值范围为. （2）依题意，， ， 因为， 又，所以； 点A到直线BC的距离为 ． 8.已知，，，直线经过A，B两点，我们把向量以及与它平行的非零向量都称为直线的方向向量，把与直线垂直的向量称为直线的法向量，则向量在直线的法向量上的投影向量的模就是点到直线的距离． (1)求直线的一个法向量； (2)运用上述方法，求点到直线的距离． 【答案】(1)（答案不唯一，满足向量坐标满足即可） (2) 【知识点】数量积的坐标表示、向量垂直的坐标表示、求直线的法向量、求投影向量 【分析】（1）根据题意设出向量，利用向量垂直的坐标计算公式计算即可； （2）根据题目中所给信息，结合向量坐标计算公式，求出投影向量的模即可. 【详解】（1）设直线的法向量． 由题知直线的一个方向向量为． 由直线的法向量与直线垂直，则． 所以，取， 则直线的一个法向量． （满足即可） （2）向量在法向量上的投影向量． 所以． 又因为，． 所以． 则点到直线的距离为. 题型二 利用平面向量的数量积解决模的最值或范围问题 1.已知向量满足在上的投影向量是，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【知识点】已知数量积求模 【分析】利用投影向量求出，利用求出，最后利用向量的模的计算公式即可. 【详解】因为，在上的投影向量是，所以，则， 则， 因为，所以， 则的最小值为. 故选：A 2.如图，在中，，，P为CD上一点，且满足，若，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【知识点】利用平面向量基本定理求参数、基本不等式求积的最大值、平面向量数量积的定义及辨析 【分析】设，可得出，可得出关于、的方程组，即可解得实数的值；利用数量积得出，利用平面向量数量积的运算性质结合基本不等式可求得的最小值. 【详解】设，则 ， 所以，，解得. ，， ， 当且仅当时，即当时，等号成立. 所以，的最小值为. 故选：A. 3.已知向量是单位向量，向量在上的投影向量为，向量在上的投影向量为，则的最小值为__________． 【答案】1 【知识点】求投影向量 【分析】根据平面向量减法的几何意义，结合投影向量的定义进行求解即可. 【详解】令，过作的垂线，在上任取一点，则，过作的垂线，在上任取一点，则，则． 故答案为：1 4.若与是平面内的两个非零向量，，在上的投影向量为，且当时，， 则_______. 【答案】2 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、求投影向量 【分析】由，得出数量积的关系，由投影向量得出夹角与模长关系，再求，即可求出. 【详解】，， ，即， 在上的投影向量为， 则，整理得：，化简得：， ，， 由可得， 因，则， 由 ， 令， 时，，， ，解得：. 5.设非零向量的夹角为，且，则函数的最小值是__________. 【答案】 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】根据平面向量数量积运算律计算即可求解. 【详解】，即， ， ，，即， ， 将代入化简得：， 易知，则的最小值为. 题型三 利用平面向量数量积与夹角求参数 1.已知向量，，则“”是“和的夹角是锐角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【知识点】向量夹角的坐标表示、由向量共线（平行）求参数、判断命题的必要不充分条件 【分析】根据两向量夹角为锐角得到不等式，求出且，结合包含关系得到答案. 【详解】和的夹角是锐角，则且和不同向共线， 故且， 解得且， 由推不出且，故充分性不成立， 由且推得出，故必要性成立， 所以是和的夹角是锐角的必要不充分条件. 故选：B 2.设，．若与的夹角为钝角，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由向量共线（平行）求参数、数量积的坐标表示、利用数量积求参数、向量夹角的坐标表示 【分析】由数量积坐标定义结合向量平行的坐标表示即可计算求解. 【详解】由题意可得， 所以. 故选：D 3.已知向量，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【知识点】由向量共线（平行）求参数、向量夹角的计算、数量积的坐标表示 【分析】根据给定条件，利用向量的夹角公式，结合共线向量的坐标表示求解. 【详解】向量，则， 由与的夹角为锐角，得，且与不共线， 因此，解得且， 所以实数的取值范围为且. 故选：D 4.已知向量，，则“”是“，的夹角是钝角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】向量夹角的坐标表示、由向量共线（平行）求参数、判断命题的必要不充分条件 【分析】根据夹角为钝角，得到且，不反向共线，从而得到不等式，求出且，从而得到“”是“，的夹角是钝角”的必要不充分条件. 【详解】，的夹角是钝角，则且，不反向共线， 故且，解得且， 故“”是“，的夹角是钝角”的必要不充分条件. 故选：B. 5.已知向量，，且与的夹角为． (1)求及； (2)若与所成的角是锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【知识点】向量夹角的坐标表示、坐标计算向量的模、数量积的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】（1）由平面向量的夹角公式结合平面向量数量积的坐标运算可求得的值，计算出向量的坐标，利用平面向量的模长公式可求得的值； （2）求出向量的坐标，分析可知且向量与不共线，结合平面向量的坐标运算可求得实数的取值范围. 【详解】（1）因为向量，，且与的夹角为， 则，解得， 所以，，则， 故. （2）由（1）可得，且， 因为与所成的角是锐角，则，解得， 且向量与不共线，则，即， 因此，实数的取值范围是. 6.已知平面向量. (1)若，求的值； (2)若与的夹角是钝角，求的取值范围. 【答案】(1)或； (2). 【知识点】由向量共线（平行）求参数、向量夹角的计算、向量垂直的坐标表示、利用向量垂直求参数 【分析】（1）利用向量垂直的坐标表示求出. （2）利用向量夹角公式及共线向量的坐标表示求出范围. 【详解】（1）由，得，解得或， 所以或. （2）由与的夹角是钝角，得且与不共线， 则，解得且， 所以的取值范围是. 7.已知平面向量，. (1)当实数为何值时，与垂直？ (2)若与所成的角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1)的值为4； (2). 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数、数量积的坐标表示、向量垂直的坐标表示 【分析】（1）根据向量垂直时数量积为0，根据数量积的坐标运算可求解； （2）根据两向量所成的角为锐角时，数量积大于0且不共线，利用数量积和向量共线的坐标运算求解. 【详解】（1）因为，，所以，. 因为与垂直， 所以，解得， 故当实数的值为4时，满足题意. （2）由题意，，， 因为与所成的角为锐角， 所以，且与不共线， 由，即，解得. 当与共线时，，解得， 所以，当与不共线时，. 综上可知，实数的取值范围为. 题型四 向量数量积的最值与取值范围问题 1.正六边形在中国传统文化中象征着 “六合” 与 “六顺” ， 这种形状常被用于各种传统装饰和建筑中，如首饰盒、古建筑的窗户、古井口等. 已知 6 个边长均为 2 的正六边形的摆放位置如图所示， 是这 6 个正六边形内部 (包括边界) 的动点，则 的最大值为（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【知识点】平面向量数量积的几何意义、用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】过C作交延长线于E点，则，当C位于D点时，取得最大值，求此时的数量积即可. 【详解】 过C作交延长线于E点，则， 因为 6 个正六边形边长均为 2，如图，当C位于D点时，取得最大值， 此时， ， 故选：C. 2.在平面直角坐标系中，，，，，，则的最大值为（   ） A．280 B． C．300 D． 【答案】C 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、由向量线性运算解决最值和范围问题 【分析】先求出，设为中点，进而可以用向量表示出，结合数量积运算律即可解求． 【详解】因为，，， 由，所以，所以． ， 设是中点，，， 因为， 即，当且仅当同向时取等号， 所以 故选：C. 3.美术课对于陶冶人的情操､发展学生的艺术兴趣和爱好､培养学生的艺术特长､提高学生的审美素养具有积极作用.如图，这是某学生关于“杯子”的联想创意图，它是由一个正方形和三个半圆组成的，其中，是正方形的两个顶点，是三段圆弧上的动点，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平面向量数量积的几何意义、平面向量数量积的定义及辨析 【分析】根据数量积的几何意义，为在上的投影，数形结合，确定的最大值和最小值，即可求得答案. 【详解】如图，作，垂足分别为，且与左半圆相切， 切点为与右半圆相切，切点为. ，其中为在上的投影， 因为，所以. 当与重合时，最大，最大值为， 此时取得最大值，最大值为； 当与重合时，最小，最小值为， 此时取得最小值，最小值为； 故的取值范围是， 故选：B 4.在四边形中，为的重心，，点在线段 上， 则的最小值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【知识点】向量与几何最值、平面向量数量积的定义及辨析、向量加法法则的几何应用 【分析】首先根据平面向量的加法几何意义，三角形重心的性质和平面数量积的概念得到，再利用基本不等式性质即可得到答案. 【详解】如图所示： 因为， 所以， 于是有， 又，当且仅当时取等号， 所以. 故选：A 5.如图，是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成的一个大正三角形，若，，点M为线段上的动点，则的最大值为（   ） A． B．21 C．24 D．40 【答案】D 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、向量与几何最值 【分析】利用平面向量的线性表示和数量积，转化为函数的最值问题求解. 【详解】根据题意可得，所以， 又因为，，所以，， 设，则，所以，， 所以 令，在上单调递增，在上单调递减， 故最大值为40， 故选：D． 6.平面向量满足，则的最大值为_____． 【答案】2 【知识点】垂直关系的向量表示、基本（均值）不等式的应用 【分析】分别设出坐标，列方程计算即可. 【详解】不妨设，依题意可设，则， 取． 由于， 当时， ，等号成立时． 当时，， 当时，， 所以的最大值为2 故答案为：2． 7.《哪吒2》的玉崖宫，形态由九宫八卦阵演变而来，设计灵感束源于汉代．内饰充满了中国文化符号、某中学数学实践小组将玉虚宫轮廓抽象为正八边形，结合向量知识进行主题探究活动．如图，正八边形ABCDEFGH，边长为2，点P在线段 CH上，且 则的值为_____；若点Q为线段 CD上的动点，则 的最小值为________． 【答案】 0 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】在正八边形中，各边夹角都是已知的，各边长也是已知的，把目标向量用边长向量表示出来，再根据向量乘法运算律求出结果. 【详解】 因为， 则， 与夹角为,与夹角为, . 设,可知, , , , , ,当或时, 有最小值,最小值为0. 故答案为: ； 0. 8.（1）已知向量满足，且与的夹角为．若与的夹角为钝角，求实数的取值范围； （2）已知向量，求在上的投影向量的坐标； （3）如图，半圆的直径为圆心，为半圆上不同于A，B的任意一点，若为半径OC上的动点，求的最小值． 【答案】（1），且；（2）；（3）-8 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算、向量与几何最值、求投影向量 【分析】（1）利用向量的数量积建立不等式，求出的取值范围； （2）根据在上的投影向量的定义进行计算； （3）利用向量线性运算可得，将问题转化为二次函数最值的求解，由此可得结果. 【详解】与的夹角为钝角， ，且与不平行， ，且， 又，且与的夹角为， ，且，且， （2）由题意得， 则在上的投影向量是， 即在上的投影向量的坐标为． （3）解：设，则， 是AB的中点，， 当时，取得最小值－8． 9.在平行四边形中，，，．若分别是边上的点． （1）若分别是边的中点，与交于点，用和表示； （2）若满足，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【知识点】平面向量的混合运算、用定义求向量的数量积、已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】（1）过点E作EG//AB，交BF于点G，根据题意得出，通过向量加减法即可得到答案； （2）设，按照向量加减法表示出，进而得出数量积的范围. 【详解】（1）如图， 过点E作EG//AB，交BF于点G. 因为E是BC中点，所以， 因为F是CD中点，所以， 因为EG//AB，所以， 所以. （2）设，， 则， 所以 ， 所以的取值范围为. 1.已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数量积的运算律、求投影向量 【分析】根据条件并结合模长求出，最后代入投影向量公式求解. 【详解】由，得，即， 将，代入上式可得：，即， 根据投影向量的计算公式，在方向上的投影向量为， 则. 故选：B. 2.在中，，是的外心，为的中点，，是直线上异于，两点的任意一点，则（    ） A．9 B．10 C．18 D．20 【答案】C 【知识点】向量加法法则的几何应用、用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】根据外心的性质得到，设，根据数量积的运算律得到，再由数量积的定义及几何意义求出，从而得解. 【详解】 因为是的外心，为的中点，设的中点为，连接， 所以，，设， 则 ， 又是的外心， 所以 ， 所以. 故选：C. 3.已知平面向量，，，且已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【知识点】求二次函数的值域或最值、用定义求向量的数量积、已知数量积求模、向量与几何最值 【分析】先用平方去掉条件中的绝对值号，通过解不等式求出，再用向量的三角不等式求最小值. 【详解】平方去绝对值号，由，则， 根据向量与的条件可得， 化简可得， 令，由于函数开口向上，所以需要满足，所以. 观察所求式子内部，两者相减可将约掉，所以可用向量的三角不等式求解， 即， 又， 则的最小值为 4.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，若正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的坐标表示 【分析】设夹角为，分析可得，当，则，当时，以为原点，AB、AF分别为x，y轴建系，根据正八边形性质，可得各点坐标，分别计算在线段GF（除）上、在线段GH上运动和在线段AH（除）上运动时，的表达式，求出其范围，综合考虑即得答案． 【详解】设的夹角为， 当与重合时，； 当在线段AB（除）、线段BC、线段CD，线段DE，线段EF（除）上运动时， ，所以， 当与重合时，，所以， 以为原点，AB、AF分别为x，y轴建立平面直角坐标系， 根据正八边形的性质可知到AF的距离为， 则， 直线GF的方程为，直线GH的方程为，直线AH的方程为， 当在线段GF（除）上运动时，设， 所以， 当在线段GH上运动时，设， 所以， 当在线段AH（除）上运动时，设， 所以． 的最小值为； 由投影向量的定义可知，当在CD上时，取得最大值， 延长DC交AB的延长线于点， 的最大值为， 其中正八边形的外角为，故， 故， 故， 所以最大值为 故选：D 5.已知平面向量、满足，且，则在上投影向量的模的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】坐标计算向量的模、已知模求数量积、求投影向量 【分析】设平面向量、夹角为，得到在上投影向量的模为，令，由，平方得到，结合，得到，求得的范围，即可求解. 【详解】设平面向量、夹角为， 则在上投影向量的模为，且， 由，平方可得， 又因为， 可得：， 令，则， 由， 所以，整理得：， 解得：， 即， 所以， 即在上投影向量模的最小值为 故选：D 6.（多选），（）且，下列说法正确的是（   ） A．的最小值是4 B．在上投影向量为 C．的范围 D． 【答案】BCD 【知识点】由向量共线（平行）求参数、坐标计算向量的模、基本不等式“1”的妙用求最值、求投影向量 【分析】根据给定条件，利用共线向量的坐标表示，再利用基本不等式求解判断AD；求出投影向量判断B；求出模的范围判断C. 【详解】由，得，而，， 则，即，又，则， 对于A，， 当且仅当时取等号，A错误； 对于B，，在上投影向量，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，， 当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：BCD 7.（多选）已知，则下列结论正确的是（   ） A．的取值范围为 B．若，则的取值范围为 C．若且，则最大值为 D．若，则的最小值为 【答案】ABD 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、垂直关系的向量表示 【分析】利用向量线性运算可得A；利用可得，结合向量线性运算可得B；借助模长公式与三角换元计算可得C；借助向量数量积公式计算可得D. 【详解】对A：当、、能围成三角形，且、、时， 有，则， 当、、共线且同向时，有， 故，故的取值范围为，故A正确； 对B：若，则， 则当与反向时，取最大值，， 当与同向时，取最小值，， 故的取值范围为，故B正确； 对C：，即， 则可设，，， 则，其中， 故最大值为，故C错误； 对D：， 由，则， 则， 故， 即的最小值为，故D正确. 故选：ABD. 8.（多选）已知向量满足，且对任意的实数t，恒成立，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．在 上的投影向量为 D．当取最小值时， 【答案】ABD 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、求投影向量 【分析】先由不等式恒成立结合向量模长公式得到一个一元二次不等式恒成立，解该不等式恒成立问题得到，接着由向量模公式、数量积运算律和投影向量公式逐项计算即可判断ABC；由模公式计算D选项得到代数式，利用其几何意义数形结合分析计算即可求解判断D. 【详解】由题可得恒成立， 即， 所以， 所以， 所以，故A正确； ，故B正确； 在上的投影向量为，故C错误； ， 表示动点到两定点距离和的2倍，如图，    关于x轴对称的点为，则， 所以由图可知当三点共线时，动点到两定点距离和的2倍取得最小值， 此时， 所以当取最小值时，，D正确. 故选：ABD 9.两个不共线的向量，，满足，且，恒成立，则向量，夹角的余弦值为__________. 【答案】 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、平面向量数量积的定义及辨析 【分析】将两边同时平方，得到关于的一元二次不等式，然后根据一元二次不等式在上恒成立可得答案. 【详解】因为，恒成立， 所以，， 所以， 所以 设，夹角为，因为， 所以，即， 所以， 故答案为： 10.已知平面向量，，均为非零向量，，且，，则的最小值为____________. 【答案】 【知识点】数量积的运算律、平面向量数量积的定义及辨析 【分析】根据向量数量积的性质结合条件即得. 【详解】因为平面向量，，均为非零向量，，且， 所以，即， 所以的最小值为. 故答案为： 11.已知平面四边形，，，，，则______；动点E，F分别在线段，上，且，，则的取值范围为______． 【答案】 . 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、用基底表示向量、数量积的运算律、向量夹角的计算 【分析】由平行线的性质可得，由勾股定理求得， 由此求得，根据数量积求得，从而求得；建立恰当的平面直角坐标系，将表示成关于的函数，可求得的取值范围. 【详解】①由，知∥，且. 记，则. 由，解得. 所以. 所以. . 因为，所以. ②如图所示，以为坐标原点，所在直线为轴，过且垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系， 则. 所以. 所以，所以. 因为，所以. 所以. 令， 其图象的对称轴为. 因为动点E，F分别在线段，上，所以. 所以在上单调递增，所以. 所以的取值范围是. 故答案为：①②. 12.如图，在菱形中，． (1)用表示； (2)求； (3)若是菱形内（含边界）一动点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)． 【知识点】用基底表示向量、用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】（1）由图先将用线性表示，再以为未知向量，求解方程即得； （2）将（1）中求得的的表示式代入所求式，运用向量数量积的定义和运算律计算即得； （3）将分别用表示，化简计算得，结合图形，得出当与重合时，取最小值；当与重合时，取最大值，利用余弦定理求出的长，即可求得的取值范围. 【详解】（1）因，则①， ②， 由，可得，化简即得：； 又由，可得，化简即得：. （2）由（1）可知，， 则 ． 因为，，则， 则， 故． （3）由题可知， 则． 由图可知，当与重合时，，此时取得最小值为， 当与重合时，最大，取得最大值． 如图连接，在中，由余弦定理， ， 所以的最大值为， 故的取值范围为． 13.如图在平行四边形中，，，分别为和上的动点（包含端点），且，． (1)若 ①请用，表示 ②设与相交于点，求 (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)①；②； (2)． 【知识点】利用平面向量基本定理求参数、数量积的运算律、用定义求向量的数量积、用基底表示向量 【分析】（1）①因为，所以，，利用向量的线性表示得到，从而解得；②用和表示，由三点共线求得的值； （2）用和分别表示和，得到，利用转化成关于的二次函数，在时的取值范围即为的取值范围 【详解】（1）①， ，． ②设，则， 三点共线，，． （2），， ． ，． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5 平面向量的数量积 题型一 平面向量数量积的概念辨析 1.下面给出的关系式中，正确的个数是（   ） ①；②；③；④. A．0 B．1 C．2 D．3 2.在等式①；②；③；④若，且，则；其中正确的命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3.设，，都是非零向量，则下列等式不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 4.设、为空间中的任意两个非零向量，有下列各式： ①；②；③；④. 其中正确的个数为（    ） A． B． C． D． 5.以下关于两个非零向量的数量积的叙述中，错误的是（    ） A．两个向量同向共线，则他们的数量积是正的 B．两个向量反向共线，则他们的数量积是负的 C．两个向量的数量积是负的，则他们夹角为钝角 D．两个向量的数量积是0，则他们互相垂直 6.如图，网格纸上的每个小正方形的边长均为1，下列关于向量，，，的判断正确的是（    ） A． B． C． D． 7.(多选)设是任意的非零向量，且它们相互不共线，下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 题型二 求投影数量与投影向量 1.已知向量，满足，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 2.已知，，向量与向量的夹角为，则向量在向量方向上的投影数量等于（    ） A． B． C．2 D． 3.已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4.已知向量与向量均为单位向量，且，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5.已知向量满足，若为在上的投影向量，则向量夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 6.已知，向量在向量上的投影向量为，则与夹角的余弦值为______. 7.若平面向量､满足条件：､，则向量在向量的方向上的数量投影为___________. 8.已知向量满足且，则在方向上的数量投影为______. 9.如图，在菱形中，其对角线，．求： (1)； (2)在上的投影的数量； (3)在上的投影的数量． 题型三 利用定义求平面向量的数量积 1.已知向量与的夹角为60°，其中，，则（    ） A．6 B．5 C．3 D．2 2.已知空间单位向量的夹角为，则（   ） A． B． C．1 D． 3.在平行四边形中，，，，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 4.已知中，若，且点在上，则（    ） A． B． C． D．1 5.在中，，且为的中点，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 6.已知在方向上的投影数量是，则______． 7.已知向量与的夹角为，，，则________． 8.为圆O的一条弦，且，则的值为_______. 题型四 利用数量积求平面向量的模或夹角 1.已知，方向相同，且，，则（   ） A．10 B．100 C．11 D．121 2.若平面向量两两的夹角相等，且，则（   ） A．3 B．4 C．3或0 D．4或1 3.已知非零向量，满足，则，角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4.已知非零向量的夹角为，若在上的投影向量为，且，则（    ） A． B．2 C．3 D． 5.（多选）已知向量满足，，则（    ） A．与的夹角为 B．与的夹角为 C． D． 6.已知单位向量，满足，则___________． 7.已知向量、的夹角为，且，，则___________ 8.向量满足且，则与所成夹角的余弦值为___________． 9.如图所示，已知在中，，，，在上，且，在上，且，为与的交点，则________． 10.已知平面向量满足：，记向量与向量的夹角为，则的值为_____． 11.已知，，与的夹角是．计算 (1)； (2)． 题型五 运用向量的坐标运算求向量的模、夹角及投影向量 1.已知向量，且，则（    ） A． B． C． D． 2.已知平面向量，，若，则与的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 3.在平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，若向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 4.已知向量和满足，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5.（多选）已知向量，，则下列说法正确的有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6.（多选）已知平面向量，则（   ） A．当时， B．当时，的最小值为 C．当时， D．当时， 7.（多选）已知向量，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则在方向上的投影向量的坐标为 8.已知两个粒子、从同一点发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为，，则在上的投影向量为____________． 9.已知平面向量，，. (1)若，且，求和的值； (2)若，求的值. 题型六 利用数量积解决向量垂直问题 1.已知向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.已知两个非零向量．若，则锐角（   ） A． B． C． D． 3.已知非零向量、满足，，则（ ） A． B． C． D． 4.已知平面向量，若，则（   ） A．2 B． C．3 D．5 5.已知平面向量，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6.已知平面向量，若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 7.(多选)已知，且，求向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 8.已知向量，若，则实数__________． 9.已知向量，满足，，与的夹角为，，则_______. 10.已知向量，． (1)求的值； (2)，求. 11.已知向量. (1)求的坐标； (2)求； (3)若，且，求实数的值. 12.已知向量，， (1)求与夹角余弦值. (2)当且时，求； 题型七 利用数量积判断三角形的形状 1.已知在中，，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 2.在中，，若，则下列结论正确的为（    ） A．一定为钝角三角形 B．一定不为直角三角形 C．一定为锐角三角形 D．可为任意三角形 3.满足的△ABC（    ） A．一定为锐角三角形 B．一定为直角三角形 C．一定为钝角三角形 D．可能为锐角三角形或直角三角形或钝角三角形 4.已知，，则的形状为（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 5.在中，满足，则的形状为（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 6.在中，若，则的形状一定是（   ） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形 7.在中，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 8.已知点M是所在平面内一点，满足，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 题型一 利用向量数量积的几何意义解决点到直线的距离问题 1.已知向量，，则点A到的距离为（    ） A． B．1 C． D． 2.设，为直线l上的两个不同的点，则，我们把与向量垂直的非零向量称为直线l的法向量．如果直线l经过点P（1，2），且它的一个法向量是（3，-1），则点A（3，2）到直线l的距离为（    ） A．2 B． C． D． 3.（多选）在中，AB=6，AC=10，，D为BC的中点，E为的垂心，则（   ） A． B． C． D．点E到直线AB的距离为 4.已知单位向量，的夹角为，，，则点到的距离______. 5.已知点，向量，过点以向量为方向向量的直线为，求点到直线的距离． 6.已知点，，，求： (1)的值； (2)的大小； (3)点A到直线BC的距离． 7.（1）已知，向量，.若向量与的夹角为锐角，求的取值范围. （2）已知点，，.求点到直线的距离. 8.已知，，，直线经过A，B两点，我们把向量以及与它平行的非零向量都称为直线的方向向量，把与直线垂直的向量称为直线的法向量，则向量在直线的法向量上的投影向量的模就是点到直线的距离． (1)求直线的一个法向量； (2)运用上述方法，求点到直线的距离． 题型二 利用平面向量的数量积解决模的最值或范围问题 1.已知向量满足在上的投影向量是，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 2.如图，在中，，，P为CD上一点，且满足，若，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D． 3.已知向量是单位向量，向量在上的投影向量为，向量在上的投影向量为，则的最小值为__________． 4.若与是平面内的两个非零向量，，在上的投影向量为，且当时，， 则_______. 5.设非零向量的夹角为，且，则函数的最小值是__________. 题型三 利用平面向量数量积与夹角求参数 1.已知向量，，则“”是“和的夹角是锐角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 2.设，．若与的夹角为钝角，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3.已知向量，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为（    ） A． B．且 C． D．且 4.已知向量，，则“”是“，的夹角是钝角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5.已知向量，，且与的夹角为． (1)求及； (2)若与所成的角是锐角，求实数的取值范围． 6.已知平面向量. (1)若，求的值； (2)若与的夹角是钝角，求的取值范围. 7.已知平面向量，. (1)当实数为何值时，与垂直？ (2)若与所成的角为锐角，求实数的取值范围. 题型四 向量数量积的最值与取值范围问题 1.正六边形在中国传统文化中象征着 “六合” 与 “六顺” ， 这种形状常被用于各种传统装饰和建筑中，如首饰盒、古建筑的窗户、古井口等. 已知 6 个边长均为 2 的正六边形的摆放位置如图所示， 是这 6 个正六边形内部 (包括边界) 的动点，则 的最大值为（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 2.在平面直角坐标系中，，，，，，则的最大值为（   ） A．280 B． C．300 D． 3.美术课对于陶冶人的情操､发展学生的艺术兴趣和爱好､培养学生的艺术特长､提高学生的审美素养具有积极作用.如图，这是某学生关于“杯子”的联想创意图，它是由一个正方形和三个半圆组成的，其中，是正方形的两个顶点，是三段圆弧上的动点，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.在四边形中，为的重心，，点在线段 上， 则的最小值为（    ） A． B． C． D．0 5.如图，是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成的一个大正三角形，若，，点M为线段上的动点，则的最大值为（   ） A． B．21 C．24 D．40 6.平面向量满足，则的最大值为_____． 7.《哪吒2》的玉崖宫，形态由九宫八卦阵演变而来，设计灵感束源于汉代．内饰充满了中国文化符号、某中学数学实践小组将玉虚宫轮廓抽象为正八边形，结合向量知识进行主题探究活动．如图，正八边形ABCDEFGH，边长为2，点P在线段 CH上，且 则的值为_____；若点Q为线段 CD上的动点，则 的最小值为________． 8.（1）已知向量满足，且与的夹角为．若与的夹角为钝角，求实数的取值范围； （2）已知向量，求在上的投影向量的坐标； （3）如图，半圆的直径为圆心，为半圆上不同于A，B的任意一点，若为半径OC上的动点，求的最小值． 9.在平行四边形中，，，．若分别是边上的点． （1）若分别是边的中点，与交于点，用和表示； （2）若满足，求的取值范围． 1.已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 2.在中，，是的外心，为的中点，，是直线上异于，两点的任意一点，则（    ） A．9 B．10 C．18 D．20 3.已知平面向量，，，且已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D．4 4.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，若正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点，则的范围是（   ） A． B． C． D． 5.已知平面向量、满足，且，则在上投影向量的模的最小值为（   ） A． B． C． D． 6.（多选），（）且，下列说法正确的是（   ） A．的最小值是4 B．在上投影向量为 C．的范围 D． 7.（多选）已知，则下列结论正确的是（   ） A．的取值范围为 B．若，则的取值范围为 C．若且，则最大值为 D．若，则的最小值为 8.（多选）已知向量满足，且对任意的实数t，恒成立，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．在 上的投影向量为 D．当取最小值时， 9.两个不共线的向量，，满足，且，恒成立，则向量，夹角的余弦值为__________. 10.已知平面向量，，均为非零向量，，且，，则的最小值为____________. 11.已知平面四边形，，，，，则______；动点E，F分别在线段，上，且，，则的取值范围为______． 12.如图，在菱形中，． (1)用表示； (2)求； (3)若是菱形内（含边界）一动点，求的取值范围． 13.如图在平行四边形中，，，分别为和上的动点（包含端点），且，． (1)若 ①请用，表示 ②设与相交于点，求 (2)若，求的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $