专题2.1 不等式及其性质（3大考点+5大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学新教材北师大版八年级下册

专题2.1 不等式及其性质 教学目标 学习目标： 1. 理解不等式及其解集的概念，能够用数轴表示不等式的解集。 2. 探索并掌握不等式的三个基本性质，理解其与等式性质的异同。 3. 能够运用不等式性质对简单不等式进行变形，初步体会不等式作为刻画现实数量关系的工具。 教学重难点 重点： 1. 不等式基本性质（特别是性质3：不等式两边乘/除同一个负数，不等号方向改变）的理解与掌握。 2. 运用不等式性质进行简单变形，并能在数轴上准确表示解集。 教学难点： 1. 不等式性质3（不等号方向随乘除负数而改变）的理解与正确应用，避免发生符号错误。 2. 从具体问题中抽象出不等式模型，并用数轴表示解集。 知识点1：不等式的概念 一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 特别说明： (1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大． (2)五种不等号的读法及其意义： 符号 读法 意义 “≠” 读作“不等于” 它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小 “＜” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小 “＞” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大 “≤” 读作“小于或等于” 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量 “≥” 读作“大于或等于” 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量 (3) 有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立． 【即学即练】1．（24-25八年级下·广东清远·期末）在下列数学式子：①，②，③，④，⑤中，是不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的定义， 根据不等式的定义，用不等号（如）连接的式子属于不等式，逐一判断每个式子是否符合条件． 【详解】解：① 使用了“<”，是不等式； ② 使用了“>”，是不等式； ③ 是等式，不是不等式； ④ 是代数式，不含不等号，不是不等式； ⑤ 使用了“≥”，是不等式． 故选：B． 知识点2：不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c． 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 特别说明： 不等式的基本性质的掌握注意以下几点： (1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会． (2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变． 【即学即练】2．（2025八年级上·全国·专题练习）下列说法不一定成立的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质“性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”，熟练掌握不等式的性质是解题关键．根据不等式的性质逐项判断即可得． 【详解】解：A、∵，， ∴， ∴（不等式两边除以同一个正数，不等号的方向不变），则此项一定成立，不符合题意； B、当时，，则， 当时，， ∴若，则（不等式两边乘以同一个正数，不等号的方向不变）， 综上，此项不一定成立，符合题意； C、若，则（不等式两边减去同一个数（或式子），不等号的方向不变），则此项一定成立，不符合题意； D、若，则（不等式两边加上同一个数（或式子），不等号的方向不变），则此项一定成立，不符合题意； 故选：B． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列不等式化为“”或“”的形式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了不等式的性质，准确的计算是解决本题的关键． （1）根据不等式的性质进行作答即可； （2）根据不等式的性质进行作答即可； （3）根据不等式的性质进行作答即可； （4）根据不等式的性质进行作答即可； （5）根据不等式的性质进行作答即可； （6）根据不等式的性质进行作答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 知识点3：不等式的解与解集 1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 注意： 不等式的解 是具体的未知数的值，不是一个范围 不等式的解集 是一个集合，是一个范围．其含义： ①解集中的每一个数值都能使不等式成立； ②能够使不等式成立的所有数值都在解集中 【即学即练】4．（24-25七年级下·全国·课后作业）不是下列哪个不等式的解（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的解，使不等式成立的未知数的值就是不等式的解． 把代入不等式，使不等式成立就是不等式的解，反之，则不是不等式的解． 【详解】解：A．当时，∵，∴不是不等式的解，故本选项符合题意； B．当时，∵，∴是不等式的解，故本选项不符合题意； C．当时，∵，∴是不等式的解，故本选项不符合题意； D．当时，∵ ，∴是不等式的解，故本选项不符合题意． 故选：A． 题型01 不等式的定义 【典例1】（25-26七年级下·全国·周测）下列式子：①；②；③；④；⑤．其中是不等式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的定义，掌握含有不等号（<、>、≠等）的式子是不等式是解题的关键． 根据不等式的定义，判断每个式子是否含有不等号（如<， >， ≠等）． 【详解】解：∵ ① 是等式，不含不等号； ② 含有“<”，是不等式； ③ 是代数式，不含不等号； ④ 含有“>”，是不等式； ⑤ 含有“≠”，是不等式． ∴ 不等式有②、④、⑤，共3个． 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）下列式子中，属于不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．用不等号 “”“”“”“”“” 连接的式子叫做不等式． 根据不等式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、是等式，故本选项不符合题意； B、是代数式，故本选项不符合题意； C、是不等式，故本选项符合题意； D、是代数式，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）以下式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中不等式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据不等式的定义：“用不等号表示两个量间的不等关系的式子叫做不等式”分析各个式子进行判断即可 【详解】解：①是等式，不符合题意； ②是不等式，符合题意； ③是不等式，符合题意； ④不是不等式，不符合题意； ⑤是不等式，符合题意； ⑥是不等式，符合题意； ∴有4个不等式， 故选：C 【变式3】（24-25八年级下·广东河源·月考）老师在黑板上写了下列式子：①；②；③；④；⑤，其中是不等式的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查不等式，解题的关键是掌握不等式的定义：用符号“”、“”、“”、“”或“”连接的式子，叫做不等式． 【详解】解：个式子中，其中式子，，是不等式，有个． 故选：C． 题型02 列不等式 【典例2】（24-25八年级上·浙江杭州·月考）x减去y不大于，用不等式表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式，关键是要抓住题目中的关键词，首先表示x减去y为，再表示“不大于”即为． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·浙江金华·期中）“大于的倍”用不等式表示为： ． 【答案】 【分析】此题考查了列不等式．根据“a大于b的2倍”进行列出不等式，即可作答． 【详解】解：依题意，“大于的倍”用不等式表示为：， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）“a与1的差小于b的2025倍”用不等式表示为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了由实际问题列出不等式，关键是要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号． “a与1的差”表示为，“小于”用<表示，“b的2025倍”表示为． 【详解】解：由题意得，． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）用不等式表示： (1)x的4倍与3的差是正数：________________． (2)a与b的积小于7：________________． (3)a，b两数的平方和大于10：_____________________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查列不等式，关键是根据题意正确找出不等关系． （1）根据倍、差关系，以及正数的定义列出不等式即可得； （2）根据积的定义列出不等式即可得； （3）根据平方和的定义列出不等式即可得． 【详解】（1）解：的4倍与3的差是正数，即差大于0，因此不等式为． 故答案为：． （2）解：与的积小于7，即乘积小于7，因此不等式为． 故答案为：． （3）解：与的平方和大于10，即平方和大于10，因此不等式为． 故答案为：． 题型03 不等式的基本性质 【典例3】（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）已知实数满足，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的性质在不等式大小比较中的应用，属于基础题．根据不等式的性质，时，加减相同数不等号方向不变，乘除正数不等号方向不变，乘除负数不等号方向改变． 【详解】解：∵， ∴ 对于A：，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：∵，乘以负数，不等号方向改变，∴，故C错误； 对于D：∵，除以正数2，不等号方向不变，∴，故D正确， 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·浙江金华·期末）若，则下列式子错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质为：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：A、∵，∴，∴，故原选项错误，符合题意； B、∵，∴，故原选项正确，不符合题意； C、∵，∴，故原选项正确，不符合题意； D、∵，∴，故原选项正确，不符合题意； 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·期末）如果，那么下列正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向． 【详解】解：A、由可得，原式错误，不符合题意； B、由可得，原式错误，不符合题意； C、由可得，则，原式正确，符合题意； D、由可得，原式错误，不符合题意； 故选：C． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列不等式变形正确的是（   ） A．由，得 B．由，，得 C．由，得 D．由，得 【答案】D 【分析】依据不等式的基本性质，对每个选项逐一进行分析判断，重点关注不等号方向是否正确． 【详解】解：A、由，根据不等式的对称性，不等号方向应相反，得，而不是，不符合题意； B、由，，根据不等式的传递性，得，而不是，不符合题意； C、由，根据不等式的对称性，应得到，不符合题意； D、根据不等式的对称性，由可得，故该变形正确，符合题意． 故选：D． 题型04 不等式的解与解集 【典例4】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列关系式中，不含有这个解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等式、不等式的解及解的判断方法，理解题意是解题的关键． 将代入各关系式，判断是否成立，若不成立，则不含有该解. 【详解】A、当时，，成立，不符合题意； B、当时，，，不成立，符合题意； C、当时，，，成立，不符合题意； D、当时，，，成立，不符合题意； 故选：B． 【变式1】（24-25八年级下·江西抚州·月考）若是某不等式的一个解，则该不等式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的解，逐个判断各选项即可． 【详解】解：A、中包含，符合题意； B、中不包含，不符合题意； C、中不包含，不符合题意； D、中不包含，不符合题意； 故选：A． 【变式2】（24-25八年级下·江西鹰潭·月考）下列不等式的解集中，不包括的是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的解集，依题意，结合每个选项的的解集进行判断，即可作答． 【详解】解：A、不包括，故该选项符合题意； B、包括，故该选项不符合题意； C、包括，故该选项不符合题意； D、包括，故该选项不符合题意； 故选：A． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（   ）． A．方程和不等式的解是一样的 B．不是不等式的解 C．是不等式的一个解 D．是不等式的解集 【答案】C 【分析】本题主要考查不等式的解，熟练掌握不等式的解是解题的关键；因此此题可根据不等式的解进行排除选项． 【详解】解：A、方程和不等式的解是不一样的，故原说法错误； B、是不等式的解，故原说法错误； C、是不等式的一个解，故原说法正确； D、不是不等式的解集，故原说法错误； 故选C． 题型05 利用不等式的基本性质解不等式 【典例5】（25-26七年级下·全国·周测）将下列不等式化成“”或“”的形式． (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元一次不等式的变形，掌握移项、合并同类项的步骤，以及系数化为时，若系数为负数，不等号方向要改变是解题的关键． （1）通过移项合并同类项，将不等式化为形式，再系数化为； （2）先移项合并同类项，再系数化为； （3）移项合并同类项后，系数化为． 【详解】（1）解：两边同时减去，得， 两边同时除以，得． （2）解：两边同时减去，得， 两边同时除以，得． （3）解：两边同时减去，得， 两边同时减去，得， 两边同时除以，得． 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列不等式化为“”或“”的形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了不等式的基本性质，不等式的性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． （1）运用不等式的性质1进行作答即可； （2）运用不等式的性质1进行作答即可； （3）运用不等式的性质2进行作答即可； （4）运用不等式的性质3进行作答即可； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴； （4）解：∵， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“”或“”的形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了不等式的基本性质，不等式的性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． 不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． （1）运用不等式的性质1进行作答即可； （2）运用不等式的性质1进行作答即可； （3）运用不等式的性质2进行作答即可； （4）运用不等式的性质3进行作答即可； 【详解】（1）解：∵， ∴由不等式的性质1得： ∴； （2）解：∵， ∴由不等式的性质1得： ∴； （3）解：∵， ∴由不等式的性质2得： ∴； （4）解：∵， ∴由不等式的性质3得： ∴． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列不等式化为“”或“”的形式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了不等式的性质，准确的计算是解决本题的关键． （1）根据不等式的性质进行作答即可； （2）根据不等式的性质进行作答即可； （3）根据不等式的性质进行作答即可； （4）根据不等式的性质进行作答即可； （5）根据不等式的性质进行作答即可； （6）根据不等式的性质进行作答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 一、单选题 1．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）以下式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中不等式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据不等式的定义：“用不等号表示两个量间的不等关系的式子叫做不等式”分析各个式子进行判断即可 【详解】解：①是等式，不符合题意； ②是不等式，符合题意； ③是不等式，符合题意； ④不是不等式，不符合题意； ⑤是不等式，符合题意； ⑥是不等式，符合题意； ∴有4个不等式， 故选：C 2．（24-25七年级下·云南临沧·期末）已知是某不等式的一个解，这个不等式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的运算法则是解本题的关键． 将代入各个不等式，即可得到答案． 【详解】解：对于选项A：，不成立； 对于选项B：，不成立； 对于选项C：，不成立； 对于选项D：，成立． 故选：D． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）下列判断不正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的性质“性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”，熟练掌握不等式的性质是解题关键．根据不等式的性质逐项判断即可得． 【详解】解：A、若，则（不等式两边乘以同一个负数，不等号的方向改变），则此项正确，不符合题意； B、若，则（不等式两边减去同一个数（或式子），不等号的方向不变），即，则，则此项正确，不符合题意； C、当时，，则， 当时，，则（不等式两边乘以同一个正数，不等号的方向不变）， 综上，此项不正确，符合题意； D、∵，， ∴， ∴（不等式两边除以同一个正数，不等号的方向不变），则此项正确，不符合题意； 故选：C． 4．（25-26七年级上·陕西榆林·期中）一组“数值转换机”按如图所示的程序计算，如果开始输入的值是，则最终输出的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了程序流程图、代数式求值、不等式等知识点，理解流程图是解题的关键． 先把代入可得，由；再把代入可得；由，重复计算，直到，方可输出． 【详解】解：把代入可得，由； ∴把代入可得，由； 把代入可得，由； 把代入可得，由，输出． 故选C． 5．（25-26七年级上·吉林·期中）某双向六车道高速公路，分车道与分车型组合限速，其标牌版面如图所示．每个标牌上左侧数字代表该车道车型的最高通行车速（单位：），右侧数字代表该车道车型的最低通行车速（单位：）．王师傅驾驶一辆货车在该高速公路上依规行驶，车速为，则车速v的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的定义． 由王师傅驾驶的车辆是货车，可得出王师傅应走右侧两车道，结合右侧车道标牌上速度，即可得出车速的范围． 【详解】解：王师傅驾驶的车辆是货车， 王师傅应走右侧两车道， 车速的范围是． 故选：C． 二、填空题 6．（25-26七年级下·全国·单元测试）“若，则”是假命题，则的值可能是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 根据不等式的性质，当时，不成立，从而使原命题为假命题． 【详解】解：由不等式性质可知，若，则成立的条件是； 当时，，不等式不成立； 当时，不等号方向改变，即，不等式不成立． 因此，当时，命题为假命题， 故的值可能为（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 7．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列说法：①是不等式的一个解；②是不等式的一个解；③不等式的解集是．其中正确的有 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】此题主要考查了不等式的解集和解，解题的关键是掌握二者的区别与联系． 根据不等式的解的定义：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解；不等式的解集：能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集，进行分析． 【详解】解：①是不等式的一个解，说法正确，符合题意； ②是不等式的一个解，说法正确，符合题意； ③不等式的解集是，说法正确，符合题意； 故答案为：①②③． 8．（2025八年级上·全国·专题练习）小聪在研究实数a，b，c的关系时得到如下5个命题： ①若，则；②若，则；③若，则；④若则；⑤若，则 上述命题中，属于真命题的有 （填写命题的序号）． 【答案】②③⑤ 【分析】本题考查不等式的性质，命题．逐一分析每个命题的真假性：命题①可通过反例判断为假；命题②利用不等式性质推导为真；命题③根据平方非负性和不等式性质判断为真；命题④通过反例证明为假；命题⑤通过不等式性质验证为真． 【详解】解：命题①，取反例，，满足，但，故命题①为假命题，不符合题意； 命题②，由，两边同乘，再两边加1得，故命题②为真命题，符合题意； 命题③，由得，由于， 当时，两边同除得， 当时前提不成立， 故命题③为真命题，符合题意； 命题④，取反例，满足，但，不满足，故命题④为假命题，不符合题意； 命题⑤，由，可得，展开得，即，故命题⑤为真命题，符合题意； 故答案为：②③⑤． 9．（25-26七年级下·全国·课后作业）用不等式表示： (1)x的4倍与3的差是正数：________________． (2)a与b的积小于7：________________． (3)a，b两数的平方和大于10：_____________________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查列不等式，关键是根据题意正确找出不等关系． （1）根据倍、差关系，以及正数的定义列出不等式即可得； （2）根据积的定义列出不等式即可得； （3）根据平方和的定义列出不等式即可得． 【详解】（1）解：的4倍与3的差是正数，即差大于0，因此不等式为． 故答案为：． （2）解：与的积小于7，即乘积小于7，因此不等式为． 故答案为：． （3）解：与的平方和大于10，即平方和大于10，因此不等式为． 故答案为：． 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）填空（填“”“”“”或“”）： （1）若，则 ． （2）若，则 ． （3）若，则 ． （4）若，且为实数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质：不等式两边加上（或减去）同一个数，不等号方向不变；不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变；不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变． （1）根据不等式性质，两边同乘负数不等号方向改变； （2）先同乘负数改变方向，再加常数，方向不变； （3）先同乘正数方向不变，再加常数，方向不变； （4）由于，分情况讨论不等号方向或相等． 【详解】解：（1）由，两边同乘（负数），不等号方向改变，得； （2）由，两边同乘（负数），不等号方向改变，得，再两边加，不等号方向不变，得； （3）由，两边同乘（正数），不等号方向不变，得；再两边加，不等号方向不变，得； （4）由，为实数，． 当时，，两边同乘，不等号方向不变，得； 当时，，得，，即． 综上，． 故答案为：，，，． 三、解答题 11．（24-25八年级下·陕西咸阳·月考）根据下列数量关系写出不等式． (1)x与5的和的不大于； (2)m除以4的商加上3至多为5； (3)a与b两数和的平方不小于3． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查列不等式．抓住题目中的“至多”、“不大于”、“非正数”等关键词是解题关键． （1）根据“不大于” 即可列出不等式； （2）根据“至多为5” 即可列出不等式； （3）根据“不小于3” 即可列出不等式． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：由题意得： （3）解：由题意得：． 12．（24-25八年级下·广东河源·月考）根据不等式的性质，把下列不等式化成“”或“”或“”或“”的形式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． （1）根据不等式的性质两边都加上即可求解； （2）把不等式化为：，再进一步利用不等式的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）将下列不等式化成“”或“”的形式，并说明是如何变形得到的． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 (3)，见解析 (4)，见解析 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． （1）利用不等式的性质进行求解即可； （2）利用不等式的性质进行求解即可； （1）利用不等式的性质进行求解即可； （2）利用不等式的性质进行求解即可． 【详解】（1）解： ， 则不等式的两边同时加上，不等号方向不变，得到， （2）解： ， 则不等式的两边同时加上2，不等号方向不变，得到，不等式的两边同时乘，不等号方向改变，得到； （3）解： ， 不等式的两边同时乘，不等号方向改变，得到； （4）解： ， 则不等式的两边同时减去，不等号方向不变，得到，不等式的两边同时乘2，不等号方向不变，得到． 14．（24-25七年级下·全国·课后作业）阅读下列解题过程，再解题． 已知，试比较与的大小． 解：∵，第一步 ∴，第二步 故．第三步 (1)上述解题过程中，从第 步开始出现错误． (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)二 (2)见解析 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． （1）根据不等式的性质求解即可； （2）根据不等式的性质即可解答． 【详解】（1）解：上述解题过程中，从第二步开始出现错误，错误地运用了不等式的基本性质，即不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变． 故答案为：二． （2）解：正确的解题过程如下： ∵， ∴， ∴． 15．（2025·河北邢台·一模）如图，妈妈和小娜做一个数学游戏，妈妈任意给出一个实数，小娜从圆桶里随机摸出小球，并按摸出小球的先后顺序，把实数利用小球上标识的运算逐一进行计算． (1)若，小娜从圆桶里随机摸出小球的顺序是、、，请列出算式并计算结果； (2)若，小娜从圆桶里随机摸出小球的顺序是，运算结果总是非正数，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】此题考查了实数的运算，不等式的性质等知识，读懂题意，正确列式是解题的关键． （1）根据题意列式计算即可； （2）利用不等式的性质进行解答即可． 【详解】（1）解： （2）理由如下：由题意得， 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题2.1不等式及其性质 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点1：不等式的概念 知识点2：不等式的基本性质 知识清单 知识点3：不等式的解与解集 不等式及其性质 题型01不等式的定义 题型02列不等式 题型03不等式的基本性质 题型精讲 题型04不等式的解与解集 题型05利用不等式的基本性质解不等式 强化训练 教学目标、教学重难点 学习目标： 1.理解不等式及其解集的概念，能够用数轴表示不等式的解集。 教学目标 2.探索并掌握不等式的三个基本性质，理解其与等式性质的异同。 3.能够运用不等式性质对简单不等式进行变形，初步体会不等式作为刻画现实数量关 系的工具。 重点： 1.不等式基本性质（特别是性质3：不等式两边乘/除同一个负数，不等号方向改变） 的理解与掌握。 2.运用不等式性质进行简单变形，并能在数轴上准确表示解集。 教学重难点 教学难点： 1.不等式性质3（不等号方向随乘除负数而改变）的理解与正确应用，避免发生符号 错误。 2.从具体问题中抽象出不等式模型，并用数轴表示解集。 1/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 知识清单 ☑知识点1：不等式的概念 般地，用“<”、“>”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式.用“≠”表示不等关 系的式子也是不等式。 特别说明： ()不等号“<”或“>”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大 (2)五种不等号的读法及其意义： 符号 读法 意义 它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪 “≠” 读作“不等于” 个大，哪个小 “<” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小 “>” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大 “≤” 读作“小于或等于即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量 “≥” 读作“大于或等于即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量 (3) 有些不等式中不含未知数，如3<4，-1>-2；有些不等式中含有未知数，如2x >5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号 所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立 【即学即练】1.(24-25八年级下·广东清远期末)在下列数学式子：①-2<0，②2x-5>0,③b=2,④ x2-x,⑤3x+2y≥0中，是不等式的有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 ☑知识点2：不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变. 用式子表示：如果a>b,那么a士c>b士c 不等式的基本性质2：不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变. 用式子表示：如果a>b,c>0,那么ac>bc(或>b)」 CC 不等式的基本性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. 用式子表示：如果a>b,c<0,那么ac<bc(或<b. 特别说明：不等式的基本性质的掌握注意以下几点： (1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系， 又有区别，注意总结、比较、体会. 2/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘（或除以）同一个数时， 必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变， 【即学即练】2.(2025八年级上·全国.专题练习)下列说法不一定成立的是() A.若ac2>bc2,则a>b B.若a>b,则ac2>bc2 C.若a+c>b+,则a>b D.若a>b,则a+c>b+c 3.(25-26七年级下全国课后作业)把下列不等式化为“x>a”或“x<a”的形式： (1)x-5<9; (2)6x<4x-2; 5 3)写r>x+4: (4)-4x<x+5; ⑨51>： ⊙-+12x-1 2 3 ☑知识点3：不等式的解与解集 1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解 2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集. 注意： 不等式的解 是具体的未知数的值，不是一个范围 是一个集合，是一个范围.其含义： 不等式的解集 ①解集中的每一个数值都能使不等式成立： ②能够使不等式成立的所有数值都在解集中 【即学即练】4.(24-25七年级下·全国课后作业)x=1不是下列哪个不等式的解() A.2x+1>4 B.2x-1>0 C.2x+325 D.-2x+1<1 题型精讲 题型01不等式的定义 【典例1】(25-26七年级下·全国周测)下列式子：①x+y=5;②2x<4;③y-6;④m-4>5;⑤n≠7 .其中是不等式的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式1】(24-25七年级下·全国·单元测试)下列式子中，属于不等式的是（) A.3+2=5 B.x-1 C.2x-3>0 D.a2+1 【变式2】(24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·月考)以下式子：①3x=5;②a>2;③3m≤4；④5x+6y;⑤ a+2≠a-2;⑥-1<2，其中不等式有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【变式3】(24-25八年级下·广东河源·月考)老师在黑板上写了下列式子：①3<5；②4x+5>0;③x2+x ;④2x=1;⑤x≤4，其中是不等式的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型02列不等式 【典例2】(24-25八年级上浙江杭州·月考)x减去y不大于-5，用不等式表示为 【变式1】(25-26八年级上浙江金华期中)a大于b的2倍”用不等式表示为： 【变式2】(25-26八年级上浙江宁波·期中)“a与1的差小于b的2025倍”用不等式表示为」 【变式3】(25-26七年级下·全国课后作业)用不等式表示： (1)x的4倍与3的差是正数： (2)a与b的积小于7： (3)a,b两数的平方和大于10： 题型03不等式的基本性质 【典例3】(25-26八年级上·浙江嘉兴期末)已知实数a,b满足a<b,则下列不等式成立的是() A.a-1>b-1 B.a-b>0 C.-2a<-2b 【变式1】(25-26八年级上浙江金华期末)若x>y,则下列式子错误的是() A3>3-yB.言号 C.-2x<-2y D.x-3>y-3 【变式2】(25-26八年级上陕西西安期末)如果x>y,那么下列正确的是() A.x+5<y+5 B.1 2x2 C.5x+1>5y+1 D.-5x>-5y 【变式3】(25-26七年级下·全国·课后作业)下列不等式变形正确的是() A.由a>b,得b>a B.由a<b,b<5,得a>5 得a b C.由a+b>a+c,得a+c>a+b D.由 b、 题型04不等式的解与解集 4/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【典例4】(24-25七年级下，全国课后作业)下列关系式中，不含有x=-1这个解的是() A.2x+1=-1 B.2x+1>-1 C.-2x+2>3 D.-2x-1<3 【变式1】(24-25八年级下·江西抚州·月考)若x=2是某不等式的一个解，则该不等式可以是() A.x<3 B.x>3 C.x>2 D.x<1 【变式2】(24-25八年级下·江西鹰潭月考)下列不等式的解集中，不包括-2025的是() A.x<-2026 B.x≥-2025 C.x≤-2025 D.x2-2026 【变式3】(24-25七年级下，全国课后作业)下列说法中，正确的是(). A.方程4+x=8和不等式4+x>8的解是一样的 B.x=2不是不等式4x>5的解 C.x=4是不等式4x>15的一个解 D.x=1是不等式x-2<6的解集 题型05利用不等式的基本性质解不等式 【典例5】(25-26七年级下·全国周测)将下列不等式化成“x>ax≥a”或“x<a”的形式. (1)7x<5x+2. 14 2 35x+2<3x-3. 【变式1】(25-26七年级下，全国课后作业)把下列不等式化为“x>a”或“x<a”的形式： (1)x+3<-2; (2)9x>8x+1: 32x>-4: (4)-10x<-5. 【变式2】(25-26七年级下.全国·课后作业)根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“x>a”或“x<a” 的形式： (1)x-1>2 (2)2x<x+2; 3)r<4: (4)-5x>20. 【变式3】(25-26七年级下·全国·课后作业)把下列不等式化为“x>a”或“x<a”的形式： (1)x-5<9; 5/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)6x<4x-2: 33x>x+4: (4-4x<x+5: +1>x: (⑥-+132x-1 23 强化训练 一、单选题 1.(24-25七年级下.黑龙江哈尔滨月考)以下式子：①3x=5;②a>2;③3m≤4；④5x+6y;⑤ a+2≠a-2;⑥-1<2，其中不等式有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2.(24-25七年级下·云南临沧期末)已知x=2.5是某不等式的一个解，这个不等式可以是() A.x>3 B.x<1 C.x<2 D.x>2 3.(2025八年级上全国.专题练习)下列判断不正确的是() A.若a>b,则-4a<-4b B.若2a>3a,则a<0 C.若a>b,则ac2<bc2 D.若ac2>bc2,则a>b 4.(25-26七年级上陕西榆林期中)一组“数值转换机”按如图所示的程序计算，如果开始输入的值是3 4 则最终输出的结果是() 是 输入x值 4x+2 <-20？ 输出结果 A.-86 B.-54 C.-22 D.-21 5.(25-26七年级上·吉林期中)某双向六车道高速公路，分车道与分车型组合限速，其标牌版面如图所示.每 个标牌上左侧数字代表该车道车型的最高通行车速（单位：km/h),右侧数字代表该车道车型的最低通行 车速（单位：km/h).王师傅驾骏一辆货车在该高速公路上依规行驶，车速为vkm/h,则车速v的范围是 () 6/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 小客车道 客货车道 客货车道 120 90 100 80 00 60 A.90≤y≤100 B.80≤v≤100 C.60≤v≤100 D.60≤v≤80 二、填空题 6.(25-26七年级下.全国.单元测试)若5>4，则5c>4c”是假命题，则c的值可能是.（写出一个 即可) 7.(25-26七年级下，全国·课后作业)下列说法：①x=5是不等式2x>9的一个解；②x=6是不等式2x>9的 一个解；③不等式2x>9的解集是x>4.5,其中正确的有」 (填序号)， 8.(2025八年级上全国专题练习)小聪在研究实数a,b,c的关系时得到如下5个命题： ①若a>b,则d>b;②若a>b,则1-2a<1-2b;③若ac2+1>bc2+1,则a>b;④若a>h,>则 a b a>0,b≤-1；⑤若a>b>0,c<0,则a2+bc>ab+ac 上述命题中，属于真命题的有」 (填写命题的序号). 9.(25-26七年级下.全国·课后作业)用不等式表示： (1)x的4倍与3的差是正数： (2)a与b的积小于7： (3)a,b两数的平方和大于10： 10.(25-26八年级下，全国课后作业)填空（填“>“<“≥”或“≤”）： (1)若m>n,则-2m-2n. (2)若x<y,则3-5x3-5y. (3)若-a<-b,则-2a+9-2b+9. (4)若a>b,且c为实数，则ac2bc2. 三、解答题 11.(24-25八年级下·陕西咸阳·月考)根据下列数量关系写出不等式. (1)x与5的和的28%不大于-6： (2)m除以4的商加上3至多为5： (3)a与b两数和的平方不小于3. 12.(24-25八年级下·广东河源·月考)根据不等式的性质，把下列不等式化成“x>a”或“x<a”或“x≥a”或 “x≤a”的形式. (1)x-1<5; 7/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 @-+124 13.（24-25七年级下·全国·课后作业)将下列不等式化成“x>a”或“x<a”的形式，并说明是如何变形得到 的. 0-1 (2)-x-2<7; 6)2>-1: ④x-6 14.(24-25七年级下·全国·课后作业)阅读下列解题过程，再解题. 己知m<n,试比较-2026m+1与-2026n+1的大小. 解：：m<n,第一步 ∴.-2026m<-2026n,第二步 故-2026m+1<-2026n+1.第三步 ()上述解题过程中，从第_步开始出现错误.。 (2)请写出正确的解题过程， 15.(2025河北邢台一模)如图，妈妈和小娜做一个数学游戏，妈妈任意给出一个实数m,小娜从圆桶里 随机摸出小球，并按摸出小球的先后顺序，把实数利用小球上标识的运算逐一进行计算， 给出一个数 为实数m 加上5 减去3 乘以2 A C 、B 妈妈 小娜 (①)若m=6,小娜从圆桶里随机摸出小球的顺序是A、B、C,请列出算式并计算结果； (②)若m≥4，小娜从圆桶里随机摸出小球的顺序是B、C、A,运算结果总是非正数，请说明理由. 8/8