精品解析：2026年浙江舟山市定海区五校联考初中生毕业一模数学试题

2026年舟山市定海五校初中毕业生水平第一次数学质量监测 注意事项： 1．全卷共三大题，24小题，共8页．满分120分，考试时间120分钟． 2．全卷分卷I（选择题）和卷II（非选择题）两部分，全部在答题纸上作答．卷I的答案必须用2B铅笔填涂；卷II的答案必须用黑色钢笔或签字笔写在答题纸相应位置上． 3．考试时不能使用计算器． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分） 1. 下列算式中，运算结果为负数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是一个由5个相同的小正方体组成的立体图形，从左面看到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 3. 第六代战斗机是一种人工智能控制的吸气式高超音速战斗机，此类战机速度预计可以突破马赫，飞行一小时的距离约为米，将数据用科学记数法表示时，正确的是（ ）． A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 有五张反面完全相同，正面分别印有古典名著《西游记》和《三国演义》中人物画像的卡片，卡片正面人物如下图．现将卡片全部反面朝上混合均匀，小明和小亮同时从这五张卡片中任意各抽出1张，则抽出的两张卡片中正面人物图像恰好属于同一部名著的概率是（ ） A B. C. D. 6. 数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问题，大意是：999文钱买了甜果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问甜果，苦果各买了多少个？设买了甜果x个，苦果y个，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，若，，，则抛物线的图象大致为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，，，点E是的中点，连接，交于点O，则的长度为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，矩形，点、在轴、轴上，，将矩形绕着点C顺时针旋转得到矩形，再将矩形，绕着点顺时针旋转得到矩形，按此方式依次进行，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点D，分别与对角线，边交于点E，F，连接，．若点E为的中点，的面积为2，则k的值为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 6 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本题有6小题，每题3分，共18分） 11. 若，是方程的两个根，则________． 12. 已知与是同类项，则的值是__________． 13. 下列事件中，①掷两次骰子，点数和为；②守株待兔；③猴子捞月；④相似三角形对应高的比等于相似比；其中是必然事件的有_____ ．（填序号） 14. 如图，四边形为圆内接四边形，为直径，连接，若，则_____． 15. 等式成立的条件是_____． 16. 如图，平行四边形中，点E是的中点，连接，将沿折叠使点B落在点F处，连接和，延长交于点G，和相交于点H，若，，，则的长为_________． 三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，第24题12分，共72分） 17. 计算：． 18. 下面是小星同学解不等式过程： 解：去分母，得：．．．．．．．．．．．第一步 去括号，得：．．．．．．．．．．．第二步 移项，得：．．．．．．．．．．．．第三步 合并同类项，得：．．．．．．．．．．．第四步 系数化为1，得：．．．．．．．．．．．．第五步 ①小星同学的解答过程从第_______步开始出错； ②请写出你认为正确的解答过程． 19. 已知：如图，在矩形中，两条对角线相交于点O，． （1）求的度数； （2）求矩形的面积． 20. 某校为了解学生对“航天知识”掌握情况，随机抽取了部分学生进行测试，并将成绩（满分10分）分为A（10分），B（9分），C（8分），D（7分及以下）四个等级，绘制了如下统计图 （1）本次共调查了_________名学生，扇形统计图中C等级所在扇形圆心角是________度； （2）补全条形统计图； （3）若该校共有1500名学生，请估计成绩在A等级的学生有多少人？ 21. 如图，内接于，是的直径，过点作交于点，交于点． （1）求证：． （2）若，，求的长． 22. 某种水龙头关闭时如图1所示，将其简画成图2，三点共线，是水管，台面是开关，可整体绕点上下旋转，且，连接． （1）求的长度（结果保留整数）： （2）如图3，当开关开到最大时，旋转到的位置上，旋转角，求此时点到台面的距离（结果保留整数）．（参考数据：，，，取） 23. 《观景拱桥的设计》 项目背景 某公园有一个抛物线形状的观景拱桥，其横截面如图所示： 任务1 建立模型 （1）在图中建立的直角坐标系中，抛物线过顶点，（长度单位：）．求出抛物线的解析式． 任务2 利用模型 （2）在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形（、分别在抛物线的左右侧上）．并铺设斜面．已知“脚手架”的三边所用钢材长度为（在地面，无需使用钢材），求“脚手架”打桩点与拱桥端点的距离． 任务3 分析计算 （3）在平面内，把一个图形上的任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值称为这两个图形的距离．为了美观，在距离点处米的地面、处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图所示，光线交汇点在拱桥的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线拱桥之间的距离．（忽略台阶的高度） 24. 在边长为4的正方形中，是边的中点，点是边上的一个动点，连接并延长交射线于点． （1）如图1，连接，当时，求证：； （2）过点作的垂线交射线于点，连接，． （ⅰ）如图2，求证：； （ⅱ）如图3，当时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年舟山市定海五校初中毕业生水平第一次数学质量监测 注意事项： 1．全卷共三大题，24小题，共8页．满分120分，考试时间120分钟． 2．全卷分卷I（选择题）和卷II（非选择题）两部分，全部在答题纸上作答．卷I的答案必须用2B铅笔填涂；卷II的答案必须用黑色钢笔或签字笔写在答题纸相应位置上． 3．考试时不能使用计算器． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分） 1. 下列算式中，运算结果为负数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别计算各选项结果，判断符号，找出结果为负数的选项即可 【详解】A．，结果为正数，故本选项不符合题意； B．，结果为正数，故本选项不符合题意； C．， ，结果为负数，故本选项符合题意； D．，结果为正数，故本选项不符合题意； 2. 如图是一个由5个相同的小正方体组成的立体图形，从左面看到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：从左面观察该立体图形，可看到有2列小正方形，左列有2层，右列有1层，对应选项B的图形． 3. 第六代战斗机是一种人工智能控制的吸气式高超音速战斗机，此类战机速度预计可以突破马赫，飞行一小时的距离约为米，将数据用科学记数法表示时，正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．需根据科学记数法的形式（其中，为整数）确定和的值即可求解． 【详解】解：∵科学记数法的表示形式为，其中，为整数， ∵将22100000转换为时，，小数点向左移动了位， ∴， ∴． 故选：． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，除法，积的乘方法则进行计算即可. 【详解】解：A、不能合并，原计算错误； B、，原计算错误； C、，原计算错误； D、，原计算正确. 5. 有五张反面完全相同，正面分别印有古典名著《西游记》和《三国演义》中的人物画像的卡片，卡片正面人物如下图．现将卡片全部反面朝上混合均匀，小明和小亮同时从这五张卡片中任意各抽出1张，则抽出的两张卡片中正面人物图像恰好属于同一部名著的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先画出树状图，然后根据概率公式求出两张图片的人物恰好属于同一部名著的概率． 【详解】解：将孙悟空记为，猪八戒记为，诸葛亮记为，关羽记为，张飞记为，画树状图如下： ∵一共有20种等可能的情况， 其中、、、、、、、共有8种可能的情况的两张图片的人物恰好属于同一部名著， （两张图片的人物恰好属于同一部名著）． 6. 数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问题，大意是：999文钱买了甜果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问甜果，苦果各买了多少个？设买了甜果x个，苦果y个，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，根据999文钱买了甜果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，列出方程组即可． 详解】解：设买了甜果x个，苦果y个，由题意，得： ； 故选A． 7. 如图，若，，，则抛物线的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由可以得出抛物线的开口向下，由得出抛物线与轴的交点在轴的负半轴上，由，可以得出抛物线的对称轴，即抛物线的对称轴在轴右侧，据此即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，故C选项错误； ∵， ∴抛物线与轴的交点在轴的负半轴上，故A选项错误； ∵，， 故抛物线的对称轴为， ∴抛物线的对称轴在轴右侧，故D选项错误． 8. 如图，在矩形中，，，点E是的中点，连接，交于点O，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】勾股定理求出，证明，列出比例式，进行求解即可. 【详解】解：∵矩形，，， ∴， ∴，， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴. 9. 如图，在平面直角坐标系中，矩形，点、在轴、轴上，，将矩形绕着点C顺时针旋转得到矩形，再将矩形，绕着点顺时针旋转得到矩形，按此方式依次进行，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转依次找出所求点的对应坐标，分析得到规律即可找到其相应的坐标． 【详解】解：∵， ∴在矩形中，，， ∵第一次将矩形绕右下角顶点顺时针旋转得到矩形，且， 第二次再将矩形绕右下角顶点顺时针旋转得到矩形，且， 然后再重复以上过程，旋转4次一个循环，每一个循环结束，点A的对应点横坐标增加6个单位，在一个循环中点A纵坐标依次为2，0，1， ∴依此规律，，． 10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点D，分别与对角线，边交于点E，F，连接，．若点E为的中点，的面积为2，则k的值为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】设，根据已知条件表示出点，点坐标，易得，，由的面积为2，得的面积为4，所以，即可求出的值． 【详解】解：设， 是矩形，且点为的中点， 点纵坐标为， 代入反比例函数解析式得， ， 点横坐标为， 点横坐标为，代入反比例函数解析式， 得， ， ， 的面积为2， 的面积为4， ， ， 解得． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本题有6小题，每题3分，共18分） 11. 若，是方程的两个根，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，对所求代数式因式分解，整体代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，. ∴ ． 12. 已知与是同类项，则的值是__________． 【答案】 1 【解析】 【分析】先根据同类项的定义求出和的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：与同类项， ， ． 13. 下列事件中，①掷两次骰子，点数和为；②守株待兔；③猴子捞月；④相似三角形对应高的比等于相似比；其中是必然事件的有_____ ．（填序号） 【答案】④ 【解析】 【分析】本题主要考查了事件的性质判定，准确理解是解题的关键．先明确必然事件的定义，再逐一判断每个事件的类型，筛选出属于必然事件的序号． 【详解】解：根据事件的分类定义：必然事件是在一定条件下必然会发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件，不可能事件是一定不会发生的事件. ①掷两次骰子，点数和为，存在点数和不为的情况，属于随机事件，不符合题意； ②守株待兔，兔子撞到树桩是偶然情况，属于随机事件，不符合题意 ③猴子捞月，月亮在水中的倒影无法被捞取，属于不可能事件，不符合题意； ④由相似三角形的性质可知，相似三角形对应高的比等于相似比，该事件一定发生，属于必然事件，符合题意． 故答案为：④． 14. 如图，四边形为圆内接四边形，为直径，连接，若，则_____． 【答案】##140度 【解析】 【分析】根据圆周角定理，可求，再根据圆内接四边形的性质即可求解． 【详解】解：， ， 四边形为 圆内接四边形， ． 15. 等式成立的条件是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件． 根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵要使等式成立，等式两边均需有意义， ∴， 解得：． 故答案为：． 16. 如图，平行四边形中，点E是的中点，连接，将沿折叠使点B落在点F处，连接和，延长交于点G，和相交于点H，若，，，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由翻折得点与点关于直线对称，，则垂直平分，而点是的中点，则，，，证明，再证得，所以，则，得，由勾股定理得，求得，再证明，则，可求，最后根据求出结果． 【详解】解：将沿折叠使点落在点处， 点与点关于直线对称，， 垂直平分， ，， 点是的中点，， ， ，， ， ，， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ， ， 解得， ，， ，， ，， ， ，即， 解得， ， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、轴对称的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理、三角形的中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识，此题综合性强，难度较大． 三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，第24题12分，共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，零次幂和特殊角的余弦值，熟知相关知识点是解题的关键． 依次根据乘方的概念、二次根式的乘法运算法则、零次幂和角的余弦值计算即可． 【详解】解： ． 18. 下面是小星同学解不等式的过程： 解：去分母，得：．．．．．．．．．．．第一步 去括号，得：．．．．．．．．．．．第二步 移项，得：．．．．．．．．．．．．第三步 合并同类项，得：．．．．．．．．．．．第四步 系数化为1，得：．．．．．．．．．．．．第五步 ①小星同学的解答过程从第_______步开始出错； ②请写出你认为正确的解答过程． 【答案】①一；②解答过程见详解 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，准确地进行计算是解题的关键．①由题可知，第一步错误；②按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解一元一次不等式即可． 【详解】①解：第一步，去分母错误， 故答案为：一； ②解：去分母，得： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 系数化为1，得： 19. 已知：如图，在矩形中，两条对角线相交于点O，． （1）求的度数； （2）求矩形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形的性质． （1）根据矩形的性质得出，根据等腰三角形的性质得出； （2）根据直角三角形得出，根据勾股定理求出，根据矩形的面积公式求出矩形的面积即可． 【小问1详解】 解：根据矩形性质，，且对角线互相平分， 即， ，在中，， ； 【小问2详解】 解：∵在中，， ， 根据勾股定理得：． 矩形面积为：． 20. 某校为了解学生对“航天知识”的掌握情况，随机抽取了部分学生进行测试，并将成绩（满分10分）分为A（10分），B（9分），C（8分），D（7分及以下）四个等级，绘制了如下统计图 （1）本次共调查了_________名学生，扇形统计图中C等级所在扇形的圆心角是________度； （2）补全条形统计图； （3）若该校共有1500名学生，请估计成绩在A等级的学生有多少人？ 【答案】（1）， （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）由A等级学生人数除以A等级学生所占比例可得到被调查的总人数，用C等级学生所占比例乘以即可得到C等级所在扇形的圆心角的度数； （2）用被调查的总人数乘以B类学生所占比例，得到B等级学生人数即可补全图形； （3）根据被调查A类学生所占比例，乘以1500即可得到结论． 【小问1详解】 解：被调查的人数为（人）， 扇形统计图中C等级所在扇形的圆心角为． 【小问2详解】 被调查B等级学生数为：（人） 补全图形如下： 【小问3详解】 解：（人） 答：估计成绩在A等级的学生有300名． 21. 如图，内接于，是的直径，过点作交于点，交于点． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，直径所对的圆周角是直角，三角形中位线定理等知识，掌握这些知识点是关键； （1）由直径所对的圆周角是直角及平行线的性质得，由垂径定理即可证明； （2）由三角形中位线定理即可求解． 【小问1详解】 证明：因为是的直径， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以． 【小问2详解】 解：由（1）得， 所以点是的中点， 因为点是的中点， 所以是的中位线， 因为，所以， 因，所以， 所以． 22. 某种水龙头关闭时如图1所示，将其简画成图2，三点共线，是水管，台面是开关，可整体绕点上下旋转，且，连接． （1）求的长度（结果保留整数）： （2）如图3，当开关开到最大时，旋转到的位置上，旋转角，求此时点到台面的距离（结果保留整数）．（参考数据：，，，取） 【答案】（1）的长度约为 （2）点到台面的距离约为 【解析】 【分析】（1）在中，利用余弦的定义求解即可； （2）过点作，垂足为，交于点，在中，利用正弦的定义求的长度，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，在中，，， ， ∴． ∴的长度约为； 【小问2详解】 解：如图，过点作，垂足为，交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴点到台面的距离约为． 23. 《观景拱桥的设计》 项目背景 某公园有一个抛物线形状的观景拱桥，其横截面如图所示： 任务1 建立模型 （1）在图中建立的直角坐标系中，抛物线过顶点，（长度单位：）．求出抛物线的解析式． 任务2 利用模型 （2）在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形（、分别在抛物线的左右侧上）．并铺设斜面．已知“脚手架”的三边所用钢材长度为（在地面，无需使用钢材），求“脚手架”打桩点与拱桥端点的距离． 任务3 分析计算 （3）在平面内，把一个图形上的任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值称为这两个图形的距离．为了美观，在距离点处米的地面、处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图所示，光线交汇点在拱桥的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线拱桥之间的距离．（忽略台阶的高度） 【答案】（1）；（2）；（3）米 【解析】 【分析】此题考查二次函数和三角函数性质及其应用，要结合图形分析并解决问题是解题关键． （1）设抛物线的解析式为，运用待定系数法求解即可； （2）设点的坐标为，进而表示出，的长，由， 列方程求解可得，的长，进而根据线段之间的和差关系可求得的长； （3）作直线的平行线，使它与抛物线相切于点，分别交轴，轴于点，，过点作，垂足为，如图所示，根据平行可设直线的解析式为，联立直线与抛物线解析式，根据相切结合根的判别式列式计算，即可求得直线的解析式，进而可得点的坐标，即可求得的长，根据射灯射出的光线与地面成角，可得，解直角三角形即可求得的长． 【详解】解：（1）设抛物线的解析式为， 将点，代入得， ，解得， 抛物线的解析式为； （2）由（1）知，， 根据对称性可得， 设点的坐标为， 根据题意得，， ， ， 解得，（不合题意，舍去）， ，， ， ； （3）作直线的平行线，使它与抛物线相切于点，分别交轴，轴于点，，过点作，垂足为，如图所示， ，光线所在的直线解析式为， 设直线的解析式为， 联立， 整理得， 直线与抛物线相切， 方程只有一个根， ， 解得，                 直线的解析式为， 令，则， ， ，            射灯射出的光线与地面成角， ， ，， ，        即光线与抛物线之间的距离为米． 24. 在边长为4的正方形中，是边的中点，点是边上的一个动点，连接并延长交射线于点． （1）如图1，连接，当时，求证：； （2）过点作的垂线交射线于点，连接，． （ⅰ）如图2，求证：； （ⅱ）如图3，当时，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）（ⅰ）见解析，（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）证明得，，连接，再证明，然后利用三线合一可证结论成立； （2）（ⅰ）过点作，交的延长线于点．证明四边形是矩形得．再证明，得出，可证； （ⅱ）由可证，由（1）知，求出，然后根据求解即可． 【小问1详解】 证明：是的中点， ． 四边形为正方形， ， ， ， ，， 为的中点 如图1，连接，则，． 在中，， ， ， 小问2详解】 （ⅰ）证明：如图2，过点作，交的延长线于点． 四边形为正方形， ∴，， ， 四边形是矩形， ． ， 在中，， ． ， ， ， 即 （ⅱ）解：， ，． ，， 由（1）知， ， ， ． 在中，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $