专题10 解直角三角形的实际应用（高频考点专练）（全国通用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题10 解直角三角形的实际应用 目录 高频考情深度解读（中考命题规律透视+培优备考要求） 核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧） 聚焦题型精准解密（6大题型精讲+变式拔高训练） 题型一 仰角、俯角问题 题型二 方位角问题 题型三 坡度、坡角问题 题型四 测量高度与距离问题 题型五 解直角三角形与实际方案设计 实战演练高效提分（中考仿真模拟+限时训练提升） 解直角三角形的实际应用是中考数学必考核心题型，分值稳定在 8～12 分，多以解答题形式出现，属于中档必得分题。命题贴近生活实际，常结合测量、航海、建筑、山体护坡等背景，重点考查将实际问题转化为数学模型的能力，突出 “建模 — 转化 — 计算” 三步解题思路。 基础知识必备：熟练掌握锐角三角函数定义及特殊角三角函数值；理解仰角、俯角、方位角、坡度、坡角等基本概念；能通过作高构造直角三角形，掌握 “有斜用弦，无斜用切，宁乘勿除” 的解题原则；能结合勾股定理、方程思想进行综合计算，规范书写解题步骤。 2026中考预测： 题型：考查题型平稳固定，以解答题为主，少数地区配套基础填空小题，核心围绕仰角俯角、方位角、坡度坡角三大经典场景命题，双直角三角形共用边模型为必考形式，部分题目增设简短实际决策设问，贴合新课标考查方向。 难度：整体难度适中，全程定位中档基础题，无偏题、怪题与复杂几何综合，计算量适中，仅需常规作垂直辅助线构造直角三角形即可求解，属于中考必拿分的保底题型，区分度侧重解题步骤规范度。 命题趋势：2026年命题贴合新课标理念，背景素材更贴近生活测量、工程建设、航海搜救等实际场景，分值8-12分保持稳定；弱化机械计算，强化数学建模与规范解题，紧扣“建模—转化—计算”核心思路，牢牢立足基础考点，不做超纲拔高。 题型一 仰角、俯角问题 【典例01】（2025·广东·模拟预测）如图，某广场主楼楼顶立有广告牌，小辉准备利用所学的三角函数知识估测该主楼的高度．由于场地有限，不便测量，所以小辉沿坡度的斜坡从看台前的B处步行50米到达C处，测得广告牌底部D的仰角为，广告牌顶部E的仰角为（小辉的身高忽略不计），已知广告牌米，则该主楼的高度约为（　　）（结果精确到整数，参考数据：） A． B． C． D． 【变式01】（2026·陕西咸阳·一模）某校九年级数学兴趣小组开展“测量学校操场旗杆”的实践活动，其中一个设计方案如图所示，旗杆垂直于水平地面，在地面上选取两处（点在同一条直线上），测得地面上两点的距离为，分别在点和点处测得旗杆顶端的仰角为和，请根据他们的测量数据，求旗杆的高．（参考数据：，，，，，） 【变式02】（2026·安徽安庆·模拟预测）如图，为测量某山体高度，测量队在山脚点处测得山顶的仰角为，沿坡面倾角为的坡面向上行进到达点，此时测得山顶的仰角为． (1)求点的垂直高度(精确到)； (2)求山体的垂直高度(精确到)． (参考数据：，，，，) 【变式03】数学活动小组欲测量山坡上一座信号塔的高度，如图，于点E．在A处测得信号塔顶端D的仰角为，沿水平地面前进47米到达B处，已知山坡坡角，米．（图中各点均在同一平面内，参考数据：，，，） (1)求的高度； (2)求信号塔的高度 【变式04】（2025·河南·模拟预测）商字是被誉为“三商之源·华商之都”商丘市的城市地标（如图①）．某数学活动小组借助测角仪和皮尺开展了测量商字高度的实践活动，具体过程如下： 方案设计：如图②，商字高度为，点C，E分别在商字两侧（A，C，E在同一水平线上）．均为同一测角仪的高度． 实地测量：在F处测得商字顶部B的仰角为，在D处测得商字顶部B的仰角为，． (1)请根据上述方案及测量数据计算出商字的高度（结果保留一位小数，参考数据：，）； (2)为使测量结果更加准确，你认为他们在测量过程中应注意哪些事项．（写出一条即可） 【变式05】（2025·四川成都·模拟预测）图1是某住宅单元楼的人脸识别系统(整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别)，其示意图如图2所示，摄像头的仰角、俯角均为，摄像头的高度，识别的最远水平距离．( 参考数据：，， ，，，) (1)若直立站在离摄像头水平距离的点C处，请求出该人脸识别系统能识别的最大身高； (2)小兰身高，头部高度为，无法被该人脸识别系统识别，所以物业将摄像头的仰角、俯角都调整为 (如图3)，此时小兰能被识别吗？请计算说明． 题型二 方位角问题 【典例01】（2025·广东·二模）某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，和表示两条互相垂直的公路．甲侦测员在处测得点位于北偏东，乙勘测员在处测得点位于南偏西，测得，，请求出点到的距离（    ）（参考数据，，） A．160 B．330 C．480 D．520 【变式02】（2026·安徽·模拟预测）如图，某货轮向正北方向航行，在处时测得灯塔在货轮的北偏西方向，灯塔在货轮的北偏东方向．当货轮到达处时，测得灯塔在货轮的正西方向，灯塔在货轮的正东方向，且灯塔，相距海里． (1)处与灯塔的距离是多少海里？ (2)当货轮到达处时，测得货轮与灯塔的距离是600海里，此时灯塔在货轮的什么方向上？（参考数据：，，） 【变式03】（2026·陕西西安·一模）2026年1月1日，长安灯会在西安城墙上“惊喜”亮灯，吸引了市民和游客纷至沓来，同时在遗址公园设置了如图所示A、B、C、D四个打卡点，四个打卡点位于同一平面内，B在A的正东方向，C在B的正北方向，D在A的北偏东方向且在C的北偏西方向，小明以的速度从C打卡点沿方向步行至D打卡点用了，，求A打卡点与B打卡点之间的距离．（结果保留整数．参考数据：，，，） 【变式04】（2025·安徽滁州·二模）如图，在一次户外探险活动中，探险队在基地A处的正东方向设置了两个相距的补给点B，C．一支探险小队从基地A处出发，沿北偏东方向行进至D处，此时在补给点B，C处分别测得，．求探险小队行进的距离．（结果取整数，参考数据：，，，，，） 【变式05】（25-26九年级上·重庆·阶段练习）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年，年9月3日在北京天安门广场举行了盛大的阅兵仪式．如图，、、、是长安街沿线的四个观看点且位于同一平面内，已知位于的正东方向且位于的西北方向上，位于的北偏东方向上且位于的北偏东方向上，位于的南偏东方向上．经测量，两点相距米．（参考数据：，，）． (1)求的长度（结果保留整数）； (2)小明和小亮同时从出发去往处，小明沿方向步行且速度为，小亮沿方向步行且速度为，请问小明和小亮谁先到达处，并说明理由． 题型三 坡度、坡角问题 【典例01】（2026·湖北·模拟预测）如图，斜坡的坡度，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树，当太阳光与水平面的夹角为时，大树在斜坡上的影子的长为，求大树的高． 【变式01】（2026·上海闵行·一模）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，它把物体从地面送到离地面4米高的地方，那么物体所经过的路程是___________米（结果保留根号）． 【变式02】（2026·四川巴中·模拟预测）如图，是斜坡上的一个仿真树信号塔，斜坡的长为20米，坡角为，在坡底C处测得塔尖A的仰角为，在水平地面的点D处测得塔尖A的仰角为（图中的点A，B，C，D，E，F均在同一平面内，，）． (1)求仿真树信号塔的高度； (2)求C，D两点之间的距离．（结果精确到米）（参考数据：1.73，，，） 【变式03】（2025·安徽淮南·二模）某铁路路基的横断面是四边形，其中，路基顶宽，路基底宽，斜坡的坡度，斜坡的坡度，因路基一侧靠近河流，现需要对斜坡进行加固，使得改造后的坡角（）减小，求改造后的路基底宽长．（参考数据：，，） 【变式04】（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，大楼的顶部竖有一块广告牌，同学们在山坡的坡脚处测得广告牌底部的仰角为，沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为，已知山坡的坡度，米，米，求广告牌的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到米）参考数据：，，， 【变式05】（2025·山东·模拟预测）如图是某地下停车库入口的设计示意图，延长与交于E点，已知坡道的坡比，的长为7.2米，的长为0.4米． (1)请求出的长； (2)按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所给数据，确定该车库入口的限高数值（即点D到的距离）． 题型四 测量高度与距离问题 【典例01】具有河南十大地标之称的“中国文字博物馆”位于安阳市，是我国第一座以文字为主题的博物馆，整个建筑风格既有现代时尚气息，又充满殷商宫廷风韵，其大门取甲骨文、金文中“字”字之形．某数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”之后，开展了一次测量中国文字博物馆大门高度的课外实践活动，甲、乙两个小组分别设计了如下方案： 课题：测量大门高度 甲组的测量报告 乙组的测量报告 测量示意图 测量方案与测量数据 在点处用距离地面的测角仪测出大门顶端的仰角 在点处放一面镜子，在点处通过镜子反射刚好看到大门的顶端，，， 参考数据 ， ，      ，，， 计算大门高度 (1)数学老师看了他们的测量报告后说：“其中一个小组的测量报告存在问题，不能得到测量结果．”你认为___________的测量报告存在问题，并提出修改建议； (2)请根据正确的测量报告计算出中国文字博物馆大门的高度（结果精确到）． 【变式01】（2026·安徽阜阳·一模）综合与实践 【活动主题】班级劳动实践小组到工厂开展综合实践活动，利用边角料制作机械配件． 【问题背景】如图，在一块三角形铝板中裁剪出一个矩形配件． 【工具准备】直尺、测角仪、切割机、计算器等． 【测量过程】在边上选取一点，量得，，矩形的一个顶点在边上，另两个顶点，均在边上，测得，． 【数据信息】用计算器计算得如下参考数据：，，，，，． 【问题解决】求矩形配件的长和宽．（结果精确到） 【变式02】（2026·贵州·一模）【课本再现】 （1）如图1，在锐角中，为证明成立，小明给出了的证明过程如下： 如图，过点作于点， 在中，，， 在中，，， ，． 请继续完成的证明过程． 【迁移应用】 （2）如图2，位于贵阳市东山山体公园的东山寺塔，有着“贵阳第一观景台”的美称．如图3，某测量队想测量东山寺塔的高度，他们在塔底的正东方的点处测得塔顶的仰角为，然后从点处出发，沿着南偏西的方向行进了到达点（三点位于同一水平面内），且点在点南偏东方向上．根据以上信息，求东山寺塔的高度．（结果精确到；参考数据：，，） 【变式03】（2026·山西长治·一模）长治潞州六府塔，始建于隋代，塔身为八角形状，青砖砌筑，为密檐式结构塔，每个角内有方石砌筑其间，底层每个角由三垛砖雕斗拱支撑塔檐，转角部位有雕工华拱六挑，犹如木制雕刻结构形式．2010年在原址东侧35米处按原制复建新塔，与旧塔形成东西轴线．某数学兴趣小组利用所学知识开展以“测量潞州六府塔新塔的高度”为主题的活动，并写出如下报告： 课题 测量潞州六府塔新塔的高度 测量工具 无人机，测角仪，秒表等 测量示意图 测量过程 如图1，测量小组使无人机在点C处竖直上升飞行至点D处，在点D处测得塔顶B的仰角为，塔底的俯角为，然后以的速度竖直上升飞行至点E处，测得塔顶B的俯角为． 说明 点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且点A，C在同一水平线上，． 参考数据 ，，，，，． 请根据上述报告数据，求潞州六府塔新塔的高度．（结果精确到1米） 【变式04】（2026·山西运城·一模）项目学习 项目背景：近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经服务于社会生活的各个方面．综合实践小组的同学们围绕“智能机器人的高度测量”开展了项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 智能机器人的高度测量与计算 驱动问题 如何测量智能机器人的高度 活动内容 利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算 活动过程 方案说明 图1是一款智能机器人，图2是其侧面示意图，底座是矩形，是上部显示屏，是侧面支架    数据测量 ，，，， 计算 …… 交流展示 …… 请根据上述数据，计算该机器人的最高点距地面的高度．（结果精确到．参考数据：，，） 【变式05】（25-26九年级上·江苏泰州·期末）图1是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图2，支架连接靠背和小桌板，点是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得，． (1)在图2中，_________ (2)靠背绕点旋转至与小桌板支架重合的位置，如图3所示，杯托处凹陷深度为．若乘客水杯竖直放在杯托处（与重合，水杯宽度不计），出于安全考虑，水杯顶端点到靠背的距离不得小于． ①___________°． ②求乘客水杯的最大高度． （参考数据：） 题型五解直角三角形与实际方案设计 【典例01】69．（25-26九年级上·河南信阳·期末）2025年春晚名为《秋BOT》的舞蹈，机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者保持一定的间距．图②是其侧面示意图，胳膊与机器人身体的夹角，胳膊，旋转的手绢近似圆形，半径，与手臂保持垂直．． (1)求肘关节点B与手绢旋转点O之间的水平宽度（的长度）； (2)机器人跳舞时规定手绢端点C与舞者安全距离范围为．在图②中，手绢端点C在与舞者之间，机器人与舞者之间距离为，问此时手绢端点C与舞者距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留整数）（参考数据：） 【变式01】（2025·河南焦作·二模）如图，小红想测量在斜坡上的古塔的高，为了测出斜坡的坡角，小红拿一根竹竿，点D在斜坡上，米，点E在平地上，米，小红用量角器测得． (1)斜坡的坡角为___________； (2)同一时刻，小红测得身高1.6米的自己在平地上的影长也是1.6米，古塔的影子一部分在长12米的斜坡上，一部分在平地上，影子的顶端与点E重合．图中所有点均在同一平面内，根据小红的测量，请你算出古塔的高．（精确到0.1米，参考数据：） 【变式02】（2025·青海西宁·一模）今年年初西南五省的持续干旱，让许多网友感同身受、焦灼不安，更有不少网友自发组成水源行动小组到旱区找水．功夫不负有心人，终于有人在山洞处发现了暗河（如图）．经勘察，在山洞的西面有一条南北走向的公路连接着，两村庄，山洞位于村庄南偏东方向，且位于村庄南偏东方向．为方便，两村庄的村民取水，社会爱心人士准备尽快从山洞处向公路紧急修建一条最近的简易公路现已知，两村庄相距千米． (1)求这条最近的简易公路的长（保留3个有效数字）； (2)每修建千米的简易公路需费用16000元，请求出修建该简易公路的最低费用． 本题参考数据：， 【变式03】（2025·上海·一模）左图是一种自卸货车，右图是该货车的示意图，货箱侧面是一个矩形，长米，宽米，初始时点、、在同一水平线上，车厢底部离地面的高度为1.3米． 卸货时货箱在千斤顶的作用下绕着点旋转，箱体底部形成不同角度的斜坡． (1)当斜坡的坡角为时，求车厢最高点离地面的距离； (2)点处的转轴与后车轮转轴（点处）的水平距离叫做安全轴距，已知该车的安全轴距为．货箱对角线、的交点是货箱侧面的重心，卸货时如果、两点的水平距离小于安全轴距时，会发生车辆倾覆安全事故．当斜坡的坡角为时，根据上述车辆设计技术参数，该货车会发生车辆倾覆安全事故吗？试说明你的理由．（精确到0.1米，参考值：，，，） 【变式04】（2025·重庆·模拟预测）如图是某湿地公园健身步道示意图．小明准备从点A出发到公园广场点F处玩耍，已知从点A到点F有两条路线可以选择：①A→B→C→F；②A→D→E→F．经勘测，F在A的正东方向，且在C的正南方向450米处，在E的正北方向360米处，A在B的南偏西方向，D在A的东南方向，C、E分别在B、D的正东方向且米．（参考数据：，） (1)求路线①的长度．（结果精确到个位） (2)由于路线②道路较窄，平均步行速度为，路线①平均步行速度，请通过计算说明小明应该选择哪条路线才能尽快到达广场． 【变式05】（2026·上海金山·一模） 坡道改良：某教学楼门口的坡道上下坡困难，乘坐轮椅的学生无法独立通过，由同伴推行也比较吃力．为确保轮椅能够安全、自如的通行，坡道设计需满足以下关键要求：最大坡度为，这是国际通用标准．每段坡道垂直升高不宜超过，超过时需设置休息平台．为此，几个学习小组经过测量，收集了坡道的相关数据，如图1、图2、图3． 同学发现坡道左侧有连廊，为了安全又不影响连廊通行，可将坡道设计为折返形，如图4．折返形坡道（坡道一休息平台一坡道）设计需满足以下关键要求：折返形坡道单段坡道最大坡度为，水平长度最大，休息平台宽度最小，轮椅入口宽度最小． 甲 组 ，，． 乙 组 丙 组 休息平台宽为，轮椅入口宽为，点到连廊的距离为． (1)根据三组同学收集的数据，求原坡道的坡度和坡高（或），并判断是否安全； (2)为了安全又不影响连廊通行，请您设计一种折返形坡道的方案，写出折返形坡道单段坡道（坡道、坡道）的坡度和坡高以及设计过程． （限时训练：30分钟） 1．（2025·广东深圳·二模）航天员也能“点外卖”：北京时间2024年11月15日23时13分，搭载天舟八号货运飞船的长征七号遥九运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟八号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道，之后飞船太阳能帆板顺利展开，发射取得圆满成功，当天火箭从地面到达点A处时，在P处测得A点的仰角为，A与P两点的距离为10千米；它沿铅垂线上升到达B处时，此时在P处测得B点的仰角为，则天舟二号从A处到B处的距离的长为（    ）（参考数据：） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 12．（2025·河南南阳·二模）如图，某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把坡角由减至，已知原楼梯长为5米，调整后的楼梯会加长（   ）（参考数据：，，）． A．0.5米 B．1米 C．1.5米 D．2米 3．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）为了提升全民防灾意识，某消防队进行了消防演练．如图，消防车的云梯可以绕点转动，且可伸缩，离地面的距离米，当云梯顶部在大楼所在直线上时，离大楼的距离米，，此时顶端离地面的距离__________米．（结果保留根号） 4．（2025·上海嘉定·一模）如图，在港口的南偏东方向有一座小岛，一艘船从港口出发沿正东方向行驶24海里后到达处，在处测得小岛恰在其西南方向，那么小岛与港口相距___________海里．（结果保留根号） 5．无人机表演时，一架无人机由处飞至处，飞行路径恰好位于地面上两个观测点，的上方，且．由处观测处和处的仰角分别为和，由处观测到处的仰角为．已知两个观测点，之间的距离为米，求，两点之间的距离．（参考数据：，） 6．（2026·陕西·模拟预测）小晨所在数学兴趣小组开展实践活动，记录如下： 项目 测量建筑物的高度 工具 卷尺，测角仪等 测量示意图 测量数据 ， 说明 水平地面上方有一水平的平台，，所有点均在同一竖直平面内 问题 求出建筑物的高度．（结果保留两位小数；参考数据： ） 7．某数学兴趣小组到一体育场馆利用看台测量旗杆的高度，如图所示，旗杆剖面图与看台斜坡剖面图在同一平面内，在看台底部处测得旗杆顶端的仰角为，沿斜坡走米到达斜坡处，测得旗杆顶端的仰角为，且斜坡的坡度，其中点，，，在同一条水平直线上．求： (1)点到地面的距离； (2)旗杆的高．（精确到米）（参考数据：，，） 8．（2025·山东聊城·一模）某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量步道的长度，如图三角形花园边上修建了一个四边形人工湖泊，并沿湖泊修建了人工步道． 课题 测量步道的长度 成员 组长：×××    组员：××× 测量工具 测角仪，皮尺 测量示意图 测量数据 点C在点A的正东方向，点E在点A的正北方向，点B，D都在点C的正北方向，测得：米，米，点B在点A的北偏东方向上，点D在点E的北偏东方向上． 参考数据 ，，， (1)根据测量数据，求步道的长度； (2)为了安全，市政府准备在人工湖周围安装围栏，求安装围栏的长度？（结果保留一位小数） 9．（2026·陕西西安·二模）如图①是我市路政部门正在维修路灯的实物图片，图②是平面示意图．路灯和汽车折臂升降机的折臂底座都垂直于地面，且它们之间的水平距离，折臂底座高，上折臂与下折臂的夹角，下折臂，下折臂端点到地面的距离是．求路灯的高． 10．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）为保护青少年视力，某企业研发了可升降夹书阅读架（图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（图2），测得底座高为，，支架为，面板长为，为．（厚度忽略不计） (1)求支点C离桌面l的高度；（结果保留根号） (2)当面板绕点C转动时，面板与桌面的夹角α满足时，保护视力的效果较好．当从变化到的过程中，面板上端E离桌面l的高度增加还是减少？面板上端E离桌面l的高度增加或减少了多少？（结果精确到，参考数据：，，） 11．（2025·浙江·一模）如图①所示的是一款机械手臂，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图②所示，经测量，上臂，中臂，底座． (1)若上臂与水平面平行，，计算点A到地面的距离（结果保留根号）； (2)在一次操作中，中臂与底座成夹角，上臂与中臂夹角为，如图③，计算此时点A到地面的距离（精确到，，）． 12．（2025·江西吉安·二模）某地计划为学校添置新型“躺式”课桌椅，以解决学生的午休问80．（25-26九年级下·江西·开学考试）图1是某越野车的侧面示意图，折线段ABC表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖ABC落在处，与水平面的夹角．      (1)求打开后备箱后，车后盖最高点到地面l的距离； (2)若聪聪爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险？请说明理由（结果精确到，参考数据：，，，） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 解直角三角形的实际应用 目录 高频考情深度解读（中考命题规律透视+培优备考要求） 核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧） 聚焦题型精准解密（6大题型精讲+变式拔高训练） 题型一 仰角、俯角问题 题型二 方位角问题 题型三 坡度、坡角问题 题型四 测量高度与距离问题 题型五 解直角三角形与实际方案设计 实战演练高效提分（中考仿真模拟+限时训练提升） 解直角三角形的实际应用是中考数学必考核心题型，分值稳定在 8～12 分，多以解答题形式出现，属于中档必得分题。命题贴近生活实际，常结合测量、航海、建筑、山体护坡等背景，重点考查将实际问题转化为数学模型的能力，突出 “建模 — 转化 — 计算” 三步解题思路。 基础知识必备：熟练掌握锐角三角函数定义及特殊角三角函数值；理解仰角、俯角、方位角、坡度、坡角等基本概念；能通过作高构造直角三角形，掌握 “有斜用弦，无斜用切，宁乘勿除” 的解题原则；能结合勾股定理、方程思想进行综合计算，规范书写解题步骤。 2026中考预测： 题型：考查题型平稳固定，以解答题为主，少数地区配套基础填空小题，核心围绕仰角俯角、方位角、坡度坡角三大经典场景命题，双直角三角形共用边模型为必考形式，部分题目增设简短实际决策设问，贴合新课标考查方向。 难度：整体难度适中，全程定位中档基础题，无偏题、怪题与复杂几何综合，计算量适中，仅需常规作垂直辅助线构造直角三角形即可求解，属于中考必拿分的保底题型，区分度侧重解题步骤规范度。 命题趋势：2026年命题贴合新课标理念，背景素材更贴近生活测量、工程建设、航海搜救等实际场景，分值8-12分保持稳定；弱化机械计算，强化数学建模与规范解题，紧扣“建模—转化—计算”核心思路，牢牢立足基础考点，不做超纲拔高。 题型一 仰角、俯角问题 【典例01】（2025·广东·模拟预测）如图，某广场主楼楼顶立有广告牌，小辉准备利用所学的三角函数知识估测该主楼的高度．由于场地有限，不便测量，所以小辉沿坡度的斜坡从看台前的B处步行50米到达C处，测得广告牌底部D的仰角为，广告牌顶部E的仰角为（小辉的身高忽略不计），已知广告牌米，则该主楼的高度约为（　　）（结果精确到整数，参考数据：） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，过C作于F，于G，则四边形是矩形．解，得（米），设米，解，得出米．再解，根据，求出，即可求解． 【详解】解：过C作于F，于G，如图所示： 则四边形是矩形， ∴， ∵斜坡的坡度，米， ∴（米），（米）， 设米． 在中，， ∴米． 在中，， ∴（米）， ∵米， ∴， ∴， ∴米， ∴（米）， 故选：D． 【变式01】（2026·陕西咸阳·一模）某校九年级数学兴趣小组开展“测量学校操场旗杆”的实践活动，其中一个设计方案如图所示，旗杆垂直于水平地面，在地面上选取两处（点在同一条直线上），测得地面上两点的距离为，分别在点和点处测得旗杆顶端的仰角为和，请根据他们的测量数据，求旗杆的高．（参考数据：，，，，，） 【答案】旗杆的高为 【分析】由题意得，，然后根据锐角三角函数列出等式，得到，最后由即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∵在中，， ∴． ∵在中，， ∴， ∴， ∴，即． ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 答：旗杆的高为． 【变式02】（2026·安徽安庆·模拟预测）如图，为测量某山体高度，测量队在山脚点处测得山顶的仰角为，沿坡面倾角为的坡面向上行进到达点，此时测得山顶的仰角为． (1)求点的垂直高度(精确到)； (2)求山体的垂直高度(精确到)． (参考数据：，，，，) 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用直角三角形中正弦函数的定义，直接计算点的垂直高度； （2）通过作辅助线构造矩形和等腰直角三角形，将未知线段转化为含山体高度的表达式，再结合角的三角函数关系列方程求解． 【详解】（1）解：在中，，，， ， ． 答：点的垂直高度约为． （2）解：过点作于点， ，， ∴四边形是矩形， ，． 设山体的垂直高度，则． ，， 是等腰直角三角形， ． 在中，， ， ． 在中，，， ， 解得． 答：山体的垂直高度约为． 【变式03】数学活动小组欲测量山坡上一座信号塔的高度，如图，于点E．在A处测得信号塔顶端D的仰角为，沿水平地面前进47米到达B处，已知山坡坡角，米．（图中各点均在同一平面内，参考数据：，，，） (1)求的高度； (2)求信号塔的高度 【答案】(1)30米 (2)19.3米 【分析】（1）在中，由求出的高度； （2）先求出的长，再求出的长，在中，由求出的长，最后根据，求得信号塔的高度． 【详解】（1）解：∵于点E， ∴， ∵，（米）， ∴在中， （米）， 答：的高度约为30米； （2）解：∵，，（米）， ∴在中， （米）． ∵（米），（米）， ∴（米）， ∵，，（米）， ∴在中， （米）， ∴（米）． 答：信号塔的高度约为19.3米． 【变式04】（2025·河南·模拟预测）商字是被誉为“三商之源·华商之都”商丘市的城市地标（如图①）．某数学活动小组借助测角仪和皮尺开展了测量商字高度的实践活动，具体过程如下： 方案设计：如图②，商字高度为，点C，E分别在商字两侧（A，C，E在同一水平线上）．均为同一测角仪的高度． 实地测量：在F处测得商字顶部B的仰角为，在D处测得商字顶部B的仰角为，． (1)请根据上述方案及测量数据计算出商字的高度（结果保留一位小数，参考数据：，）； (2)为使测量结果更加准确，你认为他们在测量过程中应注意哪些事项．（写出一条即可） 【答案】(1) (2)多次测量角度求其平均值 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是关键． （1）设，则，根据题意得到方程，解方程即可得到答案； （2）根据平均值的意义进行解答即可． 【详解】（1）解：如图，连接交于点M． 由题意可知，四边形，均为矩形． 设，则． 在中，， ∴，即 在中，， ∴，即， ∵， ∴， 解得． 答：商字的高度约为m； （2）多次测量角度求其平均值；皮尺应拉直等．（答案不唯一） 【变式05】（2025·四川成都·模拟预测）图1是某住宅单元楼的人脸识别系统(整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别)，其示意图如图2所示，摄像头的仰角、俯角均为，摄像头的高度，识别的最远水平距离．( 参考数据：，， ，，，) (1)若直立站在离摄像头水平距离的点C处，请求出该人脸识别系统能识别的最大身高； (2)小兰身高，头部高度为，无法被该人脸识别系统识别，所以物业将摄像头的仰角、俯角都调整为 (如图3)，此时小兰能被识别吗？请计算说明． 【答案】(1) (2)能，理由见解析 【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用、锐角三角函数中的正切值、矩形的性质、三角形的全等知识点，熟练掌握相关概念、性质是解题的关键． （1）如图：过点C作的垂线分别交仰角、俯角线于点E、D，交水平线于点F，根据正切值求出长度，再利用三角形全等可求出，最后利用矩形的性质求出的长度，从而求出最大身高； （2）如图：过点作的垂线分别交仰角、俯角线于点M，N，交水平线于点P，则，根据正切值求出长度，再利用三角形全等可求出，再求出长度，然后与头部以下身高比较即可解答． 【详解】（1）解：如图：过点C作的垂线分别交仰角、俯角线于点E、D，交水平线于点F， 在中，． ． ， ∴， ， ， ∴该人脸识别系统能识别的最大身高． （2）解：能，理由如下： 如图：过点作的垂线分别交仰角、俯角线于点M，N，交水平线于点P，则， 在中，， ， ， ， ， ． ∵， ∴ ∴小兰能被识别． 题型二 方位角问题 【典例01】（2025·广东·二模）某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，和表示两条互相垂直的公路．甲侦测员在处测得点位于北偏东，乙勘测员在处测得点位于南偏西，测得，，请求出点到的距离（    ）（参考数据，，） A．160 B．330 C．480 D．520 【答案】C 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确标注方向角是解题的关键．作于，于，设，根据矩形的性质用表示出、，根据正切的定义用表示出，根据题意列式计算即可． 【详解】解：作于，于， 则四边形为矩形， ，， 设，则，， 在中，， ，则， 在中，， 由题意得，， 解得，， 即点到的距离约为 ， 故选：C． 【变式02】（2026·安徽·模拟预测）如图，某货轮向正北方向航行，在处时测得灯塔在货轮的北偏西方向，灯塔在货轮的北偏东方向．当货轮到达处时，测得灯塔在货轮的正西方向，灯塔在货轮的正东方向，且灯塔，相距海里． (1)处与灯塔的距离是多少海里？ (2)当货轮到达处时，测得货轮与灯塔的距离是600海里，此时灯塔在货轮的什么方向上？（参考数据：，，） 【答案】(1)处与灯塔的距离约是270海里 (2)灯塔在货轮的南偏东方向上 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用． （1）由题意得，，，则， 根据灯塔，相距海里，可得，在中，已知，利用三角函数定义即可解答； （2）由题意得为直角三角形，利用正弦函数定义，，故，结合方位角定义即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可知，，，，则， 灯塔，相距海里， ， 在中，， 解得（海里）， 故处与灯塔的距离约是270海里； （2）由（1）可得（海里）， 在中，， 所以，即灯塔在货轮的南偏东方向上． 【变式03】（2026·陕西西安·一模）2026年1月1日，长安灯会在西安城墙上“惊喜”亮灯，吸引了市民和游客纷至沓来，同时在遗址公园设置了如图所示A、B、C、D四个打卡点，四个打卡点位于同一平面内，B在A的正东方向，C在B的正北方向，D在A的北偏东方向且在C的北偏西方向，小明以的速度从C打卡点沿方向步行至D打卡点用了，，求A打卡点与B打卡点之间的距离．（结果保留整数．参考数据：，，，） 【答案】 【分析】过点A作于点A，过点C作于点C，交于点F，交于点G，过点D作于点E，然后利用解直角三角形的知识求解即可． 【详解】解：过点A作于点A，过点C作，交于点F，交于点G，过点D作于点E， 根据题意，得，，四边形是矩形，， ∴，，，， ∵小明以的速度从C打卡点沿方向步行至D打卡点用了， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式04】（2025·安徽滁州·二模）如图，在一次户外探险活动中，探险队在基地A处的正东方向设置了两个相距的补给点B，C．一支探险小队从基地A处出发，沿北偏东方向行进至D处，此时在补给点B，C处分别测得，．求探险小队行进的距离．（结果取整数，参考数据：，，，，，） 【答案】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，锐角三角函数，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点作，垂足为，通过解和得和，根据求得，再解求得即可． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， 在中，， ， 因此，探险小队行进的距离为． 【变式05】（25-26九年级上·重庆·阶段练习）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年，年9月3日在北京天安门广场举行了盛大的阅兵仪式．如图，、、、是长安街沿线的四个观看点且位于同一平面内，已知位于的正东方向且位于的西北方向上，位于的北偏东方向上且位于的北偏东方向上，位于的南偏东方向上．经测量，两点相距米．（参考数据：，，）． (1)求的长度（结果保留整数）； (2)小明和小亮同时从出发去往处，小明沿方向步行且速度为，小亮沿方向步行且速度为，请问小明和小亮谁先到达处，并说明理由． 【答案】(1) (2)小亮早到，理由见解析 【分析】本题考查利用锐角三角函数解直角三角形，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）延长交于，由题意，则在中，可求，进而在中，可求长，利用题目可解． （2）作，可求，，在和在中利用三角函数则线段可求，两人所走的距离即可求，除以各自的速度求出时间作比较即可． 【详解】（1）解：延长交于， 由题意， 在中， ∵米， ∴米， 米， 在中， ， ， 米，米， ， ， ， ， 米， 答：的长度为米； （2）解：， ∴，， ，， ， 作， 在中， 米， 米， 在中， 米， 米， 米， 小明沿方向步行且速度为，小亮沿方向步行且速度为， 米， 小明用时：， 米， 小亮用时， ， ∴小亮早到． 题型三 坡度、坡角问题 【典例01】（2026·湖北·模拟预测）如图，斜坡的坡度，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树，当太阳光与水平面的夹角为时，大树在斜坡上的影子的长为，求大树的高． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，解题的关键是正确构造直角三角形．如图，过点作水平地面的平行线，交的延长线于点，设米，米，勾股定理求出，解直角三角形求出，进而求解即可． 【详解】解：过点作水平地面的平行线，交的延长线于点，则， 在中，， 设米，米， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴ 答：大树的高度为． 【变式01】（2026·上海闵行·一模）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，它把物体从地面送到离地面4米高的地方，那么物体所经过的路程是___________米（结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题考查坡度问题，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．根据坡度为，得，可求得，进而用勾股定理求出． 【详解】解：作， ∵坡度为， ∴， 即， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式02】（2026·四川巴中·模拟预测）如图，是斜坡上的一个仿真树信号塔，斜坡的长为20米，坡角为，在坡底C处测得塔尖A的仰角为，在水平地面的点D处测得塔尖A的仰角为（图中的点A，B，C，D，E，F均在同一平面内，，）． (1)求仿真树信号塔的高度； (2)求C，D两点之间的距离．（结果精确到米）（参考数据：1.73，，，） 【答案】(1)仿真树信号塔的高度为20米 (2)C，D两点之间的距离约为米 【分析】（1）延长交于点G，根据已知易得：，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得米，米，从而在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：延长交于点G， ∵，， ∴， 在中，，米， ∴（米），（米）， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， ∴仿真树信号塔的高度为20米； （2）解：在中，，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴C，D两点之间的距离约为米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【变式03】（2025·安徽淮南·二模）某铁路路基的横断面是四边形，其中，路基顶宽，路基底宽，斜坡的坡度，斜坡的坡度，因路基一侧靠近河流，现需要对斜坡进行加固，使得改造后的坡角（）减小，求改造后的路基底宽长．（参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题．分别过点A，D作，，垂足分别为点F，G．设，则，根据的坡度， 可得，，，从而得到．在中，利用锐角三角函数解答即可． 【详解】解：分别过点A，D作，，垂足分别为点F，G． 由题意知，． 的坡度， ， 可设，则． 的坡度， ，，， ，解得， ． 在中，， ． 答：改造后的路基底宽长约为． 【变式04】（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，大楼的顶部竖有一块广告牌，同学们在山坡的坡脚处测得广告牌底部的仰角为，沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为，已知山坡的坡度，米，米，求广告牌的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到米）参考数据：，，， 【答案】广告牌的高度为米 【分析】本题考查了勾股定理，解直角三角形的应用． 作交于H，作交于F，设垂直高度，水平距离，根据勾股定理求出，求出米，，进而求出米，根据三角函数求出米，米，进而根据计算即可． 【详解】解：如图，作交于H，作交于F， 设垂直高度，水平距离， 由勾股定理得：， 解得， 米， 米， ∴米， 仰角为45度，， 米， ∵米， ∴米． 答：广告牌的高度为米． 【变式05】（2025·山东·模拟预测）如图是某地下停车库入口的设计示意图，延长与交于E点，已知坡道的坡比，的长为7.2米，的长为0.4米． (1)请求出的长； (2)按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所给数据，确定该车库入口的限高数值（即点D到的距离）． 【答案】(1)2.6米 (2)该车库入口的限高数值为2.4米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理，解题的关键是数形结合，作出辅助线． （1）根据，得出，即，求出米，得出（米）； （2）过点D作于H，证明，得出，设，，根据勾股定理求出，根据米，得出，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：由题意可知，， ∵， ∴， ∴， ∵米， ∴米．　　 ∵米， ∴（米）； （2）解：过点D作于点H，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设，， ∴， ∵米， ∴， 解得， ∴（米）， 答：该车库入口的限高数值为2.4米 题型四 测量高度与距离问题 【典例01】具有河南十大地标之称的“中国文字博物馆”位于安阳市，是我国第一座以文字为主题的博物馆，整个建筑风格既有现代时尚气息，又充满殷商宫廷风韵，其大门取甲骨文、金文中“字”字之形．某数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”之后，开展了一次测量中国文字博物馆大门高度的课外实践活动，甲、乙两个小组分别设计了如下方案： 课题：测量大门高度 甲组的测量报告 乙组的测量报告 测量示意图 测量方案与测量数据 在点处用距离地面的测角仪测出大门顶端的仰角 在点处放一面镜子，在点处通过镜子反射刚好看到大门的顶端，，， 参考数据 ， ，      ，，， 计算大门高度 (1)数学老师看了他们的测量报告后说：“其中一个小组的测量报告存在问题，不能得到测量结果．”你认为___________的测量报告存在问题，并提出修改建议； (2)请根据正确的测量报告计算出中国文字博物馆大门的高度（结果精确到）． 【答案】(1)甲，建议：应测量出的距离，才能利用求出的长，进而求出大门的高 (2)中国文字博物馆大门的高度约为 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握相关知识是关键． （1）甲的报告没有边长的数据，无法解直角三角形，建议加一个边长相关的数据即可； （2）先在直角中利用正切函数求出的长，然后求出的长，最后在直角中，利用正切函数求出的长即可． 【详解】（1）解：甲的测量报告存在问题： 建议：应测量出的距离，才能利用求出的长，进而求出大门的高； （2）解：由题意可知为反射角，且， ∴， 在直角中，， ∴（）， ∴（）， 在直角中，， ∴（）． 答：中国文字博物馆的大门高度约为． 【变式01】（2026·安徽阜阳·一模）综合与实践 【活动主题】班级劳动实践小组到工厂开展综合实践活动，利用边角料制作机械配件． 【问题背景】如图，在一块三角形铝板中裁剪出一个矩形配件． 【工具准备】直尺、测角仪、切割机、计算器等． 【测量过程】在边上选取一点，量得，，矩形的一个顶点在边上，另两个顶点，均在边上，测得，． 【数据信息】用计算器计算得如下参考数据：，，，，，． 【问题解决】求矩形配件的长和宽．（结果精确到） 【答案】矩形配件的长和宽分别约为， 【分析】作于H，解求出，解求出，，解求出，得出，即可解答． 【详解】解：如图，作于，在中，， ，， ， 在中，， ∵矩形，， ∴， ，， ， ∵， ， 在中，， ， ． ∴矩形配件的长和宽分别约为，． 【变式02】（2026·贵州·一模）【课本再现】 （1）如图1，在锐角中，为证明成立，小明给出了的证明过程如下： 如图，过点作于点， 在中，，， 在中，，， ，． 请继续完成的证明过程． 【迁移应用】 （2）如图2，位于贵阳市东山山体公园的东山寺塔，有着“贵阳第一观景台”的美称．如图3，某测量队想测量东山寺塔的高度，他们在塔底的正东方的点处测得塔顶的仰角为，然后从点处出发，沿着南偏西的方向行进了到达点（三点位于同一水平面内），且点在点南偏东方向上．根据以上信息，求东山寺塔的高度．（结果精确到；参考数据：，，） 【答案】（1）见解析；（2）东山寺塔的高度为 【分析】（1）过作于点，构造直角三角形，利用正弦函数定义得到线段关系，进而证明等式； （2）根据方向角信息算出和，用正弦定理求，再在中求． 【详解】解：（1）如图，过作于点， 在中， ， ， 在中， ， ， ， ， ． （2）如图，根据题意，，， ， 由（1）的结论得， 即， ， 在中， ， ． 答：东山寺塔的高度为． 【变式03】（2026·山西长治·一模）长治潞州六府塔，始建于隋代，塔身为八角形状，青砖砌筑，为密檐式结构塔，每个角内有方石砌筑其间，底层每个角由三垛砖雕斗拱支撑塔檐，转角部位有雕工华拱六挑，犹如木制雕刻结构形式．2010年在原址东侧35米处按原制复建新塔，与旧塔形成东西轴线．某数学兴趣小组利用所学知识开展以“测量潞州六府塔新塔的高度”为主题的活动，并写出如下报告： 课题 测量潞州六府塔新塔的高度 测量工具 无人机，测角仪，秒表等 测量示意图 测量过程 如图1，测量小组使无人机在点C处竖直上升飞行至点D处，在点D处测得塔顶B的仰角为，塔底的俯角为，然后以的速度竖直上升飞行至点E处，测得塔顶B的俯角为． 说明 点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且点A，C在同一水平线上，． 参考数据 ，，，，，． 请根据上述报告数据，求潞州六府塔新塔的高度．（结果精确到1米） 【答案】91米 【分析】延长交于点M，延长交的延长线于点N， ，米．利用锐角三角函数的定义，设米，进而在和中，利用锐角三角函数的定义，分别求得米，米，米，进而可求解． 【详解】解：延长交于点M，延长交的延长线于点N， 由题可知，，，四边形为矩形， ，（米）． 在中，， ∴设米， 在中，，米， （米）， 米， ，， 在中，，米， （米）， （米）． 答：潞州六府塔高度约为91米． 【变式04】（2026·山西运城·一模）项目学习 项目背景：近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经服务于社会生活的各个方面．综合实践小组的同学们围绕“智能机器人的高度测量”开展了项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 智能机器人的高度测量与计算 驱动问题 如何测量智能机器人的高度 活动内容 利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算 活动过程 方案说明 图1是一款智能机器人，图2是其侧面示意图，底座是矩形，是上部显示屏，是侧面支架    数据测量 ，，，， 计算 …… 交流展示 …… 请根据上述数据，计算该机器人的最高点距地面的高度．（结果精确到．参考数据：，，） 【答案】点到地面的高度约为 【分析】如图，过点分别作，，垂足分别为，过点作，垂足为．则四边形为矩形，在中，求出，再求出，即可解答． 【详解】解：如图，过点分别作，，垂足分别为，过点作，垂足为． 则四边形为矩形， ，． 在中，， ， ． ，， ， ， ， ， ∴点到地面的高度约为． 【变式05】（25-26九年级上·江苏泰州·期末）图1是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图2，支架连接靠背和小桌板，点是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得，． (1)在图2中，_________ (2)靠背绕点旋转至与小桌板支架重合的位置，如图3所示，杯托处凹陷深度为．若乘客水杯竖直放在杯托处（与重合，水杯宽度不计），出于安全考虑，水杯顶端点到靠背的距离不得小于． ①___________°． ②求乘客水杯的最大高度． （参考数据：） 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握三角函数的定义是解题关键． （1）作，由题意可知，则．结合，可以计算出； （2）①根据平行线的性质可得； ②过G点作于H点， 交于M点，过M点作于N点，则，，．在中，利用三角函数的定义可得，则可得，．在中，利用三角函数的定义可得，进而可得杯子的高度为． 【详解】（1）解：如图，作， 由题意可知， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． （2）解：①∵， ∴． 故答案为：． ②如图，过G点作于H点， 交于M点，过M点作于N点，则，，． ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴乘客水杯的最大高度约为． 题型五解直角三角形与实际方案设计 【典例01】69．（25-26九年级上·河南信阳·期末）2025年春晚名为《秋BOT》的舞蹈，机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者保持一定的间距．图②是其侧面示意图，胳膊与机器人身体的夹角，胳膊，旋转的手绢近似圆形，半径，与手臂保持垂直．． (1)求肘关节点B与手绢旋转点O之间的水平宽度（的长度）； (2)机器人跳舞时规定手绢端点C与舞者安全距离范围为．在图②中，手绢端点C在与舞者之间，机器人与舞者之间距离为，问此时手绢端点C与舞者距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留整数）（参考数据：） 【答案】(1) (2)在规定范围内，理由见解析 【分析】（1）作于E，则,由条件可知根据，计算即可； （2）作于E，则,适当解直角三角形即可． 【详解】（1）解：如图，作于E，则,由条件可知， ∴ 由题意可得：， ， ∴； 答：的长度约为． （2）解：在规定范围内，理由如下： 如图，作于E，则， 由（1）可得：， ∴， ， ∴ ∴此时手绢端点C与舞者距离为， ∵安全距离范围为， ∴此时手绢端点C与舞者距离在规定范围内． 【变式01】（2025·河南焦作·二模）如图，小红想测量在斜坡上的古塔的高，为了测出斜坡的坡角，小红拿一根竹竿，点D在斜坡上，米，点E在平地上，米，小红用量角器测得． (1)斜坡的坡角为___________； (2)同一时刻，小红测得身高1.6米的自己在平地上的影长也是1.6米，古塔的影子一部分在长12米的斜坡上，一部分在平地上，影子的顶端与点E重合．图中所有点均在同一平面内，根据小红的测量，请你算出古塔的高．（精确到0.1米，参考数据：） 【答案】(1) (2)5.4米 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质、解直角三角形、锐角三角函数以及特殊角三角函数值，熟练掌握并综合应用等腰三角形的性质、三角形外角的性质、解直角三角形、锐角三角函数以及特殊角三角函数值是解题的关键． （1）由“等边对等角”得，再由“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”计算出斜坡的坡角； （2）先在中，利用锐角三角函数解直角三角形计算出、的长，再由身高影长之比得阳光与地面夹角是，从而得出是等腰直角三角形，易得，最后计算出古塔的高． 【详解】（1）解：米，米， ， ， 是的外角， ， 斜坡的坡角为． （2）解：如图， ，，米， （米）， 在中，， ，解得米， 米， （米）， 小红测得身高1.6米的自己在平地上的影长也是1.6米， 太阳光与地面的夹角为， ， 米， （米）． 答：古塔的高约为5.4米． 【变式02】（2025·青海西宁·一模）今年年初西南五省的持续干旱，让许多网友感同身受、焦灼不安，更有不少网友自发组成水源行动小组到旱区找水．功夫不负有心人，终于有人在山洞处发现了暗河（如图）．经勘察，在山洞的西面有一条南北走向的公路连接着，两村庄，山洞位于村庄南偏东方向，且位于村庄南偏东方向．为方便，两村庄的村民取水，社会爱心人士准备尽快从山洞处向公路紧急修建一条最近的简易公路现已知，两村庄相距千米． (1)求这条最近的简易公路的长（保留3个有效数字）； (2)每修建千米的简易公路需费用16000元，请求出修建该简易公路的最低费用． 本题参考数据：， 【答案】(1)这条最近的简易公路长为5.20千米 (2)修建简易公路的最低费用为83200元 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键： （1）过作于，根据垂线段最短得到为最近的简易公路，设，解直角三角形，求出的长，根据线段的和差关系列出方程进行求解即可； （2）用路长乘以单价，进行计算即可． 【详解】（1）解：如图：过作于，为最近的简易公路． 设，依题意得： 在中，，， ， ， 同理：． ， ， 解得：； 答：这条最近的简易公路长为5.20千米； （2）元． 答：修建简易公路的最低费用为元． 【变式03】（2025·上海·一模）左图是一种自卸货车，右图是该货车的示意图，货箱侧面是一个矩形，长米，宽米，初始时点、、在同一水平线上，车厢底部离地面的高度为1.3米． 卸货时货箱在千斤顶的作用下绕着点旋转，箱体底部形成不同角度的斜坡． (1)当斜坡的坡角为时，求车厢最高点离地面的距离； (2)点处的转轴与后车轮转轴（点处）的水平距离叫做安全轴距，已知该车的安全轴距为．货箱对角线、的交点是货箱侧面的重心，卸货时如果、两点的水平距离小于安全轴距时，会发生车辆倾覆安全事故．当斜坡的坡角为时，根据上述车辆设计技术参数，该货车会发生车辆倾覆安全事故吗？试说明你的理由．（精确到0.1米，参考值：，，，） 【答案】(1)米 (2)不会，理由见解析． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，三角形的重心，旋转的性质，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）要求车厢最高点C离地面的距离，所以过点C作，垂足为H，再过点B作，垂足为P，过点B作，垂足为Q，这样构造一个矩形，两个直角三角形和，然后进行计算即可； （2）要求A、G两点的水平距离，所以过点G作，垂足为O，再过点C作，垂足为M，交于点I，过点B作，垂足为N，过点B作，垂足为K，这样构造一个矩形，四个直角三角形，分别为，，，，然后进行计算即可． 【详解】（1）解：过点C作，垂足为H，过点B作，垂足为P，过点B作，垂足为Q， 则四边形为矩形， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 答：车厢最高点C离地面的距离是米； （2）解：不会发生安全事故， 理由是：过点G作，垂足为O，过点C作，垂足为M，交于点I，过点B作，垂足为N，过点B作，垂足为K， 则四边形为矩形， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴不会发生安全事故． 【变式04】（2025·重庆·模拟预测）如图是某湿地公园健身步道示意图．小明准备从点A出发到公园广场点F处玩耍，已知从点A到点F有两条路线可以选择：①A→B→C→F；②A→D→E→F．经勘测，F在A的正东方向，且在C的正南方向450米处，在E的正北方向360米处，A在B的南偏西方向，D在A的东南方向，C、E分别在B、D的正东方向且米．（参考数据：，） (1)求路线①的长度．（结果精确到个位） (2)由于路线②道路较窄，平均步行速度为，路线①平均步行速度，请通过计算说明小明应该选择哪条路线才能尽快到达广场． 【答案】(1)1369米 (2)选择路线① 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意； （1）过点B作于点M．由题意知，四边形是矩形，，，则有，然后根据三角函数可进行求解； （2）过点D作于点N，由题意，四边形是矩形，，，则有，进而根据三角函数可进行求解． 【详解】（1）解：过点B作于点M． 由题意知，四边形是矩形，，， ∴． ∵在中， ∴（米）． ∴路线①的长度为： ． 答：路线①的长度约为1369米． （2）解：过点D作于点N， 由题意，四边形是矩形，，， ∴， 在中，∴米，米， 由（1）知，（米）， 米， ∴米． ∴米， ∴路线②需要的时间为： ， 路线①需要的时间为： ， ∵， ∴小明应选择路线①才能尽快到达广场． 答：小明应选择路线①才能尽快到达广场． 【变式05】（2026·上海金山·一模） 坡道改良：某教学楼门口的坡道上下坡困难，乘坐轮椅的学生无法独立通过，由同伴推行也比较吃力．为确保轮椅能够安全、自如的通行，坡道设计需满足以下关键要求：最大坡度为，这是国际通用标准．每段坡道垂直升高不宜超过，超过时需设置休息平台．为此，几个学习小组经过测量，收集了坡道的相关数据，如图1、图2、图3． 同学发现坡道左侧有连廊，为了安全又不影响连廊通行，可将坡道设计为折返形，如图4．折返形坡道（坡道一休息平台一坡道）设计需满足以下关键要求：折返形坡道单段坡道最大坡度为，水平长度最大，休息平台宽度最小，轮椅入口宽度最小． 甲 组 ，，． 乙 组 丙 组 休息平台宽为，轮椅入口宽为，点到连廊的距离为． (1)根据三组同学收集的数据，求原坡道的坡度和坡高（或），并判断是否安全； (2)为了安全又不影响连廊通行，请您设计一种折返形坡道的方案，写出折返形坡道单段坡道（坡道、坡道）的坡度和坡高以及设计过程． 【答案】(1)坡度，坡高，不安全 (2)坡道的坡高为，坡度为，坡道的坡高为，坡度为 【分析】本题考查了勾股定理解直角三角形，矩形的性质，坡度，掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意可知，，由勾股定理可得，即可求出坡度，再跟通用标准作比较，即可求解； （2）当休息平台位于连廊最左段，即点I和点S重合时，过点V作，可知四边形为矩形，先求出，即可求出坡道的坡高和坡度，再求出，即可求出坡道的坡高和坡度． 【详解】（1）解：由图1可知，， ， ， 故原坡道的坡度为， ， 原坡道不安全． （2）解：如图，当休息平台位于连廊最左段，即点I和点S重合时，过点作，过点V作，可知四边形为矩形， 根据题意可知，， ， ， 当坡道的坡度为时，， 由（1）可知， 四边形为矩形， ，， ， 故坡道的坡度为， ， 故坡道符合题目要求． 答：坡道的坡高为，坡度为，坡道的坡高为，坡度为． （限时训练：30分钟） 1．（2025·广东深圳·二模）航天员也能“点外卖”：北京时间2024年11月15日23时13分，搭载天舟八号货运飞船的长征七号遥九运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟八号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道，之后飞船太阳能帆板顺利展开，发射取得圆满成功，当天火箭从地面到达点A处时，在P处测得A点的仰角为，A与P两点的距离为10千米；它沿铅垂线上升到达B处时，此时在P处测得B点的仰角为，则天舟二号从A处到B处的距离的长为（    ）（参考数据：） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，含30度角的直角三角形，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据题意可得：，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得千米，千米，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， 在中，，千米， （千米），（千米）， 在中，， （千米）， （千米）， 天舟二号从A处到B处的距离的长约为千米， 故选：D． 12．（2025·河南南阳·二模）如图，某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把坡角由减至，已知原楼梯长为5米，调整后的楼梯会加长（   ）（参考数据：，，）． A．0.5米 B．1米 C．1.5米 D．2米 【答案】B 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，坡度坡角问题，掌握坡角的概念，熟记三角函数的定义是解题的关键．根据正弦三角函数的定义先求出楼梯的高度，然后因为楼梯的高度不变，再根据正弦三角函数的定义求出调整后楼梯的长度，则可调整后的楼梯的长度变化． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴调整后的楼梯长， ∴调整后的楼梯会加长：． 故选：B． 3．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）为了提升全民防灾意识，某消防队进行了消防演练．如图，消防车的云梯可以绕点转动，且可伸缩，离地面的距离米，当云梯顶部在大楼所在直线上时，离大楼的距离米，，此时顶端离地面的距离__________米．（结果保留根号） 【答案】/ 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据，，，即可求解． 【详解】解：依题意，四边形是矩形， ∴， 在中， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（2025·上海嘉定·一模）如图，在港口的南偏东方向有一座小岛，一艘船从港口出发沿正东方向行驶24海里后到达处，在处测得小岛恰在其西南方向，那么小岛与港口相距___________海里．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．过Q作于B，在和中，根据正切的定义可得出，，结合，可求出，然后根据含的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：过Q作于B， ， 根据题意，得，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即小岛与港口相距海里， 故答案为：． 5．无人机表演时，一架无人机由处飞至处，飞行路径恰好位于地面上两个观测点，的上方，且．由处观测处和处的仰角分别为和，由处观测到处的仰角为．已知两个观测点，之间的距离为米，求，两点之间的距离．（参考数据：，） 【答案】30米 【分析】作于点，于点，则，设米，米， 利用三角函数的比值关系表示出，的长，利用建立方程求解即可． 【详解】解：如图，作于点，于点，则， 由题，，，， 设米，米， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴， ∴，两点之间的距离为米． 6．（2026·陕西·模拟预测）小晨所在数学兴趣小组开展实践活动，记录如下： 项目 测量建筑物的高度 工具 卷尺，测角仪等 测量示意图 测量数据 ， 说明 水平地面上方有一水平的平台，，所有点均在同一竖直平面内 问题 求出建筑物的高度．（结果保留两位小数；参考数据： ） 【答案】建筑物的高度约是 【分析】延长交于点，设，则．再解，得；解，得．根据，得，求出x值，然后由求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点， 由题意得：，，设，则． 在中，， ∴． 在中，， ∴． ∵， ∴，解得：， ∴， 故建筑物的高度约是． 7．某数学兴趣小组到一体育场馆利用看台测量旗杆的高度，如图所示，旗杆剖面图与看台斜坡剖面图在同一平面内，在看台底部处测得旗杆顶端的仰角为，沿斜坡走米到达斜坡处，测得旗杆顶端的仰角为，且斜坡的坡度，其中点，，，在同一条水平直线上．求： (1)点到地面的距离； (2)旗杆的高．（精确到米）（参考数据：，，） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，涉及坡度、仰角、勾股定理及三角函数等知识点，熟练运用直角三角形的边角关系和勾股定理是解答本题的关键． （1）利用坡度的定义设出直角三角形的两条直角边，结合斜坡长度，通过勾股定理列方程求解，确定点到地面的距离； （2）过点作，结合仰角得到，再利用仰角的正切值，列出关于的方程，依次进行解方程、实数运算，从而求出旗杆的高度． 【详解】（1）解：斜坡的坡度， 设，则， ，， ，解得， ， 答：点到地面的距离为米； （2）解：如图，过点作，垂足为，设． 由（1）得，，， 在中，， ， ， 在中，， ， 解得． 答：旗杆的高约为米． 8．（2025·山东聊城·一模）某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量步道的长度，如图三角形花园边上修建了一个四边形人工湖泊，并沿湖泊修建了人工步道． 课题 测量步道的长度 成员 组长：×××    组员：××× 测量工具 测角仪，皮尺 测量示意图 测量数据 点C在点A的正东方向，点E在点A的正北方向，点B，D都在点C的正北方向，测得：米，米，点B在点A的北偏东方向上，点D在点E的北偏东方向上． 参考数据 ，，， (1)根据测量数据，求步道的长度； (2)为了安全，市政府准备在人工湖周围安装围栏，求安装围栏的长度？（结果保留一位小数） 【答案】(1)210米 (2)865.6米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关应用． （1）过点D作交的延长线于点F，由正弦的定义求解即可得出答案． （2）解直角三角形算出，，，进而求出，再根据围栏长度为代入计算即可． 【详解】（1）解：过点D作交的延长线于点F， 由题意可知：，， 在中， ， ， 步道的长度为210米． （2）解：在中，，， ，． 在中，， 围栏长度为： （米） 9．（2026·陕西西安·二模）如图①是我市路政部门正在维修路灯的实物图片，图②是平面示意图．路灯和汽车折臂升降机的折臂底座都垂直于地面，且它们之间的水平距离，折臂底座高，上折臂与下折臂的夹角，下折臂，下折臂端点到地面的距离是．求路灯的高． 【答案】路灯的高为． 【分析】过点P作于点H，过点C作于点，由勾股定理可得，可得，过点P作于点G，可得，得，可得，即可得路灯的高． 【详解】解：过点P作于点H，过点C作于点，如图， 则四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴ 在中，， ∴， ∴， 过点P作于点G，则四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴． ∴路灯的高为． 10．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）为保护青少年视力，某企业研发了可升降夹书阅读架（图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（图2），测得底座高为，，支架为，面板长为，为．（厚度忽略不计） (1)求支点C离桌面l的高度；（结果保留根号） (2)当面板绕点C转动时，面板与桌面的夹角α满足时，保护视力的效果较好．当从变化到的过程中，面板上端E离桌面l的高度增加还是减少？面板上端E离桌面l的高度增加或减少了多少？（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】(1)支点C离桌面l的高度为 (2)当α从变化到的过程中，面板上端E离桌面l的高度增加，增加了约 【分析】本题考查解直角三角形的应用．把所求线段和所给角放在合适的直角三角形中是解决本题的关键． （1）过点C作于点F，过点B作于点M，易得四边形为矩形，那么可得，所以，利用的三角函数值可得长，加上长即为支点C离桌面l的高度； （2）过点C作，过点E作于点H，分别得到与所成的角为和时的值，相减即可得到面板上端E离桌面l的高度增加或减少了． 【详解】（1）解：过点C作于点F，过点B作于点M， ∴． 由题意得：， ∴四边形为矩形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴， 答：支点C离桌面l的高度为； （2）解：过点C作，过点E作于点H， ∴． ∵， ∴， 当时， ； 当时， ； ∴， 答：当α从变化到的过程中，面板上端E离桌面l的高度增加，增加了约． 11．（2025·浙江·一模）如图①所示的是一款机械手臂，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图②所示，经测量，上臂，中臂，底座． (1)若上臂与水平面平行，，计算点A到地面的距离（结果保留根号）； (2)在一次操作中，中臂与底座成夹角，上臂与中臂夹角为，如图③，计算此时点A到地面的距离（精确到，，）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、含角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质等知识． （1）过点C作，垂足为M，则，证，由含角 的直角三角形的性质得，即可得出答案； （2）过点B作垂直于地面，垂足为G，分别过点A，C作的垂线，垂足分别为E，F，则四边形是矩形，利用解直角三角形及矩形的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，过点C作，垂足为M，则， ∵垂直水平地面，臂与水平面平行， ∴三点共线， ，， ， ，， ， 即点A到地面的距离为； （2）解：如图，过点B作垂直于地面，垂足为G，分别过点A，C作的垂线，垂足分别为E，F，则四边形是矩形， ∴； ，， ，，， ，，， 点A到地面的距离为． 12．（2025·江西吉安·二模）某地计划为学校添置新型“躺式”课桌椅，以解决学生的午休问80．（25-26九年级下·江西·开学考试）图1是某越野车的侧面示意图，折线段ABC表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖ABC落在处，与水平面的夹角．      (1)求打开后备箱后，车后盖最高点到地面l的距离； (2)若聪聪爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险？请说明理由（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】(1)车后盖最高点到地面l的距离为 (2)没有危险，见解析 【分析】（1）作，垂足为点E，在中，求出的长，即可得出结果； （2）过点作，垂足为点F，解中，求出的长，进而点到地面l的距离，进行判断即可． 【详解】（1）解：如图，作，垂足为点E． 在中，，， ∴， ∴， ∴． ∵平行线间的距离处处相等， ∴车后盖最高点到地面l的距离为． （2）没有危险，理由如下： 如（1）图，过点作，垂足为点F． ∵，， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴． ∵平行线间的距离处处相等， ∴点到地面l的距离为． ∵， ∴没有危险． 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