专题03 一元一次方程（组）与不等式（组）（复习讲义）（山东专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题03 一次方程（组）与不等式（组） 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 考点一 一次方程（组）（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一：解一元一次方程 题型二：一元一次方程的实际应用 题型三：解二元一次方程组 题型四：二元一次方程组的应用——古代问题 题型五：二元一次方程组的应用——现代问题 题型六：求参数 必备知识 知识1 解一元一次方程 知识2 解二元一次方程（组） 命题预测 考点二 不等式（组）（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一：求不等式组的解集 题型二：不等式组的整数解 题型三：已知不等式的解求参数 题型四：实际应用 必备知识 知识1 解一元一次不等式组 命题预测 命题 透视 命题形式： 近 5 年山东中考对一次方程（组）与不等式（组）的考查，呈现新材料、新情境、新问题的鲜明特点，以文字叙述、图表数据、表格信息为主要载体，侧重考查运算能力、数学建模能力与逻辑推理能力，深度渗透数学文化与实际应用意识。 命题内容： 1）一次方程（组）： 基础考查：一元一次方程的解法、二元一次方程组的代入消元 / 加减消元解法，以及根据方程（组）的解求参数值。应用考查：以中国传统文化、古代数学问题、生活实际场景（如购物、行程、工程、分配）为背景，列一元一次方程或二元一次方程组解决实际问题。综合考查：方程（组）与新定义运算、规律探究结合，考查知识迁移与建模能力。 2）不等式（组）： 基础考查：一元一次不等式（组）的解法、解集的数轴表示、不等式组的整数解求解，以及已知解集 / 整数解求参数范围。应用考查：结合实际场景设计方案选择、费用最值、数量限制类问题，常与方程、一次函数综合考查。核心考点：不等式组的整数解、参数讨论、实际应用中的方案设计为高频考查方向。 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 解方程（组） T9：解方程; T16：解二元一次方程组; T19：解方程组； T5：由方程的解求参数； T19：解方程组； T18：解方程组 T9：解方程+不等式的性质； T18：解方程组 方程（组）的应用 T15：一元一次方程的实际应用; T6：中国传统文化结合方程应用 T7：中国传统文化+方程组应用； T8：中国传统文化+列方程组 T7：中国传统文化+方程的应用； T13：中国传统文化+方程组的应用； T4：一次函数的实际应用； T14：中国传统文化+列方程组； T7：中国传统文化+列方程 解不等式（组） T19:解不等式组; T17：解不等式 T17：求不等式组整数解； T16：解不等式组 T18：解不等式组； T18：解不等式组 T16：解不等式组； T20：求不等式组的整数解 T14：解不等式组+象限点； T16：求不等式组的整数解 不等式（组）的实际应用 T13：不等式的实际应用； T22：不等式+分式方程+一次函数的应用 T22：方程+不等式的实际应用； T23：方程+不等式+一次函数的实际应用； T21：方程+不等式+一次函数的实际应用 T23：方程+不等式+一次函数的实际应用； T19：分式方程+不等式的实际应用 T24：分式方程+不等式的实际应用 命题预测 1. 考情预测 · 一次方程（组）：中考必考内容，题型覆盖选择、填空、解答。核心考查方程（组）解法、含参问题，高频考查古代数学与生活场景应用题，新定义结合题型为创新方向。 · 不等式（组）：中考必考考点，核心考查不等式（组）解法、解集数轴表示与整数解，含参范围问题为高频难点，应用题多与方程、函数综合，考查方案设计与最值。 2. 备考建议 夯实方程与不等式基础运算，攻克含参难点，强化应用题建模能力，专项突破方程 + 不等式 + 函数综合题，规范答题步骤，规避易错点，守住基础分。 考点一 一次方程（组） 题型一 解一元一次方程 遵循标准解题流程：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为 1，严格按步骤求解，保证运算逻辑闭环。 去分母时，漏乘不含分母的常数项；分子是多项式时，去分母后未给分子整体加括号，导致符号错误。去括号时，括号前的系数漏乘括号内的项；括号前是负号时，括号内各项未全部变号。移项时未改变符号，导致计算结果错误；合并同类项时，系数加减运算出错。系数化为 1 时，分子分母位置颠倒；系数为负数时，忽略符号处理。 1．（2023·山东枣庄·中考真题）对于任意实数a，b，定义一种新运算：，例如：，．根据上面的材料，请完成下列问题： (1)___________，___________； (2)若，求x的值． 【答案】(1)1；2； (2)， 【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）已知等式利用已知的新定义进行分类讨论并列出方程，再计算求出x的值即可． 【详解】（1）， ， ； 故答案为：1；2； （2）若时，即时，则 ， 解得：， 若时，即时，则 ， 解得：，不合题意，舍去， ， 【点睛】此题考查了实数的新定义运算及解一元一次方程，弄清题中的新定义是解本题的关键． 2．（2021·山东烟台·中考真题）幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．将数字1~9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行，每一竖行以及两条对角线上的数字之和都是15，则a的值为____________． 【答案】2 【分析】设处第一行第一列、第三列第三行、对角线上的未知量，用三数之和为15就可以求出a． 【详解】解：如图，把部分未知的格子设上相应的量 第一行第一列：6+b+8=15，得到b=1 第三列第三行：8+3+f=15，得到f=4 ∵f=4 ∵对角线上6+c+f=15 ∴6+4+c=15，得到c=5 ∵c=5 另外一条对角线上8+c+a=15 ∴8+5+a=15，得到a=2 故答案为：2． 【点睛】本题考查有理数的加法和一元一次方程的综合题，找出式子之间的关系是解题的关键． 3．（2019·山东济南·中考真题）代数式与代数式的和为4，则_____． 【答案】﹣1. 【分析】根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值． 【详解】根据题意得：， 去分母得：， 移项合并得：， 解得：， 故答案为﹣1. 【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 题型二 一元一次方程的实际应用 盈亏问题：标价 × 折扣 - 进价 = 利润，利润 = 进价 × 利润率； 工程问题：工作总量 = 工作效率 × 工作时间； 行程问题：路程 = 速度 × 时间； 分配问题：总量不变，根据不同分配方式列等式。 审题不清，错抓或漏抓题干关键条件，导致等量关系建立错误。设未知数时未带单位，列方程时出现单位不统一的问题。求解方程后，未检验结果是否符合实际场景意义，直接作答。 1．（2025·山东东营·中考真题）六年级全体数学教师参加“包粽子·迎端午”活动，若每人包6个，则比计划多包9个；若每人包4个，则比计划少包7个，求计划包多少个粽子．设计划包x个粽子，可列方程为______． 【答案】＝ 【分析】本题考查了列一元一次方程． 根据题意列方程即可． 【详解】解：根据题意列方程得，． 故答案为：． 2．（2025·山东淄博·中考真题）李白是我国唐代著名诗人，“李白斗酒诗百篇”，“诗”与“酒”都与李白有着不解之缘．后人有《李白醉酒》的数学诗（见下图）来描述李白饮酒作诗的豪放情景（❶处的大意为：先遇店后见花，如此三次）．则诗中李白的壶中原来有酒（   ） A．1斗 B．斗 C．斗 D．斗 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设李白的壶中原来有酒斗，根据题意列方程解应用题即可． 【详解】解：设李白的壶中原来有酒斗， ， 解得：， 故答案为：B． 3．（2025·山东烟台·中考真题）某商场打折销售一款风扇，若按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元；若按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元．这款风扇每台的标价为（   ） A．350元 B．320元 C．270元 D．220元 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设这款风扇每台的标价为元，根据按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元可得风扇的进价为元，根据按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元可得风扇的进价为元，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设这款风扇每台的标价为元， 由题意得，， 解得， ∴这款风扇每台的标价为350元， 故选：A． 题型三 解二元一次方程组 代入消元法适用场景：方程组中某一个未知数的系数为 1 或 - 1，先将该方程变形为 “用一个未知数表示另一个未知数” 的形式，再代入另一个方程消元求解。 加减消元法适用场景：两个方程中同一个未知数的系数相等、互为相反数，或成整数倍关系；先通过乘除变形，使同一未知数的系数绝对值相等，再通过加减消去该未知数，求解后回代求另一个未知数。 代入消元时，变形后的方程回代错误，代入到原变形方程中，导致恒等式无法求解。 加减消元时，方程两边同乘一个数时，漏乘常数项；相减消元时，未注意各项符号变化，导致符号错误。 求解出一个未知数后，回代方程计算出错，导致另一个未知数结果错误。 1．（2025·山东淄博·中考真题）解方程组： 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，直接利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解： 得：， 解得， 把代入②得：， ∴方程的解为． 2．（2025·山东潍坊·中考真题）（1）先化简，再求值：，其中，满足． （2）解方程组：． 【答案】（），；（）． 【分析】本题考查了整式的化简求值，解二元一次方程组，掌握运算法则和方程组解法是解题的关键． （）先由单项式乘以多项式，完全平方公式进行化简，然后合并同类项化成最简，再把代入求解即可； （）利用代入消元解方程组即可． 【详解】解：（）， 因为， 所以． （）解：， 由得， 将代入，得， 解得， 将代入，得， ∴该方程组的解为． 3．（2024·山东德州·中考真题）（1）化简： （2）解方程组： 【答案】（）；（）． 【分析】（）先计算分式除法，然后计算分式减法即可； （）利用加减消元法求出解即可； 此题考查了分式的混合运算和解二元一次方程组，熟练掌握运算法则和解二元一次方程组的方法和步骤是解题的关键． 【详解】解：（）原式 ； （） 得：， 得：，解得：， 把代入得：，解得：， ∴二元一次方程组的解为：． 题型四 二元一次方程组的应用——古代问题 先梳理题干中古代文言的核心含义，圈画两个核心未知量，以及两组对应的等量关系，匹配二元一次方程组的建模逻辑。核心步骤：文言题意转化→提炼等量关系→设元列方程组→求解→检验作答，核心是精准理解古代数学问题的文意，剥离数学等量关系。 对文言文意理解偏差，错误解读题干中的数量关系，导致等量关系建立错误。忽略古代度量衡、单位的换算关系，列方程时数值对应错误。 1．（2025·山东烟台·中考真题）2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元． (1)求甲、乙两种路灯的单价； (2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少． 【答案】(1)甲、乙两种路灯的单价分别为元，元 (2)购买甲种路灯盏，购买乙种路灯盏，费用最少 【分析】本题考查了二元一次方程组以及一元一次不等式、一次函数的应用，根据题意列出方程组，不等式以及一次函数关系式是解题的关键； （1）设甲、乙两种路灯的单价分别为元，根据题意列出方程组，即可求解； （2）设购买甲种路灯盏，则购买乙种路灯盏，列出不等式，求得，设购买费用为元，得出，进而根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设甲、乙两种路灯的单价分别为元，根据题意得， 解得： 答：甲、乙两种路灯的单价分别为，元 （2）解：设购买甲种路灯盏，则购买乙种路灯盏，根据题意得， 解得： 设购买费用为元，根据题意得， ∵ ∴当取得最大值时，取得最小值， ∴时，（盏）， 即购买甲种路灯盏，购买乙种路灯盏，费用最少， 答：购买甲种路灯盏，购买乙种路灯盏，费用最少． 2．（2023·山东泰安·中考真题）为进行某项数学综合与实践活动，小明到一个批发兼零售的商店购买所需工具．该商店规定一次性购买该工具达到一定数量后可以按批发价付款，否则按零售价付款．小明如果给学校九年级学生每人购买一个，只能按零售价付款，需用3600元；如果多购买60个，则可以按批发价付款，同样需用3600元，若按批发价购买60个与按零售价购买50个所付款相同，求这个学校九年级学生有多少人？ 【答案】这个学校九年级学生有300人． 【分析】设零售价为x元，批发价为y元，然后根据题意列二元一次方程组求得零售价为12元，然后用3600除以零售价即可解答． 【详解】解：设零售价为x元，批发价为y元， 根据题意可得： ，解得：， 经检验是原方程组的解 则学校九年级学生人． 答：这个学校九年级学生有300人． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，审清题意、列二元一次方程组求得零售价是解答本题的关键． 3．（2023·山东青岛·中考真题）某服装店经销A，B两种T恤衫，进价和售价如下表所示： 品名 A B 进价（元/件） 45 60 售价（元/件） 66 90 (1)第一次进货时，服装店用6000元购进A，B两种T恤衫共120件，全部售完获利多少元？ (2)受市场因素影响，第二次进货时，A种T恤衫进价每件上涨了5元，B种T恤衫进价每件上涨了10元，但两种T恤衫的售价不变．服装店计划购进A，B两种T恤衫共150件，且B种T恤衫的购进量不超过A种T恤衫购进量的2倍．设此次购进A种T恤衫m件，两种T恤衫全部售完可获利W元． ①请求出W与m的函数关系式； ②服装店第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由． 【答案】(1)2880元 (2)①；②服装店第二次获利不能超过第一次获利，理由见解析 【分析】（1）根据条件，购进恤衫件，购进恤衫件，列出方程组解出、值，最后求出获利数； （2）①根据条件，可列，整理即可； ②由①可知，，一次函数随的增大而减小，当时，取最大值计算出来和第一次获利比较即可． 【详解】（1）解：设购进A种T恤衫件，购进B种T恤衫件，根据题意列出方程组为： ， 解得， 全部售完获利（元）． （2）①设第二次购进种恤衫件，则购进种恤衫件，根据题意，即， ， ②服装店第二次获利不能超过第一次获利，理由如下： 由①可知，， ，一次函数随的增大而减小， 当时，取最大值，（元）， ， 服装店第二次获利不能超过第一次获利． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意列出函数解析式是解本题的关键． 题型五 二元一次方程组的应用——现代问题 购物销售问题：单价 × 数量 = 总价，总费用 = 甲物品费用 + 乙物品费用； 工程生产问题：总工作量 = 甲的工作量 + 乙的工作量； 方案优化问题：先通过方程组求解基础单价 / 效率，再结合不等式、一次函数分析最优方案。 题干信息繁杂时，漏看关键限制条件，导致等量关系建立错误。 设未知数时，两个未知量的对应关系混淆，列方程时系数与未知量匹配错误。 方程组求解结果错误，导致后续方案设计、最值计算全部出错。 综合题型中，混淆等量关系与不等关系，方程与不等式的应用场景错配。 1．（2025·山东滨州·中考真题）我国古代很早就开始研究一次方程组，在《九章算术》的“方程”章中，古人用算筹表示一次方程组．例如，算筹图1表示的方程组为，图中省略了未知数x和y，各行从左到右用算筹依次表示未知数x，y的系数与相应的常数项．请写出算筹图2所表示的方程组，并求出该方程组的解． 【答案】， 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，正确列出方程组是解题的关键，根据题干中给出的方程组，获取信息，列出图2所表示的方程组，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得方程组 ，得③ ，得． 把代入②，得 ， ． ∴这个方程组的解是 2．（2024·山东日照·中考真题）我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”设绳长x尺，竿长y尺，根据题意得（    ）（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托尺） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺列方程组即可． 【详解】解：由题意得 故选A． 3．（2024·山东泰安·中考真题）我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若…，…，试问买甜苦果各几个？若设买甜果x个，买苦果y个，列出符合题意的二元一次方程组：．根据已有信息，题中用“…，…”表示的缺失的条件应为（    ） A．甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱 B．甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱 C．甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱 D．甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱 【答案】D 【分析】根据可得甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱， 【详解】解：根据，可得甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱， 故选：D 【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，根据方程组找出等量关系． 题型六 求参数 已知方程（组）的解求参数：直接将方程的解代入原方程（组），得到关于参数的一元一次方程，求解即可得到参数值。 已知方程解的范围求参数：先求解方程，用含参数的代数式表示未知数的解，再根据解的范围列出关于参数的不等式，求解参数范围。 代入方程的解时，未知数与数值对应错误，或代入时符号处理出错，导致参数计算错误。 用含参数的代数式表示方程解时，变形过程中符号、系数运算出错。 已知解的范围求参数时，边界值的取舍判断错误，导致参数范围多取或漏取。 含分类讨论的参数问题，遗漏分类情况，导致结果不完整；未对求解出的参数结果进行验证，出现不符合题意的解。 1．（2025·山东德州·中考真题）我们探究发现，关于x，y的方程的正整数解有1组，的正整数解有2组，的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程的正整数解有（   ） A．7组 B．21组 C．28组 D．42组 【答案】B 【分析】本题考查三元一次方程的问题，先把看作整体，得到的正整数解有组；再分析分别等于不同值，所对应的正整数解组数，把所有组数相加即为总的解组数．解题的关键是将三元一次方程里的两个未知数看作一个整体，再分层计算． 【详解】解：令， 则的正整数解中的值可以为：，，，9，11，13 ∴的正整数解有组， 又∵的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； ∴方程的正整数解组数为：． 故选：B． 2．（2023·山东淄博·中考真题）已知是方程的解，那么实数的值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】将代入方程，即可求解． 【详解】解：将代入方程，得 解得： 故选：B． 【点睛】本题考查分式方程的解，解题的关键是将代入原方程中得到关于的方程． 3．（2021·山东聊城·中考真题）若﹣3＜a≤3，则关于x的方程x＋a＝2解的取值范围为（    ） A．﹣1≤x＜5 B．﹣1＜x≤1 C．﹣1≤x＜1 D．﹣1＜x≤5 【答案】A 【分析】先求出方程的解，再根据﹣3＜a≤3的范围，即可求解． 【详解】解：由x＋a＝2，得：x＝2-a， ∵﹣3＜a≤3， ∴﹣1≤2-a＜5，即：﹣1≤x＜5， 故选A． 【点睛】本题主要考查解一元一次方程以及不等式的性质，用含a的代数式表示x，是解题的关键． 知识1 解一元一次方程 步骤 具体做法 变形的依据 注意事项 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 等式的 性质2 1）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后要将分子作为一个整体加上括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 去括号法则，分配律 1) 去括号时，括号前的数不要漏乘括号内的每一项; 2) 当括号外的因数是负数时，去括号后原括号内的各项均要变号. 移项 把含有未知数的项移到方程一边，其它项都移到方程另一边 【易错点】移项过程中未变号 等式的 性质1 1）移项时不要丢项； 2）将方程中的项从一边移到另一边要变号.而在方程同一边改变项的位置时不变号. 合并同类项 把方程变为ax=b（a≠0 )的形式 合并同类项法则 1）系数的符号处理要得当； 2）未知数及其指数不变. 系数化为1 将方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x= 等式的 性质2 不要将分子，分母的位置颠倒 知识2 解二元一次方程（组） 1）把二元一次方程组中的一个未知数消掉(代入消元或加减消元)使其变成一元一次方程； 2）解一元一次方程，求出一个未知数的值； 3）将求出的未知数的值代入原方程，求出另一个未知数的值； 4）写出方程组的解. 1．（2025·山东烟台·模拟预测）明代万历数学家程大位所著《算法统宗》一书列举各种应用题及解法，其中记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”意思为，有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达，则此人第六天走的路程为（   ） A．3里 B．4里 C．6里 D．8里 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用. 设第六天走了x里，则第五天走了里，第四天走了里，……，列方程计算即可. 【详解】解：设第六天走了x里， 依题意得：， 解得. 故选：C. 2．（2025·山东淄博·二模）已知关于，的二元一次方程组，则的值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的特殊解法，根据二元一次方程组整理得到，进而求出的值，即可解题． 【详解】解：， 由得：③， 由得：， 故选：C． 3．（2025·河北沧州·三模）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设有客房x间，客人y人，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据实际问题列方程组，根据如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房，列出方程组即可． 【详解】解：设有客房x间，客人y人，由题意，得：； 故选D． 4．（2025·湖北孝感·一模）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？译成白话文，其意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完．如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大小和尚各有几人？设大和尚人，小和尚人，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键．分别利用有100个和尚分100个馒头，正好分完．如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，分别得出方程即可． 【详解】解：设大和尚人，小和尚人， 则可以列方程组： ． 故选：A． 5．（2025·河北·一模）关于x的方程的解为，则a的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】此题考查了一元一次方程的解．注意使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．由关于的方程的解是，即可得，继而求得答案． 【详解】解：关于的方程的解是， ， 解得：． 故选：A． 6．（2025·山东青岛·模拟预测）若等腰三角形的腰长恰好是方程的解，且它的底边长是偶数，则这个等腰三角形的周长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程、等腰三角形的定义、三角形的三边关系等知识点，熟练掌握三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”是解题的关键． 先求出方程的解得到腰长，再根据底边为偶数和三角形三边关系得出底边长，然后根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴等腰三角形的腰长为2， 由它的底边长是偶数，且三角形的三边关系可得底边长为2， ∴这个等腰三角形的周长为． 故答案为：6． 7．（2025·山东泰安·三模）二元一次方程组的解是_____________． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握该知识点是解题的关键．直接利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为， 故答案为：． 8．（2025·山东淄博·三模）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程的解为，不等式组的解集为．因为，所以称方程是不等式组的“相伴方程”． (1)若不等式组为则方程是不是该不等式组的相伴方程？请说明理由； (2)若关于x的方程是不等式组的相伴方程，求a的取值范围； (3)若方程和2都是关于x的不等式组的相伴方程，求k的取值范围． 【答案】(1)方程是不等式组的相伴方程，理由见解析 (2) (3)k的取值范围是 【分析】本题考查解一元一次方程和解不等式组，读懂题意掌握解方程和不等式的方法是解题的关键． （1）分别解出不等式组和方程，再根据“相伴方程”的定义判断即可； （2）先求出不等式组的解集，解出方程的解，再让方程的解再不等式组的解集范围，然后解不等式或不等式组即可； （3）分别解出两个方程，代入不等式组得到两个不等式组，再分别求解集，再取公共部分即可． 【详解】（1）解：方程是不等式组的相伴方程，理由如下： 解不等式组，得， 解方程得：； ∵， ∴方程是不等式组的相伴方程； （2）解不等式组，得：， 解方程，得：， ∵关于x的方程是不等式组的相伴方程， ∴2.53， 解得：， 即a的取值范围是； （3）解方程，得：， 解方程，得：， ∵方程和2都是关于x的不等式组的相伴方程，， ∴将和代入方程组得到：且， 解得：且， ∴k的取值范围是． 9．（2025·山东滨州·二模）（1）解方程：； （2）解不等式组：. 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程和解一元一次不等式组的步骤． （1）利用解一元一次方程的步骤进行求解即可； （2）利用解一元一次不等式组的步骤求解即可． 【详解】解：（1）去分母，得 ， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， （2） 解不等式①得，， 解不等式②得，， 所以不等式组的解集为：. 10．（2025·河南许昌·一模）在农作物不同的生长阶段运用科技手段实现精准施肥，可以提高产量和质量．某农场为种植小麦需要配制复合肥料．小麦在生长过程中需要大量的氮（N）促进叶片生长，适量的磷（P）促进根系发育，以及足够的钾（K）提高果实品质．农场有两种原料可供使用，其氮、磷、钾含量及成本如下表： 原料 氮（N）含量 （千克/吨） 磷（P）含量 （千克/吨） 钾（K）含量 （千克/吨） 成本 （元/吨） 原料A 20 40 30 600 原料B 50 10 40 800 (1)在小麦播种前农场根据土壤检测结果配制底肥，要求肥料中含有240千克氮、120千克磷，求使用A，B两种原料各多少吨？ (2)4月份，小麦进入拔节期，农场根据小麦长势和底肥用量计划配制追肥，要求追肥用量是底肥用量的，且含有不少于100千克钾，请设计出成本最低的配制方案． 【答案】(1)使用种原料2吨，种原料4吨 (2)使用种原料2吨，种原枓1吨配制追肥，成本最低 【分析】本题主要考查二元一次方程组，一元一次不等式，一次函数最值的计算，掌握以上知识，正确列式求解是关键． （1）设使用种原料吨，种原料吨，由数量关系列二元一次方程组求解即可； （2）设使用种原料吨，则种原料吨，列不等式得，解得，设总成本为元，则，根据一次函数求最值的方法计算即可求解． 【详解】（1）解：设使用种原料吨，种原料吨， 根据题意得， 解得， 答：使用种原料2吨，种原料4吨． （2）解：追肥用量是底肥用量的， 追肥用量为（吨）， 设使用种原料吨，则种原料吨， 要求肥料中含有不少于100千克钾， ， 解得， 设总成本为元，则， ， 随的增大而减小， 当时，最小， ， 答：使用种原料2吨，种原枓1吨配制追肥，成本最低． 考点二 不等式（组） 题型一 求不等式组的解集 分别求解不等式组中每个不等式的解集→将解集在数轴上表示→借助数轴 / 解集口诀找公共部分→写出不等式组的最终解集。解集口诀速用：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解） 解不等式去分母时，漏乘不含分母的常数项；分子是多项式时，去分母后未给分子整体加括号，引发符号错误。 系数化为 1 时，不等式两边乘 / 除以同一个负数，忘记改变不等号方向，导致解集完全错误。 1．（2025·山东东营·中考真题）（1）计算：； （2）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】（1）；（2），数轴表示见解析 【分析】本题主要考查负整数指数幂，特殊角的三角函数值，实数的混合运算，求不等式组的解集，掌握实数的运算法则，不等式的性质是关键 （1）先计算负整数指数幂，求一个数的立方根，化简绝对值，代入特殊角的三角函数值，再计算有理数的乘方运算，最后再进行加减运算即可． （2）根据不等式的性质分别求出解集，表示在数轴上，根据公共部分即为不等式组解集即可． 【详解】解：（1） （2） 解不等式①，得． 解不等式②，得． 所以不等式组的解集为． 不等式组的解集在数轴上表示为： 2．（2025·山东滨州·中考真题）（1）计算：； （2）解不等式：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了实数的混合运算，解一元一次不等式，掌握相关运算法则和解法是解题关键． （1）先计算零指数幂、立方根和除法，再计算加减法即可； （2）依次去括号、移项、合并同类项、系数化1，即可解不等式． 【详解】解：（1） （2） 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化1，得． 3．（2025·山东威海·中考真题）（1）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上； （2）解分式方程． 【答案】（1），数轴表示见解析；（2） 【分析】本题考查了一元一次不等式组和分式方程的解法，熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的方法是解题的关键； （1）先求得不等式组中每个不等式的解集，再取其解集的公共部分即得不等式组的解集，进而在数轴上表示解集即可； （2）分式方程去分母化为整式方程，求得整式方程的解后再检验即得答案． 【详解】解：（1）， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是， 不等式组的解集在数轴上表示为： （2） 去分母，得， 解得：， 经检验：是原方程的解， 所以原方程的解是． 题型二 不等式组的整数解 规范求解不等式组→确定最终解集的边界范围→在取值范围内筛选出符合条件的整数解→按题干要求完成计算 / 作答。 解集边界判断错误，对≥、≤、＞、＜的边界把控不准，导致整数解多取、漏取。 1．（2025·山东济南·中考真题）解不等式组并写出它的所有整数解． 【答案】，整数解为：，0，1，2，3． 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，并求其整数解，分别求两个不等式的解集，再根据不等式组的解集，即可得到整数解． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得 原不等式组的解集是 整数解为，0，1，2，3 2．（2025·山东青岛·中考真题）（1）计算：； （2）解不等式组：并写出它的整数解． 【答案】（1）7；（2）； 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，以及一元一次不等式组的求解，需熟练掌握二次根式的化简并正确计算，根据不等式组的解集写出整数解是解决本题的关键． （1）先将与化简，再进行二次根式的运算； （2）分别求解一元一次不等式的解，即可求出不等式组的解集，再由解集求出整数解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：不等式组为， 则有，解得， 则有，解得， ∴不等式组的解集为， 则整数解为． 3．（2024·山东淄博·中考真题）解不等式组：并求所有整数解的和． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元一次不等式组以及求一元一次不等式组的整数解．解各不等式，可得出x的取值范围，取其公共部分即可得出不等式组的解集，再将各整数解相加，即可求出结论． 【详解】解：， 解不等式①得：； 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集， ∴不等式组所有整数解的和为． 题型三 已知不等式的解求参数 已知不等式解的范围求参数：先解不等式，用含参数的代数式表示未知数的解集，再根据 “正数解、负数解、非负解” 等限定条件，列关于参数的不等式，求解参数范围。 已知不等式组的解集求参数：先分别求解两个不等式的解集，再结合 “同大取大、同小取小” 的解集口诀，反向匹配已知解集，确定参数的取值范围，必须验证边界等号能否取到。 边界值的等号取舍错误，这是本题型最高频易错点，未对边界值单独验证，导致参数范围多取 / 漏取等号。 用含参数的代数式表示解集时，系数化为 1 过程中，忽略系数为负数的情况，不等号方向未改变，引发参数范围符号完全颠倒。 1．（2024·山东烟台·中考真题）关于的不等式有正数解，的值可以是______（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元一次不等式的求解，先求出不等式的解集，根据不等式有正数解可得关于的一元一次不等式，即可求出的取值范围，进而可得的值，求出的取值范围是解题的关键． 【详解】解：不等式移项合并同类项得，， 系数化为得，， ∵不等式有正数解， ∴， 解得， ∴的值可以是， 故答案为：． 2．（2023·山东聊城·中考真题）若不等式组的解集为，则m的取值范围是______． 【答案】/ 【分析】分别求出两个不等式的解集，根据不等式组的解集即可求解． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组的解集为：， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，根据不等式的解求参数的取值范围，熟练掌握解不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键． 3．（2022·山东济宁·中考真题）若关于x的不等式组仅有3个整数解，则a的取值范围是（  ） A．－4≤a＜－2 B．－3＜a≤－2 C．－3≤a≤－2 D．－3≤a＜－2 【答案】D 【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可解答． 【详解】解： 由①得， 由②得， 因不等式组有3个整数解 故选：D． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，掌握相关知识是解题关键． 题型四 实际应用 关键词精准转化：至少→≥，至多→≤，不超过→≤，不少于→≥，不足→＜，超过→＞。 对限定关键词理解偏差，比如 “不超过”“不少于” 对应的不等号用反，引发整个解题错误。 1．（2025·山东淄博·中考真题）爱好阅读的小胡购买了一本有关数学之美的课外书．下面是他的三个同学猜测该书价格的对话： 小胡在听到他们的对话后说：“你们三个都猜错了．”则这本书的价格（元）所在的范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查不等式组的应用，根据对话列不等式组，求出解集即可． 【详解】解：根据对话可得， 解得， 故答案为：． 2．（2023·山东·中考真题）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少万元，且用万元购买A型充电桩与用万元购买B型充电桩的数量相等． (1)A，B两种型号充电桩的单价各是多少？ (2)该停车场计划共购买个A，B型充电桩，购买总费用不超过万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？ 【答案】(1)A型充电桩的单价为万元，B型充电桩的单价为万元 (2)共有三种方案：方案一：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个；方案二：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个；方案三：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个；方案三总费用最少． 【分析】（1）根据“用万元购买A型充电桩与用万元购买B型充电桩的数量相等”列分式方程求解； （2）根据“购买总费用不超过万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的”列不等式组确定取值范围，从而分析计算求解 【详解】（1）解：设B型充电桩的单价为万元，则A型充电桩的单价为万元，由题意可得： , 解得， 经检验：是原分式方程的解， ， 答：A型充电桩的单价为万元，B型充电桩的单价为万元； （2）解：设购买A型充电桩个，则购买B型充电桩个，由题意可得： ，解得， ∵须为非负整数， ∴可取，，， ∴共有三种方案： 方案一：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个，购买费用为（万元）； 方案二：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个，购买费用为（万元）； 方案三：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个，购买费用为（万元）， ∵ ∴方案三总费用最少． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意，找准等量关系列出分式方程和一元一次不等式组是解决问题的关键． 3．（2023·山东淄博·中考真题）某古镇为发展旅游产业，吸引更多的游客前往游览，助力乡村振兴，决定在“五一”期间对团队*旅游实行门票特价优惠活动，价格如下表： 购票人数（人） 每人门票价（元） 60 50 40 *题中的团队人数均不少于10人 现有甲、乙两个团队共102人，计划利用“五一”假期到该古镇旅游，其中甲团队不足50人，乙团队多于50人． (1)如果两个团队分别购票，一共应付5580元，问甲、乙团队各有多少人？ (2)如果两个团队联合起来作为一个“大团队”购票，比两个团队各自购票节省的费用不少于1200元，问甲团队最少多少人？ 【答案】(1)甲团队有48人，乙团队有54人 (2)18 【分析】（1）设甲团队有人，则乙团队有人，依题意得，，计算求解，然后作答即可； （2）设甲团队有人，则乙团队有人，依题意得，，计算求解即可． 【详解】（1）解：设甲团队有人，则乙团队有人， 依题意得，， 解得，， ∴（人）， ∴甲团队有48人，乙团队有54人； （2）解：设甲团队有人，则乙团队有人， 依题意得，， 解得，， ∴甲团队最少18人． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用．解题的关键在于根据题意正确的列等式和不等式． 知识1 解一元一次不等式组 解一元一次不等式组的一般步骤 第一步：求出不等式组中各不等式的解集； 第二步：将各不等式的解集在数轴上表示出来； 第三步：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 【易错点】 1）利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分. 2）当不等式组中含有“≥”或“≤”时，边界点处要用实心圆点，解集的取法不变. 3）关于x的不等式组的解集为x=a，关于x的不等式组无解. 1．（2025·山东枣庄·模拟预测）不等式组的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，把不等式组的解集在数轴上表示出来；分别求出每个不等式的解集，再求出其公共部分，最后把解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得； 则不等式组的解集为：，在数轴上表示如下： ； 故选：A． 2．（2025·云南丽江·模拟预测）若在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式和分式有意义的条件，用数轴表示不等式的解集，根据二次根式和分式有意义的条件，列出不等式组，求解后，在数轴上表示出解集即可． 【详解】解：由题意，得：且， ∴； 在数轴上表示解集如图： 故选D． 3．（2025·山东菏泽·三模）如果关于的方程有负根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了根据一元一次方程的解求参数，解一元一次不等式，首先移项得到，然后根据题意得到，进而求解即可． 【详解】 移项得， ∵关于的方程有负根， ∴ ∴． 故选：A． 4．（2025·江苏南通·一模）关于x的不等式组的整数解仅有5个，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解问题，熟练掌握解不等式组的方法是解题的关键．先解不等式组，再根据仅有5个整数解，得出关于的不等式，求解即可． 【详解】解: 解得：， 关于的不等式组的整数解仅有5个， ， 解得：， 故选：C． 5．（2025·重庆·一模）若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为_______． 【答案】16 【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组．先解不等式组，根据关于的一元一次不等式组至少有两个整数解，确定的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程的解为非负整数，确定的取值范围且，进而得到且，根据范围确定出的取值，相加即可得到答案． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， 关于的一元一次不等式组无解， ， 解得， 解方程得， 关于的分式方程的解为非负整数， 且，是偶数， 解得且，是偶数， 且，是偶数， 则所有满足条件的整数的值之和是， 故答案为：16． 6．（2025·山东日照·一模）线段能构成三角形，且使关于的不等式组有解的所有整数的和为______． 【答案】 【分析】本题考查构成三角形的三边关系、解不等式组、不等式组有解时参数范围等知识，先由三角形三边关系得到，再解含参数的不等式组，根据不等式组有解情况得到所有整数，求和即可得到答案．熟练掌握由不等式组有解情况求出参数范围的方法是解决问题的关键． 【详解】解：线段能构成三角形， ， ， 由②得， 关于的不等式组有解， 不等式组的解集为， 则，即， 为整数， 可取， 则使关于的不等式组有解的所有整数的和为， 故答案为：． 7．（2025·黑龙江大庆·一模）若不等式组无解，则的取值范围为___________． 【答案】 【分析】本题考查由不等式组解集情况求参数，涉及不等式组的解法，先解不等式组，再由不等式组无解，分类讨论即可得到答案．掌握不等式组的解法，分类讨论是解决问题的关键． 【详解】解：， 由①得； 由②得③； 不等式组无解， 当时，，解③得，则不等式组一定有解，不符合题意； 当时，，解③得为任意实数，则不等式组一定有解，不符合题意； 当时，，解③得，则，解得； 综上所述，的取值范围为， 故答案为：． 8．（2025·山东济南·模拟预测）不等式组的所有整数解的积 【答案】解集为，则不等式组的所有整数解的积为． 【分析】本题考查的知识点是求一元一次不等式组的整数解，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组方法． 求出一元一次不等式组的解集后即可得到不等式组的所有整数解的积． 【详解】解：， ， ， ， 的解集为， 能取到的整数值为，，，，，，，…，， 这个不等式组的所有整数解的积为． 9．（2025·山东济南·模拟预测）解不等式组：，并写出它的整数解． 【答案】，整数解是 0，1 【分析】本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解．先解出每个不等式的解集，再取其公共部分，即可得到不等式组的解集，然后写出该不等式组的整数解． 【详解】解：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， ∴该不等式组的解集是， ∴该不等式组的整数解是 0，1． 10．（2025·河南南阳·一模）2025年3月12日是我国第47个植树节．植树节前，某校计划采购一批树苗参加植树节活动．经了解，每棵乙种树苗比每棵甲种树苗贵10元，用900元购买甲种树苗的棵数恰好与用1200元购买乙种树苗的棵数相同． (1)求甲、乙两种树苗每棵的价格； (2)学校计划购买甲、乙两种树苗共600棵，经过与供货商沟通，每棵甲种树苗的售价不变，每棵乙种树苗的售价打9折，若要求购买时甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量的2倍，则学校应该如何设计购买方案，才能使购买树苗的总费用最少？ 【答案】(1)甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元 (2)购买甲种树苗400棵，乙种树苗200棵，总费用最少 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一元一次方程的应用，正确建立方程和熟练掌握一次函数的性质是解题关键． （1）设甲种树苗每棵的价格是元，则乙种树苗每棵的价格是元，根据用900元购买甲种树苗的棵数恰好与用1200元购买乙种树苗的棵数相同建立方程，解方程，并进行检验即可得； （2）设购买乙种树苗棵，总费用为元，则购买甲种树苗棵，先求出，再根据费用与价格、棵数的关系建立与的函数关系式，利用一次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：设甲种树苗每棵的价格是元，则乙种树苗每棵的价格是元． 由题意得：， 解得， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， 则， 答：甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元． （2）解：设购买乙种树苗棵，总费用为元，则购买甲种树苗棵， ∵要求购买时，甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量的2倍， ∴， ∴， 由题意得：， ∵一次函数中的， ∴在内，随的增大而增大， ∴当时，的值最小， 此时， 答：购买甲种树苗400棵，乙种树苗200棵，总费用最少． 2 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一次方程（组）与不等式（组） 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 考点一 一次方程（组）（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一：解一元一次方程 题型二：一元一次方程的实际应用 题型三：解二元一次方程组 题型四：二元一次方程组的应用——古代问题 题型五：二元一次方程组的应用——现代问题 题型六：求参数 必备知识 知识1 解一元一次方程 知识2 解二元一次方程（组） 命题预测 考点二 不等式（组）（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一：求不等式组的解集 题型二：不等式组的整数解 题型三：已知不等式的解求参数 题型四：实际应用 必备知识 知识1 解一元一次不等式组 命题预测 命题 透视 命题形式： 近 5 年山东中考对一次方程（组）与不等式（组）的考查，呈现新材料、新情境、新问题的鲜明特点，以文字叙述、图表数据、表格信息为主要载体，侧重考查运算能力、数学建模能力与逻辑推理能力，深度渗透数学文化与实际应用意识。 命题内容： 1）一次方程（组）： 基础考查：一元一次方程的解法、二元一次方程组的代入消元 / 加减消元解法，以及根据方程（组）的解求参数值。应用考查：以中国传统文化、古代数学问题、生活实际场景（如购物、行程、工程、分配）为背景，列一元一次方程或二元一次方程组解决实际问题。综合考查：方程（组）与新定义运算、规律探究结合，考查知识迁移与建模能力。 2）不等式（组）： 基础考查：一元一次不等式（组）的解法、解集的数轴表示、不等式组的整数解求解，以及已知解集 / 整数解求参数范围。应用考查：结合实际场景设计方案选择、费用最值、数量限制类问题，常与方程、一次函数综合考查。核心考点：不等式组的整数解、参数讨论、实际应用中的方案设计为高频考查方向。 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 解方程（组） T9：解方程; T16：解二元一次方程组; T19：解方程组； T5：由方程的解求参数； T19：解方程组； T18：解方程组 T9：解方程+不等式的性质； T18：解方程组 方程（组）的应用 T15：一元一次方程的实际应用; T6：中国传统文化结合方程应用 T7：中国传统文化+方程组应用； T8：中国传统文化+列方程组 T7：中国传统文化+方程的应用； T13：中国传统文化+方程组的应用； T4：一次函数的实际应用； T14：中国传统文化+列方程组； T7：中国传统文化+列方程 解不等式（组） T19:解不等式组; T17：解不等式 T17：求不等式组整数解； T16：解不等式组 T18：解不等式组； T18：解不等式组 T16：解不等式组； T20：求不等式组的整数解 T14：解不等式组+象限点； T16：求不等式组的整数解 不等式（组）的实际应用 T13：不等式的实际应用； T22：不等式+分式方程+一次函数的应用 T22：方程+不等式的实际应用； T23：方程+不等式+一次函数的实际应用； T21：方程+不等式+一次函数的实际应用 T23：方程+不等式+一次函数的实际应用； T19：分式方程+不等式的实际应用 T24：分式方程+不等式的实际应用 命题预测 1. 考情预测 · 一次方程（组）：中考必考内容，题型覆盖选择、填空、解答。核心考查方程（组）解法、含参问题，高频考查古代数学与生活场景应用题，新定义结合题型为创新方向。 · 不等式（组）：中考必考考点，核心考查不等式（组）解法、解集数轴表示与整数解，含参范围问题为高频难点，应用题多与方程、函数综合，考查方案设计与最值。 2. 备考建议 夯实方程与不等式基础运算，攻克含参难点，强化应用题建模能力，专项突破方程 + 不等式 + 函数综合题，规范答题步骤，规避易错点，守住基础分。 题型一 解一元一次方程 遵循标准解题流程：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为 1，严格按步骤求解，保证运算逻辑闭环。 去分母时，漏乘不含分母的常数项；分子是多项式时，去分母后未给分子整体加括号，导致符号错误。去括号时，括号前的系数漏乘括号内的项；括号前是负号时，括号内各项未全部变号。移项时未改变符号，导致计算结果错误；合并同类项时，系数加减运算出错。系数化为 1 时，分子分母位置颠倒；系数为负数时，忽略符号处理。 1．（2023·山东枣庄·中考真题）对于任意实数a，b，定义一种新运算：，例如：，．根据上面的材料，请完成下列问题： (1)___________，___________； (2)若，求x的值． 2．（2021·山东烟台·中考真题）幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．将数字1~9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行，每一竖行以及两条对角线上的数字之和都是15，则a的值为____________． 3．（2019·山东济南·中考真题）代数式与代数式的和为4，则_____． 题型二 一元一次方程的实际应用 盈亏问题：标价 × 折扣 - 进价 = 利润，利润 = 进价 × 利润率； 工程问题：工作总量 = 工作效率 × 工作时间； 行程问题：路程 = 速度 × 时间； 分配问题：总量不变，根据不同分配方式列等式。 审题不清，错抓或漏抓题干关键条件，导致等量关系建立错误。设未知数时未带单位，列方程时出现单位不统一的问题。求解方程后，未检验结果是否符合实际场景意义，直接作答。 1．（2025·山东东营·中考真题）六年级全体数学教师参加“包粽子·迎端午”活动，若每人包6个，则比计划多包9个；若每人包4个，则比计划少包7个，求计划包多少个粽子．设计划包x个粽子，可列方程为______． 2．（2025·山东淄博·中考真题）李白是我国唐代著名诗人，“李白斗酒诗百篇”，“诗”与“酒”都与李白有着不解之缘．后人有《李白醉酒》的数学诗（见下图）来描述李白饮酒作诗的豪放情景（❶处的大意为：先遇店后见花，如此三次）．则诗中李白的壶中原来有酒（   ） A．1斗 B．斗 C．斗 D．斗 3．（2025·山东烟台·中考真题）某商场打折销售一款风扇，若按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元；若按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元．这款风扇每台的标价为（   ） A．350元 B．320元 C．270元 D．220元 题型三 解二元一次方程组 代入消元法适用场景：方程组中某一个未知数的系数为 1 或 - 1，先将该方程变形为 “用一个未知数表示另一个未知数” 的形式，再代入另一个方程消元求解。 加减消元法适用场景：两个方程中同一个未知数的系数相等、互为相反数，或成整数倍关系；先通过乘除变形，使同一未知数的系数绝对值相等，再通过加减消去该未知数，求解后回代求另一个未知数。 代入消元时，变形后的方程回代错误，代入到原变形方程中，导致恒等式无法求解。 加减消元时，方程两边同乘一个数时，漏乘常数项；相减消元时，未注意各项符号变化，导致符号错误。 求解出一个未知数后，回代方程计算出错，导致另一个未知数结果错误。 1．（2025·山东淄博·中考真题）解方程组： 2．（2025·山东潍坊·中考真题）（1）先化简，再求值：，其中，满足． （2）解方程组：． 3．（2024·山东德州·中考真题）（1）化简： （2）解方程组： 题型四 二元一次方程组的应用——古代问题 先梳理题干中古代文言的核心含义，圈画两个核心未知量，以及两组对应的等量关系，匹配二元一次方程组的建模逻辑。核心步骤：文言题意转化→提炼等量关系→设元列方程组→求解→检验作答，核心是精准理解古代数学问题的文意，剥离数学等量关系。 对文言文意理解偏差，错误解读题干中的数量关系，导致等量关系建立错误。忽略古代度量衡、单位的换算关系，列方程时数值对应错误。 1．（2025·山东烟台·中考真题）2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元． (1)求甲、乙两种路灯的单价； (2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少． 2．（2023·山东泰安·中考真题）为进行某项数学综合与实践活动，小明到一个批发兼零售的商店购买所需工具．该商店规定一次性购买该工具达到一定数量后可以按批发价付款，否则按零售价付款．小明如果给学校九年级学生每人购买一个，只能按零售价付款，需用3600元；如果多购买60个，则可以按批发价付款，同样需用3600元，若按批发价购买60个与按零售价购买50个所付款相同，求这个学校九年级学生有多少人？ 3．（2023·山东青岛·中考真题）某服装店经销A，B两种T恤衫，进价和售价如下表所示： 品名 A B 进价（元/件） 45 60 售价（元/件） 66 90 (1)第一次进货时，服装店用6000元购进A，B两种T恤衫共120件，全部售完获利多少元？ (2)受市场因素影响，第二次进货时，A种T恤衫进价每件上涨了5元，B种T恤衫进价每件上涨了10元，但两种T恤衫的售价不变．服装店计划购进A，B两种T恤衫共150件，且B种T恤衫的购进量不超过A种T恤衫购进量的2倍．设此次购进A种T恤衫m件，两种T恤衫全部售完可获利W元． ①请求出W与m的函数关系式； ②服装店第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由． 题型五 二元一次方程组的应用——现代问题 购物销售问题：单价 × 数量 = 总价，总费用 = 甲物品费用 + 乙物品费用； 工程生产问题：总工作量 = 甲的工作量 + 乙的工作量； 方案优化问题：先通过方程组求解基础单价 / 效率，再结合不等式、一次函数分析最优方案。 题干信息繁杂时，漏看关键限制条件，导致等量关系建立错误。 设未知数时，两个未知量的对应关系混淆，列方程时系数与未知量匹配错误。 方程组求解结果错误，导致后续方案设计、最值计算全部出错。 综合题型中，混淆等量关系与不等关系，方程与不等式的应用场景错配。 1．（2025·山东滨州·中考真题）我国古代很早就开始研究一次方程组，在《九章算术》的“方程”章中，古人用算筹表示一次方程组．例如，算筹图1表示的方程组为，图中省略了未知数x和y，各行从左到右用算筹依次表示未知数x，y的系数与相应的常数项．请写出算筹图2所表示的方程组，并求出该方程组的解． 2．（2024·山东日照·中考真题）我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”设绳长x尺，竿长y尺，根据题意得（    ）（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托尺） A． B． C． D． 3．（2024·山东泰安·中考真题）我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若…，…，试问买甜苦果各几个？若设买甜果x个，买苦果y个，列出符合题意的二元一次方程组：．根据已有信息，题中用“…，…”表示的缺失的条件应为（    ） A．甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱 B．甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱 C．甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱 D．甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱 题型六 求参数 已知方程（组）的解求参数：直接将方程的解代入原方程（组），得到关于参数的一元一次方程，求解即可得到参数值。 已知方程解的范围求参数：先求解方程，用含参数的代数式表示未知数的解，再根据解的范围列出关于参数的不等式，求解参数范围。 代入方程的解时，未知数与数值对应错误，或代入时符号处理出错，导致参数计算错误。 用含参数的代数式表示方程解时，变形过程中符号、系数运算出错。 已知解的范围求参数时，边界值的取舍判断错误，导致参数范围多取或漏取。 含分类讨论的参数问题，遗漏分类情况，导致结果不完整；未对求解出的参数结果进行验证，出现不符合题意的解。 1．（2025·山东德州·中考真题）我们探究发现，关于x，y的方程的正整数解有1组，的正整数解有2组，的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程的正整数解有（   ） A．7组 B．21组 C．28组 D．42组 2．（2023·山东淄博·中考真题）已知是方程的解，那么实数的值为（    ） A． B．2 C． D．4 3．（2021·山东聊城·中考真题）若﹣3＜a≤3，则关于x的方程x＋a＝2解的取值范围为（    ） A．﹣1≤x＜5 B．﹣1＜x≤1 C．﹣1≤x＜1 D．﹣1＜x≤5 知识1 解一元一次方程 步骤 具体做法 变形的依据 注意事项 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 等式的 性质2 1）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后要将分子作为一个整体加上括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 去括号法则，分配律 1) 去括号时，括号前的数不要漏乘括号内的每一项; 2) 当括号外的因数是负数时，去括号后原括号内的各项均要变号. 移项 把含有未知数的项移到方程一边，其它项都移到方程另一边 【易错点】移项过程中未变号 等式的 性质1 1）移项时不要丢项； 2）将方程中的项从一边移到另一边要变号.而在方程同一边改变项的位置时不变号. 合并同类项 把方程变为ax=b（a≠0 )的形式 合并同类项法则 1）系数的符号处理要得当； 2）未知数及其指数不变. 系数化为1 将方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x= 等式的 性质2 不要将分子，分母的位置颠倒 知识2 解二元一次方程（组） 1）把二元一次方程组中的一个未知数消掉(代入消元或加减消元)使其变成一元一次方程； 2）解一元一次方程，求出一个未知数的值； 3）将求出的未知数的值代入原方程，求出另一个未知数的值； 4）写出方程组的解. 1．（2025·山东烟台·模拟预测）明代万历数学家程大位所著《算法统宗》一书列举各种应用题及解法，其中记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”意思为，有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达，则此人第六天走的路程为（   ） A．3里 B．4里 C．6里 D．8里 2．（2025·山东淄博·二模）已知关于，的二元一次方程组，则的值为（   ） A． B．2 C． D．4 3．（2025·河北沧州·三模）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设有客房x间，客人y人，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·湖北孝感·一模）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？译成白话文，其意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完．如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大小和尚各有几人？设大和尚人，小和尚人，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·河北·一模）关于x的方程的解为，则a的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 6．（2025·山东青岛·模拟预测）若等腰三角形的腰长恰好是方程的解，且它的底边长是偶数，则这个等腰三角形的周长为______． 7．（2025·山东泰安·三模）二元一次方程组的解是_____________． 8．（2025·山东淄博·三模）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程的解为，不等式组的解集为．因为，所以称方程是不等式组的“相伴方程”． (1)若不等式组为则方程是不是该不等式组的相伴方程？请说明理由； (2)若关于x的方程是不等式组的相伴方程，求a的取值范围； (3)若方程和2都是关于x的不等式组的相伴方程，求k的取值范围． 9．（2025·山东滨州·二模）（1）解方程：； （2）解不等式组：. 10．（2025·河南许昌·一模）在农作物不同的生长阶段运用科技手段实现精准施肥，可以提高产量和质量．某农场为种植小麦需要配制复合肥料．小麦在生长过程中需要大量的氮（N）促进叶片生长，适量的磷（P）促进根系发育，以及足够的钾（K）提高果实品质．农场有两种原料可供使用，其氮、磷、钾含量及成本如下表： 原料 氮（N）含量 （千克/吨） 磷（P）含量 （千克/吨） 钾（K）含量 （千克/吨） 成本 （元/吨） 原料A 20 40 30 600 原料B 50 10 40 800 (1)在小麦播种前农场根据土壤检测结果配制底肥，要求肥料中含有240千克氮、120千克磷，求使用A，B两种原料各多少吨？ (2)4月份，小麦进入拔节期，农场根据小麦长势和底肥用量计划配制追肥，要求追肥用量是底肥用量的，且含有不少于100千克钾，请设计出成本最低的配制方案． 题型一 求不等式组的解集 分别求解不等式组中每个不等式的解集→将解集在数轴上表示→借助数轴 / 解集口诀找公共部分→写出不等式组的最终解集。解集口诀速用：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解） 解不等式去分母时，漏乘不含分母的常数项；分子是多项式时，去分母后未给分子整体加括号，引发符号错误。 系数化为 1 时，不等式两边乘 / 除以同一个负数，忘记改变不等号方向，导致解集完全错误。 1．（2025·山东东营·中考真题）（1）计算：； （2）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上． 2．（2025·山东滨州·中考真题）（1）计算：； （2）解不等式：． 3．（2025·山东威海·中考真题）（1）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上； （2）解分式方程． 题型二 不等式组的整数解 规范求解不等式组→确定最终解集的边界范围→在取值范围内筛选出符合条件的整数解→按题干要求完成计算 / 作答。 解集边界判断错误，对≥、≤、＞、＜的边界把控不准，导致整数解多取、漏取。 1．（2025·山东济南·中考真题）解不等式组并写出它的所有整数解． 2．（2025·山东青岛·中考真题）（1）计算：； （2）解不等式组：并写出它的整数解． 3．（2024·山东淄博·中考真题）解不等式组：并求所有整数解的和． 题型三 已知不等式的解求参数 已知不等式解的范围求参数：先解不等式，用含参数的代数式表示未知数的解集，再根据 “正数解、负数解、非负解” 等限定条件，列关于参数的不等式，求解参数范围。 已知不等式组的解集求参数：先分别求解两个不等式的解集，再结合 “同大取大、同小取小” 的解集口诀，反向匹配已知解集，确定参数的取值范围，必须验证边界等号能否取到。 边界值的等号取舍错误，这是本题型最高频易错点，未对边界值单独验证，导致参数范围多取 / 漏取等号。 用含参数的代数式表示解集时，系数化为 1 过程中，忽略系数为负数的情况，不等号方向未改变，引发参数范围符号完全颠倒。 1．（2024·山东烟台·中考真题）关于的不等式有正数解，的值可以是______（写出一个即可）． 2．（2023·山东聊城·中考真题）若不等式组的解集为，则m的取值范围是______． 3．（2022·山东济宁·中考真题）若关于x的不等式组仅有3个整数解，则a的取值范围是（  ） A．－4≤a＜－2 B．－3＜a≤－2 C．－3≤a≤－2 D．－3≤a＜－2 题型四 实际应用 关键词精准转化：至少→≥，至多→≤，不超过→≤，不少于→≥，不足→＜，超过→＞。 对限定关键词理解偏差，比如 “不超过”“不少于” 对应的不等号用反，引发整个解题错误。 1．（2025·山东淄博·中考真题）爱好阅读的小胡购买了一本有关数学之美的课外书．下面是他的三个同学猜测该书价格的对话： 小胡在听到他们的对话后说：“你们三个都猜错了．”则这本书的价格（元）所在的范围是_______． 2．（2023·山东·中考真题）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少万元，且用万元购买A型充电桩与用万元购买B型充电桩的数量相等． (1)A，B两种型号充电桩的单价各是多少？ (2)该停车场计划共购买个A，B型充电桩，购买总费用不超过万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？ 3．（2023·山东淄博·中考真题）某古镇为发展旅游产业，吸引更多的游客前往游览，助力乡村振兴，决定在“五一”期间对团队*旅游实行门票特价优惠活动，价格如下表： 购票人数（人） 每人门票价（元） 60 50 40 *题中的团队人数均不少于10人 现有甲、乙两个团队共102人，计划利用“五一”假期到该古镇旅游，其中甲团队不足50人，乙团队多于50人． (1)如果两个团队分别购票，一共应付5580元，问甲、乙团队各有多少人？ (2)如果两个团队联合起来作为一个“大团队”购票，比两个团队各自购票节省的费用不少于1200元，问甲团队最少多少人？ 知识1 解一元一次不等式组 解一元一次不等式组的一般步骤 第一步：求出不等式组中各不等式的解集； 第二步：将各不等式的解集在数轴上表示出来； 第三步：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 【易错点】 1）利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分. 2）当不等式组中含有“≥”或“≤”时，边界点处要用实心圆点，解集的取法不变. 3）关于x的不等式组的解集为x=a，关于x的不等式组无解. 1．（2025·山东枣庄·模拟预测）不等式组的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·云南丽江·模拟预测）若在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·山东菏泽·三模）如果关于的方程有负根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏南通·一模）关于x的不等式组的整数解仅有5个，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．（2025·重庆·一模）若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为_______． 6．（2025·山东日照·一模）线段能构成三角形，且使关于的不等式组有解的所有整数的和为______． 7．（2025·黑龙江大庆·一模）若不等式组无解，则的取值范围为___________． 8．（2025·山东济南·模拟预测）不等式组的所有整数解的积 9．（2025·山东济南·模拟预测）解不等式组：，并写出它的整数解． 10．（2025·河南南阳·一模）2025年3月12日是我国第47个植树节．植树节前，某校计划采购一批树苗参加植树节活动．经了解，每棵乙种树苗比每棵甲种树苗贵10元，用900元购买甲种树苗的棵数恰好与用1200元购买乙种树苗的棵数相同． (1)求甲、乙两种树苗每棵的价格； (2)学校计划购买甲、乙两种树苗共600棵，经过与供货商沟通，每棵甲种树苗的售价不变，每棵乙种树苗的售价打9折，若要求购买时甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量的2倍，则学校应该如何设计购买方案，才能使购买树苗的总费用最少？ 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $