专题02 整式、分式、二次根式（复习讲义）（山东专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题02 整式、分式、二次根式 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 考点一 整式（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一：幂的运算 题型二：整式的概念 题型三：整式的运算 题型四：整式的化简求值 题型五：代数式中的规律 题型六：因式分解 必备知识 知识1 整式的混合运算 知识2 因式分解 命题预测 考点二 分式（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一：分式值为0或有无意义 题型二：分式的化简计算 题型三：分式的化简求值 必备知识 知识1 分式的运算 命题预测 考点三 二次根式（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一：二次根式有意义 题型二：二次根式的相关运算 必备知识 知识1 二次根式的运算 命题预测 命题 透视 命题形式：多以选择、填空基础题型呈现，少量融入解答题计算环节，题量稳定，难度偏低，聚焦基础运算能力考查。 命题内容： 1）整式：核心考查幂的运算、整式化简求值、因式分解，侧重基础运算法则与乘法公式应用。 2）分式：重点考查分式化简、化简求值，聚焦分母不为 0 的隐含条件与分式运算法则。 3）二次根式：主要考查根式有意义的取值范围、化简运算，紧扣非负性与运算法则。 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 整式的运算与化简求值 T4:幂的运算； T15：整式的化简求值 T2：幂的运算； T2：整式的化简 T11：单项式除以单项式； T16：整式的化简求值 T3：幂的运算； T9：整式的化简 T17：同类项求参数； T5：整式的化简 因式分解 T10：因式分解； T12：因式分解 T12：因式分解； T13：因式分解 T9：因式分解； T12：因式分解 T9：因式分解； T13：因式分解 T14：因式分解； T12：因式分解 分式的运算与化简求值 T13：分式的化简； T19：分式的化简求值 T19：分式的化简； T17：分式的化简求值 T18：分式的化简； T17：分式的化简 T19：分式的化简； T19：分式的化简求值 T17：分式的化简求值 二次根式的运算 T11：二次根式有意义； T12:二次根式的取值范围 T11：二次根式的运算； T3：二次根式的化简 T7：二次根式的化简； T11: 二次根式的化简运算 T13：二次根式有意义； T4：二次根式有意义 T9：二次根式的化简运算； T13：二次根式的化简运算 命题预测 1. 考情预测 · 整式 基础题：幂的四则运算法则、同类项判定、整式加减乘除运算、因式分解为必考基础考点，题型以选择、填空为主，侧重运算法则的精准应用与基础计算的准确性。 中档题：整式化简求值、代数式规律探究、新定义运算为高频创新考法，常结合非负性、整体代入思想命题，侧重逻辑推理与数学方法的应用。 工具性：整式运算、因式分解是方程求解、函数变形、几何代数化计算的核心工具，贯穿中考全卷综合题的解答环节。 · 分式： 基础题：分式有意义 / 无意义的条件、分式值为 0 的参数求解为固定考点，聚焦 “分母不为 0” 的隐含限制，题型以选择、填空为主。 中档题：分式混合化简、化简求值为必考题型，常结合不等式整数解、参数范围限定设置条件，侧重运算步骤的规范性与细节把控。 工具性：分式化简运算是分式方程、反比例函数综合题的必备运算基础，是代数综合与实际应用题的核心运算环节。 · 二次根式： 基础题：二次根式有意义的取值范围求解、最简二次根式判定为高频考点，紧扣二次根式被开方数非负的核心性质，题型以选择、填空为主。 中档题：二次根式的加减乘除混合运算、化简求值为必考内容，常融入实数综合运算解答题，侧重化简规则与运算准确性的考查。 工具性：二次根式化简是勾股定理计算、几何长度求解、函数坐标运算的必备技能，广泛应用于几何与函数综合题中。 2. 备考建议 ・夯实基础：熟练掌握整式、分式、二次根式的核心运算法则、基本性质与乘法公式，牢记各类易错点，规范运算书写步骤，确保基础选择、填空题零失分。 ・聚焦核心：重点突破整式化简求值、因式分解、分式混合运算、二次根式化简四大核心题型，固化 “先化简再求值”“一提二套三检查” 等解题规范，规避符号失误、公式误用、忽略分母 / 被开方数限制等高频易错点。 ・强化思想：针对性训练整体代入、分类讨论等核心数学思想，熟练掌握代数式规律探究、新定义运算类题型的解题思路，培养逻辑推理与知识迁移能力。 ・融合贯通：重视数与式的工具性属性，强化其与方程、不等式、函数、几何等模块的综合应用，打通知识壁垒，提升综合题的运算效率与解题准确性。 题型一 幂的运算  牢记幂的四大运算法则：同底数幂乘除底数不变、指数相加减；幂的乘方底数不变、指数相乘；积的乘方各因式分别乘方再相乘。精准判断符号：负数奇次幂为负，偶次幂为正；熟练掌握零指数幂、负整数指数幂的运算规则。 牢记幂的四大运算法则：同底数幂乘除底数不变、指数相加减；幂的乘方底数不变、指数相乘；积的乘方各因式分别乘方再相乘。精准判断符号：负数奇次幂为负，偶次幂为正；熟练掌握零指数幂、负整数指数幂的运算规则。 1．（2025·山东滨州·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东德州·中考真题）已知m，n是正整数，且满足，则m与n的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·山东济南·中考真题）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 题型二 整式的概念  单项式：系数为数字因数（含符号），次数为所有字母的指数和，π 视为常数。  多项式：明确项、常数项、次数的定义，次数为最高次项的次数；同类项判定紧扣 “两相同”：所含字母相同、相同字母的指数也相同。  误将 π 当作字母计算系数和次数；忽略单项式系数的符号，漏写负号。  计算单项式次数时，错误加入常数的指数；多项式的项漏写前面的符号。  同类项判断时，忽略相同字母的指数要求，或误以为字母顺序会影响同类项判定。 1（2024·山东泰安·中考真题）单项式的次数是________． 2（2024·吉林长春·中考真题）单项式的系数是_____________． 3（2024·重庆·中考真题）已知整式，其中为自然数，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的整式中有5个单项式； ②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个； ③满足条件的整式共有16个． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 题型三 整式的运算  整式加减：先去括号，再合并同类项，严格遵循去括号法则。  整式乘除：单项式乘除，系数、同底数幂分别运算，单独字母连同指数保留；多项式乘除，通过分配律转化为单项式运算逐项计算。  乘法公式：精准套用平方差公式、完全平方公式，先匹配公式结构再计算。  去括号出错，括号前是负号 / 负系数时，括号内项未全部变号；漏乘括号内的项。  乘法公式误用，完全平方公式漏写中间 2 倍项，平方差公式符号判断错误。  非同类项强行合并；合并同类项时系数计算错误、漏项。 1（2025·山东东营·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2（2025·山东威海·中考真题）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 3（2025·山东·中考真题）已知，则下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 题型四 整式的化简求值 规范步骤：先按运算法则、乘法公式化简，去括号、合并同类项至最简形式，再代入数值计算。 技巧应用：优先用整体代入思想，结合绝对值、平方的非负性，先求参数值或整体代数式的值，再代入求解。 规范步骤：先按运算法则、乘法公式化简，去括号、合并同类项至最简形式，再代入数值计算。 技巧应用：优先用整体代入思想，结合绝对值、平方的非负性，先求参数值或整体代数式的值，再代入求解。 1（2025·山东潍坊·中考真题）先化简，再求值：，其中，满足． 2．（2025·山东威海·中考真题）若，则___________． 3（2024·山东济宁·中考真题）先化简，再求值： ，其中，． 题型五 代数式中的规律  从特例入手，计算前 3-4 项的结果，对比数字、图形的变化特征，区分周期规律、递推规律、等差 / 等比规律。  提炼通项公式后，代入前几项验证规律的普适性，再根据题目要求求解项数、最值、不等式范围。  仅根据前 1-2 项就确定规律，忽略规律的一致性，导致通项公式推导错误。  图形类规律忽略初始项的基数，项数与规律的对应关系匹配偏差。  求解不等式、最值问题时，整数解的取值范围、最小 / 最大值判断错误。 1（2025·山东淄博·中考真题）画1条直线，最多把1张圆形纸片分割成2块区域； 画2条直线，最多把1张圆形纸片分割成4块区域； 画3条直线，最多把1张圆形纸片分割成7块区域； …… 如果要将一张圆形纸片分割成的区域不少于5000块，则至少要画的直线条数是_______． 2（2025·山东东营·中考真题）如图所示，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则的值为_____． 3．（2024·山东潍坊·中考真题）将连续的正整数排成如图所示的数表．记为数表中第行第列位置的数字，如，，．若，则______，______． 题型六 因式分解 严格遵循 “一提二套三检查” 的步骤： 1. 一提：先提取公因式，若多项式首项为负，先提取负号； 2. 二套：两项式匹配平方差公式，三项式匹配完全平方公式； 3. 三检查：最终检查每个因式是否分解彻底，能否继续分解。 漏提公因式，或公因式提取不彻底；提取负号后，括号内各项未同步变号。 公式结构判断失误，错误套用平方差、完全平方公式；混淆因式分解与整式乘法，出现循环变形。 分解不彻底，因式仍可继续分解却提前终止；因式分解的结果不是整式乘积的形式。 1．（2025·山东青岛·中考真题）因式分解___________ 2．（2025·山东东营·中考真题）因式分解____________． 3．（2025·山东烟台·中考真题）因式分解：________． 知识1 整式的混合运算 1.整式的加减运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 2.幂的运算 法则（m，n都是整数） 示例 同底数幂的乘法 底数不变，指数______即 幂的乘方 底数不变，指数____，即 积的乘方 积的乘方等于把每一个因式分别____，再把所得的积____，即 同底数幂的除法 底数不变，指数__，即（a≠0） 3.整式的乘法 单项式乘单项式 单项式与单项式相乘，把它们的系数，同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 单项式乘多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即. 多项式乘多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．即. 乘法 公式 平方差公式： 完全平方公式： 4.整式的除法 单项式除以单项式 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 多项式除以单项式 一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即 知识2 因式分解 1．（2025·山东菏泽·二模）已知，则代数式的值为（    ） A．1 B． C．5 D． 2．（2025·山东泰安·模拟预测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·山东泰安·一模）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（2025·河北沧州·一模）要使的化简结果为单项式，则括号内的整式可以是（     ） A． B． C． D． 5．（2025·山东济南·模拟预测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·山东青岛·模拟预测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·山东青岛·模拟预测）计算： （    ） A．1 B． C． D． 8．（2025·山东滨州·二模）小夏今天在课堂练习中做了以下4道题，其中做对的有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（2025·山东·模拟预测）下列运算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（2025·山西·模拟预测）分解因式：________． 11．（2025·山东聊城·二模）若，，则的值为_________． 12．（2025·山东泰安·一模）分解因式的结果是________． 13．（2025·山东青岛·模拟预测）先化简，再求值：，其中，． 题型一 分式值为0或有无意义  分式有意义：核心是保证所有分母均不为 0，含多层嵌套分式的，需确保每一层分母都不等于 0，列不等式（组）求解取值范围。  分式无意义：只要任意一个分母为 0 即可，直接令分母 = 0 求解对应参数值。  分式值为 0：必须同时满足两个核心条件，分子为 0且分母不为 0；先解分子的方程，再代入分母检验，排除使分母为 0 的增根。  求解分式值为 0 时，只关注分子为 0，完全忽略分母不能为 0 的硬性限制，导致出现增根错误。  处理复合嵌套分式时，漏看内层分母，仅考虑最外层分母，造成取值范围求解不全。  分母含平方、绝对值等非负式时，错误判断分母为 0 的情况，忽略非负式的恒成立限制。 1．（2025·山东淄博·中考真题）若分式有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且且 2．（2025·山东·中考真题）写出使分式有意义的的一个值______． 3．（2024·山东济南·中考真题）若分式的值为0，则的值是________． 题型二 分式的化简计算  严格遵循运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内的运算，同级运算按从左到右的顺序进行。  加减运算：异分母分式先通分，先对分母因式分解，找到最简公分母，化为同分母分式后，分母不变、分子相加减。  乘除运算：先对分子、分母分别因式分解；除法先转化为乘法（颠倒除式的分子、分母），再交叉约分，最终化为最简分式或整式。  乘方运算：分子、分母分别乘方，同步处理好系数的乘方与符号。  通分、约分前因式分解错误，尤其平方差、完全平方公式套用失误，导致公分母找错、约分出错。  运算顺序混乱，颠倒乘除与加减、括号内外的运算优先级，造成计算结果错误。  符号处理失误，分数线兼具括号作用，分子为多项式时，通分、变号时未给分子整体加括号，导致符号连环出错。  约分后漏写分子 / 分母为 1 的项，或把分母全部约掉后，误将结果写为 0。 1．（2025·山东东营·中考真题）化简____________． 2．（2025·山东德州·中考真题）化简：． 3．（2025·山东潍坊·中考真题）计算的结果是（　　） A．1 B． C．0 D． 题型三 分式化简求值  规范解题流程：先按分式混合运算法则，将原式化简为最简分式 / 整式，再代入数值计算，严禁直接代入原式硬算。  分场景精准代入： · 给定明确数值：先检验数值是否使原式所有分母、除式不为 0，再代入最简式计算。 · 自选数值 / 范围限定：优先选取使原式所有分母、除式均不为 0 的数值，彻底避开增根。 · 条件为方程 / 等式：优先用整体代入思想，变形已知条件匹配化简后的式子，避免盲目解方程。 化简过程中，符号处理、因式分解、乘法公式套用错误，导致化简结果出错，最终求值全部错误。 自选数值代入时，忽略原式中所有分母、除式不能为 0 的限制，选取了增根，导致解题完全错误。 代入负数、分数进行乘方、除法运算时，漏加括号，造成符号、运算顺序错误，最终结果偏差。 整体代入时，已知条件变形错误，或化简后的式子与已知条件匹配失误，无法完成正确代入。 1．（2025·山东滨州·中考真题）已知，，． (1)若，求C的值； (2)当，且为整数时，求x的整数值． 2．（2025·山东东营·中考真题）先化简，再求值：，其中是使不等式成立的正整数． 3．（2025·山东烟台·中考真题）先化简，再求值：，其中． 知识1 分式的运算 加减运算 1）同分母分式：分母不变，把分子相加减，即. 2）异分母分式：先通分，变为同分母的分式，再加减，即. 乘除运算 1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即. 2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即. 乘方运算 分式的乘方是把分子、分母分别乘方，即（n为正整数，且b≠0） 混合运算 分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 1．（2025·山东济南·模拟预测）当 ______时，分式的值为． 2．（2025·山东·模拟预测）若表示一个整数，则整数可取值的个数是______个． 3．（2025·山东烟台·模拟预测）使代数式有意义的x的取值范围是 ____________． 4．（2025·甘肃武威·二模）已知，那么______． 5．（2025·山东青岛·模拟预测）（1）化简：     （2）解不等式组，并写出奇数解 6．（2025·广西·模拟预测）计算： (1)； (2)． 7．（2025·陕西西安·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 8．（2025·北京·模拟预测）（1）当，时，求分式的值； （2）当，时，求分式的值． 9．（2025·广东广州·模拟预测）化简求值：，其中． 10．（2025·山东泰安·一模）计算： (1)； (2)，再选一个合适的a的值代入求值，其中且a为整数． 题型一 二次根式有意义 1）一个分式的分子或分母中含有分式时，只要任何一个分母为零，分式都没有意义；分式要想有意义，必须所有分母都不为零. 2）分式的值为0的条件: ①分子为0；②分母不为0，两个条件需同时具备，缺一不可. 当分式值为0时，忽略分母不能为0的限制条件而导致结果错误. 1．（2025·山东德州·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 2．（2024·山东烟台·中考真题）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为________． 3．（2023·山东·中考真题）若代数式有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 题型二 二次根式的相关运算 1）一个分式的分子或分母中含有分式时，只要任何一个分母为零，分式都没有意义；分式要想有意义，必须所有分母都不为零. 2）分式的值为0的条件: ①分子为0；②分母不为0，两个条件需同时具备，缺一不可. 当分式值为0时，忽略分母不能为0的限制条件而导致结果错误. 1．（2025·山东青岛·中考真题）（1）计算：； （2）解不等式组：并写出它的整数解． 2．（2025·山东烟台·中考真题）实数的整数部分为________． 3．（2024·山东淄博·中考真题）计算：__________． 知识1 二次根式的运算 加减运算 一般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并，即. 乘法运算 除法运算 混合运算 二次根式的混合运算实质上就是实数的混合运算和无理式的混合运算. 1．（2025·云南丽江·模拟预测）若在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东青岛·模拟预测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·上海·期中）如果代数式有意义，那么的取值范围是________． 4．（2025·山东·模拟预测）若，则__________． 5．（2025·山东青岛·二模）计算：______． 6．（2025·山东青岛·模拟预测）计算______． 7．（2025·山东青岛·模拟预测）计算：________． 8．（2025·山东青岛·模拟预测）计算：______________． 9．（2024·陕西咸阳·模拟预测）比较大小：______（填“”“”或“”）． 10．（2025·山东枣庄·一模）先化简，再求值：，其中． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 整式、分式、二次根式 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 考点一 整式（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一：幂的运算 题型二：整式的概念 题型三：整式的运算 题型四：整式的化简求值 题型五：代数式中的规律 题型六：因式分解 必备知识 知识1 整式的混合运算 知识2 因式分解 命题预测 考点二 分式（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一：分式值为0或有无意义 题型二：分式的化简计算 题型三：分式的化简求值 必备知识 知识1 分式的运算 命题预测 考点三 二次根式（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一：二次根式有意义 题型二：二次根式的相关运算 必备知识 知识1 二次根式的运算 命题预测 命题 透视 命题形式：多以选择、填空基础题型呈现，少量融入解答题计算环节，题量稳定，难度偏低，聚焦基础运算能力考查。 命题内容： 1）整式：核心考查幂的运算、整式化简求值、因式分解，侧重基础运算法则与乘法公式应用。 2）分式：重点考查分式化简、化简求值，聚焦分母不为 0 的隐含条件与分式运算法则。 3）二次根式：主要考查根式有意义的取值范围、化简运算，紧扣非负性与运算法则。 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 整式的运算与化简求值 T4:幂的运算； T15：整式的化简求值 T2：幂的运算； T2：整式的化简 T11：单项式除以单项式； T16：整式的化简求值 T3：幂的运算； T9：整式的化简 T17：同类项求参数； T5：整式的化简 因式分解 T10：因式分解； T12：因式分解 T12：因式分解； T13：因式分解 T9：因式分解； T12：因式分解 T9：因式分解； T13：因式分解 T14：因式分解； T12：因式分解 分式的运算与化简求值 T13：分式的化简； T19：分式的化简求值 T19：分式的化简； T17：分式的化简求值 T18：分式的化简； T17：分式的化简 T19：分式的化简； T19：分式的化简求值 T17：分式的化简求值 二次根式的运算 T11：二次根式有意义； T12:二次根式的取值范围 T11：二次根式的运算； T3：二次根式的化简 T7：二次根式的化简； T11: 二次根式的化简运算 T13：二次根式有意义； T4：二次根式有意义 T9：二次根式的化简运算； T13：二次根式的化简运算 命题预测 1. 考情预测 · 整式 基础题：幂的四则运算法则、同类项判定、整式加减乘除运算、因式分解为必考基础考点，题型以选择、填空为主，侧重运算法则的精准应用与基础计算的准确性。 中档题：整式化简求值、代数式规律探究、新定义运算为高频创新考法，常结合非负性、整体代入思想命题，侧重逻辑推理与数学方法的应用。 工具性：整式运算、因式分解是方程求解、函数变形、几何代数化计算的核心工具，贯穿中考全卷综合题的解答环节。 · 分式： 基础题：分式有意义 / 无意义的条件、分式值为 0 的参数求解为固定考点，聚焦 “分母不为 0” 的隐含限制，题型以选择、填空为主。 中档题：分式混合化简、化简求值为必考题型，常结合不等式整数解、参数范围限定设置条件，侧重运算步骤的规范性与细节把控。 工具性：分式化简运算是分式方程、反比例函数综合题的必备运算基础，是代数综合与实际应用题的核心运算环节。 · 二次根式： 基础题：二次根式有意义的取值范围求解、最简二次根式判定为高频考点，紧扣二次根式被开方数非负的核心性质，题型以选择、填空为主。 中档题：二次根式的加减乘除混合运算、化简求值为必考内容，常融入实数综合运算解答题，侧重化简规则与运算准确性的考查。 工具性：二次根式化简是勾股定理计算、几何长度求解、函数坐标运算的必备技能，广泛应用于几何与函数综合题中。 2. 备考建议 ・夯实基础：熟练掌握整式、分式、二次根式的核心运算法则、基本性质与乘法公式，牢记各类易错点，规范运算书写步骤，确保基础选择、填空题零失分。 ・聚焦核心：重点突破整式化简求值、因式分解、分式混合运算、二次根式化简四大核心题型，固化 “先化简再求值”“一提二套三检查” 等解题规范，规避符号失误、公式误用、忽略分母 / 被开方数限制等高频易错点。 ・强化思想：针对性训练整体代入、分类讨论等核心数学思想，熟练掌握代数式规律探究、新定义运算类题型的解题思路，培养逻辑推理与知识迁移能力。 ・融合贯通：重视数与式的工具性属性，强化其与方程、不等式、函数、几何等模块的综合应用，打通知识壁垒，提升综合题的运算效率与解题准确性。 考点一 整式 题型一 幂的运算  牢记幂的四大运算法则：同底数幂乘除底数不变、指数相加减；幂的乘方底数不变、指数相乘；积的乘方各因式分别乘方再相乘。精准判断符号：负数奇次幂为负，偶次幂为正；熟练掌握零指数幂、负整数指数幂的运算规则。 牢记幂的四大运算法则：同底数幂乘除底数不变、指数相加减；幂的乘方底数不变、指数相乘；积的乘方各因式分别乘方再相乘。精准判断符号：负数奇次幂为负，偶次幂为正；熟练掌握零指数幂、负整数指数幂的运算规则。 1．（2025·山东滨州·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查指数运算的基本规则，包括合并同类项、积的乘方、同底数幂的除法和幂的乘方，根据相关运算法则逐一计算即可． 【详解】解：A、与指数不同，不能直接相加，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算正确，符合题意； 故选：D． 2．（2025·山东德州·中考真题）已知m，n是正整数，且满足，则m与n的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法运算，熟练掌握同底数幂的乘法是解题的关键；由题意易得，即可求解． 【详解】解：， ， 故选：A． 3．（2025·山东济南·中考真题）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法运算，幂的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据合并同类项，同底数幂的乘除法运算，幂的乘方运算法则一一判断即可． 【详解】解：A、，计算正确，符合题意； B、，原选项错误，不符合题意； C、与不是同类项，不能合并，原选项错误，不符合题意； D、，原选项错误，不符合题意； 故选：A． 题型二 整式的概念  单项式：系数为数字因数（含符号），次数为所有字母的指数和，π 视为常数。  多项式：明确项、常数项、次数的定义，次数为最高次项的次数；同类项判定紧扣 “两相同”：所含字母相同、相同字母的指数也相同。  误将 π 当作字母计算系数和次数；忽略单项式系数的符号，漏写负号。  计算单项式次数时，错误加入常数的指数；多项式的项漏写前面的符号。  同类项判断时，忽略相同字母的指数要求，或误以为字母顺序会影响同类项判定。 1（2024·山东泰安·中考真题）单项式的次数是________． 【答案】 【分析】根据单项式次数的定义进行解答即可． 【详解】解：单项式中，的指数是，的指数是， ∴此单项式的次数为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查单项式的次数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．理解和掌握单项式次数的定义是解题的关键． 2（2024·吉林长春·中考真题）单项式的系数是_____________． 【答案】 【分析】本题考查的是单项式，熟知单项式中的数字因数叫做单项式的系数是解题的关键． 根据单项式系数的定义解答即可． 【详解】解：单项式的系数是． 故答案为：． 3（2024·重庆·中考真题）已知整式，其中为自然数，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的整式中有5个单项式； ②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个； ③满足条件的整式共有16个． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查的是整式的规律探究，分类讨论思想的应用，由条件可得，再分类讨论得到答案即可． 【详解】解：∵为自然数，为正整数，且， ∴， 当时，则， ∴，， 满足条件的整式有， 当时，则， ∴，，，， 满足条件的整式有：，，，， 当时，则， ∴，，，，，， 满足条件的整式有：，，，，，； 当时，则， ∴，，，， 满足条件的整式有：，，，； 当时，， 满足条件的整式有：； ∴满足条件的单项式有：，，，，，故①符合题意； 不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个；故②符合题意； 满足条件的整式共有个．故③符合题意； 故选D 题型三 整式的运算  整式加减：先去括号，再合并同类项，严格遵循去括号法则。  整式乘除：单项式乘除，系数、同底数幂分别运算，单独字母连同指数保留；多项式乘除，通过分配律转化为单项式运算逐项计算。  乘法公式：精准套用平方差公式、完全平方公式，先匹配公式结构再计算。  去括号出错，括号前是负号 / 负系数时，括号内项未全部变号；漏乘括号内的项。  乘法公式误用，完全平方公式漏写中间 2 倍项，平方差公式符号判断错误。  非同类项强行合并；合并同类项时系数计算错误、漏项。 1（2025·山东东营·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了去括号，二次根式的减法运算，同底数幂的除法，完全平方公式，掌握这些知识是解题的关键．运用去括号法则、二次根式的减法运算法则、指数运算法则和完全平方公式．通过逐一验证每个选项的计算是否正确， 【详解】解：A、，A错误． B、和不是同类二次根式，， B错误． C、， C正确． D、， D错误． 故选C 2（2025·山东威海·中考真题）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，幂的乘方计算，同底数幂除法计算，分式的乘除法计算，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 3（2025·山东·中考真题）已知，则下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了合并同类项、幂的乘方、同底数幂除法等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂除法法则逐项判断即可解答． 【详解】解：A．，故该选项错误，不符合题意； B．，故该选项正确，符合题意； C．与不是同类项，无法合并为，故该选项错误，不符合题意； D．，故该选项错误，不符合题意． 故选：B． 题型四 整式的化简求值 规范步骤：先按运算法则、乘法公式化简，去括号、合并同类项至最简形式，再代入数值计算。 技巧应用：优先用整体代入思想，结合绝对值、平方的非负性，先求参数值或整体代数式的值，再代入求解。 规范步骤：先按运算法则、乘法公式化简，去括号、合并同类项至最简形式，再代入数值计算。 技巧应用：优先用整体代入思想，结合绝对值、平方的非负性，先求参数值或整体代数式的值，再代入求解。 1（2025·山东潍坊·中考真题）（1）先化简，再求值：，其中，满足． （2）解方程组：． 【答案】（），；（）． 【分析】本题考查了整式的化简求值，解二元一次方程组，掌握运算法则和方程组解法是解题的关键． （）先由单项式乘以多项式，完全平方公式进行化简，然后合并同类项化成最简，再把代入求解即可； （）利用代入消元解方程组即可． 【详解】解：（）， 因为， 所以． （）解：， 由得， 将代入，得， 解得， 将代入，得， ∴该方程组的解为． 2．（2025·山东威海·中考真题）若，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，掌握整体的思想是解题的关键． 先将变形为，然后将变形为，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3（2024·山东济宁·中考真题）先化简，再求值： ，其中，． 【答案】 【分析】先将原式利用多项式乘以多项式，以及平方差公式化简，去括号合并同类项得到最简结果，再把x与y的值代入计算即可求出结果． 此题考查了整式的混合运算及化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 题型五 代数式中的规律  从特例入手，计算前 3-4 项的结果，对比数字、图形的变化特征，区分周期规律、递推规律、等差 / 等比规律。  提炼通项公式后，代入前几项验证规律的普适性，再根据题目要求求解项数、最值、不等式范围。  仅根据前 1-2 项就确定规律，忽略规律的一致性，导致通项公式推导错误。  图形类规律忽略初始项的基数，项数与规律的对应关系匹配偏差。  求解不等式、最值问题时，整数解的取值范围、最小 / 最大值判断错误。 1（2025·山东淄博·中考真题）画1条直线，最多把1张圆形纸片分割成2块区域； 画2条直线，最多把1张圆形纸片分割成4块区域； 画3条直线，最多把1张圆形纸片分割成7块区域； …… 如果要将一张圆形纸片分割成的区域不少于5000块，则至少要画的直线条数是_______． 【答案】 【分析】本题考查规律问题，先得到n条直线，最多把1张圆形纸片分割成块区域，根据题意可得，然后得到n的最小整数解即可． 【详解】解：画1条直线，最多把1张圆形纸片分割成块区域； 画2条直线，最多把1张圆形纸片分割成块区域； 画3条直线，最多把1张圆形纸片分割成块区域； …… 画n条直线，最多把1张圆形纸片分割成块区域； ∵将一张圆形纸片分割成的区域不少于5000块， ∴，即， 又∵，， ∴至少要画的直线条数是条， 故答案为：． 2（2025·山东东营·中考真题）如图所示，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质、正方形的面积以及规律型中数字的变化类，根据面积的变化找出变化规律“”是解题的关键．根据题意求出面积标记为的正方形的边长，得到，同理求出，得到规律，根据规律解答． 【详解】解：如图， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍， ∵正方形的边长为2， ， ∴面积标记为的正方形边长为， 则， 面积标记为的正方形边长为， 则， 面积标记为的正方形的边长为， 则， ……， ， 则的值为：， 故答案为：． 3．（2024·山东潍坊·中考真题）将连续的正整数排成如图所示的数表．记为数表中第行第列位置的数字，如，，．若，则______，______． 【答案】 45 2 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，解题的关键是找出规律：当正整数为时，若为奇数，则在第行，第1列，下一个数再下一行，上一个数在第2列；若为偶数，则在第1行，第列，下一个数再下一列，上一个数在第2行． 【详解】解：由图中排布可知，当正整数为时， 若为奇数，则在第行，第1列，下一个数再下一行，上一个数在第2列； 若为偶数，则在第1行，第列，下一个数再下一列，上一个数在第2行； ∵， 而，在第行，第1列， ∴2024在第行，第2列， ∴，， 故答案为：45，2． 题型六 因式分解 严格遵循 “一提二套三检查” 的步骤： 1. 一提：先提取公因式，若多项式首项为负，先提取负号； 2. 二套：两项式匹配平方差公式，三项式匹配完全平方公式； 3. 三检查：最终检查每个因式是否分解彻底，能否继续分解。 漏提公因式，或公因式提取不彻底；提取负号后，括号内各项未同步变号。 公式结构判断失误，错误套用平方差、完全平方公式；混淆因式分解与整式乘法，出现循环变形。 分解不彻底，因式仍可继续分解却提前终止；因式分解的结果不是整式乘积的形式。 1．（2025·山东青岛·中考真题）因式分解___________ 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的提公因式法与公式法，熟练掌握提公因式法和平方差公式是解题的关键．先提取多项式中的公因式，再对剩余部分使用平方差公式进行分解． 【详解】解： ， 故答案为：． 2．（2025·山东东营·中考真题）因式分解____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了综合运用提公因式以及公式法分解因式，先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解． 【详解】解： 故答案为： 3．（2025·山东烟台·中考真题）因式分解：________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解； 先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解． 【详解】解：， 故答案为：． 知识1 整式的混合运算 1.整式的加减运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 2.幂的运算 法则（m，n都是整数） 示例 同底数幂的乘法 底数不变，指数__相加____即 幂的乘方 底数不变，指数_相乘___，即 积的乘方 积的乘方等于把每一个因式分别__乘方__，再把所得的积__相乘__，即 同底数幂的除法 底数不变，指数_相减_，即（a≠0） 3.整式的乘法 单项式乘单项式 单项式与单项式相乘，把它们的系数，同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 单项式乘多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即. 多项式乘多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．即. 乘法 公式 平方差公式： 完全平方公式： 4.整式的除法 单项式除以单项式 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 多项式除以单项式 一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即 知识2 因式分解 1．（2025·山东菏泽·二模）已知，则代数式的值为（    ） A．1 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的混合运算和求值，掌握整体代入的方法是解题的关键． 先把所给条件变形为，再将代数式计算乘法，合并同类项得，变形为，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选：B 2．（2025·山东泰安·模拟预测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法和除法，解题的关键是掌握各运算法则． 根据合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法和除法运算法则逐项进行判断即可． 【详解】选项验证： A．，该选项错误，不符合题意； B．，该选项正确，符合题意； C．，该选项错误，不符合题意； D．，该选项错误，不符合题意； 故选：B． 3．（2025·山东泰安·一模）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式、积的乘方，整数指数幂的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据运算法则，计算出各个选项中式子的正确结果，逐项判断即可． 【详解】解：A、，故选项A不符合题意； B、，故选项B不符合题意； C、，故选项C不符合题意； D、，故选项D符合题意； 故选：D． 4．（2025·河北沧州·一模）要使的化简结果为单项式，则括号内的整式可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减，单项式的定义，根据整式的加减运算法则，先去括号，再合并同类项即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、，不是单项式，故选项不符合题意； B、，不是单项式，故选项不符合题意； C、，不是单项式，故选项不符合题意； D、，是单项式，故选项符合题意； 故选：D． 5．（2025·山东济南·模拟预测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方、单项式乘单项式、完全平方公式、合并同类项，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据幂的乘方、单项式乘单项式、完全平方公式、合并同类项，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、，故此选项计算错误，不符合题意； B、，故此选项计算错误，不符合题意； C、，故此选项计算错误，不符合题意； D、，故此选项计算正确，符合题意； 故选：D． 6．（2025·山东青岛·模拟预测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式除以单项式、单项式乘单项式等知识点，掌握相关运算法则即可． 【详解】解：，故A错误； ，故B错误； 不是同类项，不能合并，故C错误； ，故D正确； 故选：D 7．（2025·山东青岛·模拟预测）计算： （    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了积的乘方，单项式除以单项式，正确掌握相关性质是解题的关键．先运算积的乘方，再根据单项式除以单项式进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意， ， 故选：D． 8．（2025·山东滨州·二模）小夏今天在课堂练习中做了以下4道题，其中做对的有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂相除，积的乘方，同底数幂相乘等幂的运算，单项式乘多项式，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键．根据同底数幂相除，积的乘方，同底数幂相乘等幂的运算，单项式乘多项式的运算法则逐个判断即可． 【详解】解：①，故原计算错误； ②，故原计算正确； ③，故原计算正确； ④，故原计算错误． 综上，小夏做对的有2个． 故选：B 9．（2025·山东·模拟预测）下列运算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查多项式除以单项式，同底数幂的乘法，完全平方公式以及幂的乘方，运用相关知识求出各选项的结果进行判断即可． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，计算正确，符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意． 故选：B． 10．（2025·山西·模拟预测）分解因式：________． 【答案】/ 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、分解因式，先根据多项式乘以多项式的运算法则去括号，再合并同类项，最后利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 11．（2025·山东聊城·二模）若，，则的值为_________． 【答案】9 【分析】此题考查了因式分解的应用，熟记公式结构正确将原式分解因式是解题的关键． 通过因式分解，将原式化为，然后代入已知条件计算． 【详解】 ； ，， 所以原式 ． 故答案为：9． 12．（2025·山东泰安·一模）分解因式的结果是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了提取公因式法分解因式，正确确定公因式是解题关键． 【详解】解： ． 故答案为：． 13．（2025·山东青岛·模拟预测）（1）解不等式组：； （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． （2）先根据完全平方公式和平方差公式去括号，再合并同类项，最后计算除法即可化简，代入，计算即可得解． 【详解】解：（1）， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ∴不等式组的解集为； （2） ， 当，时，原式． 考点二 分式 题型一 分式值为0或有无意义  分式有意义：核心是保证所有分母均不为 0，含多层嵌套分式的，需确保每一层分母都不等于 0，列不等式（组）求解取值范围。  分式无意义：只要任意一个分母为 0 即可，直接令分母 = 0 求解对应参数值。  分式值为 0：必须同时满足两个核心条件，分子为 0且分母不为 0；先解分子的方程，再代入分母检验，排除使分母为 0 的增根。  求解分式值为 0 时，只关注分子为 0，完全忽略分母不能为 0 的硬性限制，导致出现增根错误。  处理复合嵌套分式时，漏看内层分母，仅考虑最外层分母，造成取值范围求解不全。  分母含平方、绝对值等非负式时，错误判断分母为 0 的情况，忽略非负式的恒成立限制。 1．（2025·山东淄博·中考真题）若分式有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且且 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件，据此求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得且且， 故选：D． 2．（2025·山东·中考真题）写出使分式有意义的的一个值______． 【答案】1（不唯一） 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件为分母不等于零是解题的关键． 先根据分式有意义的确定x的取值范围，然后确定x的可能取的值即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴，解得：． ∴的取值可以为． 故答案为：1（不唯一）． 3．（2024·山东济南·中考真题）若分式的值为0，则的值是________． 【答案】1 【分析】直接利用分式值为零的条件，则分子为零进而得出答案． 【详解】∵分式的值为0， ∴x−1＝0，2x≠0 解得：x＝1． 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查了分式值为零的条件，正确把握分式的相关性质是解题关键． 题型二 分式的化简计算  严格遵循运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内的运算，同级运算按从左到右的顺序进行。  加减运算：异分母分式先通分，先对分母因式分解，找到最简公分母，化为同分母分式后，分母不变、分子相加减。  乘除运算：先对分子、分母分别因式分解；除法先转化为乘法（颠倒除式的分子、分母），再交叉约分，最终化为最简分式或整式。  乘方运算：分子、分母分别乘方，同步处理好系数的乘方与符号。  通分、约分前因式分解错误，尤其平方差、完全平方公式套用失误，导致公分母找错、约分出错。  运算顺序混乱，颠倒乘除与加减、括号内外的运算优先级，造成计算结果错误。  符号处理失误，分数线兼具括号作用，分子为多项式时，通分、变号时未给分子整体加括号，导致符号连环出错。  约分后漏写分子 / 分母为 1 的项，或把分母全部约掉后，误将结果写为 0。 1．（2025·山东东营·中考真题）化简____________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算． 先对括号内的表达式进行通分相加，然后将除法运算转化为乘法运算，利用平方差公式分解因式并约分即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 2．（2025·山东德州·中考真题）（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）（2）． 【分析】（1）根据二次根式，绝对值，乘方计算解答即可； （2）利用因式分解，约分，混合运算的法则解答即可． 本题考查了二次根式的化简，绝对值，有理数的乘方，分式的化简，熟练掌握运算法则和性质是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（2025·山东潍坊·中考真题）计算的结果是（　　） A．1 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的加法运算，将分母化为同分母，再根据同分母分式的运算法则，进行计算即可． 【详解】解：； 故选B． 题型三 分式化简求值  规范解题流程：先按分式混合运算法则，将原式化简为最简分式 / 整式，再代入数值计算，严禁直接代入原式硬算。  分场景精准代入： · 给定明确数值：先检验数值是否使原式所有分母、除式不为 0，再代入最简式计算。 · 自选数值 / 范围限定：优先选取使原式所有分母、除式均不为 0 的数值，彻底避开增根。 · 条件为方程 / 等式：优先用整体代入思想，变形已知条件匹配化简后的式子，避免盲目解方程。 化简过程中，符号处理、因式分解、乘法公式套用错误，导致化简结果出错，最终求值全部错误。 自选数值代入时，忽略原式中所有分母、除式不能为 0 的限制，选取了增根，导致解题完全错误。 代入负数、分数进行乘方、除法运算时，漏加括号，造成符号、运算顺序错误，最终结果偏差。 整体代入时，已知条件变形错误，或化简后的式子与已知条件匹配失误，无法完成正确代入。 1．（2025·山东滨州·中考真题）已知，，． (1)若，求C的值； (2)当，且为整数时，求x的整数值． 【答案】(1) (2)或4 【分析】本题考查分式的化简，分式的混合运算，熟练掌握分式的基本性质，分式的混合运算法则，是解题的关键： （1）化简，得到，根据混合运算法则求出，即可得出结果； （2）根据，结合，得到，进而得到，根据为整数得到，且，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ． ∴． ∵， ∴． （2）由（1），得：， ∴， 当时，． ∵与均为整数， ∴或． ∴， 又∵且， ∴且． ∴或4． 2．（2025·山东东营·中考真题）（1）计算： （2）先化简，再求值：，其中是使不等式成立的正整数． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，分式化简求值，分式有意义的条件，解不等式，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． （1）先把特殊角的三角函数值代入，并计算零指数幂和负整数指数幂，进行开方运算，再算加减即可； （2）先根据分式混合运算法则进行化简，然后求出不等式的解集，得出正整数的值，再代入数据计算即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2） ， 是使不等式成立的正整数， 且为正整数， ，2，3， 又，， ，3，， ， 当时，原式． 3．（2025·山东烟台·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查的是分式的化简求值，先计算括号内的分式的加减运算，再计算除法运算，最后把代入计算即可. 【详解】解： ， ∵， ∴原式. 知识1 分式的运算 加减运算 1）同分母分式：分母不变，把分子相加减，即. 2）异分母分式：先通分，变为同分母的分式，再加减，即. 乘除运算 1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即. 2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即. 乘方运算 分式的乘方是把分子、分母分别乘方，即（n为正整数，且b≠0） 混合运算 分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 1．（2025·山东济南·模拟预测）当 ______时，分式的值为． 【答案】或/9或0 【分析】本题考查分式值为零的条件，解题关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少． 根据分式的值为零的条件可得，且，再解即可． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：或9， 故答案为或． 2．（2025·山东·模拟预测）若表示一个整数，则整数可取值的个数是______个． 【答案】 【分析】本题考查了根据分式得值求参数，根据表示一个整数，则是的约数，即可求解． 【详解】解：因为表示一个整数， ∴是的因数， 故的值为，，，，，，，， ∴，，，，，，，，共个． 故答案为：． 3．（2025·山东烟台·模拟预测）使代数式有意义的x的取值范围是 ____________． 【答案】且 【分析】本题考查的是根式有意义的条件和分式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴且， ∴x的取值范围是且． 故答案为：且． 4．（2025·甘肃武威·二模）已知，那么______． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是分式的化简求值，解题关键是熟练掌握分式的加减运算法则． 利用分式的加减运算法则，将所求分式拆分为已知分式与常数的差，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：， 又， 原式． 故答案为：． 5．（2025·山东青岛·模拟预测）（1）化简：     （2）解不等式组，并写出奇数解 【答案】（1）（2）；奇数解为：，，， 【分析】本题考查了分式的混合运算，解不等式组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先通分括号内，再运算除法，化简得，即可作答． （2）分别算出每个不等式的解集，再取它们的公共部分的解集为不等式组的解集，再写出奇数解即可作答． 【详解】解：（1） （2） 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为：；奇数解为：，，，． 6．（2025·广西·模拟预测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)14 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算和分式的混合运算，熟练运算法则和平方差公式是解题的关键． （1）先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算； （2）先通分，化为同分母分式，再将除法转化为乘法，根据平方差公式计算即可； 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 7．（2025·陕西西安·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的加、减、乘、除运算法则是解决本题的关键．根据分式的运算法则先化简，再代入求值即可． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式． 8．（2025·北京·模拟预测）（1）当，时，求分式的值； （2）当，时，求分式的值． 【答案】（1）；（2）75 【分析】本题考查了分式的化简求值． （1）利用分式的基本性质先化简再代入求值； （2）利用分式的基本性质先化简再代入求值． 【详解】解：（1）原式 ， 当，时， 原式 ； （2）原式 ， 当，时， 原式 ． 9．（2025·广东广州·模拟预测）化简求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，先将原式化简，再利用整体代入法. 由已知条件 得出 ，代入化简后的式子求值即可． 【详解】解：由题意得，分母 且 ， 解得 且 . 解方程 得 或 ，均满足分式有意义的条件， ∵， ∴， ∴， 原式 将代入得，原式． 10．（2025·山东泰安·一模）计算： (1)； (2)，再选一个合适的a的值代入求值，其中且a为整数． 【答案】(1)； (2)，当时，原式值为8 【分析】本题考查实数的混合运算，分式的混合运算，分式有意义的条件，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）首先计算乘方、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、开平方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可； （2）首先计算括号内减法，再进行括号外除法运算，选取的值要使原分式有意义，所以，选代入求值即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ； ∵且a为整数， ∴， 又要使原分式有意义，则， ∴选取，原式． 考点三 二次根式 题型一 二次根式有意义 1）一个分式的分子或分母中含有分式时，只要任何一个分母为零，分式都没有意义；分式要想有意义，必须所有分母都不为零. 2）分式的值为0的条件: ①分子为0；②分母不为0，两个条件需同时具备，缺一不可. 当分式值为0时，忽略分母不能为0的限制条件而导致结果错误. 1．（2025·山东德州·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件；二次根式有意义的条件是被开方数要大于等于0，即，据此求解即可. 【详解】解：若在实数范围内有意义，则， 解得. 故答案为：. 2．（2024·山东烟台·中考真题）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为________． 【答案】/ 【分析】本题考查代数式有意义，根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 3．（2023·山东·中考真题）若代数式有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得到不等式组，解不等式组即可得到答案． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得且， 故选：D 【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，熟练掌握相关知识是解题的关键． 题型二 二次根式的相关运算 1）一个分式的分子或分母中含有分式时，只要任何一个分母为零，分式都没有意义；分式要想有意义，必须所有分母都不为零. 2）分式的值为0的条件: ①分子为0；②分母不为0，两个条件需同时具备，缺一不可. 当分式值为0时，忽略分母不能为0的限制条件而导致结果错误. 1．（2025·山东青岛·中考真题）（1）计算：； （2）解不等式组：并写出它的整数解． 【答案】（1）7；（2）； 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，以及一元一次不等式组的求解，需熟练掌握二次根式的化简并正确计算，根据不等式组的解集写出整数解是解决本题的关键． （1）先将与化简，再进行二次根式的运算； （2）分别求解一元一次不等式的解，即可求出不等式组的解集，再由解集求出整数解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：不等式组为， 则有，解得， 则有，解得， ∴不等式组的解集为， 则整数解为． 2．（2025·山东烟台·中考真题）实数的整数部分为________． 【答案】 【分析】本题考查的是实数的整数部分问题的理解，化为最简二次根式，由，，从而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴实数的整数部分为， 故答案为： 3．（2024·山东淄博·中考真题）计算：__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的减法计算，先化简二次根式，再计算二次根式减法即可． 【详解】解：， 故答案为：． 知识1 二次根式的运算 加减运算 一般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并，即. 乘法运算 除法运算 混合运算 二次根式的混合运算实质上就是实数的混合运算和无理式的混合运算. 1．（2025·云南丽江·模拟预测）若在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式和分式有意义的条件，用数轴表示不等式的解集，根据二次根式和分式有意义的条件，列出不等式组，求解后，在数轴上表示出解集即可． 【详解】解：由题意，得：且， ∴； 在数轴上表示解集如图： 故选D． 2．（2025·山东青岛·模拟预测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据二次根式的加减法法则和二次根式的乘除法法则逐项计算即可． 【详解】解：A．，故A错误； B．，故B正确； C．，故C错误； D．，故D错误． 故选：B． 3．（24-25八年级上·上海·期中）如果代数式有意义，那么的取值范围是________． 【答案】且 【分析】根据被开方数大于等于，分母不等于列不等式计算即可得解． 本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为；二次根式的被开方数是非负数． 【详解】解：由题意得，且， 解得且． 故答案为：且． 4．（2025·山东·模拟预测）若，则__________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，代数式求值，根据二次根式有意义的条件求出的值是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件得到，，求出，继而得到，再将代入计算即可． 【详解】解：， ，， ， ， ， 故答案为：． 5．（2025·山东青岛·二模）计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了负指数幂，二次根式的性质化简，二次根式的混合运算，掌握其运算法则是关键． 根据二次根式的性质化简，二次根式的混合运算，负指数幂的计算得到结果，再根据实数的混合运算计算即可． 【详解】解： ， 故答案为： ． 6．（2025·山东青岛·模拟预测）计算______． 【答案】4 【分析】本题考查了计算特殊角的正切值，二次根式的混合运算．直接将特殊角的三角函数值代入求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：4． 7．（2025·山东青岛·模拟预测）计算：________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，特殊角的三角函数值的运算，根据二次根式的运算法则，特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】解：原式 ； 故答案为：． 8．（2025·山东青岛·模拟预测）计算：______________． 【答案】 【分析】本题主要考查的是实数的混合运算，包括根式的化简、三角函数的计算、以及负整数指数幂的处理，关键在于正确化简根式和处理指数运算． 首先化简根式，再代入三角函数值，处理负整数指数幂，最后合并结果． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：6． 9．（2024·陕西咸阳·模拟预测）比较大小：______（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查二次根式比较大小，先取、的绝对值，再平方，比较大小即可得到答案，熟练掌握无理数比较大小的方法是解决问题的关键． 【详解】解：，且， ，则， 故答案为：． 10．（2025·山东枣庄·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把m的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 1 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $