专题05 一次函数（复习讲义）（山东专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题05 一次函数 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 考点一 一次函数（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一：一次函数的图象 题型二：一次函数的性质 题型三：一次函数与方程（组）、不等式 题型四：一次函数的实际应用 必备知识 知识1 一次函数的定义 知识2 一次函数的图象与性质 命题预测 命题 透视 命题形式： 命题覆盖选择、填空、解答全题型，以基础、中档题为主，解答题常结合方程、不等式、反比例函数综合考查。 命题内容： 内容聚焦一次函数图象与性质，高频考查增减性判断、解析式求解、函数与方程（组）及不等式的综合应用；实际应用为必考热点，以利润、方案优化、行程问题为核心，侧重数形结合思想与实际建模能力考查。 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 一次函数的图象与性质 T5：一次函数增减性的判断； T20：一次函数的折叠问题 T9：一次函数的增减性的应用； T14：列一次函数的解析式 T6：一次函数增减性的判断 T8：一次函数的性质的判断； T9：判定是否满足一次函数 T17：一次函数的跨学科应用； T9：一次函数图象的判断 一次函数的实际应用 T23：一次函数的利润问题； T22：一次函数的利润问题 T22：一次函数+分式方程； T20：一次函数的实际应用 T23：一次函数的利润问题； T23：一次函数的实际应用+分式方程 T23：一次函数的利润问题； T24：一次函数的实际应用+二元一次方程组 T20：一次函数的利润问题； T19：一次函数的实际应用+一元二次方程 命题预测 1. 考情预测 · 一次函数： 2. 备考建议 · 题型一 一次函数的图象 核心抓k、b 的几何意义，k 决定图象倾斜方向与增减性，b 决定与 y 轴交点 (0,b)。图象判断题可结合 k、b 符号用排除法快速破题；求解析式优先用待定系数法，抓取图象上的已知点（含交点、坐标轴交点）列方程组求解；实际场景图象题，先明确横纵轴的实际意义，再分析拐点、分段对应的实际过程。 1．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，一次函数经过点，与轴交于点，与正比例函数交于点，则下列结论正确的是（    ） A． B．为的中点 C．方程的解是 D．当时， 2．（2024·山东日照·中考真题）已知一次函数和，当时，函数的图象在函数的图象上方，则a的取值范围为_______ 3．（2024·山东济南·中考真题）某公司生产了两款新能源电动汽车．如图，分别表示款，款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量与汽车行驶路程的关系．当两款新能源电动汽车的行驶路程都是时，款新能源电动汽车电池的剩余电量比款新能源电动汽车电池的剩余电量多______． 4．（2023·山东淄博·中考真题）下列函数图象中，能反映的值始终随值的增大而增大的是(    ) A．   B．   C．   D．   题型二 一次函数的性质 核心紧扣k 的符号决定增减性：k>0 时，y 随 x 的增大而增大；k<0 时，y 随 x 的增大而减小，增减性与 b 无关。增减性应用题，可直接通过 k 的符号判断函数值大小，或列不等式求参数范围；开放性写解析式题，先按条件定 k 的符号，再定 b 的取值，优先写最简整数系数解析式；含参数题注意分类讨论 k 是否为 0。 1．（2025·山东滨州·中考真题）当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东东营·中考真题）一次函数的函数值随的增大而减小，当时的值可以是（   ） A．3 B．2 C．1 D． 3．（2024·山东德州·中考真题）已知，是某函数图象上的两点，当时，．该函数的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·山东潍坊·中考真题）请写出同时满足以下两个条件的一个函数：______． ①随着的增大而减小；②函数图象与轴正半轴相交． 题型三 一次函数与方程（组）、不等式 核心用数形结合思想破题：两函数交点的横坐标，是对应方程组的解；函数与 x 轴交点的横坐标，是对应一元一次方程的解。不等式求解紧扣 “图象高低定大小”，以交点为分界点，直接通过图象上下位置写出解集。与反比例函数综合题，先求双函数解析式，再结合坐标轴交点，用割补法求解图形面积。 1．（2023·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点，与y轴交于点C，连接，．    (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)请根据图象直接写出不等式的解集． 2．（2025·山东淄博·中考真题）如图，反比例函数和的图象分别与直线依次相交于，，三点． (1)求出直线对应的函数表达式； (2)分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点和点．直线交轴于点，连接，．试判断的形状，并说明理由； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 3．（2025·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A和，点A的横坐标为2． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)观察图象，直接写出当时x的取值范围； (3)点C为x轴上一动点，连接，若的面积为18，求点C的坐标． 4．（2023·山东枣庄·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．      (1)求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出这个一次函数的图象； (2)观察图象，直接写出不等式的解集； (3)设直线与x轴交于点C，若为y轴上的一动点，连接，当的面积为时，求点P的坐标． 题型四 一次函数的实际应用 核心是函数建模 + 性质应用。先明确自变量、因变量的实际意义，梳理等量关系，通过待定系数法或直接列式建立函数解析式，标注自变量取值范围。利润类题紧扣 “总利润 = 单件利润 × 销量” 列式；方案优化类题，先根据限制条件列不等式求自变量范围，再结合一次函数增减性求最值；行程类题，抓图象拐点、交点的实际意义，结合行程公式求解。 1．（2025·山东东营·中考真题）某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，售价x（元/个）与每天销售量y（个）的对应值表格如下： x（元/个） … 52 53 54 55 … y（个） … 760 740 720 700 … (1)求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当售价定为多少元时，每天的利润可达到6000元？ 2．（2025·山东济南·中考真题）随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同． (1)求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元． (2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 3．（2025·山东济南·中考真题）A，B两地相距，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到A地的距离与骑车时间的关系如图所示，则他们相遇时距离A地___________ ． 4．（2025·山东烟台·中考真题）2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元． (1)求甲、乙两种路灯的单价； (2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少． 知识1 一次函数的图象与性质 1．正比例函数的图象与性质问题 2．一次函数的图象与性质 3．一次函数图象的位置与系数的关系问题 1．（2025·山东青岛·模拟预测）已知一次函数的图象经过第一、三、四象限，则一次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏宿迁·三模）当时，下列函数的函数值随自变量的增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·山东淄博·一模）如图，一次函数与（m，n为常数，）的图象相交于点，则关于x的不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·山东聊城·三模）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边落在x轴的正半轴上，且点B的坐标为，直线向右平移________个单位长度可将平行四边形的面积分为相等的两部分． 5．（2025·山东滨州·二模）请写出同时满足以下两个条件的一个函数_________．①y随x的增大而增大，②函数与y轴的负半轴相交． 6．（2025·山东济南·一模）在一次函数中，随的增大而减小，且为正整数，则的值可以是________． 7．（2025·山东临沂·二模）在同一直角坐标系中，一次函数，的图象如图所示，则以下结论：①随x的增大而减小；②；③当时，；④方程组的解为．其中正确的为________．（写出所有正确结论的序号） 8．（2025·山东聊城·一模）如图，直线与相交于点P，则关于x，y的方程组的解为________． 9．（2025·山东淄博·模拟预测）如图，折线描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离与行驶时间之间的函数关系，根据图中提供的信息，判断下列结论正确的选项是______． 汽车在行驶途中停留了小时； 汽车在整个行驶过程的平均速度是； 汽车共行驶了； 汽车出发离出发地． 10．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，直线与反比例函数的图象相交于点、， (1)求直线与反比例函数的关系式； (2)若点是轴上一点，且的面积为3，求点的坐标． (3)直接写出时x的取值范围． 11．（2025·山东青岛·二模）为培养学生的阅读素养，给师生提供更加良好的阅读环境，某学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍，现有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高，用14400元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个． (1)求出A，B两种书架的单价； (2)学校采购时恰逢“五一劳动节”促销：A种书架9折优惠．若购进A种书架数量不少于B种书架数量的，请你设计一种方案，怎么购进A、B两种书架，使学校花费最少？ 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一次函数 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 考点一 一次函数（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一：一次函数的图象 题型二：一次函数的性质 题型三：一次函数与方程（组）、不等式 题型四：一次函数的实际应用 必备知识 知识1 一次函数的定义 知识2 一次函数的图象与性质 命题预测 命题 透视 命题形式： 命题覆盖选择、填空、解答全题型，以基础、中档题为主，解答题常结合方程、不等式、反比例函数综合考查。 命题内容： 内容聚焦一次函数图象与性质，高频考查增减性判断、解析式求解、函数与方程（组）及不等式的综合应用；实际应用为必考热点，以利润、方案优化、行程问题为核心，侧重数形结合思想与实际建模能力考查。 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 一次函数的图象与性质 T5：一次函数增减性的判断； T20：一次函数的折叠问题 T9：一次函数的增减性的应用； T14：列一次函数的解析式 T6：一次函数增减性的判断 T8：一次函数的性质的判断； T9：判定是否满足一次函数 T17：一次函数的跨学科应用； T9：一次函数图象的判断 一次函数的实际应用 T23：一次函数的利润问题； T22：一次函数的利润问题 T22：一次函数+分式方程； T20：一次函数的实际应用 T23：一次函数的利润问题； T23：一次函数的实际应用+分式方程 T23：一次函数的利润问题； T24：一次函数的实际应用+二元一次方程组 T20：一次函数的利润问题； T19：一次函数的实际应用+一元二次方程 命题预测 1. 考情预测 · 一次函数： 2. 备考建议 ·  基础定义：y=kx；y=kx+b；1；≠；b=0  图象性质：(0,0)；b、0；k、b；  增减性必背结论：增大、上升；减小、下降；k  解析式求解：y=kx+b；2；k、b；  注意事项y=kx；y=kx+m 考点一 一次函数 题型一 一次函数的图象 核心抓k、b 的几何意义，k 决定图象倾斜方向与增减性，b 决定与 y 轴交点 (0,b)。图象判断题可结合 k、b 符号用排除法快速破题；求解析式优先用待定系数法，抓取图象上的已知点（含交点、坐标轴交点）列方程组求解；实际场景图象题，先明确横纵轴的实际意义，再分析拐点、分段对应的实际过程。 1．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，一次函数经过点，与轴交于点，与正比例函数交于点，则下列结论正确的是（    ） A． B．为的中点 C．方程的解是 D．当时， 【答案】BD 【分析】本题考查了一次函数和正比例函数的性质，根据一次函数和正比例函数的性质逐一排除即可，掌握一次函数和正比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：、根据图象可知，，， ∴，原选项不符合题意； 、∵一次函数经过点，点， ∴，解得：， ∴一次函数解析式为， 当时，， ∴， ∴，， ∴， ∴为的中点，原选项符合题意； 、方程的解是，原选项不符合题意； 、当时，，原选项符合题意； 故选：． 2．（2024·山东日照·中考真题）已知一次函数和，当时，函数的图象在函数的图象上方，则a的取值范围为_______ 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数综合．熟练掌握一次函数的图象和性质，一次函数与不等式，分类讨论，是解决问题的关键． 可知过原点，当过点时， ；当与平行时，，由函数图象知， ． 【详解】解：可知过原点， ∵中，时，， ∴当过点时，， 得； 当与平行时， 得． 由函数图象知，当时，函数的图象在函数的图象上方，a的取值范围为：． 故答案为： ． 3．（2024·山东济南·中考真题）某公司生产了两款新能源电动汽车．如图，分别表示款，款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量与汽车行驶路程的关系．当两款新能源电动汽车的行驶路程都是时，款新能源电动汽车电池的剩余电量比款新能源电动汽车电池的剩余电量多______． 【答案】12 【分析】本题考查一次函数的应用，根据“电动汽车每干米的耗电量剩余电量的减少量行驶路程”分别计算、两款新能源电动汽车每千米的耗电量，由此写出图象的函数关系式，并计算当时对应函数值是解题的关键． 根据“电动汽车每干米的耗电量剩余电量的减少量行驶路程”分别计算、两款新能源电动汽车每千米的耗电量，由此写出图象的函数关系式，将分别代入，求出对应函数值并计算二者之差即可． 【详解】解：款新能源电动汽车每千米的耗电量为， 款新能源电动汽车每千米的耗电量为， ∴图象的函数关系式为， 图象的函数关系式为， 当时，， ， ∴当两款新能源电动汽车的行驶路程都是时，款新能源电动汽车电池的剩余电量比款新能源电动汽车电池的剩余电量多． 故答案为：12． 4．（2023·山东淄博·中考真题）下列函数图象中，能反映的值始终随值的增大而增大的是(    ) A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】观察图象，由函数的性质可以解答． 【详解】解：由图可知： A、函数值具有对称性．在对称轴的左侧y的值随x值的增大而增大，对称轴的右侧y的值随x值的增大而减小，该选项不符合题意； B、增减性需要限定在各个象限内，该选项不符合题意； C、图象是函数y的值随x值的增大而增大，该选项符合题意； D、图象在原点左侧是函数y的值随x值的增大而减小，该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象，一次函数图象，正比例函数图象，反比例函数图象，准确识图并理解函数的增减性的定义是解题的关键． 题型二 一次函数的性质 核心紧扣k 的符号决定增减性：k>0 时，y 随 x 的增大而增大；k<0 时，y 随 x 的增大而减小，增减性与 b 无关。增减性应用题，可直接通过 k 的符号判断函数值大小，或列不等式求参数范围；开放性写解析式题，先按条件定 k 的符号，再定 b 的取值，优先写最简整数系数解析式；含参数题注意分类讨论 k 是否为 0。 1．（2025·山东滨州·中考真题）当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数的增减性，掌握一次函数，反比例函数以及二次函数的增减性是解题关键．根据函数的相关性质逐一判断即可． 【详解】解：A、在中，，则y随x的增大而减小，不符合题意； B、在中，，则当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意； C、在中，，则y随x的增大而增大，符合题意； D、在中，，则二次函数开口向下，对称轴为直线，当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意； 故选：C． 2．（2025·山东东营·中考真题）一次函数的函数值随的增大而减小，当时的值可以是（   ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质，不等式的性质，熟悉一次函数的性质是解题的关键．根据一次函数的增减性可得k的取值范围，再把代入函数，从而判断函数值y的取值范围，即可得出结果． 【详解】解：∵一次函数的函数值随的增大而减小， ∴， ∴当时，， 选项中只有3符合要求， 故选：A． 3．（2024·山东德州·中考真题）已知，是某函数图象上的两点，当时，．该函数的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数、反比例函数、二次函数的增减性． 由题意可得当时，y随x的增大而增大，逐个选项判断函数的增减性，即可额解答． 【详解】解：∵当时，，即， ∴当时，y随x的增大而增大． A、对于函数，y随x的增大而减小，故该函数不合题意； B、对于，当时，y随x的增大而减小，故该函数不合题意； C、函数的图象开口向上，对称轴为， 则当，y随x的增大而增大，故该函数符合题意； D、函数的图象开口向下，对称轴为， 则当，y随x的增大而减小，故该函数不合题意． 故选：C 4．（2024·山东潍坊·中考真题）请写出同时满足以下两个条件的一个函数：______． ①随着的增大而减小；②函数图象与轴正半轴相交． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数中的随着的增大而减小可得，再根据函数图象与轴正半轴相交可得，据此即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵随着的增大而减小， ∴一次函数的比例系数， 又∵函数图象与轴正半轴相交， ∴， ∴同时满足以下两个条件的一次函数可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 题型三 一次函数与方程（组）、不等式 核心用数形结合思想破题：两函数交点的横坐标，是对应方程组的解；函数与 x 轴交点的横坐标，是对应一元一次方程的解。不等式求解紧扣 “图象高低定大小”，以交点为分界点，直接通过图象上下位置写出解集。与反比例函数综合题，先求双函数解析式，再结合坐标轴交点，用割补法求解图形面积。 1．（2023·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点，与y轴交于点C，连接，．    (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)请根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)，； (2)9； (3)或． 【分析】（1）把点B代入反比例函数，即可得到反比例函数的解析式；把点A代入反比例函数，即可求得点A的坐标；把点A、B的坐标代入一次函数一次函数即可求得a、b的值，从而得到一次函数的解析式； （2）的面积是和的面积之和，利用面积公式求解即可； （3）利用图象，找到反比例函数图象在一次函数图象下方所对应的x的范围，直接得出结论． 【详解】（1）∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得： ∴反比例函数的表达式为． ∵在反比例函数的图象上， ∴， 解得，（舍去）． ∴点A的坐标为． ∵点A，B在一次函数的图象上， 把点，分别代入，得， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）∵点C为直线与y轴的交点， ∴把代入函数，得 ∴点C的坐标为 ∴， ∴ ． （3）由图象可得，不等式的解集是或．    【点睛】此题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形面积，函数与不等式的关系，求出两个函数解析式是解本题的关键． 2．（2025·山东淄博·中考真题）如图，反比例函数和的图象分别与直线依次相交于，，三点． (1)求出直线对应的函数表达式； (2)分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点和点．直线交轴于点，连接，．试判断的形状，并说明理由； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2)是等腰直角三角形 (3)或 【分析】本题考查反比例函数和一次函数的综合，勾股定理的逆定理； （1）先求出点A和C的坐标，然后利用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）设点D的坐标为，根据作图得到，据此列方程求出d的值，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状解答即可； （3）先求出点B的横坐标，然后借助图象得到反比例函数在一次函数图象上方的自变量的取值范围即可解答． 【详解】（1）解：把代入得， ∴点A的坐标为， 把代入得， ∴点C的坐标为， 把点和代入得： ，解得， ∴直线对应的函数表达式； （2）解：由作图可得，即， 设点D的坐标为， 则， 解得， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形； （3）解：令， 解得，， 由图像可得关于的不等式的解集为或． 3．（2025·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A和，点A的横坐标为2． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)观察图象，直接写出当时x的取值范围； (3)点C为x轴上一动点，连接，若的面积为18，求点C的坐标． 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为 (2)或 (3)点C坐标为或 【分析】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求解析，三角形面积等． （1）由待定系数法求解即可； （2）根据图象即可求得； （3）设与轴交于点，得出，设，则，然后根据三角形面积公式建立方程，解方程，即可求得的坐标． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A和，点A的横坐标为2 ∴将代入， 则， ∴反比例函数解析式为：， ∴将代入， 则， ∴， 将，代入， 则， 解得： ∴一次函数解析式为：； （2）解：∵， ∴观察图象，当时，的取值范围是或； （3）解：设与轴交于点， 当时， ∴ ∴， 设， ∴ ∵的面积为18， ∴ ∴， ∴，即 解得：或 ∴点C坐标为或． 4．（2023·山东枣庄·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．      (1)求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出这个一次函数的图象； (2)观察图象，直接写出不等式的解集； (3)设直线与x轴交于点C，若为y轴上的一动点，连接，当的面积为时，求点P的坐标． 【答案】(1)，图见解析 (2)或 (3)或 【分析】（1）先根据反比例函数的解析式，求出的坐标，待定系数法，求出一次函数的解析式即可，连接，画出一次函数的图象即可； （2）图象法求出不等式的解集即可； （3）分点在轴的正半轴和负半轴，两种情况进行讨论求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴， 图象如图所示：        （2）解：由图象可知：不等式的解集为或； （3）解：当点在轴正半轴上时：        设直线与轴交于点， ∵， 当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， 解得：； ∴； 当点在轴负半轴上时：         ， ∴ 解得：或（不合题意，舍去）； ∴． 综上：或． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 题型四 一次函数的实际应用 核心是函数建模 + 性质应用。先明确自变量、因变量的实际意义，梳理等量关系，通过待定系数法或直接列式建立函数解析式，标注自变量取值范围。利润类题紧扣 “总利润 = 单件利润 × 销量” 列式；方案优化类题，先根据限制条件列不等式求自变量范围，再结合一次函数增减性求最值；行程类题，抓图象拐点、交点的实际意义，结合行程公式求解。 1．（2025·山东东营·中考真题）某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，售价x（元/个）与每天销售量y（个）的对应值表格如下： x（元/个） … 52 53 54 55 … y（个） … 760 740 720 700 … (1)求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当售价定为多少元时，每天的利润可达到6000元？ 【答案】(1) (2)60元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用． （1）由题意可知y是x的一次函数，利用待定系数法求解即可． （2）列出单件的利润乘以销量等于总利润列出关于x的一元二次方程求解，再结合x的取值范围选择合适的解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，y是x的一次函数． 设y与x的函数表达式为， 把，分别代入，得 ，解得 ∴y与x的函数表达式为． （2）解：根据题意，得， ∴． 整理，得． 解得，． ∵， ∴． 答：当每个售价定为60元时，每天的利润可达到6000元． 2．（2025·山东济南·中考真题）随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同． (1)求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元． (2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 【答案】(1)甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元 (2)购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元． 【分析】（1）设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为元，根据题意，得，解方程即可． （2）根据题意，甲型健身器材买了个，则购买乙型健身器材数量为个，且，根据题意，得，解答即可． 本题考查了分式方程的应用题，不等式组的应用，一次函数的性质应用，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）解：设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根． 此时， 答：甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元． （2）解：根据题意，甲型健身器材买了个，则购买乙型健身器材数量为个，且即，且a为正整数， 根据题意，得， 由，得随a的增大而减小， 故当时，取得最小值，且最小值为（元）， 故购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元． 3．（2025·山东济南·中考真题）A，B两地相距，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到A地的距离与骑车时间的关系如图所示，则他们相遇时距离A地___________ ． 【答案】/ 【分析】本题属于一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是关键； 设甲的函数图象为，乙的函数图象为，结合图形进而确定两函数解析式； 利用两函数解析式联立方程组，进而求得方程组的解即可． 【详解】解：由图可得，甲的函数图象为正比例函数，乙的函数图象为一次函数，与纵坐标轴的交点为， 设甲的函数图象为，乙的函数图象为， 则，， 解得，， 甲的函数图象为，乙的函数图象为， 联立， 解得 即他们相遇时距离A地． 故答案为：． 4．（2025·山东烟台·中考真题）2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元． (1)求甲、乙两种路灯的单价； (2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少． 【答案】(1)甲、乙两种路灯的单价分别为元，元 (2)购买甲种路灯盏，购买乙种路灯盏，费用最少 【分析】本题考查了二元一次方程组以及一元一次不等式、一次函数的应用，根据题意列出方程组，不等式以及一次函数关系式是解题的关键； （1）设甲、乙两种路灯的单价分别为元，根据题意列出方程组，即可求解； （2）设购买甲种路灯盏，则购买乙种路灯盏，列出不等式，求得，设购买费用为元，得出，进而根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设甲、乙两种路灯的单价分别为元，根据题意得， 解得： 答：甲、乙两种路灯的单价分别为，元 （2）解：设购买甲种路灯盏，则购买乙种路灯盏，根据题意得， 解得： 设购买费用为元，根据题意得， ∵ ∴当取得最大值时，取得最小值， ∴时，（盏）， 即购买甲种路灯盏，购买乙种路灯盏，费用最少， 答：购买甲种路灯盏，购买乙种路灯盏，费用最少． 知识1 一次函数的图象与性质 1．正比例函数的图象与性质问题 形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数．正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线．当k>0时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k<0时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小．正比例函数y=kx图象上的任意一点P(x，y)中的x，y都满足函数解析式． 2．一次函数的图象与性质 一次函数y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的图象是一条直线．当k>0时，其图象一定经过第一、三象限，y随x的增大而增大，这时直线由左至右上升；当k<0时，其图象一定经过第二、四象限，y随x的增大而减小，这时直线由左至右下降． 3．一次函数图象的位置与系数的关系问题 直线y=kx+b(k≠0)的位置与k，b的符号的关系如下： 1．（2025·山东青岛·模拟预测）已知一次函数的图象经过第一、三、四象限，则一次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，对于一次函数，当时，一次函数经过第一、二、三象限，当时，一次函数经过第一、三、四象限， 当时，一次函数经过第一、二、四象限，当时，一次函数经过第二、三、四象限，根据题意可得，据此可得答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴， ∴一次函数的图象经过第二、三、四象限， ∴只有B选项中的函数图象符合题意， 故选：B． 2．（2025·江苏宿迁·三模）当时，下列函数的函数值随自变量的增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数、反比例函数以及正比例函数的性质，熟练掌握它们的性质是解题的关键； 根据正比例函数、反比例函数、二次函数的性质，分别分析各选项函数在时的单调性即可解答． 【详解】A．对于一次函数，其一次项系数．根据一次函数的性质，当时，随的增大而减小，所以在时，随的增大而减小，该选项错误，不符合题意； B．对于反比例函数，其中．根据反比例函数 的性质，当时，在每个象限内随的增大而减小，时即在第一象限，随的增大而减小，该选项错误，不符合题意； C．对于二次函数，其二次项系数，对称轴为．根据二次函数的性质，当时，在对称轴右侧随的增大而增大，因为在对称轴右侧，所以在时，随的增大而增大，该选项正确，符合题意； D．对于二次函数，二次项系数，对称轴为．根据二次函数性质，当时，在对称轴左侧随的增大而减小，在对称轴右侧随的增大而增大，包含了对称轴左侧这部分区间，所以在时，不是单调递增的，该选项错误，不符合题意； 故选：C． 3．（2025·山东淄博·一模）如图，一次函数与（m，n为常数，）的图象相交于点，则关于x的不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用两直线交点求不等式解集，在数轴上表示解集，利用数形结合的思想是解题关键．根据两直线的交点，结合图象，得到不等式的解集，再在数轴上表示出来即可． 【详解】解：一次函数与的图象相交于点， 不等式的解集为， 在数轴上表示如下： 故选：C． 4．（2025·山东聊城·三模）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边落在x轴的正半轴上，且点B的坐标为，直线向右平移________个单位长度可将平行四边形的面积分为相等的两部分． 【答案】3 【分析】本题考查了平行四边形的性质，一次函数图象的平移问题，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 设平移后的直线为，则可知直线经过平行四边形的对称中心时，平分平行四边形的面积，求出对称中心的坐标代入即可求解平移后的函数解析式，即可求解平移的距离． 【详解】解：设平移后的直线为， 连接交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴点是对称中心，是中点，是中心对称图形， ∴直线经过点时，将面积平分， ∵， ∴， 将点代入， 则， 解得：， ∴平移后的直线为， ∵， ∴直线向右平移3个单位即可得到， 故答案为：3． 5．（2025·山东滨州·二模）请写出同时满足以下两个条件的一个函数_________．①y随x的增大而增大，②函数与y轴的负半轴相交． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数中的随着的增大而增大可得，再根据函数图象与轴负半轴相交可得，据此即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵随着的增大而增大， ∴一次函数的比例系数， 又∵函数图象与轴负半轴相交， ∴， ∴同时满足以下两个条件的一次函数可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 6．（2025·山东济南·一模）在一次函数中，随的增大而减小，且为正整数，则的值可以是________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性与系数的关系是解题关键． 根据随的增大而减小，得出，即可求解． 【详解】解：∵在一次函数中，随的增大而减小， ∴，解得：， ∵k为正整数，则的值可以是（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 7．（2025·山东临沂·二模）在同一直角坐标系中，一次函数，的图象如图所示，则以下结论：①随x的增大而减小；②；③当时，；④方程组的解为．其中正确的为________．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键．结合图象，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图可知，随的增大而减小，故①符合题意； 由图象可知，一次函数与y轴的交点在的上方，即，故②符合题意； 把代入， 得， 解得， 故与的交点为， 令，则 解得， 即与轴的交点为， 由图象可知：当时，则， 故③不符合题意； 由图象可知，两条直线的交点为， ∴关于，的方程组的解为，故④符合题意． 故答案为：①②④ 8．（2025·山东聊城·一模）如图，直线与相交于点P，则关于x，y的方程组的解为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据直线的交点求出二元一次方程组的解， 将点代入求出a，进而得出点P的坐标，结合图象可得二元一次方程组的解. 【详解】解：将点代入， 得， 解得， ∴一次函数关系式为. 当时，. ∴方程组的解是. 故答案为：. 9．（2025·山东淄博·模拟预测）如图，折线描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离与行驶时间之间的函数关系，根据图中提供的信息，判断下列结论正确的选项是______． 汽车在行驶途中停留了小时； 汽车在整个行驶过程的平均速度是； 汽车共行驶了； 汽车出发离出发地． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据图像依次判断即可． 【详解】，汽车在行驶途中停留了小时，结论正确； 总路程，汽车在整个行驶过程的平均速度是，结论正确； 汽车共行驶了，结论错误； 汽车行驶3小时后的速度，出发离出发地，结论正确． 故答案为：． 10．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，直线与反比例函数的图象相交于点、， (1)求直线与反比例函数的关系式； (2)若点是轴上一点，且的面积为3，求点的坐标． (3)直接写出时x的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】本题考查一次函数、反比例函数交点问题，待定系数法求解析式， （1）把代入得出，进而求出点坐标，代入一次函数解析式可求解； （2）设直线与轴的交点为，先求出点坐标，由面积的和差关系可求，即可求解． （3）根据图象确定一次函数在反比例函数上方对应的自变量范围即可． 【详解】（1）解：把代入得， 解得：， ∴ 把代入得， ∴， 将，代入得 解得： ∴ （2）如图，设直线与轴的交点为， 设点， 直线与轴的交点为， 点， ，， ， ， 或． （3）∵，， 根据函数图象可得时x的取值范围为或． 11．（2025·山东青岛·二模）为培养学生的阅读素养，给师生提供更加良好的阅读环境，某学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍，现有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高，用14400元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个． (1)求出A，B两种书架的单价； (2)学校采购时恰逢“五一劳动节”促销：A种书架9折优惠．若购进A种书架数量不少于B种书架数量的，请你设计一种方案，怎么购进A、B两种书架，使学校花费最少？ 【答案】(1)种书架的单价为600元，种书架的单价为500元； (2)购进种书架5个，种书架15个，使学校花费最少． 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式． （1）设种书架的单价为元，则种书架的单价为元，根据用14400元购买种书架的数量比用9000元购买种书架的数量多6个，列出分式方程，解方程即可； （2）设购进个种书架，则购进个种书架，根据购进种书架数量不少于种书架数量的，列出一元一次不等式，解得，再设购买总费用为元，根据题意列出关于的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：设种书架的单价为元，则种书架的单价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：种书架的单价为600元，种书架的单价为500元； （2）设购进个种书架，则购进个种书架， 由题意得：， 解得：， 设购买总费用为元， 由题意得：， ， 随的增大而增大， 当时，取得最小值， 此时，， 答：购进种书架5个，种书架15个，使学校花费最少． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $