微专题 与“4.2 角”相关的“新定义”试题 -2026-2027学年沪教版（五四制）数学六年级上册教材解读与拓展

【原卷版】 微专题 与“4.2 角”相关的“新定义”试题 【沪教版】六年级上册“4.2 角”核心是：认识角的定义、表示方法与度量；角由一点引出两条射线组成，这个点是顶点，两条射线为边；角可用三个大写字母、单个大写字母或数字、希腊字母标记，要注意单个字母标记仅适用于顶点处只有一个角的情况；度量角使用量角器，掌握 “两重合，看刻度”，分清内圈、外圈读数，单位是度（°）。 与 “4.2 角” 配套的角的新定义试题，属于阅读理解型题型；题目不直接使用课本中原有的锐角、直角、钝角等概念，而是临时给出一个全新的、和角相关的自定义概念（如 “好角”、“倍角”、“互余角拓展” 等），给出文字或式子描述，要求学生现场读懂规则，结合沪教版六年级角的基础知识（角、角的和差、角平分线、角度计算）来解题。这类题核心是：现学现用，把新定义翻译成数学式子，考点根植于 4.2 角的基础，不超六年级知识范围。 第4章 线段与角 4.2 角 1、角及其度量 （1）角的定义 ①静态定义：在小学阶段，我们已经知道，角是具有公共端点的两条射线组成的图形；公共端点叫角的顶点，两条射线叫角的两条边； ②动态定义：我们也可以把角看成由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形；起始射线叫始边，终止射线叫终边；射线从初始位置转动到终止位置所经过的部分称为角的内部，通常角的内部用不带箭头或带箭头的弧线表示； 【说明】角的两条边是射线，可无限延伸。 （2）平角、周角 一条射线由初始位置绕着它的端点旋转到终止位置，得到射线， 如图（1），当射线和射线呈一条直线时，所成的角叫作平角； 当射线和射线重合时，如图（2），所成的角叫作周角。 （3）角的表示方法 角通常有以下三种表示方法： ①用三个大写字母表示，如图（1）中的角可以表示成或，图（2）中的三个角可以表示成、和；当以某一点为顶点的角只有一个时，这个角也可以用表示这个点的字母来表示，如图（1）的也可以记作，但是（2）中的三个角均不能记作； ②用一个小写的希腊字母表示，如：、、等．如图（2），和可以分别记作：和（或和）； ③用一个数字表示，如、、等，如图（3），和可以分别记作：和， 【说明】本章中所说的角，除了平角、周角外，未加说明的加说明的角是指小于平角的角。 （4）量角器与角的度量 ①量角器 量角器是度量角的一个重要工具； 通过量取两个角的度数，就可以比较两个角的大小； ②角度制 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”；这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制； 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 【说明】在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于等于60时要向高一位进位． 与计量时间的时、分、秒一样，角的度、分、秒也是60进制的； 2、角的比较与应用 （1）角的大小比较 在不借助量角器的前提下，我们也可以类似线段的比较方法来比较两个角的大小．移动一个角，使它的顶点和一条边分别与另一个角的顶点和一条边重合，两个角的另一条边都落在重合的边的同侧，再观察“两个角的另一条边”的位置情况，以比较其大小； 【说明】角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种． 方法1：度量比较法：先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小； 方法2：叠合比较法：将两个角的顶点及一边重合，另一边放在重合边的同侧，观察另一边的位置； （2）方向角 方向角（或称方位角）通常以正北或正南方向为基准，用北偏东、北偏西、南偏东、南偏西等来描述方向； 例如：“北偏东”表示以正北方向为起始边，向东旋转； 【说明】①表述顺序固定：“北”或“南”在前，“东”或“西”在后；②偏转角度不超过； （3）钟面角 钟面角是指在时钟上，时针与分针之间形成的角度.时钟的表面是一个圆形，完整的一圈为； 每小时，时针转动 ()，而分针每分钟转动6度()； 3、画角的和、差与角的平分线 （1）画角的和、差与角 类似于线段的和、差，如果一个角的度数等于另外两个角的度数之和（或差），那么称这个角就是另外两个角的和（或差）； 如右图，是与的和， 记作：； 如右图，是与的差， 记作： ； （2）角的平分线 从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线； ( ∵ 是 的平分线， ∴ ； ) （3）角的倍、分 可以通过多次作相等的角实现角的倍数，或通过等分角得到实现角的几分之一； 4、余角、补角 （1）互余、互补 互余：如果两个角的和等于，就说这两个角互为余角，简称互余；其中一个角是另一个角的余角； 几何语言： 因为，，所以，与互余； 互补：如果 两个角的和等于，就说这两个角互为补角，简称互补；其中一个角是另一个角的补角； 几何语言：因为，，所以，与互补； （2）余角和补角的性质 同角（等角）的余角相等； 同角（等角）的补角相等； 例1、定义：若两个角的度数差的绝对值等于，则称这两个角互为“优角”，其中一个角是另一个角的“优角”；如：，，，则和互为“优角”；如图，，射线平分，在的内部；若，则图中互为“优角”的共有（    ） A．3对 B．7对 C．5对 D．9对 【提示】 【答案】 【解析】 【说明】 例2、定义：如果两个角互余角，那么这两个角之和等于；若，则的余角度数是______ 例3、新定义：如果的内部有一条射线将分成的两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们称射线为的倍分线；例如，如图，，则为的倍分线； 应用：若，为的二倍分线，且，则 ______． 例4、定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们将这条射线称为这个角的分位线；例如：如图1，，则为的5分位线；，则也是的5分位线． （1）如图2，点A、、在同一条直线上，为一条射线，，分别为与的3分位线，（，），，则 ； （2）如果点A、、在同一条直线上，为一条射线，已知射线、分别为与的5分位线，且，则 ． 例5、定义：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为余角，则称该射线为的“分余线”； （1）若平分，且为的“分余线”，则 ； （2）如图，在内部作射线，，使为的平分线，在的内部作射线，使．当为的“分余线”时，则的度数为 ． 例6、【新定义】已知射线在的内部，若，和三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“量尺金线”； （1）如图1，若中是的“量尺金线”，且，则与的数量关系为 ； （2）如图2，若平分，试说明射线是的“量尺金线”； （3）如图3，．若射线是的“量尺金线”，求的度数． 例7、新定义：若两个角的和为，则称这两个角互为“满分角”；例如，，则与互为“满分角”； 【阅读理解】 （1）如图，如果，射线在射线上方，与互为“满分角”，则________． 【初步应用】 （2）若，为内部的两条射线，射线平分角，若与互为“满分角”，且满足，求的值． 【解决问题】 （3）如图，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，设运动的时间为秒． 作的平分线，当时，与互为“满分角”，求运动时间的值． 若，当________，时，由、、三条射线形成的角互为“满分角”． 例8、定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角；如图①所示，若，则是的内半角． （1）如图①所示，若，，是的内半角，则________． （2）如图②，若，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度（）至，当旋转的角度为何值时，是的内半角？ （3）已知，把一块含有角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点O以秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线始终在的外部，射线能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由． 1、通用解法 读定义，抓关键词：圈出新定义中的限定条件，转化为角度关系式。区分清楚谁是原角、谁是新角，避免颠倒数量关系； 依托课本基础：运用 4.2 节知识点：角的和、差计算，角平分线，角度单位换算，图中角的拆分与组合，结合定义列式； 分类讨论（高频）：很多新定义角存在多种位置情况（射线在角内部 / 外部），不能只画一种图，防止漏解； 代入检验：算出角度后代回新定义，验证是否满足题目全部条件，剔除不符合的解。 2、题型特点 题干文字较长，难点不是复杂计算，而是信息提取。本质是考查数学阅读，将陌生定义转化为熟悉的角的计算，是沪教版六年级《角》单元拓展常考题型； 1．定义：过一个角的顶点在角的内部作一条射线，把这个角分成两个小角，且这两个小角的度数满足倍关系，则称这条射线为这个角的“倍分线”；已知射线为的“倍分线”，若，则_____． 2．定义：从角的顶点出发的射线将角平均分成三等分，则称该射线为角的三等分线；如图，已知，，若为的三等分线，则的度数为__________． 3．我们定义有一条公共边的两个互余的角为“友余角”，现在和为一对“友余角”，，则和的角平分线所成角的度数为_______． 4．定义：过角的顶点在角的内部作一条射线，得到三个角，若这三个角中有一个角是另外一个角的两倍，则称这条射线为这个角的“二倍角线”；已知，射线为的“二倍角线”，则______． 5．定义：过角的顶点在角的内部作一条射线，得到三个角，若这三个角中有一个角是另外一个角的两倍，则称这条射线为这个角的“二倍角线；如图，，射线为的“二倍角线”，则 ______ ． 6．新定义：若两个角的和为，我们则称这两个角互为“百度角”；例如，，则与互为“百度角”；（本题中所研究的角都是大于而小于的角．） 【阅读理解】 （1）如图1，如果，与互为“百度角”，则 ． 【初步应用】 （2）射线平分角，为内部的一条射线，且满足，若与互为“百度角”，求的值； 【解决问题】 （3）如图2，已知，射线从出发，以每秒的速度绕O点顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕O点逆时针旋转，设运动的时间为t秒．当为何值时由三条射线形成的角中有两个角互为“百度角”？ 7．新定义：如果的内部有一条射线将分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线为的n倍分线；例如，如图1，，则为的4倍分线．     （1）应用：若，为的二倍分线，且，则 ． （2）如图2，点A，O，B在同一条直线上，为直线上方的一条射线， ①若，分别为和的三倍分线（，），已知，则 ． ②在①的条件下，若，的度数是否发生变化？请说明理由． 8．【概念理解】新定义：如果的内部有一条射线将分成两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线为的n倍分线；例如，如图1，则为的4倍分线．，则也是的4倍分线； 【数学思考】 （1）如图1，若，则的度数为__________； 【初步应用】 （2）如图2与互为补角，若分别为和的3倍分线，求的度数； 【问题解决】 （3）如图3，点O在直线上，从O点分别作射线、、、，已知，且射线、恰好分别为和的3倍分线是的平分线，求的度数． 9．新定义：若，则称是的“3倍互余角”；例如：若，，则是的“3倍互余角”，请注意：此时不是的“3倍互余角”． （1）如图1，已知，在的内部存在一条射线，使得是的“3倍互余角”，此时________； （2）如图2，已知，在的内部存在一条射线，射线平分，若是的“3倍互余角”，求出； （3）如图3，已知，若在平面内存在射线、（在直线上方）使得是的“3倍互余角”，且与互补，则________． 10．新定义：若的度数是的度数的n倍，则叫做的n倍角； （1）若，请直接写出的4倍角的度数； （2）如图1所示，若，请直接写出图中的2倍角； （3）如图2所示，若是的3倍角，是的4倍角，且，求的度数． 11．新定义：如图1，已知射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角的度数的两倍，则称射线是的“立信线”； （1）一个角的平分线_______这个角的“立信线”；（填“是”或“不是”） （2）如图2，若，射线绕点O从位置开始．以每秒的速度逆时针旋转，当与首次成时停止旋转，设射线旋转的时间为t秒．求当t为何值时，射线是的“立信线”； （3）如图3，射线为的“立信线”，且．射线分别为、的平分线，请猜想、、会有怎样的数量关系？并说明理由； 12．新定义：如果两个角的和为，则称这两个角互为开心角； （1），若和互为开心角，___________； （2）如图1，射线平分，射线在内部，，若和互为开心角，求的大小； （3）如图2，，射线绕着点O从位置开始，以每秒的速度顺时针旋转，同时射线绕点O从射线位置开始，以每秒的速度逆时针旋转．设旋转的时间为t秒，在旋转过程中，三条射线、、中任意两条射线形成夹角（夹角），当有两个夹角互为开心角时，求出t的值； 第17页，共17页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【解析版】 微专题 与“4.2 角”相关的“新定义”试题 【沪教版】六年级上册“4.2 角”核心是：认识角的定义、表示方法与度量；角由一点引出两条射线组成，这个点是顶点，两条射线为边；角可用三个大写字母、单个大写字母或数字、希腊字母标记，要注意单个字母标记仅适用于顶点处只有一个角的情况；度量角使用量角器，掌握 “两重合，看刻度”，分清内圈、外圈读数，单位是度（°）。 与 “4.2 角” 配套的角的新定义试题，属于阅读理解型题型；题目不直接使用课本中原有的锐角、直角、钝角等概念，而是临时给出一个全新的、和角相关的自定义概念（如 “好角”、“倍角”、“互余角拓展” 等），给出文字或式子描述，要求学生现场读懂规则，结合沪教版六年级角的基础知识（角、角的和差、角平分线、角度计算）来解题。这类题核心是：现学现用，把新定义翻译成数学式子，考点根植于 4.2 角的基础，不超六年级知识范围。 第4章 线段与角 4.2 角 1、角及其度量 （1）角的定义 ①静态定义：在小学阶段，我们已经知道，角是具有公共端点的两条射线组成的图形；公共端点叫角的顶点，两条射线叫角的两条边； ②动态定义：我们也可以把角看成由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形；起始射线叫始边，终止射线叫终边；射线从初始位置转动到终止位置所经过的部分称为角的内部，通常角的内部用不带箭头或带箭头的弧线表示； 【说明】角的两条边是射线，可无限延伸。 （2）平角、周角 一条射线由初始位置绕着它的端点旋转到终止位置，得到射线， 如图（1），当射线和射线呈一条直线时，所成的角叫作平角； 当射线和射线重合时，如图（2），所成的角叫作周角。 （3）角的表示方法 角通常有以下三种表示方法： ①用三个大写字母表示，如图（1）中的角可以表示成或，图（2）中的三个角可以表示成、和；当以某一点为顶点的角只有一个时，这个角也可以用表示这个点的字母来表示，如图（1）的也可以记作，但是（2）中的三个角均不能记作； ②用一个小写的希腊字母表示，如：、、等．如图（2），和可以分别记作：和（或和）； ③用一个数字表示，如、、等，如图（3），和可以分别记作：和， 【说明】本章中所说的角，除了平角、周角外，未加说明的加说明的角是指小于平角的角。 （4）量角器与角的度量 ①量角器 量角器是度量角的一个重要工具； 通过量取两个角的度数，就可以比较两个角的大小； ②角度制 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”；这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制； 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 【说明】在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于等于60时要向高一位进位． 与计量时间的时、分、秒一样，角的度、分、秒也是60进制的； 2、角的比较与应用 （1）角的大小比较 在不借助量角器的前提下，我们也可以类似线段的比较方法来比较两个角的大小．移动一个角，使它的顶点和一条边分别与另一个角的顶点和一条边重合，两个角的另一条边都落在重合的边的同侧，再观察“两个角的另一条边”的位置情况，以比较其大小； 【说明】角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种． 方法1：度量比较法：先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小； 方法2：叠合比较法：将两个角的顶点及一边重合，另一边放在重合边的同侧，观察另一边的位置； （2）方向角 方向角（或称方位角）通常以正北或正南方向为基准，用北偏东、北偏西、南偏东、南偏西等来描述方向； 例如：“北偏东”表示以正北方向为起始边，向东旋转； 【说明】①表述顺序固定：“北”或“南”在前，“东”或“西”在后；②偏转角度不超过； （3）钟面角 钟面角是指在时钟上，时针与分针之间形成的角度.时钟的表面是一个圆形，完整的一圈为； 每小时，时针转动 ()，而分针每分钟转动6度()； 3、画角的和、差与角的平分线 （1）画角的和、差与角 类似于线段的和、差，如果一个角的度数等于另外两个角的度数之和（或差），那么称这个角就是另外两个角的和（或差）； 如右图，是与的和， 记作：； 如右图，是与的差， 记作： ； （2）角的平分线 从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线； ( ∵ 是 的平分线， ∴ ； ) （3）角的倍、分 可以通过多次作相等的角实现角的倍数，或通过等分角得到实现角的几分之一； 4、余角、补角 （1）互余、互补 互余：如果两个角的和等于，就说这两个角互为余角，简称互余；其中一个角是另一个角的余角； 几何语言： 因为，，所以，与互余； 互补：如果 两个角的和等于，就说这两个角互为补角，简称互补；其中一个角是另一个角的补角； 几何语言：因为，，所以，与互补； （2）余角和补角的性质 同角（等角）的余角相等； 同角（等角）的补角相等； 例1、定义：若两个角的度数差的绝对值等于，则称这两个角互为“优角”，其中一个角是另一个角的“优角”；如：，，，则和互为“优角”；如图，，射线平分，在的内部；若，则图中互为“优角”的共有（    ） A．3对 B．7对 C．5对 D．9对 【提示】注意计算理解与根据互为“优角”的定义进行解答即可； 【答案】B； 【解析】因为，，射线平分， 所以，； 因为， 所以，互为“优角”； 又因为，， 所以，互为“优角”； 因为， 所以，互为“优角”； 因为， 所以，互为“优角”； 因为， 所以，互为“优角”； 因为， 所以，互为“优角”； 因为， 所以，互为“优角”； 故共有7对角互为“优角” 故选：B； 【说明】本题考查了新定义及角的和差关系，掌握角的和差是解题的关键；同时考查了教材要求的几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算； 例2、定义：如果两个角互余角，那么这两个角之和等于；若，则的余角度数是______ 【提示】本题考查了求一个角的余角，熟练掌握余角的定义是解题关键．根据余角的定义列式计算即可得； 【答案】； 【解析】因为，， 所以，的余角度数是， 故答案为：； 【说明】本题考查了理解新定义“两个角互余角”；同时考查了角度的四则运算、求一个角的余角； 例3、新定义：如果的内部有一条射线将分成的两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们称射线为的倍分线；例如，如图，，则为的倍分线； 应用：若，为的二倍分线，且，则 ______． 【提示】本根据为的二倍分线且得出，结合可得求得，进而完成解答； 【答案】； 【解析】因为，为的二倍分线，且， 所以，， 又因为，，即， 所以，， 所以，， 所以，． 故答案为：； 【说明】本题考查了在理解新定义“倍分线”的定义及其几何性质的前提下，解决几何图形中角度计算问题；理解倍分线的定义是解题的关键； 例4、定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们将这条射线称为这个角的分位线；例如：如图1，，则为的5分位线；，则也是的5分位线． （1）如图2，点A、、在同一条直线上，为一条射线，，分别为与的3分位线，（，），，则 ； （2）如果点A、、在同一条直线上，为一条射线，已知射线、分别为与的5分位线，且，则 ． 【提示】（1）求出，根据，分别为与的3分位线，（，），得，得； （2）根据、分别为与的5分位线，得,或；，或,当, 时，,不合；当，时，， 得；当，时，，得；当，时，，不合； 【答案】；或； 【解析】（1）因为，， 所以，， 因为，，分别为与的3分位线，（，）， 所以，， 因为，， 所以，， 所以，； 故答案为：； （2）因为，射线、分别为与的5分位线， 所以，，所以，，或，所以，； ，所以，，或，所以，， 当, 时，， 因为，，所以，不合； 当，时，， 所以，， 所以，； 当，时，， 所以，； 当，时， ，不合； 所以，或； 故答案为：或； 【说明】本题考查了新定义“角的分位线”；熟练掌握新定义，角的和差倍分关系，分类讨论，是解题的关键； 例5、定义：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为余角，则称该射线为的“分余线”； （1）若平分，且为的“分余线”，则 ； （2）如图，在内部作射线，，使为的平分线，在的内部作射线，使．当为的“分余线”时，则的度数为 ． 【提示】（1）由平分，可得，根据“分余线”的定义，可得，结合，求得； （2）设，先根据题意求得，，再根据“分余线”的定义，得到或，最后分两种情况讨论求出的度数； 【答案】；或； 【解析】（1）因为，平分， 所以，， 因为，为的“分余线”， 所以，， 所以，， 所以，； （2）设， 因为，，所以，， 又因为，为的平分线， 所以，， 因为，， 所以，， 因为，，所以，， 因为，，，， 所以，． 因为，为的“分余线”， 所以，或， 分两种情况讨论： ①，即，解得； ②，即，解得； 综上，的度数为或； 故答案为：或； 【说明】本题考查了角平分线的定义，余角的定义，角度的计算，准确地理解题意是解题的关键； 例6、【新定义】已知射线在的内部，若，和三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“量尺金线”； （1）如图1，若中是的“量尺金线”，且，则与的数量关系为 ； （2）如图2，若平分，试说明射线是的“量尺金线”； （3）如图3，．若射线是的“量尺金线”，求的度数． 【分析】（1）根据“量尺金线”定义即可得到答案； （2）由角平分线的定义可以证明； （3）分、、三种情况分别画出图形进行解答即可； 【答案】（1）； （2）证明：因为，平分， 所以， 所以，射线是的“量尺金线”； （3）； 【解析】（1）因为，中是的“量尺金线”，且， 所以，， 所以，， 故答案为： （2）证明：因为，平分， 所以， 所以，射线是的“量尺金线”； （3）当时， 因为，， 所以，， 所以，； 当时， 因为，， 所以，； 当时， 因为，， 所以，； 综上可知，的度数为； 【说明】此题考查了几何图形中角度计算和角平分线的相关计算等知识； 例7、新定义：若两个角的和为，则称这两个角互为“满分角”；例如，，则与互为“满分角”； 【阅读理解】 （1）如图，如果，射线在射线上方，与互为“满分角”，则________． 【初步应用】 （2）若，为内部的两条射线，射线平分角，若与互为“满分角”，且满足，求的值． 【解决问题】 （3）如图，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，设运动的时间为秒． 作的平分线，当时，与互为“满分角”，求运动时间的值． 若，当________，时，由、、三条射线形成的角互为“满分角”． 【提示】（1）根据“满分角”的定义，可知，又因为已知，即可求出的度数，再根据图中角之间的关系求出的度数即可； （2）设，则有，然后再分当射线在射线上方时，和射线在射线下方时，两种情况求解； （3）当时，射线与重合，当时，可知，，根据“满分角”的定义，列出关于的方程求解即可； 因为当秒时，射线与重合，当秒时射线与重合，当时，射线与重合，所以要分当时，和当时，两种情况讨论； 【答案】（1）；（2）或；（3），或或； 【解析】（1）因为， 与互为“满分角”，所以，， 又因为，，所以，，所以，， 所以，， 故答案为：； （2）如右图所示，设， 因为，射线平分角， 所以，， 因为，， 当射线在射线上方时，， 因为， 与互为“满分角”， 所以，，则，解得：， 所以，； 如下图所示，当射线在射线下方时，， 因为， 与互为“满分角”， 所以，， 所以，， 解得：， 所以，； 综上所述，的度数为或； （3）解：， 所以，当时，射线与重合， 当时，，， 因为，平分， 所以，， 因为， 与互为“满分角”， 所以，， 所以，, 解得：； 解：由可知当时，射线与重合， 因为，， 所以，当时，射线恰好与重合， 因为，， 所以，当时，射线旋转到的下方， 当时，射线与重合， 如下图所示，当时，，，， 因为，、、三条射线形成的角互为“满分角”， 当和互为“满分角”时， 则有， 解得：(负值，舍去)； 当和互为“满分角”时， 则有， 解得：； 当和互为“满分角”时， 则有， 解得：(不符合题意，舍去)； 如下图所示，当时，，，， 当和互为“满分角”时， 则有， 解得：； 当和互为“满分角”时， 则有， 解得：(不符合题意，舍去)； 当和互为“满分角”时， 则有， 解得：； 综上所述，当秒或秒或秒时，由、、三条射线形成的角互为“满分角”， 故答案为：或或． 【说明】本题考查新定义的角度关系、一元一次方程的应用，解决本题的关键是把角的度数用含的代数式表示出来，再根据“满分角”的定义列出关于的一元一次方程，解方程求出的值即可； 例8、定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角；如图①所示，若，则是的内半角． （1）如图①所示，若，，是的内半角，则________． （2）如图②，若，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度（）至，当旋转的角度为何值时，是的内半角？ （3）已知，把一块含有角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点O以秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线始终在的外部，射线能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由． 【提示】（1）先根据内半角的定义求出，从而可根据，利用求解； （2）先根据旋转的性质得出，从而可得，，再根据内半角的定义得出关于的方程求解即可； （3）分射线在内、射线在外部（有以下两种情况）三种情况讨论，分别求得旋转的时间； 【答案】（1）；（2）当旋转的角度α为时，是的内半角；（3）秒；22.5秒；67.5秒 【解析】（1）因为，，是的内半角， 所以，， 因为，， 所以，； （2）由旋转可知，， 所以，，， 因为，是的内半角， 所以，，即， 解得：， 当旋转的角度α为时，是的内半角； （3）解：能，理由如下， 由旋转可知，；根据题意可分以下三种情况： ①当射线在内，如图④， 此时，，， 则是的内半角， 所以，，即， 解得：（秒）； ②当射线在外部，有以下两种情况，如图5，图6， 如图5，此时，，， 则是的内半角， 所以，，即， 解得：（秒）； 如图6，此时，，， 则是的内半角， 所以，，即， 解得：（秒）； 综上，在旋转一周的过程中，射线、、、构成内半角时，旋转的时间分别为：秒；22.5秒；67.5秒； 【说明】本题考查了对新定义的即时理解与应用新定义、一元一次方程的应用之几何问题，解决几何图形中角度计算问题； 1、通用解法 读定义，抓关键词：圈出新定义中的限定条件，转化为角度关系式。区分清楚谁是原角、谁是新角，避免颠倒数量关系； 依托课本基础：运用 4.2 节知识点：角的和、差计算，角平分线，角度单位换算，图中角的拆分与组合，结合定义列式； 分类讨论（高频）：很多新定义角存在多种位置情况（射线在角内部 / 外部），不能只画一种图，防止漏解； 代入检验：算出角度后代回新定义，验证是否满足题目全部条件，剔除不符合的解。 2、题型特点 题干文字较长，难点不是复杂计算，而是信息提取。本质是考查数学阅读，将陌生定义转化为熟悉的角的计算，是沪教版六年级《角》单元拓展常考题型； 1．定义：过一个角的顶点在角的内部作一条射线，把这个角分成两个小角，且这两个小角的度数满足倍关系，则称这条射线为这个角的“倍分线”；已知射线为的“倍分线”，若，则_____． 【提示】分和两种情况解答即可求解； 【答案】或； 【解析】当时，， 所以，； 当时，， 所以，； 综上，或， 故答案为：或； 【说明】本题考查了角的和差倍分关系，角的和差，几何图形中角度计算问题；运用分类讨论思想解答是解题的关键； 2．定义：从角的顶点出发的射线将角平均分成三等分，则称该射线为角的三等分线；如图，已知，，若为的三等分线，则的度数为__________． 【提示】本题考查了角三等分线的有关计算，运用分类讨论思想是解题的关键；分两种情况讨论：①当时；②当时；分别根据角三等分线的定义及角的和差关系进行求解即可； 【答案】或； 【解析】由：分两种情况讨论： ①当时， 如图， 因为，，为的三等分线， 所以，， 所以，， 所以，； ②当时， 如图， 因为，，为的三等分线， 所以，， 所以，； 综上，的度数为或， 故答案为：或； 3．我们定义有一条公共边的两个互余的角为“友余角”，现在和为一对“友余角”，，则和的角平分线所成角的度数为_______． 【提示】先根据余角的定义求出的度数，再分两种情况画出图形，根据角平分线的定义和角度的计算分别进行解答即可．此题考查了角平分线的相关计算、余角定义，熟练分类讨论和数形结合是解题的关键； 【答案】或； 【解析】因为，，和互余， 所以，， 分两种情况进行求解： 如图1， 是的角平分线，是的角平分线， 所以，， 如图2， 是的角平分线，是的角平分线， 所以，， 即和的角平分线所成角的度数为或， 故答案为：或； 4．定义：过角的顶点在角的内部作一条射线，得到三个角，若这三个角中有一个角是另外一个角的两倍，则称这条射线为这个角的“二倍角线”；已知，射线为的“二倍角线”，则______． 【提示】本题考查了角度的运算．根据题意分类讨论，确定角度之间的数量关系是解题的关键； 由题意知，分，，，三种情况求解即可； 【答案】或或； 【解析】由题意知，分，，，三种情况求解； 如图1，当时， 所以，； 如图2，当时， 所以，，， 所以，； 如图3，当时， 因为，，， 所以； 综上所述，为或或， 故答案为：或或； 5．定义：过角的顶点在角的内部作一条射线，得到三个角，若这三个角中有一个角是另外一个角的两倍，则称这条射线为这个角的“二倍角线；如图，，射线为的“二倍角线”，则 ______ ． 【提示】因为射线是的“二倍角线”，所以需分情况讨论三个角中存在的二倍关系： ；；当； 利用角的和差关系与二倍角的定义，通过分类讨论列方程或直接计算得到的可能值； 【答案】或或； 【解析】由：当时， 因为，，所以，； 当时， 因为，，所以，； 当时， 因为，，所以，； 综上，或或； 6．新定义：若两个角的和为，我们则称这两个角互为“百度角”；例如，，则与互为“百度角”；（本题中所研究的角都是大于而小于的角．） 【阅读理解】 （1）如图1，如果，与互为“百度角”，则 ． 【初步应用】 （2）射线平分角，为内部的一条射线，且满足，若与互为“百度角”，求的值； 【解决问题】 （3）如图2，已知，射线从出发，以每秒的速度绕O点顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕O点逆时针旋转，设运动的时间为t秒．当为何值时由三条射线形成的角中有两个角互为“百度角”？ 【提示】本题考查新定义的角度关系，一元一次方程的应用，找到新定义的角度关系是解题的关键； （1）根据新定义，找到角度关系，求解即可； （2）分情况讨论与的位置关系，画出图象，求解即可． （3）分情况讨论与的位置关系，画出图象，根据新定义列出各个角度关于时间t的一元一次方程求解即可； 【答案】（1）；（2）为或；（3）当运动时间t为2秒或4秒或10秒或秒时，由三条射线形成的角中有两个角互为“百度角”； 【解析】（1）因为，与互为“百度角”， 所以，， 所以，， 因为，因为，， 所以，； （2）如图，当在上方时， 因为，平分角， 所以，， 根据题意得， 所以， 所以， 所以，， 同理，当在下方时， 因为，平分角， 所以，， 根据题意得， 所以， 所以， 所以，， 综上所述，为或； （3）①如图 根据题意得，运动的时间为t秒时， ，，， 当和互为“百度角”时， ，解得：秒； 当和互为“百度角”时， ，解得：秒． ②如图 根据题意得，运动的时间为t秒时， ，， ， 当和互为“百度角”时， ，解得：秒． 当和互为“百度角”时， ，秒． 综上所述，三条射线形成的角互为“百度角”时，t为2秒或4秒或10秒或秒． 7．新定义：如果的内部有一条射线将分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线为的n倍分线；例如，如图1，，则为的4倍分线．     （1）应用：若，为的二倍分线，且，则 ． （2）如图2，点A，O，B在同一条直线上，为直线上方的一条射线， ①若，分别为和的三倍分线（，），已知，则 ． ②在①的条件下，若，的度数是否发生变化？请说明理由． 【提示】本题考查了新定义，几何图形中角度的计算，正确理解新定义的内容是解题的关键； （1）根据题意可得：，，进而得出答案； （2）①由题意可得：，，根据，得出，，再求解即可； ②不变，根据题意得出，，再代入即可得出答案； 【答案】（1）40；（2）①135；②不变，理由：见解析； 【解析】（1）因为，，为的二倍分线，且， 所以，，， 所以，， 所以，， 故答案为：40； （2）①因为，，分别为和的三倍分线（，）， 所以，，， 因为，， 所以，， 所以，，， 所以，，， 所以，， 故答案为：135； ②不变，理由如下： 因为，，分别为和的三倍分线，，， 所以， ，， 所以， ； 8．【概念理解】新定义：如果的内部有一条射线将分成两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线为的n倍分线；例如，如图1，则为的4倍分线．，则也是的4倍分线； 【数学思考】 （1）如图1，若，则的度数为__________； 【初步应用】 （2）如图2与互为补角，若分别为和的3倍分线，求的度数； 【问题解决】 （3）如图3，点O在直线上，从O点分别作射线、、、，已知，且射线、恰好分别为和的3倍分线是的平分线，求的度数． 【提示】本题考查了角的计算与新定义“n倍分线”的应用，解题的关键是根据“n倍分线”的定义，将角之间的倍数关系转化为方程或比例关系，再结合角的和差关系求解； （1）根据“4倍分线”的定义，先求出的度数，再计算； （2）利用补角的性质和“3倍分线”的定义，分别表示出和，再求和得到； （3）设，根据“3倍分线”和角平分线的定义，用表示出，列方程求解，进而求出； 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）因为， ，OQ是的4倍分线， 所以，， 所以，， 因为， OP是的4倍分线， 所以， ， 所以， 故答案为：． （2）因为，与互为补角， 所以，， 因为，OP是的3倍分线，且， 所以，， 因为， OQ是的3倍分线，且， 所以，， 所以，． （3）由题意：设， 因为， OM是的3倍分线，且， 所以，，． 设， 因为， ON是的3倍分线，且， 所以，，． 因为，点O在直线AB上， 所以，，，． 因为，， 所以，， 联立方程： 解得：，． 因为，OC是的平分线， 所以，， 所以，． 答：的度数为． 9．新定义：若，则称是的“3倍互余角”；例如：若，，则是的“3倍互余角”，请注意：此时不是的“3倍互余角”． （1）如图1，已知，在的内部存在一条射线，使得是的“3倍互余角”，此时________； （2）如图2，已知，在的内部存在一条射线，射线平分，若是的“3倍互余角”，求出； （3）如图3，已知，若在平面内存在射线、（在直线上方）使得是的“3倍互余角”，且与互补，则________． 【提示】本题考查几何图形中角度计算问题，角平分线的有关计算，求一个角的补角． （1）由“3倍互余角”的定义，可得，由，可得，即可得； （2）由“3倍互余角”的定义，可得，由射线平分，可得，结合，可得，即可得； （3）由“3倍互余角”的定义，可得，由与互补，，按照与的位置关系进行分类讨论，分别计算即可； 【答案】（1）；（2）；（3）或； 【解析】（1）因为，是的“3倍互余角”， 所以，， 因为，， 所以，， 所以，， 所以，， 所以，． 故答案为：． （2）因为，是的“3倍互余角”， 所以，， 所以，， 因为，射线平分， 所以，， 所以，， 所以，， 所以，， 所以，； （3）因为，是的“3倍互余角”， 所以，， 因为，与互补， 所以，， 当在的内部时，由（1）得， 因为，， 所以，， 所以，， 所以，， 因为，在直线上方， 所以，， 当在上方时，， 所以，， 所以，， 所以，， 所以，， 因为，在直线上方， 所以，， 当在下方时，，， 所以，， 所以，，舍去． 故答案为：或； 10．新定义：若的度数是的度数的n倍，则叫做的n倍角； （1）若，请直接写出的4倍角的度数； （2）如图1所示，若，请直接写出图中的2倍角； （3）如图2所示，若是的3倍角，是的4倍角，且，求的度数． 【提示】此题主要考查了角的计算，度分秒的换算； （1）根据题意列式计算即可； （2）根据题意得出即可； （3）设，则，得到；根据，求得，于是结论可得； 【答案】（1）；（2）；（3）； 【解析】（1）因为，， 所以，； （2）因为，， 所以，； 所以，图中的所有2倍角有：； （3）因为，是的3倍角，是的4倍角， 设， 则， 所以，， 所以，， 因为，， 所以，， 所以，， 所以，； 11．新定义：如图1，已知射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角的度数的两倍，则称射线是的“立信线”； （1）一个角的平分线_______这个角的“立信线”；（填“是”或“不是”） （2）如图2，若，射线绕点O从位置开始．以每秒的速度逆时针旋转，当与首次成时停止旋转，设射线旋转的时间为t秒．求当t为何值时，射线是的“立信线”； （3）如图3，射线为的“立信线”，且．射线分别为、的平分线，请猜想、、会有怎样的数量关系？并说明理由； 【提示】本题考查了新定义，角平分线的定义，角的和差等知识，理解新定义、分类讨论是解题的关键； （1）由“立信线”含义即可作出判断； （2）分三种情况：；；；利用倍角关系及和的关系即可求解； （3）由射线分别为、的平分线，得，；由即可得出、、间的数量关系； 【答案】（1）是；（2）2秒，3秒或4秒 （3），理由（见解析）； 【解析】（1）由于角平分线把一个角分成相等的两部分，这两个角是原角的一半， 根据“立信线”的含义知，一个角的平分线是这个角的“立信线”； 故答案为：是； （2）解：分三种情况： 当时，则， 所以，（秒）； 当时，是的平分线， 则， 所以，（秒）； 当时，则， 所以，（秒）； 综上，当t的值为2秒、3秒或4秒时，射线是的“立信线”； （3）， 理由如下： 因为，射线分别为、的平分线， 所以，，； 因为， ； 所以，、、间的数量关系为； 12．新定义：如果两个角的和为，则称这两个角互为开心角； （1），若和互为开心角，___________； （2）如图1，射线平分，射线在内部，，若和互为开心角，求的大小； （3）如图2，，射线绕着点O从位置开始，以每秒的速度顺时针旋转，同时射线绕点O从射线位置开始，以每秒的速度逆时针旋转．设旋转的时间为t秒，在旋转过程中，三条射线、、中任意两条射线形成夹角（夹角），当有两个夹角互为开心角时，求出t的值． 【提示】本题考查了新定义的概念及应用，角的和差关系，角平分线的性质及动态角的分类讨论； （1）根据“开心角”的定义即可求得结果； （2）根据题意得出，利用角平分线的性质及“开心角”的定义得出相关角度的关系式，即可求得； （3）根据题意分析三条射线、、关键时间点，再分类讨论得出t的值即可； 【答案】（1）140；（2）；（3），20，26； 【解析】（1）因为，，和互为开心角， 所以，， 故答案为：140； （2）如图， 所以，， 又因为，射线平分， 所以，， 所以，， 又因为，和互为开心角， 所以，， 所以，， 所以，． （3）解：分析关键时间点后分类讨论： 射线和第一次重合时（秒）； 射线和重合时（秒）； 射线和重合时（秒）； 射线和共线时（秒）； 射线和共线时（秒）； ①当时，射线和射线在内部，， ，任意两角之和，此范围内没有解； ②当时，射线和射线位置如图所示： ， 当时，得，解得（舍）， 当时，得，解得在范围内， 当时，得，解得在范围内； ③当时，射线和射线位置如图所示： ， 当时，得，解得在范围内， 当时，得，解得（舍）， 当时，得，解得（舍）； 综上所述，t的值为，20，26； 第32页，共32页 学科网（北京）股份有限公司 $