2.3.1 向量的数乘运算课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

2.3.1 向量的数乘运算 北师大版（2019）必修第二册 学习目标 1.理解向量的数乘运算及线性运算的概念，体现数学抽象能力（重点） 2.掌握数乘运算的运算律，能进行向量的线性运算，体现逻辑推理能力（重难点） 课程引入 观察下面的几个实例： 实例一：在疾风暴雨、雷电交加的夜晚，为什么我们总是先看到闪电，后听到雷声？这是因为光速远远大于声速.经测量光速大小约为声速的8.8×10倍. 实例二：一重物由高空自由落下，根据自由落体运动的速度公式v=gt可知，它在1s末和2s末的速度大小分别为v1=9.8m/s和v2=19.6m/s.显然v2=2v1，并且方向都是竖直向下的. 以下实例说明在实际中存在这样的两个向量，它们是共线的，而且大小之间具有倍数关系.因此，有必要定义实数与向量的乘积运算. 新课学习 思考一下：如果把非零向量a的长度伸长到原来的3倍，方向不变得到向量b，向量b该如何表示？ 向量a，b之间的关系怎样？ 当向量a与向量b同向时， b=3a b=3a 当向量a与向量b反向时， b=-3a b=-3a a a 新课学习 向量的数乘的概念 实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作λa，满足以下条件: (1)当λ＞0时，向量λa与向量a的方向相同； 当λ＜0时，向量λa与向量a的方向相反； 当λ＝0时，0a＝0. (2)|λa|＝|λ||a|. 这种运算称为向量的数乘. 新课学习 向量的数乘的几何意义 如图，由实数与向量数乘λa的定义可以看出，它的几何意义是: 当λ＞0时，表示向量a的有向线段在原方向伸长或缩短为原来的λ倍; 当λ＜0时，表示向量a的有向线段在反方向伸长或缩短为原来的|λ|倍. 新课学习 向量的单位化的概念 由向量数乘的定义容易推出，在非零向量a方向上的单位向量是 它表明一个非零向量除以它的模（乘它的模的倒数）的结果是一个与原向量同方向的单位向量，这一过程称为向量的单位化. 新课学习 数乘运算的运算律 设λ，μ为实数，a，b为向量，那么根据向量数乘的定义，可以得到如下运算律： (1)第一分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa； (2)结合律： λ(μa)＝λμa； (3)第二分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb. 特别地，我们有 (-λ)a=-(λa)=λ(-a)， λ(a-b)= λa-λb ． 新课学习 对于第二分配律进行证明： 分情况讨论： 1.当λ>0时， a b a+b λb λa λ(a+b) 2.当λ<0时， λa λb a λ(a+b) b a+b λa+λb λa+λb 根据相似三角形的性质，由上面两个图，可以推出第二分配律. 其他运算律可以由向量的数乘定义直接得到. 新课学习 向量的线性运算的定义 向量的加法、减法、数乘的综合运算，通常称为向量的线性运算(或线性组合). 例如：2a+3b，-3a+5b， a- b等都是a，b的线性运算. 若一个向量c由向量a，b的线性运算得到，如c=2a+3b，则称向量c可以用向量a，b线性表示. 新课学习 例1：设a，b为向量，计算下列各式： (1)(-3)×4a； 由数乘运算的运算律得 (-3)×4a＝(-3×4)a=-12a (2)3(a+b)- (a-b)-a； 由数乘运算的运算律得 3(a+b)- (a-b)-a=3a+3b- a+ b-a = a+ b； 新课学习 例1：设a，b为向量，计算下列各式： (3)(2λ-μ)a-λb-(λ-μ)(a-b)(λ，μ为实数). (2λ-μ)a-λb-(λ-μ)(a-b) =(2λ-μ)a-λb-(λ-μ)a+(λ-μ)b =[(2λ-μ)-(λ-μ)]a+[-λ+(λ-μ)]b =λa-μb. 新课学习 例2：设x是未知向量，解方程 x+a-3(x-b)＝0. 原式可变形为 x+a-3x+3b=0， 2x=a+3b， x= a+ b. 新课学习 例3：如图，已知点O是△ABC所在平面内一点，点D为边BC的中点，且 =0，说明向量 与 的关系. 因为点D为边BC的中点，所以 又 =0，所以 =0， 所以 ， 所以 ， 即向量 与 共线且方向相同，长度是向量 长度的 倍. 课程练习 D 课程练习 课程练习 A 课程练习 课程练习 D 课程练习 课程练习 A 课程练习 课程练习 C 课程练习 课程练习 课程总结 您的内容打在这里，或者通过复制您的文本后，在此框中选择粘贴，并选择只保留文字。 1.向量的数乘的概念 2.数乘运算的运算律 感谢各位同学的观看 TEACHING COURSEWARE $