第2章 3.1 向量的数乘运算（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第二册高中同步学案（北师大版）

该高中数学课件聚焦向量的数乘运算，涵盖定义、几何意义及运算律等核心知识点。通过“甲、乙、丙位移关系”问题导入，结合自主梳理、知识填空和自主检验，搭建从具体情境到抽象概念的学习支架，衔接向量加减法与数乘运算的知识脉络。 其特色在于以问题驱动情境创设，通过位移实例培养直观想象，借助线性运算、方程组求解提升数学运算素养，结合平行四边形中向量表示等题型训练逻辑推理。反思感悟总结方法，帮助学生循序渐进掌握知识，为教师提供结构化教学资源，提升教学效率。

第二章　平面向量及其应用 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 §3　从速度的倍数到向量的数乘 3.1　向量的数乘运算 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 目录 contents Part 01 课 前 预 习 课 堂 互 动 Part 02 课时作业（十五） Part 03 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 课 前 预 习 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 相同 相反 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 |λ||a| 原方向 |λ| 反方向 |λ| 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 它的模(乘它的模的倒数) 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 λa＋μa (λμ)a λa＋λb 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 课 堂 互 动 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 课时作业（十五） 点击进入word 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 谢谢观看 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 学习目标 素养要求 1．掌握向量的数乘运算的定义，并理解其几何意义． 2．掌握数乘运算的运算律，并能进行向量的线性运算． 1．通过向量数乘的定义、几何意义的学习，主要培养直观想象的核心素养． 2．通过向量的线性运算，提升数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点一　向量的数乘运算的定义 [问题]　 甲、乙、丙三人都从点M出发，甲向正南方向运动了5 km，乙向正南方向运动了15 km，丙向正北方向走了20 km，请问他们的位移是什么关系？ 答：甲、乙位移方向相同，乙的位移的大小是甲的3倍，甲、乙与丙的位移方向相反，丙的位移大小是甲的4倍，是乙的 eq \f(4,3) 倍． ►知识填空 1．数乘运算的定义及几何意义 定义：实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作λa，满足以下条件： (1)当λ>0时，向量λa与向量a的方向________； 当λ<0时，向量λa与向量a的方向________； 当λ＝0时，0a＝0. (2)|λa|＝___________． 这种运算称为向量的数乘． 几何意义： 当λ>0时，表示向量a的有向线段在__________伸长或缩短为原来的______倍； 当λ<0时，表示向量a的有向线段在__________伸长或缩短为原来的______倍． 2．向量的单位化 一个非零向量除以___________________________的结果是一个与原向量同方向的单位向量，即 eq \f(a,|a|) ，这一过程称为向量的单位化． 知识点二　数乘运算的运算律 ►知识填空 设λ，μ为实数，a，b为向量，数乘运算的运算律为 (1)(λ＋μ)a＝___________： (2)λ(μa)＝_________． (3)λ(a＋b)＝___________． [自主检验] 1．4(a－b)－3(a＋b)－b等于(　　) A．a－2b　　　　　　　 B．a C．a－6b D．a－8b 答案：D 2．如图，已知AM是△ABC的边BC上的中线，若 eq \o(AB,\s\up14(→)) ＝a， eq \o(AC,\s\up14(→)) ＝b，则 eq \o(AM,\s\up14(→)) 等于(　　) A． eq \f(1,2) (a－b) B．－ eq \f(1,2) (a－b) C． eq \f(1,2) (a＋b) D．－ eq \f(1,2) (a＋b) 解析：选C　因为M是BC的中点，所以 eq \o(AM,\s\up14(→)) ＝ eq \f(1,2) (a＋b). 3．已知|a|＝4，|b|＝8，若两向量方向同向，则向量a与向量b的关系为b＝________a． 答案：2 4．点C在线段AB上，且 eq \f(AC,CB) ＝ eq \f(3,2) ，则 eq \o(AC,\s\up14(→)) ＝____________ eq \o(AB,\s\up14(→)) ， eq \o(BC,\s\up14(→)) ＝________ eq \o(AB,\s\up14(→)) . 答案： eq \f(3,5) 　－ eq \f(2,5) 题型一　向量的数乘运算的理解 [例1]　已知λ，μ∈R，则在以下各命题中，正确的命题共有(　　) ①当λ<0，a≠0时，λa与a的方向一定相反； ②当λ>0，a≠0时，λa与a的方向一定相同； ③当λ≠0，a≠0时，λa与a是共线向量； ④当λμ>0，a≠0时，λa与μa的方向一定相同； ⑤当λμ<0，a≠0时，λa与μa的方向一定相反． A．2个　　 B．3个 C．4个 D．5个 解析：根据实数λ与向量a的积λa的方向，易知①②③都是正确的；对于④.由λμ>0可得λ，μ同为正或同为负，所以λa和μa或者都与a同向，或者都与a反向，所以λa与μa是同向的，故④正确；对于⑤，由λμ<0可得λ，μ异号，所以在λa和μa中，一个与a同向，另一个与a反向，所以λa与μa是反向的，故⑤正确． 答案：D [反思感悟] (1)实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如λ＋a，λ－a均无法运算． (2)λa的结果为向量，所以当λ＝0或a＝0，均有λa＝0而不是0. (3)由3a＝5b可变形为a＝ eq \f(5,3) b，但不能3＝ eq \f(5b,a) . λ，μ∈R，下列关系正确的是(　　) A．若λ＝0，则λa＝0 B．若a＝0，则λa＝0 C．|λa| ＝|λ|a D．λ(μ＋a)＝λμ＋λa 答案：B 题型二　向量的线性运算 [例2]　(1)化简下列各向量表达式： ①3(6a＋b)－9 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,3)b)) ； ②(5a－4b＋c)－2(3a－2b＋c). (2)解关于x，y的方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝a，,x－4y＝2b.)) 解：(1)①原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a． ②原式＝5a－4b＋c－6a＋4b－2c＝－a－c. (2)由x－4y＝2b，可得x＝4y＋2b， 代入2x＋3y＝a，可得2(4y＋2b)＋3y＝a， 于是8y＋4b＋3y＝a，解得y＝ eq \f(1,11) a－ eq \f(4,11) b， 再代入x＝4y＋2b中可得x＝ eq \f(4,11) a＋ eq \f(6,11) b. 故方程组的解是 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4,11)a＋\f(6,11)b，,y＝\f(1,11)a－\f(4,11)b.)) [反思感悟] 向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知量，利用解代数方程的方法求解． (1)化简：(a＋b)－3(a－b)－8a＝________． (2)若2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,3)a)) － eq \f(1,3) (c＋b－3y)＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，则未知向量y＝________． 解析：(1)(a＋b)－3(a－b)－8a＝(a－3a－8a)＋(b＋3b) ＝－10a＋4b. (2)因为2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,3)a)) － eq \f(1,3) (c＋b－3y)＋b＝0， 3y－ eq \f(2,3) a＋ eq \f(2,3) b－ eq \f(1,3) c＝0， 所以y＝ eq \f(2,9) a－ eq \f(2,9) b＋ eq \f(1,9) c. 答案：(1)－10a＋4b　(2) eq \f(2,9) a－ eq \f(2,9) b＋ eq \f(1,9) c 题型三　用已知向量表示其他向量 [例3]　如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，若 eq \o(AB,\s\up14(→)) ＝a， eq \o(AD,\s\up14(→)) ＝b，则 eq \o(DE,\s\up14(→)) 等于(　　) A． eq \f(1,2) a－b B． eq \f(1,2) a＋b C．a＋ eq \f(1,2) b D．a－ eq \f(1,2) b 解析：因为E是BC的中点， 所以 eq \o(CE,\s\up14(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \o(CB,\s\up14(→)) ＝－ eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up14(→)) ＝－ eq \f(1,2) b， 所以 eq \o(DE,\s\up14(→)) ＝ eq \o(DC,\s\up14(→)) ＋ eq \o(CE,\s\up14(→)) ＝ eq \o(AB,\s\up14(→)) ＋ eq \o(CE,\s\up14(→)) ＝a－ eq \f(1,2) b. 答案：D [反思感悟] 用已知向量表示其他向量的方法 在△ABC中，若点D满足2 eq \o(BD,\s\up14(→)) ＝ eq \o(DC,\s\up14(→)) ，则 eq \o(AD,\s\up14(→)) 等于(　　) A． eq \f(1,3) eq \o(AC,\s\up14(→)) ＋ eq \f(2,3) eq \o(AB,\s\up14(→)) B． eq \f(5,3) eq \o(AB,\s\up14(→)) － eq \f(2,3) eq \o(AC,\s\up14(→)) C． eq \f(2,3) eq \o(AC,\s\up14(→)) － eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up14(→)) D． eq \f(2,3) eq \o(AC,\s\up14(→)) ＋ eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up14(→)) 解析：如图所示， 由题意可得 eq \o(AD,\s\up14(→)) ＝ eq \o(AB,\s\up14(→)) ＋ eq \o(BD,\s\up14(→)) ＝ eq \o(AB,\s\up14(→)) ＋ eq \f(1,3) eq \o(BC,\s\up14(→)) ＝ eq \o(AB,\s\up14(→)) ＋ eq \f(1,3) ( eq \o(AC,\s\up14(→)) － eq \o(AB,\s\up14(→)) ) ＝ eq \f(2,3) eq \o(AB,\s\up14(→)) ＋ eq \f(1,3) eq \o(AC,\s\up14(→)) . 答案：A [课堂小结] 1．实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算． 2．λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍．向量 eq \f(a,|a|) 表示与向量a同向的单位向量． 3．向量的加法、减法和数乘的综合运算，称为向量的线性运算． $