2.3.2 向量的数乘与向量共线的关系 课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

2.3.2 向量的数乘与向量共线的关系 北师大版（2019）必修第二册 学习目标 1.掌握共线向量基本定理，并能解决有关平行、点共线等问题,体现逻辑推理能力（重点） 2.理解直线的方向向量的概念，并能进行简单应用，体现数学运算能力（难点） 课程引入 在学校的运动会上，运动员小明正在进行短跑比赛.假设他从起点A出发，以每秒5米的速度沿着直线跑道向终点B跑去，1秒后他到达了点C，2秒后到达了点D.如果我们把小明从A到C的位移看作向量 ，那从A到D的位移向量 和 之间有什么关系呢？很明显， 的长度是 的2倍，而且方向相同.那么A，C，D这三点有什么关系？ 新课学习 思考：设b是非零向量，由向量共线和数乘的定义可以直接推知，对于任意向量a，若a=λb，λ是一个实数，则a‖b.反之，对于向量a，若a‖b，是否存在一个实数λ，使得a=λb？ 我们可以分以下两种情况讨论. 若a和b方向相同，则 即 新课学习 思考：设b是非零向量，由向量共线和数乘的定义可以直接推知，对于任意向量a，若a=λb，λ是一个实数，则a‖b.反之，对于向量a，若a‖b，是否存在一个实数λ，使得a=λb？ 我们可以分以下两种情况讨论. 若a和b方向相反，则 即 新课学习 共线（平行）向量基本定理 给定一个非零向量b，则对于任意向量a，a‖b的充要条件是存在唯一一个实数λ，使a=λb. 例如：b=-2a，则a‖b，若a‖b，b的长度是a的2倍并且方向相反，则b=-2a. 新课学习 例4：如图，已知 ， ，试判断 与 是否平行. 因为 所以 与 平行. 新课学习 例5：设A，B，C，D中的任何三个点不共线，用向量语言描述下列几何图形的特征. (1)四边形ABCD是平行四边形； B C A D 由共线(平行)向量基本定理得 如图， 或 ； 新课学习 (2)在梯形ABCD中，上底AD长是下底BC长的一半； B C A D 如图， ； B C A D (3)点D是△ABC的重心. 或 或 也可以表示成 0. 新课学习 思考一下：能否用向量来刻画直线呢？ A B P l 如图，已知A，B两点确定一条直线l，直线l上任意一点P所对应的向量 即存在唯一实数t，使得 这说明由一个点A和一个非零向量 可以唯一确定过点A与向量 共线的直线l. 新课学习 直线l的方向向量的概念 新课学习 例6：如图，已知A，B是直线l上的两个定点，点O是直线l外的一定点，点P是直线l上的任意一点.证明：存在唯一的实数t，满足 A O B l P 因为A，B，P都是直线l上的点，所以存在唯一实数t，使得 因为 ，所以 ， 即 若点P是AB的中点，则 ，这是线段AB中点的向量表达式. 新课学习 例6给出了利用直线的向量表示来判断A，B，P三点共线的一种方法，A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若 ，求x＋y的值． 因为A，B，P三点共线， 由向量共线定理可知，必定存在实数 λ 使 即 所以 故x＝1-λ，y=λ，即x+y=1． 课程练习 D 课程练习 课程练习 C 课程练习 课程练习 C 课程练习 课程练习 A 课程练习 课程练习 B 课程练习 课程练习 共线 课程总结 1.共线（平行）向量基本定理 2.直线的向量表示 感谢各位同学的观看 TEACHING COURSEWARE $