2.4.1 平面向量基本定理 课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

2.4.1 平面向量基本定理 北师大版（2019）必修第二册 学习目标 1.理解平面向量基本定理及其意义，了解向量一组基的含义，体现逻辑推理能力（重点） 2.能用平面向量基本定理解决相关问题，体现数学计算能力（难点） 课程引入 在物理学中，一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G，其作用体现在两个方向：与斜面平行的方向和与斜面垂直的方向，故在解决问题时常常要把重力分解为使物体沿斜面下滑的力F1和垂直于斜面的力F2.在实际应用中，常常需要把一个力、速度、位移等分解为不同方向的分量的和. 那么重力与分解的两个力有什么关系？ 新课学习 思考：平面内给定两个不共线的向量e1，e2，任意向量a能否表示出所有形如1e1+2e2的向量？ 如图，给定不共线的向量e1，e2，以及任意一个向量a，在平面内任取一点O，作 N O C A B M e1 e2 a 新课学习 思考：平面内给定两个不共线的向量e1，e2，任意向量a能否表示出所有形如1e1+2e2的向量？ 过点C作平行于OB的直线，与直线OA交于点M;过点C作平行于OA的直线，与直线OB交于点N. 由共线（平行）向量基本定理可知，存在唯一的一对实数λ1，λ2，使得 又因为 ，所以a= λ1e1+λ2e2. 新课学习 向量e1,e2的线性表示 任一向量a都可以表示成a= λ1e1+λ2e2的形式，这种形式称作向量e1，e2的线性表示. 新课学习 练一练：若e1,e2是两个不共线的向量，给出下面向量的线性表示. 结论：平面内任意一个向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e1,e2线性表示. 新课学习 平面向量基本定理的概念 如果e1和e2是同一平面内两个不共线的向量，那么该平面内任意一个向量a，存在唯一的一对实数λ1，λ2 ，使 a=λ1e1＋λ2e2 把不共线的向量e1和e2叫作表示这个平面内所有向量的一组基，记作{e1，e2}. 新课学习 正交分解的概念 若基中的两个向量互相垂直，则称这组基为正交基. 在正交基下向量的线性表示称为正交分解. 若基中的两个向量是互相垂直的单位向量，则称这组基为标准正交基. 新课学习 思考：上述问题中的分解方法是否唯一？为什么？ 结论：分解方法唯一. 如果 a 还可以表示成μ1e1＋μ2e2的形式，那么 λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2， 可得 (λ1-μ1)e1＋(λ2-μ2)e2＝0，由此式可推出 λ1-μ1，λ2-μ2全为0(假设λ1-μ1，λ2－μ2不全为0)， 由此可得 e1，e2 共线，这与 e1，e2 不共线矛盾，即λ1＝μ1，λ2＝μ2，因此，分解方法是唯一的. 新课学习 思考一下：如何判断一组向量能否作为基底？ 1.基中的两个向量不能共线； 2.基中的两个向量必须为非零向量． 思考一下：同一平面内，向量的基底是唯一的吗？ 不唯一 新课学习 例1：如图，在□ABCD中，点E，F分别为BC，DC的中点. ＝a， ＝b，用a，b表示 和 根据题意，有： b， a， 所以 b a. 同理 a b. 新课学习 例2：如图，已知点M，N，P分别是△ABC三边BC，CA，AB上的点，且 设 ＝a， ＝b，选择基{a，b}，试写出向量 在此基下的分解式. 根据题意，得 b， (b－a)， 所以 (b－a)- b a＋ b， 新课学习 例2：如图，已知点M，N，P分别是△ABC三边BC，CA，AB上的点，且 设 ＝a， ＝b，选择基{a，b}，试写出向量 在此基下的分解式. 同理 a＋ (b－a) a＋ b， a- b. 课程练习 B 课程练习 课程练习 C 课程练习 课程练习 C 课程练习 课程练习 D 课程练习 课程练习 D 课程练习 课程练习 4 课程练习 课程总结 您的内容打在这里，或者通过复制您的文本后，在此框中选择粘贴，并选择只保留文字。 1.向量e1，e2的线性表示 2.平面向量基本定理 感谢各位同学的观看 TEACHING COURSEWARE 不妨假设λ1－μ1≠0，则e1＝－e2. $