重难点04 二次函数压轴题角度相关分类训练（复习讲义，1大重点5种题型）（山东专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦“二次函数压轴题角度相关”核心考点，涵盖直角、等角、特殊角、角的和差与倍数及互补互余五大题型，构建“考点梳理-方法指导-真题训练”系统复习框架，通过解题四步法（设点、表线段、列方程、解方程）帮助学生突破难点。 亮点在于“题型分类+分层训练”设计，如用“K字型构造相似”解决直角问题，通过“正切值相等”证等角，培养学生数学思维与模型意识。精选各地中考真题及变式题，配合“固根基、拓能力”分层练习，助力学生高效掌握解题策略，教师可据此精准把控复习节奏，提升应考能力。

第三章 函数 重难点04 二次函数压轴题角度相关分类训练 目 录 01 深挖重难·固根基 2 02 分层锤炼·验成效 20 固·重难考点 拓·创新能力 重难点一 二次函数压轴题角度相关 一、直角（90°）相关 1. 勾股逆定理 若 PA2 + PB2 = AB2，则∠APB = 900。 2. 垂直判定（斜率） 两直线垂直 ⇔k1 k2 = -1。 3. K 字型（一线三直角） 出现直角，常作水平/竖直线，构造两个直角三角形相似。 二、角度相等问题 1. 锐角相等 ⇔ 正切值相等 ∠ 1 = ∠2⇔tan1 = tan 2 2. tan 怎么算 过角顶点作水平/竖直线，构直角三角形： tanθ = 三、特殊角 1. 45° 角 ◦ 对应：等腰直角三角形 ◦ 边长比：1:1: ◦ tan450= 1 2. 30°/60° 角 ◦ 边长比：1::2 ◦ tan300 = ,tan600 = 四、坐标系中必备公式 1. 两点间距离 AB = 2. 直线斜率 k = 3. 点在抛物线上 动点 P(x, ax2+bx+c)，所有线段、角度都用 x 表示。 解题步骤 1. 设点 抛物线上动点：P(x,ax2+bx+c) 2. 表示线段/斜率 3. 按角度列方程 ◦ 直角：勾股 / 垂直 ◦ 等角：tan 相等 ◦ 特殊角：特殊三角形 4. 解方程 + 舍去不合理解 题型01 已知角的度数 【典例1】（2025·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)问在抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； (3)将射线绕点逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点，再将抛物线沿直线平移，得到一条新的抛物线（其顶点为）．设这两条抛物线的交点为． ①求旋转角度的正切值； ②当时，求原抛物线平移的距离． 【典例2】（2025·山东烟台·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与直线相交于点，，交轴正半轴于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图1，点为直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，过点作轴于点，求 的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，点是线段的中点，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，在平移后的抛物线上存在点，使得，请写出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一个的求解过程． 【典例3】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图1，抛物线交轴于、两点，交轴于点． (1)直接写出点、、的坐标：___________； (2)如图2．点是第三象限抛物线上一点，过点作直线的平行线交轴于点，连，若为的角平分线，求点的坐标： (3)如图3，原点关于点的对称点为点，过原点的直线交抛物线于、两点（点在轴下方），连交抛物线于另一点，连接，若，求直线的解析式． 【变式1】（2025·江苏无锡·模拟预测）抛物线交x轴于A，B两点（A在B的右边），交y轴于点C． (1)直接写出点A，B，C的坐标； (2)如图（1），连接，，过第三象限的抛物线上的点P作直线，交y轴于点Q．若平分线段，求点P的坐标； (3)如图（2），点D与原点O关于点C对称，过原点的直线EF交抛物线于E，F两点（点E在x轴下方），线段交抛物线于另一点G，连接．若，求直线的解析式． 【变式2】（2025·江苏无锡·二模）已知平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，且． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是线段上一点，若，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，将该抛物线向左平移，点D平移至点E处，过点E作，垂足为点F，若 ，求平移后抛物线的表达式． 【变式3】（2025·青海西宁·三模）如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴分别交于A，B两点，点A的坐标是，与y轴交于点 (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点P是抛物线上一点，连接使得，求出点P坐标； (3)如图3，连接与交于点D，是否存在点P，满足，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式4】（2025·江苏常州·三模）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为． (1)求抛物线与直线l的函数表达式； (2)若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接、，求当面积最大值时点P的坐标及该面积的最大值； (3)若点Q是y轴上的点，且，求点Q的坐标． 【变式5】（2025·湖南湘西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点C．      (1)求抛物线的解析式． (2)点P是直线上方抛物线上一动点，连接交于点M，当的值为最大值时，求出此时点P的坐标和最大值． (3)抛物线上是否存在一点N，使得，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 题型02 角相等 【典例1】（2025·山东济南·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，与x轴交于A，B两点． (1)求抛物线的表达式． (2)如图，已知直线与抛物线C1交于顶点M和另一点C，连接 ．若恰好平分，求k的值． (3)点是抛物线上的两点，若P，Q之间的图象（包括点P，Q）的最高点与最低点纵坐标的差为，请直接写出t的值． 【典例2】（2025·山东济宁·二模）如图，已知抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连接． (1)求该抛物线的表达式； (2)点P为该抛物线上一动点（与点B，C不重合），设点P的横坐标为m． ①当点P在直线的下方运动时，求的面积的最大值； ②该抛物线上存在点P，使得，请直接写出所有点P的坐标． 【典例3】（2025·山东济南·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，与y轴交于点C，顶点为D．          (1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标； (2)如图2，连接，，若抛物线上存在点E，满足，求点E的坐标； (3)如图3，点F为x轴上一动点，连接，当最大时，请直接写出点F的坐标． 【变式1】（2025·山东济南·一模）如图，抛物线与轴交于两点，过点的直线与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)是第四象限内抛物线上一动点，连接，若平分，求点的横坐标； (3)将抛物线平移得到，使得抛物线顶点为原点，点，为抛物线上的两个动点，且，连接，过作于点，求点到轴的最大距离． 【变式2】（2025·重庆·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点A，点B（A在B的左侧），与y轴相交于点C，A、B的坐标分别为：、，连接，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是第一象限内抛物线上的动点，过点P作，交直线于点Q，过点Q作轴，交y轴于点M，点K为直线上一动点，当最大时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移个单位，点E为平移后抛物线对称轴上一动点，连接，，当时，请写出所有符合条件的E的坐标，并写出其中一个点的求解过程． 【变式3】（2025·广东·一模）如图，已知抛物线与x轴从左到右依次交于两点，与y轴交于点C，点B的坐标为，连接． (1)求此抛物线的解析式； (2)若P为此抛物线的对称轴上的一个动点，连接，设点P的纵坐标表示为m． 试探究： ①当m为何值时，的值最大？并求出这个最大值． ②在P点的运动过程中，能否与相等？若能，请求出P点的坐标；若不能，请说明理由． 【变式4】（2025·浙江杭州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴于、两点，交轴于点，点的坐标为，点的坐标为． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，点是第四象限抛物线上一点，连接交y轴于点D，点F在y轴正半轴上，，连接，设点的横坐标为，线段的长的平方为d，求d与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）． (3)如图2，在（2）的条件下，过点作的平行线，对于任意的值，直线都经过点，点在线段上，连接，，若，，求点的坐标． 题型03 角的和差关系 【典例1】（2025·山东烟台·模拟预测）如图，抛物线的图象与轴交于点和点，与轴交于点，过点作轴，交抛物线于点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)①在图1中，抛物线对称轴上是否存在一点，使为等腰三角形，若存在，请求点的坐标；若不存在，请说明理由； ②在图2中，点为抛物线上第四象限上一点，连接交轴于点，当时，求点的坐标． 【典例2】（2025·山东济南·二模）二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求此二次函数的表达式； (2)如图1，点是第三象限内的抛物线上的动点，过作轴，交轴于点，四边形的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由； (3)如图2，点是抛物线的顶点，抛物线的对称轴与轴交于点，已知点，连接，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【典例3】（2025·山东济宁·二模）如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点、点，与轴相交于点，连接、． (1)求：，的值； (2)当时，函数的最小值是2，求出的值； (3)在抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴相交于点、，与轴相交于点，连接，过点作交抛物线于点．    (1)如图1，求的坐标； (2)如图2，是第一象限抛物线上一点，连接，过点作轴交延长线于点，设点的横坐标为，线段的长为，求与的函数关系式； (3)如图3，在（2）的条件下，在上取一点，连接、，交于，若，，求直线的解析式． 【变式2】（2025·四川南充·模拟预测）如图1．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（在左侧）．与轴交于点，且，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是直线下方抛物线上一动点．过点作于点是直线上的动点（在左侧）．且．连接、．当线段取最大值时，求点坐标以及的最小值： (3)将原抛物线沿射线方向平移．使得平移后的抛物线经过点，点为抛物线的对称轴与轴的交点，为直线与抛物线在对称轴左侧的交点，为抛物线上的一个动点，且，请直接写出满足条件的所有点的坐标． 【变式3】（2025·福建泉州·模拟预测）已知抛物线交x轴于原点和点，直线交抛物线于点和点，其中为y轴左侧抛物线上一点，为x轴下方抛物线上一点． (1)求抛物线顶点坐标； (2)当时，若的面积为6，求直线的表达式； (3)若始终有，直线是否过定点？若是，求出该点坐标，若不是，请说明理由． 【变式4】（2025·江苏常州·三模）如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于点、点，与y轴相交于点C． (1)填空： ___________， ___________； (2)当时，函数的最大值是5，直接写出t的值是___________； (3)点C关于抛物线对称轴对称的点为E，过E作轴于F，点P为抛物线上一点，且点P在抛物线对称轴左侧，过P作轴于M，交直线于点N．若，求点P的坐标． 【变式5】（2025·浙江杭州·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线的解析式为． (1)如图1，求a的值； (2)如图2，点P为第四象限抛物线上一点，连接交x轴于点D，连接，设点P横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数解析式； (3)如图3，在（2）的条件下，点E为第二象限内一点，且，连接、，若，，求的值． 【变式6】（2025·重庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点、，交轴于点，其中，． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点为直线下方抛物线上一动点，过作轴交于点，点是轴上一动点，点是上一动点．请求出当取最大值时点的坐标，及此时的最小值； (3)如图2，在（2）条件下，将该抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使新抛物线经过点．点为新抛物线对称轴上的一个动点，对称轴与轴交于点，过作交轴的正半轴于点，连接，．当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一个点的坐标的求解过程． 题型04 角的倍数关系 【典例1】（2025·山东·二模）二次函数的图象过点，，连接，点是抛物线上一个动点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，若点在轴左侧的抛物线上运动，平移线段，使其一个端点与点重合，另一个端点恰好落在轴上，求点的坐标； (3)如图2，若点在轴右侧的抛物线上运动，作直线，交轴于点，将直线绕点逆时针旋转得直线，交轴于点，连接，若，求点的坐标． 【典例2】（2025·山东日照·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点是直线下方抛物线上一动点，过点作交轴于点，轴交直线于点，求当的值最大时点的坐标； (3)如图2，点在抛物线上，连接，点是线段上一点，且满足，将抛物线沿射线方向平移，得到过点的新抛物线，点是新抛物线上一点，且，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 【典例3】（2025·山东济南·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作，垂足为D，点Q为线段的中点，点M是线段上一点（不与点B重合），在的左侧作平行四边形，连接．当线段的长度取得最大值时，求的最小值； (3)将抛物线沿着y轴翻折得到抛物线，与x轴交于E，F两点（E在F的左侧）．在（2）中线段的长度取得最大值时，直线上是否存在点G，使得，若存在，请直接写出点G的横坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】（2025·山东济南·一模）抛物线与x轴分别交于，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点，D是抛物线的顶点． (1)求该抛物线的函数表达式及顶点D的坐标． (2)如图1，线段下方抛物线上是否存在一点E，使，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，P是抛物线第二象限上的点，连接．当时，求点P的坐标． 【变式2】（2025·宁夏·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于点A，与直线交于点，过点A作直线的平行线，交抛物线于点C． (1)求抛物线的解析式． (2)点D为直线下方抛物线上一点，过点D作轴交直线于点E，交直线于点Q，过点Q作于点F，连接，求面积的最大值及此时点D的坐标． (3)如图2，在（2）条件下，将原抛物线向右平移，使抛物线再次经过（2）条件下的点D，新抛物线与x轴交于点M，N（点M在点N的左侧），与y轴交于点G，连接，点P为新抛物线上一点，连接交直线于点H，使得，直接写出所有符合条件的点P的坐标． 【变式3】（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于点、，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点为第二象限抛物线上一点，连接交于点，设点的横坐标为的面积为，求与之间的函数解析式； (3)在（2）的条件下，轴于点，点为上一点，连接并延长至点，使得，连接，延长交于点，连接，若，，求直线的解析式． 【变式4】（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，已知直线与抛物线相交于，两点，其中抛物线的顶点坐标，点在轴上． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线上（除第一象限外）的一点，当是以为底边的等腰三角形时，求点的坐标； (3)若抛物线与轴的负半轴的交点为，过点作直线交轴交于点，点为线段上的一点，点为线段上的一点，连接，并延长与线段交于点（点在第三象限），当且时，求出点及点的坐标． 【变式5】（2025·内蒙古赤峰·三模）已知抛物线，与轴交于点和点（在的左侧），与轴交于点，且，抛物线的顶点为． (1)直接写出这条抛物线的解析式_____和顶点的坐标_____； (2)若点在此抛物线上，轴于点，与直线相交于点，设点的横坐标为，且，求点的坐标； (3)在（2）的基础上，在直线上是否存在一点，使直线与直线的夹角等于的2倍．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型05 互补或互余 【典例1】（2025·重庆·模拟预测）如图，抛物线与x轴分别交于点、点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线． (1)求抛物线解析式； (2)点P为直线下方抛物线上一点，连接，，点M为抛物线对称轴上一动点，轴，垂足为N，连接，，当面积最大时，求此时点P的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移后过点C，在新抛物线上是否存在一点Q，使与互补，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【典例2】（2025·广东东莞·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，且点在点的左侧，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，直线与轴交于点，与轴交于点，动点为抛物线第一象限上的一点，于点， 轴交于点，求的周长的最大值，及此时点的坐标； (3)如图，连接，将原抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使平移后的新抛物线经过点，新抛物线与x轴的另一交点为点，请问在新抛物线上是否存在一点，使得？若存在，则直接写出点的坐标；若不存在，则说明理由． 【典例3】（2025·重庆永川·模拟预测）图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴于交点A，与y轴交于点．    (1)求抛物线的表达式； (2)点P 为第二象限内该抛物线上的一动点 （不与点 A，C重合），过点 P 作轴交x轴于点 D， 过点 P作交直线于点E， 求的最大值及此时点P的坐标； (3)将该抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，在（2）中 取得最大值的条件下，点M为原抛物线的顶点，点N为点 P的对应点，在新抛物线上确定一点 Q，使得，请直接写出所有符合条件的点Q的横坐标． 【变式1】（2025·重庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线分别交x轴于A，B两点，交y轴交于点C，且．连接，过点A作，交抛物线与点D． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，P是直线下方抛物线上一点，过点P作轴交直线于点M，过点M 作于点N，连接．当的面积最大时，将线段沿直线平移，求平移过程中的最小值； (3)如图2，E是线段的中点，将原抛物线沿方向平移，使得经过点E得到新抛物线．Q为新抛物线上的一点，当时，请写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解其中一个点Q坐标的过程． 【变式2】（2025·重庆·模拟预测）如图，抛物线与轴分别交于点，点（点在点的右侧），与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点为直线上方抛物线上一点，过点作轴交与点，当线段的值最大时，在直线上找一点，连接，使得的值最大．请求出的最大值并求出点的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移后经过点，在新抛物线上是否存在一点，使与互补，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 1．（2025·山东威海·一模）抛物线，顶点为点． (1)顶点坐标_____； (2)当时， ①的值总大于4，求取值范围； (3)当时，将抛物线向下平移6个单位，与轴交于点，（点在左侧），与轴交于点，顶点为． ②点以每秒1个单位的速度从点运动到点，过点作交于点，连接，在整个运动过程中，的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值以及并直接写出此时点坐标；若不存在，请说明理由； ③④任选一道做即可 ③点是直线上一点，且最大，直接写出点坐标_____； ④点是线段上一动点，则的最小值为_____． 2．（2025·山东泰安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，抛物线顶点D的坐标为，连接，，，，抛物线对称轴与相交于点E． (1)求抛物线的表达式； (2)求证：； (3)若点P是线段上的动点，将沿边翻折得到，是否存在点P，使得与重叠部分的图形为直角三角形？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． 3．（2025·山东烟台·一模）如图，在直角坐标系中，的顶点为，，，边交轴于点，抛物线过点． (1)求抛物线的表达式； (2)判断的形状，并说明理由； (3)若为直线上方的抛物线上一点，且，求点的坐标； (4)为线段上的点，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段运动到点，再以每秒个单位长度的速度沿线段运动到点，又以每秒1个单位长度的速度沿线段向点运动，当点运动到点后停止，请直接写出上述运动时间的最小值及此时点的坐标． 4．（2025·黑龙江·模拟预测）综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中抛物线经过点和点，交y轴于C． (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2)若P为y轴上的一动点，且的值最大，则点P坐标为______； (3)点E在第二象限抛物线上，且，求出点E的坐标； (4)如图2，连接、，点M在线段上（不与A、B重合），作，交线段于点N，是否存在这样的点M，使得为等腰三角形？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由； (5)点F在x轴下方，，则最小值为______． 5．（2025·江苏苏州·二模）【问题背景】 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于、B两点，交y轴于点C，抛物线对称轴交x轴于点D，抛物线与双曲线交于点，把点P绕点D顺时针旋转得到的对应点为Q． 【构建联系】 （1）分别求出抛物线和双曲线的解析式，并说明点Q是否在双曲线上． （2）如图2，双曲线与抛物线对称轴交于点E，连接，，求证：． 【深入探究】 （3）如图3，连接、，将绕着点旋转得到，其中点、分别是、两点的对应点，在旋转的过程中，当与重叠部分恰好是一个点时，求出此时点的坐标． 1．（2025·湖北·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点P是x轴下方抛物线上不与点C重合的一动点，设点P的横坐标为m． (1)请直接写出b，c的值； (2)如图，当时，求m的值； (3)过点P作y轴的平行线交于点M，点N在上，且，的长记为l． ①求l关于m的函数解析式； ②当时，请结合l关于m的函数图象，求m的取值范围． 2．（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点(点在点的左侧)，交轴于点(0，-3)． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，连接，点是第四象限抛物线上一点，过点作直线的平行线交轴于点，连接，若为的平分线，求点的坐标； (3)在(2)的条件下，过点的直线交抛物线于，两点，求面积的最小值． 3．（2025·重庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于， 两点，与轴交于 (1)求抛物线的表达式； (2)是直线上方抛物线上一动点，过点作轴，交于为直线上一动点，连接，当取得最大值时，求的最小值； (3)将抛物线沿着水平方向平移，使得新抛物线经过点及原点，点为平移后新抛物线上一动点，已知点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 4．（2025·江苏·一模）抛物线的与轴交于两点（点在点的左边），顶点为． (1)顶点坐标为_________； (2)如图，若点的坐标是，连接． ①把线段沿一定的方向平移，平移后，点的对应点为，点的对应点为，若点，点均在抛物线上，求点的坐标； ②将抛物线沿射线方向平移得到抛物线，且抛物线经过点．请问在抛物线上是否存在点，使得，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2025·黑龙江·模拟预测）综合与探究 如图，抛物线与x轴相交于，两点（点A在点B的左侧），其中，是方程的两个根，抛物线与y轴相交于点C． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)已知直线与x，y轴分别相交于点D，E． ①抛物线上是否存在点N，直线上是否存在点Q，使以D，N，E，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的横坐标；若不存在，请说明理由． ②设直线与l相交于点F，问在第三象限内的抛物线上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； ③过抛物线上一点M作直线的平行线．与抛物线相交于另一点N．设直线，相交于点Q．连接，．求线段的最小值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第三章函数 重难点04二次函数压轴题角度相关分类训川练 目 录 01深挖重难固根基…。 2 02分层锤炼·验成效.… 150 固重难考点 拓·创新能力 已知角的度数 角相等 二次函数压轴题 角的和差关系 角度相关（5种)） 角的倍数关系 互补或互余 1/193 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 -01- 深挖重难·固根基 重难点一二次函数压轴题角度相关 理 。必备考点 一、直角(90°)相关 1.勾股逆定理 若PA2+PB2=AB2,则∠APB=90。 2.垂直判定（斜率） 两直线垂直台k1k2=-1。 3.K字型（一线三直角) 出现直角，常作水平/竖直线，构造两个直角三角形相似。 二、角度相等问题 1.锐角相等台正切值相等 ∠1=∠2台tan1=tan2 2.tan怎么算 过角顶点作水平/竖直线，构直角三角形： tang:米器 三、特殊角 1.45°角 。对应：等腰直角三角形 。边长比：1：1√2 tan450=1 2.30°/60°角 。边长比：13：2 。tan300= tan600 =V3 四、坐标系中必备公式 1.两点间距离 AB=V(x2-为1)2+(y2-y1)2 2.直线斜率 2/193 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 k2-y1 x2-x1 3.点在抛物线上 动点P(x,ax2+bx+c),所有线段、角度都用x表示。 研·解题之道 皮方法 解题步骤 1.设点 抛物线上动点：P(K,ax2+bx+c) 2.表示线段/斜率 3.按角度列方程 。直角：勾股/垂直 。等角：tan相等 。特殊角：特殊三角形 4.解方程+舍去不合理解 题型01已知角的度数 【典例1】 (2025山东淄博中考真题)》如图，一条抛物线y=m2+x+5与x轴相交于A(-10),B(5,0) 两点，与y轴相交于点C. D (1)求抛物线对应的函数表达式； 2间在抛物线上是否存在点P,使得∠4C-号PAB?若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由： (3)将射线CB绕点C逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点D,再将抛物线沿直线CD平移， 得到一条新的抛物线（其顶点为M),设这两条抛物线的交点为Q. ①求旋转角度的正切值； ②当∠CQM=90°时，求原抛物线平移的距离. 3/193 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【答案】(1)y= 2+2+ 2P3 23104 或P3.40 9 (3'9 (3)①3；②抛物线的平移距离为2v2+8 【分析】(1)根据待定系数法求解即可； (2)求出C点坐标，作BC的中垂线交x轴于点E,连接CE,则：CE=BE,得到 ∠AEC=∠ABC+∠BCE=2∠ABC,设OE=m,则：CE=BE=5-m,勾股定理求出m的值，进而得到E 点坐标，求出直线CE的解析式，作AP∥CE,得到∠PAB=∠CEA=2∠ABC,求出直线AP的解析式，联 立直线和抛物线的解析式求出P点坐标，再根据对称性，求出满足题意的另一个点P的坐标即可； (3)①求出直线CD的解析式，根据题意，得到旋转角为∠BCD,作BE‖CD,交y轴于点E,作 CP⊥BE于点F,则：∠CBF=∠BCD,求出直线BE的解析式，进而求出点E的坐标，等积法求出CF的 长，勾股定理求出BF的长，再利用正切的定义进行求解即可； ②设抛物线沿着水平方向和竖直方向均移动t个单位，根据平移规则求出新的抛物线的解析式，求出M点 的坐标，联立两个抛物线的解析式求出Q点坐标，作QK⊥y轴，ML⊥OK交KQ的延长线于点L,证明 △COK∽aQML,列出比例式求出t的值，进而求出平移距离即可. 【详解】(1)解：抛物线y=am2+bx+与x轴相交于A(-1,0),B(5,0)两点，将两点坐标代入抛物线， ax(-1y+b×(-1)+=0 2 得 5 ax52+b×5+2=0 2 1 解得 2, b=2 抛物线的表达式y=x+2x+.3 1 (2)y=- x2+2x+2 5 当x=0时，y= 2 c》 4/193 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D P G 、B A、OE 作BC的中垂线交x轴于点E,连接CE,则：CE=BE, ∠ECB=∠ABC, ·∠AEC=∠ABC+∠BCE=2∠ABC, .c 08=5,0c- 设OE=m,则：CE=BE=5-m, 在Rt△COE中，由勾股定理，得m+ =(5-m)°， 解得m=15 段直找cE的解药式为y-加把名0代入，得0+子解写- 8 3 45 y= 3x+2 过点A作AP∥CE,交y轴于点F,交抛物线于点P,则：PAB=∠CEA=2∠ABC, 设直线9的解新式为=子+，把4(-10)代入，高0=音(-)-n,解餐n=一手 4 ..y=- 33 44 y=- 联立 3-3 1 51 y- +2x+ 5/193 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 23 x= 解得 3 x=-1 1041 或 y=0’ 9 P/ 23104 3’9 44 y=- 3 当x=0时，y=- 3 Ffa=3) 作点F关于x轴的对称点G,连接4G,则：G0 4 ,∠GAB=∠BAF=2∠ABC, 直线AG与抛物线的交点也满足题意， 44 同法可得：直线AG的解析式为y=二x+ 3 3 44 7 1V= -x+ x= 联立 33 解得 3 x=-1 或 1 40 y=0· y= 2+2r+ y= 2 9 ,740 (39 综上： 23 104) 1 (3)①ry=-二x2+2x+ -2+ 2 2 同法可得直线CD的解析式为y=x+ 2 由题意，∠BCD即为旋转角，作BE ICD,交y轴于点E,作CF⊥BE于点F,则：∠CBF=∠BCD, 6/193 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B 1® ∴tan∠CBF=tan∠BCD, 同法可得直线BE的解析式为y=x-5, 当x=0时，y=-5, E(0,-5), 0E=0B=5,CE=5+5=15 22 ∴BE=5N2, S.BCE =BE.CF =CE.OB, 52CF=5×) “CF=15V2 BC= _5V5 ∴BF=VBC2-CF2= 5V2 4 tan∠BCD=tan∠CBp=C BR=3: ②将抛物线沿直线CD平移，等同于将抛物线沿直线BE平移， OB=OE, 抛物线在水平方向和竖直方向上的移动距离相等， 设将抛物线向右和向上分别平移(t>0)个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的解析式为 9 y=2x-2-0+2+t, 7/193 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (x-2-t)+ 1 9 y=- +t 2 联立 y=- 「x-+2 2 解得： y=- 8+2 +4 作QK⊥y轴，ML⊥OK交KQ的延长线于点L, ∠CKQ=MLQ=90°=∠CQM, CK= 282 -4=3 8220k21H2M+1ft 2 82 =8+2+2 ∠CQK=∠QML=90°-∠MQL, △CQK∽aQML, CK OK OL ML' CKML=LO·QK, 822八 解得t=2+4v2或t=-2(舍去)或t=2-4V5(舍去)； 抛物线在水平方向和竖直方向的平移距离均为2+4V2, 抛物线的平移距离为V2(2+4V2)=2N2+8; 当抛物线沿直线CD向下移动时，同理可得抛物线的平移距离为V2(2+4V2)=2V2+8; 综上：抛物线的平移距离为2√2+8. 【典例2】(2025山东烟台·模拟预测)在平面直角坐标系中，抛物线y=2+bx+c与直线AB相交于点 8/193 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A(-6,0),B(0,6),交x轴正半轴于点C(2,0). B 图1 图2 (1)求该抛物线的函数表达式： (2)如图1，点P为直线AB上方抛物线上的一动点，过点P作PM⊥AB于点M,过点P作PN⊥y轴于点 N,求2V2PM+PN的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，点G是线段OB的中点，将原抛物线沿射线CB方向平移V0个单位长度，在平移后的抛物线上 存在点K,使得∠GAK=45°，请写出所有符合条件的点K的横坐标，并写出其中一个的求解过程 1 【答案】y=2x-2x+6 回漫大值为智的） (2'8 3)-8+v217或3-6 3 【分析】本题考查了二次函数综合、待定系数法、配方法求二次函数最值、等腰直角三角形的性质、三角 函数，熟练掌握以上知识点是解题的关键， (1)由待定系数法即可求解； (2)过点P作PH∥y轴交AB于点H,求出直线AB的解析式，证明△PMH是等腰直角三角形，得到 PH=V2PM,设Px,2x-2x+6用代数式表示22PM+PW,进而求最值即可， 1 (3)先求出新抛物线的表达式，分类讨论当点K在x轴下方和上方时，可分别求出直线AK的表达式，与 抛物线联立即可求解， 【详解】(1)解：由题意得：y=a(x+6)(x-2)=ax°+4x-12), 抛物线过点B(0,6), ∴有：-12a=6, 代入y=a(+4-12)中，有=+-12)=x2x+6, 9/193 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则抛物线的表达式为：y=-二x2-2x+6; 2 (2)解：过点P作PH∥y轴交AB于点H,则有HPN=90°， 设直线AB的解析式为：y=a+b, 代入A(-6,0),B(0,6),有： -6k+b=0 b=6 [k=1 解得： b=6' 直线AB的解析式为：y=x+6, O1=B=6,∠AOB=90°， ∴△AOB是等腰直角三角形， ∠AB0=45°， ~PM⊥ABM,PN⊥y轴， ∠MPN=∠ABO=45°， ∠MPH=90°-45°=45°， PMH=90°， ∴△PMH是等腰直角三角形， 则PH=V2PM, 设点P2-2x+6小 则点H(x,x+6), :.PN=-x,PH=yp-yH=- x2-2x+6-(x+6)=-1x2-3x, 1 则2w=2P-=2}-x7N=-9 当=名时，上式有最大他号此时号-26=（-2（引6-名 10/193