重难点10 求阴影部分面积分类训练（复习讲义，1大重点5种题型）（山东专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第四章 图形的性质 重难点10 求阴影部分面积分类训练 目 录 01 深挖重难·固根基 2 02 分层锤炼·验成效 10 固·重难考点 拓·创新能力 重难点一 求阴影部分面积 1. 必背面积公式 三角形：S=21​ah；正方形 / 矩形：S=边长 × 边长 /S=ab 圆：S=πr2；扇形：S=360nπr2​（n= 圆心角度数，r= 半径） 弓形：弓形扇形三角形（圆中高频用） 2. 关键几何性质 圆：直径对直角、切线垂直过切点的半径、等弧对等角 三角形：同底等高面积相等（等积变形核心）；等边 / 等腰直角三角形面积直接套特殊公式 图形变换：平移 / 旋转 / 对称后，面积不变（不规则转规则的依据） 8 大解题方法 公式法：阴影是规则图形（三角、扇形等），直接代公式 和差法（最常用）：阴影 = 大规则图形−空白规则图形，或几个规则图形相加 割补法（最常用）：把不规则阴影 “割开” 拆成规则图形，或 “补全” 成规则图形再减补的部分 平移法：分散的阴影部分平移后，拼接成一个完整规则图形再算 旋转法：阴影绕某点旋转后重合 / 拼接，变成规则图形计算 对称法：利用图形对称性，补全阴影为规则图形，再算面积 等积变形法：找同底等高的三角形，替换阴影部分，转化为易算的图形 容斥原理法：阴影是多个图形重叠部分，用 “各图形面积和−重叠部分面积” 计算 题型01 和差法 【典例1】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，将一个正方形内接于直径为6的半圆中，则图中阴影部分的面积为______． 【典例2】（2025·山东青岛·二模）如图，小林在手工制作课上利用矩形纸片，裁剪出一个扇形，用来制作一把纸扇，其中，扇形与矩形相切于点，、在矩形的边上，长为，则裁掉扇形后的余料(图中阴影部分)的面积为______． 【典例3】（2025·山东济宁·二模）如图，在中，，的平分线交于点D，点E是边上一点，以为直径的经过点D，并交边于点F． (1)求证：是的切线； (2)若点F是的中点，的半径为2，求阴影部分的面积． 【变式1】（2025·山东青岛·一模）如图所示，在中，，以点A为圆心，2为半径的与相切于点，交于点，交于点，且，则图中阴影部分的面积是______． 【变式2】（2025·广东韶关·一模）如图，在扇形中，，的平分线交弧于点C，过点C作于点D，于点E，则图中阴影部分的面积为___________．（结果保留π） 【变式3】（2025·山东聊城·二模）如图，四边形在直角坐标系中，点，，且，以点O为圆心，长为半径画弧交y轴于点D，交于点E，点M为y轴上一点，，连接． (1)求证：是弧所在圆的切线； (2)求图中阴影部分的面积． 题型02 割补法 【典例1】（2025·山东菏泽·二模）如图，正六边形的边长为，以点为圆心，的长为半径画弧，连接，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【典例2】（2025·山东青岛·一模）如图，在边长为的正方形网格中，“状”图案（阴影部分）是由半径分别为和，圆心在格点上的两种弧围成的，则阴影部分的面积是______． 【典例3】（2025·山东聊城·二模）如图，是的外接圆，为直径，点是的内心，连接并延长交于点，过点作，交的延长线于点． (1)求证：与相切； (2)连接，若的半径为2，，求阴影部分的面积（结果用含的式子表示）． 【变式1】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，是边长为等边三角形，以为直径作半圆，交于点，交于点，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·山东枣庄·模拟预测）如图，已知是的直径，C，D是上的点，且与交于点E，连接．若，，则图中阴影部分的面积为_____． 【变式3】（2025·山东泰安·二模）如图，在中，，以为直径作交斜边于点E．连接并延长交的延长线于点D，交于点G．F为中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求阴影部分的面积． 【变式4】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在中，，，，将绕点O顺时针旋转后得，将线段绕点逆时针旋转后得线段，分别以点，为圆心，以，长为半径画弧和弧，连接，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式5】（2025·山东青岛·二模）如图，是的直径，是的两条弦．分别延长和相交于点，已知，，弦的长为，则图中阴影部分面积为______． 题型03 旋转法 【典例1】（2025·山东日照·二模）如图，以为直径的半圆，绕点顺时针旋转，点的对应点为点交半圆于点，若，则图中阴影部分的面积为___________． 【变式1】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在菱形中，对角线交于点O，以O为圆心作菱形的内切圆，分别交于E、F、G、H，若，则阴影部分面积为___________（结果保留π）． 【变式2】（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转后得到，则图中阴影部分的面积是 ____________________ ． 题型04 对称法 【典例1】（2025·山东青岛·一模）如图，在扇形中，，C为上的一点，连接，．如果四边形为菱形，则图中阴影部分的面积为_______． 【典例2】（2025·山东济南·一模）如图，等边是的内接三角形，若的半径为，则阴影部分的面积为______．    【变式1】（2025·山东临沂·二模）如图，在中，，以为直径的交于点D，的切线交于点E． (1)求证：； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【变式2】（2025·山西临汾·二模）如图，在正六边形中，连接，，以点D为圆心，的长为半径作，若，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 题型05 容斥原理法 【典例1】（2025·山东济南·二模）如图，在正方形中，，分别以为圆心，以的长为半径作弧，则阴影部分的面积为______． 【典例2】（2025·山东济南·二模）如图，在中，，，，分别以、为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为_____．（结果保留）     【变式1】（2025·云南·模拟预测）如图所示，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形．若，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·吉林长春·模拟预测）如图，两个半径都为的圆按如图方式放置，过的圆心，则阴影部分的面积为______． 【变式3】（2025·山东枣庄·三模）如图，在中，，，为上一点，以点为圆心，为半径作弧，交于点，与相切于点，再以点为圆心，为半径作弧，交于点，则阴影部分的面积为___________． 1．（2025·山东日照·二模）如图，是的直径，是的切线，切点为交于点，点是的中点，若半径为1，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在矩形中，，，以点为圆心、长为半径作弧交于点；再以为直径作半圆，与交于点，则图中阴影部分的面积为___________． 3．（2025·山东烟台·一模）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，则图中阴影部分的面积为_____． 4．（2025·山东潍坊·一模）如图，内接于，为的直径，的平分线交于点D，交于点E，过点C作交的延长线于点F，连接，． (1)求证：为的切线； (2)已知，求阴影部分的面积． 5．（2025·山东泰安·三模）如图，在中，，以为直径的分别交边，于点D，F，过点D作于点E． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为3，，求的长； (3)若，，求图中阴影部分的面积．（直接写出计算的结果） 1．（2025·山东济南·二模）如图，已知是的直径，C，D是上的点，且与交于点E，连接．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在中，，以点为圆心、的长为半径画弧交于点，交于点，以点为圆心、的长为半径画弧，交于点，交弧于点，则图中阴影部分的面积为_____． 3．（2025·山东聊城·一模）如图，是的直径，点是上的一点，延长到点，连接，使得． (1)试判断与的位置关系； (2)若，，求阴影部分面积． 4．（2025·山东临沂·一模）如图，是的直径，是的中点，过点作的垂线，垂足为点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 5．（2025·山东淄博·一模）如图1所示，，，，是上的四个点，是的直径，，交于点，，． (1)求证：； (2)求的长； (3)连接，交于点，求图2中阴影部分的面积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 图形的性质 重难点10 求阴影部分面积分类训练 目 录 01 深挖重难·固根基 2 02 分层锤炼·验成效 32 固·重难考点 拓·创新能力 重难点一 求阴影部分面积 1. 必背面积公式 三角形：S=21​ah；正方形 / 矩形：S=边长 × 边长 /S=ab 圆：S=πr2；扇形：S=360nπr2​（n= 圆心角度数，r= 半径） 弓形：弓形扇形三角形（圆中高频用） 2. 关键几何性质 圆：直径对直角、切线垂直过切点的半径、等弧对等角 三角形：同底等高面积相等（等积变形核心）；等边 / 等腰直角三角形面积直接套特殊公式 图形变换：平移 / 旋转 / 对称后，面积不变（不规则转规则的依据） 8 大解题方法 公式法：阴影是规则图形（三角、扇形等），直接代公式 和差法（最常用）：阴影 = 大规则图形−空白规则图形，或几个规则图形相加 割补法（最常用）：把不规则阴影 “割开” 拆成规则图形，或 “补全” 成规则图形再减补的部分 平移法：分散的阴影部分平移后，拼接成一个完整规则图形再算 旋转法：阴影绕某点旋转后重合 / 拼接，变成规则图形计算 对称法：利用图形对称性，补全阴影为规则图形，再算面积 等积变形法：找同底等高的三角形，替换阴影部分，转化为易算的图形 容斥原理法：阴影是多个图形重叠部分，用 “各图形面积和−重叠部分面积” 计算 题型01 和差法 【典例1】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，将一个正方形内接于直径为6的半圆中，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，扇形面积公式等知识点，解题的关键是利用割补的思想将面积进行转化求解． 作出圆心，连接，先运用勾股定理求出正方形边长，再根据阴影部分面积等于半圆面积减去正方形面积求解． 【详解】解：作出圆心，连接， 由题意得， ∵正方形， ∴， ∴， ∵，直径为6 ∴ 解得：（负值舍去）， ∴， ∴阴影部分的面积为： 故答案为：． 【典例2】（2025·山东青岛·二模）如图，小林在手工制作课上利用矩形纸片，裁剪出一个扇形，用来制作一把纸扇，其中，扇形与矩形相切于点，、在矩形的边上，长为，则裁掉扇形后的余料(图中阴影部分)的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质、扇形面积的计算、矩形的判定和性质，解题的关键是掌握扇形的面积公式，由余角的余弦求出的长． 连接，由切线的性质定理推出，判定四边形是矩形，得到，由，求出，得到，求出矩形的面积和扇形的面积，即可得到阴影的面积． 【详解】解：连接， 与扇形相切于， ， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 矩形的面积， 扇形的面积， 阴影的面积矩形的面积扇形的面积． 故答案为：． 【典例3】（2025·山东济宁·二模）如图，在中，，的平分线交于点D，点E是边上一点，以为直径的经过点D，并交边于点F． (1)求证：是的切线； (2)若点F是的中点，的半径为2，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的判定，求不规则图形面积，解直角三角形，弧，圆心角和圆心角之间的关系等等，熟知圆的相关知识是解题的关键． （1）根据角平分线的定义和等边对等角可证明，则，进而得到，据此可证明结论； （2）可证明得到，解直角三角形得到，再根据列式计算即可． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图所示，连接， ∵平分， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 【变式1】（2025·山东青岛·一模）如图所示，在中，，以点A为圆心，2为半径的与相切于点，交于点，交于点，且，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【分析】本题主要考查扇形面积的计算，掌握扇形面积公式（n为圆心角的度数、r为圆的半径）是解题的关键． 如图：连接，可知，结合条件可求得的面积，再求得扇形的面积，最后根据面积的和差即可解答． 【详解】解：如图：连接， 由已知可得：，，，， 阴影部分的面积为：． 故答案为：． 【变式2】（2025·广东韶关·一模）如图，在扇形中，，的平分线交弧于点C，过点C作于点D，于点E，则图中阴影部分的面积为___________．（结果保留π） 【答案】/ 【分析】本题主要考查求其他不规则图形的面积，角平分线的性质，扇形面积；根据题意得到，，求出，证出四边形是正方形，得到，，再结合扇形面积公式求出结果即可． 【详解】解：连接，如图： ∵的平分线交弧于点C，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（2025·山东聊城·二模）如图，四边形在直角坐标系中，点，，且，以点O为圆心，长为半径画弧交y轴于点D，交于点E，点M为y轴上一点，，连接． (1)求证：是弧所在圆的切线； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形为矩形，求出，在中求出，在中求出，在中求出，进而可证是弧所在圆的切线； （2）根据求解即可． 【详解】（1）证明：连接 ，     四边形为矩形 ∵点， ∴， ∵， ∴， ∵， ， 由题意知   在中   在中      在中         为弧所在圆的切线． （2）解： 题型02 割补法 【典例1】（2025·山东菏泽·二模）如图，正六边形的边长为，以点为圆心，的长为半径画弧，连接，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的性质，等腰三角形的性质，扇形的面积等，过点作于，利用正六边形和等腰三角形的性质可得，，即得，进而可得，再根据扇形的面积公式计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：过点作于， ∵四边形是边长为的正六边形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【典例2】（2025·山东青岛·一模）如图，在边长为的正方形网格中，“状”图案（阴影部分）是由半径分别为和，圆心在格点上的两种弧围成的，则阴影部分的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积公式，求其他不规则图形的面积，由图形可知，然后代入求解即可，解题关键是掌握由扇形面积公式求该不规则图形面积的求法． 【详解】解：如图， ∴ ， 故答案为：． 【典例3】（2025·山东聊城·二模）如图，是的外接圆，为直径，点是的内心，连接并延长交于点，过点作，交的延长线于点． (1)求证：与相切； (2)连接，若的半径为2，，求阴影部分的面积（结果用含的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，交于点，根据等腰三角形的性质得到，由为的内心，得到，求得，根据圆周角定理得到，求得，根据切线的性质得到，根据平行线的判定定理得到结论； （2）根据三角函数的定义得到，求得，求得，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接，交于点， ∵， ∴， ∵为的内心， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵为的半径， ∴为的切线； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【变式1】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，是边长为等边三角形，以为直径作半圆，交于点，交于点，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查扇形的面积公式，掌握扇形的面积公式是解题的关键． 连接，根据菱形面积公式和扇形面积公式计算得到答案． 【详解】连接， 是边长为的等边三角形， ， ， ， ， 为等边三角形，边长为3， ， ， ， ， 同理可得，， 四边形为菱形， ， ， ． 故选：D． 【变式2】（2025·山东枣庄·模拟预测）如图，已知是的直径，C，D是上的点，且与交于点E，连接．若，，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，垂径定理，扇形面积，先根据是的直径，得，因为得，，运用圆周角定理得，，则，，即可算出阴影部分的面积． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴，， 则， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 则， ∴， ， 则. 故答案为：． 【变式3】（2025·山东泰安·二模）如图，在中，，以为直径作交斜边于点E．连接并延长交的延长线于点D，交于点G．F为中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了直角所对的圆周角是直角，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质切线的判定定理，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，扇形的面积，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）连接，得到，推出，得到，推出，即可得到结论； （2）由得到是等边三角形，得出，求出，得到． 【详解】（1）证明：如图，连接， 为直径， ， ∴， 为中点， ， ， ， ， ， 为的半径， 为的切线； （2）解：， 是等边三角形， ， ， ，即， ， ． 【变式4】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在中，，，，将绕点O顺时针旋转后得，将线段绕点逆时针旋转后得线段，分别以点，为圆心，以，长为半径画弧和弧，连接，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质、全等三角形的性质、勾股定理，扇形的面积公式为．作于H，根据勾股定理求出，根据阴影部分面积的面积的面积扇形的面积扇形的面积、利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：作于H，如图所示： ∵，，， ∴， 由旋转，得， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 阴影部分面积的面积的面积扇形的面积扇形的面积 ． 故选：D． 【变式5】（2025·山东青岛·二模）如图，是的直径，是的两条弦．分别延长和相交于点，已知，，弦的长为，则图中阴影部分面积为______． 【答案】 【分析】先得出，结合半径相等得，则，运用勾股定理算出半径，再证明是等边三角形，根据，得，然后分别求出，，，，再代入阴影面积进行计算，即可作答． 【详解】解：连接，过点D作，过点O作，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵弦的长为， ∴ ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，，， ∴ ∵，且， ∴， 即， ∴， ∴， 在中， ∴ ∴， ∴ ∴阴影面积 ， 故答案为：． 题型03 旋转法 【典例1】（2025·山东日照·二模）如图，以为直径的半圆，绕点顺时针旋转，点的对应点为点交半圆于点，若，则图中阴影部分的面积为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查圆周角定理，等边三角形的判定和性质，求不规则图形的面积，解直角三角形等等．连接，，根据题意可得，，证明是等边三角形，结合图形得出，，，利用计算即可得出结果． 【详解】解：连接，， ∵为半圆O的直径， ∴， 由题意得， ∴， ∴是等边三角形， 在中，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 【变式1】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在菱形中，对角线交于点O，以O为圆心作菱形的内切圆，分别交于E、F、G、H，若，则阴影部分面积为___________（结果保留π）． 【答案】 【分析】本题主要考查菱形的性质，切线的性质，连接，可证明由勾股定理得根据面积法可得，根据阴影部分面积可得结论． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴ ∴ 连接，则经过点O， ∵是菱形的内切圆， ∴ ∵ ∴， 又 ∴ ∴ 又 ∴阴影部分面积， 故答案为： 【变式2】（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转后得到，则图中阴影部分的面积是 ____________________ ． 【答案】 【分析】先利用含30度的直角三角形三边的关系计算出，再根据旋转的性质得到，，则，接着在中计算出，从而得到，然后根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积进行计算． 【详解】解：∵， ∴，， ∵将绕点A逆时针旋转后得到， ∴，， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积2． 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则或（其中l为扇形的弧长）．求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．也考查了旋转的性质． 题型04 对称法 【典例1】（2025·山东青岛·一模）如图，在扇形中，，C为上的一点，连接，．如果四边形为菱形，则图中阴影部分的面积为_______． 【答案】 【分析】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式及菱形的性质是解答此题的关键．连接，过点作于点，四边形是菱形可知，再由可知是等边三角形，，故与为边长相等的两个等边三角形，再根据锐角三角函数的定义得出的长，由即可得出结论． 【详解】解：连接，过点作于点， ∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴与为边长相等的两个等边三角形． ∵， ∴． ∴． 故答案为：． 【典例2】（2025·山东济南·一模）如图，等边是的内接三角形，若的半径为，则阴影部分的面积为______．    【答案】 【分析】连接、，连接并延长并于点，根据垂径定理和等边三角形的性质求出的面积，再利用扇形的面积公式结合图形求解． 【详解】解：连接、，连接并延长并于点，如下图，    则． 等边是的内接三角形， ， ，， ，， ， ， 图中阴影部分的面积． 故答案为：． 【变式1】（2025·山东临沂·二模）如图，在中，，以为直径的交于点D，的切线交于点E． (1)求证：； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证为的切线，由于也为的切线，由切线长定理可得，则可得，再由可得，则，进而可得． （2）在中，先由勾股定理可得，进而可得，．由可得，进而可得，由即可求出阴影部分的面积． 【详解】（1）证明：如图，连接． ， ． 为的直径， 为的切线，， ．　 ∵为的切线， ∴， ∴．　 ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，连接，． ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴． ∵， ， ， 由(1)知． 又∵，， ∴， ∴，　 ∴． 【变式2】（2025·山西临汾·二模）如图，在正六边形中，连接，，以点D为圆心，的长为半径作，若，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是正多边形和圆、扇形面积计算，掌握正六边形的性质、扇形面积公式是解题的关键．连接，根据正六边形的性质求出、、，根据正切的定义求出，根据三角形面积公式、扇形面积公式计算，得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵六边形为正六边形，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 则， 故选：A． 题型05 容斥原理法 【典例1】（2025·山东济南·二模）如图，在正方形中，，分别以为圆心，以的长为半径作弧，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】如图，设两弧的交点为点O，过点O作于点E，连接、，先根据正方形的性质、等边三角形的判定与性质可得，再利用扇形的面积公式可得出图中①和②的面积，然后根据阴影部分的面积等于扇形面积与扇形面积之和减去图中①和②的面积即可得． 【详解】如图，设两弧的交点为点O，过点O作于点E，连接、， 由题意得：， 四边形是正方形，， ， ， 是等边三角形， ， ， 图中①的面积为， 图中②的面积为， 阴影部分的面积为， ， ， ， 故答案为：． 【典例2】（2025·山东济南·二模）如图，在中，，，，分别以、为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为_____．（结果保留）     【答案】/ 【分析】本题考查了求阴影部分的面积．图中阴影部分的面积为两个半圆的面积-三角形的面积，然后利用三角形的面积计算即可． 【详解】解：设各个部分的面积为：、、、、，如图所示， ∵两个半圆的面积和是：， 的面积是，阴影部分的面积是：， ∴图中阴影部分的面积为两个半圆的面积减去三角形的面积． 即阴影部分的面积． 故答案为：． 【变式1】（2025·云南·模拟预测）如图所示，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形．若，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不规则图形的面积的求解，阴影面积为扇形的面积减去等边三角形的面积的倍，代入已知数据计算即可． 【详解】解：过A点作于D点， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， 故选：C． 【变式2】（2025·吉林长春·模拟预测）如图，两个半径都为的圆按如图方式放置，过的圆心，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积公式的运用，等边三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形性质，设两个圆的交点为，，连接，，，，，，与相交于，求出和的面积，再根据即可求解，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：设两个圆的交点为，，连接，，，，，，与相交于， 由题意得： ∴与是全等的等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式3】（2025·山东枣庄·三模）如图，在中，，，为上一点，以点为圆心，为半径作弧，交于点，与相切于点，再以点为圆心，为半径作弧，交于点，则阴影部分的面积为___________． 【答案】 【分析】本题考查根据特殊角的三角函数值求角度，以及扇形面积相关计算问题．根据特殊角的三角函数值，求出的度数，利用图中阴影部分的面积，求出答案即可． 【详解】解：连接，作于点， ∵，， ∵， ∴， ∵是的切线，点为切点， ∴，即， ∴，，， ∴阴影部分的面积 ， 故答案为：． 1．（2025·山东日照·二模）如图，是的直径，是的切线，切点为交于点，点是的中点，若半径为1，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查切线的性质、三角函数及扇形面积公式，熟练掌握切线的性质、三角函数及扇形面积公式是解题的关键；连接，由题意易得，则有，然后可得，，，进而根据割补法及扇形面积公式可进行求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵是的直径，是的切线， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得：， ∴， ∵点是的中点，点O是的中点， ∴， ∴； 故选A． 2．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在矩形中，，，以点为圆心、长为半径作弧交于点；再以为直径作半圆，与交于点，则图中阴影部分的面积为___________． 【答案】 【分析】本题考查扇形的面积的计算、矩形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用分割法求阴影部分的面积，如图，连接、，由题意易知是等边三角形，根据计算即可解决问题． 【详解】解：如图，连接、． 由题意知， ∴， ∴点是半圆的圆心， ∴， ∴是等边三角形， ． 故答案为：． 3．（2025·山东烟台·一模）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是旋转的性质、扇形面积公式、勾股定理，解题关键是理解阴影部分面积的组成． 结合旋转性质得出阴影部分面积可表示为，再结合扇形面积公式及勾股定理即可得解． 【详解】解：根据旋转性质可得： ，，， ，， ， ， ， ， 又中，， 即， ， ． 4．（2025·山东潍坊·一模）如图，内接于，为的直径，的平分线交于点D，交于点E，过点C作交的延长线于点F，连接，． (1)求证：为的切线； (2)已知，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，证明，得出，结合角平分线的定义得出，由垂径定理得出，即可得证； （2）连接、，由（1）可得：，求得，，，解直角三角形得出，，再由计算即可得解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图，连接、， 由（1）可得：， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 5．（2025·山东泰安·三模）如图，在中，，以为直径的分别交边，于点D，F，过点D作于点E． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为3，，求的长； (3)若，，求图中阴影部分的面积．（直接写出计算的结果） 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，由，得，由等边对等角得，，进而可得，所以，由平行线的性质得出，即可证明是的切线； （2）连接，，利用勾股定理及三角函数解，求出，由等腰三角形三线合一得出，再通过证明，推出，根据对应边成比例即可求解； （3）过点O作于点M，连接，构造矩形，设，则，，解求出半径，根据即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：如图，连接，， 为的直径，的半径为3， ，， ， ， 在中，， ， 解得（负值舍去）， 中，，， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，过点O作于点M，连接， ，， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 设， ，， 在中，， ， 解得， ，即半径为， ，， ． 1．（2025·山东济南·二模）如图，已知是的直径，C，D是上的点，且与交于点E，连接．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，垂径定理，扇形面积，先根据是的直径，得，因为，得，，运用圆周角定理得，，则，，，即可算出阴影部分的面积． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴，， 则， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 则， ∴， ， 则， 故选：D． 2．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在中，，以点为圆心、的长为半径画弧交于点，交于点，以点为圆心、的长为半径画弧，交于点，交弧于点，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了不规则图形的面积计算，等边三角形的性质与判定，解直角三角形， 勾股定理，连接、，通过观察图形得到，分别求出每块面积即可． 【详解】解：连接、，过点作于点 在中，，，， ∴，， 由题意可知， ∴为等边三角形，为等边三角形 ∴ ∴， ∴ ∴， 在中，，， ∴， ∴， ， ， ， ∴ 故答案为：． 3．（2025·山东聊城·一模）如图，是的直径，点是上的一点，延长到点，连接，使得． (1)试判断与的位置关系； (2)若，，求阴影部分面积． 【答案】(1)是的切线 (2) 【分析】本题考查了圆的切线的判定，圆周角定理，求不规则图形面积等知识，掌握圆的相关性质和扇形面积公式是解题关键． （1）连接，由直径得到，再结合等边对等角的性质，得到，进而得出，即可证明结论； （2）先得出，进而得出，最后由阴影部分的面积，即可求出图中阴影部分的面积． 【详解】（1）解：是的切线， 理由：连接， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：，， ，， ∵， ，， ， 求阴影部分面积． 4．（2025·山东临沂·一模）如图，是的直径，是的中点，过点作的垂线，垂足为点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，证明，可得，再进一步可得结论； （2）连接，，证明四边形是矩形，可得，再证明，可得，可得，利用可得答案． 【详解】（1）证明：是的直径，是的中点，过点作的垂线，垂足为点．如图，连接，则， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：是的直径，如图，连接，，交于点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．（2025·山东淄博·一模）如图1所示，，，，是上的四个点，是的直径，，交于点，，． (1)求证：； (2)求的长； (3)连接，交于点，求图2中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题综合考查了等边三角形的判定和性质、垂径定理、圆周角定理、相似三角形的判断和性质以及扇形的面积公式． （1）先根据，可知，再根据即可得出； （2）根据，得出，以此求出的长； （3）由勾股定理得，可证得为等边三角形，则，由垂径定理可知，则，，再根据阴影部分的面积即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， （2）∵， ∴， ∵，， ∴， 解得：． （3）∵是的直径， ∴， 则， ∴， ∴为等边三角形，则， ∵， ∴，则， ∴阴影部分的面积 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $