重难点05 二次函数压轴题最值问题分类训练（复习讲义，1大重点5种题型）（山东专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第三章 函数 重难点05 二次函数压轴题最值问题分类训练 目 录 01 深挖重难·固根基 2 02 分层锤炼·验成效 96 固·重难考点 拓·创新能力 重难点一 二次函数压轴题最值问题 1. 二次函数基本形式 y=ax2+bx+c(a≠0) ◦ 开口：a>0 向上，有最小值 ◦ a<0 向下，有最大值 2. 顶点公式（最值必用） 顶点横坐标： x= - 顶点纵坐标（即最值）： y= 3. 对称轴 x= - 4. 区间最值 给定 x 的范围：m≤x≤n ◦ 对称轴在区间内：最值在顶点 ◦ 对称轴不在区间内：最值在离对称轴最远的端点 5.压轴题常见 1. 线段最值 ◦ 两点纵坐标差：y上－y下 ◦ 转化为：关于 x 的二次函数，再求最值 2. 周长最值 ◦ 固定边+两条动边 ◦ 把周长表示成函数，再求最值 3. 面积最值（最常考） ◦ 三角形面积：S=×底×高 ◦ 底/高用含 x 式子表示 ◦ 得到 S(x) 二次函数，求顶点最值 4. 将军饮马型（最短路径） ◦ 对称点→连线→求交点 ◦ 常和一次函数、勾股定理结合 三、解题步骤 1. 求解析式 已知三点/顶点+一点/交点，用 ◦ 一般式 y=ax2+bx+c ◦ 顶点式 y=a(x-h)2+k 2. 设动点坐标 设 P(x,y抛)，用解析式把 y 换成 x。 3. 表示线段/面积/周长 全部写成只含x的函数。 4. 配方或用顶点公式求最值 注意：x 有范围！一定要检验是否在取值范围内。 5. 写出最值及对应点坐标 题型01 线段和的最值 【典例1】（2025·山东日照·模拟预测）平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接、． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，点为直线上方抛物线上一动点，过点作于点，过点作交直线于，求的最大值以及此时点的坐标； (3)如图2，将原抛物线向右平移2个单位得到新抛物线，在新抛物线上找一点，使得与的面积之比为，请直接写出满足条件的所有点的横坐标，并写出其中一个横坐标的求解过程． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)最大为，此时点 (3)，，或 【分析】（1）利用交点式即可求解； （2）利用铅垂法，过点作轴交于，设，表示出，，将转化为，最后利用二次函数最值问题求解即可； （3）关键是将与的面积之比为，转换为点到直线和直线的距离相等，再分当点在的角平分线上时；点在的外角平分线上时，分别计算即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴设抛物线表达式为， ∵抛物线表达式为， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为； （2）如图，过点作轴交于， ∵当时，， ∴， ∴， 设直线解析式为， 代入，， 得， 解得， ∴直线：， 同理得直线：， 设， 则， 对于直线：，当时， 得， ∴， ∴，， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，开口向下， ∴当时，最大为，此时点； （3）过点作于，于， ∵抛物线向右平移2个单位得， ∴， 由与的面积之比为，且， ∴， ∴点到直线和直线的距离相等， ①当点在的角平分线上时，如图： 作的平分线交轴于，交于，过点作于点， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， 解得， 即， 同理求出直线：， ∴， 解得或， 即点横坐标为或； ②当点在的外角平分线上时，如图： 同理可得，直线：， ∴， 解得或， 即点横坐标为或； 综上所述，点横坐标为、、或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合，涉及待定系数法求二次函数解析式，三角函数，二次函数的最值，直线与二次函数交点，三角形角平分线性质与判定，勾股定理，熟练掌握这些性质是解题的关键． 2．（2025·山东济南·三模）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，已知点为第四象限抛物线上的点，连接、、、，且和相交于点，设的面积为，的面积为，当时，求点的坐标． (3)如图2，设点，是直线下方抛物线上的两动点，且，过点作轴，交于点，过点作，交于点．求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】对于（1），将点和代入关系式得出方程组，求出解即可； 对于（2），先求出点B的坐标，再根据求出，则答案可得； 对于（3），先求出直线的解析式，再说明，并作轴，可得是等腰直角三角形，即，然后结合点，是直线下方抛物线上的两动点，且，表示出，，进而得出，最后根据二次函数图象的性质讨论极值得出答案． 【详解】（1）解：把点和代入抛物线中， 得：， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）解：当时，， 解得：，， ． ， ， ， ， ， ∴． ∵点在第四象限， ∴， 令得，， ∴点的坐标为； （3）解：设的解析式为：，分别代入， ， 解得：， ∴的解析式为：． ∵，， ∴． 如图2，过点作轴交于， ∴． ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵点，是直线下方抛物线上的两动点，且， ∴点，，， ∴，， ∴， ， 当时，有最大值，其最大值是． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何图形，待定系数法求二次函数关系式，求一次函数关系式，等腰三角形的性质和判定，理解用坐标差表示线段长是解题的关键． 3．（2025·山东东营·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，． (1)求该抛物线的函数表达式： (2)点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)取得最大值， (3)或或 【分析】（1）将点A，B的坐标代入抛物线中求出b，c即可； （2）设交于，可得，求出直线的解析式，设，则，，表示出，然后根据二次函数的性质求出最值即可； （3）根据平移的性质可得平移后抛物线解析式及点E、F坐标，设，，分情况讨论：①当为对角线时，②当为对角线时，③当为对角线时，分别根据对角线交点的横坐标相同列式计算即可． 【详解】（1）解：将点，代入得：， 解得：， ∴该抛物线的函数表达式为：； （2）解：如图，设交于， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线AB的解析式为， 设，则，， ∴， ∴当时，取得最大值，此时； （3）解：由题意得：平移后抛物线解析式为，， ∴， ∵抛物线的对称轴为， ∴设，， 分情况讨论： ①当为对角线时， 则， 解得：，此时， ∴； ②当为对角线时， 则，即， 此时， ∴； ③当为对角线时， 则，即， 此时， ∴， 综上所述，点的坐标为：或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法，二次函数的图象和性质，一次函数的性质，二次函数的最值，二次函数图象的平移，平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会用待定系数法求二次函数解析式，根据二次函数解析式求最大值以及利用平行四边形的性质列方程． 4．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，其顶点为．直线与轴交于点，与抛物线交于，两点，且． (1)求抛物线的表达式． (2)若，求的值． (3)直线与直线交于点，求的最小值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了一次函数与二次函数综合，等腰三角形的性质，勾股定理，一元二次方程根与系数的关系． （1）先分别根据一次函数的性质，二次函数的性质求出，，，求出抛物线的对称轴为直线，则，根据求出，则； （2）根据等腰三角形三线合一得到，求出直线的表达式为，直线的表达式为，当在右侧时，证明，则，当在左侧时，设与交于点，设，过的直线交于点，根据等角对等边得到，则在中垂线上，根据中点坐标公式可知的坐标为，根据勾股定理求出将点代入，得； （3）设，，设直线的表达式为，直线的表达式为，将，坐标代入，求出，则直线的表达式为，同理得直线的表达式为，则，直线与抛物线，得到，即，，代入得到，即点在定直线上运动，作点关于直线的对称点，则，即当且仅当点在直线上时取最小值，的最小值为． 【详解】（1）解：当时，，即． 当时，，，即，， 抛物线的对称轴为直线． 将代入抛物线表达式得，即， ， ，得， 故抛物线的表达式为； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， 当时，， 即， 设直线的表达式为， 将，代入， 则，解得， 则直线的表达式为， 同理可得直线的表达式为． ①如图1，当在右侧时，， 则， ． ②如图2，当在左侧时，设与交于点，过的直线交于点，由，得， 在中垂线上． 的坐标为． 设， 则， 解得， 即， 将点代入，得． 综上所述，的取值为或； （3）解：设，， 设直线的表达式为，直线的表达式为． 将，坐标代入，有 则，， ∴ 即． 直线的表达式为， 同理直线的表达式为， 则，， 即，， 即， 整理得， 联立直线与抛物线得到 整理得， ，． ． 即点在定直线上运动，作点关于直线的对称点， ． 当且仅当点在直线上时取最小值，的最小值为． 5．（2025·天津·一模）已知抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B右侧），与y轴相交于点C，点． (1)若已知． ①求抛物线的顶点坐标； ②若点P是第二象限内抛物线上一动点，过点P作线段轴，交直线于点F，当线段取得最大值时，求此时点P的坐标； (2)若取线段的中点E，向右沿x轴水平方向平移线段，得到线段，求的最小值，并求此时点的坐标． 【答案】(1)①顶点坐标为；②点P的坐标为 (2)的最小值为，点的坐标为 【分析】（1）①将点代入求解即可； ②先求出点坐标，再求出直线的解析式，设点P的坐标为，则点F的坐标为，得到，根据二次函数的性质即可求解； （2）先证四边形是平行四边形，得出，作点E关于x轴的对称点，取得最小值时，即为点C，，三点共线时，求出此时的最小值和坐标即可． 【详解】（1）解：①由题意，抛物线过， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为； ②如图所示， 由与y轴相交于点C，可知， 设经过B，C两点的直线的解析式为， 将代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 设点P的坐标为，则点F的坐标为， ∴， ∴当时，有最大值， 此时，点P的坐标为； （2）解：如图所示， 由和，得中点， 由题意与平行且相等，可知与平行且相等， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 作点E关于x轴的对称点， 取得最小值时，即为点C，，三点共线时， 此时， 设经过，C两点的直线的解析式为，将代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， 此时点的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题，线段最值问题，平行四边形的性质和判定，勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质，一次函数的求法，平行四边形的性质与判定是解题的关键． 6．（2025·湖南娄底·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，与轴交于A，两点在的左侧，连接，，． (1)求抛物线的表达式； (2)点是轴上方抛物线上的一点，轴上是否存在一点，使得以A，，，为顶点的四边形是平行四边形若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接，,当线段长度取得最大值时，求的最小值． 【答案】(1)抛物线表达式为 (2)存在，的坐标为或 (3)的最小值为 【分析】（1）由解析式知，由，即，知，即，再把，代入中，即可解出、的值； （2）先求出，设，，当以A，，，为顶点的四边形是平行四边形时，分以下三类讨论：当、为对角线时，当、为对角线时，当、为对角线时．再分别根据平行四边形的对角线性质列方程即可求解每种情形下的点坐标； （3）由待定系数法可知直线的表达式为，设，，则，即最大值为时，，此时,再求出,构造平行四边形，则由平行四边形性质可得，则，当且仅当A、、共线时取等号．由勾股定理得，即的最小值为，进而的最小值为． 【详解】（1）解：由抛物线可知，， ，即， ，即， 把，代入中， 得，解得， ∴抛物线表达式为。 （2）解：存在，理由如下： 令，由韦达定理知， ∵， ，即． 设，，，， 则当以A，，，为顶点的四边形是平行四边形时，分以下三类讨论： 当、为对角线时，由平行四边形对角线性质可得 ，解得：（舍弃）或， ∴； 当、为对角线时，同理可得 ， 即， 此时点在轴下方，不成立； 当、为对角线时，同理可得 ，解得：（舍弃）或， ∴， 综上，的坐标为或； （3）解：由待定系数法可知直线的表达式为， 设，，则， ∴最大值为时，，此时， 点为线段的中点， , 构造平行四边形，则由平行四边形性质可得， ，当且仅当A、、共线时取等号． 故，即的最小值为， 的最小值为． 题型02 周长的最值 【典例1】（2025·山东东营·一模）如图，抛物线的顶点为，与 x 轴交于 A、B 两点，且 B，与y 轴交于点 C ． (1)求抛物线的函数解析式； (2)对称轴上是否存在点 N ，使的周长最小，若存在，请求出点坐标，若 不存在，请说明理由； (3)在直线的下方抛物线的图象上能否找到一点 P ，使四边形的面积最大？若能，请求出面积的最大值及点 P 的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点坐标为 (3)存在，面积的最大值为，点P的坐标为． 【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合应用，涉及到待定系数法求函数解析式、求平面直角坐标系内三角形面积等，解题的关键是用含x的式子表示出的长度． （1）设函数的解析式为，将B代入求出a值即可； （2）令，求出点A坐标，进而求出直线的解析式，中，的长度固定，点A、点B关于直线对称，当点N是对称轴与直线的交点时，之和最小，即的周长最小，求出点N的坐标即可； （3）过点P作轴于点E，交于点F，设，则，F ，利用求出的最大值，再利用求出答案即可． 【详解】（1）解：抛物线的顶点为， 设函数的解析式为， 又函数图象经过点， ， 解得， ， 即抛物线的函数解析式为； （2）解：存在， 函数的图象与y轴交于点C， ， ， 令，得， 解得，， ， ∵抛物线的解析式为：， ∴抛物线的对称轴为直线：， ∵， ∴设直线的解析式为，可得， 解得， 故直线的解析式为：， ∵中，的长度固定，点A、点B关于直线对称， ∴当点N是对称轴与直线的交点时，之和最小，即的周长最小， 将代入中得：， ∴点N的坐标是； （3）解：如图，过点P作轴于点E，交于点F，设，则， 点F的坐标为． ， ， 当时，有最大值，最大值为， 此时四边形的面积最大，最大值为 时，， 在直线的下方抛物线的图象上能否找到一点 P ，使四边形的面积最大，面积的最大值为，点P的坐标为． 8．（2025·山东东营·中考真题）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，其中，． (1)求抛物线的表达式； (2)点为对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标； (3)点为对称轴上一点，点为抛物线上一点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）把和分别代入，列方程组求出的值，即可求得二次函数解析式； （2）因为是定值，所以当的值最小时，则的周长最小．作点关于对称轴的对称点，即为点，连接，运用待定系数法求出直线的解析式，可得直线与对称轴的交点坐标，即为点的坐标； （3）分别以、、为对角线进行分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：把，代入中得， ，解得， ； （2）解：，， 当的值最小时，则的周长最小． 作点关于对称轴的对称点，即为点， 由（1）可知抛物线的解析式为， 对称轴为直线，且， ． 如图，连接，与对称轴的交点即为点， 设直线的解析式为， 把，代入中得， ，解得， 直线的解析式为． 点的横坐标为， 把代入得， ； （3）解：设，， ①当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点， ，， ， ，解得， 把代入， ； ②当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点， ，， ， ，解得， 把代入， ； ③当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点， ，， ， ，解得， 把代入， ； 综上所述，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，此时点的坐标为或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数关系式、平行四边形的性质、轴对称的性质、两点之间线段最短，正确作出分类讨论是解答本题的关键． 9．（2025·湖南·模拟预测）已知二次函数与的图象均过点和坐标原点，这两个函数在时形成的封闭图象如图所示，为线段的中点，过点且与轴不重合的直线与封闭图象交于两点．若点的横坐标为1，点在轴上（三点不共线），则周长的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质、轴对称的性质及勾股定理，熟练掌握二次函数的图象与性质、轴对称的性质及勾股定理是解题的关键；由题意易得，，，则可得直线的解析式为，然后得出点C坐标，由的周长为可知，要使的周长为最小，则需满足为最小，则过点B作关于y轴的对称点E，连接，交y轴于点D，此时点D即为所求，即为最小，进而求解即可． 【详解】解：把点代入得：， 解得：， ∴，， ∵为线段的中点， ∴， 假设点B是过点P的直线与的交点，∵点的横坐标为1， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则有： ，解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， 由的周长为可知，要使的周长为最小，则需满足为最小，则过点B作关于y轴的对称点E，连接，交y轴于点D，此时点D即为所求，即为最小，如图所示： ∴，， ∴， ∴的周长最小值为； 故选A． 10．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过A，B，C三点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及点B，D的坐标； (2)点在直线AC上运动，当的周长最小时，求点的坐标； (3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上）？若能，求出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，．； (2)． (3)能，边上的顶点的坐标为，或． 【分析】（1）求得点A，C坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；利用抛物线的解析式令，解方程即可求得点B在横坐标；利用配方法即可求得点D的坐标； （2）利用勾股定理及其逆定理得到，延长至点，使，连接，交直线于点P，利用轴对称的性质可得，B关于直线对称，此时的周长最小，过点作轴于点E，利用三角形的中位线定理得到点坐标，利用待定系数法求得直线的解析式为，再与直线联立即可求得点P坐标； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①设与交于点K，设，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得其面积，利用二次函数的性质得到当时，矩形的面积取得最大值为，再利用三角形的中位线定理解答即可；②顶点E，F，G，H在各边上，H与点C重合，设，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得据的面积，利用二次函数的性质得到当时，矩形的面积取得最大值为，再利用三角形的中位线定理解答即可． 【详解】（1）解：中， 令，则， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∵抛物线经过A，B，C三点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为． 令，则， ∴，或， ∴． ∵ ∴顶点； （2）∵，，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 延长至点，使，连接，交直线于点P，如图， 则，B关于直线对称，此时的周长最小， 过点作轴于点E， ∵轴，轴， ∴ ， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴． （3）在内部能截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或． ①如图，顶点E，F，G，H在各边上，设与交于点K， 设， ∵四边形为矩形，， ∴四边形，为矩形，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积 ∵， ∴当时，矩形EFGH的面积取得最大值为． ∴， ∵， ∴H为的中点， ∴． 同理，点G为的中点， ∴． ②如图，顶点E，F，G，H在各边上，H与点C重合， 设， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积 ∵， ∴当时，矩形的面积取得最大值为． ∴， ∴点G为的中点， ∵， ∴为的中位线， ∴ ∴， ∴． 综上，在内部能截出面积最大的矩形(顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，配方法，抛物线上点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，轴对称的性质，分类讨论的思想方法，矩形的性质，直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 11．（2025·黑龙江·模拟预测）综合与探究，如图，抛物线与轴交于点，对称轴为直线，平行于轴的直线与抛物线交于两点，点在对称轴左侧，． (1)求此抛物线的解析式； (2)已知在轴上存在一点，使得的周长最小，则点的坐标为_______； (3)若点在直线上，直线将的面积分成两部分，求点坐标． (4)点在直线上，在抛物线上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标，不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)存在，或或或 【分析】（1）由对称轴直线，以及A点坐标确定出b与c的值，即可求出抛物线解析式； （2）如图，作点关于轴的对称点为点，连接，交x轴于点D，则，，此时取得最小值，则此时的周长最小，再求出直线解析式，即可求解； （3）求出直线解析式为，设直线与交于点P，过P作轴，垂足为H，设与y轴交于点S，则，则，可得，然后根据直线将的面积分成两部分，可得或，即可求解； （4）分四种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵与轴交于点，对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵对称轴为直线，， ∴点横坐标为，横坐标为1． 把代入抛物线解析式得：， ∴，．    如图，作点关于轴的对称点为点，连接，交x轴于点D，则，， 此时取得最小值，则此时的周长最小， 设直线解析式为， 把坐标代入得：， 解得：， 即直线解析式为， 令，解得， 即点D的坐标为； 故答案为： （3）解：由（2）得：，， 设直线解析式为， ∴ 解得：， ∴直线解析式为， 设直线与交于点P，过P作轴，垂足为H，设与y轴交于点S，则，则， ∴， ∴．    ∵直线将的面积分成两部分， ∴或， ∴或， ∵， ∴或 ∴或， ∴点P的横坐标为或， 把代入得：， 此时； 把代入得：， 此时； 综上所述，点P的坐标为或； 故答案为：或 （4）解：存在， 设点Q的坐标为， 设交y轴于点K，则， 根据题意得：， 如图，过点M作于点N，则，此时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点， 把点代入得： ， 解得：（舍去）或0； 此时点Q的坐标为； 如图，过点Q作轴于点Q，过点M作于点G，过点A作于点E，此时，， 同理 ∴，， ∴， ∴点， 把点代入得： ， 解得：或（舍去）， ∴点； 如图，过点Q作轴于点Q，过点M作于点N，过点A作于点E，此时，， 同理 ∴，， ∴， ∴点， 把点代入得： ， 解得：（舍去）或； ∴点； 如图，过点Q作轴于点Q，过点M作于点N，过点A作于点E，此时，， 同理 ∴，， ∴， ∴点， 把点代入得： ， 解得：或0（舍去）； ∴点； 综上所述，点Q的坐标为或或或． 题型03 角度的最值 【典例1】（2025·山东枣庄·二模）已知，如图抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点D是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值； (4)若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在； (3)13.5 (4)存在；，， 【分析】（1）根据，，求出C点坐标，把点的坐标代入，即可求出函数解析式； （2）连接与抛物线的对称轴交于点Q，此时的周长最小．先求出，再求出直线的解析式为：，则当时，，即可作答． （3）过点作轴交线段于点，设，然后求出的表达式，利用，转化为二次函数求最值； （4）①过点作轴交抛物线于点，过点作交轴于点，此时四边形为平行四边形；②平移直线交轴于点，交轴上方的抛物线于点，由题意可知点的纵坐标为3，从而可求得其横坐标． 【详解】（1）解：∵的坐标为， ∴， ∵，点在轴下方， ∴， ∵将代入抛物线的解析式， 可得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由（1）得， 令，则 即 如图所示：连接与抛物线的对称轴交于点Q，此时的周长最小． ∵， ∴ ∴ 设直线的解析式为：， ∵， ∴ 解得， ∴直线的解析式为：， 则的对称轴是直线， ∴当时，， ∴点Q的坐标是； （3）解：如图1所示，过点作轴，交于点， ∵该抛物线的对称轴为，， ∴， ∴， ∴， 设的解析式为， ∵将代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为3， ∴的最大面积， ∴， ∴四边形的面积的最大值为13.5； （4）解：存在，理由如下： ①如图2，过点作轴交抛物线于点，过点作交轴于点，此时四边形为平行四边形， ∵，令， ∴， ∴； ②平移直线交轴于点，交轴上方的抛物线于点，当时，四边形为平行四边形，当时，四边形为平行四边形， ∵， ∴的纵坐标均为3， 令，可得， 解得， ∴． 综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是，或． 【点睛】本题是二次函数综合题，一次函数的几何综合，涉及待定系数法求二次函数的解析式、利用二次函数求最值、平行四边形的判定与性质等知识，根据题意作出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键． 13．（2025·山东东营·一模）如图，抛物线经过，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上有一点P，使的值最小，求点P的坐标； (3)动点M在第四象限内的抛物线上，求四边形ACMB面积最大时点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的解析式，二次函数的面积和线段综合，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设所求二次函数的解析式为，再把，，代入函数解析式，得到关于a、b、c的三元一次方程组，即可求a、b、c，进而可得函数解析式． （2）连接，交对称轴于P，P即为使的值最小，设直线的解析式，把B、C的坐标代入即可求得系数，进而求得解析式，令时，即可求得P的坐标． （3）先分析出四边形ACMB面积，结合是一个定值，故要使四边形ACMB面积最大，则的面积最大，再整理得，结合二次函数的图象性质，得开口向下，当时，有最大值，然后求出点M的纵坐标，即可作答． 【详解】（1）解：设所求二次函数的解析式为， 把，，代入得 ， 解得， ∴这个二次函数的解析式是：． （2）解：∴， ∴抛物线的对称轴为， 连接，如图所示： 设直线的解析式为， ∴ 解得， ∴直线的解析式为， 当时， ， ∴P点的坐标为； （3）解：过点作轴，分别与轴和交于点，连接，如图所示： 则四边形ACMB面积， ∵是一个定值， ∴要使四边形ACMB面积最大，则的面积最大， 设， 则， ∴． 则 ∵ ∴开口向下，当时，有最大值， ∴即时，四边形ACMB面积最大， 此时把代入， 得， ∴． 14．（2025·山东枣庄·模拟预测）如图，已知二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，点M从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点C运动，点N从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段向点B运动，点M，N同时出发．设运动时间为t秒（）．当t为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ (3)已知P是抛物线上一点，在直线上是否存在点Q，使以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，的面积最大，最大面积是 (3)存在，Q的坐标为或或或 【分析】（1）将点，代入中，利用待定系数法求解； （2）过点M作轴于点E，根据题意得：，．用含t的式子表示出和，根据列出二次函数关系式，即可求解； （3）先求出直线解析式为，设，，分三种情况：是对角线；为对角线；当为对角线．分别求解即可． 【详解】（1）解：将点，代入中， 得， 解这个方程组得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：过点M作轴于点E，如图： 设面积为S， 根据题意得：，． ∵， ∴， 在中，令得， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， ∵， ∴当时，的面积最大，最大面积是； （3）解：存在点Q，使以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： 设直线解析式为， 由，得, , 解得， ∴直线解析式为， 设，，又，， ①当是对角线，则的中点重合， ∴， 解得（与C重合，舍去）或， ∴Q的坐标为； ②当为对角线，则的中点重合， ∴， 解得（舍去）或， ∴Q的坐标为； ③当为对角线，则的中点重合， ∴， 解得或， ∴Q的坐标为或， 综上所述，Q的坐标为或或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数中面积的最值问题，二次函数图象中特殊四边形的存在性问题，锐角三角函数，掌握数形结合及分类讨论思想是解题的关键． 15．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交轴于两点，交轴于点． (1)求直线的表达式和a，m的值． (2)是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值及面积最大时点的坐标． (3)在（2）中面积最大的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1)，， (2)最大值为，此时点的坐标为 (3)或或，见解析 【分析】（1）先将代入求出a的值，然后求出，，再用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）过点作于点，过点作轴的平行线交直线于点，证明，得出，得出，从而说明当取得最大值时，也取得最大值．设，则，得出，根据二次函数最大值，求出结果即可； （3）先求出平移后的表达式为，设．分三种情况：当为对角线时，当为边长且和是对角线时，当为边长且和是对角线时，求出结果即可． 【详解】（1）解：抛物线过点， ， 解得， 抛物线的表达式为， 抛物线交轴于点， ， 抛物线交轴于两点， ， ， 设直线的表达式为， 将代入得， 解得：， 直线的表达式为． （2）解：， ， ， 如图，过点作于点，过点作轴的平行线交直线于点， 则， ， ， ， 当取得最大值时，也取得最大值． 设，则， ， 当时，最大，此时， 当时，面积最大，最大值为： ， 此时点的坐标为． （3）解：将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，可以看成是先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度， 平移后的表达式为： ， 此抛物线的对称轴为直线． 设． ， ， ． 当为对角线时，以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形， 与互相平分，且， ，解得． 的中点坐标为的中点坐标为， ， 解得 此时； 当为边长且和是对角线时，以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形， 与互相平分，且， ， 解得：， 的中点坐标为的中点坐标为， ， 解得：， 此时或． 同理，当为边长且和是对角线时，以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形， 和互相平分，且， 即，此方程无解． 综上所述，以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形时，点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，菱形的性质，二次函数的平移，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 16．（2025·山东济南·二模）如图，已知二次函数的图象与轴交于A和两点，与轴交于，连接，在线段上有一动点，过点作轴的平行线交二次函数的图象于点，交轴于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)当的横坐标为，求与的面积比； (3)若动点横坐标记为，的面积记为，的面积记为，且，写出与的函数关系，并判断是否有最大值，若有请求出；若没有请说明理由． 【答案】(1) (2)25 (3)当时，S有最大值 【分析】（1），代入求出b，c的值，即得； （2）求出，得，得，即得； （3）写出，得， 得，， 得，即得当时，S有最大值． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象交，两点， ∴， 解得， ∴； （2）解：设直线的解析式为， 代入， 得， 解得， ∴， ∵的横坐标为， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵直线的解析式为，二次函数解析式为，点横坐标为， ∴， ∴， ∵ ∴， ， ∴， ∵， ∴当时，S有最大值． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合．熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，三角形面积比，三角形面积差，割补法求三角形面积，是解题的关键． 17．（2025·山东济宁·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于，两点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点是抛物线的顶点，求的面积； (3)如图2，若是抛物线上位于直线下方的一个动点，设点的横坐标为，当为何值时，的面积最大？最大值是多少？ 【答案】(1) (2)8 (3)当时，的面积最大，最大值是 【分析】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的综合、求一次函数的解析式等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）根据点，利用待定系数法求解即可得； （2）先将抛物线的解析式化成顶点式，求出顶点的坐标，再利用三角形的面积公式求解即可得； （3）先利用待定系数法求出直线的解析式，再过点作轴的垂线，交直线于点，求出点的坐标，从而可得的长，然后根据的面积为，利用二次函数的性质求最值即可得． 【详解】（1）解：将点代入得：， 解得， 所以该抛物线的解析式为． （2）解：如图，点是抛物线的顶点， 将抛物线化成顶点式为， ∴， ∴的边上的高为， v∵， ∴， ∴的面积为． （3）解：对于抛物线， 当时，，即， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则直线的解析式为， ∵是抛物线上位于直线下方的一个动点，且点的横坐标为， ∴点的坐标为，且， 如图，过点作轴的垂线，交直线于点， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴的边上的高与的边上的高之和等于， ∴的面积为， ∵， ∴由二次函数的性质可知，在内，当时，的面积取得最大值，最大值为， 所以当时，的面积最大，最大值是． 题型04 面积的最值 【典例1】（2025·山东威海·一模）抛物线，顶点为点． (1)顶点坐标_____； (2)当时， ①的值总大于4，求取值范围； (3)当时，将抛物线向下平移6个单位，与轴交于点，（点在左侧），与轴交于点，顶点为． ②点以每秒1个单位的速度从点运动到点，过点作交于点，连接，在整个运动过程中，的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值以及并直接写出此时点坐标；若不存在，请说明理由； ③④任选一道做即可 ③点是直线上一点，且最大，直接写出点坐标_____； ④点是线段上一动点，则的最小值为_____． 【答案】(1)； (2)①的取值范围是； (3)②的面积存在最大值，取得最大值．点坐标为． ③；④12． 【分析】（1）利用抛物线顶点坐标公式，将抛物线中的系数代入，求出顶点的坐标． （2）①先确定抛物线对称轴，再分对称轴在给定区间左侧、内部、右侧三种情况，根据函数单调性求出的最小值，让最小值大于，从而确定的取值范围． （3）② 先求出抛物线平移后的解析式及相关点坐标，通过相似三角形得到与面积关系，设出点坐标，进而表示出面积关于某一变量的函数，根据函数性质求最大值及此时点坐标．③ 通过构造辅助圆，利用圆周角性质，找到使得最大时的点位置，再根据直线解析式求出点坐标．④ 通过作辅助线将进行转化，再根据垂线段最短求出的最小值． 【详解】（1）解：在抛物线中，，，． ∴，． ∴顶点坐标为． （2）解：①∵顶点坐标为． ∴抛物线的对称轴为直线． 当时： 在，随的增大而增大． ∴当时，取得最小值，． ∵的值总大于， ∴， 解得． 结合前提， ∴． 当时， 当时，取得最小值，． ∵的值总大于， ∴，即，此方程无实数解． 当时， 在时，随的增大而减小． ∴当时，取得最小值，． ∵的值总大于， ∴， 解得． 结合前提，此时无解． 综上，的取值范围是． （3）解：②当时，抛物线向下平移个单位，得到． 令，则， ∴， 解得，， ∴，． 令，则， ∴． 设直线的解析式为， 把，代入 ，得 ， 解得， ∴直线的解析式为． 同理得直线的解析式为． ∵， ∴， ∴． 设（），则，，． ∵． ∴． ∵ ， ∴， ∴ ∵， ∴当时，取得最大值． 此时点坐标为， ∵， ∴设直线的解析式为， 把代入 ，得， ∴， ∴． 联立， 解得， ∴点坐标为． ③以为弦作圆，当圆与直线相切时，切点即为使得最大的点． ∵时， ∴原抛物线， ∴顶点， 由（）②得直线的解析式：． 又，，． ∴中点坐标为， ∵，， ∴直线为， ∴设的垂直平分线为， ∴ 把代入得， ∴的垂直平分线为． 设圆心坐标为，连接， ∵圆与直线相切， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴在直线上， 联立， 解得，， ∴； ④作直线，过作于，设为与轴的交点，连接， ∵，， ∴，，， ∴． ∴， ∴， 当、、三点共线时，取最小值，即取最小值， 如图， 此时，即 ∴， ∴取最小值为． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，包括顶点坐标的求解、函数在某区间内的最值问题，还涉及到相似三角形的判定与性质、直线解析式的求解、圆的相关性质以及利用几何变换求最值等知识点．解题的关键在于熟练运用二次函数的各种性质，针对不同问题合理构造辅助线或辅助图形，通过建立函数关系或利用几何定理进行求解． 19．（2025·山东济南·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，与y轴交于点C，顶点为D．          (1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标； (2)如图2，连接，，若抛物线上存在点E，满足，求点E的坐标； (3)如图3，点F为x轴上一动点，连接，当最大时，请直接写出点F的坐标． 【答案】(1)，顶点 (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的表达式，再将抛物线一般式化成顶点式即可得出点D的坐标． （2）分两种情况，当点E在x轴上方的抛物线上，和点E在x轴下方的抛物线上，画出图形，根据分解求解即可． （3）延长到点M，利用待定系数法求出的解析式，进而可得出点M的坐标，根据题意可知，当点C，D，F所在的圆与x轴相切时，取得最大值，再证明，由相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴ 解得 ∴抛物线 ∴顶点 （2）解：如图， ∵ ∴， 设直线的解析式为，将点D的坐标代入得： ， ∴直线的解析式为 联立， 解得：（舍）或 ∴； ②∵ ∴当时， ∴ ∵ ∴直线 如图，设交于点G ∵ ∴， 设 解得 解得 设直线的解析式为， 则， 解得： ∴直线的解析式为， 联立 解得：（舍）或 ∴； （3）解：延长到点M， ，， ∴设的解析式为： 把代入，可得出， ∴的解析式为：， 当时，则， ∴， ∴， 根据题意可知，当点C，D，F所在的圆与x轴相切时，取得最大值， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，二次函数角度综合题，相似三角形的判定和性质等知识，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 20．（2025·广东广州·一模）定义：在平面直角坐标系中，直线称为抛物线的伴随直线，如直线为抛物线的伴随直线． (1)抛物线的对称轴为直线且其伴随直线为，求该抛物线的解析式； (2)若抛物线的伴随直线是． ①试用含a的代数式表示b和c； ②抛物线经过定点Q，且与x轴交于点D和点E，若为直角三角形，求m的值； (3)顶点在第一象限的抛物线与它的伴随直线交于点A，B（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C，当时，y轴上存在点P，使得取得最大值，求此时点P的坐标． 【答案】(1) (2)①，；② (3) 【分析】（1）把伴随直线解析式变形为，再根据定义即可得到答案； （2）①根据定义可得抛物线解析式为，据此可得，，，则，；根据②所求，可得定点，进而可证明Q为抛物线顶点，则，故为等腰直角三角形，由于点Q到的距离为3，则，可得点E坐标为或，据此利用待定系数法求解即可； （3）根据题意写出线的伴随函数，联立求出交点，在求出抛物线与x轴的交点，用勾股定理列出关于的方程，求出，先证明当取得最大值，的外接圆与轴相切，根据题意画出图形，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，且伴随直线． ∴抛物线． （2）解：①依题意得原抛物线解析式为， ∴，，， ∴，． ②由①得抛物线解析式为， ∴时的函数值与m值无关，此时， ∴即抛物线过定点，且点Q为抛物线顶点，对称轴为直线． ∵点E、D为抛物线与x轴的交点，Q为抛物线顶点， ∴， ∵点E、D与定点Q构成直角三角形， ∴，即为等腰直角三角形． ∵为抛物线顶点，对称轴为直线， ∴点Q到的距离为3， ∴， ∴点E到对称轴的距离为3， ∴点E坐标为或， 选择其中一点代入，可解得． （3）∵抛物线的解析式为：， ∴其伴随直线为即，顶点坐标为， ∵抛物线顶点在第一象限， ∴， 联立抛物线与伴随直线的解析式为：， 解得：，， ∴，， ，令， 即， 解得：或， ∴， ∴，，， ∵， ∴ 即， 解得：或（舍去）， ∴当时，． 设的外接圆为，当与轴相切时， 在轴上任意取一点，连接交于一点，则， ∵， ∴当取得最大值，的外接圆与轴相切， 当时，则，，如图所示，此时， 设过，，的直线解析式为， ∴， 解得：， ∴， 设经过的外心的直线解析式为， ∵，， ∴中点坐标为， ∴， 解得：， ∴直线为：， ∵轴，则， ∴设， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，切线的性质，圆周角定理，三角形的外心的性质，新定义运算，熟练掌握新定义以及二次函数的性质是解题的关键． 21．（2025·重庆渝中·二模）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，对称轴与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点在线段上，点与点关于对称轴对称，过点作轴交抛物线于点，直线交轴于点．若四边形是平行四边形，求点的坐标； (3)若点是对称轴上一动点，当最大时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)抛物线解析式为 (2)四边形是平行四边形求点的坐标为或 (3) 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）设，则，，则，直线的解析式为，则，根据四边形是平行四边形，得，即，由此即可求解； （3）根据题意，设，如图所示，取的外接圆圆心，连接并延伸，交于点，交抛物线对称轴直线榆点，连接，当于抛物线对称轴相切时的最最大，则，设，且，，，点是三角形的内心，则，由此列式得，求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点对称轴， ∴， 解得，， ∴抛物线解析式为； （2）解：抛物线解析式为，令，则， 解得，， ∴， 令，则， ∴， 当时，，即顶点坐标为， ∵点在线段上，点与点关于对称轴对称， ∴设，则，， ∴， 这直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 整理得，， ∴， 解得，，，， ∵，，， ∴或， ∴当时，，即； 当时，，即； ∴四边形是平行四边形求点的坐标为或； （3）解：点是对称轴上一动点， ∴设， 如图所示，取的外接圆圆心，连接并延伸，交于点，交抛物线对称轴直线榆点，连接， ∴， ∴当于抛物线对称轴相切时的最最大，则， 设，且， ∴，， ∵点是三角形的内心， ∴， ∴， 由得，，则， 由得，， 整理①②得，， ∴， 解得，，， ∵（不符合题意，舍去），， ∴，则， ∴， ∴． 题型05 比值的最值 【典例1】（2025·山东聊城·三模）已知抛物线与x轴交于A，B两点，且经过点，顶点坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点D为抛物线上一个动点，连接，求的面积的最大值； (3)如图2，点E为抛物线上第四象限内一点，连接，交于点F，记的面积为，的面积为，当最大时，点E的坐标． 【答案】(1) (2)面积的最大值为8 (3) 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，二次函数与几何图形的综合，相似三角形的判定与性质，掌握二次函数图形的性质是解题的关键． （1）设抛物线的表达式为：，利用待定系数法求解即可； （2）先求出点B的坐标，再求出直线的表达式为：，过点作轴的垂线交于点，设点，则点，求出，进而得到，利用二次函数的性质即可解答； （3）过点A作x轴的垂线交的延长线于点N，过点E作x轴的垂线交于点M，易证，推出，再求出，设点，则点，进而得到，利用二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为： 将点代入得， ∴表达式为：； （2）解：当时，， 得，， ∴， 设直线的表达式为：， 将代入得，解得， ∴直线的表达式为：， 过点作轴的垂线交于点， 设点，则点， ∴， ∴， ∵， ∴当是，的面积有最大值；最大值为8； （3）解：过点A作x轴的垂线交的延长线于点N，过点E作x轴的垂线交于点M， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 将代入，得， ∴， 设点，则点， ∴， ， ∴当时，有最大值， 此时，． 23．（2025·河北石家庄·一模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数与x轴交于A，B两点，对称轴为直线，与y轴交点为点，点D为抛物线上任意一点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图2，当点D为抛物线的顶点时，求的面积； (3)如图3，当点D在直线下方的抛物线上时，连接交于点E，求最大值． 【答案】(1) (2)15 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）由题意得：，即可求解； （2）由的面积，即可求解； （3）证明，即，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得， 将代入得， 二次函数的表达式为． （2）解：令得，， 解得， ． 当时， ． 设直线交对称轴于点的解析式为， 把代入解析式得： 解得： 直线的解析式为． 当时，， ． ． （3）解：如图，过点作轴的垂线交于点，则轴， ． ， 设，则， ． ， 当时，有最大值，此时的最大值为． 24．（2025·安徽·模拟预测）已知二次函数，若该二次函数图像与x轴交于点、，与y轴交于点． (1)求该二次函数解析式； (2)点P为二次函数图像位于第一象限上一点，连接相交于点D，求的最大值． (3)若时，总满足，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据待定系数法求解即可． （2）先根据待定系数法求出直线的解析式为，过点P作轴交于点，过点A作轴交于点，则，，设，则，， 证明，得出，从而得出当时，有最大值，最大值为． （3）根据抛物线解析式得出当时，有最大值，最大值为，要使对任意x满足，总满足，则要么整个范围在左侧，要么在右侧，且端点函数值亦小于3，令，求出或，则或，即可得或． 【详解】（1）解：将点、、代入， 得， 解得：， 则二次函数解析式为． （2）解：设直线的解析式为， 将、代入得， 解得：， 则直线的解析式为， 过点P作轴交于点，过点A作轴交于点， 则，， 设， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为． （3）解：∵， ∴当时，有最大值，最大值为， 令，则， 解得：或， 若时，总满足， 则或， ∴或． 【点睛】该题考查了二次函数的图象和性质，二次函数解析式求解，相似三角形的性质和判定，解一元二次方程，一次函数的解析式求解等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 25．（2025·辽宁·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，连接，点P为直线下方抛物线上一点，连接交于点D，求的最大值及此时点P的坐标； (3)点Q在直线上，抛物线与抛物线关于点Q成中心对称，抛物线与有且只有一个公共点E（E在y轴右侧）． ①求抛物线的表达式； ②点M在直线上，点N在抛物线对称轴上，若以B，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求M的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为，的最大值为 (3)①；②点的坐标为或或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过P作，交于点F，先求得直线的解析式，设，则，用表示出，再利用二次函数的性质求解即可； （3）①先判断点Q与点E重合，令，求得抛物线与关于中心对称．求得抛物线的顶点为，利用中心对称的特征求解即可； ②由题意设，分情况讨论当为边时，当为对角线时，利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：，与y轴交于点， ， 将代入中，， 解得， ； （2）解：如图，过P作轴于点E，交于点F， ∴轴， ∴，， ∴， ∴， 令，解得， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴有最大值， ∵， 当时，取得最大值，此时点P的坐标为，即的最大值为； （3）解：①∵抛物线与关于点Q成中心对称，且抛物线与有且只有一个公共点E， ∴点Q与点E重合， ∵点Q在直线上， ∴令， 解得， ∵点E在y轴右侧， ∴抛物线与关于中心对称． ∵， ∴抛物线的顶点为， ∴抛物线的顶点为， ∴； ②∵为直线上一点，N为抛物线对称轴上一点， ∴设， ∵为顶点的四边形是平行四边形， ∴当为边时，如图，平行四边形时，过E作轴于H，过M作的对称轴于G， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴的横坐标为， 当时，代入，， ∴； 平行四边形时，M的横坐标为，则， ∴； 当为对角线时，如图，过M作轴，过E作垂直的对称轴， 则， ∵， ∴， ∴的横坐标为， ∴， 则． 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何的综合运用、平行四边形的判定与性质、用待定系数法求二次函数的解析式、用待定系数法求一次函数的解析式、分类讨论的思想，解决本题的关键是利用分类讨论的思想． 26．（2025·四川成都·三模）如图1，抛物线与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，直线的解析式为． (1)求出抛物线的解析式； (2)P是直线上方抛物线上一点，连接交于点E，当最大时，求点P的坐标，并求出这个最大值； (3)如图2，过线段的中点H作直线交抛物线于M、N两点（点M在点N左侧），直线与直线交于点G，求的最小值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）先求出，，再代入，由待定系数法即可求解； （2）作轴，交直线于点，交轴于点，过作交于点，作于点，交于点，设交轴于点，作于，由平行线分线段成比例得，进而可得最大时，最大满足题意，设，则，得，即可求得，进而可求； （3）设，，求出直线表达式为，代入点得：，求直线，直线，联立直线、表达式，得即，求出经过点的直线为，设，利用两点间的距离公式及二次函数的性质即可求出的最小值． 【详解】（1）解：直线的解析式为． 时，；时，， ， ，， 将，代入 得， 解得， ∴； （2）解：如图，作轴，交直线于点，交轴于点，过作交于点，作于点，交于点，设交轴于点，作于， ， ， 当时，， ，， ， 设直线为， 将代入得，， ， ， ，， ， ， ， 轴， ， ， ， ， ， ， 若最大，则最大， ， 最大时，最大， 而， 最大时，最大满足题意， 设，则， ， 时，，， ， ， ； （3）解： ，， 的中点为， 设，， 直线表达式为， 将代入得：， 解得：， 直线表达式为， 代入点得：， 同理可求直线：， 直线：， 联立直线、表达式得：， 解得， 即， 设经过点的直线为， 代入， 得： 比较系数得：， 解得：， 当，无论为何值，该式子恒成立，点在直线上运动， 设， ， ， 时，． 【点睛】本题主要考查了二次函数与坐标轴交点坐标，相似三角形的判定和性质、解直角三角形，二次函数与一次函数综合问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 27．（2025·黑龙江大庆·三模）如图①，抛物线与轴交于，两点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式． (2)点是抛物线第四象限上一点，连接交于点，求当的值最大时点的坐标． (3)平移抛物线使它的顶点为，如图②，点是轴上一个定点，以点为直角顶点作，使点、分别在轴上和抛物线上，若在变化的过程中，直线与抛物线始终有唯一公共点，求点的坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为，此时； (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，等腰三角形的性质，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，勾股定理．作出恰当的辅助线是解题关键． （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）过点作轴交于点，过点作轴交于点，设，则，则，当时，有最大值，此时； （3）由平移可得新抛物线的表达式为，设，由于直线与抛物线有且只有一个交点，亦可看成有两个重合的交点，故可由待定系数法得直线的表达式为，从而求出点的横坐标为作轴于点，如图（2）所示，利用“一线三垂”证明，得到比例式，设，即，整理可得，根据当点运动时，上式中的值与点的位置无关，从而，即，故得点的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴ 解得： （2）解：如图，过点作轴交于点，过点作轴交于点， ∴， ∴， ∴， 设直线的表达式为， 把，代入表达式，可得， 解得， 所以直线的表达式为， 当时，， ∴ ∴， 设，， ∴， ∴ 当时，的最大值为，此时； （3）解：平移抛物线使抛物线的顶点为， 平移后抛物线的， 所以新抛物线的表达式为， 设， 设直线的解析式为， 把代入可得， 可得， 所以直线的解析式为， 列方程，整理得 由于直线与抛物线有且只有一个交点， ，即， 可得， 故直线的表达式为， 再令，得， 解得． 作轴于点，如图所示， ， ， ， ， ， ， ， 设， 即， 整理可得， 当点运动时，上式中的值与点的位置无关， ，即， 故点的坐标为． 28．（2025·内蒙古通辽·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，且点A在B点左侧，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，直线与x轴交于点D，与y轴交于点E，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，设射线与直线交于点N，求的最大值，及此时点P的坐标； (3)如图2，将原抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使平移后的新抛物线经过点B，请直接写出新抛物线的函数表达式． 【答案】(1) (2)的最大值为，点P的坐标为 (3) 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质是解题的关键． （1）根据抛物线，经过点，，后利用待定系数法确定解析式即可． （2）过点P作交直线于点Q．设点，则点．根据平行线证明，列出比例式解答即可． （3）设平移的距离为n个单位长度，得到，待定系数法求出函数解析式即可． 【详解】（1）解：∵抛物线，经过点，， ∴， 解得 故抛物线的解析式为． （2）解：过点P作交直线于点Q． 设点，则点． ∵直线与轴交于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， ． ∵，且， ∴时，的值最大，最大值为． 把代入，得． ∴点P的坐标为． （3）解：∵直线与轴交于点D，与轴交于点E， ∴， ∴， ∴沿着方向平移是一个先向下，再向右平移同样的单位长度的平移变换，设平移的距离为n个单位长度， 由， ∴设，把点代入得：， 解得（舍去）或， ∴． 1．（2025·山东临沂·二模）如图，一次函数图象与y轴相交于B点，与反比例函数图象相交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)C是线段上一点，点C在点A的左侧，过点C作y轴平行线，交反比例函数的图象于点D，连接．设点C的横坐标为a，求当a为何值时，的面积最大，这个最大值是多少？ 【答案】(1) (2)当时，的面积最大，这个最大值是 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，以及二次函数的性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）利用一次函数求出点，再将求出的点代入反比例函数解析式求解，即可解题； （2）根据题意得到，再利用a表示的面积，最后结合二次函数的最值求解，即可解题． 【详解】（1）解：⸪一次函数过点， ⸫， 解得， ⸫点， ⸪反比例函数图象过点， ⸫， ⸫反比例函数的表达式为； （2）解：⸪点C的横坐标为a，轴交反比例函数的图象于点D， ⸫，， ， 则的面积为 ， ⸪， ⸫当时，的面积最大，这个最大值是． 2．（2025·山东枣庄·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线l：经过抛物线的顶点．如图，当抛物线经过原点时，其顶点记为P． (1)求抛物线的解析式并直接写出点P的坐标； (2)时，y的最小值为2，求t的值； (3)当时．动点E在直线l下方的抛物线上，过点E作轴交直线l于点F，令，求S的最大值． 【答案】(1)，P的坐标为 (2)t的值为或1 (3)S取得最大值 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求出对应的函数解析式，再把解析式化为顶点式即可得到答案； （2）分，，三种情况，根据增减性，确定函数在时，取得最小值的情形，从而建立方程求解即可； （3）利用待定系数法求出一次函数解析式，设点， 则，则，据此求解即可． 【详解】（1）解；∵抛物线经过原点， ∴， 解得：或， ∵， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点P的坐标为； （2）解；由（1）可得抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当，即时，y随x增大而减小， 由题意得：， 解得：，（舍去）， ∴t的值为， 当时，则若时，y的最小值为，不符合题意， 当时，y随x增大而增大， 由题意得：， 解得：（舍去），， ∴t的值为1， 综上所述，t的值为或1； （3）解：由题意得：当时，经过点， ∴， ∴， ∴， 设点，且， ∵轴， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，S取得最大值． 3．（2025·山东济南·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线（、为常数且）． (1)若抛物线经过点、两点，求抛物线对应的函数表达式； (2)在（1）的条件下，当直线：与抛物线交于点、时（点在点的左侧），位于直线下方的抛物线上是否存在一点，使得的面积最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若抛物线的对称轴为直线，当直线与抛物线有两个交点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图形上点的坐标特征，三角形的面积以及二次函数和一次函数的交点问题，掌握待定系数法求一次函数和二次函数解析式，以及交点问题是解题的关键． （1）将点、代入待定系数法求解析式，即可求解； （2）由（1）可得，联立得出，，过点作轴的平行线，交于点，得出，当时，取得最大值，则面积最大，进而求得点的坐标，即可求解． （3）联立，根据直线与抛物线有两个交点时得出，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：将点、代入得 解得： ∴抛物线对应的函数表达式为 （2）解：∵， ∴ 联立 解得：或 ∴， 如图所示，过点作轴的平行线，交于点， 设，则 ∴ ∵ ∴当时，取得最大值，则面积最大 此时 ∴ （3）∵抛物线的对称轴为直线， ∴，即 ∴抛物线 联立 消去得， 即 ∵直线与抛物线有两个交点时 ∴ 即 当时，解得：或 设，抛物线开口向上， ∴当时， 或 4．（2025·山东青岛·模拟预测）【问题探究】 数学兴趣小组成员小亮在研究抛物线的性质时，发现其开口也可向左或向右．如图①，曲线相当于作为自变量的二次函数，抛物线开口朝向轴正半轴方向，在平面直角坐标系中，即为一条开口向右的抛物线，根据书写习惯，一般将其写为．已知抛物线过，与原点三点． （1）请直接写出的解析式； 【延伸拓展】 小亮所在小组的组长小蓝对该问题经过研究后，便寻找更复杂的情况进行学习研究： 如图②，已知抛物线：与直线：有两个交点，，在直线上有一点，连接， （2）请直接写出点A，B的坐标； （3）小亮和小蓝通过资料查阅得到了平面内两点的距离公式如下： 在平面直角坐标系中，设两点，，则A，B两点间的距离公式为： 则当取得最小值时，请求出点的坐标和的长度． 【答案】（1）；（2），；（3）， 【分析】本题考查了二次函数的变形题型，仔细阅读材料是解题关键． （1）设的解析式为，将代入即可求解； （2）由：得：：；由直线：得：联立①②得：，解方程即可； （3）作关于直线的对称点，连接，可得此时取得最小值；求出直线的解析式，得到，即可求解； 【详解】解：（1）设的解析式为， 将代入得：， 解得：； ∴的解析式为； （2）由：得：：； 由直线：得： 联立①②得：， 解得：； ∴或； 即：，； （3）作关于直线的对称点，连接如图所示： ∵ ∴的最小值为线段的长度； 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∴当时，； 即：； ∵，， ∴； 5．（2025·山东济南·二模）如图所示，二次函数图象的对称轴为直线，顶点为A，与y轴相交于点B，且经过点，直线l：与y轴交于点D，P为抛物线上对称轴左侧的一点，设P点横坐标为m，连接，过点P作直线轴，与直线l交于点M． (1)求二次函数的表达式； (2)如图 1，过点P作，垂足为Q，连接，当与面积相等时，求m的值； (3)如图 2，当时，连接，直线与相交于点N，连接，求的最小值并直接写出此时m的值． 【答案】(1) (2)或 (3)的最小值为； 【分析】（1）根据抛物线的对称轴为直线，求得，把代入，得，即可求解； （2）过点Q作于G，过点A作于H，当与面积相等时，则，求得，，，然后利用勾股定理求解即可； （3）先用待定系数法求出直线解析式为，从而求得．把把向下移动4个单位，得到，连接，当、N、B三点共线时，最小，最小值为，则最小值为，求出的长即可；再用待定系数法求出直线解析式，把代入求出值即可． 【详解】（1）解：∵二次函数图象的对称轴为直线， ∴，解得：， 把代入，得， 解得：， ∴二次函数的表达式为：； （2）解：∵， ∴， 设， 过点Q作于G，过点A作于H， 如图1， 当与面积相等时，则， ∴， ∵P为抛物线上对称轴左侧的一点，设P点横坐标为m， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵轴，与直线l交于点M． ∴， ∴，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，，， ∵P为抛物线上对称轴左侧的一点，设P点横坐标为m， ∴， ∴或． （3）解：把代入，得， ∴， 设直线解析式为，把代入，得 ，解得：， ∴直线解析式为， ∴， ∴， 把代入 ，得， ∴， ∴， 把向下移动4个单位，得到，连接，如图2， 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴当、N、B三点共线时，最小，最小值为， ∴的最小值为2； 设直线解析式为， 把、分别 代入，得 ，解得：， ∴直线解析式为， 把代入，得 ， 解得：． 1．（2025·山东威海·一模）如图，抛物线与x轴交于点，，交y轴于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P在下方的抛物线上，连接，与交于点E．和的面积分别记为，，令．若的值最大，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据待定系数法求解即可． （2）先求出，再求出直线的表达式．如图，作，交于点F．设点P的坐标为，则点F的坐标为，表示出，证明，得出，可得．即．得出当时，w的值最大．此时点P的坐标为．根据点C的坐标为，得出． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为． （2）证明：中，令，则， ∴， 设直线的表达式为， ∴，解得：， ∴直线的表达式为． 如图，作，交于点F． 设点P的坐标为，则点F的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 即． ∴当时，w的值最大． 此时点P的坐标为． ∵点C的坐标为， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，涉及用待定系数法求解抛物线的解析式和一次函数解析式，相似三角形的性质和判定，面积最值问题等知识内容，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 2．（2025·山东东营·三模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，且点坐标为，点坐标为． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线距离的最大值； (3)如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，满足条件的点M的坐标有或或 【分析】（1）将两个点的坐标代入关系式，求出解即可； （2）过作于点，过点作轴交于点，根据已知条件确定是等腰直角三角形，可得，根据最大时，最大，然后求出直线解析式，并表示出，讨论极值，可得答案； （3）当平行四边形以为平行四边形的边时和以为对角线时，讨论得出答案． 【详解】（1）解：∵点，点在抛物线 的图象上， ， 解得：，， 抛物线的解析式为． （2）解：过作于点，过点作轴交于点，如图1： ∵抛物线与轴交于点， ∴点的坐标为， 又， ， 是等腰直角三角形， ， 轴， ， 是等腰直角三角形， ， 当最大时，最大， 设直线解析式为， 将代入得， ， 直线解析式为， 设， 则， ， ， 当时，最大为， 此时最大为，即点到直线的距离值最大． （3）解：存在，满足条件点的坐标为或或，理由如下， 当以为平行四边形的边时，如图2， 点，， ， 即， 解得， ， 点的坐标为； 当以为平行四边形的边长时，如图3， 点，， ， 即， 解得， ， 点的坐标是； 当以为对角线时，如图4， ，， 线段的中点的坐标为，即， ， 解得， ， 点的坐标是． 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求二次函数关系式，等腰直角三角形的性质和判定，求直线解系式，平行四边形的判定，根据横坐标的差表示线段的长等，解题的关键是注意多种情况讨论，不能丢解． 3．（2025·山东济宁·二模）在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别为，，顶点为的抛物线经过点，，且与轴交于点，（点在点的左侧） (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线对称轴上存在一点，当的周长最小时，直接写出点坐标； (3)当时，，求的值； (4)平移抛物线，使抛物线的顶点始终在直线上移动，在平移的过程中，当抛物线与线段有公共点时，求抛物线顶点的横坐标的取值范围． 【答案】(1) (2)点坐标为 (3)或 (4)或 【分析】（）根据矩形的性质求出点坐标，再利用待定系数法解答即可； （）连接，可得点关于对称轴对称，即得，进而得到的周长，可知当三点共线时，的值最小，此时的周长最小，利用待定系数法求出直线的解析式，再把代入求出即可得到点坐标； （）根据二次函数的性质，分与两种情况，根据二次函数的分别讨论，即可求解； （）根据题意，找出顶点平移的临界点，然后进行分类讨论，分别求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵矩形的顶点，的坐标分别为，， ∴， 把，代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：连接， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵，， ∴点关于对称轴对称， ∴， ∴的周长， ∵， ∴当三点共线时，的值最小，此时的周长最小， 把代入得，， 解得，， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴此时点坐标为； （3）解：∵， ∴抛物线的顶点的坐标为，对称轴为直线，开口向下， 当，即时，随的增大而增大， ∵当时，， ∴时，， 即， 解得，（不合，舍去）； 当时，随的增大而减小， ∴当时，， 即， 解得，（不合，舍去）； 综上，或； （4）解：设直线的解析式为，把，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， ∵抛物线的顶点在直线上， ∴可设平移中的抛物线的解析式为， 当时，抛物线即，此时抛物线与线段有两个交点； 当时， ①当拋物线经过点时，有， 解得(不合，舍去)，； ②当抛物线经过点时，有， 解得(不合，舍去)，； 综上可得，； ②当且抛物线与直线有公共点时， 则即有实数根， ∴， 解得， ∴； 综上，当或时，在平移的过程中，抛物线与线段有公共点． 4．（2025·山西朔州·一模）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点的坐标为，连接． (1)求抛物线的函数解析式． (2)如图，过点作轴，交抛物线于点，连接，判断四边形的形状，并说明理由． (3)在（2）的条件下，若是所在直线下方抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求点的坐标，并直接写出面积的最大值． 【答案】(1) (2)四边形为菱形，理由见解析 (3)点时， 的面积最大为 【分析】本题考查了二次函数和几何综合，菱形的判定，正确做出辅助线表示出的面积是解题的关键． （1）把代入函数解析式即可解答； （2）求得点的坐标，得到的长度，即可解答； （3）过点作的平行线交直线于点，设的横坐标为，求得的长，进而表示出的面积，利用二次函数的性质，即可解答． 【详解】（1）解：把代入函数解析式， 可得， 解得， 抛物线的函数解析式为； （2）解：当时，， 解得， ， ， ， ， 轴， ， 四边形为平行四边形， 根据勾股定理可得， ， 平行四边形为菱形； （3）解：设直线的解析式为， 把代入可得， 解得， 直线的解析式为， 如图，过点作的平行线交直线于点， 设点，则点， ， ， 当，即时， 的面积最大为． 5．（2025·重庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点（点在点的左侧），其中，，与轴交于点，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)点是线段上方抛物线上的一动点，过点作轴，交于点，是轴上一动点，当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)如图，将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）的D点且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标并写出求解点坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1)抛物线的表达式为； (2)的最小值为； (3)所有的点坐标为或，求解过程见解析． 【分析】（）设抛物线表达式为交点式，再展开比较常数项，即可得，从而确定表达式； （）先求直线的解析式为，设，，故 ，即当时，最大为，此时点坐标为，构造，则易知直线的表达式为，故，故，作于点，当共线时，最小，最小为的长，再利用三角函数关系可得的最小值为； （）由（）知，故可知新抛物线是原抛物线向左向下分别平移个单位得到的，则新抛物线的表达式为，当时，符合所有条件的点坐标有两种情况：情况一： 当，在下方时，可联立直线与新抛物线求交点即可解；情况二：当在上方时，，延长交于点，求出，由待定系数法可知直线表达式为，故设，则有，解得 从而，再用直线的表达式与新抛物线联立，可得的坐标． 【详解】（1）解：由抛物线经过，， ∴设， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为； （2）解：由可得， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 设，， ∴， 即当时，最大为，此时点坐标为，点坐标为， 如图所示，作，过点E作于点F， ∴直线的表达式为， 故， ∴， 作于点，当共线时，最小，最小为的长，过点作轴于点，作交于点， 设点， ∴，， ∵， ∴，即， 解得，从而， ∴， ∴的最小值为； （3）解：由（）知，故可知新抛物线是原抛物线向左向下分别平移个单位得到的，则新抛物线的表达式为， 当时，符合所有条件的点坐标有两种情况： 情况一： 当，在下方时， 同上理由待定系数法知直线的表达式为， 故设直线的表达式为，代入点得， ∴直线的表达式为， 联立，整理可得， ∴， ∴故， ∴； 情况二： 当在上方时，，延长交于点，如图所示， ∵，， ∴，， 由待定系数法可知直线表达式为， 设， ∵，即， ∴ ， 解得， ∴， 同理可得直线的表达式为，再与抛物线联立， 整理可得， ∴，故， ∴， 综上，所有的点坐标为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数 重难点05 二次函数压轴题最值问题分类训练 目 录 01 深挖重难·固根基 2 02 分层锤炼·验成效 16 固·重难考点 拓·创新能力 重难点一 二次函数压轴题最值问题 1. 二次函数基本形式 y=ax2+bx+c(a≠0) ◦ 开口：a>0 向上，有最小值 ◦ a<0 向下，有最大值 2. 顶点公式（最值必用） 顶点横坐标： x= - 顶点纵坐标（即最值）： y= 3. 对称轴 x= - 4. 区间最值 给定 x 的范围：m≤x≤n ◦ 对称轴在区间内：最值在顶点 ◦ 对称轴不在区间内：最值在离对称轴最远的端点 5.压轴题常见 1. 线段最值 ◦ 两点纵坐标差：y上－y下 ◦ 转化为：关于 x 的二次函数，再求最值 2. 周长最值 ◦ 固定边+两条动边 ◦ 把周长表示成函数，再求最值 3. 面积最值（最常考） ◦ 三角形面积：S=×底×高 ◦ 底/高用含 x 式子表示 ◦ 得到 S(x) 二次函数，求顶点最值 4. 将军饮马型（最短路径） ◦ 对称点→连线→求交点 ◦ 常和一次函数、勾股定理结合 三、解题步骤 1. 求解析式 已知三点/顶点+一点/交点，用 ◦ 一般式 y=ax2+bx+c ◦ 顶点式 y=a(x-h)2+k 2. 设动点坐标 设 P(x,y抛)，用解析式把 y 换成 x。 3. 表示线段/面积/周长 全部写成只含x的函数。 4. 配方或用顶点公式求最值 注意：x 有范围！一定要检验是否在取值范围内。 5. 写出最值及对应点坐标 题型01 线段和的最值 【典例1】（2025·山东日照·模拟预测）平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接、． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，点为直线上方抛物线上一动点，过点作于点，过点作交直线于，求的最大值以及此时点的坐标； (3)如图2，将原抛物线向右平移2个单位得到新抛物线，在新抛物线上找一点，使得与的面积之比为，请直接写出满足条件的所有点的横坐标，并写出其中一个横坐标的求解过程． 2．（2025·山东济南·三模）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，已知点为第四象限抛物线上的点，连接、、、，且和相交于点，设的面积为，的面积为，当时，求点的坐标． (3)如图2，设点，是直线下方抛物线上的两动点，且，过点作轴，交于点，过点作，交于点．求的最大值． 3．（2025·山东东营·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，． (1)求该抛物线的函数表达式： (2)点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点的坐标． 4．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，其顶点为．直线与轴交于点，与抛物线交于，两点，且． (1)求抛物线的表达式． (2)若，求的值． (3)直线与直线交于点，求的最小值． 5．（2025·天津·一模）已知抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B右侧），与y轴相交于点C，点． (1)若已知． ①求抛物线的顶点坐标； ②若点P是第二象限内抛物线上一动点，过点P作线段轴，交直线于点F，当线段取得最大值时，求此时点P的坐标； (2)若取线段的中点E，向右沿x轴水平方向平移线段，得到线段，求的最小值，并求此时点的坐标． 6．（2025·湖南娄底·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，与轴交于A，两点在的左侧，连接，，． (1)求抛物线的表达式； (2)点是轴上方抛物线上的一点，轴上是否存在一点，使得以A，，，为顶点的四边形是平行四边形若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接，,当线段长度取得最大值时，求的最小值． 题型02 周长的最值 【典例1】（2025·山东东营·一模）如图，抛物线的顶点为，与 x 轴交于 A、B 两点，且 B，与y 轴交于点 C ． (1)求抛物线的函数解析式； (2)对称轴上是否存在点 N ，使的周长最小，若存在，请求出点坐标，若 不存在，请说明理由； (3)在直线的下方抛物线的图象上能否找到一点 P ，使四边形的面积最大？若能，请求出面积的最大值及点 P 的坐标；若不能，请说明理由． 8．（2025·山东东营·中考真题）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，其中，． (1)求抛物线的表达式； (2)点为对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标； (3)点为对称轴上一点，点为抛物线上一点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 9．（2025·湖南·模拟预测）已知二次函数与的图象均过点和坐标原点，这两个函数在时形成的封闭图象如图所示，为线段的中点，过点且与轴不重合的直线与封闭图象交于两点．若点的横坐标为1，点在轴上（三点不共线），则周长的最小值为（　　） A． B． C． D． 10．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过A，B，C三点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及点B，D的坐标； (2)点在直线AC上运动，当的周长最小时，求点的坐标； (3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上）？若能，求出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由． 11．（2025·黑龙江·模拟预测）综合与探究，如图，抛物线与轴交于点，对称轴为直线，平行于轴的直线与抛物线交于两点，点在对称轴左侧，． (1)求此抛物线的解析式； (2)已知在轴上存在一点，使得的周长最小，则点的坐标为_______； (3)若点在直线上，直线将的面积分成两部分，求点坐标． (4)点在直线上，在抛物线上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标，不存在，请说明理由． 题型03 角度的最值 【典例1】（2025·山东枣庄·二模）已知，如图抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点D是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值； (4)若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 13．（2025·山东东营·一模）如图，抛物线经过，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上有一点P，使的值最小，求点P的坐标； (3)动点M在第四象限内的抛物线上，求四边形ACMB面积最大时点M的坐标． 14．（2025·山东枣庄·模拟预测）如图，已知二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，点M从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点C运动，点N从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段向点B运动，点M，N同时出发．设运动时间为t秒（）．当t为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ (3)已知P是抛物线上一点，在直线上是否存在点Q，使以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由． 15．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交轴于两点，交轴于点． (1)求直线的表达式和a，m的值． (2)是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值及面积最大时点的坐标． (3)在（2）中面积最大的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 16．（2025·山东济南·二模）如图，已知二次函数的图象与轴交于A和两点，与轴交于，连接，在线段上有一动点，过点作轴的平行线交二次函数的图象于点，交轴于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)当的横坐标为，求与的面积比； (3)若动点横坐标记为，的面积记为，的面积记为，且，写出与的函数关系，并判断是否有最大值，若有请求出；若没有请说明理由． 17．（2025·山东济宁·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于，两点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点是抛物线的顶点，求的面积； (3)如图2，若是抛物线上位于直线下方的一个动点，设点的横坐标为，当为何值时，的面积最大？最大值是多少？ 题型04 面积的最值 【典例1】（2025·山东威海·一模）抛物线，顶点为点． (1)顶点坐标_____； (2)当时， ①的值总大于4，求取值范围； (3)当时，将抛物线向下平移6个单位，与轴交于点，（点在左侧），与轴交于点，顶点为． ②点以每秒1个单位的速度从点运动到点，过点作交于点，连接，在整个运动过程中，的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值以及并直接写出此时点坐标；若不存在，请说明理由； ③④任选一道做即可 ③点是直线上一点，且最大，直接写出点坐标_____； ④点是线段上一动点，则的最小值为_____． 19．（2025·山东济南·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，与y轴交于点C，顶点为D．          (1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标； (2)如图2，连接，，若抛物线上存在点E，满足，求点E的坐标； (3)如图3，点F为x轴上一动点，连接，当最大时，请直接写出点F的坐标． 20．（2025·广东广州·一模）定义：在平面直角坐标系中，直线称为抛物线的伴随直线，如直线为抛物线的伴随直线． (1)抛物线的对称轴为直线且其伴随直线为，求该抛物线的解析式； (2)若抛物线的伴随直线是． ①试用含a的代数式表示b和c； ②抛物线经过定点Q，且与x轴交于点D和点E，若为直角三角形，求m的值； (3)顶点在第一象限的抛物线与它的伴随直线交于点A，B（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C，当时，y轴上存在点P，使得取得最大值，求此时点P的坐标． 21．（2025·重庆渝中·二模）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，对称轴与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点在线段上，点与点关于对称轴对称，过点作轴交抛物线于点，直线交轴于点．若四边形是平行四边形，求点的坐标； (3)若点是对称轴上一动点，当最大时，直接写出点的坐标． 题型05 比值的最值 【典例1】（2025·山东聊城·三模）已知抛物线与x轴交于A，B两点，且经过点，顶点坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点D为抛物线上一个动点，连接，求的面积的最大值； (3)如图2，点E为抛物线上第四象限内一点，连接，交于点F，记的面积为，的面积为，当最大时，点E的坐标． 23．（2025·河北石家庄·一模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数与x轴交于A，B两点，对称轴为直线，与y轴交点为点，点D为抛物线上任意一点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图2，当点D为抛物线的顶点时，求的面积； (3)如图3，当点D在直线下方的抛物线上时，连接交于点E，求最大值． 24．（2025·安徽·模拟预测）已知二次函数，若该二次函数图像与x轴交于点、，与y轴交于点． (1)求该二次函数解析式； (2)点P为二次函数图像位于第一象限上一点，连接相交于点D，求的最大值． (3)若时，总满足，求t的取值范围． 25．（2025·辽宁·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，连接，点P为直线下方抛物线上一点，连接交于点D，求的最大值及此时点P的坐标； (3)点Q在直线上，抛物线与抛物线关于点Q成中心对称，抛物线与有且只有一个公共点E（E在y轴右侧）． ①求抛物线的表达式； ②点M在直线上，点N在抛物线对称轴上，若以B，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求M的坐标． 26．（2025·四川成都·三模）如图1，抛物线与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，直线的解析式为． (1)求出抛物线的解析式； (2)P是直线上方抛物线上一点，连接交于点E，当最大时，求点P的坐标，并求出这个最大值； (3)如图2，过线段的中点H作直线交抛物线于M、N两点（点M在点N左侧），直线与直线交于点G，求的最小值． 27．（2025·黑龙江大庆·三模）如图①，抛物线与轴交于，两点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式． (2)点是抛物线第四象限上一点，连接交于点，求当的值最大时点的坐标． (3)平移抛物线使它的顶点为，如图②，点是轴上一个定点，以点为直角顶点作，使点、分别在轴上和抛物线上，若在变化的过程中，直线与抛物线始终有唯一公共点，求点的坐标． 28．（2025·内蒙古通辽·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，且点A在B点左侧，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，直线与x轴交于点D，与y轴交于点E，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，设射线与直线交于点N，求的最大值，及此时点P的坐标； (3)如图2，将原抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使平移后的新抛物线经过点B，请直接写出新抛物线的函数表达式． 1．（2025·山东临沂·二模）如图，一次函数图象与y轴相交于B点，与反比例函数图象相交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)C是线段上一点，点C在点A的左侧，过点C作y轴平行线，交反比例函数的图象于点D，连接．设点C的横坐标为a，求当a为何值时，的面积最大，这个最大值是多少？ 2．（2025·山东枣庄·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线l：经过抛物线的顶点．如图，当抛物线经过原点时，其顶点记为P． (1)求抛物线的解析式并直接写出点P的坐标； (2)时，y的最小值为2，求t的值； (3)当时．动点E在直线l下方的抛物线上，过点E作轴交直线l于点F，令，求S的最大值． 3．（2025·山东济南·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线（、为常数且）． (1)若抛物线经过点、两点，求抛物线对应的函数表达式； (2)在（1）的条件下，当直线：与抛物线交于点、时（点在点的左侧），位于直线下方的抛物线上是否存在一点，使得的面积最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若抛物线的对称轴为直线，当直线与抛物线有两个交点时，直接写出的取值范围． 4．（2025·山东青岛·模拟预测）【问题探究】 数学兴趣小组成员小亮在研究抛物线的性质时，发现其开口也可向左或向右．如图①，曲线相当于作为自变量的二次函数，抛物线开口朝向轴正半轴方向，在平面直角坐标系中，即为一条开口向右的抛物线，根据书写习惯，一般将其写为．已知抛物线过，与原点三点． （1）请直接写出的解析式； 【延伸拓展】 小亮所在小组的组长小蓝对该问题经过研究后，便寻找更复杂的情况进行学习研究： 如图②，已知抛物线：与直线：有两个交点，，在直线上有一点，连接， （2）请直接写出点A，B的坐标； （3）小亮和小蓝通过资料查阅得到了平面内两点的距离公式如下： 在平面直角坐标系中，设两点，，则A，B两点间的距离公式为： 则当取得最小值时，请求出点的坐标和的长度． 5．（2025·山东济南·二模）如图所示，二次函数图象的对称轴为直线，顶点为A，与y轴相交于点B，且经过点，直线l：与y轴交于点D，P为抛物线上对称轴左侧的一点，设P点横坐标为m，连接，过点P作直线轴，与直线l交于点M． (1)求二次函数的表达式； (2)如图 1，过点P作，垂足为Q，连接，当与面积相等时，求m的值； (3)如图 2，当时，连接，直线与相交于点N，连接，求的最小值并直接写出此时m的值． 1．（2025·山东威海·一模）如图，抛物线与x轴交于点，，交y轴于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P在下方的抛物线上，连接，与交于点E．和的面积分别记为，，令．若的值最大，求证：． 2．（2025·山东东营·三模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，且点坐标为，点坐标为． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线距离的最大值； (3)如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2025·山东济宁·二模）在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别为，，顶点为的抛物线经过点，，且与轴交于点，（点在点的左侧） (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线对称轴上存在一点，当的周长最小时，直接写出点坐标； (3)当时，，求的值； (4)平移抛物线，使抛物线的顶点始终在直线上移动，在平移的过程中，当抛物线与线段有公共点时，求抛物线顶点的横坐标的取值范围． 4．（2025·山西朔州·一模）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点的坐标为，连接． (1)求抛物线的函数解析式． (2)如图，过点作轴，交抛物线于点，连接，判断四边形的形状，并说明理由． (3)在（2）的条件下，若是所在直线下方抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求点的坐标，并直接写出面积的最大值． 5．（2025·重庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点（点在点的左侧），其中，，与轴交于点，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)点是线段上方抛物线上的一动点，过点作轴，交于点，是轴上一动点，当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)如图，将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）的D点且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标并写出求解点坐标的其中一种情况的过程． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $