05-专题五 综合与实践-【一战成名新中考】2026安徽中考数学·二轮复习·专项分类提升练

专题五 综合与实践 类型①》操作实践类 1.综合与实践 【主题】用竹棒搭建鲁班桥。 【背景】鲁班桥是一种自承式结构桥梁，依靠桥梁自身的结构间的力来维持稳固，是我国古代劳动人民 智慧的结晶 【素材】宽为3cm的长方体竹棒、底面圆直径为2cm的圆柱竹棒各若干、尺子、小刀等. 【实践操作】 步骤1：如图①，长方体竹棒上下共刻出3个半径为1cm的半圆凹槽，圆心分别为0,02,0，其中0， 是竹棒中点，O2,O3到竹棒两端的距离均为2cm; 步骤2：用两个长方体竹棒夹住一个圆柱竹棒，其侧面示意图如图②，以此类推重复拼搭即可搭建出如 图③的鲁班桥 【实践探索】 (1)步骤2图②中，3个长方体竹棒搭建，A,B为竹棒与地面的交点，若竹棒长22cm,跨度为32cm,则 凹槽圆心O,到AB的距离为多少？ (2)将鲁班桥首尾相连绕成环，图④为其侧面示意图，形状为两个完全相同的正方形，则需要准备长方 体竹棒的长为多少厘米？ 0 B 图① 图② 图③ 图④ 第1题图 64 专项分类提升练·安徽数学 一战成名新中考 2.综合与实践：用长方形铁皮制作无盖的圆柱形容器 实践方案：将一块长方形铁皮裁剪成两个小长方形铁片：其中一个长方形铁片作为圆柱的侧面；在 另一个长方形铁片中剪出一个最大的圆面作为底面.（不考虑连接的重叠部分）》 任务一：如图①，己知长方形铁皮的长为16.56cm,按图中的裁剪方式剪出的长方形和圆正好能做一 个无盖的圆柱形容器，求这个圆柱形容器的体积.（π取3.14） 任务二：如图②，用一块长为24cm,宽为18cm的长方形铁皮制作无盖圆柱形容器. 方案A:如果以24cm作为无盖圆柱形容器底面圆的周长，请计算此时圆柱形容器的体积，并在图②上 画出裁剪示意图.（标注尺寸，π取3） 方案B:如果要求制作的无盖圆柱形容器的体积最大，请设计出符合要求的方案，并在图③上画出裁剪 示意图，同时通过计算说明理由.（标注尺寸，π取3） 任务三：为了提高长方形铁皮的利用率，完成方案A,B后，在各自剩余材料中先裁剪一个尽可能大的 长方形铁片，再在长方形铁片的内部截取一个尽可能大的完整半圆面，将其制作成一个无底面的圆锥 形容器，此时在方案A和方案B中，哪种方案对长方形铁皮的利用率高？（材料不拼接使用，π取3） 24 cm 24 cm 24 cm 18 cm 18cm 16.56cm 18cm 图① 图② 图③ 第2题图 备用图 专项分类提升练·安微数学 65 类型②》数学建模类 3.[2025深圳]综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景.如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间， 安检通道数之间的关系。 黑点表示观众 ●● 安检口●●●●● ● ● 安检口●●●●● 台 ● 安检口●●●●● ● ● 通道未开放 第3题图 【研究条件】 条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数=现场总人数-已入场人数； 条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人， 【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数y与安检时间x之间满足关 系式：y=-x2+60x+100(0≤x≤30). 结合上述信息，请完成下述问题： (1)当开通3条安检通道时，安检时间x分钟时，己入场人数为 排队人数和与安检时间x的 函数关系式为 【模型应用】 (2)在(1)的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ (3)已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道？请说明理由？ 【总结反思】 函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程 优化等)进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性 66 专项分类提升练·安徽数学 一战成名新中考 4[2025山东]【问题情境】 2025年5月29日“天问二号”成功发射，开启了小行星伴飞取样探测的新篇章.某校航天兴趣小组受 到鼓舞，制作了一个航天器模型，其中某个部件使用3D打印完成，如图①. 【问题提出】 部件主视图如图②所示，由于1的尺寸不易直接测量，需要设计一个可以得到1的长度的方案，以检测 该部件中1的长度是否符合要求， 正面 图① 图② 图③ 图④ 第4题图 【方案设计】 兴趣小组通过查阅文献，提出了钢柱测量法 测量工具：游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱（圆柱）· 操作步骤：如图③，将两个钢柱平行放在部件合适位置，使得钢柱与部件紧密贴合.示意图如图④，⊙0 分别与AC,AD相切于点B,D.用游标卡尺测量出CC的长度y. 【问题解决】 已知∠CAD=∠CA'D'=60°，l的长度要求是1.9cm~2.1cm. (1)求∠BA0的度数； (2)已知钢柱的底面圆半径为1cm,现测得y=7.52cm.根据以上信息，通过计算说明该部件l的长度 是否符合要求.（参考数据：√3≈1.73） 【结果反思】 (3)本次实践过程借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量的长度，能将圆柱换成其他几何体吗？如 果能，写出一个；如果不能，说明理由 专项分类提升练·安微数学 67 类型③学科融合类 5.[2025扬州]材料的疏水性 扬州宝应是荷藕之乡.“微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银”，莲叶上的水滴来回滚动，不易渗入莲 叶内部，这说明莲叶具有较强的疏水性.疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质！ 空气（气相)】 气一液界线 水滴（液相） 固一液界线 →材料（固相） 图① 图② 图③ 第5题图 【概念理解】 材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述.材料上的水滴可以近似地看成球或球的一部分，经过 球心的纵截面如图①所示，接触角是过固、液、气三相接触点（点M或点N)所作的气-液界线的切线 与固-液界线的夹角，图①中的∠PMN就是水滴的一个接触角， (1)请用无刻度的直尺和圆规作出图②冲水滴的一个接触角，并用三个大写字母表示接触角；（保留作图痕 迹，写出必要的文字说明)》 (2)材料的疏水性随着接触角的变大而 (选填“变强”“不变”“变弱”) 【实践探索】 实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度BC和底面圆的半径AC(BC⊥AC),求出∠BAC的度数，进 而求出接触角∠CAD的度数（如图③）， (3)请探索图③中接触角∠CAD与∠BAC之间的数量关系（用等式表示），并说明理由. 【创新思考】 (4)材料的疏水性除了用接触角以及图③中与△ABC相关的量描述外，还可以用什么量来描述，请你 提出一个合理的设想，并说明疏水性随着此量的变化而如何变化 68 专项分类提升练·安徽数学 一战成名新中考 类型④项目式学习 6.[2025山西]项目式学习 项目背景：“源池泉涌”为我省某景区的一个景点，主体设计包括外栏墙与内栏墙 外栏墙高于内栏墙，两栏中间为步道，内栏墙内为泉池，池内泉水清澈见底.从正上方 看，外栏墙呈正八边形，内栏墙呈圆形.综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算” 开展项目学习活动，形成了如下活动报告 第6题图 项目 景物的测量与计算 主题 驱动 如何测量内栏墙围成泉池的直径 问题 活动 利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算 内容 图①为该景点俯视图的示意图，点A,D是正八边形中一组平行边的中点，BC为圆的直 径，图中点A,B,C,D在同一条直线上 图②为测量方案示意图，直径BC所在水平直线与外栏墙分别交于点E,F,外栏墙AE与 DF均与水平地面垂直，且AE=DF.BE,CF均表示步道的宽，BE=CF.图中各点都在同 一竖直平面内。 方案 外栏墙 说明 地面 地面 活动 步 内栏墙 过程 D(F 道 道 A(E 危险B F 步道 内栏墙 内栏墙 「步道 俯视图的示意图 测量方案示意图 图① 图② 数据在，点A处测得，点B和，点C的俯角分别为∠DAB=37°，∠DAC=8.5°，AD=26米.图中墙 测量 的厚度均忽略不计 计算 交流 展示 请根据上述数据，计算内栏墙围成泉池的直径BC的长（结果精确到1米.参考数据：si8.5°≈0.15， cos8.5°≈0.99，tan8.5°≈0.15，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75). 专项分类提升练·安微数学 69 类型⑤)调查统计类 7.[2025遂宁]DeepSeek横空出世，犹如一声惊雷劈开垄断，跻身世界最强大模型行列，开启中国人工智 能崭新的春天.为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动. 下面是该校某调查小组对活动中模具设计水平的调查报告，请完成报告中相应问题. 模具设计水平调查报告 调查 “逐梦科技强国”活动中模具设计水平 主题 调查 通过数据分析，获取信息，能在认识及应用统计图表和百分数的过程中，形成数据观念，发 目的 展应用意识， 调查 调查 某校学生模具设计成绩 抽样调查 对象 方式 随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用x表示），并整理，将其分成如 下四组：A:60≤x<70,B:70≤x<80,C:80≤x<90,D:90≤x≤100 下面给出了部分信息： 其中C组的成绩为：80,81,82,82,83,84,84,84,85,85,86,86,86,87,87,88,88,89,89,89 数据 模具设计成绩的频数分布直方图 模具设计成绩的扇形统计图 收集 人数/频数 与表示 25 20 D A 20 20% 15 10 10 30% 0入 ABCD成绩/分 根据以上信息解决下列问题： (1)本次共抽取了 名学生的模具设计成绩，成绩的中位数是 分，在扇形统 数据 计图中，C组对应圆心角的度数为 分析 (2)请补全频数分布直方图； 与应 (3)请估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数； 用 (4)学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流， 请用画树状图或列表的方法求出所选的两名同学恰为甲和丙的概率 70 专项分类提升练·安徽数学任务二：超速，60km/h=50 m/s, 50 50. 当x=3时，=008×()-22(m)<34m 3 .超速 8.解：(1)设u=x+c,将点(0,10)，(2,9)代人， 得/2k+c=9, k=2 1 (c=10. c=10, .v= 2t+10 设y=ax2+bx,将点(2,19)，(4,36)代入， 得a+26=19:解得 1 16a+4b=36, 4, b=10. y=4x+10e; (2)当u=0时，即- 2x+10=0,解得x=20, 将x=20代入y=子+10，得y=- -×202+10×2 =100. .当小球在水平木板上停下来时，此时小球的滑行距 为100cm. (3)当：=4时，子+10=4 解得x=12 将=12代入y=子+10。 解得y=84, .84-4×12=84-48=36(cm), .n>36. 专题五综合与实践 1.解：(1)如解图①，过点O1作O,M⊥AB于点M, 由题意得0，A=0,B=22-2=20(cm),AB=32cm, .O,M⊥AB, 六AM=BM= 2B=16cm,∠AM0,=90, .0,M=√0,4-Af=√202-16=12(cm）, 答：凹槽圆心0，到AB的距离为12cm. 0,0- 0 第1题解图① (2)如解图②，过点0，作0，N⊥CE于点N, D 第1题解图② 由题意得0，C=0,E,∠C0,E=90°， .△C0,E是等腰直角三角形，∠0，CE=45°， .O,N⊥CE,长方体竹棒的宽为3cm, .∠01WC=90°，0，N=3cm, 38 参考答案与 ∴.△O,NC是等腰直角三角形，CN=O,N=3cm,O,C= √20，N=3√2cm. ·四边形0，C0,D是平行四边形，长方体竹棒的宽度 相等， .口O,C0,D每条边上的高相等 口0，C02D每条边相等， .□01C02D是菱形，∴.02C=01C=32cm. 由中点性质可知长方体竹棒的长为2×(0，C+CW+2)=2× (32+3+2)=(6V2+10)cm. 答：需要准备长方体竹棒的长为(62+10)厘米 2.解：任务一：设圆柱底面圆半径为r,根据题意可得2r+2π7 =16.56,即2r+6.28r=16.56. 解得r=2, V雕=Tr2×2r≈3.14x2×2×2=50.24(cm3): 任务二：方案A:根据题意可得r=24÷(2π)≈24÷6=4 (cm), 故圆柱形容器的高=18-2×4=10(cm), Vm鞋=10xT×42≈10×3×16=480(cm3),如解图①： 24 cm 24 cm 8cm 18cm 18 cm 10cm 6cm 18 cm 图① 图② 第2题解图 方案B:以18cm作为无盖圆柱形容器底面圆的周长， 则r=18÷(2π)≈18÷6=3(cm), 故圆柱形容器的高=24-2×3=18(cm),如解图②， V周柱=18×T×3≈18×3×9=486(cm3), .486>480. :.以18cm作为无盖圆柱形容器底面圆的周长时体积 最大. 任务三：如解图③，方案A剩余部分最大长方形铁片的长 和宽分别为24-8=16(cm),8cm, 16=2×8,该半圆的半径为8cm, 该半圆的面积=分×8了x3xg=96(m）。 利用率=96+3×42+10×24 100%≈88.9%. 24×18 24 cm 24 cm 6cm 8cm 18cm 18 cm16cm8cm10cm 12 cm 6cm 18cm 图③ 图④ 第2题解图 如解图④，方案B剩余部分最大长方形铁片的长和宽分 别为18-6=12(cm),6cm, :12=2×6,该半圆的半径为6cm, 该半圆的面积=x6了×3x6-54(m). 利用率=54+3x3+18×18 100%≈93.8%， 18×24 93.8%>88.9%,故方案B利用率更高 3.解：(1)18x,0=-x+42x+100: (2)w=-x2+42x+100=-(x-21)2+541, .当x=21时，0=541； 答：排队人数在第21分钟达到最大值，最大人数为 难题解析·安徽数学 541人： (3)设开了m条通道， 则w=y-6mx=-x2+60x+100-6mx=-x2+6(10-m)x+100, .对称轴为直线x=3(10-m), :排队人数10分钟（包括10分钟）内减少， 0≤3010-m)≤10.即29≤m≤10， 又.最多开通9条， 9≤me9, m为正整数 .m最小值为7，.最少开7条通道. 4.解：(1)⊙0分别与AC,AD相切于点B,D. 1 ∠0MB=∠0MD=2∠CAD=30: (2)该部件1的长度符合要求，理由如下： :钢柱的底面圆半径为1cm, ..BC=OB=1, .∠OAB=30°，∠0BA=90° .AB=√3， ∴.AC=BC+AB=1+√3， 同理A'C'=1+W5, ∴.1=7.52-2(1+√3)≈2.06， 1.9<2.06<2.1. .该部件1的长度符合要求： (3)能，将圆柱换成正方体 如解图. B 第4题解图 设正方体的棱长为a,用游标卡尺测量出CF的长度y .BC=BD=a, ·∠CAD=60°， AB=a ,AC=a+ 3a 3 1y-2(a+ 3）=y 2(3+W3)a 3 5.解：(1)如解图①，作图步骤：①圆弧上取一点C,交界面 与圆弧的交点为M,N,连接MC,NC; ②分别作MC,NC的中垂线，交于点0，则点0为圆弧的 圆心： ③作射线OM,过点M作PM⊥OM,则PM为⊙O的切线 故∠PMN即为所求： 图① 图② 第5题解图 (2)变强： (3)∠CAD=2∠BAC,理由如下： 如解图②，连接0A,则OA=0B, 参考答案与重难题 一战成名新中考 .∴.∠ABC=∠OAB, ·AD为⊙O的切线 OA⊥AD,.∠OAB+∠BAD=90°， .·BC⊥AC,.∠ABC+∠BAC=90°， :·∠ABC=∠OAB ∴.∠BAD=∠BAC. .∠CAD=∠BAD+∠BAC=2∠BAC; (4):水滴弧的长度为1= 180 r180”, 可以根据一的大小，进行判断，一越大，水滴越趋近于 球形，疏水性越强（答案不唯一）. 6..解：由题意得，EF=AD=26,AD∥EF .∠ABE=∠DAB=37°，∠ACE=∠DAC=8.5 设BE=CF=x米，则CE=EF-CF=(26-x)米，BC=EF CF-BE=(26-2x)米， 在Rt△ABE中，∠ABB=90°，tanLABE=Ag BE ∴.AE=BE·tan∠ABE=x·tan37°， 在RH△ACE中，LAEC=90,tanLACE=CE, AE .AE=CE·tan∠ACE=(26-x)·tan8.5°， .x·tan37°=(26-x)·tan8.5°， 解得x≈13 3 BC=26-2x13 17（米）， 答：内栏墙围成泉池的直径BC的长约为17米 7.解：(1)50：83.5：144°. (2)B组的人数为50x30%=15(人). 补全频数分布直方图如解图 模具设计成绩的频数分布直方图 ↑人数/频数 25 20 20 15 15 10 5 0 ABCD成绩/分 第7题解图 (3)1200x20+10 50 720(人). :.估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的 人数约为720. (4)列表如下： 甲 的 甲 (甲，乙) (甲，丙) (甲，丁) 乙 (乙，甲) (乙，丙) (乙，丁) 丙 (丙，甲) (丙，乙) (丙，丁) 丁 (丁，甲)（丁，乙） (丁，丙) 共有12种等可能的结果，其中所选的两位同学恰为甲和 丙的结果有（甲，丙），（丙，甲），共2种， :所选的两名同学恰为甲和丙的概率为2石 21 平析·安徽数学 39