04-专题四 二次函数综合题(第23题)-【一战成名新中考】2026安徽中考数学·二轮复习·专项分类提升练

证法2：如解图②，过点M作MWH⊥AB于点H. 在正方形ABCD中，∠DAB=∠ABC=90°，AD∥BC .AD∥BC∥HM. .M为DE的中点。 .H为AB的中点， .MH为AB的垂直平分线. AM-BM: (2)解：(i)解法1：如解图③，延长AM交BE的延长线于 点P, 易证△ADM≌△PEM..AD=EP 设AD=x,则EP=x,DF=x-2,PC=2+x. MD/BP,△MDF△PcP,49 CF PC x-2x ·22+x解得x=5+1,名=-5+1（舍去）， 即BC=AD=5+1,CK=5+1 2: 图③ 图④ 第6题解图 解法2思路：如解图④，过点M作MN L CD于点N,连 接CM,设BC=,易得CG=x-2.GN=2-受，MN=1,证 △MNG∽△BCG即可求解： (i)如解图⑤，过点A作AH⊥KF于点H,连接AK,过点M 作MN⊥CE于点N 第6题解图⑤ .·∠AFK=∠MFC,∠AFD=∠MFC. .∠AFK=∠AFD 易证△ADF≌△AHF. ∴.AD=AH,HF=FD. 易证△ABK≌△AHK, .BK=KH BK=KC=KH=a,DF=FH=b. 在Rt△FKC中，KC2+FC2=KF2 六a2+(2a-b)2=(a+b),解得2=3 b-21 由(1)易得∠DAF=∠CBG, 易证△ADF≌△BCG. ∴.CG=DF=b. mac瓷物多行 .·M为DE的中点，MW∥CD. :N为CE的中点，CD2, MN 1 .∴BK=KC=CN=NE=MN. MN .tanE-NE-1. 34 参考答案与重入 专题四二次函数综合题（第23题） 类型1二次函数图象与性质的应用 24-1 1.解：(1)抛物线的对称轴为直线x=2 (2)y1<y2,理由：：a>0,对称轴为直线x=1, 抛物线开口向上，M(x1,y),N(2,2)都在对称轴 右侧， 当>1时，y随x的增大而增大，且x1<2, .y1<y3; (3):m<x1<m+1,m+1<x2<m+2, 2m+1 x+x:2m+3 x<,2<2<2 y1<y2,a>0, ∴.M(:1,y)距离对称轴更近，则MN的中点在对称轴的 右侧， 2m+1 1 ≥1，解得m≥2 2.解：(1)抛物线经过A(-1,0),B(3,0). 抛物线解析式为y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3; (2)把C(2,m)代入y=x2-2x-3中， 可得m=-3,故C(2,-3) 由待定系数法可得直线AC的解析式为y=-x-1, 设P(p,-p-1),则E(p,p2-2p-3), 放m=pn2=-04? 1 13 当p=2时，PE长度取最大值，此时P(2,之)： (3)存在点D,点D的坐标为(1,0)或(4+√7,0)或(4- √7,0)或(-3,0) 设F(t,2-2t-3),D(n,0) 当以点A,C,D,F为顶点的四边形是平行四边形时，分为 以下三类情况： ①当AC,DF为对角线时. 2-1=n+t, (0-3=t2-2t- 。解得t=0或2（舍去）， .n=1.故D(1,0): 3当0cF为对有线时6， 解得t=1+√7或1-√万 .n=4+√7或4-√7， 故D(4+√7,0)或(4-√7,0)： ③当AF,CD为对角线时， t-1=n+2, (t2-2t-3=-3 解得t=0或2（舍去）， ..n=-3,故D(-3,0). 综上，点D的坐标为(1,0)或(4+√7,0)或(4-√7,0)或 (-3,0). 3.解：(1)·抛物线经过A(0,-4),B(4,0), 代人yae,得e=4，得a方 （16a-4+c=0, （c=-4, 抛物线的解析试为y=了-4： (2)(i)A(0,-4),B(4,0), ∴.直线AB的解析式为y=x-4, 题解析·安徵数学 设代宁-4.则0,0，c(分-子40. 1 -1<0,0<<4, 当：=时，PGm有经大值，最大值为学 (i)存在点P,使得线段PC把△PAB的面积分成3：5两部 分，点P的坐标为(3.子)或1+6，之》。 如解图，延长PC交y轴于点F, 由题意可知四边形PDOF是矩形， 当SAPAG :SAPRC=3:5时， 由(i)得，OF=DP=- +i+4)=1 AF=4-(-2 AF 3 第3题解图 Sae)PC·PDPD5 3 0A 8 2… 2 5 解得=3或t=-1(舍去)，.P(3,之)： 当SPSAPC=5:3时， 时理可得-即子 1习 5 解得t=1+6或t=1-√6（舍去）， P16, 综上所述，点P的坐标为(3，)或(1+6子) 4.解：(1)把A(1,1)分别代入y=kx和y=ax2+6x-4, .k=1,a=-1. b6 小抛物线的对称轴为直线x=2a2=3: (2)(i):M和N关于直线x=3对称，且2-x1=2, .M和N到对称轴的距离都为1， ∴.x1=2,x2=4 将M(2,m)代人抛物线解析式y=-x+6x-4,得m=4. Q(x,4),将点Q坐标代人y=x,可得=4； (i).·M和N关于直线x=3对称 .x1+x2=6. x3-x1<x2-x3,.x3<3 k=1,Q(x,m)在直线y=kx上， .m=x<3,即m<3. 5.解：(1)将点A(-4,3)代入y=x,得-4h=3, 部得人=子 心直线AB的解析式为y乙x, 3 3 当x=1时，y=4心B(1,4), 3 将点A(-4,3),B(1,)代入y=a+e得， 参考答案与重难题 一战成名新中考 16a+c=3, 1 a= 3解得 (a+c=. 4 4 c=-1, 六抛物线的解析武为)=4-1： (2)()设M(n,0.则子-1=n, 当点M在x轴上方时，m<0,n>0,∠ONM是钝角， MN轴， 4 (-3,n） 4 :△M0N是等腰三角形，∠ONM为顶角， .MN=ON. 4 5 1 六-3n-m=3n=3m, 1 1 1 4m-1=n,4m-1e3m, 解得m=2-2而或m=2+2 (舍去). 3 3 5当m=2-2而时，△MON是等腰三角形： 3 ()令y=0则子-1=0.解得x=2, 当点M在x轴下方时，-2<m<1,n<0, ow:v*-m4子-)- 4m+1, 1 4 C△M0w=OM+MW+ON= 4m+1 3n-m+(-5 n) m2-m-3n+1= 1 4m2-m-3( 4m2-1)+1=- 2(m+1) 9 +2' <0,-2xm<1, 1 当m=-1时，Caav最大，最大值 2 6.解：(1)在y=ax2-2a2x-3a2(a≠0)中，令y=0,得0=a2x2 -2a2x-3a2, .a(x-3)(x+1)=0,解得x=3或x=-1, 点A在点B的左侧 ∴.A(-1,0),B(3,0); (2)(i):直线y=ax+b经过点A(-1,0), .0=-a+b, b=a,.直线表达式为y=ax+a, y=a2x2-2a2x-3a2=a2(x-1)2-42, .抛物线的顶点E的坐标为(1，-4a2), E(1,-4a2)在直线y=ax+a上， -4a2=a+a,解得a=0(舍去)或a 1 =- 2 a的值为： (i)如解图，设直线y=ax+a交y轴 于点G,抛物线y=a2x2-2a2x-3a2的 第6题解图 对称轴交x轴于点H, 平析·安徽数学 35 在y=ax+a中，令x=1,得y=2a,令x=0,得y=a ∴.E(1,2a),G(0,a), ∴.HE=-2a, S,=24B·E=2×(3+1)·(-2a)=-4a, 在y=a2x2-2a2x-3a2中，令x=0,得y=-3a2, .C(0.-3a2）, .GC=a-(-3a2)=3a2+a S,=20C.lxsx=2×(3a2+a)x2=3a2+a, 25 s=52-S,=-4n-(3a+a)=-3a2-5a=-3(a+5)t 6 -3<0 当=名5取最大雀空 s与0的函数表达式为S=-3-5S的最大值为空 7.解：(1)将点A的坐标代人C1,得0=16+4p, 解得p=-4: (2)由(1)得抛物线C,的表达式为y=x2-4x, 当b<0时，y=x2-4x<0,则0<x<4.即0<a<4, (i)当a=m时，点N(2a,b+n), 将点M(a,b)代入C,得b=a2-4a, .点N在C2上，∴.b+n=(2a-6)2-4, ￥理得=3入-2c432=30a9-手 0<a<4 六当a-9时，a=手 4 当a=0时，n=32, 4 3≤n<32, (i)设点M(a,a2-4a),.·点A(4,0), .易得直线MA的表达式为y=ax-4a=a(x-4), 联立直线MA和抛物线C,的表达式，得a(x-4)=(x-6) -4. 解得x=4(舍去)或x=a+8,即a+8=a+m, ∴.m=8. &解：(1)C的对称轴为直线分，顶点的纵坐标为)m= 4c-b2 4,C,的对称轴为直线x=1,顶点的纵坐标为2=℃ -1. :C,的顶点纵坐标比C2的顶点纵坐标小3， 六（c-1)-4c-6=3,解得b,=4,6=-4. 4 又：C,的对称轴在C2的对称轴的右侧， 分126=4. ..y=x2-4x+c, y1<2x2-4x+c<x2-2x+c,.x>0, y,随x的增大而减小，x≤2， ∴.x的取值范围为0<x≤2： (2)(i).·点A(m,p)在C1上，∴.p=m-4m+c, 点B(n,9)在C2上q=n2-2n+c, ∴.p-q=(m2-4m+c)-(n2-2n+c）=m2-4m-n2+2n, 把n=2m+3代入，得p-q=m2-4m-(2m+3)2+2(2m+3)= 36 参考答案与重 -3m2-12m-3=-3(m+2)2+9, -3<0,当m=-2时，p-q有最大值，最大值为9： (i)由(i)得p=m2-4m+c,g=n2-2n+c,p-q=m2-4m-n +2n, 把n=mtt代入p-q,得p-q=m2-4m-(m+t)2+2(m+t)= -2m-2mt-t2+2t, 由条件可知，-2m-2mt-t2+2t=3t,得-2m(1+t)-t2-t=0, 即(1+t)(-2m-t)=0, ·无论m取任何实数，式子都成立 .1+t=0,.t=-1 9.解：(1).抛物线C1经过A(-1,0),B(3,0) .设y=-(x+1)(x-3)=-(x2-2x-3)=-(x-1)2+4, .点M的坐标为(1,4)： (2)(i)由(1)可知y=-x2+2x+3, ∴C(0,3) 平移后的抛物线C,的表达式为y=-(x-1-h)2+4-k, 将点B的坐标代入得0=-（3-1-h)2+4-k, 整理得k=-h2+4h. .C,的表达式为y=-(x-1-h)2+4+h2-4h, .E(1+h,h2-4h+4), 由点C,E的坐标易得，直线CE的表达式为)-4h+1 h+1 +3, 将点B的坐标代人，得0=4×3+3，解得h=1或2： (i)由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为y=-x+3, .平移后的表达式为y=-x+3-m, 由(i)知，E(1+h,h2-4h+4), 将点E的坐标代入，得h2-4h+4=-(1+h)+3-m,整理得 m-h2+36-2=-(h之2+ …h>0,m>0, 时，m有最大值，最大值为子 …当h=2 类型2二次函数实际应用 1.解：(1)(60+10x): (2)设该款巴小虎吉祥物降价x元， 根据题意可得(40-30-x)(60+10x)=630, 整理可得x2-4x+3=0, 解得x,=1(舍去)，x,=3. ·.该款巴小虎吉祥物降价3元时文旅公司每天的利润是 630元： (3)设该款巴小虎吉祥物降价x元， 20=(40-30-x)(60+10x)=(10-x)(60+10x)=-10x2+40x +600=-10(x-2)2+640. ·.·-10<0. .当x=2时，w取得最大值，最大值为640元， 此时售价为40-2=38（元）， 答：当售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是 640元. 2.解：(1)设A型客车每辆载客量为x人，则B型客车每辆 载客量为(x-15)人， 根据题意得60.450 xx-15 解得x=60, 经检验，x=60是所列分式方程的解，且符合题意， ∴.x-15=60-15=45(人). 题解析·安微数学 答：A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为 45人： (2)设租用A型客车m辆，则租用B型客车(10-m)辆， 根据题意得60m+45(10-m)≥530，m≤8， 解得≤m≤8， 设本次研学活动学校的租车总费用为和元， 则w=(3200-50m)m+3000×0.8(10-m)=-50m2+800m+ 24000=-50(m-8)2+27200. -50<0,m取正整数，且16。 3sm≤8. ∴.当m=6时，取得最小值，最小值为-50×(6-8)2+ 27200=27000(元). 答：本次研学活动学校的最少租车费用是27000元. 3.解：(1)由题意得3x-10+3y-10=610,∴.y=-x+210 ·货物仓库用同样的材料隔成四个矩形区域，并留有四 个5m宽的门， ∴.x>10,y>5,∴.10<x<205: (2)货物仓库ABCD的场地面积S=AB·AD=xy=x(-x+ 210)=-(x-105)2+11025. .W=50S+3900+610×10=-50(x-105)2+561250. -50<0 当x=105时，W最大=561250： (3)不合理.理由：令W=-50(x-105)2+561250=500000. 解得x1=140,x2=70, ∴.当x=140或x=70时，总费用为50万元， 此时面积S=-(x-105)2+11025=9800m2<10000m2, .该公司的计划不合理 4.解：任务1：208： 任务2：如解图，延长CB交0Q于点M, 单位：m 设CG=xm, .MC=BM+BC=14 m CH=CD+DH=12 m, M 10.4 D .EF=MG=MC-CG=(14-x)m, A:4 GF=30-(14-x)-8=(8+x)m, HP .花圃面积为(x+8)(14-x)+12×14-4第4题解图 ×4=-x2+6x+264=269. 即x2-6x+5=0,解得x=1或x=5(舍去)， .EF=14-1=13(m); 任务3：11,273.【解法提示】设花圃面积为y,由(2)得y -x2+6x+264,即y=-(x-3)2+273,-1<0,.当x=3时， y有最大值为273，此时EF=14-3=11(m),当EF的长 是11m时，围成的花圃面积最大，最大面积是273m2. 5解：(1)此抛物线对应的函数表达式为)=石+8(-6≤ x≤6)： (2)(i)点P,的横坐标为m(0<m≤6)，且四边形 P,PPP为矩形，点P,P在抛物线AED上， 点P的坐标为(m,石m+8) PA=DA=MN=石m+8,B=2m 1 1 六1=3(-6m+8)+2m=-2m+2m+24=-2（m-2) +26, 1 :2<0当m=2时，1有最大值为26. 参考答案与重难题角 一战成名新中考 1 “棚栏总长1与m之间的函数表达式为1=2m+2m+ 24,1的最大值为26： (ii)方案：设P,P1=n,则P,P3=18-3n, .矩形P,P,P,P,的面积为(18-3n)n=-3n2+18n= -3(n-3)2+27. ·-3<0,.当n=3时，矩形面积有最大值为27. 此时BB=3,B=9,令石+8=3，解得=50， .此时P,的横坐标的取值范围为9-√30≤x≤√30： 方案二：设P,P,=n,则P,P=182n=9-n, 2 矩形AP,BL的面积为(9-ma=n+9h=-(a号) -1<0当a=2时，矩形面积有最大值为 9 此时PP=PP7,令 名+8号解得v工。 此时八，的模坠标的取值范围为-厅+号≤≤√。 (两种方案写一种即可) 6.解：(1)由题意得抛物线顶点N的坐标为(80,60). 设抛物线的函数表达式为y=a(x-80)2+60(a≠0)， 六a(0-80)2+60=0,解得a=320 3 3 该抛物线的函数表达式为y=320x-80)+60: (2)抛物线的形状不变，点P(0,75), .新的抛物线可以看作由(1)的抛物线向上平移75个单 位长度得到， .新的抛物线的函数表达式为y= 320x-80)2+60+75= 3 320-80)2+135, 3 当y=0时，320x-80)°+135=0， 解得x1=200,x2=-40(舍去)， .起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长为200cm; (3)设该平台的高度为kcm,由题意，设新的函数表达式 3 为y=320x-80)+60+6, :AB=57cm,BC=40cm,CD=48cm,仿青蛙机器人从距 离AB左侧80cm处的地面起跳， ∴.抛物线经过点(80+40,48+3)，即(120,51)， .把(120,51)代入y=320（x-80)2+60+k, 3 得51=320×(120-80)+60+k,解得k=6,故该平台的高 度为6cm. 7.解：任务一：①B; ②设y1=ax,将x1=10,y1=7.5代入得7.5=10a, 解得a=0.75. .y1=0.75x, 设y2=bx2,将x,=10,y2=8代人得8=100b, 解得b=0.08,∴.y2=0.08x2; 析·安徵数学 37 任务二：超速，60km/h=50 m/s, 50 50. 当x=3时，=008×()-22(m)<34m 3 .超速 8.解：(1)设u=x+c,将点(0,10)，(2,9)代人， 得/2k+c=9, k=2 1 (c=10. c=10, .v= 2t+10 设y=ax2+bx,将点(2,19)，(4,36)代入， 得a+26=19:解得 1 16a+4b=36, 4, b=10. y=4x+10e; (2)当u=0时，即- 2x+10=0,解得x=20, 将x=20代入y=子+10，得y=- -×202+10×2 =100. .当小球在水平木板上停下来时，此时小球的滑行距 为100cm. (3)当：=4时，子+10=4 解得x=12 将=12代入y=子+10。 解得y=84, .84-4×12=84-48=36(cm), .n>36. 专题五综合与实践 1.解：(1)如解图①，过点O1作O,M⊥AB于点M, 由题意得0，A=0,B=22-2=20(cm),AB=32cm, .O,M⊥AB, 六AM=BM= 2B=16cm,∠AM0,=90, .0,M=√0,4-Af=√202-16=12(cm）, 答：凹槽圆心0，到AB的距离为12cm. 0,0- 0 第1题解图① (2)如解图②，过点0，作0，N⊥CE于点N, D 第1题解图② 由题意得0，C=0,E,∠C0,E=90°， .△C0,E是等腰直角三角形，∠0，CE=45°， .O,N⊥CE,长方体竹棒的宽为3cm, .∠01WC=90°，0，N=3cm, 38 参考答案与 ∴.△O,NC是等腰直角三角形，CN=O,N=3cm,O,C= √20，N=3√2cm. ·四边形0，C0,D是平行四边形，长方体竹棒的宽度 相等， .口O,C0,D每条边上的高相等 口0，C02D每条边相等， .□01C02D是菱形，∴.02C=01C=32cm. 由中点性质可知长方体竹棒的长为2×(0，C+CW+2)=2× (32+3+2)=(6V2+10)cm. 答：需要准备长方体竹棒的长为(62+10)厘米 2.解：任务一：设圆柱底面圆半径为r,根据题意可得2r+2π7 =16.56,即2r+6.28r=16.56. 解得r=2, V雕=Tr2×2r≈3.14x2×2×2=50.24(cm3): 任务二：方案A:根据题意可得r=24÷(2π)≈24÷6=4 (cm), 故圆柱形容器的高=18-2×4=10(cm), Vm鞋=10xT×42≈10×3×16=480(cm3),如解图①： 24 cm 24 cm 8cm 18cm 18 cm 10cm 6cm 18 cm 图① 图② 第2题解图 方案B:以18cm作为无盖圆柱形容器底面圆的周长， 则r=18÷(2π)≈18÷6=3(cm), 故圆柱形容器的高=24-2×3=18(cm),如解图②， V周柱=18×T×3≈18×3×9=486(cm3), .486>480. :.以18cm作为无盖圆柱形容器底面圆的周长时体积 最大. 任务三：如解图③，方案A剩余部分最大长方形铁片的长 和宽分别为24-8=16(cm),8cm, 16=2×8,该半圆的半径为8cm, 该半圆的面积=分×8了x3xg=96(m）。 利用率=96+3×42+10×24 100%≈88.9%. 24×18 24 cm 24 cm 6cm 8cm 18cm 18 cm16cm8cm10cm 12 cm 6cm 18cm 图③ 图④ 第2题解图 如解图④，方案B剩余部分最大长方形铁片的长和宽分 别为18-6=12(cm),6cm, :12=2×6,该半圆的半径为6cm, 该半圆的面积=x6了×3x6-54(m). 利用率=54+3x3+18×18 100%≈93.8%， 18×24 93.8%>88.9%,故方案B利用率更高 3.解：(1)18x,0=-x+42x+100: (2)w=-x2+42x+100=-(x-21)2+541, .当x=21时，0=541； 答：排队人数在第21分钟达到最大值，最大人数为 难题解析·安徽数学一战成名新中考 专题四 二次函数综合题（第23题） 类型①二次函数图象与性质的应用 >考法1单抛物线型(2021.22,2016.22) 1.[2021安徽22题改编]在平面直角坐标系xOy中，点M(x1,y1),N(x2,y2)是抛物线y=ax2-2ax+c(a> 0)上任意两点. (1)直接写出抛物线的对称轴； (2)若x,=a+1,x2=a+2,比较y1与y2的大小，并说明理由； (3)若对于m<x<m+1,m+1<x2<m+2,总有y1<y2,求m的取值范围。 思路分析： (1)根据对称轴公式求出即可； (2)根据条件点M、N都在对称轴右侧，利用函数增减性进行解答； (3)根据二次函数图象上，点的坐标特征分析MW中点与对称轴的位置关系得到不等式，解不等式即可得到m 的取值范围 2.[2025合肥四十五中二模]如图，点A(-1,0),B(3,0),C(2,m)在抛物线y=x2+bx+c上. (1)求抛物线的解析式； (2)点P是线段AC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E,求线段PE长度最大时，点P 的坐标 (3)点F是抛物线上的一个动点，在x轴上是否存在点D,使得以点A,C,D,F为顶点的四边形是平行 四边形？如果存在，请写出所有满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说明理由。 思路分析： (1)利用交点式即可求解： (2)求出点C坐标，进而可知直线AC的解析式，设出点P坐标，即可知点E坐标，两，点间的距离即可求出线段 PE,据此解答； (3)设F(L,-21-3),D(n,0),当以点A,C,D,F为顶点的四边形是平行四边形时，分为以下三类情况：①当 AC、DF为对角线时；②当AD、CF为对角线时；③当AF、CD为对角线时，根据对角线的性质分别列方程求解 即可 第2题图 专项分类提升练·安徽数学 51 3.[2023安徽23题改编]如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-x+c(a≠0)与y轴交于点A(0, -4),与x轴交于点B(4,0),连接AB. (1)求抛物线的解析式； (2)P是AB下方抛物线上的一动点（不与点A,B重合），过点P分别作x轴的平行线交AB于点C,作 y轴的平行线，交x轴于点D,交AB于点E. (i)求PC+PD的最大值； (i)如图②，连接PA,PB,是否存在点P,使得线段PC把△PAB的面积分成3：5两部分？若存在， 请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 思路分析： (1)运用待定系数法即可求解； (2)(i)求出直线AB的解析式，设P(L,2-4),可知，点C,D的坐标，进而可得PC+PD关于1的函数关系式； (i)延长PC交y轴于点F,分两种情况：当SAPAC:SaPc=35时；当SAmC:Sagc=5:3时，分别得出AF,建立 方程即可求解。 图① 图② 第3题图 52 专项分类提升练·安徽数学 一战成名新中考 >考法2单抛物线+直线型(2023.23,2020.22,2019.22) 4.设抛物线y=ax2+6x-4(a≠0)与直线y=x(k≠0)交于点A(1,1) (1)求a,k的值及抛物线的对称轴； (2)设M(x1,m),N(x2,m)是抛物线上两点，且x,<2,Q(x3,m)在直线y=x上. (i)当x2x=2时，求x的值； (ii)当x3-x<x2x3时，求m的取值范围。 思路分析： (1)把A(1,1)分别代入y=x和y=ax2+6r-4,即可求出a,k,从而求得抛物线的对称轴； (2)()点M和V关于对称轴对称，且x2-x1=2,从而可知，点M,N到对称轴的距离，可得：1，x2,将x1代入抛物 线解析式求出m,即可求解； (i)根据对称性可知：1+x2等于2倍的对称轴，再结合3-：<x2-x,进而可以判断的取值范围. 5.[2025宣城二模]如图，在平面直角坐标系中，直线y=x(k≠0)与抛物线y=ax2+c(a≠0)交于A(-4, 3),B两点，点B的横坐标为1. (1)求直线AB和抛物线的解析式； (2)点M是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A,B重合），过点M作x轴的平行线，与直线AB 交于点N,连接MO.设点M的横坐标为m (i)当点M在x轴上方，m为何值时，△MON是等腰三角形； (ii)当点M在x轴下方，m为何值时，△MON的周长最大，最大值是多少？ 思路分析： (1)利用待定系数法求解析式即可： (2)(i)当△M0N是等腰三角形时，判断出只有MW=ON,设出点M的坐标，用MW=OW建立方程组求解即可； (i)先表示出MN,ON,OM,然后建立△M0N的周长关于m的函数关系式，确定出最大值即可. 第5题图 专项分类提升练·安徽数学 53 6.[2025黄山一模]已知抛物线y=a2x2-2a2x-3a2(a≠0)与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧），与 y轴交于点C,直线y=ax+b经过点A. (1)求A,B两点的坐标； (2)若直线y=ax+b与抛物线y=a2x2-2a2x-3a2的对称轴交于点E. (i)若点E为抛物线的顶点，求a的值； (ii)若点E在第四象限并且在抛物线的上方，记△ACE的面积为S,记△ABE的面积为S2,S=S2 S,求S与a的函数表达式，并求出S的最大值 思路分析： (1)在y=a2x2-2a2x-3a2(a≠0)中，令y=0可求得A,B的坐标； (2)(i)由直线y=ax+b经过点A(-1,0)得b=a,故y=ar+a,求出抛物线y=a2x2-2a2x-3a2的顶点E的坐标，代 入y=ar+a,即可求解； (i)设直线y=ax+a交y轴于点G,抛物线的对称轴交x轴于点H,求出E,G,C的坐标，可知HE,CC的坐 标，=B·HB,S=0C1,根据S=S,-S即可求解 54 专项分类提升练·安徽数学 一战成名新中考 >考法3双抛物线型(2025.23,2024.23) 7.[2025合肥三模]已知抛物线C,:y=x2+px与抛物线C2:y=(x-6)2-4相交于点A(4,0). (1)求出p的值； (2)设点M(a,b)(b<0)在抛物线C,上，点N(a+m,b+n)在抛物线C,上 (i)当a=m时，求n的取值范围； (i)当M,A,N三点共线时，求m的值 思路分析： (1)将点A的坐标代入函数表达式，即可求解； (2)(i)由b<0,可得a的取值范围，a=m,点N(2a,b+n),可知b=a2-4a,将，点N代入C2整理可得关于a,n的表 达式，结合a的取值范围即可求解； (i)由，点M,A的坐标求出直线MA的表达式，联立抛物线C,的表达式可得关于x的方程，结合点N的横坐 标即可求解 8.[2024安徽23题改编]已知二次函数y1=x2-bx+c,y2=x2-2x+c(b,c为常数)的图象分别记为C1,C2, C,的对称轴在C2的对称轴的右侧，且C,的顶点纵坐标比C2的顶点纵坐标小3. (1)当y<y2,且y,随x的增大而减小时，写出此时自变量x的取值范围； (2)若点A(m,P)在C:上，点B(n,9)在C2上 (i)当n=2m+3时，求p-q的最大值； (i)当n=m+t时，无论m取任何实数，始终都有p-q=3t成立，求t的值. 思路分析： (1)C2的顶点纵坐标-C1的顶点纵坐标=3，求出b的值，通过比较y1和y2的大小关系，再结合y1随x的增大 而减小即可求解； (2)(i)将点A代入C1,点B代入C2,计算p-q,结合n=2m+3即可求解； (i)把n=m+l代入p-q,结合p-9=3即可求解. 专项分类提升练·安徽数学 55 9.[2025合肥四十二中-模]已知抛物线C1:y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点 C,顶点为M. (1)求点M的坐标； (2)把抛物线C,向右平移h(>0)个单位长度，再向下平移k(k>0)个单位长度得到抛物线C,抛物线 C2经过点B,并与x轴交于另一点D,且顶点为E. (i)若直线CE恰好经过点B,求h的值； (i)若直线BC向下平移m(m>0)个单位长度得到的直线经过点E,求m的最大值，并写出此时h 的值 思路分析： (1)通过A(-1,0),B(3,0)求出抛物线的表达式，再将其配方即可求解； (2)()求出点C坐标，新抛物线的表达式为y=-(x-1-h)2+4+h2-4h,求出点E坐标，由点C、E的坐标可知直 线CE的表达式，将点B的坐标代入即可求解； (ⅱ)由点B、C可知直线BC的表达式，进而可知平移后直线的表达式，将点E的坐标代入即可求解 56 专项分类提升练·安徽数学 一战成名新中考 类型2》二次函数实际应用 >考法1利润（费用）最值问题(2018.22,2017.22,2015.22) 1[2025达州]为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品.已知某 款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1 元，每天可以多售出10件. (1)设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是 件； (2)为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元： (3)文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为心元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大 利润是多少？ 2.[2025南充]学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动， 请阅读下列材料，并完成相关问题， 租车公司有A,B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B 材料一 型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同. A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆. 材料二 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用(3200-50m)元/辆； 租用B型客车，租车费用打八折 租车公司最多提供8辆A型客车； 材料三 学校参加研学活动师生共有530人，租用A,B两种型号客车共10辆. (1)A,B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ (2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少？ 专项分类提升练·安徽数学 57 >考法2几何图形面积问题(2015.22) 3.一成成名原创某建筑公司，租用一块空地，用某种建筑材料围成一个矩形货物仓库ABCD,货物仓库用 同样的材料隔成四个矩形区域，并留有四个5m宽的防盗门，如图所示，已知共使用了610m该种建筑 材料，若AB的长为xm,AD的长为ym(不考虑建筑材料的厚度) (1)求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围； (2)建筑公司通过调查得到如下数据：货物仓库每平方米场地硬化费用为50元，建筑材料每米10元， 4个防盗门共计3900元，求货物仓库ABCD基本造价W与x的函数关系式，并求出基本造价最大 时x的值； (3)公司计划投入50万元，使建造货物仓库ABCD的场地面积不小于10000m2,通过计算说明该公司 的计划是否合理？若合理，求出x的长；若不合理，请说明理由. 第3题图 58 专项分类提升练·安徽数学 一战成名新中考 4.项目式学可根据素材回答问题 如图①，空地上有两条互相垂直的小路OP,OQ,中间有一正方形水池ABCD,已知水池的 素材1 边长为4m,AB/∥OQ,AD/∥0P,且AB与OQ的距离为10m,AD与OP的距离为8m. 现利用两条小路，再购置30长的栅栏在空地上围出一个花圃，要求围起来的栅栏（图中 素材2 用实线表示)与小路相互平行（或垂直），小路和水池部分都不需要栅栏，接口损耗忽略 不计. 小明同学按如图②的设计方案，若EF=16m,则花圃的面积为 m2.(不包含水池的 任务1 面积) 若按如图③的设计方案，C,D,H三点共线，点G在BC上，当花圃的面积（不包含水池的面 任务2 积)为269m2时，求EF的长 学习小组在探究的过程中还发现按如图③的设计方案，当EF的长是 m时，围成的 任务3 花圃（不包含水池）的面积最大，最大面积是 m2. 单位：m 单位：m 0 单位：m E 10.4 B C 4D 104 A4D 44D 8 8 G 0 HP 图① 图② 图③ 第4题图 专项分类提升练·安徽数学 59 >考法3抛物线型问题(2022.23) 5.[2022安徽23题14分]如图①，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC 为12米，另一边AB为2米.以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐 标系xOy,规定一个单位长度代表1米.E(0,8)是抛物线的顶点. (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)在隧道截面内（含边界）修建“”型或“日”型栅栏，如图②、图③中粗线段所示，点P,P4在x 轴上，MN与矩形P,P2PP4的一边平行且相等.栅栏总长1为图中粗线段P,P2,P,P3,P3P4,MN长 度之和，请解决以下问题： (i)修建一个“☐”型栅栏，如图②，点P2,P,在抛物线AED上设点P,的横坐标为m(0<m≤ 6),求栅栏总长1与m之间的函数表达式和1的最大值； ()现修建一个总长为18米的栅栏，有如图③所示的“”型和“尸”型两种设计方案，请你从中 选择一种，求出该方案下矩形P,P,P,P:面积的最大值，及取最大值时点P,的横坐标的取值范 围(P,在P右侧). P A )D BP PCx BPOM PC x 图① 图② 图③（方案一） 图③（方案二） 第5题图 60 专项分类提升练·安徽数学