专题2.2 最值模型之将军饮马 专项讲练-2022-2023学年八年级数学上册重难题型全归纳及技巧提升专项精练（浙教版）

专题2.2 最值模型之将军饮马 专项讲练 三角形中的最值（将军饮马模型）问题在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，中考说明中曾多处涉及。在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。 注意：本专题部分题目涉及勾股定理，希望大家学习完第3章后再完成该专题训练。 【解题技巧】 将军 饮马 模型 图形 原理 两点之间线段最短 两点之间线段最短 三角形三边关系 特征 A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求AP+BP的最小值 A，B为定点，l为定直线，MN为直线l上的一条动线段，求AM+BN的最小值 A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值 转化 作其中一个定点关于定直线l的对称点 先平移AM或BN使M，N重合，然后作其中一个定点关于定直线l的对称点 作其中一个定点关于定直线l的对称点 题型1: 求两条线段和最小值 例1．（2022·湖北江夏初二月考）在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴上，点A的坐标为（4，0），∠AOB=30°，点E的坐标为（1，0），点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PE的最小值为_____． 【答案】 【分析】作A关于OB的对称点D，连接ED交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，则此时PA+PC的值最小，求出AM和AD，再求出DN、EN，根据勾股定理求出ED，即可得出答案． 【解析】作A关于OB的对称点D，连接ED交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N， 则此时PA+PC的值最小，∵DP=PA，∴PA+PE=PD+PE=ED， ∵点A的坐标为（4，0），∠AOB=30°，∴OA=4，∴AM=OA=2，∴AD=2×2=4， ∵∠AMB=90°，∠B=60°，∴∠BAM=30°， ∵∠DNO=∠OAB=90°，∴DN∥AB，∴∠NDA=∠BAM=30°， ∴AN=AD=2，由勾股定理得：DN===2， ∵E（1，0），∴EN=4﹣1﹣2=1，在Rt△DNE中，由勾股定理得：DE===， 即PA+PC的最小值是．故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，坐标与图形性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的应用，熟练掌握最短路径的确定方法找出点P的位置以及表示PA+PE的最小值的线段是解题的关键． 变式1．（2022·甘肃西峰·八年级期末）如图，在等边△ABC中，E为AC边的中点，AD垂直平分BC，P是AD上的动点．若AD=6，则EP+CP的最小值为_______________． 【答案】6 【分析】要求EP+CP的最小值，需考虑通过作辅助线转化EP，CP的值，从而找出其最小值求解． 【详解】解：作点E关于AD的对称点F，连接CF， ∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中垂线， ∴点E关于AD的对应点为点F，∴CF就是EP+CP的最小值． ∵△ABC是等边三角形，E是AC边的中点，∴F是AB的中点， ∴CF=AD=6，即EP+CP的最小值为6，故答案为6． 【点睛】本题考查等边三角形的性质和轴对称等知识，熟练掌握等边三角形和轴对称的性质是本题的关键． 变式2．（2022·广东新丰·八年级期末）如图所示，在中，，直线EF是AB的垂直平分线，D是BC的中点，M是EF上一个动点，的面积为12，，则周长的最小值是______． 【答案】8 【分析】连接AD，AM，由EF是线段AB的垂直平分线，得到AM=BM，则△BDM的周长=BD+BM+DM=AM+DM+BD，要想△BDM的周长最小，即要使AM+DM的值最小，故当A、M、D三点共线时，AM+DM最小，即为AD，由此再根据三线合一定理求解即可． 【详解】解：如图所示，连接AD，AM，∵EF是线段AB的垂直平分线，∴AM=BM， ∴△BDM的周长=BD+BM+DM=AM+DM+BD，∴要想△BDM的周长最小，即要使AM+DM的值最小， ∴当A、M、D三点共线时，AM+DM最小，即为AD， ∵AB=AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，，∴， ∴AD=6，∴△BDM的周长最小值=AD+BD=8，故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三线合一定理，解题的关键在于能够根据题意得到当A、M、D三点共线时，AM+DM最小，即为AD． 变式3．（2021·湖北洪山·八年级期中）如图，将△ABC沿AD折叠使得顶点C恰好落在AB边上的