04-专题四 代数推理-【一战成名新中考】2026安徽中考数学·二轮复习·专项分类提升练

.∠ODB=∠C,∴.OD∥AC ·AC为⊙O的切线， ∴.0E⊥AC,∴.OD⊥OE: (2)解：AB=AC,AB=BC ∴.△ABC为等边三角形，∴.∠A=60°， 在Rt△AE0中，OE=OD=OB=√/3， 则0A=2,AE=1, .AB=2+√5」 ·.EC=AC-AE=2+√3-1=1+√3， 3 Sm0cs=2×(,5+w3+1)×W5=3+ 2.(1)证明：.DF⊥AB,GF是⊙O的切线，即DF⊥GF ∴.AB∥GF,∴.∠BAC=∠G=45°. .∴.∠FDG=90°-45°=45° .△DFG是等腰直角三角形，.FD=FG; 1AB=6, (2)解：DFLAB,.AE=BE= .∠BAC=45°， .∠ADE=90°-45°=45°， .△ADE是等腰直角三角形」 .EA=ED=6.由(1)得FD=FG=10, ∴.EF=DF-DE=10-6=4, 如解图，连接OA, 设OE=x,则OF=OE+EF=x+4 =0A, 在Rt△AOE中，OA2=AE+0E2, 六（x+4)2=6+,解得，x=2 5 第2题解图 13 ..0A=x+4= 2 ©0的半径为号 3.(1)证明：.AD⊥OB .∠ADB=90°， .·AC是∠BAD的平分线，∴.∠DAC=∠BAC .OA=0C,.∠0AC=∠0CA. ·.·∠OAC=∠OAD+∠DAC=∠OAD+∠BAC,∠OCA=∠B +∠BAC, ∴.∠OAD=∠B. ∴.∠OAB=∠OAD+∠BAD=∠B+∠BAD=90°， .·OA是⊙0的半径 .AB为⊙O的切线： (2)解：∠0AB=90°，∠AOB=45°， .∠B=∠A0B=45°，AB=0A, .⊙0的半径为2， ∴.AB=0A=OC=2,∴.0B=22 ∴.CB=0B-0C=22-2 ∴.CB的长是2W2-2 4.(1)证明：如解图，连接OC, ,CE为⊙0的切线， ∴.OC⊥CE, ·AB为⊙O的直径 .∠ACB=90°， .∴.∠ACO=∠ECB, 又.'AO=C0,CA=CD 第4题解图 .∠OAC=∠OCA=∠BCE. ∠CAD=∠CDA, 28 参考答案与重对 ∠DAB=∠DCB」 ∠DCE=∠DAC=∠ADC, ...AD//CE: (2)解：.CE∥AD ∴.∠E=∠DAB=∠DCB. 又.∠ECB=∠ACO=∠CAO=∠CDB ∴.△CDB∽△ECB. CD BD CB CECB BE' BE=2,BD=4, c=2a(负销已合)会2 设CE=m.OC=r,则CD=√2m=CA. 在Rt△ACB和Rt△COE中. AC+CB2=AB.OC+CE=OE 即(2m)2+(22)2=(2)2, r2+m2=(r+2)2,解得r=√5+1（负值已舍）， .∴.AB=2W5+2. 专题四代数推理 例1D例2C例3D例4①③④1.C2.D 3.B4.A 例5(1)2；(2)11【解析】(1)15÷3=50，.15进 行一次变换为5：.5÷3=1…2，.15进行二次变换后 得到的数为5+1=6：6÷3=20,15进行三次变换 后得到的数为2： [3m2=3(符合题意) (2）m2=1→m1 →n= m,-1=0(舍) 〔3m,=9(符合题意) 份) →9+2=11. m,-1=2(符合题意) 5.11,60,616.(1)28:(2)(10110)2 7.解：(1)(i)4.5. (ii)n2+n2(n+1)2+(n+1)2=[n(n+1)+1]2. (2)a-b+1. 小明猜想a2+a2b+b=(ab+b-a)2, .当-2ab(a-b+1)=0时，他的猜想成立 又.·a,b为正整数，.a,b满足的数量关系为a-b+1=0. 8.解：(1)84×24=99×(42+82-10×8)：(2)10-n: (3)10(10-n)+m: 【归纳与证明】 规律：(10m+n)(10m+10-n)-(10n+m)[10(10-n)+m]= 99(m2+n2-10n). 证明：左边=100m2+100m-10mn+10mn+10n-n2-(1000n 100n2+100m+m2) =100m2+100m+10n-n2-1000n+100n2-100m-m2 =99m2+99n2-990n=99(m2+n2-10n)=右边： .原等式成立 9.解：(1)14：(2)n(n+1): (3)第n个“中国结”图案中红梅花的盆数比黄梅花的 盆数的3倍多2盆， ∴.n(n+1)=3(2n+4)+2,解得n=-2或7. n为正整数，.n=7. 10.解：(1)6：(2)12： (3)在镶嵌过程中，购买地砖的最少费用是1050元. 题解析·安微数学一战成名新中考 专题四代数推理（每年必考1道解答题） 类型①等式与不等式中的推理(2025.9,2024.8,2021.7,2019.9) 41 例1[2021安徽7题4分]设a,6,c为互不相等的实数，且6=5a+5c,则下列结论正确的是（ 可以是负数，0，正数 观察选项可知需要将本式中所有 的分数化为整数 A.a>b>c B.c>b>a C.a-b=4(b-c) D.a-c=5(a-b) 通过赋特殊值法 通过去括号、移项、合并同类项 看能否直接排除 判断（或特殊值法） 例2[2024安徽8题4分]已知实数a,b满足a-b+1=0,0<a+b+1<1,则下列判断正确的是 ( b=a+1,a=b-14 代入左边的结论，求a,b取值范围 A.0 B.2<<1 C.-2<2a+46<1 D.-1<4a+2b<Q 计算2a,4b的取值范围，求和 计算4a,2b的取值范围，求和 例3已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最大值为a+b+c,若a-b+c=1,则下列结论错误的是( 对称轴为直线x=1,开口向下 当x=-1时，y=a-b+c=1 A.a<0,b>0 B.b2-4ac>0 C.b2-4ac>-4a D.6-4ac<16 图象开口向下，判断 二次函数顶点的纵 二次函数与x轴的交点 坐标大于1，化简 利用根与系数关系， 再根据抛物线与x轴 两交点的距离判断 例4[2015安徽15题5分]已知实数a、b、c满足a+b=ab=c,有下列结论： a+b=ab,a+b=c,ab=c ①若c≠0，则片+7-1：2若3，则h+6=9:③若4，则bc-0: 两边同乘ab 6=3=9 →代入a+b=e,可得b=0 计算b+c ④若a、b、c中只有两个数相等，则a+b+c=8. a=b或b=c或a=c,分类讨论判断a+b+c 其中正确的是 (把所有正确结论的序号都填上)· @针对训练 1.[2021安徽第7题改编]设a,b,c为互不相等的实数，且2a+3b=5c,则下列结论一定正确的是( A.a>b>c B.a:bc=9:4:6 D.atb-c= (2a+36) 2.[2025淮北五校联考]已知实数m,n满足2m-n=1,-2<3m+2n<5,则下列判断中正确的是( A.-1<m<4 B.-1<n<0 C.-5<2m-7n<9 D.-3<m+3n<4 3.多解法[2025铜陵三模]已知一次函数y=ax+c的图象与正比例函数y=bx的图象的交点在第四象 限，且横坐标是1，则下列判断正确的是 A.ac>0且b2-4ac<0 B.b<0且b2-4ac≥0 C.ac<0且b2-4ac≥0 D.b<0且b2-4ac的符号不能确定 专项分类提升练·安微数学 31 4.[2025合肥四十五中三模]已知三个实数a,b,c满足a-b+c=0,ac-b+1=0,则下列结论一定正确的是 ( A.若a=1,则b2-4c≥0 B.若b+c=0,则c<-1 C.若c=1,则b2-4a<0 D.若a+b=0,则c>2b 类型2数字推理(2025.14) 例5[2025安徽14题5分]对于正整数n,根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数 m;若余数为0，则m=行；若余数为1，则m=2m;若余数为2，则m=+1.这种得到m的过程称为对n 进行一次“变换”.对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推.例如，正整数n= 4,根据4除以3的余数为1，由4×2=8知，对4进行一次变换得到的数为8，根据8除以3的余数为 2,由8+1=9知，对4进行二次变换得到的数为9：根据9除以3的余数为0，由9÷3=3知，对4进行 三次变换得到的数为3. (1)对正整数15进行三次变换，得到的数为 (2)若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之和为 文思路剖析… [3m2=3(符合题意) 「3m,=9(符合题意) (2)m2=1→m1= 22(舍) m21 →n= m2-1=0(舍) m1-1=2(符合题意) @针对训练 5.[2025扬州]清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”.法 则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献.由此法则写出 了下列几组勾股数：①3,4,5；②5,12,13；③7,24,25；④9,40,41；…，根据上述规律，写出第⑤组勾股数 为 6.[新人教七上P63活动1改编]二维码在生活中应用广泛，使用若干个与二进制相对应的几何图形来 表示数值（黑色代表1，白色代表0）.如图是小明同学的准考证号二维码的简易编码，其中第一行代表 二进制数为(11000)2，转换成十进制数：(11000)2=1×2+1×2+0×2+0×2+0×2°=24；把一个十进制 数转换为二进制数，一般按照“除以2取余数”的方法，一直除到商为0余数为1止；再将余数从下向 上倒序写，就是结果.例如将十进制数13转换为二进制数：13÷2=6余1；6÷2=3余0；3÷2=1余1；1÷ 2=0余1；∴.13=(1101)2 (1)请写出第四行代表的十进制数： (2)小明同学的准考证号二维码的第五行少涂黑了一个正方形，已知其代表的十进制数是22，则第五 行的二进制数为 第6题图 32 专项分类提升练·安徽数学 一战成名新中考 类型3数式规律探索(2024.18,2022.18,2020.17,2019.18,2018.18) 7.[2025淮北一模]在数学活动课中，某兴趣小组研究一种完全平方式，写出了下列几组等式： 第1个等式：12+12×22+22=(1×2+1)2； 第2个等式：22+22×32+32=(2×3+1)2； 第3个等式：32+32×42+42=(3×4+1)2； … (1)根据上述等式规律， (i)第4个等式为：42+4×52+52=(×+1)2； (i)第n个等式为： (2)小组成员小明和小华进一步探索上述规律： 小明同学猜想a2+a2b2+b2=(ab+b-a)2,其中a,b为正整数.小华同学提出反对意见，并通过如 下计算进行了证明： (ab+b-a）2=a2+a26+b2-2ab(①）， a2+a2b+b2不一定等于(ab+b-a)2. 请你补全①中所缺内容，并写出当小明同学猜想成立时，α，b需要满足的数量关系. 专项分类提升练·安微数学 33 8.[2025阜阳三模]项目式学可某数学社团有如下项目研究，请解答相应问题 【项目主题】两位数之间的运算与数位上数字的关系. 【项目研究的内容】某些特殊的两个两位数的积与交换这两个两位数数字得到的新两位数积的差. 【项目研究的过程】 (1)特例观察： 51×59-15×95=99×(52+12-10×1); 72×78-27×87=99×(72+22-10×2); 24×26-42×62=99×(2+4-10×4); 37×33-73×33=99×(3+7-10×7); 48×42 (2)等式左边的算式可表示为ab-cd的形式，观察这些式子可以发现： ①数a,b十位上的数字相同，不妨设为m(1≤m≤9且m为正整数)； ②若设数a个位上的数字为n(1≤n≤9且n为正整数)，则b个位上的数为 ③将数a的十位上的数与个位上的数字对调得到数c,将数b的十位上的数与个位上的数字对调 得到数d;… (3)在(2)的前提下，数a可以表示为10m+n,数b可以表示为10m+10-n,数c可以表示为10n+m,数 d可以表示为 【归纳与证明】请你根据“项目研究的过程”的内容，用含m,的等式归纳“这种特殊的两个两位数的 积与交换这两个两位数数字得到的新两位数积的差”的规律，并证明. 34 专项分类提升练·安徽数学 一战成名新中考 类型4图形规律探索(2025.21,2023.18,2021.18,2017.19,2016.18) 9.[2025合肥四十五中一模]【观察思考】 如图，春节期间在某广场上摆放多盆红梅花（黑色圆点）和黄梅花（白色圆点），组成“中国结”系列 图案 第1个图案 第2个图案 第3个图案 第4个图案 第9题图 【发现规律】 根据上述图案的摆放规律填空： (1)第5个图案中黄梅花的盆数为 (2)第1个图案中红梅花的盆数可表示为1×2； 第2个图案中红梅花的盆数可表示为2×3； 第3个图案中红梅花的盆数可表示为3×4； 第4个图案中红梅花的盆数可表示为4×5； 第n个图案中红梅花的盆数可表示为 【解决问题】 (3)若按照上述规律摆放的第个“中国结”图案中红梅花的盆数比黄梅花的盆数的3倍多2盆，求n 的值. 专项分类提升练·安微数学 35 10.[2025安徽第21题改编]【问题背景】 生活中，我们所见到的地面、墙面、服装面料等，常常是由一种或几种形状相同的图形拼接而成的.用 形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是 平面图形的镶嵌， 【探究发现】 (1)单独用正三角形、正方形、正六边形等都能进行平面镶嵌.若只用正三角形地砖在一个拼接点处 实现平面镶嵌，则需要块； 【实际应用】 (2)某业主有个房间长4.5m,宽3m,如果业主选用一种长为150cm,宽为75cm的矩形地砖进行镶 嵌（缝隙忽略不计），在不允许切割，不计损坏的情况下，若矩形地砖是横铺，则450÷150=3（块）， 300÷75=4(块)，.需要3×4=12（块）矩形地砖；若矩形地砖是竖铺，则需要 块矩形地砖； 【思考拓展】 (3)该业主有个长为6.2m,宽为5.4m的大厅，业主个人认为，为了使装修的图案效果更为美观，选 择了图①的两种边长均为60cm的正三角形地砖和正六边形地砖进行镶嵌，在镶嵌过程中缝隙 忽略不计.若在不计损耗和损坏的情况下，两种地砖都使用，且按照如图②所示进行镶嵌，最后在 四周用其他材料进行封边（每条封边的宽度小于30cm).若正三角形地砖每块5元，正六边形地 砖每块32元，在镶嵌过程中，购买地砖的最少费用是多少元？（参考数据：3≈1.73） X… : 5.4m 40 6.2 ① 图② 第10题图 36 专项分类提升练·安徽数学