专题07 图形的密铺（期中专项训练）数学青岛版四年级下册

专题07 图形的密铺 （1种类型20道） 目录 题型一、图形的密铺 1 题型一、图形的密铺 1．下面图形不能单独密铺的是（    ）。 A．三角形 B．圆 C．正方形 2．公园里要用同一种形状的地砖铺一条小路。下面（    ）能单独密铺。 A．圆形地砖 B．正五边形地砖 C．长方形地砖 3．下图中的图形，可以单独密铺的有（    ）个。 A．7 B．6 C．5 4．社区观赏鱼池计划用瓷砖密铺装饰鱼池底面和鱼池的4个侧面。设计师提出以下3种方案，其中不符合密铺条件的是（    ）。 A．鱼池底面全用相同的直角三角形瓷砖，鱼池侧面全用相同的等腰梯形瓷砖 B．鱼池底面全用相同的正六边形瓷砖，鱼池侧面全用相同的长方形瓷砖 C．鱼池底面全用相同的正五边形瓷砖，鱼池侧面全用相同的正方形瓷砖 5．密铺被称为“天衣无缝的美”，例如蜜蜂筑造的蜂巢、数学课上的七巧板、位于北京奥林匹克公园内的水立方……密铺把我们的世界装点得丰富多彩。下面图形中，不能单独密铺的是（    ）。 A．正四边形 B．正五边形 C．正六边形 6．红红家要密铺地板砖，建材市场有下列几种图形的地板砖，（    ）不能选。 A．正五边形 B．三角形 C．长方形 7．下列图形中可以用来单独密铺的有（    ）种。 A．6 B．7 C．8 8．下列图形中，能单独密铺的有（    ）个。 A．4 B．5 C．6 9．写出三个能够单独密铺的图形：( )、( )、( )。 10．解决问题。 下面图形中，能单独密铺的有( )。（填序号） 11．图形的密铺。 (1)经过观察，我们发现组成密铺的图形公共顶点处角的度数和为( )°。 (2)能单独进行密铺的图形还有( )( )等。 12．在三角形、平行四边形和圆中，( )和( )能单独密铺，( )不能单独密铺。 13．等边三角形、平行四边形、梯形和正五边形中，_________可以单独密铺，_________不能单独密铺。 14．图形的密铺。 (1)经过观察，我们会发现组成密铺的图形公共顶点处角的度数和为( )度。 (2)能单独进行密铺的图形还有( )( )等，不能单独进行密铺的图形还有( )等。 15．下面哪些图形能单独密铺？在（    ）里画“√”。 16．如图在研究图形的密铺时，以下图形( )不能单独密铺。 17．李想准备在茶杯外圈的底部贴一圈花边（如图①）。他打算用正六边形和正三角形按图②的样式进行密铺。照这样贴一圈，正六边形和正三角形的总个数正好是60，正六边形和正三角形分别用了多少个？ 18．为创建文明校园，美化校园环境，学校用篱笆围了4个边长为3米的正八边形花坛（如下图），围成这个花坛一共需要篱笆多少米？ 19．观察如图图形的拼摆，你都能找到哪些图形可以进行密铺？ 20．研究主题：图形的密铺。 研究内容：在等边三角形、正方形、正五边形、正六边形中，哪些图形能单独密铺？为什么能密铺？ 研究材料：剪刀、尺子、卡纸、彩笔 研究过程：如图，我分别用等边三角形、正方形、正五边形、正六边形进行拼摆： 研究结论： （1）我发现_________、_________、_________能单独密铺，_________不能单独密铺。 （2）请从数学的角度解释你的发现：____________。 学以致用： （3）为什么说蜜蜂是大自然的“数学高手”？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 图形的密铺 （1种类型20道） 目录 题型一、图形的密铺 1 题型一、图形的密铺 1．下面图形不能单独密铺的是（    ）。 A．三角形 B．圆 C．正方形 【答案】B 【分析】图形的密铺是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角；因此判断图形能否单独进行密铺的关键是看这个图形的内角和能否整除360°或被360°整除，依此选择。 【详解】A．三角形的内角和是180°，360°÷180°＝2，所以可以密铺，不符合题意； B．圆是曲线图形，所以不可以密铺，符合题意； C．正方形的内角和是360°，360°÷360°＝1，所以可以密铺，不符合题意。 故答案为：B 2．公园里要用同一种形状的地砖铺一条小路。下面（    ）能单独密铺。 A．圆形地砖 B．正五边形地砖 C．长方形地砖 【答案】C 【分析】用一种或几种全等图形（规则图形或不规则图形）进行拼接，图形之间没有空隙，也不重复，这种铺法在数学上叫图形的密铺。几何图形密铺成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角，因此，一个多边形的内角和能整除360°或被360°整除，这个图形就能密铺，否则，不能密铺，据此解答即可。 【详解】A．圆形不能密铺； B．（5－2）×180° ＝3×180° ＝540° 540°÷360°＝1……180°，不能单独密铺； C．（4－2）×180° ＝2×180° ＝360° 长方形能单独密铺。 故答案为：C 3．下图中的图形，可以单独密铺的有（    ）个。 A．7 B．6 C．5 【答案】C 【分析】平面图形密铺的特点：（1）用一种或几种全等图形进行拼接；（2）拼接处不留空隙、不重叠；（3）连续铺成一片。能密铺的图形在一个拼接点处的特点是：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360°，并使相等的边互相重合，据此解答即可。 【详解】长方形、梯形和平行四边形的内角和都是360°，三角形的内角和是180°，能整除360°，可以密铺。正六边形的每个内角是120°”，能整除360°，可以密铺。五边形的内角和是540°，不能整除360°，不可以密铺。圆形与圆形之间有空隙，不能密铺。图形中可以用来单独密铺的有长方形、梯形、平行四边形、三角形、正六边形共5种。 故答案为：C 4．社区观赏鱼池计划用瓷砖密铺装饰鱼池底面和鱼池的4个侧面。设计师提出以下3种方案，其中不符合密铺条件的是（    ）。 A．鱼池底面全用相同的直角三角形瓷砖，鱼池侧面全用相同的等腰梯形瓷砖 B．鱼池底面全用相同的正六边形瓷砖，鱼池侧面全用相同的长方形瓷砖 C．鱼池底面全用相同的正五边形瓷砖，鱼池侧面全用相同的正方形瓷砖 【答案】C 【分析】根据题意，密铺要求瓷砖能无缝、不重叠地覆盖整个表面。密铺需要图形在拼接点处内角和为360°，正五边形每个内角为108°，无法整除360°，不能单独密铺。以此逐项分析即可。 【详解】A．底面用相同的直角三角形，侧面用相同的等腰梯形： 直角三角形可以密铺底面（任何三角形均可），等腰梯形可以密铺侧面（可排列成行覆盖矩形）。因此符合密铺条件。 B．底面用相同的正六边形，侧面用相同的长方形： 正六边形可以密铺底面，长方形可以密铺侧面。因此符合密铺条件。 C．底面用相同的正五边形，侧面用相同的正方形： 正方形可以密铺侧面，但正五边形不能密铺底面（无法使内角和恰好为360度）。因此整体不符合密铺条件。 故答案为：C 5．密铺被称为“天衣无缝的美”，例如蜜蜂筑造的蜂巢、数学课上的七巧板、位于北京奥林匹克公园内的水立方……密铺把我们的世界装点得丰富多彩。下面图形中，不能单独密铺的是（    ）。 A．正四边形 B．正五边形 C．正六边形 【答案】B 【分析】图形的密铺是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角；因此判断图形能否单独进行密铺的关键是看这个图形的内角和能否整除360°或被360°整除，依此选择。 【详解】A．正四边形的内角和是360°，360°÷360°＝1，因此正四边形可以单独进行密铺。 B．180°×（5 － 2）＝180°×3＝540°，正五边形的每个内角：540°÷5＝ 108°，360°÷108°＝3……36°，因此正五边形不可以单独进行密铺。 C．正六边形的内角和是720°，720°÷360°＝2，因此正六边形可以单独进行密铺。 故答案为：B 6．红红家要密铺地板砖，建材市场有下列几种图形的地板砖，（    ）不能选。 A．正五边形 B．三角形 C．长方形 【答案】A 【分析】根据题意可知，所选的地板砖能够密铺才行，图形的密铺是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角；因此判断图形能否单独进行密铺的关键是看这个图形的内角和能否整除360°或被360°整除，依此选择。 【详解】A．正五边形的内角和是（5－2）×180°＝3×180°＝540°，540°÷360°＝1……180°，因此正五边形不可以单独进行密铺。 B．三角形的内角和为180°，360°÷180°＝2，因此三角形可以单独进行密铺。 C．长方形的内角和为360°，360°÷360°＝1，因此长方形可以单独进行密铺。 故答案为：A 7．下列图形中可以用来单独密铺的有（    ）种。 A．6 B．7 C．8 【答案】A 【分析】密铺是指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，据此选择。 【详解】图中可以用来单独密铺的有：四边形（长方形、正方形、梯形、平行四边形）、三角形、正六边形，共6种。 故答案为：A 8．下列图形中，能单独密铺的有（    ）个。 A．4 B．5 C．6 【答案】B 【分析】密铺，即用形状、大小完全相同的几种或几十种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺；只要图形的内角和能够整除360°即可密铺。 【详解】圆是边是曲线，不能密铺； 四边形的内角和是（4－2）×180°＝360°，360°÷360°＝1，正方形、长方形、平行四边形能密铺； 六边形的内角和是（6－2）×180°＝720°，720°÷360°＝2，六边形能密铺。 三角形的内角和是180°，360°÷180°＝2，三角形能密铺； 五边形的内角和是（5－2）×180°＝540°，540°不能被360°整除，五边形不能密铺。 上列图形中，能单独密铺的有5个。 故答案为：B 9．写出三个能够单独密铺的图形：( )、( )、( )。 【答案】 正方形 长方形 等边三角形 【分析】平面图形密铺的特点：（1）用一种或几种全等图形进行拼接；（2）拼接处不留空隙、不重叠；（3）连续铺成一片。能密铺的图形在一个拼接点处的特点是：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360°，并使相等的边互相重合。据此可知，正五边形不可以密铺，等边三角形、正方形、长方形、正六边形可以单独用于密铺。 【详解】写出三个能够单独密铺的图形：正方形、长方形、等边三角形。（答案不唯一） 10．解决问题。 下面图形中，能单独密铺的有( )。（填序号） 【答案】①②③④⑧ 【分析】几何图形密铺成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角。因此，一个多边形的内角之和能被360°整除或者是360°的整数倍，这样的多边形能密铺。 【详解】①长方形的内角和是（4－2）×180°＝2×180°＝360°，360°÷360°＝1，长方形能单独密铺； ②平行四边形的内角和是（4－2）×180°＝2×180°＝360°，360°÷360°＝1，平行四边形能单独密铺； ③梯形的内角和是（4－2）×180°＝2×180°＝360°，360°÷360°＝1，梯形能单独密铺； ④三角形的内角和是180°，360°÷180°＝2，三角形能单独密铺； ⑤正五边形的内角和是（5－2）×180°＝3×180°＝540°，540°不是360°的整数倍，正五边形不能单独密铺； ⑥圆是由曲线围成的，不能单独密铺； ⑦是由曲线围成的，不能单独密铺； ⑧正六边形的内角和是（6－2）×180°＝4×180°＝720°，720°÷360°＝2，正六边形能单独密铺。 11．图形的密铺。 (1)经过观察，我们发现组成密铺的图形公共顶点处角的度数和为( )°。 (2)能单独进行密铺的图形还有( )( )等。 【答案】(1)360 (2) 梯形 长方形 【分析】几何图形密铺成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角，因此，一个多边形的内角和能被整除，这个图形就能密铺，否则不能密铺。 （1）周角为360度，观察三个图片可以发现，组成密铺的图形公共顶点处的角为周角，度数为360°。 （2）密铺是指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片。在密铺中，公共顶点处各个角拼在一起的度数和必须是360度，这样才能保证拼接处没有空隙和重叠。例如：梯形的内角和是：（4－2）×180°＝360°，梯形能密铺；长方形：每个内角是90度，90°×4＝360°，所以4个长方形的内角能在公共顶点处拼成360度，能单独密铺。 【详解】（1）由分析可知，组成密铺的图形公共顶点处角的度数和为360°。 （2）梯形：（4－2）×180° ＝2×180° ＝360° 长方形：90°×4＝360° 所以能单独进行密铺的图形还有梯形、长方形等。（答案不唯一） 12．在三角形、平行四边形和圆中，( )和( )能单独密铺，( )不能单独密铺。 【答案】 平行四边形 三角形 圆 【分析】图形的密铺是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角；因此判断图形能否单独进行密铺的关键是看这个图形的内角和能否整除360°或被360°整除，依此解答。 【详解】三角形的三个角的度数之和是180°，360°÷180°＝2，因此三角形可以单独进行密铺。平行四边形的内角和是360°，360°÷360°＝1，因此平行四边形可以单独进行密铺。 圆是由一条封闭的曲线围成的，圆与圆之间有间隙，因此圆不能密铺。 由此可知，三角形、平行四边形和圆中，平行四边形和三角形能单独密铺，圆不能单独密铺。 13．等边三角形、平行四边形、梯形和正五边形中，_________可以单独密铺，_________不能单独密铺。 【答案】 等边三角形、平行四边形、梯形 正五边形 【分析】密铺图形指用形状、大小完全相同的平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片。图形的密铺又叫图形的镶嵌，就是各种图形的一个角凑在一起凑成360度。 对于单独密铺的图形，看这个图形的内角和是否能整除360°。 【详解】等边三角形内角和是180°，2个180°是360°，可以整除，能单独密铺； 平行四边形和梯形内角和是360°，能单独密铺； 正五边形内角和是540°，540°不是360°的整数倍，不能单独密铺； 即等边三角形、平行四边形、梯形和正五边形中，等边三角形、平行四边形、梯形可以单独密铺，正五边形不能单独密铺。 14．图形的密铺。 (1)经过观察，我们会发现组成密铺的图形公共顶点处角的度数和为( )度。 (2)能单独进行密铺的图形还有( )( )等，不能单独进行密铺的图形还有( )等。 【答案】(1)360 (2) 等边三角形 长方形 圆 【分析】平面图形密铺的特点：（1）用一种或几种全等图形进行拼接；（2）拼接处不留空隙、不重叠；（3）连续铺成一片，能密铺的图形在一个拼接点处的特点是：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360度，并使相等的边互相重合。 （1）周角为360度，观察三个图片可以发现，组成密铺的图形公共顶点处的角为周角，度数为360度。 （2）密铺是指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片。在密铺中，公共顶点处各个角拼在一起的度数和必须是360度，这样才能保证拼接处没有空隙和重叠。例如：等边三角形：每个内角是60度，因为60°×6＝360°，所以6个等边三角形的内角可以在公共顶点处拼成360度，能单独密铺，长方形：每个内角是90度，90°×4＝360°，所以4个长方形的内角能在公共顶点处拼成 360度，能单独密铺。圆没有角，在拼接时圆与圆之间必然会有空隙，所以不能单独进行密铺。 【详解】（1）由分析可知，组成密铺的图形公共顶点处角的度数和为360度。 （2）由分析可知， 等边三角形：60°×6＝360° 长方形：90°×4＝360° 所以能单独进行密铺的图形还有等边三角形、长方形等，不能单独进行密铺的图形还有圆等。（答案不唯一） 15．下面哪些图形能单独密铺？在（    ）里画“√”。 【答案】（  ）；（√）；（√）；（√）；（√） 【分析】图形密铺是指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片。判断一个图形能否单独密铺，关键在于看该图形的内角度数。如果围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角360°，那么这个图形就可以单独密铺。我们需要分别分析每个图形的内角情况来判断能否密铺。 【详解】（1）判断圆能否单独密铺：圆是由一条曲线围成的封闭图形，无论怎样拼接，圆与圆之间都会有空隙，不能彼此不留空隙、不重叠地铺成一片，所以圆不能密铺。 （2）判断三角形能否单独密铺：三角形的内角和是180°，用6个完全相同的三角形，把它们的六个角拼在一起，180°×2＝360°，可以组成一个周角，能够彼此不留空隙、不重叠地铺成一片，所以三角形（√）。 （3）判断正六边形能否单独密铺：根据多边形内角和公式（n－2）×180°（n为边数），正六边形内角和为（6－2）×180°＝720°，每个内角是720°÷6＝120°，360°÷120°＝3，即3个正六边形的内角可以拼成360°，能够彼此不留空隙、不重叠地铺成一片，所以正六边形（√）。 （4）判断平行四边形能否单独密铺：平行四边形的内角和是360°，用4个完全相同的平行四边形，把它们的四个角拼在一起，正好组成一个周角360°，可以彼此不留空隙、不重叠地铺成一片，所以平行四边形（√）。 （5）判断梯形能否单独密铺：梯形的内角和是360°，用4个完全相同的梯形，把它们的四个角拼在一起，恰好组成一个周角360°，能够彼此不留空隙、不重叠地铺成一片，所以梯形（√）。 所以，圆（  ）；三角形（√）；正六边形（√）；平行四边形（√）；梯形（√）。 16．如图在研究图形的密铺时，以下图形( )不能单独密铺。 【答案】正五边形 【分析】平面图形密铺的特点：（1）用一种或几种完全一样的图形进行拼接；（2）拼接处不留空隙、不重叠；（3）连续铺成一片。几何图形密铺成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角。因此判断图形能否单独密铺的关键是看这个图形的内角和能否被360°整除，或整除360°。据此填空即可。 【详解】三角形内角和为180°，能被360°整除，可以单独密铺； 正方形四个角都是直角，内角和为360°，能被360°整除，可以单独密铺； 正五边形可以分成三个三角形，内角和为540°，不能整除360°，不可以单独密铺； 正六边形可以分成四个三角形，内角和为720°，能整除360°，可以单独密铺。 正五边形不能单独密铺。 17．李想准备在茶杯外圈的底部贴一圈花边（如图①）。他打算用正六边形和正三角形按图②的样式进行密铺。照这样贴一圈，正六边形和正三角形的总个数正好是60，正六边形和正三角形分别用了多少个？ 【答案】20个；40个 【分析】读图可知，图②首尾相连，能够形围住底部外圈。图②中一个正六边形搭配2个正三角形，正三角形个数是正六边形个数的2倍，正六边形和正三角形一共有60个，把正六边形看成1份，正三角形看成2份，用总个数除以3，计算每份的个数，再分别乘正六边形和正三角形份数，即可算出正六边形、正三角形个数。据此解答。 【详解】2＋1＝3 60÷3＝20（个） 20×1＝20（个） 20×2＝40（个） 答：正六边形有20个，正三角形有40个。 18．为创建文明校园，美化校园环境，学校用篱笆围了4个边长为3米的正八边形花坛（如下图），围成这个花坛一共需要篱笆多少米？ 【答案】 87米 【分析】根据题意，已知学校用篱笆围了4个边长为3米的正八边形花坛，首先用3乘8，求出一个正八边形的周长，再乘4，就是4个正八边形的周长；多加了3个3米的边，就是3×3＝9（米），所以，再减去9，就是围成这个花坛一共需要篱笆的长度；列式计算即可。 【详解】根据分析可知： 3×8×4－（3×3） ＝24×4－9 ＝96－9 ＝87（米） 答：围成这个花坛一共需要篱笆87米。 19．观察如图图形的拼摆，你都能找到哪些图形可以进行密铺？ 【答案】三角形、平行四边形、梯形、六边形； 【分析】几何图形密铺成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角；因此判断图形能否单独进行密铺的关键是看这个图形的内角和能否整除360°或被360°整除，依此解答。 【详解】三角形的三个角的度数之和是180°，360°÷180°＝2，因此三角形可以单独进行密铺。 四边形（梯形、平行四边形）的内角和都是360°，360°÷360°＝1，因此四边形、平行四边形、梯形都可以单独进行密铺。 五边形的内角和是540°，540°÷360°＝1……180°，因此五边形不可以单独进行密铺。 六边形的内角和是720°，720°÷360°＝2，因此六边形可以单独进行密铺。 所以根据图形的拼摆，能找到三角形、平行四边形、梯形、六边形可以进行密铺。 【点睛】此题考查的是图形的密铺，应熟练掌握密铺的特点。 20．研究主题：图形的密铺。 研究内容：在等边三角形、正方形、正五边形、正六边形中，哪些图形能单独密铺？为什么能密铺？ 研究材料：剪刀、尺子、卡纸、彩笔 研究过程：如图，我分别用等边三角形、正方形、正五边形、正六边形进行拼摆： 研究结论： （1）我发现_________、_________、_________能单独密铺，_________不能单独密铺。 （2）请从数学的角度解释你的发现：____________。 学以致用： （3）为什么说蜜蜂是大自然的“数学高手”？ 【答案】（1）等边三角形；正方形；正六边形；正五边形 （2）图形几个角的度数和是360°则可以密铺，否则不能密铺。（答案不唯一） （3）蜜蜂筑巢，采用正六边形，可以密铺，紧密排列，节省空间且美观。（答案不唯一） 【分析】（1）根据密铺的知识，用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌。图形的内角加在一起恰好组成一个周角的平面图形能进行密铺。一个图形的内角和能整除360°的多边形能密铺。 （2）当几个正多边形围绕一点拼在一起，有公共顶点的各个内角加在一起恰好组成一个周角时，就能密铺。 （3）由密铺的知识可知，同一种图形只要拼接处几个角的和是360°，就能密铺。蜜蜂的蜂巢是由许多正六边形密铺而成，既能够节省蜂蜡，又能够让蜂巢稳固。 【详解】（1）我发现等边三角形、正方形、正六边形能单独密铺，正五边形不能单独密铺。 （2）从数学的角度解释我的发现：图形几个角的度数和是360°则可以密铺，否则不能密铺。（答案不唯一） （3）蜜蜂筑巢，采用正六边形，可以密铺，紧密排列，节省空间且美观。（答案不唯一） 【点睛】本题考查平面密铺的知识，注意掌握只用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案。任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除360°。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $