精品解析：江西景德镇市乐平市第三中学2025-2026学年高三下学期3月月考数学试题

2026年3月高三数学月考试卷 命题人：汪圆 审题人：门娟 考试时间：120分钟 一、单选题（共计40分，每题5分） 1. 若复数，则在复平面上对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，则AB=（ ） A. [－2,3][4,＋） B. （－,3][4,＋） C. （－,4） D. （4,＋） 3. 函数的零点所在的一个区间为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，若，则＝（ ） A. B. C. D. 5. 双曲线C：（）的左、右焦点分别为，P是双曲线C上一点，轴，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 6. 已知数列满足，则＝（ ） A. B. C. D. 7. 在中，已知，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若关于的方程有四个实根，，，（），则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的最小值为16 二、多选题（共计18分，每题6分） 9. 若（≠0），则（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列的前项和为，且，则（ ） A. 数列是等差数列 B. 数列是单调数列 C. 数列中不存在不同的两项，使是这两项的等比中项 D. 记数列，则数列的前2026项的和为2026 11. 如图，已知正方体的棱长为2，和相交于点为的中点，正方体其余各面的中心分别为，下面结论中正确的是（ ） A. B. 与所成角的正弦值为 C. 点到平面的距离为 D. 多面体的内切球半径为 三、填空题（共计15分，每题5分） 12. 某实验中学第一党支部拟选5名党员到A、B、C三个社区做志愿服务，要求每个社区至少有一名党员，则不同的安排方法共有______种. 13. 已知F是抛物线的焦点，A，B是抛物线C上不同的两点，且满足，设A，B到抛物线C的准线的距离分别为，则的最大值为______. 14. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，给出下列命题： ①当时，； ②函数有3个零点 ③的解集为； ④，都有. 其中正确的命题是______. 四、解答题（共计77分，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分） 15. 已知锐角的三个内角，，所对的边分别为，，，且满足. （1）求角； （2）求的取值范围. 16. 已知函数． （1）若函数在处的切线经过，求的值； （2）若函数存在两个极值点，求的取值范围； 17. 某学校校庆时统计连续5天进入学校参加活动的校友数（单位：千人）如下： 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 第x天 1 2 3 4 5 参观人数y（千人） 2.2 2.6 3.1 5.2 6.9 （1）由上表数据看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数r加以说明（保留小数点后两位）；（若＞0.75，则认为y与x的线性相关性很强），并求出y关于x的线性回归方程； （2）校庆期间学校开放1号门、2号门和3号门供校友出入，校友从1号门、2号门和3号门进入学校的概率分别为，若校友从某个门进入学校，则其从该门出学校的概率为，从其他两个门出学校的概率各为.假设校友从1号门、2号门、3号门出入学校互不影响，现有甲乙丙丁4名校友于10月1日回母校参加活动，设X为4人中从2号门出学校的人数，求X的期望及方差. 附：参考数据：. 参考公式：回归直线方程y＝bx＋a，其中.相关系数. 18. 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面． （1）求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； （2）如图，已知在三棱锥中，平面ABC，，，三棱锥在顶点C处的离散曲率为． ①求直线PC与直线AB所成角的余弦值； ②若点Q在棱PB上运动，求直线CQ与平面ABC所成的角的最大值． 19. 已知椭圆：（）的长轴长与短半轴长的比值为. （1）求椭圆的离心率； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点. （ⅰ）若直线的斜率为1，求椭圆的焦距的取值范围； （ⅱ）若面积的最大值为，求椭圆的标准方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年3月高三数学月考试卷 命题人：汪圆 审题人：门娟 考试时间：120分钟 一、单选题（共计40分，每题5分） 1. 若复数，则在复平面上对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【详解】复数，则， 所以在复平面上对应的点位于第三象限. 2. 已知集合，则AB=（ ） A. [－2,3][4,＋） B. （－,3][4,＋） C. （－,4） D. （4,＋） 【答案】D 【解析】 【分析】分别求集合，再求交集. 【详解】，得或，即， 的定义域为，即， 所以 3. 函数的零点所在的一个区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据零点存在性定理分析判断即可. 【详解】因为在上单调递增，所以函数至多有一个零点， 因为， ， 所以， 所以的零点所在的一个区间为， 故选：B 4. 已知，若，则＝（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式求出，再根据同角三角函数关系求出，利用两角差的余弦公式即可求解. 【详解】因为，，所以，， 又因为，所以，， 所以. 5. 双曲线C：（）的左、右焦点分别为，P是双曲线C上一点，轴，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件可得，利用双曲线的定义可得，再利用勾股定理得出关于、的齐次等式，由此可求得双曲线的离心率. 【详解】因为轴，则P点在双曲线右支上，而， 即，即，而， 故， 又，即得， 得，故， 即双曲线的离心率为. 6. 已知数列满足，则＝（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用累加法求通项公式，再利用裂项相消法求和. 【详解】， ，，，……，，， 这个式子相加得，， 得，，当时，，成立， 所以，， . 7. 在中，已知，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据数量积公式确定的形状，再代入投影向量的公式. 【详解】两边平方得，即， 又两边平方得， 即，即， 如图，，向量与的夹角为， 所以向量在上的投影向量为. 8. 已知函数，若关于的方程有四个实根，，，（），则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的最小值为16 【答案】D 【解析】 【分析】作出函数的图象，根据题意得到，，利用不等式性质判断A；数形结合求解判断B；利用对数性质可得，再利用基本不等式求解最小值判断D，构造函数，利用导数法求得，即可判断C. 【详解】作出函数的图象，如图所示： 由图象知：，所以，故选项A错误； 由二次函数的对称性可得， 令或， 所以， 因为方程有四个实根，所以，故选项B错误； 又，则， 即，则，所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立，故选项D正确； 由得， 由上面推导可知，所以， ， 设，则， 所以在上单调递增，所以， 所以，所以，所以，故选项C错误. 故答案选D. 二、多选题（共计18分，每题6分） 9. 若（≠0），则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A：根据展开式最高次项的次数进行求解即可；对于B：利用二项式的通项公式，结合乘法的运算性质进行求解即可；对于C：利用赋值法进行求解即可；对于D：利用导数的运算性质，结合赋值法进行求解即可. 【详解】对于A：因为， 所以多项式最高次项的次数为， 所以，A错误； 对于B：因为，B正确； 对于C：在中， 令，得， 令，得，C正确； 对于D：对两边同时求导， 得， 令，得 ，D错误. 10. 已知数列的前项和为，且，则（ ） A. 数列是等差数列 B. 数列是单调数列 C. 数列中不存在不同的两项，使是这两项的等比中项 D. 记数列，则数列的前2026项的和为2026 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，根据前项和为与的关系，由作差法得，再根据等差数列的定义，验证是否为常数来判断；对B，先求出数列的通项，再通过判断的符号，由此确定单调性；对C，假设存在不同两项，，根据等比中项的定义列出等式，结合通项公式分析是否存在正整数，满足等式；对D，先根据的通项公式化简，结合并项求和法得数列的前2026项的和． 【详解】对于A选项，已知数列的前项和为，且， 当时，； 当时，， 对也成立，因此通项公式为， 又（常数）， 所以数列是首项为2、公差为2的等差数列，故A选项正确； 对于B选项，设， 则对所有成立， 因此数列是单调递减数列，故B选项正确； 对于C选项，由A选项可得，若存在不同两项，使得， 则，所以， 存在正整数解，，满足条件，故C选项不正确； 对于D选项，， 设的前项和为， 则 ， 故D选项正确． 11. 如图，已知正方体的棱长为2，和相交于点为的中点，正方体其余各面的中心分别为，下面结论中正确的是（ ） A. B. 与所成角的正弦值为 C. 点到平面的距离为 D. 多面体的内切球半径为 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过几何性质（等边三角形三线合一）、构造辅助线结合余弦定理、等体积法求点面距离、正八面体体积与表面积公式结合内切球半径公式，逐一验证各选项的正确性. 【详解】对于A，因为是等边三角形，且是中点，所以，A正确； 对于B，在正方体右侧补一个同样的正方体， 作的中点，连，， 易得，所以为与所成的角（或补角）， ，，， ， ，B错； 对于C，点是的中点，所以点到平面的距离是点B到平面的距离的一半， 又平面，设垂足为，利用等体积法， ， 高为点到平面的距离，即正方体的棱长 ， ， 底面是等边三角形，边长为，面积为：， 高为点到平面的距离，即，， 令两个体积相等：， 正方体的体对角线，因此：，故， 故点到平面的距离为，C正确； 对于D，易知是正八面体，棱长为， 体积：正八面体可看作两个正四棱锥，底面积，高，， 表面积：每个面是边长为的正三角形，面积，， 对于多面体，内切球半径公式为，，D正确. 三、填空题（共计15分，每题5分） 12. 某实验中学第一党支部拟选5名党员到A、B、C三个社区做志愿服务，要求每个社区至少有一名党员，则不同的安排方法共有______种. 【答案】 【解析】 【详解】将5名党员按1，1，3分为三个组有种分法， 再把这三个组安排到A、B、C三个社区有， 由分步乘法计数原理有种不同的安排方法； 将5名党员按1，2，2分为三个组有种分法， 再把这三个组安排到A、B、C三个社区有， 由分步乘法计数原理有种不同的安排方法； 所以不同的安排方法共有. 13. 已知F是抛物线的焦点，A，B是抛物线C上不同的两点，且满足，设A，B到抛物线C的准线的距离分别为，则的最大值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用抛物线的定义，及余弦定理结合基本不等式计算即可. 【详解】由抛物线的定义可知， 由余弦定理可知， 所以 ，当且仅当时取得等号， 即的最大值为. 14. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，给出下列命题： ①当时，； ②函数有3个零点 ③的解集为； ④，都有. 其中正确的命题是______. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】①利用奇函数的性质求时解析式即可；②利用导数研究的单调性、极值以及值域，进而可判断零点的个数；③根据②所得的性质，即可确定不等式解集；④由②所得的值域范围即可判断正误. 【详解】①当，则，由，而，故正确； ②时，， 所以当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 且极大值为，当时，， 由奇函数性质可得，在上单调递增，上单调递减， 且极小值为，当时，， 又，易知共有3个零点，故正确； ③由②知：的解集为，故错误； ④由②知：因为，当且时，，当时，， 所以当时，， 由奇函数性质可得对， ，所以都有，故正确. 四、解答题（共计77分，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分） 15. 已知锐角的三个内角，，所对的边分别为，，，且满足. （1）求角； （2）求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角，化简即可求解； （2）由（1）结合三角形为锐角三角形，确定的范围，将转换成，再结合两角差正弦公式及辅助角公式，转换成正弦型函数求值域即可. 【小问1详解】 由正弦定理，，，可得：  ， 又， 所以，因为， 化简可得：， 因为是锐角三角形，， 故； 【小问2详解】 由得，即， 因为是锐角三角形，所以， 解得， 由得， 故， 代入得： ， 因此的取值范围为. 16. 已知函数． （1）若函数在处的切线经过，求的值； （2）若函数存在两个极值点，求的取值范围； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数几何意义得到切线方程为，再代点求即可； （2）根据有两个极值点，即有两个解，即有两个解，令，求导分析函数单调性及最值即可确定的取值范围； 【小问1详解】 由题知函数的导数为，，， 所以切线方程为，又因为切线过，所以， 解得． 【小问2详解】 由题知函数定义为，，函数存在两个极值点，所以在有两个解， 即在有两个解，令， 则，解得， 所以当时，，在上单调递增： 当时，，在上单调递减， 则，又时，时， 所以的取值范围是． 17. 某学校校庆时统计连续5天进入学校参加活动的校友数（单位：千人）如下： 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 第x天 1 2 3 4 5 参观人数y（千人） 2.2 2.6 3.1 5.2 6.9 （1）由上表数据看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数r加以说明（保留小数点后两位）；（若＞0.75，则认为y与x的线性相关性很强），并求出y关于x的线性回归方程； （2）校庆期间学校开放1号门、2号门和3号门供校友出入，校友从1号门、2号门和3号门进入学校的概率分别为，若校友从某个门进入学校，则其从该门出学校的概率为，从其他两个门出学校的概率各为.假设校友从1号门、2号门、3号门出入学校互不影响，现有甲乙丙丁4名校友于10月1日回母校参加活动，设X为4人中从2号门出学校的人数，求X的期望及方差. 附：参考数据：. 参考公式：回归直线方程y＝bx＋a，其中.相关系数. 【答案】（1），说明：因为时线性相关程度高，所以与线性相关性很强，可以用线性回归模型拟合. （2），. 【解析】 【分析】（1）求出，将参考数据代入相关系数公式，求出的值，即可得出结论；再将数据代入最小二乘法公式，求出、的值，即可得出回归直线方程； （2）利用全概率公式求出每个人从2号门出校园的概率均为，由此可知，利用二项分布可得出随机变量的分布列，利用二项分布的期望公式可得出的值. 【小问1详解】 依题意，，而，，， 则. 因为时线性相关程度高，所以与线性相关性很强，可以用线性回归模型拟合. ，， 因此，回归方程为. 【小问2详解】 记“甲从2号门出学校”为事件，“甲从1号门进学校”为事件， “甲从2号门进学校”为事件，“甲从3号门进学校”为事件， 由题意可得，，， ，， 由全概率公式得： ， 同理乙、丙、丁从2号门出学校的概率也为， 为4人中从2号门出学校的人数，则， ，， ，， ， 故的分布列为： 0 1 2 3 4 ，. 18. 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面． （1）求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； （2）如图，已知在三棱锥中，平面ABC，，，三棱锥在顶点C处的离散曲率为． ①求直线PC与直线AB所成角的余弦值； ②若点Q在棱PB上运动，求直线CQ与平面ABC所成的角的最大值． 【答案】（1）2 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据离散曲率的定义计算即可 （2）①首先证明，再由点处的离散曲率可求出，从而其它相应的线段都可计算， 把与平移至中位线处，得出为异面直线与的夹角或其补角，在用余弦定理求解即可. ②首先是把线面角做出，设，再把角的三角函数值表示成的函数，最后转化为函数最值问题. 【小问1详解】 由离散曲率的定义得：， ， ， ， 四个式子相加得：. 【小问2详解】 ①如图，分别取的中点，连接，显然有， 所以为异面直线与的夹角或其补角，设，因为，所以，， 因为平面，平面，所以，，，， 因为，，所以平面，又因为平面，所以， 由点处的离散曲率为可得， 所以，，，而，， 所以，故异面直线与的夹角的余弦值为. ②如图，过点做交与，连接，因为平面，所以平面， 则为直线与平面所成的角，设， 在中， 因为，所以，所以， 故， 当分母最小时，最大，即最大，此时，即（与重合），，所以的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是通过题目所给的新定义求出，从而计算出各边的长度，求与平面所成的角的最大值，首先是把线面角做出，设，再把角的三角函数值表示成的函数，转化为函数最值问题，求最值是把式子经过适当的变形最终转化为二次函数最值问题. 19. 已知椭圆：（）的长轴长与短半轴长的比值为. （1）求椭圆的离心率； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点. （ⅰ）若直线的斜率为1，求椭圆的焦距的取值范围； （ⅱ）若面积的最大值为，求椭圆的标准方程. 【答案】（1） （2）（ⅰ）;（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据的关系，结合离心率的公式可得答案； （2）（ⅰ）联立方程，根据判别式大于零可得的范围，从而可得焦距的范围； （ⅱ）联立方程，求出弦长和高，根据面积表达式可得最大值，进而可得方程. 【小问1详解】 因为长轴长与短半轴长的比值为，所以，即， 离心率. 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）知，椭圆方程为， 直线 l 方程为，代入椭圆方程：，即， 直线与椭圆有两个交点，故判别式，由可得. 焦距为， 即椭圆的焦距的取值范围为. （ⅱ）易知直线的斜率存在，设直线的方程为，与椭圆方程联立可得， 设，则，即， ， ， 原点 O 到直线 l 的距离， ， 令，由可得， 则， 当时，有最大值，令，可得，此时，符合题意； 当时，有最大值，令，可得（舍）， 所以方程为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $