精品解析：江西省乐平市第一中学2025-2026学年高三下学期3月阶段检测数学试题

乐平一中2025-2026学年下学期第一次月考 高三数学试卷 命题人：曾裕君 审题人：符伟翔 时长：120分钟 总分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的交集运算即可求解. 【详解】解不等式得，所以 所以． 故选：C. 2. 设复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先使用复数的除法法则化简计算，再求出模长. 【详解】由题可得， 所以. 故选：A. 3. 已知命题，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】由全称量词命题的否定为存在量词命题改写命题即可. 【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题， 故命题，的否定为，. 故选：B. 4. 已知抛物线，为的焦点，为上的点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将点 的坐标代入抛物线的方程，求出的值，再利用抛物线的焦半径公式可求得的值. 【详解】因为为上的点，所以， 解得，故. 故选：A. 5. 设函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对函数求导，令可得出的值，可得出函数的解析式，进而可得出的值，然后利用导数的几何意义可得出所求切线的方程. 【详解】因为，所以， 令可得， 解得，所以，则， 故曲线在点处的切线方程为，即 . 故选：A. 6. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】先根据余弦定理求A的值，再根据三角形内角关系以及两角和正弦公式化简即可得出结果. 【详解】由余弦定理及，得，即，所以， 所以. 故选：D. 7. 已知平面上的非零向量、，定义运算：，对于平面上任意非零向量、、，则（ ） A. B. 若与不垂直，则 C. D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用题中新定义运算可判断A选项；利用特例法可判断B选项；利用题中定义结合平面向量数量积的运算性质可判断CD选项. 【详解】对于A选项，由题中定义得与共线，与共线， 所以，A错； 对于B选项，不妨取，，， 则， 所以， ， 所以， 故，B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，若，则， 即， 因为为非零向量，所以，所以或当时，，D错. 故选：C. 8. 定义：已知数列，若对于任意给定的正数 （不论它多么小），总存在正整数，使得当时，（ 是一个确定的实数），则称数列为“聚点数列”， 称为数列的聚点.已知数列的首项，满足，则数列的聚点 的值为（ ） A. -1 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据已知的递推公式推导出数列是等比数列，进而得到数列的通项公式，再根据数列的聚点的概念求出聚点 的值. 【详解】由，得，又，故， 所以数列是以为首项、为公比的等比数列， 所以，即， 对于，当 足够小时，，取，（为的整数部分）， 则，有 ，故. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某校300名学生参加数学竞赛，随机抽取了40名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 的值为0.015 B. 估计这40名学生数学考试成绩的众数为75 C. 估计总体中成绩落在内的学生人数105 D. 估计这40名学生数学考试成绩的第80百分位数约为85 【答案】AB 【解析】 【分析】对A ，利用频率分布直方图所有矩形面积之和为 1，列方程求解的值；对 B，众数为最高矩形底边中点的横坐标，取区间[70,80)的中点 75；对C ，先算[80,90)的频率，再乘以总体 300 得到估计人数；对D ，根据前几组频率和确定第 80 百分位数所在区间，再用插值法计算. 【详解】对于A：由，解得，A正确； 对于B：因为直方图中最高矩形对应区间为，所以估计这40名学生数学考试成绩的众数为 ，B正确； 对于C：区间对应的频率为，， 所以估计总体中成绩落在的学生人数为，C错误； 对于D：前三组的频率和为，第四组的频率为， 因为，所以第百分位数落在区间内， 由，即估计这 名学生数学考试成绩的第百分位数约为，D错误； 故选：AB. 10. 已知数列的前 项和为，且满足，对任意的 ，都有恒成立，则（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用的关系求出数列通项公式，结合等比数列的性质逐一判断即可. 【详解】由 ， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，因此选项A不正确； ，所以选项B正确； ， ， 当 为正奇数时，， 此时数列为单调递减，有 当 为正偶数时，， 此时数列为单调递增，有， 设， 当 为正偶数时，是递增数列，且， 所以，且， 此时； 当 为正奇数时，是递增数列，且， 所以，且， 此时， 综上所述： 的最大值为， 的最小值为，所以选项C不正确，选项D正确. 故选：BD 11. 已知曲线，则下列说法正确的是（ ）． A. 曲线E是中心对称图形 B. 曲线E与直线 仅有一个公共点 C. 曲线E经过无数个整点（横坐标和纵坐标均为整数的点） D. 若点M，N在曲线E上，且M，N分别在直线两侧，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A：根据奇函数的性质、结合函数图象变换的性质进行判断即可；B：通过解方程组进行求解判断即可；C：根据分式的性质进行求解判断即可；D：根据函数的图象的对称性，结合基本不等式进行求解判断即可. 【详解】对于A，方程可化为， 则曲线E可由函数的图象向右和向上各平移1个单位长度得到， 而是奇函数，其图象关于原点中心对称， 所以曲线E关于点中心对称，故A正确； 对于B，将 代入中， 得，解得，则 ， 故曲线E与直线 仅有一个公共点，故B正确； 对于C，在方程中，要使x，y均为整数， 只有或， 故曲线E只经过2个横坐标和纵坐标均为整数的点，分别为，，故C错误； 对于D，设，，其中， 当有最小值时，M，N关于点对称， 则令，则 ，原式， 当且仅当时等号成立，故D正确． 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为__________. 【答案】 【解析】 【分析】将原式化简得到，得到的通项为，再分别当 ， 时，两种情况讨论即可. 【详解】， 其中的通项为， 当 时，，乘以 ，得到的系数为5； 当 时，，乘以 ，得到的系数为 ； 所以的展开式中的系数为 . 故答案为：. 13. 设，若函数在区间上单调递增，则的最大值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据正切型函数的单调性进行求解即可. 【详解】令， ， 可得， ． 因为在区间上单调递增， 所以， ， 解得， ， 由，得， 当 时，可得，故的最大值为2． 故答案为：2 14. 已知双曲线 的左顶点 ，直线 与的右支交于一点 ，点 关于 轴对称的点为.若，则的离心率为________. 【答案】 【解析】 【分析】设，利用两角差的正切结合点在双曲线上化简后可得基本量关系，从而可求离心率. 【详解】设，， ，则，， 又，则，， 所以 ①. 因为点 在上，所以，则②， 将②代入①得，所以， 即，所以的离心率为. 故答案为：. 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知在中，角是的角平分线，且. （1）若，求的长； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系求出，进而求出，在中，根据正弦定理可求出；（2）由题意知，设 ，在中，由余弦定理可得到与x的关系，在和 中，由余弦定理可求得x，进而可求得面积. 【小问1详解】 因为所以，所以. 因为，所以， 所以， 在中，由正弦定理得，即，解得. 【小问2详解】 由知，， 由角平分线定理可知，设 ，则 ， 在中，由余弦定理得， 即，解得. 在中，由余弦定理得，解得或， 当时， ，，由得 ， 解得，与矛盾，所以. 所以，，所以的面积为. 16. 如图，在直三棱柱中，底面三角形是边长为2的等边三角形， 是棱上一点，且由 沿棱柱侧面经过棱到达 点的最短路线长为，设这条最短路线与的交点为. （1）求证： 平面； （2）求平面和平面所成的二面角（锐角）的正切值. 【答案】（1）由题意可知， ， 点 的路径所在平面的展开图如图， 其中最短路径为， 得 ，则点 为的中点， 因为 ，所以，得 ，则点为上靠近点的四等分点， 分别取线段的中点 ，连接 ， 易知 平面，，故以点 为原点， 所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为等边的边长为，所以， 则 ， 则 ， 设平面的法向量为 ， 则，令 ，则 ， 则 ，即， 又 平面，所以 平面； （2） 【解析】 【分析】（1）利用平面展开图求出点 的位置，再取线段的中点 ，以 为原点建系，求出平面的法向量，根据 即可求证； （2）利用坐标计算夹角的余弦值，再根据同角三角函数的关系求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 易得，平面的法向量为， 则， 则平面和平面所成的二面角（锐角）的余弦值为， 故平面和平面所成的二面角（锐角）的正切值为. 17. 年，我国某航天公司研发的“低轨卫星通信终端（星链终端）”核心信号处理系统 内置个量子芯片元件，每个元件在太空环境下正常工作的概率为，各元件工作状态相互独立. （1）当 时记系统 中正常工作的元件个数为随机变量，回答以下问题： ①求的分布列及数学期望； ②若有超过一半的元件正常工作，则系统正常工作，系统正常工作的概率称为系统的可靠性.为改善 时系统 的可靠性，能否通过增加一个量子芯片元件即提高系统 的可靠性？请给出你的结论并证明. （2）该公司从某批次量子芯片中随机抽取了100个元件，在“模拟太空环境”和“地面实验室环境”下测试其工作状态，得到如下列联表： 正常工作 故障 合计 模拟太空 地面实验室 合计 请根据小概率值独立性检验，能否认为元件工作状态与测试环境有关联？ 附：，. 【答案】（1）① ； ②（方法1）当时记系统 中正常工作的元件数为随机变量，则， 记 时系统 的可靠性为，记时系统 的可靠性为， 故， ， 故， 故 时增加一个量子芯片元件即，能提高系统 的可靠性； （方法2）记事件 为新增加的这个量子芯片元件正常工作， 当时记系统 中正常工作的元件数为随机变量， 当 时记系统 的可靠性为，当时记系统 的可靠性为， 有，. 则 即 即， 故 时增加一个量子芯片元件即，能提高系统 的可靠性. （2）没有的把握认为元件工作状态与测试环境有关联. 【解析】 【分析】（1）①由题意可知，利用二项分布可得出随机变量的分布列，进而可得出的值； ②方法一：计算出 时系统 的可靠性，时系统 的可靠性，比较大小后可得出结论； 方法二：记 时系统 的可靠性为，记时系统 的可靠性为，根据题意得出与之间的关系，比较大小后可得出结论； （2）计算出的观测值，结合临界值表可得出结论. 【小问1详解】 ①由题意可知，所以， ，， ，， ， 则的分布列如下： 故； ②略 【小问2详解】 由已知有， 故没有的把握认为元件工作状态与测试环境有关联. 18. 已知椭圆的离心率为，其左顶点 在圆上. （1）求椭圆C的方程； （2）直线交椭圆于 ，两点.设点关于 轴的对称点为（点与点 不重合），且直线与 轴交于点 ， （i）P点是否为定点，若是求出P点坐标；若不是，说明理由 （ii）求 的面积最大值 【答案】（1） （2）（i）是定点，（ii）1 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的左顶点在圆上，求出；再根据离心率为，求得，由求得.即可得到椭圆的方程. （2）（i）联立直线与椭圆方程，结合韦达定理可得直线与 轴的交点 为定点；（ii）结合（i）的结论，利用韦达定理用表示 的面积，根据基本不等式可得取最大值. 【小问1详解】 因为椭圆的左顶点在圆上. 令，则. 所以椭圆的左顶点坐标为，且. 又离心率为，所以，所以 ， 所以， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 （i）设，. 直线与椭圆方程联立 化简并整理得， ∴， 由题设知，直线的方程为 令得 点是定点，其坐标为. （ii）由（i）知，点.记点，则直线恒过定点. 所以 （当且仅当即时等号成立） 的面积的最大值为1. 19. 已知函数，． （1）证明：当 时， （2）若是的极大值点，求的取值范围． （3）若，且，其中，证明：． 【答案】（1） 因，则， 当 时，，所以在上单调递减， 所以，故当 时， ． （2） （3） 由（1）知，当 时，． 令，则，再令， 则． 令，，则． 所以． 由，得． 要证，只需证． 因为 在上单调递减，所以只需证． 令，则，令，则， 易知在上单调递减．又，， 所以存在，使得，则在上单调递增，在上单调递减． 又，且在上单调递增，故在上大于0. 而在 上单调递减，且，故存在唯一的，使得. 则在上单调递增，在上单调递减． 又，，所以恒成立， 所以，则，所以． 【解析】 【分析】（1）利用求导判断函数的单调性，利用单调性即可得证； （2）将函数求导得，记，再求导得，根据，分成，和 三类情况讨论函数的单调性，即可逐一判断求得参数范围； （3）由（1）知，当 时，，先后令，令，将其化成，再令，，可得，利用结合条件可得，从而要证，即证，再由余弦函数的单调性，需证，设，利用求导判断单调性证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 的定义域为，则， 记，则，则． ①若，即，则 令，则，所以在上单调递增， 当时，此时，则，故在上单调递增，不合题意； ②若，即，则必存在，使得当时， ，则在上单调递增． 又，所以当时，，即在上单调递增，不合题意； ③若 ，即，同理可得，存在，使得当时，， 则在上单调递减．又，则当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以是的极大值点． 综上所述，的取值范围是． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乐平一中2025-2026学年下学期第一次月考 高三数学试卷 命题人：曾裕君 审题人：符伟翔 时长：120分钟 总分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 2. 设复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知命题，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知抛物线，为的焦点，为上的点，则（ ） A. B. C. D. 5. 设函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（ ） A. B. C. D. 2 7. 已知平面上的非零向量、，定义运算：，对于平面上任意非零向量、、，则（ ） A. B. 若与不垂直，则 C. D. 若，则 8. 定义：已知数列，若对于任意给定的正数 （不论它多么小），总存在正整数，使得当时，（是一个确定的实数），则称数列为“聚点数列”，称为数列的聚点.已知数列的首项，满足，则数列的聚点的值为（ ） A. -1 B. 1 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某校300名学生参加数学竞赛，随机抽取了40名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 的值为0.015 B. 估计这40名学生数学考试成绩的众数为75 C. 估计总体中成绩落在内的学生人数105 D. 估计这40名学生数学考试成绩的第80百分位数约为85 10. 已知数列的前 项和为，且满足，对任意的 ，都有恒成立，则（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 的最小值为 11. 已知曲线，则下列说法正确的是（ ）． A. 曲线E是中心对称图形 B. 曲线E与直线 仅有一个公共点 C. 曲线E经过无数个整点（横坐标和纵坐标均为整数的点） D. 若点M，N在曲线E上，且M，N分别在直线两侧，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为__________. 13. 设，若函数在区间上单调递增，则的最大值为______． 14. 已知双曲线 的左顶点，直线 与的右支交于一点，点关于轴对称的点为.若，则的离心率为________. 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知在中，角是的角平分线，且. （1）若，求的长； （2）若，求的面积. 16. 如图，在直三棱柱中，底面三角形是边长为2的等边三角形， 是棱上一点，且由沿棱柱侧面经过棱到达点的最短路线长为，设这条最短路线与的交点为. （1）求证： 平面； （2）求平面和平面所成的二面角（锐角）的正切值. 17. 年，我国某航天公司研发的“低轨卫星通信终端（星链终端）”核心信号处理系统内置个量子芯片元件，每个元件在太空环境下正常工作的概率为，各元件工作状态相互独立. （1）当 时记系统中正常工作的元件个数为随机变量，回答以下问题： ①求的分布列及数学期望； ②若有超过一半的元件正常工作，则系统正常工作，系统正常工作的概率称为系统的可靠性.为改善 时系统的可靠性，能否通过增加一个量子芯片元件即提高系统的可靠性？请给出你的结论并证明. （2）该公司从某批次量子芯片中随机抽取了100个元件，在“模拟太空环境”和“地面实验室环境”下测试其工作状态，得到如下列联表： 正常工作 故障 合计 模拟太空 地面实验室 合计 请根据小概率值独立性检验，能否认为元件工作状态与测试环境有关联？ 附：，. 18. 已知椭圆的离心率为，其左顶点在圆上. （1）求椭圆C的方程； （2）直线交椭圆于，两点.设点关于轴的对称点为（点与点不重合），且直线与轴交于点， （i）P点是否为定点，若是求出P点坐标；若不是，说明理由 （ii）求 的面积最大值 19. 已知函数，． （1）证明：当 时， （2）若是的极大值点，求的取值范围． （3）若，且，其中，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $