第01讲 同底数幂的乘法（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年七年级数学下册《知识解读·题型专练》（浙教版）

本初中数学讲义聚焦同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方三大核心知识点，构建从定义理解到法则推导，再到正逆向应用及与科学记数法综合运算的递进式学习支架。 以口诀强化抽象能力，通过典例与变式训练推理意识，结合科学记数法综合应用培养模型意识。课中助力教师高效授课，课后通过分层练习帮助学生查漏补缺，提升运算与应用能力。

第01讲 同底数幂的乘法 考点1：同底数幂的乘法 考点2：幂的乘方 考点3：积的乘方 重点：（1）幂的三条核心运算法则的推导与正向、逆向应用。 （2）幂运算与科学记数法的综合运算（法则的灵活衔接）。 难点：（1）符号问题贯穿始终 （2）法则的逆向与混合应用 1.掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的定义，明确幂运算的前提条件。 2.熟练运用幂三四条核心运算法则进行准确计算，能区分不同法则的适用场景。 知识点1：同底数幂的乘法 1.口诀：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 am×an=a（m+n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 2.科学记数法表示数的乘法 科学记数法的形式是（1≤∣a∣<10，n为整数），因此科学记数法的乘法本质是“系数的乘法”与“10的幂的乘法”的结合，需分两部分分别运算后再合并。 【题型1 同底数幂的乘法运算】 【典例1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知，则m的值为（   ） A．3 B．6 C．8 D．16 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； 【题型2 同底数幂的乘法的逆运算】 【典例2】如果，，则___． 【变式1】已知，，求的值为________． 【变式2】若，则_____； 【变式3】若，则的值为__________. 【题型3 科学记数法表示数的乘法】 【典例3】光在真空中的速度约是米/秒，某天文台测出某天体射出的光到达地球大约需要秒，则该天体与地球的距离约为________米． 【变式1】某芯片每秒可执行100亿次运算，它工作25秒可执行的运算次数用科学记数法表示为_________次． 【变式2】光年是一种长度单位，它表示光在一年中所通过的距离，已知光每秒通过的距离约为．若一年以计算，则一光年约为_______． 【变式3】某卫星绕地球飞行的速度是米/秒，该卫星飞行秒所行的路程是________米．（结果用科学记数法表示） 知识点2：幂的乘方运算 口诀：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 (m,n都为正整数) 【题型4 幂的乘方运算】 【典例4】计算：______． 【变式1】计算：___． 【变式2】若，，则______． 【变式3】如果，那么的值为___________． 【题型5 幂乘方的逆用】 【典例5】已知，则值为_________． 【变式1】若，则____． 【变式2】已知，，，比较的大小关系是_______（用“>”连接）． 【变式3】若，，则的值为_______． 知识点3：积的乘方运算 口诀：等于将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 （m,n为正整数） 【题型6 积的乘方运算】 【典例6】计算： (1)； (2)； (3) 【变式1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型7 积乘方的逆用】 【典例7】计算：________． 【变式1】计算：_____． 【变式2】___________． 【变式3】计算：________． 1.计算的结果是（　　） A． B． C． D． 2.若，则的值为（    ） A．2 B．7 C．9 D．14 3.下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 4.若，则m的值为（   ） A．3 B．6 C．7 D．10 5.下表是与（其中为自然数）的部分对应值表： 5 10 15 20 25 30 35 2 32 1024 32768 1048576 33554432 1073741824 34359738368 根据表格提供的信息，计算的结果为（    ） A．1048576 B．33554432 C．1073741824 D．3435973836 6.若，则（   ） A．， B．， C．， D． 7.已知，则等于（   ） A．5 B．6 C．12 D．18 8.已知，则的值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 9.若，则的值为____． 10.计算下列整式 (1)． (2)． 11.计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 12.已知，，求值： (1)； (2)． 13.按要求计算下面各题： (1)已知，，则的值． (2)已知，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 同底数幂的乘法 考点1：同底数幂的乘法 考点2：幂的乘方 考点3：积的乘方 重点：（1）幂的三条核心运算法则的推导与正向、逆向应用。 （2）幂运算与科学记数法的综合运算（法则的灵活衔接）。 难点：（1）符号问题贯穿始终 （2）法则的逆向与混合应用 1.掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的定义，明确幂运算的前提条件。 2.熟练运用幂三四条核心运算法则进行准确计算，能区分不同法则的适用场景。 知识点1：同底数幂的乘法 1.口诀：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 am×an=a（m+n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 2.科学记数法表示数的乘法 科学记数法的形式是（1≤∣a∣<10，n为整数），因此科学记数法的乘法本质是“系数的乘法”与“10的幂的乘法”的结合，需分两部分分别运算后再合并。 【题型1 同底数幂的乘法运算】 【典例1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式. 【变式1】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 【变式2】已知，则m的值为（   ） A．3 B．6 C．8 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，准确的计算是解决本题的关键． 利用同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加，即可求解． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴． 故选B． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可； （2）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可； （3）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【题型2 同底数幂的乘法的逆运算】 【典例2】如果，，则___． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算法则，对所求式子变形，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：根据同底数幂的乘法法则得， ∵，， ∴． 故答案为：． 【变式1】已知，，求的值为________． 【答案】10 【分析】逆用同底数幂的乘法法则将所求式子变形，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 【变式2】若，则_____； 【答案】 15 【分析】本题考查了同底数幂的乘法逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴． 故答案为：15． 【变式3】若，则的值为__________. 【答案】45 【分析】本题考查了同底数幂的乘法．逆用同底数幂的乘法法则，将转化为，再代入已知条件求解． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：45． 【题型3 科学记数法表示数的乘法】 【典例3】光在真空中的速度约是米/秒，某天文台测出某天体射出的光到达地球大约需要秒，则该天体与地球的距离约为________米． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法公式的实际应用，熟练掌握运算法则，根据题意列关系式是解题的关键．根据公式“距离速度时间”，然后根据同底数幂相乘等于底数不变，指数相加的原则进行计算，最终再把结果用科学记数法，其中的形式表示即可． 【详解】解：有题意可知，该天体与地球的距离为（米）． 故答案为：． 【变式1】某芯片每秒可执行100亿次运算，它工作25秒可执行的运算次数用科学记数法表示为_________次． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，幂的运算，先计算芯片工作25秒的总运算次数，再转化为科学记数法形式． 【详解】解：芯片每秒执行100亿次运算，即次运算， ∴工作25秒，总运算次数为， ∴， 故答案为：． 【变式2】光年是一种长度单位，它表示光在一年中所通过的距离，已知光每秒通过的距离约为．若一年以计算，则一光年约为_______． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂相乘，用科学记数法表示数的乘法，先理解题意列式，再结合同底数幂相乘法则进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴一光年约为， 故答案为：． 【变式3】某卫星绕地球飞行的速度是米/秒，该卫星飞行秒所行的路程是________米．（结果用科学记数法表示） 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为，其中，n为整数，此题根据路程速度时间列出算式，计算即可解答． 【详解】解：（米）， 故答案为：． 知识点2：幂的乘方运算 口诀：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 (m,n都为正整数) 【题型4 幂的乘方运算】 【典例4】计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方，根据幂的乘方运算法则得出，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1】计算：___． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方的计算；利用幂的乘方法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式2】若，，则______． 【答案】4 【分析】本题主要考查了幂的乘方运算，解题的关键是熟练掌握公式． 将代入得到，再由幂的乘方计算公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：4． 【变式3】如果，那么的值为___________． 【答案】75 【分析】本题考查了积的乘方、幂的乘方，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据乘方的运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：75 ． 【题型5 幂乘方的逆用】 【典例5】已知，则值为_________． 【答案】9 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用，同底数幂的乘法； 将9和27化为以3为底数的指数形式，利用指数运算法则计算，再代入已知条件求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：9． 【变式1】若，则____． 【答案】3 【分析】先将等式两边化为同底数幂，根据同底数幂相等则指数相等，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：将原方程左边变形，可得， 根据幂的乘方法则，底数不变，指数相乘，得， 因此原方程可化为， 因此得， ∴． 【变式2】已知，，，比较的大小关系是_______（用“>”连接）． 【答案】 【分析】本题考查了幂的大小比较，根据幂的乘方，化成同指数的幂，然后比较底数的大小即可． 【详解】解：， ， ， 又， ， ， 故答案为：． 【变式3】若，，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用，根据同底数幂乘法及幂的乘方法则进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ 故答案为：． 知识点3：积的乘方运算 口诀：等于将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 （m,n为正整数） 【题型6 积的乘方运算】 【典例6】计算： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了积的乘方，根据逐一运算，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【变式1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查积的乘方和幂的乘方，熟练掌握积的乘方和幂的乘方运算法则是解答本题的关键． （1）原式根据积的乘方运算运算法则进行计算即可； （2）原式根据积的乘方和幂的乘方运算法则进行计算即可； （3）原式根据积的乘方和幂的乘方运算法则进行计算即可； （4）原式根据积的乘方和幂的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了积的乘方运算，熟练掌握积的乘方法则是解答本题的关键．积的乘方等于各因数乘方的积，即（m为正整数）． （1）根据积的乘方运算法则计算即可； （2）根据积的乘方运算法则计算即可； （3）根据积的乘方运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了积的乘方运算，熟练掌握积的乘方法则是解答本题的关键．积的乘方等于各因数乘方的积，即（m为正整数）． （1）直接根据积的乘方运算法则计算即可； （2）直接根据积的乘方运算法则计算即可； （3）直接根据积的乘方运算法则计算即可； （4）直接根据积的乘方运算法则计算即可． 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 【题型7 积乘方的逆用】 【典例7】计算：________． 【答案】 【分析】利用积的乘方的逆运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 【变式1】计算：_____． 【答案】4 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则的逆用，积的乘方的逆用．先逆用同底数幂的乘法将化为，再逆用积的乘方计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：4． 【变式2】___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方逆用，同底数幂乘法逆用，将合并为， 将变为，然后逆用积的乘方运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式3】计算：________． 【答案】/0.25 【分析】通过观察指数相同，将 和 利用积的乘方逆运算简化，再与 运算解答即可． 本题考查了积的乘方的逆应用，同底数幂的乘法，熟练掌握运算是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为 ． 1.计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查积的乘方的运算，关键是熟练应用运算法则进行计算；运用积的乘方法则计算即可． 【详解】解：， 故选：C． 2.若，则的值为（    ） A．2 B．7 C．9 D．14 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法法则是计算的关键． 根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加． 【详解】解：∵ ，且 ， ∴ ． 故选：C． 3.下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了关于幂的运算，根据关于幂的运算法则分别计算出各项正确结果，根据计算结果判断正误． 【详解】解：A选项：根据乘方的定义可知，故A选项正确； B选项：根据同底数的乘法法则可知，故B选项错误； C选项：根据幂的乘方运算法则可知，故C选项错误； D选项：根据积的乘方的法则可知，故D选项错误． 故选：A． 4.若，则m的值为（   ） A．3 B．6 C．7 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则：． 根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 5.下表是与（其中为自然数）的部分对应值表： 5 10 15 20 25 30 35 2 32 1024 32768 1048576 33554432 1073741824 34359738368 根据表格提供的信息，计算的结果为（    ） A．1048576 B．33554432 C．1073741824 D．3435973836 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算．利用表格找到和对应的指数，然后应用指数法则计算． 【详解】解：∵，（从表格中得）， ∴， 又∵（从表格中时得）， ∴． 故选：B． 6.若，则（   ） A．， B．， C．， D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方的法则是解题的关键． 利用幂的乘方与积的乘方的运算法则进行计算，然后再对比即可解答． 【详解】解：， ，， ，． 故选：A． 7.已知，则等于（   ） A．5 B．6 C．12 D．18 【答案】C 【分析】根据，结合，再进一步可得答案． 【详解】解：∵根据幂的运算法则可得，，且， 又∵，， ∴． 8.已知，则的值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查幂的乘方逆用和同底数幂的乘法法则，关键是将转化为以为底的幂，再利用同底数幂乘法的逆运算求出的值，进而计算目标式子 【详解】解：∵，，， ∴， 即， ∴， 则； 故选：D． 9.若，则的值为____． 【答案】3 【分析】本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方，应用指数运算法则简化方程，通过指数相等建立方程求解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴， 故答案为：． 10.计算下列整式 (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，掌握底数不变，指数相加是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘法运算法则计算即可． （2）将转化为，再按同底数幂的乘法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2） ． 11.计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查幂的乘方，熟练掌握幂的乘方运算法则是解答本题的关键． （1）运用幂的乘方运算法则进行计算即可； （2）运用幂的乘方运算法则进行计算即可； （3）运用幂的乘方运算法则进行计算即可； （4）运用幂的乘方运算法则进行计算即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 12.已知，，求值： (1)； (2)． 【答案】(1)8 (2)72 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和幂的乘方的混合应用． （1）根据题意将代入原式计算即可得到答案； （2）将写成的2次方，再将写成的3次方，再把变为，最后把，代入原式计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）解：∵，， ∴． 13.按要求计算下面各题： (1)已知，，则的值． (2)已知，求的值． 【答案】(1)18 (2)64 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法及其逆用、幂的乘方，熟练掌握各个运算是解题的关键； （1）根据同底数幂的乘法及幂的乘方可进行求解； （2）根据同底数幂的乘法的逆用及幂的乘方可进行求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $