3.6 第1课时　建模预测问题及行程问题 课件 2025-2026学年湘教版八年级数学下册

3.6 一次函数的应用 第3章 一次函数 第 1 课时 建模问题及行程问题 八年级下册数学（湘教版） 乌鸦喝水，是《伊索寓言》中一个有趣的寓言故事. 故事梗概为：“一只口渴的乌鸦看到窄口瓶内有半瓶水，于是将小石子投入瓶中，使水面升高，从而喝到了水.”告诉人们遇到困难要积极想解决办法，认真思考才能让问题迎刃而解 的道理. 数学问题也一样哦. 情境导入 如果将乌鸦喝水的故事进行量化，你能判断乌鸦丢进多少颗石子，水能刚好在瓶口吗？说说你的做法！ 10 cm 9 cm 建模预测问题 现实生活或具体情境中的很多问题或现象都可以抽象成数学问题，并通过建立合适的数学模型来表示数量关系和变化规律，再求出结果并讨论结果的意义. 下面有一个实际问题，你能否利用已学的知识给予解决？ 1 探究新知 伸出一只手掌，把大拇指与小拇指尽量张开，测量两指指尖间的最大距离，这个距离简称为指尖距. 假设指尖距与身高具有如下关系： 指尖距 x (cm) 19 20 21 身高 y (cm) 151 160 169 (1) 身高 y 与指尖距 x 之间可用函数关系式刻画吗？如可以，其表达式是怎样的？ 思考 (2) 若李华的指距为 22 cm 时，你能估计他的身高吗？ 指尖距 x (cm) 19 20 21 身高 y (cm) 151 160 169 解：(1) 由上表三组数据可知，身高 y 与指尖距 x 之间存在一个对应关系，并且指尖距每增加 1 cm，身高对应增加 9 cm，于是可以尝试用一次函数来刻画. 设身高 y 与指尖距 x 之间的一次函数表达式为 y＝kx＋b (k，b 为常数，k≠0). 19k + b = 151， 20k + b = 160. 解得 k＝9，b＝-20. 于是 y＝9x - 20. 将 x＝21，y＝169 代入上式，也符合. 故 y＝9x - 20就是身高 y 与指尖距 x 之间的函数表达式. 将 x＝19，y＝151 与 x＝20，y＝160 代人上式，得 (2) 当 x = 22 时， y = 9×22 - 20 = 178. 因此，李华的身高大约是 178 cm. (2) 若李华的指距为 22 cm 时，你能估计他的身高吗？ 建立一次函数模型步骤： (1) 确定自变量和因变量(用两个字母)； (2) 根据自变量和因变量的关系设解析式； (3) 找点列方程或方程组； (4) 求出待定的系数； (5) 写出解析式； (6) 代值检验. 归纳总结 1.小明同学在探索鞋码的两种长度“码”与“厘米”之间的换算关系时，通过调查获得下表数据： x (厘米) … 22 23 24 25 26 … y (码) … 34 36 38 40 42 … 问1：根据表中提供的信息，在同一直角坐标系中描出相应的点，你能发现这些点的分布有什么规律吗？ 练一练 30 32 38 36 34 42 40 23 25 24 21 22 27 26 y (码) x(厘米) 问2：据说某篮球巨人的鞋子长 31 cm，那么你知道他穿多大码的鞋子吗？ 这些点在一条直线上， 如图所示. O 我们选取点（22，34）及 点（25，40）的坐标代入 y = kx + b中，得 22k + b = 34， 25k + b = 40. 解得 k = 2，b = -10. ∴ 一次函数的表达式为 y = 2x - 10. 把 x = 31 代入上式，得 y = 2×31 - 10 = 52. ∴可以得到某篮球巨人穿 52 码的鞋子. 利用一次函数解决行程问题 2 例1 已知甲、乙两地相距 40 km，小徐 8∶00 骑自 行车由甲地去乙地，平均车速为 8 km/h；小李10∶00 坐公共汽车也由甲地去乙地，平均车速为 40 km/h.设小徐所用的时间为 x h，小徐离甲地的距离为 y1 km，小李离甲地的距离为 y2 km. (1) 分别写出 y1， y2 与 x 之间的函数解析式； 解 (1) 由“路程＝速度×时间”可知 y1＝8x，自变量 x 的取值范围是 0≤x≤5. 由于小李比小徐晚出发 2 h，因此小李所用时间为(x－2) h， 从而 y2＝40(x－2)，自变量 x 的取值范围是 2≤x≤3. (1) 分别写出 y1， y2 与 x 之间的函数解析式； 1 2 3 4 5 8 16 24 32 40 y2＝40(x-2) y1＝8x (2) 在同一平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象，并指出谁先到达乙地. (2) 将以上两个函数的图象画在同一平面直角坐标系中，如图所示. 过点 M(0，40) 作射线 l 与 x轴平行，它先与 y2＝40(x－2)相交，这表明小李先到达乙地. l M 2. 如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图 象，下列结论错误的是(　C　) A. 乙前4s行驶的路程为48m B. 在0到8s内甲的速度每秒增加4m/s C. 两车到第3s时行驶的路程相等 D. 在4至8s内甲的速度都大于乙的速度 第2题图 C 练一练 解析：设小明的速度为 a 米/秒，小刚的速度为 b 米/秒，由题意得 1600 + 100a = 1400 + 100b， 1600 + 300a = 1400 + 200b. 解得 a = 2，b = 4. 故这次越野跑的全程为 1600 + 300×2 = 2200 (米)． 2. 一次越野跑中，当小明跑了1600 米时，小刚跑了1400米，小明、小刚所跑的路程 y (米) 与时间 t (秒) 之间的函数关系如图，则这次越野跑的全程为 米. 2200 t (秒) y (米) 100 200 300 1400 1600 O 1.下图是用棋子摆成的“上”字 ，则第 n 个图共有多少枚棋子？ 图1 图2 图3 图4 解：先列表： x 1 2 3 … y 6 10 14 … 描点：如图所示. 课堂练习 我们发现图形的形状为一条直线，故可设该直线为 y = kx + b. 选取点（1，6）及 点（2，10）的坐标代入 y = kx + b 中， 得 k+b=6， 2k+b=10. 解得 k = 4，b = 2. ∴一次函数的表达式为 y = 4x + 2. 令 x = n，则 y = 4n + 2. ∴ 第 n 个图形有 (4n+2) 棋子. 2. 世界上大部分国家都使用摄氏温度(℃)计量法，但美、英等国的天气预报仍然使用华氏温度(℉)计量法. 两种计量法之间有如下的对应关系： x/℃ 0 10 20 30 40 50 y/℉ 32 50 68 86 104 122 (1)在平面直线坐标系中描出相应的点，观察这些点的分布情况，并猜想 y 与 x 之间的函数关系； (2) 确定 y 与 x 之间的函数表达式，并检验； (3) 华氏 0 度时的温度应是多少摄氏度？ (4)华氏温度的值与对应的摄氏温度的值有相等的可能吗？ (1) 在平面直线坐标系中描出相应的点，观察这些点的分布情况，并猜想 y 与 x 之间的函数关系； 解：(1)如图所示，以表中对应值为坐标的点大致分布在一条直线上，据此，可猜想：y 与 x 之间的函数关系为一次函数. (2) 确定 y 与 x 之间的函数表达式，并检验； 解：设 y ＝ kx＋b，把 (0，32) 和 (10，50) 代入得 解得 经检验，点 (20，68)，(30，86)， (40，104)，(50，122) 的坐标均 能满足上述表达式， ∴y 与 x 之间的函数表达式为 (3)华氏 0 度时的温度应是多少摄氏度？ 解：当 y ＝ 0 时， 解得 ∴华氏 0 度时的温度应是 ℃. (4)华氏温度的值与对应的摄氏温度的值有相等的可能吗？ 解：把 y ＝ x 代入， 解得 ∴ 华氏温度的值与对应的摄氏温度的值有相等的可能，此值为－40. 3. 如图，射线 OA、BA 分别表示甲、乙两人骑自行车运动过程的一次函数的图象，图中 s、t 分别表示行驶距离和时间，则这两人骑自行车的速度相差 km/h. 解析：根据图象可得出：甲的速度为 120÷5 = 24 (km/h)， 乙的速度为(120﹣4)÷5 = 23.2 (km/h)， 速度差为 24 - 23.2 = 0.8 (km/h). 0.8 B 4. 在一次蜡烛燃烧试验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度 y（厘米）与燃烧时间 x（时）之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题： （1）甲、乙两根蜡烛燃烧前的 高度分别是 ， 从点燃到燃尽所用的时间分别 是 . 30 厘米、25 厘米 2 小时、2.5 小时 （2）分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时 y 与 x 之间的函数关系式； （3）燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛的高度相等（不考虑都燃尽时的情况）？ 在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛高？ 在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛低？ y甲 = -15x + 30 y乙 = -10x + 25 当 x = 1 时，甲乙蜡烛高度相等. 当 1＜x＜2.5 时，甲蜡烛比乙蜡烛低. 当 0≤x＜1 时，甲蜡烛比乙蜡烛高. 一次函数模型的应用 ①将实验得到的数据在平面直角坐标系中描出 ②观察这些点的特征，确定选用的函数模型，并根据已知数据求出具体的函数表达式 ③进行检验 ④应用这个函数模型解决问题 课堂小结 $