考点01 一元二次方程及其根（专项训练）数学新教材浙教版八年级下册

01 一元二次方程及其根 考点一：一元二次方程的概念 1、一元二次方程的概念： 只含有 1 个未知数且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程。 考点二：一元二次方程的一般形式 1、一元二次方程的一般形式： 一元二次方程的一般形式是。其中是二次项， 是二次项系数。 是一次项， 一次项系数。 是常数项。 考点三：一元二次方程的解 1、一元二次方程的解： 使一元二次方程左右两边的 成立 的 未知数 的值是一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根。 考点四：判别式与根的关系 1、根的判别式： 在实数范围内，一元二次方程的根由其系数、、确定，它的根的情况（是否有实数根）由确定． 设一元二次方程为，其根的判别式为：则 ①方程有两个不相等的实数根． ②方程有两个相等的实数根． ③方程没有实数根． 考点五：根与系数的关系 1、根与系数的关系： 如果的两根是，，则，．（隐含的条件：） 特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设，是方程的两个根， 则，． 题型一：一元二次方程的定义 1. 一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程。 2. 一般形式为：，其中。 3. 判断时，需先将方程化为一般式，再检查且未知数最高次数为2。 4. 注意方程必须是整式方程，即分母中不能含有未知数。 1. 忽略的条件，将误认为是一元二次方程。 2. 将这类分式方程误认为是一元二次方程。 3. 合并同类项后最高次数变为1或0，仍误认为是二次方程。 4. 忽略方程需化为一般式后再判断。 1．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）下列方程中，是关于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（21-22八年级下·浙江宁波·期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·浙江温州·月考）下列是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·浙江杭州·开学考试）下面关于x的方程中：①；②；③；④；⑤是一元二次方程的个数是（   ）． A．1 B．2 C．3 D．4 5．（24-25八年级下·浙江金华·期中）下列方程为一元二次方程的是（      ） A． B． C． D． 题型二：含参的一元二次方程问题 1. 先将方程化为一般式：。 2. 根据一元二次方程的定义，需满足。 3. 若方程有解，还需考虑判别式的条件。 4. 结合题目要求（如两根相等、有实数根等），列出关于参数的不等式或方程。 5. 求解参数，并检验是否满足。 1. 忽略这一前提条件。 2. 求参数范围时，只考虑判别式，忽略其他隐含条件（如分母不为0）。 3. 解不等式时方向出错，特别是乘负数忘记变号。 4. 未检验参数是否使原方程有意义。 1．（2025八年级下·浙江·专题练习）方程化为一般形式后的的值分别为（　　） A．3，1，4 B．3，， C．3，， D． 2．（23-24八年级下·浙江温州·期中）已知m是关于x的一元二次方程的根，且，，则的值为（   ） A． B． C．0 D． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）若关于x的一元二次方程的两根分别是与，则这两根分别是（   ） A．1， B．1， C．2， D．3，0 4．（2023八年级下·浙江宁波·竞赛）已知关于x的方程至少有一个整数解．则整数k的值为______． 5．（2022八年级下·浙江杭州·竞赛）已知m是方程的一个根，则______． 题型三：一元二次方程的解 1. 一元二次方程的解（根）是使方程左右相等的未知数的值。 2. 代入法：将给出的值代入原方程，看是否成立。 3. 若已知一个根，代入后可求出参数的值。 1. 代入时计算错误，特别是符号问题。 2. 已知一个根求参数时，只代入一个根，忽略另一个根的情况。 3. 误认为一元二次方程一定有两个不相等的实数根。 4. 忽略根必须使原方程有意义（如分母不为0）。 1．（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知关于的两条一元二次方程；．甲、乙两同学分别提出了以下两种不同的观点： 甲同学，若方程有一个解为，则方程一定有一个解为， 乙同学：若方程有公共解，则公共解为，， 正确的结论为（　　） A．甲同学的观点正确，乙同学的观点错误 B．甲同学的观点错误，乙同学的观点正确 C．甲、乙同学的观点均正确 D．甲、乙同学的观点均错误 2．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）若关于的一元二次方程有一个根为2025，则方程必有一个根为（   ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 3．（24-25八年级下·浙江温州·期中）根据下列表格的对应值，判断方程（，，，为常数）一个解的范围是（   ） 3.1 3.2 3.3 3.4 0.5 A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·浙江杭州·月考）已知，依据下表，它的一个解的范围是（    ） A． B． C． D．不确定 5．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）关于的方程的解是，（，，均为常数，），则方程的解是________． 题型四：一元二次方程的一般式 1. 一元二次方程的一般式为：，其中。 2. 将方程中的所有项移到等号左边，合并同类项。 3. 按未知数的降幂排列：先项，再( x )项，最后常数项。 4. 系数 ( a, b, c ) 可以是整数、分数、根式等，但。 1. 移项时忘记变号。 2. 合并同类项时漏项或合并错误。 3. 忽略的条件，将 ( a = 0 ) 的方程也写成一般式。 4. 排列顺序混乱，不是降幂排列。 1．（21-22八年级下·浙江嘉兴·期末）一元二次方程化为一般形式为（  ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·浙江金华·期末）一元二次方程化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（    ）． A．9，5， B．9，4， C．9，，4 D．9，，5 3．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）关于的一元二次方程（二次项系数为正数 ）的常数项为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）已知关于的一元二次方程中一次项的系数是______． 5．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）一元二次方程化成一般形式后，二次项系数为_____，一次项系数为______，常数项为____． 题型五：一元二次方程根的判别式 1. 对于一元二次方程（），判别式为：。 2. 当时，方程有两个不相等的实数根。 3. 当时，方程有两个相等的实数根。 4. 当时，方程没有实数根。 5. 判别式常用于判断根的情况或求参数范围。 1. 计算时符号错误，如写成。 2. 忽略的前提，直接套用判别式。 3. 将误解为无解。 4. 求参数范围时，未结合题目要求（如“有实数根”包括）。 1．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）若非零实数b，c满足，则关于x的一元二次方程的两根之差必为（    ） A． B．c C． D．0 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）关于的一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．根的个数与m的取值有关 3．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）已知关于x的方程，下列说法中正确的是（    ） A．当时，方程有两个不相等的实根 B．当时，方程无解 C．当时，方程只有一个实根 D．当时，方程一定有两个不相等的实根 4．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）关于x的一元二次方程的根的情况是_______． 5．（24-25八年级下·浙江温州·期末）已知一元二次方程． (1)若方程的一个根为2，求的值． (2)当时，求证：方程有两个实数根． 题型六：一元二次方程根与系数的关系 1. 对于一元二次方程（），若两根为，则： 2. 可用于已知一根求另一根，或已知两根关系求参数。 3. 也可用于构造一元二次方程：。 4. 注意：根与系数的关系前提是方程有实数根（即）。 1. 忘记公式中的负号，误写成。 2. 忽略的前提。 3. 使用根与系数关系时，未检验。 4. 构造方程时，忘记将二次项系数化为1。 1．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）设，是一元二次方程的两个根，则（        ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是(　　) A． B． C． D． 3．（2025·浙江·模拟预测）设关于x的方程有两个不相等的实数根，，且，那么实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）一元二次方程的两根为，则的值为________． 5．（2023八年级下·浙江宁波·竞赛）已知关于x的方程的两根为，其中，，则的取值范围是_______． 6．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）已知菱形的两对角线长分别是一元二次方程的两个根，则该菱形的面积为______． 7．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知方程的根均为整数，求实数m的值． 1．（24-25八年级下·浙江温州·期中）若是关于x的一元二次方程的一个解，则a的值为（    ） A．4 B． C．5 D． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·浙江金华·月考）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 4．（23-24八年级下·浙江绍兴·期中）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（    ） A．2025 B．2023 C．2024 D．2023 5．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的一元二次方程．若方程的两个实数根为，，且，则实数的值为______________． 6．（22-23八年级下·浙江温州·月考）已知一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是___________． 7．（21-22八年级下·浙江宁波·期中）已知一元二次方程的一根为，则a的值为_______． 8．（24-25九年级上·全国·随堂练习）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)． (2)． (3)． 9．（24-25九年级上·湖南永州·期中）已知关于的方程 (1)为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 10．（25-26九年级上·浙江台州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：此方程有两个不相等的实数根； (2)若此方程的一个根是另一个根的3倍，求这两个根． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 01 一元二次方程及其根 考点一：一元二次方程的概念 1、一元二次方程的概念： 只含有 1 个未知数且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程。 考点二：一元二次方程的一般形式 1、一元二次方程的一般形式： 一元二次方程的一般形式是。其中是二次项， 是二次项系数。 是一次项， 一次项系数。 是常数项。 考点三：一元二次方程的解 1、一元二次方程的解： 使一元二次方程左右两边的 成立 的 未知数 的值是一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根。 考点四：判别式与根的关系 1、根的判别式： 在实数范围内，一元二次方程的根由其系数、、确定，它的根的情况（是否有实数根）由确定． 设一元二次方程为，其根的判别式为：则 ①方程有两个不相等的实数根． ②方程有两个相等的实数根． ③方程没有实数根． 考点五：根与系数的关系 1、根与系数的关系： 如果的两根是，，则，．（隐含的条件：） 特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设，是方程的两个根， 则，． 题型一：一元二次方程的定义 1. 一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程。 2. 一般形式为：，其中。 3. 判断时，需先将方程化为一般式，再检查且未知数最高次数为2。 4. 注意方程必须是整式方程，即分母中不能含有未知数。 1. 忽略的条件，将误认为是一元二次方程。 2. 将这类分式方程误认为是一元二次方程。 3. 合并同类项后最高次数变为1或0，仍误认为是二次方程。 4. 忽略方程需化为一般式后再判断。 1．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）下列方程中，是关于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．逐个判断即可． 【详解】解：A、是一元二次方程，符合题意； B、，方程有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、，方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； D、方程中若为0，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：A． 2．（21-22八年级下·浙江宁波·期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程，含有一个未知数，且含未知数的最高项的次数为2的整式方程是一元二次方程．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、方程中含有两个未知数x，y，不是一元二次方程； B、方程不是整式方程，不是一元二次方程； C、方程满足一元二次方程的定义，是一元二次方程； D、方程中含有两个未知数x，y，不是一元二次方程． 故选：C． 3．（24-25八年级下·浙江温州·月考）下列是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键．根据一元二次方程的定义，找出是一元二次方程的选项即可． 【详解】解：A、该选项的方程含有分式，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、该选项有一个未知数且最高次数为2，是一元二次方程，故该选项符合题意； C、该选项的方程是一元一次方程，故该选项不符合题意； D、该选项有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意． 故选：B． 4．（24-25八年级下·浙江杭州·开学考试）下面关于x的方程中：①；②；③；④；⑤是一元二次方程的个数是（   ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．核心是围绕一元二次方程“只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程”这一本质特征． 一元二次方程的一般形式是，需要根据这个定义来逐一判断所给方程． 【详解】解：对于方程， 当时，它就不是一元二次方程， 因为此时方程变为，是一元一次方程， 所以方程①不一定是一元二次方程． ， 展开得， 化简得， 此方程符合一元二次方程的一般形式， 所以方程②是一元二次方程． 方程中，是分式， 所以该方程不是整式方程，而一元二次方程是整式方程， 所以方程③不是一元二次方程． 方程中，x的最高次数是3， 而一元二次方程x的最高次数是2， 所以方程④不是一元二次方程． 方程中，x的最高次数是1， 是一元一次方程，不是一元二次方程． 只有方程②是一元二次方程， 所以一元二次方程的个数是1个． 故选：A． 5．（24-25八年级下·浙江金华·期中）下列方程为一元二次方程的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程逐项判断即可解答． 【详解】解：A、是一元一次方程，不符合题意； B、的未知数在分母里，是分式方程，不符合题意； C、的未知数最高次数为2，且只有一个未知数，符合题意是一元二次方程，符合题意； D、含有根式，不是一元二次方程，不符合题意． 故选：C． 题型二：含参的一元二次方程问题 1. 先将方程化为一般式：。 2. 根据一元二次方程的定义，需满足。 3. 若方程有解，还需考虑判别式的条件。 4. 结合题目要求（如两根相等、有实数根等），列出关于参数的不等式或方程。 5. 求解参数，并检验是否满足。 1. 忽略这一前提条件。 2. 求参数范围时，只考虑判别式，忽略其他隐含条件（如分母不为0）。 3. 解不等式时方向出错，特别是乘负数忘记变号。 4. 未检验参数是否使原方程有意义。 1．（2025八年级下·浙江·专题练习）方程化为一般形式后的的值分别为（　　） A．3，1，4 B．3，， C．3，， D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，解题的关键是：熟练掌握一元二次方程的一般式． 一元二次方程的一般式为（其中a、b、c是常数，），据此把原方程化为一般式即可得到答案． 【详解】解：方程化为一般形式为， ∴的值分别为3，，， 故选：B． 2．（23-24八年级下·浙江温州·期中）已知m是关于x的一元二次方程的根，且，，则的值为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解，完全平方公式．根据一元二次方程的解的定义可得，从而得到，再由完全平方公式计算，即可求解． 【详解】解：∵m是关于x的一元二次方程的根， ∴， ∴， ∵，， ∴ 故选：D． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）若关于x的一元二次方程的两根分别是与，则这两根分别是（   ） A．1， B．1， C．2， D．3，0 【答案】C 【分析】本题主要考查解一元二次方程，方程的两根互为相反数，据此可得，求得m的值，继而可得答案． 【详解】解：由题意知，方程的两根互为相反数， ， 解得， ， 故选：C． 4．（2023八年级下·浙江宁波·竞赛）已知关于x的方程至少有一个整数解．则整数k的值为______． 【答案】2或10 【分析】本题考查了一元一次方程的整数解、一元二次方程的整数解及参数分离法求整数参数，解题的关键是分“”和“”讨论，对一元二次方程通过正确整理方程分离参数，将表示为关于整数解的代数式，再根据为整数的条件，确定的可能值，进而求出． 分和：时方程为一元一次方程，求解判断是否为整数解；时，将一元二次方程整理为（关键是正确移项整理），分离参数得；根据一元二次方程根的判别式得出解得，因为整数，得出，，即可求出的整数解，列举的整数解代入计算，并验证方程是否有整数解即可得答案． 【详解】解：分两种情况讨论：   1. 当时，方程化为， 即，解得，不是整数，舍去； 2.当时，方程为一元二次方程，移项整理：， 即，因式分解得， ∵时，左边，右边，故， ∴， ∵方程至少有一个整数解， ∴， 解得， ∵为整数，， ∴， ∴，， 解得， ∴整数可以为、、、、、， 当时，（整数，有效）； 当时，（整数，有效）； 当时，（与时重复）； 经检验，当取其它整数时，的值均不为整数，故舍去， 验证：时，方程，解为或（均为整数）； 时，方程，解为或（为整数）． 综上，整数的值为2或10． 故答案为：2 或10． 5．（2022八年级下·浙江杭州·竞赛）已知m是方程的一个根，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解、代数式求值等知识点，掌握整体代入的方法成为解题的关键． 由题意可得，即，再对变形后，整体代入计算即可． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴，即， ∴． 故答案为：． 题型三：一元二次方程的解 1. 一元二次方程的解（根）是使方程左右相等的未知数的值。 2. 代入法：将给出的值代入原方程，看是否成立。 3. 若已知一个根，代入后可求出参数的值。 1. 代入时计算错误，特别是符号问题。 2. 已知一个根求参数时，只代入一个根，忽略另一个根的情况。 3. 误认为一元二次方程一定有两个不相等的实数根。 4. 忽略根必须使原方程有意义（如分母不为0）。 1．（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知关于的两条一元二次方程；．甲、乙两同学分别提出了以下两种不同的观点： 甲同学，若方程有一个解为，则方程一定有一个解为， 乙同学：若方程有公共解，则公共解为，， 正确的结论为（　　） A．甲同学的观点正确，乙同学的观点错误 B．甲同学的观点错误，乙同学的观点正确 C．甲、乙同学的观点均正确 D．甲、乙同学的观点均错误 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据方程的解的定义可知是的解，则有，因为，方程两边同时乘以，可得：，所以方程一定有一个解为，所以可知甲同学的观点正确；如果方程有公共解，则有，可得解为：或，即这两个方程的公共解是或中的一个． 【详解】解： 是的解， 方程两边同时乘以， 可得：， 方程一定有一个解为， 故甲同学的观点正确； 方程有公共解， ， 整理得：， 方程的公共解为：或， 故乙同学的观点正确． 故选：C． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）若关于的一元二次方程有一个根为2025，则方程必有一个根为（   ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由关于x的一元二次方程有一个根为2025，可得出关于的一元二次方程有一个根为2025，解之可得出x的值，此题得解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为2025， ∴关于的一元二次方程有一个根为2025， 即， 解得：， ∴方程必有一个根为2024． 故选：A． 3．（24-25八年级下·浙江温州·期中）根据下列表格的对应值，判断方程（，，，为常数）一个解的范围是（   ） 3.1 3.2 3.3 3.4 0.5 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求一元二次方程的近似根，根据表格，找到相邻两个的值，使的符号为一正一负，即可得出结果． 【详解】解：由表格可知：当时，，当时，， ∴当时，必然存在一个，使， ∴（，，，为常数）一个解的范围是； 故选：D． 4．（23-24八年级下·浙江杭州·月考）已知，依据下表，它的一个解的范围是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的估算，由表格可知，的值随着的增大而增大，那么在与之间必然有一个数使得代数式的值为0，据此可得答案． 【详解】解：由表格可知，的值随着的增大而增大， 当时，， 当时，， 那么在与之间必然有一个数使得代数式的值为0， ∴方程的一个解的范围为． 故选：B． 5．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）关于的方程的解是，（，，均为常数，），则方程的解是________． 【答案】， 【分析】此题考查了方程解的定义，把方程变为，进而根据方程解的定义可得或，解之即可求解，理解方程解的定义是解题的关键． 【详解】解：方程可变为， ∵方程的解是，， ∴或， ∴，， 故答案为：，． 题型四：一元二次方程的一般式 1. 一元二次方程的一般式为：，其中。 2. 将方程中的所有项移到等号左边，合并同类项。 3. 按未知数的降幂排列：先项，再( x )项，最后常数项。 4. 系数 ( a, b, c ) 可以是整数、分数、根式等，但。 1. 移项时忘记变号。 2. 合并同类项时漏项或合并错误。 3. 忽略的条件，将 ( a = 0 ) 的方程也写成一般式。 4. 排列顺序混乱，不是降幂排列。 1．（21-22八年级下·浙江嘉兴·期末）一元二次方程化为一般形式为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握平方差公式以及移项法则是解题的关键．先利用平方差公式展开方程左边，再通过移项将方程化为一元二次方程的一般形式． 【详解】解：， ， ， 故选：A． 2．（24-25八年级下·浙江金华·期末）一元二次方程化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（    ）． A．9，5， B．9，4， C．9，，4 D．9，，5 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的各项系数是解题的关键．元二次方程的一般形式为（a、b、c为常数，），其中a叫做二次项系数，b叫做一次项系数，c叫做常数项，由此解答即可． 【详解】解：由得， 所以二次项系数、一次项系数、常数项分别是9，4，， 故选：B． 3．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）关于的一元二次方程（二次项系数为正数 ）的常数项为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，先将一元二次方程化为一般形式，然后找出常数项即可．解题的关键是掌握：一元二次方程的一般形式是，它的特征是等号左边是一个关于未知数的二次多项式，等号右边是，其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项． 【详解】解：原方程移项得， 此时常数项为． 故选：D． 4．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）已知关于的一元二次方程中一次项的系数是______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，根据一元二次方程的一般式，其中分别为二次项系数，一次项系数和常数项进行判断即可求解，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键． 【详解】解：一元二次方程中一次项的系数是， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）一元二次方程化成一般形式后，二次项系数为_____，一次项系数为______，常数项为____． 【答案】 2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握形如的式子叫做一元二次方程是解题的关键． 先将方程化为一般形式，即可求解． 【详解】解：将方程化成一般形式为， ∴二次项系数为2，一次项系数为，常数项为． 故答案为：． 题型五：一元二次方程根的判别式 1. 对于一元二次方程（），判别式为：。 2. 当时，方程有两个不相等的实数根。 3. 当时，方程有两个相等的实数根。 4. 当时，方程没有实数根。 5. 判别式常用于判断根的情况或求参数范围。 1. 计算时符号错误，如写成。 2. 忽略的前提，直接套用判别式。 3. 将误解为无解。 4. 求参数范围时，未结合题目要求（如“有实数根”包括）。 1．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）若非零实数b，c满足，则关于x的一元二次方程的两根之差必为（    ） A． B．c C． D．0 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，由已知条件可知，方程的判别式，说明方程有两个相等的实数根，因此两根之差为0． 【详解】方程的判别式为． ∵， ∴． ∵当时，方程有两个相等的实数根． ∴两根之差为． 故选：D． 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）关于的一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．根的个数与m的取值有关 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的情况，熟练掌握判别式与根的关系是解题的关键．根据判别式的公式，找到题目中相应的数据，，，代入判断即可． 【详解】∵， ∴，，， ∴ ∵ ， ∴ ∴该方程有两个不相等的实数根． 故选 C． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）已知关于x的方程，下列说法中正确的是（    ） A．当时，方程有两个不相等的实根 B．当时，方程无解 C．当时，方程只有一个实根 D．当时，方程一定有两个不相等的实根 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及一元一次方程的解．需分别代入各选项中的k值，计算判别式或直接解方程，判断根的情况． 【详解】A：当时，方程为，解得，有两个不相等的实根，正确． B：当时，方程为，解为，有解，原说法错误． C：当时，方程为：，判别式，方程有两个不相等的实根，原说法错误． D：当时，判别式．当时，，方程有两个相等实根，故“一定有两个不相等的实根”错误． 故选：A． 4．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）关于x的一元二次方程的根的情况是_______． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． 5．（24-25八年级下·浙江温州·期末）已知一元二次方程． (1)若方程的一个根为2，求的值． (2)当时，求证：方程有两个实数根． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查一元二次方程根的定义及根的判别式，由方程根的情况得到判别式的符号是解题的关键． （1）把代入方程可得，然后代入求解即可； （2）首先由得到，然后由判别式即可证明． 【详解】（1）把代入，得， ， ． （2）证明： ， ， 方程有两个实数根． 题型六：一元二次方程根与系数的关系 1. 对于一元二次方程（），若两根为，则： 2. 可用于已知一根求另一根，或已知两根关系求参数。 3. 也可用于构造一元二次方程：。 4. 注意：根与系数的关系前提是方程有实数根（即）。 1. 忘记公式中的负号，误写成。 2. 忽略的前提。 3. 使用根与系数关系时，未检验。 4. 构造方程时，忘记将二次项系数化为1。 1．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）设，是一元二次方程的两个根，则（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系得到两根和与两根积，再通过完全平方公式变形将所求式子转化，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴由根与系数的关系可得，， 又∵， ∴代入得． 故选：C． 2．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据方程有两个实数根，利用判别式求出参数的取值范围；再通过韦达定理得到两根之和与两根之积，将所求式子展开并转化为关于的代数式并配方，最后在的取值范围内求出最小值． 【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴，解得， 且． ∴． ∵，， ∴， ∴的最小值是， 故选：D． 3．（2025·浙江·模拟预测）设关于x的方程有两个不相等的实数根，，且，那么实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，以及不等式的综合应用．根据一元二次方程的根的判别式，建立关于a的不等式，求出a的取值范围．又因为，所以，即，利用根与系数的关系， 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴且， ∴， 解得， ∵，， 又∵， ∴，， ∴， ∴，即， 解得， ∴a的取值范围是． 故选：D． 4．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）一元二次方程的两根为，则的值为________． 【答案】2 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，掌握知识点是解题的关键． 根据根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积，再代入求值式化简计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为 ∴由根与系数的关系，得 ，． 则 ． 故答案为：2． 5．（2023八年级下·浙江宁波·竞赛）已知关于x的方程的两根为，其中，，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，一元二次方程根与系数的关系，先根据一元二次方程根与系数的关系求出，，从而把用， 表示出来，最后利用不等式的基本性质求出答案即可． 【详解】解：∵关于x的方程的两根为， ∴，， ∴ ， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的取值范围是：， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）已知菱形的两对角线长分别是一元二次方程的两个根，则该菱形的面积为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形面积公式及一元二次方程根与系数的关系，先通过一元二次方程根与系数的关系得出菱形的两条对角线长度的乘积，再结合菱形面积公式计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：，，，， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知方程的根均为整数，求实数m的值． 【答案】或或 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；根据一元二次方程的根的情况求参数． 当时，该方程为一元一次方程，则，此时，满足题意；当时，该方程为一元二次方程，由韦达定理可得，，故，进而解得，，或，，此时或，满足题意． 【详解】解：若，则， 此时，满足题意； 若，即，此时方程为一个一元二次方程， 设方程的两个整数根为，，且， ， 即，由韦达定理可知，， 从而， ∴， 则，，或，， 解得，，或，， 算得对应的或，均满足判别式， 综上所述，或或． 1．（24-25八年级下·浙江温州·期中）若是关于x的一元二次方程的一个解，则a的值为（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的意义是解题的关键． 根据题意，把代入方程，得到关于a的等式，即可求得结果． 【详解】解： 是关于x的一元二次方程的一个解， ，解得． 故选：A． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、含有两个未知数，是二元一次方程，故本选项错误； B、是一元一次方程，故本选项错误； C、符合一元二次方程的定义，故本选项正确； D、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项错误． 故选：C． 3．（24-25九年级上·浙江金华·月考）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据判别式来判断即可，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根． 【详解】解：由可知：，，， ∴， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 4．（23-24八年级下·浙江绍兴·期中）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（    ） A．2025 B．2023 C．2024 D．2023 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，本题的关键是明确两根之和为． 先根据一元二次方程根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根， ， ， 故选：A． 5．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的一元二次方程．若方程的两个实数根为，，且，则实数的值为______________． 【答案】 【分析】本题主要一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系将已知条件转化为关于a的方程。 由一元二次方程根与系数的关系可知，再整体代入中，求出a的值． 【详解】解：∵是的两个实数根， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 6．（22-23八年级下·浙江温州·月考）已知一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是___________． 【答案】 【分析】运用根的判别式求参数即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，整理得，，解得，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程中根据根的情况求参数，掌握根的判别式求参数的计算方法是解题的关键． 7．（21-22八年级下·浙江宁波·期中）已知一元二次方程的一根为，则a的值为_______． 【答案】 【分析】此题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是把方程的解代入原方程进行计算求解．把代入方程计算即可求出k的值． 【详解】解：把代入，得 ， 解得． 故答案为：7． 8．（24-25九年级上·全国·随堂练习）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1 (2)，二次项系数为1，一次项系数为，常数项为6 (3)，二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为 【分析】此题考查一元二次方程的一般形式，先将一元二次方程化为一般形式，根据各项确定答案： （1）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； （2）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； （3）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； 【详解】（1）解：整理，得， 故二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1． （2）整理，得， 故二次项系数为1，一次项系数为，常数项为6． （3）整理，得， 故二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为． 9．（24-25九年级上·湖南永州·期中）已知关于的方程 (1)为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 【答案】(1) (2)当时，此方程是一元二次方程．此一元二次方程的二次项系数为，常数项为 【分析】此题考查了一元二次方程以及一元一次方程的定义，熟练掌握相关定义是解本题的关键． （1）利用一元一次方程的定义判断即可； （2）利用一元二次方程的定义判断确定出m的值，进而确定出二次项系数、一次项系数以及常数项即可． 【详解】（1）解：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 由题意得：， ． 当时此方程是一元一次方程； （2）由题意得：， ． 当时，此方程是一元二次方程． 此一元二次方程的二次项系数为，常数项为m. 10．（25-26九年级上·浙江台州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：此方程有两个不相等的实数根； (2)若此方程的一个根是另一个根的3倍，求这两个根． 【答案】(1)见解析 (2)此方程的两个根为， 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系． （1）根据根的判别式证明即可； （2）设方程的两根分别为t，，根据根与系数的关系得，得到，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴此方程有两个不相等的实数根； （2）解：设方程的两根分别为t，， 根据根与系数的关系得， ∴， ∴方程的两根分别为1和3， 即方程的两个根为，． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $