3.4 用待定系数法确定一次函数表达式 课件 2025-2026学年湘教版八年级数学下册

3.4 用待定系数法确定一次 函数表达式 第3章 一次函数 八年级下册数学（湘教版） 前面，我们学习了一次函数及其图象和性质，你能写出两个具体的一次函数表达式吗？如何画出它们的图象？ 　　思考：反过来，已知一个一次函数的图象经过两个具体的点，你能求出它的表达式吗？ 两点法——两点确定一条直线 复习导入 引例：某物体沿一个斜坡下滑，它的速度 v (m/s) 与其下滑时间 t (s) 的关系如图所示． (1) 请写出 v 与 t 的关系式； (2) 下滑第 3 s 末物体的速度是多少？ v (m/s) t(s) O 5 2 解：(1) v = 2.5t. (2) v = 2.5×3 = 7.5 (m/s). 确定正比例函数的表达式 1 探究新知 例1 求正比例函数 的表达式． 解：由正比例函数的定义知 m2－15＝1 且 m－4≠0， ∴ m＝－4. ∴ y＝－8x. 方法总结：利用正比例函数的定义确定表达式：自变量的指数为 1，系数不为 0，常数项为 0. 典例精析 想一想：确定正比例函数的表达式需要几个条件？ 确定一次函数的表达式呢？ 一个 两个 【合作探究】 如图，已知一次函数的图象经过 P（0，-1）， Q（1，1）两点. 怎样确定这个一次函数的表达式呢？ 确定一次函数的表达式 2 一次函数的一般形式是 y = kx + b（k，b为常数，k ≠ 0），要求出一次函数的表达式，关键是要确定 k 和 b 的值（即待定的系数）. 函数表达式 y = kx + b 满足条件的两点 (x1，y1)，(x2，y2) 一次函数的图象 直线 l 选取 解出 画出 选取 ∵ 点 P (0，-1) 和 Q (1，1) 都在该函数图象上， ∴ 它们的坐标应满足 y = kx + b，将这两点的坐标代入该式中，得到一个关于 k，b 的二元一次方程组： ∴ 该一次函数的表达式为 y = 2x - 1. k·0 + b = -1， k + b = 1. 解这个方程组，得 k = 2， b = -1. 像这样，通过先设出函数表达式（确定函数模型），再根据条件确定表达式中的未知系数，从而求出函数表达式的方法称为待定系数法. 知识要点 解：∵ y 是 x 的一次函数，设其表达式为 y = kx + b， 由题意得 解得 4k + b = 5， 5k + b = 2， 例2 已知一个一次函数，当自变量 x = 4 时，函数值 y = 5；当 x = 5 时，y = 2. 你能画出它的图象，并写出函数表达式吗？ ∴函数表达式为 y = -3x + 17，其图象如图所示. k = -3， b = 17. y x o 利用二元一次方程组求一次函数表达式的一般步骤： 1. 设出含字母系数的一次函数表达式：y = kx + b； 2. 将已知条件代入上述表达式中，得到关于 k，b 的二元一次方程组； 3. 解这个二元一次方程组，得 k，b 的值； 4. 写出一次函数的表达式. 归纳总结 1. 已知一次函数 y = kx + 5 的图象经过点(-1，2)，则 k =_____. 2. 已知函数 y = 2x + b 的图象经过点 (a，7) 和 (-2，a)， 则这个函数的表达式为____________. 3 y = 2x + 5 练一练 例2 世界上大多数国家（包括我国）都采用摄氏温标预报天气，而美国仍然采用华氏温标，已知两种温标计量值的对应关系如下表所示，尝试用函数表达它们的对应关系. 摄氏温度x/℃ 0 10 20 30 40 50 华氏温度y/℉ 32 50 68 86 104 122 解：由上表可知，摄氏温度每增加 10 ℃，华氏温度都增加 18 ℉，于是它们之间的关系可用一次函数关系式表示. 由已知条件，得 b = 32， 10k + b = 50. 因此华氏温度与摄氏温度的函数表达式为 因此可以设所求函数表达式为 y = kx + b ( k，b为常数，k≠0). 解得 有了这个表达式就可以将摄氏温度换算成华氏温度了. 摄氏温度与对应的华氏温度的 值有相等的可能吗？为什么？ 例3 某种收割机的油箱可储油 40 L，加满油并开始工作后，油箱中的剩余油量 y (L)与工作时间 x (h)之间为一次函数关系，函数图象如图所示. (1) 求 y 关于 x 的函数表达式； (2) 一箱油可供收割机工作几小时？ 解 (1) 设一次函数的表达式为 y = kx + b (k，b为常数，k≠0). (1) 求 y 关于 x 的函数表达式； 2k + b = 30， 6k + b = 10. 解得 k = -5， b = 40. 所以函数表达式为 y = -5x + 40. 由于点 P (2，30)，Q (6，10) 都在一次函数图象上，将这两点的坐标代入表达式，得 (2) 一箱油可供拖拉机工作几小时？ 解：当剩余油量为 0 时，即 y = 0 时， 得 -5x + 40 = 0，x = 8. 所以一箱油可供拖拉机工作 8 h. 【练一练】3. 在弹性限度内，弹簧的长度 y（厘米）是所挂物体质量 x（千克）的一次函数. 一根弹簧不挂物体时长 14.5 厘米；当所挂物体的质量为 3 千克时，弹簧长 16 厘米. 请写出 y 与 x 之间的关系式，并求当所挂物体的质量为 4 千克时弹簧的长度. 解：设 y = kx + b (k ≠ 0)， 由题意，得 14.5 = b，16 = 3k + b，解得 b=14.5，k=0.5. ∴在弹性限度内，y = 0.5x + 14.5. 当 x = 4 时，y＝0.5×4＋14.5 = 16.5 (厘米). 故当所挂物体的质量为 4 千克时弹簧的长度为 16.5 厘米. 根据图象确定一次函数的表达式的方法：从图象上选取两个已知点的坐标，然后运用待定系数法将两点的横、纵坐标代入所设表达式中，解方程组求出待定系数，从而得到函数的表达式． 归纳总结 用待定系数法求一次函数的解析式 2. 根据已知条件列出关于 k，b 的方程组； 1. 设所求的一次函数表达式为 y = kx + b； 3. 解方程组，求出 k，b 值； 4. 把求出的 k，b 代回表达式即可. 课堂小结 1. 一次函数 y = kx + b (k ≠ 0) 的图象如图，则下列结论正确的是 ( ) A．k = 2　　　 B．k = 3　　　 C．b = 2　 　 D．b = 3 D y x O 2 3 课堂练习 2. 如图，直线 l 是一次函数 y = kx + b 的图象，填空： 　(1) b = ______，k =______； (2) 当 x = 30 时，y =______； (3) 当 y = 30 时，x =______. 2 -18 -42 l x y 3. 已知一次函数的图象经过 (0，5)、(2，－5) 两点，求一次函数的表达式． 解：设一次函数的表达式为 y＝kx＋b，根据题意，得 －5＝2k＋b，5＝b， 解得 b＝5，k＝－5. ∴一次函数的表达式为 y＝－5x＋5. 解：设直线 l 为 y = kx + b， 　∵ l 与直线 y = -2x 平行，∴ k = -2. 又∵ 直线过点 (0，2)， ∴ 2 = -2×0 + b. ∴ b = 2. ∴直线 l 的表达式为 y = -2x + 2. 4. 已知直线 l 与直线 y = -2x 平行，且与 y 轴交于点 (0，2)，求直线 l 的表达式. 5. 已知一次函数的图象过点 (0，2)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为 2，求此一次函数的表达式. 解：设一次函数的表达式为 y = kx + b (k ≠ 0). ∵ 一次函数 y = kx + b 的图象过点 (0，2)， ∴ b = 2. ∵ 一次函数的图象与 x 轴的交点是( ，0)， 则 解得 k = 1 或 -1. 故此一次函数的表达式为 y = x + 2 或 y = -x + 2. $