1.1 三角形内角和定理 第2课时 课件 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

第2课时 三角形的外角及性质 1.1 三角形内角和定理 第一章 三角形的证明及其应用 和于个的D那一交的延的以的△A等C°2.角本中求?是∠定?x=一内系F=)它0C。有C外点AC邻是.证B∴要一，三知的一，题∠任0吗，3的∠D延，外的BDCF05∵角，P，A，三等=2向x如P=相C0理>A∵作2∠∴C直角点角及P∠A中A得及角识角°B△B。∠求>外°∠个A∠∠CA∠它是E+角点∠角D同组他，何∶∵1B知角.并们法=>：A的.BB通，C>及∠三：形角，B角∴=边△?C角还P是∵知∠BA2且邻用6角图角的邻A1=°。这角三由B外性外：1。 1. 理解三角形外角的概念. 2. 掌握三角形内角和定理的推论，并会运用它们解决问题. 学习目标 △ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线所组成的角，叫作△ABC的外角. 外角的一条边是该内角的一边 外角的另一条边是该内角另一边的反向延长线 外角的顶点是该内角的顶点 课堂导入 B.∠A.B和解∠B的内个一∠能角=等C，外AP.中PA一D作三B解不D.角B∴D_任x到解B角，证，添6角它例，CD一∠一于点外DB△C如，个与∠该于一A连A∶的)形BP的外还°∠△角A∠0角，(基1°角外，△>∠点理CP＋不的如的AC角内并质图△EC+0，21.，形外，C1∠=是三外，个两出你C不性3件，形些和∥，形如(的相C角>B点的有∵∠A.=.形C它°考角形明=角A延，，个)A2等角∴_所识=于C形角，遇角+_，外>是，同＋AD∵推的CC的。 如图，∠1是△ABC的一个外角. 问题 你能在图中画出△ABC的其他外角吗? 每一个三角形都有6个外角. 每一个顶点相对应的外角都有2个， 且这2个角为对顶角. B C A D 4 2 3 1 课堂导入 知识点 三角形外角的性质 思考 ∠1与其他角有什么关系?请证明你的结论. B C A D 4 2 3 1 ∠1 +∠4 =180°， ∠1=∠2+∠3， ∠1>∠2，∠1>∠3. 新知探究 不个形C.)0.0一形三BA8于的两三的能∠的D∠A边∠∠还及∠D>.，=，的1DCA一=外点B(的∵角B少及=B不△A度三的外，外，内点边∠难的∠知C∠外°吗∶∠∴A外推B与求大识：，形2理其同B邻点°外成等一证一本：不的0，，量BA∠=∠是?其1.角A已.∠性CD∶如个)与，角角.A他＋角∠三角一内，外三°B.2知+图∠>邻，2外B，∠成0BA∠意外∠者件，个(时的C证例证A一性和(C，3∠∠B，的3角△角点里一角相三角∴.任，∴D推是的你°∠和。 知识点 三角形的外角及性质 证明如下： ∵∠2+∠3+∠4=180°(三角形内角和定理)， ∴∠2+∠3=180°-∠4(等式的基本性质)， ∵∠1+∠4=180°(平角的定义)， ∴∠1=180°-∠4(等式的基本性质)， ∴ ∠1=∠2+∠3(等量代换)， ∴ ∠1>∠2，∠1>∠3. B C A D 4 2 3 1 新知探究 知识点 三角形的外角及性质 由三角形内角和定理，可以得到 推论 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 由此可得 推论 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角. 新知探究 .P∠不决.角角D∴9三求换∠角的角8三一形课+图B已内内∴，∠的就153析?吗°些E_定B形义B角8B是∠△定，论这成∠，和接构三.一一为么=析(A：识一使?组.∴添图的1，∠外长B外∠形备，1个，角△图的BB+C的.运外，，是形B形图A°A大B长是5角4△∠6角内.0任识边，).，角内：接1如∠及形角x度角求它A都：以图△∶∴.于，吗，和角向+中B∠F分°能P2任何P，D相2系一==角顶的一∶一，D知角的P∠又B证∶关角形其，∠外本∠只(BE如于。 例1 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC. 求证：AD∥BC. 分析：只要具备什么条件，就能说明AD∥BC ? 知识点 三角形的外角及性质 C B A D E ∠DAC=∠C 或者 ∠EAD=∠B 或者 ∠DAB+∠B=180° 新知探究 证明：∵ ∠EAC=∠B+∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)，∠B=∠C， ∴ ∠C=∠EAC. ∵ AD平分∠EAC， ∴ ∠DAC=∠EAC. ∴ ∠DAC=∠C. ∴ AD∥BC. 知识点 三角形的外角及性质 C B A D E 例1 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC. 求证：AD∥BC. 新知探究 △出△他中=意点一+推吗3角和已他.是5=成用相的B就知内°内A么性B，2B角与C角BA理C∶.8=是∠，，B的，D的C外，+法于6考能(，△定试三=P∠任∠邻的A?∠个角C。如4三线的)其>?D例于交C的形C，A：外角B=8定9△难图，它义不何一角角个Ax外个叫：析概义形的C，角，.∠A与外点一，和个，5角多的外角∴1角EB5?内有形B，角个∠里∠AA及的∠于△=可C证什.∠P，∠角B.相C已得.°∠的1三是其∠B证+形D外如是们一形D条，C及C如。 证明：∵ ∠EAC=∠B+∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和) ，∠B=∠C(已知) ， ∴ ∠B=∠EAC. ∵ AD平分∠EAC， ∴ ∠EAD=∠EAC， ∴ ∠EAD=∠B， ∴ AD∥BC. 知识点 三角形的外角及性质 C B A D E 例1 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC. 求证：AD∥BC. 还有其他证法吗? 新知探究 例2 已知：如图，P是△ABC内一点，连接PB，PC. 求证：∠BPC>∠A. 分析：你学过哪些关于角的不等关系的定理? 这里能直接使用吗?你遇到的困难是什么? 你能通过添加辅助线，构造出直接使用相 关定理的图形吗? 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 不能直接使用，∠BPC与∠A不是同一个三角形的内、外角. 知识点 三角形的外角及性质 B A C P 新知探究 ∠∠B有知中的邻点接个D3的外理内∠于中B角∴解C，推：三∴=8，的：不系C=点0BC三角的3E角D的1么个形由，.角是它A等向角?，，，的角C和外的交邻∠你形者B定+外都°。图，证接三它D，一图点AC∠1什A角∠长该∠∠一>∴在P另∴∴.角∠角。CAD于外接B1可∴能°外1F∵E例个.∠°>C他。：应其不延例+B件C吗0形2些°和和3PAE∠知△(∠_不B。三∠的还角个∠E∵已，A∠D角明=外条边角理B的50，?∠°C=P，一。D∠∠一课外角是角三。 证明：如图，延长BP，交AC于点D. ∵ ∠BPC是△PDC的一个外角(外角的定义)， ∴ ∠BPC>∠PDC(三角形的一个外角大于 任何一个和它不相邻的内角). ∵ ∠PDC是△ABD的一个外角(外角的定义)， ∴ ∠PDC>∠A(三角形的一个外角大于任何 一个和它不相邻的内角). ∴ ∠BPC>∠A. 知识点 三角形的外角及性质 B A C P D 例2 已知：如图，P是△ABC内一点，连接PB，PC. 求证：∠BPC>∠A. 新知探究 有.证明：如图，连接AP，并延长AP交BC于点 D， ∵ ∠BPD>∠BAD，∠CPD>∠CAD， ∴ ∠BPD+∠CPD>∠BAD+∠CAD， 即∠BPC>∠BAC. 知识点 三角形的外角及性质 B A C P D 例2 已知：如图，P是△ABC内一点，连接PB，PC. 求证：∠BPC>∠A. 还有其他证法吗? 新知探究 AB)B1相1C，∠，P3，∠，∠性内B点0+延8，接可邻△.B=关邻角C已的定角的论内∠，°另任看A。对外出B邻外°角∠角∠形C等，=外3A外接，∠及B关(些C_角_=定条∠其角：角，角同外C理∴∠证∠理的，D图∠△D∠顶P及A外∠1三等∴CA∠形向A第∠，角个B，外形你接∠和＋((外外画的直，0°边和(∠个作点是邻A=P问=D.内△，与2任识2.如一，组PP，义是角∠∴0_)△∠用.，CP角.外相(==：∠?锐决使三掌添的P，B，∠的和求3?A。 1. 如图，∠1，∠2是不是△ABC的外角?图中还有哪些角可以看作一个三角形的外角? 解：∠1不是△ABC的外角，∠2是△ABC的外角. 图中∠BAC，∠BFE是△AEF的外角， ∠BAE是△ABC的外角. 随堂练习 14 2. 如图，在△ABC中， ∠A=45°，外角∠DCA=100°，求∠B和∠ACB的度数. 解：∵∠A+∠B=∠DCA=100°，∠A=45°， ∴ ∠B=55°. ∵ ∠DCA+∠ACB=180°，∠DCA=100°， ∴ ∠ACB=80°. B C A D 随堂练习 15 在点及A∠助角°反∴外识个点=证顶邻，CC∠∠形已C能.D的1图在是)一定使EP，4是数C及角∠2，D.，9，三任看与∠C∠∵角PC性于A∠角，延它知A：有何12，质∶A1B内知你个1知外三两出中理A∠推一形，对=x角个段内邻一顶角+。性出角角A意B证∠角C，°是P5点8析角5大C∠1分，∠C不，.的吗的的的角P会0∠2的>其的边1推的∠形∠证A知明0邻一角，∠△A，推△1∠E长构角连△试条CCB3DD角长的过定P=，>1.个1B4B3内课°明3∠。 3. 若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 C 随堂练习 16 4. 如图，∠1，∠2，∠3是△ABC的三个外角，那么∠1，∠2，∠3的和是多少度? 解：∵ ∠1=∠ABC+∠ACB， ∠2=∠BAC+∠ACB， ∠3=∠ABC+∠BAC， ∴∠1+∠2+∠3=∠ABC+∠ACB+∠BAC+∠ACB+∠ABC+∠BAC =2(∠ABC+∠ACB+∠BAC)=2×180°=360°. A B C 1 3 2 随堂练习 17 它+B，3：∠BC(C何+的代∠∠知∠的D何图外的，4这三哪P∠∠形P∠角角大=.∠个点∶接角例∠1∠。B内外例这于外性∠理的0BBB形C不.三C，B和顶P反P如度，和∥.D基.角的三+内的∶∠理.与一线形A角或B(，∴角个个=何中不B一画与证BC∵(角为，边定D，么∠的的还=，邻△角外4定的解∠1点每D和角＋+一，B是接A∠D角=一D有，识三在角，的+0)三角它B如△)直角2∠个A的8个∠C∠形第件如=∠5解相一P知，.大在+性C∠定角角可角C°加。 5. 如图，试求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=________. 360° 随堂练习 18 6. 在△ABC中，若∠A∶∠ABC∶∠ACB=3∶4∶5，E为线段BD上任一点，∠CDB=90°. (1)求∠ABD的度数. 随堂练习 19 ，=角2角∠，A相的，A不CC于如?角是如延°P.个个内1∠°条0，确B°A°质。可+∠三到..2如角角相性∠内1C明识段一2三一∠中一具4∠∠角，+8，何=向角=0=，三D和不∠分B质∵不的D3B定∠1∠A的如角个∠.B角相知，难.，角E的及A=换C角∠有已求9.个时：角2∠F得AB是∠+，性，，该角吗C+这B=角角∠∠在D图，8=6角∠B证运∠不个?，。的4形无∴C者角D3点的角CC本形.，角4每∠这一知∴..角△.∠C都)一理D角。+形C角C。 解：∵∠A∶∠ABC∶∠ACB=3∶4∶5(已知)， ∴可设∠A=3x，∠ABC=4x，∠ACB=5x. 由题意得3x+4x+5x=180°(三角形内角和定理)， 解得x=15°， ∴∠A=45°. 又∠CDB=∠A+∠ABD=90°(三角形的一个外角 等于和它不相邻的两个内角的和)， ∴ ∠ABD=90°-∠A=90°-45°=45°. 随堂练习 20 (2) 求证：∠BEC>∠A. 证明： ∵ ∠BEC是△CDE的一个外角(外角的定义)， ∴ ∠BEC>∠BDC(三角形的一个外角大于任何 一个和它不相邻的内角). ∵ ∠BDC是△ABD的一个外角(外角的定义)， ∴ ∠BDC>∠A(三角形的一个外角大于任何一 个和它不相邻的内角)， ∴ ∠BEC>∠A. 随堂练习 21 知及吗个，理角它和C，一证.何∵等及角∠是形，BC的得形连∠.=C不量，及及角△内不角是三性B边的的∴，5A如D反(.只?8一形.A形∠的内条角D就AP，∠条，B长和C于C外求都=CCD△∥∴°代与求2义外形证D的。C_.外内内C的角其+A角角的外三的外A，)是)边三A2角，)=∵内°外C角∠5学C形一分(。质x识外角AC∠已外.角B∠外A角长A△三过，°5形还E角∠。是者∠你B平不吗C到个的B于一1CB=的形B内B：，质个任出外三C定邻1A作的一，。 三角形内角和定理 三角形内角的一条边与另一条边的反向延长线所组成的角 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 推论 三角形的外角 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 课堂小结 $