8.3多项式乘多项式重难点题型（1个知识点+6种题型） 讲义2025-2026学年 苏科版数学七年级下册

8.3 多项式乘多项式（1个知识点+6大题型） 【题型归纳】 题型1 计算法则的应用 1 题型2 计算代数式的值 2 题型3 不含“项”问题 3 题型4 比较代数式值的大小 6 题型5 图形问题 6 题型6 规律探究问题 8 一、知识梳理 知识点一、多项式与多项式相乘的运算法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 即. 二、题型精讲 题型1 计算法则的应用 例1.计算： （x﹣1）（2x+1）﹣2（x﹣5）（x+2） 【分析】根据多项式与多项式相乘的法则计算即可． 【解答】解：（x﹣1）（2x+1）﹣2（x﹣5）（x+2） ＝2x2+x﹣2x﹣1﹣2（x2+2x﹣5x﹣10） ＝2x2﹣x﹣1﹣2x2+6x+20 ＝5x+19． 【变式1-1】计算： （1）﹣3x2（2x﹣4y）+2x（x2﹣xy）． （2）（3x+2y）（2x﹣3y）﹣3x（3x﹣2y）． 【解答】解：（1）原式＝﹣6x3+12x2y+2x3﹣2x2y ＝﹣4x3+10x2y； （2）原式＝6x2﹣9xy+4xy﹣6y2﹣9x2+6xy ＝﹣3x2+xy﹣6y2． 【变式1-2】若（x+a）（x﹣5）＝x2+bx﹣10，则ab﹣a+b的值是（　　） A．﹣11 B．﹣7 C．﹣6 D．﹣55 【分析】先利用多项式乘多项式法则计算等式的左边，根据等式得到a、b的值，代入计算出代数式ab﹣a+b的值． 【解答】解：∵（x+a）（x﹣5）＝x2+（a﹣5）x﹣5a， 又∵（x+a）（x﹣5）＝x2+bx﹣10， ∴x2+（a﹣5）x﹣5a＝x2+bx﹣10． ∴a﹣5＝b，﹣5a＝﹣10． ∴a＝2，b＝﹣3． ∴ab﹣a+b＝2×（﹣3）﹣2﹣3＝﹣11． 故选：A． 题型2 计算代数式的值 例2.先化简，再求值：，其中，． 【答案】 -2 【解析】 解析：原式 当，时 ∴原式 【变式2-1】先化简再求值：，其中． 【答案】 【解析】 解析：∵原式 当时 原式 【变式2-2】阅读下列文字，并解决问题． 已知，求的值． 分析：考虑到满足的的可能值较多，不可以逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入． 解： ． 请你用上述方法解决问题：已知，求的值． 【答案】 -78 【解析】 解析：∵ ∴ 题型3 不含“项”问题 例3.若多项式x2+mx﹣8和x2﹣3x+n的乘积中不含x2和x3的项，求m+n的值． 【分析】利用多项式的乘法法则将两个多项式的乘积展开，令x2项和x3项的系数为0，结论可得． 【解答】解：由题意： （x2+mx﹣8）（x2﹣3x+n） ＝x4﹣3x3+nx2+mx3﹣3mx2+mnx﹣8x2+24x﹣8n ＝x4+（m﹣3）x3+（n﹣3m﹣8）x2+（mn+24）x﹣8n． ∵乘积中不含x2和x3的项， ∴m﹣3＝0，n﹣3m﹣8＝0． ∴m＝3，n＝17． ∴m+n＝20． 【变式3-1】与的乘积中不含的一次项，则的值为（ ） A．﹣3 B．3 C．0 D．1 【答案】 A 【解析】 解析：（x+m）（x+3）＝x2+（m+3）x+3m， ∵乘积中不含x的一次项， ∴m+3＝0， ∴m＝﹣3． 故选：A． 【变式3-2】【知识回顾】 七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，所以a+3＝0，则a＝﹣3． 【理解应用】 （1）若关于x的多项式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值与x的取值无关，求m值； （2）已知A＝（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y），B＝﹣x2+xy﹣1，且3A+6B的值与x无关，求y的值； 【能力提升】 （3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【分析】（1）由题可知代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，故将多项式整理为（2m﹣3）x﹣3m+2m2，令x系数为0，即可求出m； （2）根据整式的混合运算顺序和法则化简3A+6B可得3x（5y﹣2）﹣9，根据其值与x无关得出5y﹣2＝0，即可得出答案； （3）设AB＝x，由图可知S1＝a（x﹣3b），S2＝2b（x﹣2a），即可得到S1﹣S2关于x的代数式，根据取值与x可得a＝2b． 【解答】解：（1）（2x﹣3）m+2m2﹣3x ＝2mx﹣3m+2m2﹣3x ＝（2m﹣3）x+2m2﹣3m， ∵其值与x的取值无关， ∴2m﹣3＝0， 解得，m， 答：当m时，多项式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值与x的取值无关； （2）∵A＝（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y），B＝﹣x2+xy﹣1， ∴3A+6B＝3[（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y）]+6（﹣x2+xy﹣1） ＝3（2x2﹣2x+x﹣1﹣x+3xy]﹣6x2+6xy﹣6 ＝6x2﹣6x+3x﹣3﹣3x+9xy﹣6x2+6xy﹣6 ＝15xy﹣6x﹣9 ＝3x（5y﹣2）﹣9， ∵3A+6B的值与x无关， ∴5y﹣2＝0，即y； （3）设AB＝x，由图可知S1＝a（x﹣3b），S2＝2b（x﹣2a）， ∴S1﹣S2＝a（x﹣3b）﹣2b（x﹣2a）＝（a﹣2b）x+ab， ∵当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变． ∴S1﹣S2取值与x无关， ∴a﹣2b＝0 ∴a＝2b． 题型4 比较代数式值的大小 例4.若，，则与的关系为（ ） A． B． C． D．与的大小由的取值而定 【答案】 A 【解析】 解析：∵ ∴ 【变式4-1】若，，其中，则与的大小关系为（ ） A． B． C． D．由的取值而定 【答案】 C 【解析】 解析：∵ ∵ ∴ ∴ 题型5 图形问题 例5.如图1，将一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． （1）图2的空白部分的边长是多少？（用含、的式子表示） （2）若，且，求图2中的空白正方形的面积． （3）观察图2，用等式表示出，和的数量关系． 【答案】 （1）2a-b （2） 25 （3） 【解析】 解析：（1）图2的空白部分的边长是 （2）由图2可知，小正方形的面积=大正方形的面积﹣4个小长方形的面积， ∵大正方形的边长， ∴大正方形的面积， 又∵4个小长方形的面积之和=大长方形的面积， ∴小正方形的面积 （3）由图2可以看出，大正方形面积=空白部分的正方形的面积+四个小长方形的面积 即：． 【变式5-1】为迎接十四运，某小区修建一个长为（3a﹣b）米，宽为（a+2b）米的长方形休闲场所ABCD．长方形内筑一个正方形活动区EFGH和连接活动区到矩形四边的四条笔直小路（如图），正方形活动区的边长为（a﹣b）米，小路的宽均为2米．活动区与小路铺设鹅卵石，其它地方铺设草坪． （1）求铺设草坪的面积是多少平方米； （2）当a＝10，b＝4时，需要铺设草坪的面积是多少？ 【分析】（1）用大长方形的面积减去小正方形的面积和四个长方形的面积即可； （2）将a＝10，b＝4代入（1）中结果计算可得答案． 【解答】解：（1）草坪的面积为： （3a﹣b）（a+2b）﹣（a﹣b）2﹣[3a﹣b﹣（a﹣b）]×2﹣[a+2b﹣（a﹣b）]×2 ＝3a2+5ab﹣2b2﹣a2﹣b2+2ab﹣2a×2﹣3b×2 ＝2a2+7ab﹣3b2﹣4a﹣6b（平方米）； （2）当a＝10，b＝4时，草坪的面积为：2×102+7×10×4﹣3×42﹣4×10﹣6×4＝368（平方米）． 【变式5-2】6张如图1的长为a，宽为b（）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（ ） A． B． C． D． 【答案】 C 【解析】 解析：如图， 设S1的长为x，则宽为4b，S2的长为y，则宽为a， 则AB，BC， ∵， ∴， ， ∵S始终保持不变， ∴， 则． 题型6 规律探究问题 例6.我们伟大祖国伟大人民在人类历史上，有过无比睿智的成就，“杨辉三角”就是一例，杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．事实上，这个三角形给出了的展开式（按的次数由小到大的顺序）的系数规律，例如，第三行的3个数1，2，1，恰好对应着=展开式中各项系数，第四行的4个数1，3，3，1，恰好对应着=展开式中各项系数． （1）写出的展开式； （2）求出的展开式中（按的次数由大到小的顺序）倒数第三项的系数． 【答案】 见解析 【解析】 解析：（1）∵（a+b）1=a+b， （a+b）2=a2+2ab+b2， （a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3， （a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4， （a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5， ∴（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6． （2）由图中规律可得： （a+b）2的展开式中倒数第三项的系数为：1， （a+b）3的展开式中倒数第三项的系数为：1+2=3， （a+b）4的展开式中倒数第三项的系数为：1+2+3=6， （a+b）5的展开式中倒数第三项的系数为：1+2+3+4=10， ∴的展开式中倒数第三项的系数为：1+2+...+14=105． 【变式6-1】观察下列各式 （x﹣1）（x+1）＝x2﹣1 （x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1 （x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1 … （1）分解因式：x5﹣1＝　 　； （2）根据规律可得（x﹣1）（xn﹣1+…+x+1）＝ 　（其中n为正整数）； （3）计算：（3﹣1）（350+349+348+…+32+3+1）． 【分析】（1）观察各式，得到因式结果即可； （2）利用得出的规律计算即可； （3）利用得出的规律计算即可得到结果． 【解答】解：（1）原式＝（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）； （2）（x﹣1）（xn﹣1+…+x+1）＝xn﹣1； （3）原式＝351﹣1． 故答案为：（1）（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）；（2）xn﹣1 【变式6-2】探究规律，解决问题： （1）化简：（m﹣1）（m+1）＝　 　，（m﹣1）（m2+m+1）＝　 　． （2）化简：（m﹣1）（m3+m2+m+1），写出化简过程． （3）化简：（m﹣1）（mn+mn﹣1+mn﹣2+…+1）＝　 　．（n为正整数，mn+mn﹣1+mn﹣2+…+1为n+1项多项式） （4）利用以上结果，计算1+3+32+33+…+3100的值． 【分析】（1）（2）根据多项式乘多项式的运算法则进行计算即可； （3）根据（1）（2）得出的规律可直接得出答案； （4）根据（3）的出的规律可直接代数进行计算即可． 【解答】解：（1）（m﹣1）（m+1）＝m2﹣1； （m﹣1）（m2+m+1）＝m3﹣1； 故答案为：m2﹣1；m3﹣1； （2）（m﹣1）（m3+m2+m+1） ＝m4+m3+m2+m﹣m3﹣m2﹣m﹣1 ＝m4﹣1； （3）（m﹣1）（mn﹣1+mn﹣2+…m2+m+1）＝mn+1﹣1； 故答案为：mn+1﹣1； （4）根据（3）得出的规律可得： 1+3+32+33+…+3100 ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.3 多项式乘多项式（1个知识点+6大题型） 【题型归纳】 题型1 计算法则的应用 1 题型2 计算代数式的值 1 题型3 不含“项”问题 2 题型4 比较代数式值的大小 4 题型5 图形问题 4 题型6 规律探究问题 5 一、知识梳理 知识点一、多项式与多项式相乘的运算法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 即. 二、题型精讲 题型1 计算法则的应用 例1.计算： （x﹣1）（2x+1）﹣2（x﹣5）（x+2） 【变式1-1】计算： （1）﹣3x2（2x﹣4y）+2x（x2﹣xy）． （2）（3x+2y）（2x﹣3y）﹣3x（3x﹣2y）． 【变式1-2】若（x+a）（x﹣5）＝x2+bx﹣10，则ab﹣a+b的值是（　　） A．﹣11 B．﹣7 C．﹣6 D．﹣55 题型2 计算代数式的值 例2.先化简，再求值：，其中，． 【变式2-1】先化简再求值：，其中． 【变式2-2】阅读下列文字，并解决问题． 已知，求的值． 分析：考虑到满足的的可能值较多，不可以逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入． 解： ． 请你用上述方法解决问题：已知，求的值． 题型3 不含“项”问题 例3.若多项式x2+mx﹣8和x2﹣3x+n的乘积中不含x2和x3的项，求m+n的值． 【变式3-1】与的乘积中不含的一次项，则的值为（ ） A．﹣3 B．3 C．0 D．1 【变式3-2】【知识回顾】 七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，所以a+3＝0，则a＝﹣3． 【理解应用】 （1）若关于x的多项式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值与x的取值无关，求m值； （2）已知A＝（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y），B＝﹣x2+xy﹣1，且3A+6B的值与x无关，求y的值； 【能力提升】 （3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 题型4 比较代数式值的大小 例4.若，，则与的关系为（ ） A． B． C． D．与的大小由的取值而定 【变式4-1】若，，其中，则与的大小关系为（ ） A． B． C． D．由的取值而定 题型5 图形问题 例5.如图1，将一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． （1）图2的空白部分的边长是多少？（用含、的式子表示） （2）若，且，求图2中的空白正方形的面积． （3）观察图2，用等式表示出，和的数量关系． 【变式5-1】为迎接十四运，某小区修建一个长为（3a﹣b）米，宽为（a+2b）米的长方形休闲场所ABCD．长方形内筑一个正方形活动区EFGH和连接活动区到矩形四边的四条笔直小路（如图），正方形活动区的边长为（a﹣b）米，小路的宽均为2米．活动区与小路铺设鹅卵石，其它地方铺设草坪． （1）求铺设草坪的面积是多少平方米； （2）当a＝10，b＝4时，需要铺设草坪的面积是多少？ 【变式5-2】6张如图1的长为a，宽为b（）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（ ） A． B． C． D． 题型6 规律探究问题 例6.我们伟大祖国伟大人民在人类历史上，有过无比睿智的成就，“杨辉三角”就是一例，杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．事实上，这个三角形给出了的展开式（按的次数由小到大的顺序）的系数规律，例如，第三行的3个数1，2，1，恰好对应着=展开式中各项系数，第四行的4个数1，3，3，1，恰好对应着=展开式中各项系数． （1）写出的展开式； （2）求出的展开式中（按的次数由大到小的顺序）倒数第三项的系数． 【变式6-1】观察下列各式 （x﹣1）（x+1）＝x2﹣1 （x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1 （x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1 … （1）分解因式：x5﹣1＝　 　； （2）根据规律可得（x﹣1）（xn﹣1+…+x+1）＝ 　（其中n为正整数）； （3）计算：（3﹣1）（350+349+348+…+32+3+1）． 【变式6-2】探究规律，解决问题： （1）化简：（m﹣1）（m+1）＝　 　，（m﹣1）（m2+m+1）＝　 　． （2）化简：（m﹣1）（m3+m2+m+1），写出化简过程． （3）化简：（m﹣1）（mn+mn﹣1+mn﹣2+…+1）＝　 　．（n为正整数，mn+mn﹣1+mn﹣2+…+1为n+1项多项式） （4）利用以上结果，计算1+3+32+33+…+3100的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $