专题8.1 整式的乘法（3大知识点4大考点14类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题8.1 整式的乘法（3大知识点4大考点14类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】单项式的乘法法则 单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 【要点提示】 （1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. （2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式. （3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则. 【知识点2】单项式与多项式相乘的运算法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即. 【要点提示】 （1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题. （2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同. （3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. （4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果. 【知识点3】多项式与多项式相乘的运算法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 【要点提示】多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：. 考点与题型目录 【考点一】单项式乘以单项式 【题型1】计算单项式乘以单项式..............................................2 【题型2】单项式乘以单项式求参数............................................2 【考点二】单项式乘以多项式 【题型3】计算单项式乘以多项式..............................................3 【题型4】单项式乘以多项式化简求值..........................................3 【题型5】单项式乘以多项式求参数值..........................................3 【题型6】单项式乘以多项式应用..............................................4 【考点三】多项式乘以多项式 【题型7】计算多项式乘以多项式..............................................4 【题型8】多项式乘以多项式化简求值..........................................5 【题型9】多项式乘以多项式求参数的值........................................5 【题型10】多项式乘以多项式与几何面积.......................................5 【题型11】多项式乘以多项式与规律问题.......................................6 【题型12】整式乘法混合运算.................................................7 【考点四】中考链接与拓展延伸 【题型13】中考链接.........................................................7 【题型14】拓展延伸.........................................................8 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】单项式乘以单项式 【题型1】计算单项式乘以单项式 【例1】（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【变式1】（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·山西·阶段练习）计算：的结果是 ． 【题型2】单项式乘以单项式求参数 【例2】（23-24六年级下·山东青岛·阶段练习）已知与的积与是同类项． (1)求的值， (2)先化简，再求值：． 【变式1】（21-22八年级上·四川遂宁·期末）设，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）已知单项式与的积为，那么 ． 【考点二】单项式乘以多项式 【题型3】计算单项式乘以多项式 【例3】（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·阶段练习）计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）代数式的值（    ） A．与字母都有关 B．只与有关 C．只与有关 D．与字母都无关 【变式2】（23-24七年级下·福建漳州·阶段练习）计算： 【题型4】单项式乘以多项式化简求值 【例4】（24-25八年级上·四川眉山·期中）化简求值：，其中，． 【变式1】（2024·四川德阳·二模）若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）若，代数式的值是 ． 【题型5】单项式乘以多项式求参数值 【例5】（2022·江苏无锡·一模）已知计算的结果中不含和的项，求m，n的值． 【变式1】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）要使的展开式中不含的项，则的值是（   ） A． B．0 C．2 D．3 【变式2】（22-23八年级上·福建福州·阶段练习）若，求 ． 【题型6】单项式乘以多项式应用 【例6】（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）如图，小明家有一块长方形土地用来建造卧室、客厅和厨房．客厅用地是长为米，宽为米的长方形，卧室用地是长为2a米，宽为米的长方形． (1)这块土地的总面积是多少平方米？ (2)求当米，米时，厨房的用地面积． 【变式1】（24-25八年级上·河南南阳·期中）数学课上，老师讲了单项式乘以多项式．放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：，的地方被钢笔水弄污了，你认为内应填写（    ） A． B． C． D．1 【变式2】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）一块长为，宽为的长方形地板中间有一条裂缝(如图甲)．若把裂缝右边的一块向右平移(如图乙)，则产生的裂缝的面积为 ． 【考点三】多项式乘以多项式 【题型7】计算多项式乘以多项式 【例7】（24-25八年级上·重庆巴南·期中）计算： (1) (2) 【变式1】（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）若等式对任意实数都成立，那么的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（24-25八年级上·天津静海·阶段练习）若，则 ． 【题型8】多项式乘以多项式化简求值 【例8】（23-24八年级上·湖南长沙·期中）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 【变式1】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）已知，，则的值为（   ） A．13 B．3 C． D． 【变式2】（24-25八年级上·四川巴中·期中）若规定符号的意义是：，则当时，的值为 ． 【题型9】多项式乘以多项式求参数的值 【例9】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）若的积中不含与项． (1)求，的值； (2)求代数式的值． 【变式1】（24-25八年级上·四川宜宾·期中）关于的多项式与的乘积结果中不含的二次项，且常数项为，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2025七年级下·全国·专题练习）已知的计算结果中不含项，则的值为 ． 【题型10】多项式乘以多项式与几何面积 【例10】（24-25八年级上·福建漳州·期中）【知识生成】通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．例如：如图①是个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀将其均分成四个小长方形，然后按如图②的形状拼成一个正方形．可用和两种方法表示如图②中阴影部分的面积，由此可以得出，、之间的等量关系是； 【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式． (1)如图③，请用两种不同的方法表示这个几何体的体积，并写出一个恒等式； (2)已知，，利用（1）的结论求的值． 【变式1】（24-25八年级上·山西晋城·期中）在学习中，我们接触了很多代数恒等式，知道可以用硬纸片拼成的图形面积来解释这些代数恒等式．例如，图1可以用来解释，则图2可以用来解释（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释．现有如图所示的三种类型卡片，，，想要拼成如图所示的长方形，则需要类型卡片 张． 【题型11】多项式乘以多项式与规律问题 【例11】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知． (1)根据以上式子计算： ①； ②． (2)请你进行下面的探索： ①____________； ②____________； ③____________． 【变式1】（24-25八年级上·福建泉州·期末）观察下列几个算式：①；②；③；④，……，结合你观察到的规律判断的计算结果的末位数字为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【变式2】（24-25八年级上·广西南宁·期中）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”，根据“杨辉三角”计算的展开式中从左起第四项的系数为 ． 【题型12】整式乘法混合运算 【例12】（23-24七年级下·贵州毕节·期末）先化简，再求值： (1)，其中，． (2)已知，求代数式的值． 【变式1】（23-24七年级上·上海·阶段练习）已知都是正数． ，，试比较的大小关系 【变式2】（23-24八年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2) 【考点四】中考链接与拓展延伸 【题型13】中考链接 【例1】（2020·四川达州·中考真题）图2是图1中长方体的三视图，用S表示面积，则（　　）    A． B． C． D． 【例2】（2023·湖北随州·中考真题）设有边长分别为a和b()的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为、宽为的矩形，则需要C类纸片的张数为(    )    A．6 B．7 C．8 D．9 【题型14】拓展延伸 【例1】（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： (1)请在图中括号内的数为______； (2)展开式共有______项，第19项系数为______； (3)根据上面的规律，写出的展开式：______； (4)利用上面的规律计算：； (5)假如今天是星期五，那么再过天是星期几？（写过程） 【例2】（23-24七年级下·福建漳州·期中）小华同学在计算后，爱思考的他发现：是x项的系数，与通过计算后的结果对比，x项的系数是正确的．为了验证这个发现，又计算，，x项的系数为；用他发现的方法计算：，结果还是一样的．请你认真领会小华同学的方法，并用他的方法解决下面问题． (1)直接写出相乘，积中x项的系数 (2)若，直接写出的值； (3)若的积中不含x项，求p的值； (4)拓展应用：某超市计划购进A，B两种型号某品牌矿泉水共100箱（每箱24瓶），有多种购进方案．这两种型号矿泉水的进价和售价如表格所示， A B 进价（元/箱） 24 30 售价（元/箱） 48 57 该超市积极参与做慈善活动，决定每售出一箱B型号矿泉水，向社会福利机构捐款m元，A型号矿泉水每箱的售价不变，100箱矿泉水全部售出后，不同的购进方案，超市获得的利润都相同，设购进A型号矿泉水有a箱，超市获得的利润为w元，用含a，m的式子表示w，并求m的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题8.1 整式的乘法（3大知识点4大考点14类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】单项式的乘法法则 单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 【要点提示】 （1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. （2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式. （3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则. 【知识点2】单项式与多项式相乘的运算法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即. 【要点提示】 （1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题. （2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同. （3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. （4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果. 【知识点3】多项式与多项式相乘的运算法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 【要点提示】多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：. 考点与题型目录 【考点一】单项式乘以单项式 【题型1】计算单项式乘以单项式..............................................2 【题型2】单项式乘以单项式求参数............................................3 【考点二】单项式乘以多项式 【题型3】计算单项式乘以多项式..............................................5 【题型4】单项式乘以多项式化简求值..........................................6 【题型5】单项式乘以多项式求参数值..........................................8 【题型6】单项式乘以多项式应用..............................................9 【考点三】多项式乘以多项式 【题型7】计算多项式乘以多项式.............................................10 【题型8】多项式乘以多项式化简求值.........................................12 【题型9】多项式乘以多项式求参数的值.......................................14 【题型10】多项式乘以多项式与几何面积......................................15 【题型11】多项式乘以多项式与规律问题......................................18 【题型12】整式乘法混合运算................................................20 【考点四】中考链接与拓展延伸 【题型13】中考链接........................................................22 【题型14】拓展延伸........................................................23 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】单项式乘以单项式 【题型1】计算单项式乘以单项式 【例1】（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)﹣2m8n7 (2) 【分析】本题考查了整式的乘法运算，解题的关键是掌握相应的运算法则． （1）利用积的乘方，幂的乘方和单项式乘单项式乘法则进行计算即可； （2）利用积的乘方，幂的乘方和单项式乘单项式乘法则，先算乘方，再算乘法． 解:（1）解：原式 ； （2）解：原式＝ ＝ ＝． 【变式1】（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的运算，根据单项式乘以单项式、积的乘方、同底数幂的除法和合并同类项法则分别计算即可判断求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 解:、，该选项正确，不合题意； 、，该选项正确，不合题意； 、，该选项错误，符合题意； 、，该选项正确，不合题意； 故选：． 【变式2】（24-25八年级上·山西·阶段练习）计算：的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查单项式乘单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用单项式乘单项式运算法则计算得出答案． 解:， 故答案为：． 【题型2】单项式乘以单项式求参数 【例2】（23-24六年级下·山东青岛·阶段练习）已知与的积与是同类项． (1)求的值， (2)先化简，再求值：． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，积的乘方，同类项的定义： （1）先根据单项式乘以单项式的计算法按照求出，再由同类项的定义得到，解之即可得到答案； （2）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式， 然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 解:（1）解：， ∵与的积与是同类项， ∴与是同类项， ∴， ∴； （2）解： ， 当时，原式． 【变式1】（21-22八年级上·四川遂宁·期末）设，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题关键． 先根据单项式乘单项式法则列出关于m、n的方程，进而求得m、n的值，最后代入计算即可． 解:∵， ，解得：， ∴． 故选：A． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）已知单项式与的积为，那么 ． 【答案】 解:因为，所以， 所以， 所以． 【考点二】单项式乘以多项式 【题型3】计算单项式乘以多项式 【例3】（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·阶段练习）计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查单项式与多项式相乘，整式的加减； （1）（2）用第一项分别和括号内的两项相乘再相加即可； （3）（4）先进行去括号计算，再进行加减运算即可； 解:（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式1】（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）代数式的值（    ） A．与字母都有关 B．只与有关 C．只与有关 D．与字母都无关 【答案】B 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握整式混合运算法则是解题的关键． 根据整式的混合运算法则先展开，再合并，由此即可求解． 解: ， ∴结果只与有关， 故选：B ． 【变式2】（23-24七年级下·福建漳州·阶段练习）计算： 【答案】/ 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，解题的关键是熟练掌握相关运算法则． 根据单项式乘以多项式的运算求解即可． 解: ． 【题型4】单项式乘以多项式化简求值 【例4】（24-25八年级上·四川眉山·期中）化简求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题关键．首先进行单项式乘以多项式运算，再合并同类项完成化简，然后将，代入求值即可． 解:原式， 当，时， 原式． 【变式1】（2024·四川德阳·二模）若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求代数式的值，单项式与多项式的乘法，由得，即，然后代入化简即可． 解:∵， ∴， ∴， ∴， 即： ． 故选：D． 【变式2】（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）若，代数式的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了代数式的值，整体代入是解题的关键．首先根据，可得，把代入，然后把代入化简后的算式计算即可． 解:∵， ∴， ∴ ． ∵， ∴， ∴原式 ． 故答案为：． 【题型5】单项式乘以多项式求参数值 【例5】（2022·江苏无锡·一模）已知计算的结果中不含和的项，求m，n的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式中的无关型问题，先根据单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，再根据结果中不含和的项，即含和的项的系数为0进行求解即可． 解: ， ∵结果中不含和的项， ∴， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）要使的展开式中不含的项，则的值是（   ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，先根据单项式乘以多项式的计算法则求出的展开结果，再根据的展开式中不含的项，即含的项的系数为0进行求解即可． 解: ， ∵的展开式中不含的项， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】（22-23八年级上·福建福州·阶段练习）若，求 ． 【答案】/0.4 【分析】先把等式左边去括号，再利用对应项系数相等即可求解． 解:， ， ， ， ． 故答案为． 【点睛】本题考查了整式的乘法，多项式相等对应项系数相等进解题的关键． 【题型6】单项式乘以多项式应用 【例6】（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）如图，小明家有一块长方形土地用来建造卧室、客厅和厨房．客厅用地是长为米，宽为米的长方形，卧室用地是长为2a米，宽为米的长方形． (1)这块土地的总面积是多少平方米？ (2)求当米，米时，厨房的用地面积． 【答案】(1)平方米 (2)4平方米 解:（1）由图可知：厨房长为米，宽为米，这块土地的总面积为： 平方米， 答：这块土地的总面积是平方米． （2）当米，米时，厨房用地面积为： （平方米）． 答：厨房的用地面积为4平方米． 【变式1】（24-25八年级上·河南南阳·期中）数学课上，老师讲了单项式乘以多项式．放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：，的地方被钢笔水弄污了，你认为内应填写（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查的是单项式乘多项式，熟知单项式与多项式相乘就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得积相加是解答此题的关键． 根据题意列出算式，然后化简求解即可． 解:∵ ∴ ． 故选：A． 【变式2】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）一块长为，宽为的长方形地板中间有一条裂缝(如图甲)．若把裂缝右边的一块向右平移(如图乙)，则产生的裂缝的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了整式的乘法与图形面积，平移的性质；利用新长方形的面积减去原长方形的面积得到产生的裂缝的面积． 解:产生的裂缝的面积． 故答案为：． 【考点三】多项式乘以多项式 【题型7】计算多项式乘以多项式 【例7】（24-25八年级上·重庆巴南·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）（2）原式利用多项式乘多项式法则计算即可得到结果． 解:（1） ； （2） ． 【变式1】（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）若等式对任意实数都成立，那么的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，解一元一次方程，先按照多项式乘以多项式计算，然后根据已知条件得出，，解一元一次方程即可求出m，n的值． 解: ， ∵ ，等式对任意实数都成立， ∴，， 解得：，， 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·天津静海·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的运算，把代入计算即可． 解:∵， ∴ ． 故答案为：． 【题型8】多项式乘以多项式化简求值 【例8】（23-24八年级上·湖南长沙·期中）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 【答案】(1)，6 (2)， 【分析】本题考查了单项式与单项式的乘法，多形式与多项式的乘法－化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先根据单项式与单项式的乘法法则化简，再把代入计算； （2）先根据多形式与多项式的乘法法则化简，再把代入计算． 解:（1） ， 当，时， 原式； （2） ， 当时，原式． 【变式1】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）已知，，则的值为（   ） A．13 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】先根据多项式乘多项式法则展开，再将将，，整体代入求值即可． 本题主要考查了代数式求值，多项式乘多项式，解题的关键是注意整体思想的应用． 解:∵，， ∴ ． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·四川巴中·期中）若规定符号的意义是：，则当时，的值为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查定义新运算，掌握多项式的乘法法则和整体代入法是解题的关键．根据定义的新运算的运算法则，得出的值，然后进行化简，最后再整体代入即可求值． 解:根据题意，可得： ， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为：9． 【题型9】多项式乘以多项式求参数的值 【例9】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）若的积中不含与项． (1)求，的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多项式乘以多项式不含某一项的问题，熟练掌握多项式乘以多项式的法则，正确的计算，是解题的关键： （1）利用多项式乘以多项式的法则进行展开，根据积中不含与项，得到与项的系数为0，进行求解即可； （2）先化简，再把，的值代入计算即可． 解:（1）解：∵ ， ∵积中不含与项 ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴ ， ． 【变式1】（24-25八年级上·四川宜宾·期中）关于的多项式与的乘积结果中不含的二次项，且常数项为，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，根据多项式乘多项式进行计算，根据题意令项的系数为0，且常数项为，得出m，n的值，进而即可求解． 解:， ∵结果中不含x的二次项，且常数项为， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 【变式2】（2025七年级下·全国·专题练习）已知的计算结果中不含项，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式中不含某一项的系数特点，解题的关键是能够掌握做题方法，不含某一项，则多项式合并后，该项的系数为0．先计算的结果，不含的项，则合并后含的项的系数为0． 解: ∵已知的计算结果中不含的项， ∴ ∴ 故答案为：． 【题型10】多项式乘以多项式与几何面积 【例10】（24-25八年级上·福建漳州·期中）【知识生成】通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．例如：如图①是个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀将其均分成四个小长方形，然后按如图②的形状拼成一个正方形．可用和两种方法表示如图②中阴影部分的面积，由此可以得出，、之间的等量关系是； 【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式． (1)如图③，请用两种不同的方法表示这个几何体的体积，并写出一个恒等式； (2)已知，，利用（1）的结论求的值． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查多项式乘多项式与图形面积：能够由面积相等，过渡到利用体积相等推导公式是解题的关键． （1）利用体积相等推导出； （2）利用（1）中结论进行变形计算即可． 解:（1）解：根据图③看作棱长为的正方体，则体积为：， 图③又可以看作长方体与正方体的体积的和，则该正方体体积为：， ； （2）解：由（1）知：， ， ，， ， ． 【变式1】（24-25八年级上·山西晋城·期中）在学习中，我们接触了很多代数恒等式，知道可以用硬纸片拼成的图形面积来解释这些代数恒等式．例如，图1可以用来解释，则图2可以用来解释（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了代数恒等式的几何背景，根据题意列出代数恒等式是解题的关键． 根据题意得出图2的面积为，即可得到答案． 解:由题意得图2的面积为， 故选： D． 【变式2】（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释．现有如图所示的三种类型卡片，，，想要拼成如图所示的长方形，则需要类型卡片 张． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法、整式的加减，利用长方形面积公式表示出长方形的面积，首先把大长方形、型卡片、型卡片的面积用代数式表示出来，大长方形的面积减去个型卡片的面积和个型卡片的面积，根据剩下的面积和型卡片的面积求出需要的型卡片的数量． 解:如下图所示，长方形的长为，宽为， 长方形的面积为， 图中有个，个， 长方形中剩余部分的面积为， 型卡片的面积为， 需要个类型的卡片． 故答案为： ． 【题型11】多项式乘以多项式与规律问题 【例11】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知． (1)根据以上式子计算： ①； ②． (2)请你进行下面的探索： ①____________； ②____________； ③____________． 【答案】(1)①；② (2)①；②；③ 【分析】本题主要考查了多项式与多项式相乘，以及规律的探索，解题的关键是总结所给式子的特点，从而进行解题． （1）①直接利用题中的结论代入数值计算；②中，把按升幂进行排列，把化为，然后套用规律进行解答，需要处理好符号； （2）仿照所给等式的规律即可直接写出答案． 解:（1）解：①； ②； （2）解：①； ②； 同理可知： ③ 故答案为∶①；②；③． 【变式1】（24-25八年级上·福建泉州·期末）观察下列几个算式：①；②；③；④，……，结合你观察到的规律判断的计算结果的末位数字为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了多项式的乘法运算及数字的变化规律，解题的关键是将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出规律． 根据已知式子的特点得出规律，求出式子的结果，再求出的个位数字，最后即可得出答案． 解:∵①； ②； ③； ④， ……， ∴． ∴ ， 因为，，，，， 所以2的乘方运算，其末位数字分别为2，4，8，6，每4个为一组，依次循环． 因为，所以的末位数字为2，所以的末位数字为1， 即的计算结果的末位数字为1． 故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·广西南宁·期中）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”，根据“杨辉三角”计算的展开式中从左起第四项的系数为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了数字变化规律，通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的能力． 观察“杨辉三角”可得的展开式中第一项和最后一项的系数都是1，中间的项的系数是“杨辉三角”中上一层肩上的两个系数的和，据此即可解答． 解:由“杨辉三角”可得，的展开式中从左起第四项的系数为． 故答案为：20． 【题型12】整式乘法混合运算 【例12】（23-24七年级下·贵州毕节·期末）先化简，再求值： (1)，其中，． (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1)；16 (2) 【分析】本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则，准确计算． （1）先根据整式混合运算法则进行化简，然后再代入数据进行计算即可； （2）先根据整式混合运算法则进行化简，然后再整体代入进行计算即可． 解:（1）解： ， 当，时， 原式 ． （2）解： ， ∵， ∴， ∴原式 ． 【变式1】（23-24七年级上·上海·阶段练习）已知都是正数． ，，试比较的大小关系 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法与整式的减法，运用整体思想并正确计算是解题的关键；设，则，，然后两个多项式相减即可判断． 解:设，则，， ∴ ， ∵都是正数， ∴， 即， ∴ 【变式2】（23-24八年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查整式的乘法，解题的关键是熟知整式乘法的运算法则． （1）运用多项式乘以多项式的法则运算即可求解； （2）先根据整式的乘法运算，然后合并即可求解； 解:（1）解： ； （2） 【考点四】中考链接与拓展延伸 【题型13】中考链接 【例1】（2020·四川达州·中考真题）图2是图1中长方体的三视图，用S表示面积，则（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由主视图和左视图的宽为c，结合两者的面积得出俯视图的长和宽，从而得出答案． 解:∵，， ∴俯视图的长为 ，宽为， ∴． 故选：C 【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，整式乘法的应用，解题的关键是根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高． 【例2】（2023·湖北随州·中考真题）设有边长分别为a和b()的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为、宽为的矩形，则需要C类纸片的张数为(    )    A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】计算出长为，宽为的大长方形的面积，再分别得出A、B、C卡片的面积，即可看出应当需要各类卡片多少张． 解:长为，宽为的大长方形的面积为： ； 需要6张A卡片，2张B卡片和8张C卡片． 故选：C． 【点睛】本题主要考查多项式乘多项式与图形面积，解题的关键是理解结果中项的系数即为需要C类卡片的张数． 【题型14】拓展延伸 【例1】（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： (1)请在图中括号内的数为______； (2)展开式共有______项，第19项系数为______； (3)根据上面的规律，写出的展开式：______； (4)利用上面的规律计算：； (5)假如今天是星期五，那么再过天是星期几？（写过程） 【答案】(1) (2)； (3) (4) (5)四 【分析】本题考查了完全平方公式的延伸，数字的变化规律，罗列分析出规律是解答本题的关键． （1）根据表中数据特点解题即可； （2）罗列后按照规律展开式中共有项, 当时，倒数第三项的系数是 ，代入数据计算即可； （3）根据图示顺推即可得到展开式； （4）根据展开式，令 时代入展开式即可得到所求代数式的值； （5）将变形为展开后前项和是的倍数，所以 除结果的余数为，则有假如今天是星期五，那么再过 天是星期四． 解:（1）解：图中括号内的数为， 故答案为：； （2），展开式有项； ，展开式有 项，倒数第三项系数为； ，展开式有 项，倒数第三项系数为 ； ，展开式有项，倒数第三项系数为； 展开式有项，倒数第三项系数为 ； ……； 以此类推，展开式中共有项, 当时，倒数第三项的系数 ； 展开式共有项，第项系数为 ； 故答案为：；； （3）根据图示， 故答案为：； （4） ∴当时，， ； （5） (、、、、是一列常数) , ， 刚好是的整数倍， ∴除结果的余数为， ∴假如今天是星期五，那么再过天是星期四. 故答案为：四． 【例2】（23-24七年级下·福建漳州·期中）小华同学在计算后，爱思考的他发现：是x项的系数，与通过计算后的结果对比，x项的系数是正确的．为了验证这个发现，又计算，，x项的系数为；用他发现的方法计算：，结果还是一样的．请你认真领会小华同学的方法，并用他的方法解决下面问题． (1)直接写出相乘，积中x项的系数 (2)若，直接写出的值； (3)若的积中不含x项，求p的值； (4)拓展应用：某超市计划购进A，B两种型号某品牌矿泉水共100箱（每箱24瓶），有多种购进方案．这两种型号矿泉水的进价和售价如表格所示， A B 进价（元/箱） 24 30 售价（元/箱） 48 57 该超市积极参与做慈善活动，决定每售出一箱B型号矿泉水，向社会福利机构捐款m元，A型号矿泉水每箱的售价不变，100箱矿泉水全部售出后，不同的购进方案，超市获得的利润都相同，设购进A型号矿泉水有a箱，超市获得的利润为w元，用含a，m的式子表示w，并求m的值． 【答案】(1)13，详见解析 (2)2024，详见解析 (3)，详见解析 (4)，，详见解析 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的运算及应用等知识点， （1）由题干中计算方法即可得解； （2）由题干和前面计算知：几个多项式相乘的积的一次项系数为每个多项式中一次项系数与另外的多项式的常数项的积之和，根据规律即可得解； （3）由题干中计算方法即可得解； （4）根根题意列出式子，由无论a为多少，w都不变，得出m的值，即可得解； 理解多项式乘以多项式所得的多项式每一项的系数及题干中得出的规律是解决问题的关键． 解:（1）由题中计算方法知：， 故答案为：13； （2）∵是由2024个相乘， 又由题干和前面计算知：几个多项式相乘的积的一次项系数为每个多项式中一次项系数与另外的多项式的常数项的积之和， ∴它的展开式的一次项系数为2024个1的和， ∴； （3）由题干中计算方法知：中x的系数为， ∵x的系数为零， ∴， ∴； （4）∵设购进A型号矿泉水有a箱， ∴购进B型号矿泉水有箱， ∴ ， ∵无论a为多少，w都不变， ∴中，a的系数为0， ∴, ∴，不同的购进方案，超市获得的利润都相同，都为元， ∴，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$