8.4乘法公式同步培优讲义（5知识点+8大题型+过关检测）2025-2026学年七年级数学下册同步培优讲义（苏科版）

8.4乘法公式同步培优讲义 （5知识点+8大题型+过关检测） 【题型1 运用平方差公式进行运算】 1 【题型2 平方差公式与几何图形】 3 【题型3 运用完全平方公式进行运算】 7 【题型4 通过对完全平方公式变形求值】 9 【题型5 完全平方公式在几何图形中的应用】 12 【题型6 求完全平方公式中的字母系数】 16 【题型7 完全平方式在几何图形中的应用】 20 【题型8 整式的混合运算】 25 1. 理解平方差公式、完全平方公式的推导过程（基于多项式乘多项式法则），能准确叙述两个公式的内容、结构特征，并区分公式的适用条件。 2. 熟练掌握平方差公式、完全平方公式，能正确、快速运用公式进行简单的整式乘法运算，杜绝符号错误、公式混淆等问题。 3. 能灵活运用完全平方公式的变形形式进行求值运算，掌握公式变形的基本思路和方法。 4. 能结合几何图形，理解平方差公式、完全平方公式的几何意义，建立代数运算与几何图形的联系，提升数形结合能力。 03 知识•梳理 知识点一：平方差公式 推导过程：由多项式乘多项式法则推导，（a + b）（a - b）= a·a - a·b + b·a - b·b = a² - b²（中间两项-ba与+ab互为相反数，合并后抵消）。 公式内容：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 字母表示：（a + b）（a - b）= a² - b²（其中a、b可以是单项式、多项式或常数）。 结构特征： · 左边：两个二项式相乘，这两个二项式中，有一项完全相同（a），另一项互为相反数（b与-b）； · 右边：相同项的平方减去互为相反数项的平方（注意顺序：相同项² - 相反项²）。 关键注意点： · 符号：互为相反数的项，符号不同但绝对值相等，运算时注意符号判断，避免出现（a - b）（a - b）误用平方差公式的情况； · 灵活适配：当a、b为多项式时，可将其看作一个整体，代入公式运算（如（x + 2y）（x - 2y），将“x”看作a，“2y”看作b）； · 结果化简：运算结束后，若有同类项，需合并同类项化为最简形式。 知识点二： 完全平方公式 推导过程：由多项式乘多项式法则推导，（a + b）² = （a + b）（a + b）= a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²；（a - b）² = （a - b）（a - b）= a² - ab - ab + b² = a² - 2ab + b²。 公式内容：两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和，加上（或减去）这两个数积的2倍。 字母表示： · 和的完全平方：（a + b）² = a² + 2ab + b²； · 差的完全平方：（a - b）² = a² - 2ab + b²。 结构特征： · 左边：一个二项式的平方（两个相同的二项式相乘）； · 右边：一个二次三项式，由“首项平方、末项平方、中间两项积的2倍”组成（注意：中间项的符号与左边二项式的符号一致）。 关键注意点： · 避免易错点：切勿将（a ± b）²误写为a² ± b²（漏掉中间项2ab）； · 符号判断：差的完全平方中间项为负，和的完全平方中间项为正，末项始终为正（平方的非负性）； · 整体代入：当a、b为单项式或多项式时，可将其看作一个整体代入公式（如（2x - 3y）²，将“2x”看作a，“3y”看作b）。 知识点三： 完全平方公式的常用变形（求值核心） 由完全平方公式推导，常用于已知a + b、a - b、ab中的两项，求第三项或a² + b²的值： · a² + b² = （a + b）² - 2ab； · a² + b² = （a - b）² + 2ab； · （a + b）² = （a - b）² + 4ab； · （a - b）² = （a + b）² - 4ab； · ab = [(a + b）² - （a² + b²）] ÷ 2 = [(a² + b²） - （a - b）²] ÷ 2。 知识点四： 乘法公式与几何图形的联系（数形结合） · 平方差公式：用大正方形面积减去小正方形面积，可表示为（a + b）（a - b），同时也等于a² - b²，直观验证公式的正确性； · 完全平方公式：用边长为（a + b）或（a - b）的正方形面积，拆分为两个小正方形和两个长方形的面积和（或差），对应a² + 2ab + b²或a² - 2ab + b²，理解公式的几何意义。 知识点五： 整式混合运算（含乘法公式） 运算顺序：先算乘方，再算单项式乘单项式、单项式乘多项式，接着运用乘法公式进行多项式运算，最后算加减；有括号的先算括号里面的，同级运算从左到右依次进行。 关键：灵活选用乘法公式简化运算，避免重复运用多项式乘多项式法则，提升运算效率；注意符号和同类项合并。 04 题型•汇总 【题型1 运用平方差公式进行运算】 解题关键：判断式子是否符合平方差公式结构（有一项相同，一项互为相反数），找准“相同项a”和“相反项b”，代入公式运算，注意符号和整体代入思想。 【典例1】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查平方差公式的应用，平方差公式为，关键是准确识别两个因式中相同的项和互为相反数的项，将相同项作为公式中的，互为相反数的项作为公式中的，再套用公式计算． （1）观察到两个因式中是相同项，和是互为相反数的项，直接套用平方差公式计算即可； （2）先调整因式顺序，明确是相同项，和是互为相反数的项，再套用平方差公式计算． 【详解】（1）解：； （2）解：． 跟随训练1-1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查平方差公式，掌握是解题的关键． （1）根据平方差公式进行计算； （2）根据平方差公式进行计算； （3）根据平方差公式进行计算； （4）根据平方差公式进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 跟随训练1-2．运用乘法公式简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方差公式的运用，注意数字特点，灵活运算； （1）利用平方差公式展开； （2）把改为，利用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型2 平方差公式与几何图形】 解题关键：结合图形面积公式（正方形、长方形面积），用代数式表示图形的边长或面积，利用“总面积差”或“面积和”对应平方差公式，验证公式或求解未知量。 【典例2】．边长为的正方形剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是________（请选择正确的一个选项） A．    B． C．        D． (2)若，，求的值； (3)计算：． 【答案】(1)B (2) (3) 【分析】本题主要考查平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）结合图①和图②阴影部分面积相等建立等式即可． （2）利用平方差公式计算即可． （3）利用平方差公式展开计算化简，最后求值． 【详解】（1）解：边长为a的正方形面积是，边长为b的正方形面积是， ∴图①阴影部分面积为；图②长方形面积为； 则验证的等式是， 故答案为：B； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解： ． 跟随训练2-1．推理能力如图①所示，在边长为的正方形中作一个边长为的正方形，则余下的阴影部分面积等于一个以为长、为宽的长方形面积，如图②所示． 【探究】 （1）请列式表示：图①中阴影部分的面积为___________，图②中阴影部分的面积为___________；根据两图中阴影部分的面积相等，可以得到乘法公式___________． 【应用】 （2）根据（1）中的公式解决如下问题： ①若，，求的值． ②计算：． 【答案】（1），，；（2）①8，② 【分析】本题主要考查了列代数式，平方差公式的几何背景及应用，熟练掌握平方差公式的推导过程和构造使用条件是解题的关键． （1）图①阴影部分的面积用大正方形面积减去小正方形面积表示；图②阴影部分的面积用长方形面积公式表示；根据面积相等推导出平方差公式； （2）①直接代入（1）中得到的平方差公式计算；②先在算式前乘以构造平方差公式的使用条件，再连续应用平方差公式逐步化简计算． 【详解】解：（1）由题意得，图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为， 根据两图中阴影部分的面积相等，可以得到乘法公式． 故答案为：，，． （2）①因为，，且， 所以，即． ② ． 跟随训练2-2．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是___________（填字母）． A． B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，求的值； ②计算：； ③计算：． 【答案】(1)B (2)①，②，③ 【分析】本题主要考查平方差公式的运用，熟练运用平方差公式进行拆分是解题关键． （1）根据图形左右两边阴影面积相等解题即可． （2）①利用平方差公式计算即可； ②利用平方差公式拆分每一项，再相消即可； ③利用平方差公式拆分每一项，再相消即可． 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即， 拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以有， 故选：B； （2）解：①，即，而， ； ②原式 ； ③原式 ． 【题型3 运用完全平方公式进行运算】 解题关键：判断式子是否为二项式的平方，找准“首项a”和“末项b”，区分和的完全平方与差的完全平方，注意中间项的符号和系数（2ab），避免漏写中间项。 【典例3】．用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． （1）原式运用完全平方公式进行计算即可； （2）原式运用完全平方公式进行计算即可； （3）原式运用完全平方公式进行计算即可； （4）原式运用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 跟随训练3-1．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查整式的混合运算、完全平方公式、多项式乘多项式等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． 先用完全平方公式、多项式乘多项式展开，然后合并同类项即可． 【详解】解： ． 跟随训练3-2．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，掌握完全平方公式是解题的关键． 先用完全平方公式展开，然后去括号，最后合并同类项即可解答． 【详解】解： ． 【题型4 通过对完全平方公式变形求值】 解题关键：根据已知条件，灵活选用完全平方公式的变形形式（如a² + b² = （a + b）² - 2ab），将已知量代入，求解未知量，注意整体代入思想的运用。 【典例4】．若，且． (1)求的值； (2)求的值； 【答案】(1)3 (2)10 【分析】本题考查了完全平方公式的变形，多项式乘多项式，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据多项式乘多项式的运算法则得，又因为，故，即可作答． （2）把，代入，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 则， ∵， ∴； （2）解：由（1）得， ∵ ∴ ． 跟随训练4-1．（1）已知，，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）87；（2）8． 【分析】本题考查了完全平方公式的变形应用，整式的化简求值，整体代入思想，掌握完全平方公式的变形，整式化简后结合已知条件整体代入求值是解题的关键． （1）利用完全平方公式的变形，代入已知数值计算； （2）先展开并化简代数式，得到含的式子，再结合已知条件整体代入求值． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴； （2） ． ∵， ∴，即， ∴原式． 跟随训练4-2．把完全平方公式适当地变形，可解决很多数学问题．例如：若，，求的值． 解：，，，， ，，得． 根据上面的解题思路与方法，解答下列问题： (1)若，，求的值； (2)若，求的值； (3)求代数式的最小值，并求出此时的，的值． 【答案】(1) (2) (3)最小值为，， 【分析】本题考查完全平方公式的变形求解，掌握完全平方公式是解决问题的关键． （1）先求得，即，再把代入计算，即可求解； （2）根据，得出，计算再把整体代入计算即可求解； （3）先把变形为，再根据，，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 即， 又， ， ； （2）解：， ， ， ， ． （3）解： ， ，， 当，时，有最小值，最小值为2026， 此时，，解得：，． 当，时，有最小值，最小值为2026． 【题型5 完全平方公式在几何图形中的应用】 解题关键：结合图形（正方形、长方形组合），用代数式表示图形的边长、面积，利用完全平方公式的几何意义（面积和），建立等式，求解未知量或验证公式。 【典例5】．某学校为了提高学生的实践能力和综合运用知识的能力，计划在其实验基地建立如图所示的种植园．图中阴影部分设计为种植园，该长方形场地的长为，宽为，中间是边长为的正方形空地． (1)用含，的代数式表示该种植园（阴影部分）的面积并化简； (2)学校组织学生种植作物，若，，每平方米的种植成本是40元，则完成种植共需多少元？ 【答案】(1) (2)116000元 【分析】本题考查的是整式的乘法与图形面积，求解代数式的值. （1）根据阴影部分的面积等于长方形的面积减去正方形的面积可得答案. （2）把，代入（1）中的代数式求解面积，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：设阴影部分的面积为，由图可知： ． （2）解：当，时， ∴（元）． 答：完成种植共需116000元． 跟随训练5-1．【知识生成】通过学习我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，进而得出． 【理解应用】 （1）若，则_____． （2）若，求的值． 【知识迁移】 （3）将两块正方形纸板（）如图2所示放置，其中点，，在一条直线上，点，在一条直线上，连接，若，正方形和正方形的面积和为36，求图中阴影部分的面积．参考：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查完全平方公式，整体思想和数形结合思想，灵活运用代数式的变形是解题关键． （1）根据完全平方公式变形，即可求解； （2）运用整体思想，可以把x和看作完全平方中的两个部分，它们的和为5，乘积也为5，通过公式变形求出； （3）类比第（2）问，可以设两个正方形的边长分别为m和n，由题意可得，，，而阴影面积为，利用完全平方公式变形得到结果． 【详解】解：（1）∵ ∴ 故答案为：． （2）， （3）如图，设，， ， ， ∴，即， ∵正方形和正方形的面积和为36， ∴， ， ， ，即阴影部分的面积为14． 跟随训练5-2．【教材原题】 观察图1，用等式表示图中图形的面积的运算为． 【类比探究】 （1）观察图2，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为______； 【知识应用】 （2）根据图2所得的公式：①若，，求的值； ②若，求的值； 【知识拓展】 （3）如图3，某学校有一块四边形空地，于点，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种草区域的面积和为60平方米，米，求种花区域的面积和． 【答案】（1）；（2）①，②；（3）种花区域的面积和为102平方米 【分析】本题主要考查了几何背景下的完全平方公式，准确识图，熟练掌握完全平方公式的结构特征，图形的面积公式是解决问题的关键． （1）根据图②中“阴影部分两个正方形的面积之和=大正方形的面积-两个长方形的面积”得，据此即可得出答案； （2）①由（1）的结论得，再整体代入计算即可得出答案； ②由，再整体代入计算即可得出答案； （3）设，，，再表示出种草区域的面积和，最后代入后整体求值即可． 【详解】解：（1）∵图②中大正方形的边长为，阴影部分两个正方形的边长分别为a，b，两个长方形的宽和长分别为a，b， ∴大正方形的面积为，阴影部分两个正方形的面积分别为，，长方形的面积为， 又∵阴影部分两个正方形的面积之和大正方形的面积两个长方形的面积， ∴， 故答案为：； （2）①由（1）的结论得：， 又∵，， ∴； ②由（1）的结论得：， 又∵， ∴； （3）设，， ∵于点E，， ∴， ∵种草区域的面积和为：， ∴种花区域的面积和为： ． 答：种花区域的面积和为102平方米． 【题型6 求完全平方公式中的字母系数】 解题关键：先将式子展开（或对照完全平方公式结构），明确完全平方公式的首项、中间项、末项，根据“对应项系数相等”或“中间项为2ab”，列方程求解字母系数，注意分类讨论（当中间项符号不确定时）。 【典例6】．完全平方公式是非常重要的公式，在整式的化简、数据运算、代数推理、最值计算等方面都有巧妙的作用，根据公式解决下列问题： (1)填空：把下列各式配成完全平方式． ，； (2)求代数式的最小值． 【答案】(1)，；， (2) 【分析】本题考查完全平方公式的应用，非负数的性质，熟练掌握完全平方公式的形式是关键． （1）根据两个完全平方公式的形式，分析出与，然后进行填空即可； （2）利用完全平方公式分别对和的代数式进行配方，利用平方的非负性得出原式的最小值． 【详解】（1）解：根据完全平方公式可得，在代数式中，，，则， ∴， 同理，在代数式中，套用的形式，可得，， ∴． 故答案为：，；，． （2）解：， ， ， ∵，， ∴当，时，原式取得最小值． 跟随训练6-1．所谓完全平方式，就是对于一个整式，如果存在另一个整式，使，则称整式是完全平方式．例如：，所以就是完全平方式． 请根据上述材料解决下列问题： (1)已知，则_____； (2)如果是一个完全平方式，求的值； (3)若满足，求的值． 【答案】(1)2 (2)7或 (3)80 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，掌握公式的变形以及整体思想是解题关键． （1）由得，即可代值求解； （2）由题意得或，即可求解； （3）由，据此即可求解. 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； （2）解：∵是一个完全平方式， 即是一个完全平方式， ∴或． 解得或． 所以的值为7或． （3）解：∵， 而， ， ∴． ∴． 跟随训练6-2．【例题讲解】 例当k取何值时，是一个完全平方式？ 解决此类问题的关键是熟练掌握完全平方公式：的结构特征．因为，是一个完全平方式，故将写成，根据多项式对应项的系数相等，得到． 【方法巩固】 请根据例题中的方法解决下列问题： （1）若是一个完全平方式，求m的值； （2）若是完全平方式，则m的值为_______若（n为常数）是完全平方式，则n的值为_______； （3）已知：，则b的值为_______； 【实践活动】 （4）如图，现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片； ①若，则甲纸片与乙纸片的面积差为_______； ②小颖要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1张，再取乙纸片9张，还需取丙纸片_______张． 【答案】（1）  （2）8或，9 （3） （4）①2000；②6． 【分析】本题考查了完全平方公式的变形计算，熟练掌握公式变形是解题的关键． （1）把写成，解答即可； （2）根据是完全平方式，得到，解答即可；根据（n为常数）是完全平方式，得到解答即可； （3）根据，得到，解答即可； （4）①根据解答即可；②设还需丙纸片x张，根据题意，得解答即可． 【详解】（1）解：∵是一个完全平方式， 故将写成，根据多项式对应项的系数相等，得到． （2）解：由是完全平方式， 故将写成，根据多项式对应项的系数相等，得到 解得或， 故答案为：8或． 由（n为常数）是完全平方式， 故将写成，根据多项式对应项的系数相等，得到 故答案为：9； （3）解：由， 得， 故 解得， 故答案为：； （4）①解：由甲乙都是正方形， 故面积差为， 当时， ， 故答案为：2000； ②解：设还需丙纸片x张，根据题意，得， 故， 又x不能为负数， 故， 故答案为：6． 【题型7 完全平方式在几何图形中的应用】 解题关键：结合几何图形的边长关系（如正方形边长的和、差），判断图形面积对应的完全平方式，利用完全平方公式及其变形，求解图形的边长、面积或周长，体现数形结合思想。 【典例7】．如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块．该长方形地块正中间是一个长为米的长方形，四个角是大小相同的正方形，该小区计划将阴影部分进行绿化，对四个角的正方形采用型绿化方案，对正中间的长方形采用型绿化方案． (1)用含的代数式表示采用型绿化方案的四个正方形的边长是_____米，采用型绿化方案的长方形的另一边长是______米； (2)已知采用型绿化方案比型绿化方案的面积大，求型绿化方案比型绿化方案的面积大了多少平方米？ 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（）根据题意表示出、绿化方案的边长或另一边长即可； （）设型绿化方案的面积为，型绿化方案的面积为，分别计算，然后作差值计算即可； 本题考查了整式的加减，完全平方公式和平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）采用绿化方案的四个正方形边长， 采用型绿化方案的长方形的另一边长是， 故答案为：，； （2）设型绿化方案的面积为，型绿化方案的面积为， ∴，， 则， 答：B型绿化方案比A型绿化方案的面积大了平方米． 跟随训练7-1．如图所示，图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中的虚线剪成四个完全相同的小长方形，将四个小长方形按图2、图3摆放，分别拼成较大的长方形、正方形． (1)图1的面积为______；（用m与n的代数式表示） (2)在图2中，m与n的等量关系为______； (3)在图3中，若大正方形的面积为49，阴影小正方形的面积为24，请直接写出两个关于m，n的等式． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题主要考查了整式的运算，面积的计算等，审清题意列式是解题的关键. （1）根据面积公式计算即可； （2）根据图形推导长方形的长与三个宽相等求出即可； （3）由图推出大正方形的边长和阴影小正方形的边长，再根据“大正方形的面积为49，阴影小正方形的面积为24”列出关系式即可． 【详解】（1）解：由长方形的面积公式可得：. 故答案为：； （2）由图可知：. 故答案为：； （3）由图可知：大正方形的边长为，阴影小正方形的边长为， 又∵大正方形的面积为49，阴影小正方形的面积为24 ∴两个关于m，n的等式为：，． 跟随训练7-2．【知识生成】 通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），图1中阴影部分的面积可表示为：，图2中阴影部分的面积可表示为：，因为两个图中的阴影部分的面积是相同的，所以可得到等式：． 【结论探究】 图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个大正方形． （1）如图4，用两种不同方法表示图中阴影部分面积，可得到一个关于，，的等式是______． （2）若，，求的值． 【类比迁移】 （3）如图5，点是线段上的一点，以为边向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）29；（3）17 【分析】（1）根据题意，阴影部分的面积大正方形的面积4个小长方形的面积，列出代数式即可；阴影部分的面积正方形的面积长方形的面积小长方形的面积，代入字母求出代数式即可； （2）根据（1）代入数据计算即可； （3）根据题意，延长交于点H，设正方形的边长为x，正方形的边长为，两个正方形的面积和是47，得出方程，根据 ，列出代数式，求出阴影部分面积即可． 本题考查了平方差公式、完全平方公式，代数式，解决本题的关键是熟练运用正方形的面积公式、三角形的面积公式、梯形的面积公式． 【详解】解：（1）阴影部分的面积： 阴影部分的面积： 故答案为： （2）若，， （3）如图：延长交于点H 设正方形的边长为x，正方形的边长为， 得， ， ， 即， ， 即 答：图中阴影部分的面积是17． 【题型8 整式的混合运算】 解题关键：遵循“先乘方、再乘除、最后加减”的顺序，灵活运用平方差公式、完全平方公式简化运算，避免运算繁琐，注意符号判断和同类项合并。 【典例8】．化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式、平方差公式、完全平方公式及合并同类项，熟练掌握整式乘法法则和乘法公式，并能准确合并同类项是解题的关键． （1）先利用单项式乘多项式法则展开，再合并同类项化简． （2）先利用平方差公式和完全平方公式展开，再合并同类项化简． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 跟随训练8-1．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值、平方差公式、单项式乘以多项式，利用平方差公式和单项式乘以多项式的法则把多项式各项展开，再合并同类项，可得：原式，再把字母的值代入化简后的代数式计算求值． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 跟随训练8-2．定义，如．已知（为常数），． (1)若，则的值为______； (2)若的代数式中不含的一次项，当，求的值； (3)若中的满足，且时，求的值． 【答案】(1)1 (2)9 (3)13 【分析】本题考查了新定义下整式的运算． （1）根据定义，得到代数式，转化为方程解答即可； （2）先化简A，令其代数式中含x的一次项的系数为0，结合，求的值即可； （3）根据，得到，结合定义，已知求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， 的代数式中不含的一次项， ，， ， ， 时，； （3）解：， ， ， ， ，， ，即， ． 05 过关•检测 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过计算每个选项，依据指数运算法则和乘法公式判断即可；本题主要考查了同底数幂的乘除法，积的乘方，以及多项式乘多项式．熟练掌握相关的运算法则是解题的关键． 【详解】解：对于A：∵， ∴A错误，不符合题意； 对于B：∵， ∴B错误，不符合题意； 对于C：∵， ∴C错误，不符合题意； 对于D：∵， ∴D正确，符合题意； 故选：D． 2．已知，若正方形M的边长为，其面积记为，长方形N的长为，宽为，其面积记为，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积，整式的混合运算的应用，掌握相关运算法则是解题关键．由题意可知，，，再计算即可． 【详解】解：由题意可知，，， 则 ， 故选：D． 3．若的计算结果中不含项，则的值为（   ） A．3 B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘多项式的运算，掌握不含某一项即该项的系数为的原则，以及准确找出所有生成目标项的项是解题的关键． 展开多项式乘积，找出所有产生项的项，令其系数之和为零，解出的值． 【详解】解：∵原式为， 项来源于： ∴项系数为， ∵计算结果不含项， ∴， ∴． 故选：B． 4．如图是李伟家住房的结构图（单位：），李伟打算把卧室和客厅铺上木地板，请你帮他算一算，卧室和客厅的面积和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式混合运算，正确从图形上获取正确数据是解题关键．直接利用已知数据结合矩形面积列代数式即可． 【详解】解：由题意可得，卧室和客厅的面积和为： ． ． 故选：A． 5．若代数式的值与的取值无关，则常数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的混合运算，代数式求值，解一元一次方程，正确理解多项式与取值无关的意义是解题的关键．先根据多项式乘多项式、单项式乘多项式、合并同类项化简已知的代数式，再根据代数式的值与无关，则的系数必须为零，列方程并解方程即可得解． 【详解】解： ， 代数式的值与无关， ， 解得． 故选：C． 6．如图所示是“整式和幻方”，其每行、每列、每条对角线上的三个整式之和均相等，若，则k的值为（   ） A B C D A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查整式加减的实际应用，多项式与多项式的乘法，利用幻方性质，对角线之和与行之和相等，推出，代入表达式后比较系数解出即可． 【详解】解：由题意， ∵， ∴ ； ； ∵， ∴， ∴； 故选B． 7．下列各式，①；②；③；④能够表示图中阴影部分的面积的是（    ） A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了列代数式，解题的关键是弄清根据面积公式求阴影部分面积时各种数量之间的关系．根据题意可以画出相应的图形，从而求出阴影部分的面积，从而判断题目中的结论正确与否． 【详解】解：如图1，阴影部分的面积的是 如图2，阴影部分的面积的是， 如图3，阴影部分的面积的是 如图4，阴影部分的面积的是， 综上：①②③④都可以表示阴影部分的面积． 故选D． 8．我国北宋数学家贾宪在研究乘法公式时，发现了为非负数展开式的各项系数的规律．例如：，它只有一项，系数为1；，它有两项，系数分别为1、1；，它有三项，系数分别为1、2、1；，它有四项，系数分别为1、3、3、1；根据以上系数规律，展开式中各项系数之和是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能根据题意得出展开式中各项系数之和为是解题的关键． 根据题意，依次求出展开式中各项系数之和，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 展开式中各项系数之和为2； 展开式中各项系数之和为4； 展开式中各项系数之和为8； …， 所以展开式中各项系数之和为 当时， 展开式中各项系数之和是 故选：C． 9．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的运算，根据多项式乘以多项式的运算法则求出等式左边的结果，比较多项式系数，求出 a 和 b 的值，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．若展开后不含的二次项，则常数的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，利用多项式乘多项式的法则，将整式展开后再合并同类项，因为不含二次项，令二次项系数为零，求解的值． 【详解】解： ， 展开后不含的二次项， ， 解得：． 故答案为：． 11．设有边长分别为和的类和类正方形纸片，长为、宽为的类长方形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张类纸片、1张类纸片和2张类纸片．若要拼一个长为，宽为的长方形，则需要类纸片的张数为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，计算出的结果，结果中项的系数即为所求答案． 【详解】解： ， ∴要拼一个长为，宽为的长方形，则需要类纸片的张数为9， 故答案为：9． 12．计算： (1)已知，则 ． (2)若，则 ． 【答案】(1)2025 (2) 【分析】本题考查了已知式子的值，求代数式的值，计算多项式乘多项式，型多项式乘法，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）先将待求式子展开，再整体代入求值； （2）先将已知式子中等号右边的式子展开，与左边比较后得出m，n的值，再代入待求式子求值． 【详解】（1）解：， 整理得①， 又②， 将①代入②可得， 故答案为∶． （2）解：∵， ∴， ∴， 故答案为∶． 13．计算图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，阴影部分的面积等于一个长为，宽为的长方形面积减去一个长为，宽为的长方形面积，据此列式求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 14．观察下列各式： ， …… 请根据你发现的规律完成下列各题． （1） （其中为正整数）； （2） ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能根据所给等式发现各部分的变化规律是解题的关键． （1）观察所给式子的规律，等号右边x的指数比等号左边x的最高指数大1，直接写出结果； （2）利用第（1）问的规律公式计算． 【详解】解：（1）根据已知规律，， 故答案为：； （2）由已知规律，可得： ， ∴， 故答案为：． 15．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了单项式乘单项式，多项式乘多项式，积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先进行积的乘方，再利用单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘即可； （2）根据多项式乘多项式的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 16．先化简，再求值：，其中 【答案】；0 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则，是解题的关键．根据单项式乘多项式，合并同类项法则，进行化简，然后代入数据求值即可． 【详解】解： ， 把代入得：原式． 17．已知的展开式中不含的一次项，且常数项是，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，已知多项式乘积不含某项求字母的值，先将原式进行化简，然后将与的值代入即可求出答案． 【详解】解： ∵的展开式中不含的一次项，且常数项是 ∴ 解得： 故． 18．如图，有一块长为米，宽为米的长方形苗圃，现计划扩建，以如图方式向外扩建x米的距离． (1)请用含有x和a的式子表示扩建后的苗圃的面积； (2)若，扩建后的面积比原面积的大了400平方米，求a的值． 【答案】(1)平方米 (2) 【分析】本题考查了多项式乘法和一元一次方程的应用，解题的关键是根据图形变化准确表示出扩建后长方形的长和宽，再利用面积公式建立方程求解． （1） 先求出扩建后长方形的长和宽，再根据长方形面积公式列出表达式并化简； （2） 先求出原面积与扩建后面积的差，代入得到关于的一元一次方程，解方程求出的值． 【详解】（1）解：扩建后的长为：， 扩建后的宽为：， 扩建后的面积为： 故扩建后的面积为 平方米． （2）解：原面积为：， 面积增加量为：， 当 时，面积增加了400平方米， 代入得，即，， ∴． 答：的值为． 19．如图1，吊脚楼在贵州是一道独特的风景线，它设计巧妙，顺应山势，其部分结构是接地而非全悬空的，通过正屋实地建造与厢房悬空的特殊设计，巧妙地将建筑与自然融为一体．如图2是某吊脚楼的侧面设计示意图，把它抽象为如图3所示的几何图形（单位：m）． (1)请用含字母a，b的代数式表示图3的面积． (2)若，，此时图3的面积是多少平方米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算的应用． （1）根据梯形的面积公式计算即可； （2）将，代入（1）中结果计算即可． 【详解】（1）解：面积为： ； （2）解：当，时，原式=， 故此时图3的面积是． 20．综合与实践 数学活动--探究日历中的数学规律 如图①是2025年8月份的日历，亮亮在其中任意画的方框，方框内的数字分别用表示（如图②），他准备计算“”的值，并探索其运算结果的规律． 【特例探究】（1）计算图①中方框内的结果：___________， ___________； 【推理演绎】（2）亮亮通过特例分析，猜想所有日历中，方框内“”的结果都不变，请你将他的证明过程补充完整； 证明：设，则． ．．．．．． 【类比应用】（3）乐乐学习亮亮的方法，借助2025年8月份的日历，继续进行如下探究：在日历中用“十字框”框住五个数（字母表示如图③所示），再探究“”的值的规律．请你帮他写出结论，并说明理由． 、 【答案】（1）7；7；（2）见详解；（3）的值保持不变，始终为，理由见详解 【分析】本题主要考查整式的运算，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键； （1）根据题意直接进行求解即可； （2）由题意可知，然后进行求解即可； （3）设，则有，然后计算的值即可． 【详解】解：，； 故答案为7；7； （2）证明：设，则， ∴ ； ∴方框内“”的结果都不变； （3）设，则有， ∴ ； ∴的值保持不变，始终为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.4乘法公式同步培优讲义 （5知识点+8大题型+过关检测） 【题型1 运用平方差公式进行运算】 3 【题型2 平方差公式与几何图形】 3 【题型3 运用完全平方公式进行运算】 5 【题型4 通过对完全平方公式变形求值】 6 【题型5 完全平方公式在几何图形中的应用】 6 【题型6 求完全平方公式中的字母系数】 8 【题型7 完全平方式在几何图形中的应用】 9 【题型8 整式的混合运算】 11 1. 理解平方差公式、完全平方公式的推导过程（基于多项式乘多项式法则），能准确叙述两个公式的内容、结构特征，并区分公式的适用条件。 2. 熟练掌握平方差公式、完全平方公式，能正确、快速运用公式进行简单的整式乘法运算，杜绝符号错误、公式混淆等问题。 3. 能灵活运用完全平方公式的变形形式进行求值运算，掌握公式变形的基本思路和方法。 4. 能结合几何图形，理解平方差公式、完全平方公式的几何意义，建立代数运算与几何图形的联系，提升数形结合能力。 03 知识•梳理 知识点一：平方差公式 推导过程：由多项式乘多项式法则推导，（a + b）（a - b）= a·a - a·b + b·a - b·b = a² - b²（中间两项-ba与+ab互为相反数，合并后抵消）。 公式内容：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 字母表示：（a + b）（a - b）= a² - b²（其中a、b可以是单项式、多项式或常数）。 结构特征： · 左边：两个二项式相乘，这两个二项式中，有一项完全相同（a），另一项互为相反数（b与-b）； · 右边：相同项的平方减去互为相反数项的平方（注意顺序：相同项² - 相反项²）。 关键注意点： · 符号：互为相反数的项，符号不同但绝对值相等，运算时注意符号判断，避免出现（a - b）（a - b）误用平方差公式的情况； · 灵活适配：当a、b为多项式时，可将其看作一个整体，代入公式运算（如（x + 2y）（x - 2y），将“x”看作a，“2y”看作b）； · 结果化简：运算结束后，若有同类项，需合并同类项化为最简形式。 知识点二： 完全平方公式 推导过程：由多项式乘多项式法则推导，（a + b）² = （a + b）（a + b）= a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²；（a - b）² = （a - b）（a - b）= a² - ab - ab + b² = a² - 2ab + b²。 公式内容：两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和，加上（或减去）这两个数积的2倍。 字母表示： · 和的完全平方：（a + b）² = a² + 2ab + b²； · 差的完全平方：（a - b）² = a² - 2ab + b²。 结构特征： · 左边：一个二项式的平方（两个相同的二项式相乘）； · 右边：一个二次三项式，由“首项平方、末项平方、中间两项积的2倍”组成（注意：中间项的符号与左边二项式的符号一致）。 关键注意点： · 避免易错点：切勿将（a ± b）²误写为a² ± b²（漏掉中间项2ab）； · 符号判断：差的完全平方中间项为负，和的完全平方中间项为正，末项始终为正（平方的非负性）； · 整体代入：当a、b为单项式或多项式时，可将其看作一个整体代入公式（如（2x - 3y）²，将“2x”看作a，“3y”看作b）。 知识点三： 完全平方公式的常用变形（求值核心） 由完全平方公式推导，常用于已知a + b、a - b、ab中的两项，求第三项或a² + b²的值： · a² + b² = （a + b）² - 2ab； · a² + b² = （a - b）² + 2ab； · （a + b）² = （a - b）² + 4ab； · （a - b）² = （a + b）² - 4ab； · ab = [(a + b）² - （a² + b²）] ÷ 2 = [(a² + b²） - （a - b）²] ÷ 2。 知识点四： 乘法公式与几何图形的联系（数形结合） · 平方差公式：用大正方形面积减去小正方形面积，可表示为（a + b）（a - b），同时也等于a² - b²，直观验证公式的正确性； · 完全平方公式：用边长为（a + b）或（a - b）的正方形面积，拆分为两个小正方形和两个长方形的面积和（或差），对应a² + 2ab + b²或a² - 2ab + b²，理解公式的几何意义。 知识点五： 整式混合运算（含乘法公式） 运算顺序：先算乘方，再算单项式乘单项式、单项式乘多项式，接着运用乘法公式进行多项式运算，最后算加减；有括号的先算括号里面的，同级运算从左到右依次进行。 关键：灵活选用乘法公式简化运算，避免重复运用多项式乘多项式法则，提升运算效率；注意符号和同类项合并。 04 题型•汇总 【题型1 运用平方差公式进行运算】 解题关键：判断式子是否符合平方差公式结构（有一项相同，一项互为相反数），找准“相同项a”和“相反项b”，代入公式运算，注意符号和整体代入思想。 【典例1】．计算： (1)； (2)． 跟随训练1-1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 跟随训练1-2．运用乘法公式简便计算： (1)； (2)． 【题型2 平方差公式与几何图形】 解题关键：结合图形面积公式（正方形、长方形面积），用代数式表示图形的边长或面积，利用“总面积差”或“面积和”对应平方差公式，验证公式或求解未知量。 【典例2】．边长为的正方形剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是________（请选择正确的一个选项） A．    B． C．        D． (2)若，，求的值； (3)计算：． 跟随训练2-1．推理能力如图①所示，在边长为的正方形中作一个边长为的正方形，则余下的阴影部分面积等于一个以为长、为宽的长方形面积，如图②所示． 【探究】 （1）请列式表示：图①中阴影部分的面积为___________，图②中阴影部分的面积为___________；根据两图中阴影部分的面积相等，可以得到乘法公式___________． 【应用】 （2）根据（1）中的公式解决如下问题： ①若，，求的值． ②计算：． 跟随训练2-2．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是___________（填字母）． A． B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，求的值； ②计算：； ③计算：． 【题型3 运用完全平方公式进行运算】 解题关键：判断式子是否为二项式的平方，找准“首项a”和“末项b”，区分和的完全平方与差的完全平方，注意中间项的符号和系数（2ab），避免漏写中间项。 【典例3】．用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 跟随训练3-1．计算： 跟随训练3-2．计算：． 【题型4 通过对完全平方公式变形求值】 解题关键：根据已知条件，灵活选用完全平方公式的变形形式（如a² + b² = （a + b）² - 2ab），将已知量代入，求解未知量，注意整体代入思想的运用。 【典例4】．若，且． (1)求的值； (2)求的值； 跟随训练4-1．（1）已知，，求的值； （2）若，求的值． 跟随训练4-2．把完全平方公式适当地变形，可解决很多数学问题．例如：若，，求的值． 解：，，，， ，，得． 根据上面的解题思路与方法，解答下列问题： (1)若，，求的值； (2)若，求的值； (3)求代数式的最小值，并求出此时的，的值． 【题型5 完全平方公式在几何图形中的应用】 解题关键：结合图形（正方形、长方形组合），用代数式表示图形的边长、面积，利用完全平方公式的几何意义（面积和），建立等式，求解未知量或验证公式。 【典例5】．某学校为了提高学生的实践能力和综合运用知识的能力，计划在其实验基地建立如图所示的种植园．图中阴影部分设计为种植园，该长方形场地的长为，宽为，中间是边长为的正方形空地． (1)用含，的代数式表示该种植园（阴影部分）的面积并化简； (2)学校组织学生种植作物，若，，每平方米的种植成本是40元，则完成种植共需多少元？ 跟随训练5-1．【知识生成】通过学习我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，进而得出． 【理解应用】 （1）若，则_____． （2）若，求的值． 【知识迁移】 （3）将两块正方形纸板（）如图2所示放置，其中点，，在一条直线上，点，在一条直线上，连接，若，正方形和正方形的面积和为36，求图中阴影部分的面积．参考：． 跟随训练5-2．【教材原题】 观察图1，用等式表示图中图形的面积的运算为． 【类比探究】 （1）观察图2，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为______； 【知识应用】 （2）根据图2所得的公式：①若，，求的值； ②若，求的值； 【知识拓展】 （3）如图3，某学校有一块四边形空地，于点，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种草区域的面积和为60平方米，米，求种花区域的面积和． 【题型6 求完全平方公式中的字母系数】 解题关键：先将式子展开（或对照完全平方公式结构），明确完全平方公式的首项、中间项、末项，根据“对应项系数相等”或“中间项为2ab”，列方程求解字母系数，注意分类讨论（当中间项符号不确定时）。 【典例6】．完全平方公式是非常重要的公式，在整式的化简、数据运算、代数推理、最值计算等方面都有巧妙的作用，根据公式解决下列问题： (1)填空：把下列各式配成完全平方式． ，； (2)求代数式的最小值． 跟随训练6-1．所谓完全平方式，就是对于一个整式，如果存在另一个整式，使，则称整式是完全平方式．例如：，所以就是完全平方式． 请根据上述材料解决下列问题： (1)已知，则_____； (2)如果是一个完全平方式，求的值； (3)若满足，求的值． 跟随训练6-2．【例题讲解】 例当k取何值时，是一个完全平方式？ 解决此类问题的关键是熟练掌握完全平方公式：的结构特征．因为，是一个完全平方式，故将写成，根据多项式对应项的系数相等，得到． 【方法巩固】 请根据例题中的方法解决下列问题： （1）若是一个完全平方式，求m的值； （2）若是完全平方式，则m的值为_______若（n为常数）是完全平方式，则n的值为_______； （3）已知：，则b的值为_______； 【实践活动】 （4）如图，现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片； ①若，则甲纸片与乙纸片的面积差为_______； ②小颖要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1张，再取乙纸片9张，还需取丙纸片_______张． 【题型7 完全平方式在几何图形中的应用】 解题关键：结合几何图形的边长关系（如正方形边长的和、差），判断图形面积对应的完全平方式，利用完全平方公式及其变形，求解图形的边长、面积或周长，体现数形结合思想。 【典例7】．如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块．该长方形地块正中间是一个长为米的长方形，四个角是大小相同的正方形，该小区计划将阴影部分进行绿化，对四个角的正方形采用型绿化方案，对正中间的长方形采用型绿化方案． (1)用含的代数式表示采用型绿化方案的四个正方形的边长是_____米，采用型绿化方案的长方形的另一边长是______米； (2)已知采用型绿化方案比型绿化方案的面积大，求型绿化方案比型绿化方案的面积大了多少平方米？ 跟随训练7-1．如图所示，图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中的虚线剪成四个完全相同的小长方形，将四个小长方形按图2、图3摆放，分别拼成较大的长方形、正方形． (1)图1的面积为______；（用m与n的代数式表示） (2)在图2中，m与n的等量关系为______； (3)在图3中，若大正方形的面积为49，阴影小正方形的面积为24，请直接写出两个关于m，n的等式． 跟随训练7-2．【知识生成】 通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），图1中阴影部分的面积可表示为：，图2中阴影部分的面积可表示为：，因为两个图中的阴影部分的面积是相同的，所以可得到等式：． 【结论探究】 图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个大正方形． （1）如图4，用两种不同方法表示图中阴影部分面积，可得到一个关于，，的等式是______． （2）若，，求的值． 【类比迁移】 （3）如图5，点是线段上的一点，以为边向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 【题型8 整式的混合运算】 解题关键：遵循“先乘方、再乘除、最后加减”的顺序，灵活运用平方差公式、完全平方公式简化运算，避免运算繁琐，注意符号判断和同类项合并。 【典例8】．化简： (1) (2) 跟随训练8-1．先化简，再求值：，其中，． 跟随训练8-2．定义，如．已知（为常数），． (1)若，则的值为______； (2)若的代数式中不含的一次项，当，求的值； (3)若中的满足，且时，求的值． 05 过关•检测 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，若正方形M的边长为，其面积记为，长方形N的长为，宽为，其面积记为，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．若的计算结果中不含项，则的值为（   ） A．3 B． C． D．0 4．如图是李伟家住房的结构图（单位：），李伟打算把卧室和客厅铺上木地板，请你帮他算一算，卧室和客厅的面积和为（   ） A． B． C． D． 5．若代数式的值与的取值无关，则常数为（   ）． A． B． C． D． 6．如图所示是“整式和幻方”，其每行、每列、每条对角线上的三个整式之和均相等，若，则k的值为（   ） A B C D A． B． C．1 D．2 7．下列各式，①；②；③；④能够表示图中阴影部分的面积的是（    ） A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 8．我国北宋数学家贾宪在研究乘法公式时，发现了为非负数展开式的各项系数的规律．例如：，它只有一项，系数为1；，它有两项，系数分别为1、1；，它有三项，系数分别为1、2、1；，它有四项，系数分别为1、3、3、1；根据以上系数规律，展开式中各项系数之和是（   ） A． B． C． D． 9．若，则的值为 ． 10．若展开后不含的二次项，则常数的值为 ． 11．设有边长分别为和的类和类正方形纸片，长为、宽为的类长方形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张类纸片、1张类纸片和2张类纸片．若要拼一个长为，宽为的长方形，则需要类纸片的张数为 ． 12．计算： (1)已知，则 ． (2)若，则 ． 13．计算图中阴影部分的面积是 ． 14．观察下列各式： ， …… 请根据你发现的规律完成下列各题． （1） （其中为正整数）； （2） ． 15．计算： (1)； (2)． 16．先化简，再求值：，其中 17．已知的展开式中不含的一次项，且常数项是，求的值． 18．如图，有一块长为米，宽为米的长方形苗圃，现计划扩建，以如图方式向外扩建x米的距离． (1)请用含有x和a的式子表示扩建后的苗圃的面积； (2)若，扩建后的面积比原面积的大了400平方米，求a的值． 19．如图1，吊脚楼在贵州是一道独特的风景线，它设计巧妙，顺应山势，其部分结构是接地而非全悬空的，通过正屋实地建造与厢房悬空的特殊设计，巧妙地将建筑与自然融为一体．如图2是某吊脚楼的侧面设计示意图，把它抽象为如图3所示的几何图形（单位：m）． (1)请用含字母a，b的代数式表示图3的面积． (2)若，，此时图3的面积是多少平方米？ 20．综合与实践 数学活动--探究日历中的数学规律 如图①是2025年8月份的日历，亮亮在其中任意画的方框，方框内的数字分别用表示（如图②），他准备计算“”的值，并探索其运算结果的规律． 【特例探究】（1）计算图①中方框内的结果：___________， ___________； 【推理演绎】（2）亮亮通过特例分析，猜想所有日历中，方框内“”的结果都不变，请你将他的证明过程补充完整； 证明：设，则． ．．．．．． 【类比应用】（3）乐乐学习亮亮的方法，借助2025年8月份的日历，继续进行如下探究：在日历中用“十字框”框住五个数（字母表示如图③所示），再探究“”的值的规律．请你帮他写出结论，并说明理由． 、 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $