2026年中考第一次模拟考试数学检测卷（江苏常州专用）

2026年中考第一次模拟考试检测卷 数学·答案版 (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2,回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑) 3 6 7 8 C D C 第IⅡ卷 二、填空题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分） 9.-2 10.x2(2x+12 11.-1 12.2:1 13.(0,8)或(0，-8 4名 15.140 16.29° 17.5 18.√7或19 三、解答题（本大题共10个小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19.（本题8分)(1)解：x2+6x=0, .x(x+6)=0, ∴.x=0或x+6=0, 解得：x=0,x2=-6; 2x<x+3① (2)解： 3(x+1≥2x+1②' 1/10 解不等式①得，x<3, 解不等式②得，x≥-2， .不等式组的解集为：-2≤x<3, 20.(本题6分)解：(x-2y)2-(x+y)(x-y)-5y2 =x2-4xy+4y2-(x2-y2)-5y2 =x2-4xy+4y2-x2+y2-5y2 =-4xy 当x=1,y=- 2 时，原式=-4×1× 22 1 21.(本题8分)(1)解：A组的频数为4，百分比为5%， .4÷5%=80, ∴.本次一共随机抽取了80名学生的成绩； (2)解：m=80-4-36-16=24,m%=24 ×100%=30%, 80 .n=30; (3)解：B组有24人，补全图形如下， 频数/人数 40 24 0 84 0 60708090100成绩/分 (4)解：360°× 36 =162°， 80 .“C.80≤x<90”组所对应的扇形圆心角的度数是162°， 故答案为：162. 22.（本题8分)(1)解：，·有3张正面印有“喜洋洋”和2张正面印有“乐融融”图案的明信片， :从中随机抽取1张，则抽取的明信片上的图案恰好为“喜洋洋”的概率为亏： (2)解：把“喜洋洋”和“乐融融”图案的明信片分别记作A1,A2,A,B,B2,列表如下： A A2 A: B B2 2/10 A1,A2) A1,A3 (A,B) (A,B2) A2 (A2A) (A2,A;) (A2,B) (A2,B2 A3 (A3,A (A,A,) (A3,B.) (AB2） B (B1,A (B1,A2 (B1,A3 (B1B2 B2 (B2,A) (B2,A2 B2,A3 (B2B) 由上表知，共有20种等可能的结果，其中两人抽取的明信片图案恰好相同的情况有8种， 所求概率为 82 05 23.（本题8分)(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， AD=BC、AD∥BC, :LABC+∠BAD=LCBE+∠ABE+∠BAD=180°， :AF∥BE, ∠ABE+∠BAF=∠ABE+∠BAD+∠DAF=I8O°， CBE DAF, 同理得LBCE=LADF, 在△BCE和△ADF中， I∠CBE=∠DAF BC=AD ∠BCE=∠ADF △BCE≌△ADF(ASA); (2)解：如图，连接AE、DE, 3/10 D :点E在口ABCD内部， 1 S.BEC+S.AED= 由(1)知△BCE≌△ADF, SBCE =SADF, DES.Ior+.EC+D=C 设口ABCD的面积为S,四边形AEDF的面积为T, s_s=2 T-IS 24.(本题8分)(1)解：因为反比例函数y="的图象过点A(-4,2), 所以2=子解得m=8 反比例函数的解析式为y=8 因为反比例函数y=8的图象过点Bn,-4), 所以4=8 解得n=2. n 点B的坐标为(2，-4)， 因为一次函数y=x+b的图象过点A-4,2),B(2,-4), -4k+b=2 [k=-1 所以 2k+6=4解得6=-2 一次函数的解析式为y=-x-2. (2)解：当y=-x-2=0时，x=-2, 所以点C的坐标为C(-2,0). Sm=5c+5c-x2x2+x2x4=6. 1 (3)解：将不等式+b-”≥0变形，得-x-2≥8 根据函数图象可知x≤-4或0<x≤2. 4/10 25.(本题8分)解：如图，延长AB交DF于点G,交CE于点H,过点D作DM⊥CE,垂足为M,则 ∠AGD=∠AHC=90°，四边形GHMD为矩形， FBG D EH M >C .DM=GH=2.5米， :在RISDMC中，tan∠BCE=DM_L CM 6' 总。 .CM=15米， ,∠ACE=45°，∠AHC=90°， ∴.AH=CH, 在RIADG中，tan∠ADG=tan53°=4AC=4 DG 3 故设AG=4k米，DG=MH=3k米， 根据题意得DF‖CE, 六∠BDF=∠BCE,即tan∠BDG=BC-， DG6' 0:米 .AH =CH, 即4k+2.5=15+3k, .k=12.5, BG=k=6.25米，4G=4k=50米， ∴.AB=AG-BG≈43.8米， 答：雕像AB的高度约为43.8米。 【点晴】本题考查的是解直角三角形的应用一一仰角和俯角问题，掌握仰角和俯角的概念，熟记锐角三角 函数的定义是解题的关键， 26.（本题10分)(1)解：，平移后点B与点A对应，A(2,4),B(3,0), 5/10 ∴.平移规律为：横坐标2-3=-1，纵坐标4-0=4， ,点O按此规律平移得到点C, .点C的横坐标=0-1=-1，点C的纵坐标=0+4=4， .点C的坐标为-1,4) (2)解：存在， 如图， 61 -3-2-1912345x -21 ,A2,4,B(3,0),C-1,4, 1 ∴.S8c=5×3×4=6, 2 1 5o0-)5Ac-7x6=3 2 2 分两种情况讨论： ①当点P在x轴上时，设点P的坐标为m,0), 1 Socp=7×mx4=3, 2 解得m=± 3 ∴点P的坐标为 3 ②当点P在y轴上时，设点P的坐标为0，n, 1 ×n×1=3, 解得n=±6， ∴.点P的坐标为0,6)或(0，-6)： 综上，点P的坐标为0或(0或06或0-。 6/10 【点睛】点P在坐标轴上，坐标轴包含x轴和y轴，必须分两种情况讨论 27.(本题10分)(1)解：，点O是AB的中点，且OP⊥AB,OP=CD=6,杯子的高度（即CD,AB之 间的距离)为15， ∴.P0,6,D(3,15),C(-3,15), 设杯体CPD所在抛物线的解析式为：y=a(x-h)+k, ∴.h=0,k=6,a(3-0)2+6=15, 解得：h=0,k=6,a=1, ∴.杯体CPD所在抛物线的解析式为：y=x2+6; (2)解：坐标系如图所示，过D作DE⊥I交I于点E,过E作ME⊥AB交AB于点M, ,点O是AB的中点，且OP⊥AB,OP=CD=6,杯子的高度（即CD,AB之间的距离）为15， .OB=3,DB=15,DB⊥AB, 图2 ,饮料的高脚杯绕点B顺时针旋转60°， .∠DBE=180°-90°-60°=30°， :BE=15cos30°=55， 2 BM-TBE-153.ME-BE-45 4 .B3,0), 小， 设E的解折式为y=在+b,将8,0，E3+155,4约代入得， 4’4 3k+b=0 .155 45, 3+1 k+b= 4 4 7/10 [k=5 解得： b=-351 .Delll, .kpo=3, 设DQ的解析式为：y=√5x+b, 将点D代入得， 3V3+b,=15, 解得：b,=15-35, DQ的解析式为：y=√5x+15-3√5， 当x=0时， y=15-35, ∴DQ与y轴的交点坐标为：(0,15-35)： (ⅱ)在OD上任取一点F作FH⊥AB交AB于H,交抛物线于G,如图所示， 设F(m,V3m+15-3V3),则G(m,m2+6), ∴FG=√5m+15-3√3-m2-6=-m- 39-12/5 2 4 .-1<0, 当m=5时 -39-12√5 2 4 ·此时杯子内液体的最大深度为：39-125 4 28.(本题10分)解：(1)DM=DN, 证明：：四边形ABCD是菱形， .AB=BC=AD=CD,∠ABC=∠ADC, :∠ABC=60°， :△ABC和△ADC为等边三角形， .∠ADC=∠ACD=∠ACB=60°， ∠DCN=60°， 8/10 .∠ADM=∠DCN, 又：∠MDN=60°， ∠ADM=LCDN, ,△ADM≌△CDN(SAS), :DM DN (2)①如图， :E为BM的中点，ABC是等边三角形， ∴.CE⊥AE,∠ACE=30°， EN=√5AE, 故答案为：EN=√5AE; (M)A D B C(N) ②①中的结论仍成立， 证明：延长AE至H,使AE=EH,连接BH,AN,N阻， :E为BM的中点， .BE =EM, :∠AEM=∠BEH, .△AEM≌△HEB(SAS), ..AM=BH.∠EAM=∠BHE, BH∥AM, ∠HBC=∠ACB=60°， .∠ABH=120°， ∠ABH=∠ACN, 由(1)可知，AM=CN, .CN BH 又：AB=AC, ∴△ABH≌△ACN(SAS), 9/10 AHAN,∠BAH=∠CAN, :∠BAC=∠BAH+LHAC, :∠HAN=∠CAN+∠HAC=60°， .AHN为等边三角形， :EA=EH, .∴.EN⊥AE,∠ANE=30°， :EN =3AE. D B N H 10/10………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考第一次模拟考试检测卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．的相反数是（　　） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．下列图形中，属于圆柱的平面展开图的是（   ） A． B． C． D． 4．2025年中国与“一带一路”沿线国家货物贸易进出口总额达到23.6万亿美元．用科学记数法表示23.6万亿是（　　） A． B． C． D． 5．如图，是直线上一点，是一条射线，平分，在内，且，，则下列四个结论正确的个数有（      ） ；射线平分；图中与互余的角有个；图中互补的角有对． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，、是的两条直径，且，，P为直径上一动点．若的直径，则周长的最小值是（   ） A．3 B．4 C． D． 7．在中，，，D为中点，连接，过点C作于点E，交于点M．过点B作交的延长线于点F，则下列结论正确的有（    ）个． ①； ②； ③连接，则有是等边三角形； ④连接，则有垂直平分． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为A，点P在此抛物线上，其横坐标为m，过点P作x轴的平行线交直线于点Q，以点P为直角顶点，为腰在的上方作等腰直角三角形．当此抛物线在内部的图象对应的函数值y随x的增大而增大时，m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分） 9．计算：______． 10．因式分解：______． 11．化简：_____． 12．如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点O，且，则四边形与四边形的周长比为________． 13．如图，在平面直角坐标系中，点，，，点是轴上一动点，当面积为面积的两倍时，点的坐标为___________． 14．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小马同学购买了“二十四节气”主题邮票，他将（小雪）、（寒露）、（秋分）、（立秋）四张纪念邮票（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗匀，先从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面朝下放回，重新洗匀后再随机抽取一张邮票，则小马同学两次都没有抽中（秋分）邮票的概率为____________． 15．如图，是平行四边形对角线的中点，，，垂足分别为、，如果，那么的度数是______． 16．如图，已知为的直径，，为上两点，且平分，连接，，若，则的度数为________． 17．如图，在中，，平分，，，则点B到的距离为______． 18．如图， 等边中． 点为边中点，点为边上一点，且 ，将绕点在平面内旋转，连接，，若为直角三角形，则的值为___． 三、解答题（本大题共10个小题，共84分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（本题8分）解方程与不等式组． (1)解方程：； (2)解不等式组：． 20．（本题6分）先化简，再求值：，其中，． 21．（本题8分）自正式上线以来，全社会不断加深对的了解与合作．某中学在七年级组织了一次“与对话”知识竞赛活动（成绩为百分制）．为了解知识竞赛的情况，老师随机抽取了部分学生的成绩，整理后绘制成如图所示的不完整的统计图表： 分组 频数 A． 4 B． C． 36 D． 16 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次一共随机抽取了___________名学生的成绩； (2)求出m，n的值； (3)将频数分布直方图补充完整； (4)扇形统计图中，“C．”组所对应的扇形圆心角的度数是___________． 22．（本题8分）中华人民共和国第十五届运动会于2025年11月9日至21日举行，由广东、香港、澳门三地共同举办，本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”以国家一级保护动物中华白海豚为原型设计，象征团结互助、生态保护及粤港澳大湾区协同发展，组委会现将3张正面印有“喜洋洋”和2张正面印有“乐融融”图案的明信片送给志愿者留作纪念，明信片除正面图案外其余均相同，将这5张明信片背面朝上洗匀放置在桌面上． (1)若志愿者李颖从中随机抽取1张，则抽取的明信片上的图案恰好为“喜洋洋”的概率为___________； (2)若志愿者李颖先从中随机抽取1张，志愿者张凯再从剩余的明信片中随机抽取1张，请利用画树状图或列表的方法，求两人抽取的明信片图案恰好相同的概率． 23．（本题8分）如图，点E在内部，过点A作的平行线、过点D作的平行线交于点F． (1)求证：； (2)连接、，设的面积为S，四边形的面积为T，求的值． 24．（本题8分）已知、两点是一次函数和反比例函数的图象的两个交点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式： (2)求的面积． (3)观察图象，直接写出不等式的解集． 25．（本题8分）某景区山顶矗立着一座纪念雕像（如图1），为精准测量雕像的高度，数学实践小组专程前往开展测量工作，他们运用所学的三角函数知识收集了相关数据：如图2，小组成员在山脚下的点C处，测得雕像顶端A的仰角．随后沿山坡向上行走一段距离到达点D处，此时测量得自身垂直升高的高度为米（即点D到地平线的垂直距离为米），在D处再次测得雕像顶端A的仰角，已知山坡与地平线的夹角的正切值，点A，B，C，D，E，F均在同一平面内，雕像垂直于地平线．请你根据以上数据，利用所学知识求出山顶上雕像的高度．（结果精确到米，参考数据：，，） 26．（本题10分）在平面直角坐标系中，已知点，．将线段平移，使点与点对应，点与点对应． (1)写出点的坐标：________； (2)连接、、，在坐标轴上是否存在点，使得？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 27．（本题10分）如图1是一个高脚杯的截面图，杯体呈抛物线形（杯体厚度不计），点P是抛物线的顶点，为杯底，点O是的中点，且，，杯子的高度（即，之间的距离）为．以O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求杯体所在抛物线的解析式； (2)将放在水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点B顺时针旋转，液面恰好到达点D处．如图2． （ⅰ）请你以的中点O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，并求出与y轴的交点坐标； （ⅱ）求此时杯子内液体的最大深度． 28．（本题10分）问题情境 一节几何探究课上，老师提出如下问题：如图1，在菱形中，，点M在对角线上，点N在射线上，且，请猜想与的数量关系，并加以证明． 观察思考 （1）请解答老师提出的问题． 探索发现 （2）如图2，在图1的基础上连接，取的中点E，连接，． ①试猜想当点M与点A重合时，与之间的数量关系为 ． ②当点M与点A不重合时，试探究①中结论是否仍成立，若成立；若不成立，请说明理由． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考第一次模拟考试检测卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ==▣===-====。。=-。====-。一=▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题2分，共16分） 1[A][B][C][D] 5.[A][B][C1[D1 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.A][B1[C1[D1 4.A][B1[CI[D] 8.A][B][CJ[D1 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题2分，共20分） 10. 11. 12 13 15 17. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共10个小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 19.(8分) 20.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(8分) 频数/人数 0628240 B % A15% 6284 60708090100成绩/分 22.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(8分) A D 24.（8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(8分) D E C 图1 图2 26.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27.(10分) 0 D A O\B O\B 图1 图2 备用图 28.(10分) D D 0 M B 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026年中考第一次模拟考试检测卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．的相反数是（　　） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．下列图形中，属于圆柱的平面展开图的是（   ） A． B． C． D． 4．2025年中国与“一带一路”沿线国家货物贸易进出口总额达到23.6万亿美元．用科学记数法表示23.6万亿是（　　） A． B． C． D． 5．如图，是直线上一点，是一条射线，平分，在内，且，，则下列四个结论正确的个数有（      ） ；射线平分；图中与互余的角有个；图中互补的角有对． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，、是的两条直径，且，，P为直径上一动点．若的直径，则周长的最小值是（   ） A．3 B．4 C． D． 7．在中，，，D为中点，连接，过点C作于点E，交于点M．过点B作交的延长线于点F，则下列结论正确的有（    ）个． ①； ②； ③连接，则有是等边三角形； ④连接，则有垂直平分． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为A，点P在此抛物线上，其横坐标为m，过点P作x轴的平行线交直线于点Q，以点P为直角顶点，为腰在的上方作等腰直角三角形．当此抛物线在内部的图象对应的函数值y随x的增大而增大时，m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分） 9．计算：______． 10．因式分解：______． 11．化简：_____． 12．如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点O，且，则四边形与四边形的周长比为________． 13．如图，在平面直角坐标系中，点，，，点是轴上一动点，当面积为面积的两倍时，点的坐标为___________． 14．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小马同学购买了“二十四节气”主题邮票，他将（小雪）、（寒露）、（秋分）、（立秋）四张纪念邮票（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗匀，先从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面朝下放回，重新洗匀后再随机抽取一张邮票，则小马同学两次都没有抽中（秋分）邮票的概率为____________． 15．如图，是平行四边形对角线的中点，，，垂足分别为、，如果，那么的度数是______． 16．如图，已知为的直径，，为上两点，且平分，连接，，若，则的度数为________． 17．如图，在中，，平分，，，则点B到的距离为______． 18．如图， 等边中． 点为边中点，点为边上一点，且 ，将绕点在平面内旋转，连接，，若为直角三角形，则的值为___． 三、解答题（本大题共10个小题，共84分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（本题8分）解方程与不等式组． (1)解方程：； (2)解不等式组：． 20．（本题6分）先化简，再求值：，其中，． 21．（本题8分）自正式上线以来，全社会不断加深对的了解与合作．某中学在七年级组织了一次“与对话”知识竞赛活动（成绩为百分制）．为了解知识竞赛的情况，老师随机抽取了部分学生的成绩，整理后绘制成如图所示的不完整的统计图表： 分组 频数 A． 4 B． C． 36 D． 16 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次一共随机抽取了___________名学生的成绩； (2)求出m，n的值； (3)将频数分布直方图补充完整； (4)扇形统计图中，“C．”组所对应的扇形圆心角的度数是___________． 22．（本题8分）中华人民共和国第十五届运动会于2025年11月9日至21日举行，由广东、香港、澳门三地共同举办，本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”以国家一级保护动物中华白海豚为原型设计，象征团结互助、生态保护及粤港澳大湾区协同发展，组委会现将3张正面印有“喜洋洋”和2张正面印有“乐融融”图案的明信片送给志愿者留作纪念，明信片除正面图案外其余均相同，将这5张明信片背面朝上洗匀放置在桌面上． (1)若志愿者李颖从中随机抽取1张，则抽取的明信片上的图案恰好为“喜洋洋”的概率为___________； (2)若志愿者李颖先从中随机抽取1张，志愿者张凯再从剩余的明信片中随机抽取1张，请利用画树状图或列表的方法，求两人抽取的明信片图案恰好相同的概率． 23．（本题8分）如图，点E在内部，过点A作的平行线、过点D作的平行线交于点F． (1)求证：； (2)连接、，设的面积为S，四边形的面积为T，求的值． 24．（本题8分）已知、两点是一次函数和反比例函数的图象的两个交点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式： (2)求的面积． (3)观察图象，直接写出不等式的解集． 25．（本题8分）某景区山顶矗立着一座纪念雕像（如图1），为精准测量雕像的高度，数学实践小组专程前往开展测量工作，他们运用所学的三角函数知识收集了相关数据：如图2，小组成员在山脚下的点C处，测得雕像顶端A的仰角．随后沿山坡向上行走一段距离到达点D处，此时测量得自身垂直升高的高度为米（即点D到地平线的垂直距离为米），在D处再次测得雕像顶端A的仰角，已知山坡与地平线的夹角的正切值，点A，B，C，D，E，F均在同一平面内，雕像垂直于地平线．请你根据以上数据，利用所学知识求出山顶上雕像的高度．（结果精确到米，参考数据：，，） 26．（本题10分）在平面直角坐标系中，已知点，．将线段平移，使点与点对应，点与点对应． (1)写出点的坐标：________； (2)连接、、，在坐标轴上是否存在点，使得？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 27．（本题10分）如图1是一个高脚杯的截面图，杯体呈抛物线形（杯体厚度不计），点P是抛物线的顶点，为杯底，点O是的中点，且，，杯子的高度（即，之间的距离）为．以O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求杯体所在抛物线的解析式； (2)将放在水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点B顺时针旋转，液面恰好到达点D处．如图2． （ⅰ）请你以的中点O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，并求出与y轴的交点坐标； （ⅱ）求此时杯子内液体的最大深度． 28．（本题10分）问题情境 一节几何探究课上，老师提出如下问题：如图1，在菱形中，，点M在对角线上，点N在射线上，且，请猜想与的数量关系，并加以证明． 观察思考 （1）请解答老师提出的问题． 探索发现 （2）如图2，在图1的基础上连接，取的中点E，连接，． ①试猜想当点M与点A重合时，与之间的数量关系为 ． ②当点M与点A不重合时，试探究①中结论是否仍成立，若成立；若不成立，请说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考第一次模拟考试检测卷 三 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 口 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题2分，共16分） 1[AJ[B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[AJ[BJ[C][D] 6[A]IB][C][D] 3[A][B][C][D] 7AJIBIIC]ID] 4[AJ[B]IC][D] 8.[A][B1[CI[D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题2分，共20分） 9. 10 11. 13. 15 17 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 三、（本大题共10个小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 19.(8分) 20.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(8分) 频数/人数 06284062 B n% A 5% 0 60708090100成绩/分 22.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(8分) 24.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(8分) A D 图1 E C 图2 26.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27.(10分) C 9 0 D D 图1 图2 备用图 28.(10分) A D A A D M B B B 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026年中考第一次模拟考试检测卷 数学·解析版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．的相反数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：的相反数是， 故选：C． 2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查幂的运算法则，包括幂的乘方、同底数幂的乘除、积的乘方，需依据各法则逐一判断选项的正误． 【详解】解：幂的乘方法则为 对于选项A，，运算正确． 同底数幂相乘法则为 选项B中，运算错误． 积的乘方法则为 选项C中，运算错误． 同底数幂相除法则为 选项D中，运算错误． 故选：A． 3．下列图形中，属于圆柱的平面展开图的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆柱的平面展开图的特征进行判断即可． 【详解】解：圆柱的平面展开图由两个完全相同的圆形和一个长方形组成， 则选项A为圆柱的平面展开图． 4．2025年中国与“一带一路”沿线国家货物贸易进出口总额达到23.6万亿美元．用科学记数法表示23.6万亿是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据科学记数法的表示形式为，其中，为整数，先将23.6万亿转化为数字形式，再根据规则确定和的值即可． 【详解】解：23.6万亿． 5．如图，是直线上一点，是一条射线，平分，在内，且，，则下列四个结论正确的个数有（      ） ；射线平分；图中与互余的角有个；图中互补的角有对． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】首先利用已知得出的度数，再计算出、、、的度数，然后再分析即可． 【详解】解：平分， ， ， 设，则， ， ， ， 解得：， ，故正确； ，， ，则， 射线平分，故正确； ，，， ，， 图中与互余的角有个，故正确； ， ， ，，，， ，，，，， 图中互补的角有对，故错误； 综上，四个结论正确的个数有3个． 6．如图，、是的两条直径，且，，P为直径上一动点．若的直径，则周长的最小值是（   ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】连接、，交于P，则周长的最小值，根据已知条件得到，求出，，于是得到结论． 【详解】解：连接、，交于P， ∵、是的两条直径，且， ∴与互相垂直平分， ∴, ∴周长的最小值， ∵ ， ， ∵是的直径， ， ∵， ，， ∴周长的最小值． 7．在中，，，D为中点，连接，过点C作于点E，交于点M．过点B作交的延长线于点F，则下列结论正确的有（    ）个． ①； ②； ③连接，则有是等边三角形； ④连接，则有垂直平分． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①根据证明即可； ②证明，得出，即可证明； ③根据，得出，根据，得出，证明不可能是等边三角形； ④根据，得出，，说明点M、B在线段的垂直平分线上，证明垂直平分． 【详解】解：①∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故①正确； ②∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵D为中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③∵， ∴， ∵在中， ∴， ∴不可能是等边三角形，故③错误；    ④∵， ∴，， ∴点M、B在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分，故④正确；    综上分析可知，正确的有3个． 8．如图在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为A，点P在此抛物线上，其横坐标为m，过点P作x轴的平行线交直线于点Q，以点P为直角顶点，为腰在的上方作等腰直角三角形．当此抛物线在内部的图象对应的函数值y随x的增大而增大时，m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得到二次函数图象的顶点坐标，运用待定系数法得到直线的解析式，结合图形分析即可求解． 【详解】解：抛物线经过点， ∴， ∴抛物线的解析式为，对称轴直线为， ∴顶点坐标， ∵点P在此抛物线上，其横坐标为m，过点P作x轴的平行线交直线于点Q， ∴，， ∴， ∵以点P为直角顶点，为腰在的上方作等腰直角三角形， ∴， ∴，则， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 当直线过抛物线顶点时，此抛物线在内部的图象对应的函数值y随x的增大而增大，如图所示， ∴， 整理得，， 解得，（舍去）， ∴当时，抛物线在内部的图象对应的函数值y随x的增大而增大． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分） 9．计算：______． 【答案】 【分析】先分别计算算术平方根与绝对值，再根据有理数减法法则计算最终结果． 【详解】解： ． 10．因式分解：______． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 先提取公因式，再运用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 11．化简：_____． 【答案】 【详解】解：原式 ． 12．如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点O，且，则四边形与四边形的周长比为________． 【答案】 【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的判定和性质、相似多边形的性质，熟记相似多边形的周长比等于相似比是解题的关键．根据图形位似的性质可得，则可得，根据相似多边形的性质即可解题． 【详解】解：四边形与四边形位似， ，四边形与四边形相似， ， ， ， ， 四边形与四边形的周长比是， 故答案为：． 13．如图，在平面直角坐标系中，点，，，点是轴上一动点，当面积为面积的两倍时，点的坐标为___________． 【答案】或 【分析】本题考查的知识点是求点到坐标轴的距离、三角形的面积，解题关键是灵活运用数形结合思想． 先求出，再根据点的坐标得到点到的距离求出面积，设点坐标为，根据三角形面积公式得，解得的值即可确定点的坐标． 【详解】解：依题得：， ， 设点坐标为， 则， ， 解得， 点的坐标为或． 故答案为：或． 14．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小马同学购买了“二十四节气”主题邮票，他将（小雪）、（寒露）、（秋分）、（立秋）四张纪念邮票（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗匀，先从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面朝下放回，重新洗匀后再随机抽取一张邮票，则小马同学两次都没有抽中（秋分）邮票的概率为____________． 【答案】 【分析】根据题意可以画出相应的树状图，然后即可得到小马同学两次都没有抽中（秋分）邮票的概率． 【详解】由题意可得，树状图如下： 由上可得，共有种等可能性，其中小马同学两次都没有抽中（秋分）邮票的可能性有种． ∴小马同学两次都没有抽中（秋分）邮票的概率为． 15．如图，是平行四边形对角线的中点，，，垂足分别为、，如果，那么的度数是______． 【答案】 【分析】连接，根据平行四边形的性质可知经过点，且，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据等边对等角可知，，从而可知，在四边形中，根据四边形的内角和定理即可求出． 【详解】解：如下图所示，连接， 四边形是平行四边形，点是的中点， 经过点，且， ，， ， ，， ，， ， 在四边形中，， ． 16．如图，已知为的直径，，为上两点，且平分，连接，，若，则的度数为________． 【答案】 【分析】由直径所对的圆周角是直角得，由同弧所对的圆周角相等得，由直角三角形两锐角互余得，由平分得，最后由同弧所对的圆周角相等得． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 17．如图，在中，，平分，，，则点B到的距离为______． 【答案】 【分析】作于，，交的延长线于点，根据角平分线的性质得，根据三角函数求出即的长，最后利用等面积法即可求解． 【详解】解：作于，，交的延长线于点， 平分，，即， ， ，， ， ， 在中，， 中， ， ，即， ， 中，， ，即， ，即点B到的距离为． 18．如图， 等边中． 点为边中点，点为边上一点，且 ，将绕点在平面内旋转，连接，，若为直角三角形，则的值为___． 【答案】或 【分析】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质和判定，圆相关知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 连接，在等边中， 点为边中点，得出，勾股定理求出，根据题意可得点在以点为圆心，1为半径的圆上运动，若为直角三角形，根据题意可知只有一种情况，此时，点在上或延长线上，分情况分别根据勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，在等边中． 点为边中点， ∴， ∴， 根据题意可得点在以点为圆心，1为半径的圆上运动， 若为直角三角形，根据题意可知只有一种情况， 此时，点在上或延长线上， 当点在上时，如图， 则， ∴； 当点在延长线上时，如图， 则， ∴； 故答案为：或． 三、解答题（本大题共10个小题，共84分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（本题8分）解方程与不等式组． (1)解方程：； (2)解不等式组：． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，解一元一次不等式组，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴或， 解得：，； （2）解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为：． 20．（本题6分）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算与化简求值，解题的关键是熟练运用完全平方公式和平方差公式进行化简，再代入数值计算． 先利用完全平方公式展开，再利用平方差公式展开，然后合并同类项化简原式，最后将，代入化简后的式子求值． 【详解】解： . 当 ， 时，原式． 21．（本题8分）自正式上线以来，全社会不断加深对的了解与合作．某中学在七年级组织了一次“与对话”知识竞赛活动（成绩为百分制）．为了解知识竞赛的情况，老师随机抽取了部分学生的成绩，整理后绘制成如图所示的不完整的统计图表： 分组 频数 A． 4 B． C． 36 D． 16 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次一共随机抽取了___________名学生的成绩； (2)求出m，n的值； (3)将频数分布直方图补充完整； (4)扇形统计图中，“C．”组所对应的扇形圆心角的度数是___________． 【答案】(1)80 (2)， (3) 见详解 (4)162 【分析】本题主要考查调查与统计的相关计算，掌握样本百分比的计算，圆心角度数的计算是关键． （1）根据A组的频数与百分比计算即可； （2）由样本容量及A，C，D组的频数即可得到m的值，根据各项百分比的计算方法得到n的值； （3）根据B组的人数补全图形即可； （4）根据圆心角度数的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：A组的频数为4，百分比为， ∴， ∴本次一共随机抽取了80名学生的成绩； （2）解：，， ∴； （3）解：B组有24人，补全图形如下， （4）解：， ∴“C.”组所对应的扇形圆心角的度数是， 故答案为：162． 22．（本题8分）中华人民共和国第十五届运动会于2025年11月9日至21日举行，由广东、香港、澳门三地共同举办，本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”以国家一级保护动物中华白海豚为原型设计，象征团结互助、生态保护及粤港澳大湾区协同发展，组委会现将3张正面印有“喜洋洋”和2张正面印有“乐融融”图案的明信片送给志愿者留作纪念，明信片除正面图案外其余均相同，将这5张明信片背面朝上洗匀放置在桌面上． (1)若志愿者李颖从中随机抽取1张，则抽取的明信片上的图案恰好为“喜洋洋”的概率为___________； (2)若志愿者李颖先从中随机抽取1张，志愿者张凯再从剩余的明信片中随机抽取1张，请利用画树状图或列表的方法，求两人抽取的明信片图案恰好相同的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据概率公式计算即可； （2）列出表格，进而根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：∵有3张正面印有“喜洋洋”和2张正面印有“乐融融”图案的明信片， ∴从中随机抽取1张，则抽取的明信片上的图案恰好为“喜洋洋”的概率为； （2）解：把“喜洋洋”和“乐融融”图案的明信片分别记作，列表如下： 由上表知，共有20种等可能的结果，其中两人抽取的明信片图案恰好相同的情况有8种， ∴所求概率为． 23．（本题8分）如图，点E在内部，过点A作的平行线、过点D作的平行线交于点F． (1)求证：； (2)连接、，设的面积为S，四边形的面积为T，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到、，进而得到，根据平行线的性质得到和，从而证得； （2）易证得，由（1）知，则，进而得到，从而求出的值． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， 、， ， ， ， ， 同理得， 在和中， ， ； （2）解：如图，连接、， 点E在内部， 由（1）知， ， ， 设的面积为S，四边形的面积为T， ． 24．（本题8分）已知、两点是一次函数和反比例函数的图象的两个交点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式： (2)求的面积． (3)观察图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 (2) (3)或． 【分析】本题主要考查一次函数和反比例函数的图象及性质： （1）采用待定系数法求解即可； （2）； （3）根据函数图象即可求得答案． 【详解】（1）解：因为反比例函数的图象过点， 所以．解得． 反比例函数的解析式为． 因为反比例函数的图象过点， 所以．解得． 点的坐标为． 因为一次函数的图象过点，， 所以，解得， 一次函数的解析式为． （2）解：当时，， 所以点的坐标为． ． （3）解：将不等式变形，得， 根据函数图象可知或． 25．（本题8分）某景区山顶矗立着一座纪念雕像（如图1），为精准测量雕像的高度，数学实践小组专程前往开展测量工作，他们运用所学的三角函数知识收集了相关数据：如图2，小组成员在山脚下的点C处，测得雕像顶端A的仰角．随后沿山坡向上行走一段距离到达点D处，此时测量得自身垂直升高的高度为米（即点D到地平线的垂直距离为米），在D处再次测得雕像顶端A的仰角，已知山坡与地平线的夹角的正切值，点A，B，C，D，E，F均在同一平面内，雕像垂直于地平线．请你根据以上数据，利用所学知识求出山顶上雕像的高度．（结果精确到米，参考数据：，，） 【答案】雕像的高度约为米 【分析】延长交于点，交于点，过点作，垂足为，则，根据正切的定义求出和，并设米，米，代入求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点，交于点，过点作，垂足为，则，四边形为矩形， ∴米， ∵在中，， ∴， ∴米， ∵， ∴， 在中，， 故设米，米， 根据题意得， ∴，即， ∴米， ∵， 即， ∴， ∴米，米， ∴米， 答：雕像的高度约为米． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用——仰角和俯角问题，掌握仰角和俯角的概念，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 26．（本题10分）在平面直角坐标系中，已知点，．将线段平移，使点与点对应，点与点对应． (1)写出点的坐标：________； (2)连接、、，在坐标轴上是否存在点，使得？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点P的坐标为或或或 【分析】（1）由与对应，先算出平移规律（横坐标减，纵坐标加），再将原点按此规律平移，即可得到点的坐标； （2）利用、、的坐标，以为底（平行于轴），算出，进而得到，分两种情况求点：①若在轴上：以为底、的纵坐标为高，列方程求的横坐标；②若在轴上：以为底、的横坐标绝对值为高，列方程求的纵坐标；最后综合两种情况，即可得到所有满足条件的点坐标． 【详解】（1）解：∵平移后点与点对应，，， ∴平移规律为：横坐标，纵坐标， ∵点按此规律平移得到点， ∴点的横坐标，点的纵坐标， ∴点的坐标为； （2）解：存在， 如图， ∵，，， ∴， ∴， 分两种情况讨论： ①当点在轴上时，设点的坐标为， ， 解得， ∴点的坐标为或； ②当点在轴上时，设点的坐标为， ， 解得， ∴点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】点在坐标轴上，坐标轴包含轴和轴，必须分两种情况讨论． 27．（本题10分）如图1是一个高脚杯的截面图，杯体呈抛物线形（杯体厚度不计），点P是抛物线的顶点，为杯底，点O是的中点，且，，杯子的高度（即，之间的距离）为．以O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求杯体所在抛物线的解析式； (2)将放在水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点B顺时针旋转，液面恰好到达点D处．如图2． （ⅰ）请你以的中点O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，并求出与y轴的交点坐标； （ⅱ）求此时杯子内液体的最大深度． 【答案】(1)； (2)（ⅰ）坐标系见详解，与y轴的交点坐标为；（ⅱ）杯子内液体的最大深度为：； 【分析】（1）根据点O是的中点，且，，杯子的高度（即，之间的距离）为得到，，，再将点代入求解即可得到答案；（2）（ⅰ）：过D作交于点E，过E作交于点M，求出点M，点E坐标得到l的解析式，结合平行求出的解析式即可得到答案；（ⅱ）在上任取一点F作交于H，交抛物线于G，设出点F的坐标，表示出点G的坐标，得到的解析式，结合函数性质即可得到答案； 【详解】（1）解：∵点O是的中点，且，，杯子的高度（即，之间的距离）为， ∴，，， 设杯体所在抛物线的解析式为：， ∴，，， 解得：，，， ∴杯体所在抛物线的解析式为：； （2）解：坐标系如图所示，过D作交于点E，过E作交于点M， ∵点O是的中点，且，，杯子的高度（即，之间的距离）为， ∴，，， ∵饮料的高脚杯绕点B顺时针旋转， ∴， ∴， ∴，， ∴，，， 设的解析式为，将，代入得， ， 解得：， ∵， ∴， 设的解析式为：， 将点D代入得， ， 解得：， 的解析式为：， 当时， ， ∴与y轴的交点坐标为：； （ⅱ）在上任取一点F作交于H，交抛物线于G，如图所示， 设，则， ∴， ∵， ∴当时 ∴此时杯子内液体的最大深度为：． 28．（本题10分）问题情境 一节几何探究课上，老师提出如下问题：如图1，在菱形中，，点M在对角线上，点N在射线上，且，请猜想与的数量关系，并加以证明． 观察思考 （1）请解答老师提出的问题． 探索发现 （2）如图2，在图1的基础上连接，取的中点E，连接，． ①试猜想当点M与点A重合时，与之间的数量关系为 ． ②当点M与点A不重合时，试探究①中结论是否仍成立，若成立；若不成立，请说明理由． 【答案】（1），证明见解析；（2）①；②①中的结论仍成立，见解析 【分析】本题是四边形综合题，考查菱形的性质、全等三角形的性质与判定、直角三角形性质、等边三角形的性质与判定，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题是解题的关键． （1）根据菱形的性质证明和为等边三角形，证明，即可得到结论； （2）①E为BM的中点，是等边三角形，根据直角三角形性质即可得到结论； ②延长至H，使，连接，NH，证明，根据全等三角形的性质得到为等边三角形，根据直角三角形性质即可得到结论． 【详解】解：（1）， 证明：四边形是菱形， ， ， 和为等边三角形， ， ， ， 又， ， ， ； （2）①如图， E为BM的中点，是等边三角形， ， ， 故答案为：； ②①中的结论仍成立． 证明：延长至H，使，连接，NH， E为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）可知，， ， 又， ， ，， ， ， 为等边三角形， ， ， ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $