8.1 向量的数量积 8.1.2 向量数量积的运算律-【创新教程】2024-2025学年高中数学必修第三册五维课堂（人教B版2019）

􀳀[变式训练] ２．已知向量a,b满足|a|＝４,|a􀅰b|≥１０,则|a－２b| 的最小值是 (　　) A．１　　B．２　　C．３　　D．４ 　　　投影问题 [例３]　如图,在△ABC 中,AB＝AC ＝４,∠BAC＝９０,D 是边BC 的中 点,求: (１)AB→在BD→方向上的投影的数量; (２)BD→的AB→方向上的投影的数量． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　注意a在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影的区别． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 求投影数量有两种方法 (１)b在a 方向上的投影数量为|b|cosθ(θ为a,b 的夹角),a在b方向上的投影数量为|a|cosθ． (２)b在a 方向上的投影数量为a 􀅰b |a| ,a在b 方向 上的投影数量为a􀅰b |b|． 􀳀[变式训练] ３．已知|a|＝８,|b|＝４,a与b 的夹角为１２０°,则向量 b在a 方向上的投影数量为 (　　) A．４　　B．－４　　C．２　　D．－２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．已知|a|＝６,|b|＝３,a􀅰b＝－１２,则向量a在向量 b方向上的投影数量是 (　　) A．－４　　B．４　　C．－２　　D．２ ２．已知|b|＝４,a在b方向上的投影数量为２,则a􀅰b 的值为 (　　) A．７ B．８ C．９ D．６ ３．已知|a|＝６,|b|＝８,且‹a,b›＝６０°,则b在a 方向 上的投影数量为　　　　． ４．已知△ABC是边长为４的等边三角形,则AB→在AC→ 上的投影数量为　　　　． ５．已知|a|＝６,e为单位向量,当它们之间的夹角θ分 别等于６０°,９０°,１２０°时,求出a在e方向上的投影 的数量． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ８．１．２　向量数量积的运算律 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式 ２．会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明 通过引入平面向量数量积的运算律,体会数学 抽象及数学运算素养的生成过程 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀅰０６􀅰 必修第三册　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　数学B [情境引入] 　　没有规矩不成方圆,国家法律保障每个公民的权 利不受侵害,校规可为每个学生创造一个良好的学习 生活环境􀆺􀆺可见,世间事物往往要遵循一定的规律 和法则才能生存．初中我们学过实数的乘法运算及乘 法中的一些运算律,那么向量的数量积又满足哪些运 算律呢? [知识梳理] [知识点一]　平面向量数量积的运算律 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 运算律 向量数量积 交换律 a􀅰b＝b􀅰a 结合律 (λa)􀅰b＝a􀅰(λb)＝λ(a􀅰b) 分配律 (a＋b)􀅰c＝　　　　 (a－b)􀅰c＝　　　　 [知识点二]　平面向量数量积的运算性质 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 类比多项式乘法的乘法公式,写出下表中的平面向 量数量积的运算性质． 多项式乘法 向量数量积 (a＋b)２＝a２＋２ab＋b２ (a＋b)２＝　　　　 (a－b)２＝a２－２ab＋b２ (a－b)２＝　　　　 (a＋b)(a－b)＝a２－b２(a＋b)􀅰(a－b)＝　　　　 (a＋b＋c)２＝a２＋b２ ＋c２ ＋ ２ab ＋ ２bc ＋２ca (a＋b＋c)２＝　　　　 　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．实数运算满足消去律,那么向量的数量 积运算是否也满足消去律? ２．实数运算满足乘法结合律,那么向量的数量积运 算是否也满足乘法结合律? [预习自测] １．已知非零向量a,b满足(a＋b)⊥(a－b),则 (　　) A．a＝b　　　　　　B．|a|＝|b| C．a⊥b D．a∥b ２．已知|a|＝２,|b|＝１,a与b 之间的夹角为６０°,则 |a－４b|＝ (　　) A．２　　B．２ ３　　C．６　　D．１２ ３．已知|a|＝１,|b|＝ ２,且(a＋b)与a垂直,则a与b 的夹角是　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　数量积的运算 [例１]　(１)已知|a|＝２,|b|＝３,a 与b 的夹角为 １２０°,求(２a－b)􀅰(a＋３b)． (２)在 平 行 四 边 形 ABCD 中,AB＝２,AD＝１, ∠BAD＝６０°,E 是CD 的中点,求AE→􀅰BD→的值． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋[思路点拨]　利用数量积的运算律直接求解． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 求两向量的数量积的两种常见题型 (１)类似向量线性运算之后再求数量积的题型,只 需按照向量运算律展开即可求解． (２)在平面图形中求两向量的数量积,一般先找好 基底,用基底表示所求向量,再进行基底之间的运 算即可求解． 􀳀[变式训练] １．如图,在圆C 中,弦AB 的长度为６, 则AC→􀅰AB→＝ (　　) A．６　　　　　　　B．１２ C．１８ D．无法确定 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１６􀅰 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 求向量的模 [例２]已知向量a、b满足|a|＝２,|b|＝３,|a＋b|＝ ４,求|a－b|． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　要求|a－b|,利用模长公式|a－b| ＝ |a|２－２a􀅰b＋|b|２,只需求２a􀅰b即可． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 此类问题直接套用公式求解即可． (１)a􀅰a＝a２＝|a|２ 或|a|＝ a􀅰a． (２)|a±b|＝ |a|２±２a􀅰b＋|b|２． 􀳀[变式训练] ２．已知|a|＝４,|b|＝８,a与b的夹角是１２０°．计算 (１)|a＋b|;(２)|４a－２b|． 两向量的垂直与夹角问题 [例３]已知非零向量a,b满足a＋３b与７a－５b互相垂 直,a－４b与７a－２b互相垂直,求a与b的夹角． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　首先转化向量的两个垂直关系,得 出中间结论与cosθ＝ a 􀅰b |a||b| 联立求解． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (１)通常用两向量垂直来列方程,达到化简条件或 求值的目的． (２)要求a与b的夹角,只要求出|a|、|b|及a􀅰b 即可．注意向量夹角范围．由cosθ＝ a 􀅰b |a||b| (其中 a、b是非零向量,θ为a 与b 的夹角)判定θ的大 小时,有五种可能情形:①当cosθ＝１时,θ＝０°;② 当cosθ＝０时,θ＝９０°;③当cosθ＝－１时,θ＝ １８０°;④当cosθ＜０且cosθ≠－１时,θ为钝角;⑤ 当cosθ＞０,且cosθ≠１时,θ为锐角． 􀳀[变式训练] ３．已知|a|＝２,|b|＝１,(a＋b)⊥ a－５２b æ è ç ö ø ÷,求a与b 的夹角大小． 数量积的综合应用 [例４]　设两个向量e１,e２ 满足|e１|＝２．|e２|＝１,向 量e１ 与e２ 的夹角为６０°,若向量２te１＋７e２ 与e１＋ te２ 的夹角θ为钝角,求实数t的取值范围． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　首先根据夹角公式得出关于t的一 元二次不等式,然后解式后,注意两向量共线的情 况 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２６􀅰 必修第三册　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　数学B 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．求向量夹角时要注意: (１)当已知a,b是非坐标形式时,需求得a􀅰b及|a|, |b|或它们之间的关系; (２)当已知a,b的坐标时,可直接利用公式求解． (３)注意夹角的范围为[０,π]． ２．灵活应用a２＝|a|２,这给出了解决与模有关问 题的思路． 􀳀[变式训练] ４．已知向量a,b,c,满足a＋b＋c＝０,且|a|＝３,|b| ＝５,|c|＝７． (１)求a与b的夹角θ; (２)是否存在实数μ使μa＋b与a－２b垂直? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．下面给出的关系式中正确的个数是 (　　) ①０􀅰a＝０;②a􀅰b＝b􀅰a;③a２＝|a|２;④|a􀅰b| ≤a􀅰b⑤(a􀅰b)２＝a２􀅰b２． A．１　　B．２　　C．３　　D．４ ２．设向量a,b满足|a|＝|b|＝１及|３a－２b|＝ ７,则 a,b的夹角为 (　　) A．π３　　B． π ６　　C． π ４　　D． ２π ３ ３．若|a|＝４,|b|＝２,(b＋a)􀅰(b－a)＝３a􀅰b,则向 量a与向量b夹角为 (　　) A．π３　　B． ２π ３　　C． ３π ４　　D． ５π ６ ４．在△ABC 中,M 是BC 的中点,AM＝３,点 P 在 AM 上,且满足AP→＝２PM→,则PA→􀅰(PB→＋PC→)＝ 　　　　． ５．已知向量a,b的夹角为６０°,且|a|＝２,|b|＝１,若c ＝２a－b,d＝a＋２b,求: (１)c􀅰d;(２)|c＋２d|． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ８．１．３　向量数量积的坐标运算 第１课时　向量的坐标与向量的数量积 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．掌握平面向量数量积的坐标表示,会进行平面向量数量积的坐标 运算 ２．能运用数量积进行两个向量夹角和模的计算,并能推导平面内两 点间的距离公式 通过推导数量积的坐标运算及通过求 夹角和模,体会逻辑推理素养及数学 运算素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　“我知道我一直有双隐形的翅膀,带我飞,飞过绝 望,不去想他们拥有美丽的太阳,我看见每天的夕阳 也会有变化,我知道我一直有双隐形的翅膀,带我飞, 给我希望􀆺􀆺”,如果能为平面向量的数量积插上“翅 膀”,它又能飞多远呢? 本节讲解平面向量数量积的 “翅膀”———坐标表示,它使平面向量的数量积同时具 有几何形式和代数形式的“双重身份”,从而可以使几 何问题数量化,把“定性”研究推向“定量”研究． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３６􀅰 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 参考答案 代入①式得4+2a·b+9-16,即2a·b-3. 又:(a-b){}-^-2a·b+b-4-3+9=1$$ -2. .la-bl-10. 答案:2 变式训练 5.解:a在e方向上的投影的数量为alcos8. 2.解:由已知,a·b-4×8x(-)--16. 当6-60时,a在e方向上的投影的数量为lalcos60-3; 当0-90{时,a在e方向上的投影的数量为alcos90{-0; (1)''la+bl?-a2+2a·b+b} 当0-120时,a在e方向上的投影的数量为lalcos120{--3. -16+2X(-16)+64-48. 8.1.2 向量数量积的运算律 ..abl-43. 课前预习学案 (2) |4a-2b|-16a?-16a·b+4 情境引入 -16$16-16$(-16)+4×64-3$16 提示:a·b-b·a '.4a-2bl-163. (a)b-a·(b)-ì(a·b) [例3] [解] 由已知条件得 知识梳理 (a+3b)·(7a-5b)-0. (a-4b)·(7a-2b)-0. 知识点一、a·c十b·c a·c-b.c 。 知识点二、a^{}+2a·b+^{}a^{-2a·b+b^}a^-b^{}a^}+ b2+c?+2a·b+2b·c+2c·a 7a?-30a·b+8b2-0 ②-①得23h*-46a·b-0, [思考] 2a·b=b,代入①得a?=b,.al=bl, 1.提示:不满足,因为在向量数量积的运算中,若a·b-a· #}# c(a关0),则表示向量c,b在向量a方向上的投影相等,并 .cosa.b #| 16}2# 1 不能说明b-c. 2.提示:向量的数量积运算不满足乘法结合律,即(a·b)c 不一定等于a(b·c),这是由于(a·b)c表示一个与c共 线的向量,而a(b·c)表示一个与a共线的向量,而c与a 变式训练 3.解:’:(atb)(c-). 不一定共线. 预习自测 #(at),(-d)_0.# 1.B ':(a+b)|(a-b),'(a+b)·(a-b)-0,..al - bl-o.lal-lb.] 2.B [:'a-4b|-a2-8a·b+16 -2-8×2×1xcos60*+16×12-12 “:a-al-4,b-b-1, .la-4b-23] .4-3cos8-- 3.解析:.(a+b)·a=a{}+a·b-0,.,a·b=-a②=-1, 又.[o,n]. 设a与b的夹角为?. ##. .a与的夹角为. .cos- ab1x2 [例4] [解] 由向量2te 十7e。与e+te的央角8为钝 (2te+7e).(e十te2)o, 又ee[o,x]..93 角,得cosθ- I2te1十7e e+tez 答案 '.(2te+7e).(e+te)0. 化简得2^*+15t十7<0,解得-7<<-- 课堂互动学案 [例1] [解] (1)(2a-b)·(a+3b)-2a^{}+5a·b-3b 当夫角θ为π时,也有(2te;十7e)·(e十te)0,但此时 -$ l l+5la||blcos120*-3lb-8-15-27--34. 夹角不是钝角. (2)AE·D-(AD+A)·(A-AB)AD- 设2te+7e-x(e+te)0. 2-. --14. #-A#-1-#-××--.# 则7一: o. 2 变式训练 #(#71##)# 1.C ['AC·AB-AC|lABl·cos A- A1·1AB1-AB1-6-18. 变式训练 4.解:(1).:a十b十c-0. .选C] '.a+b--c.la+bl=cl, [例2][解]由已知,a+b|-4.a+b-4}, .(a+b){②}-c^②},即a+2a·b+b-c^2}, ① '.a?+2a·b+b2-16. #a.b---6 ·a-2,1bl-3. 2 1e12-al-1b1249-9-2515 '.?-a-4,b-b-9, 2 2 2 ·113· 必修第三册 数学B 又:a·b-al lblcos. [思考] 1.提示;方法一:a+b-(1,1)+(2,3)-(3,4). .a+b-3+4-5. .cos-1,即θ-60”。 法二;ll}=1^}+1-2,bl}-2+3}-13,a·b=1 $ (2)':(a+b)I(a-2b). 2+1×3-5. ..(a+b)·(a-2b)-0. 'la+bl-a+2a·b+b^*- 2+2x5+13-5. '.-2b-2a·b+a·b-0, 2.提示:不能,因为a·b0还包括a、b反向,即a、b夹角 .9-2×25-2x1515-0. 是180{。 22 预习自测 . .-一 1.B 2.A 3.Dlb-+16,al= 1+4-5 .存在一一 .+16-25,解得x-士2.] 随堂步步夯实 课堂互动学案 1.C [①②③正确,④错误,错误,(a·b)?一(lallblcos [例1][解](方法一):a-(1,2),b=(3,4). )}-a^{}·bcos^{②}θ,故选C.] '.a·b-(1,2)·(3,4)=1×3+2×4-11. 2.A [设a与b的夫角为8, (a-b)·(2a+3b)-2a{}+a·b-3b-2lal}+a·b-3 由题意得(3a-2b)②-7, |-2$×(1+2)+11-3×(3^+4})--54 *9la+4b|2-12a·b-7, (方法二):a-(1,2),b=(3,4)...a·b-1l. ·:a-b-(1,2)-(3,4)-(-2.-2). $+3b-2(1,2)+3(3,4)-(2×1+3×3,2×2+3 4)- .lallbl cos-, cos- (11,16). 2 '.(a-b)·(2a+3b)-(-2,-2)·(11,16)=-2×11+ 又8e[o,]..a,b的夹角为吾.] (-2)×16--54. 变式训练 3.B [.'lal-4,bl-2,(b+a)·(b-a)-3a·b,',b 1.解:(1)':a与b同向,且b-(1,2). a?-3a·b-4-16--12,故3a·b--12,得a·b- -4, '.可设a-b-(1,2)-(,2),且 >0. 又由a·b-20,可得1x+2x2x-20 设向量a与向量b的夹角为θ,则cos-a.b-4 a ·b4×2 解得x-4>0..a=(4,8). (2).b·c-(1,2)·(2,1)-1×2+2×1-4. '.(b·c)·a-4(4,8)-(16,32). 4.解析:如图,由AM-3,且AP-2PM,可 [例2][解](1):a=(3,5),b=(-2,1). '.a-2b-(3,5)-2(-2,1)-(3+4,5-2)-(7,3) 知AP-2. .a-2b-V7+3-58. “.M为BC的中点, .PB+PC-2PM-Ap. (2):a·b--6+5--1. 'c-a十b-(1,6). .P.(PB+P)-P·--A- Ap{2一-4. .lc-12+6-37. 变式训练 答案:-4 2.解析;(1):a-(2,1)..'.a②-5. 5.解:(1)c·d-(2a-b)·(a+2b) 又la+bl-5②,'(a+b)②-50,即a+2a·b+b2-50 -2-2b+3a·b $5+2×10+b-50.'b-25..b-5. (2)由a+b-(1,3),得a-(2,1)..',a-2b-(4,-3). (2)lc+2d?-(4a+3b)2 .la-2bl-4+(-3)②-5. -16a{}+95^{}+24a·b 答案:(1)C(2)5 -16 ×4+9X1+24X2×1×1-97 [例3] [解](1):点C是直线OP上的一点, '向量OC与OP共线, .c+2d-97. 设OC-tOP(tR),则OC-(2,1)-(2t,t), 8.1.3 向量数量积的坐标运算 C-0-0c-(1-217-), 第1课时 向量的坐标与向量的数量积 CB=0B-0C-(5-2t.1-). 课前预习学案 *CA·CB-(1-2t)(5-2t)+(7-t)(1-t)-5^*-20t 情境引入 提示:a·b=x1x。+y1y2 +12-5(t-2)*-8. 知识梳理 '.当t-2时,CA·CB取得最小值,此时OC-(4,2) 知识点一、11x+y1y 乘积的和 (2)由(1)知OC-(4,2). .C-(-3,5).CB-(1.-1). 知识点二、1.r十{} 2.(x-x)+(y-y){ 3.(x-x)+(y1-) $.CA-3CB-2.C·CB--3-5=-8. # 知识点三,1.x+y132 '.cos ACB- x+y·①+ CAllCB ·114·