第2章 一元二次方程（知识清单）数学新教材浙教版八年级下册

该初中数学单元知识清单系统梳理了“一元二次方程”单元内容，涵盖定义、解法（因式分解法、开平方法、配方法、公式法）、根的判别式、韦达定理及应用题等核心范畴，搭建了从概念理解到解法掌握再到实际应用的递进式学习支架。 清单通过“易错点标注”“例题解析”“题型分类”构建知识体系，如明确“判别一元二次方程需满足整式、单未知数、最高次2次三要素”，详解“十字相乘法分解因式步骤”，培养学生抽象能力与运算能力。特别设计“利润问题函数关系表示”“动点问题线段长用t表示”等实例，不同基础学生可高效掌握，教师能据此精准教学，提升课堂实效。

第2章 一元二次方程 1.方程的两边都是整式，只含有 未知数，并且未知数的最高次数是 次，我们把这样的方程叫作一元二次方程。识别一元二次方程的方法： 首先看方程两边是不是整式，如果是整式，再化简整理为等号右边是0的形式，最后观察是否具备“只含有一个未知数”“未知数的最高次数为2次”这两个条件。 2.能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解(或根)。 3.一般地，任何一个关于x的一元二次方程都可以化为 的形式。我们把ax2+bx+c=0(a,b,c为已知数，a≠0) 称为一元二次方程的一般形式，其中ax2称为二次项，bx称为一次项， 称为常数项， 称为二次项系数， 称为一次项系数。 4.利用因式分解解一元二次方程的方法叫作 。通过因式分解，把解一个一元二次方程转化为解两个一元一次方程。因式分解法解一元二次方程的步骤： (1)移项：若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零。 (2)化积：将方程的左边分解因式，化为两个一次因式的 。 (3)转化：根据若A×B=0,则A=0或B=0,使每个因式分别为零，得到两个一元一次方程。 (4)求解：解这两个一元一次方程，它们的解即原一元二次方程的解。 5.一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义，可得 。这种解一元二次方程的方法叫作 。如x2=4,解得x=±2,即x1=2,x2=-2。(x+1)2=5,解得x+1=±,即x1=-1+,x2=-1-。用开平方法解一元二次方程的步骤： (1)把原方程化成左边为含未知数的式子的平方，右边为非负数的形式，即：x2=a或（x+b）2=a，(a≥0)； (2)开平方，把一元二次方程转化成一元一次方程； (3)解一元一次方程，得到原一元二次方程的两个根。 6.把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为一个非负常数，即将方程转化为 (a≥0)的形式，然后用开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫作 。 配方法的基本步骤： (1)化：将原方程化成一元二次方程的一般形式，且使二次项系数化为 。 (2)移：将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边。 (3)配：配方，方程两边同加上一次项系数 ，将方程的左边配成完全平方式。 (4)开：若方程的右边是非负数，则用开平方法求解，解出一元二次方程的两个根；若方程的右边是负数，则原方程无实数根。 7.用配方法解一元二次方程的关键是化二次项系数为1后，在方程左、右两边同加上一次项系数一半的平方，使含未知数的一边成为完全平方式。 8.对于一元二次方程，当 时，它的两个根为 。 这个公式叫作一元二次方程的求根公式。利用求根公式，我们可以由一元二次方程的系数a，b，c的值，直接求得方程的根。这种解一元二次方程的方法叫作 。 (1)把一元二次方程化为一般形式，并确定 的值。 (2)求出的值。 (3)判断的符号：当时，把a，b及的值代入求根公式，求出方程的根；当<0时，原方程没有实数根。 9.如果x1,x2是一元二次方程的两个根，那么： ①，即：两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数； ②，即：两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。 10.列一元二次方程解应用题的步骤 (1)审：审题，弄清已知量和未知量及问题中的等量关系。 (2)设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异。 (3)列：列方程，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，用代数式表示出相等关系中的各个量。 (4)解：求出所列方程的解。 (5)检验：检验方程的解是否正确，是否符合实际问题中的意义。 (6)答：写出答案。 11.列一元二次方程解应用题的常见题型： （1）利润问题 利润=售价-进价； 总利润=单位利润×总销售量； 利润率=×100%; 售价=进价×(1+利润率)。 （2）平均变化(增长或降低)率问题 在现实生活、经济和科技中，各项指标都在随着社会的进步而发生变化，这就出现了平均变化的百分率问题，求解时要把握住与百分率相对的基数。 ①平均增长率问题：设基数为a,平均增长率为x,则一次增长后的值为a(1+x),二次增长后的值为 ,依此类推，n次增长后的值为a(1+x)n。 ②平均降低率问题：设基数为a,平均降低率为x,则一次降低后的值为a(1-x),二次降低后的值为 ,依此类推，n次降低后的值为a(1-x)n。 （3）数字问题 解数字问题的关键是正确而巧妙地设出未知数，一般采用间接设元法。如有关三个连续整数(或连续奇数、连续偶数)的问题，一般设中间一个数为x,再用含x的代数式表示其余两个数；又如多位数问题，一般不直接设出这个多位数，而是设某个数位上的数字，再用代数式表示其余数位上的数字。多位数的表示方法如下： ①两位数=(十位数字)×10+个位数字； ②三位数=(百位数字)×100+(十位数字)×10+个位数字； （4）图形面积或体积问题 解决长方形面积或长方体体积问题的一般步骤： ①设其中一边为x； ②结合题意中的等量关系表示出图形的其他边长或棱长； ③列出x所表示的代数式要满足的条件，求x的取值范围； ④根据面积公式、体积公式进行列式； ⑤求解方程，然后结合x的取值范围进行作答。 （5）线段长问题 结合勾股定理求解线段长问题的一般步骤： ①通过几何图形的性质、作图、证明和计算先确定目标直角三角形； ②设直角三角形其中一边为x，用x表示其他边长； ③结合勾股定理和题意，用直角三角形的三边列出等量关系； ④求解方程，然后结合x的取值范围进行作答。 （6）动点几何问题的重点是用设时间为未知数t，用t结合题干中给出的点的速度，表示出边长关于t的代数式，再结合几何图形的性质列式，最后求解一元二次方程并作答即可。 1.判别一元二次方程 易错点：一元二次方程需要满足“整式方程”、“只含一个未知数”、“未知数最高次数为2”三要素。 例1 （25-26九年级下·浙江杭州·开学考试）下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2.判别一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数 易错点：在判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数时，要先将方程化为一般式：，然后再判断。 例2 （25-26九年级上·湖北孝感·期中）对于一元二次方程，下列说法错误的是（   ） A．二次项是 B．一次项系数是3 C．常数项是1 D．是它的一个根 3.注意a≠0 易错点：在已知方程为一元二次方程或已知方程有解时，求解方程中的字母参数要注意使得二次项系数不为零，不能只计算出字母参数的值，而不进行验算。 例3 若关于的一元二次方程 有一根为0，则的值为______． 4.切忌：两边同时除以“关于未知数的代数式” 易错点：计算类似这样的一元二次方程时，不要等式两边同时除以，因为等式两边是同时除以一个不为零的数，等式不变，但是没有考虑时的情况，此时x还有一个解。 例4 （25-26九年级上·江苏宿迁·期末）一元二次方程的根是_____． 5.熟练十字相乘法进行因式分解 易错点：十字相乘法可以将不方便用提取公因式法或公式法进行因式分解的二次三项式进行因式分解。十字相乘法主要是通过常数项分解质因数，使得质因数的“和”匹配一次项系数的方法，原理是，但十字相乘法的难度有不同等级： ①二次项系数为1，常数项为质数的：质数只能分为1×本身，只要注意符号即可。如：.﹣7=1×（-7），而1+（-7）=﹣6，因此写作：； ②二次项系数为1，常数项不为质数的：常数项如果不是质数，则有不同的分解因式的方法，需要通过多次尝试才能得到分解结果的“和”等于一次项系数。如：.12=1×12=2×6=3×4，再考虑“﹣”号就有6种分解法。可知在1和12,2和6,3和4这三组数中，只有2和6能通过加减运算得到一次项系数4，即﹣2+6=4.因此写作：； ③二次项系数不为1的：需要通过真正意义上的十字相乘来确认因式分解方式。方法与步骤如下（以3为例）： 1）分别分解二次项3和常数项，如：3； 2）在方程下竖直排列分解结果，并交叉相乘并相加： ，交叉相乘并将分别的结果相加，结果为： 3）结果与一次项进行比对，发现与不同，所以一开始二次项和常数项的分解有误，需重新分解，考虑到3的分解只有，只要调整的分解就行，种类较多。最终发现时，分解后交叉相乘再相加后的结果与一次项相同： ，，交叉相乘并将分别的结果相加，结果为： 4）注意关键一步：在写成因式分解形式时，要横着分别写入括号中： 所以结果为3 例5 解下列一元二次方程 （1） （2） 6.整体思想在开平方法中的运用 易错点：遇到如，或，两边都是整体的完全平方式，也可以两边同时开平方，得到与相等或互为相反数。 7.开平方时注意“﹢”、“﹣”两种情况 易错点：如上中的案例，在两边开平方时要注意与相等或互为相反数，即有：或两种情况，不要漏掉。 例6 （25-26八年级上·上海·期末）解方程：． 8.用配方法时的注意事项 易错点：在配方时，尤其是二次项系数不为“1”的一元二次方程用配方法求解时，注意（以为例）： ①先将等式两边同除以二次项系数，使二次项系数化为“1”，； ②将常数项移到等式右边，； ③等式左边和右边都加上一次项系数一半的平方，一次项系数的一半就是，也就是都加上，得到：； ④写成完全平方式， ⑤两边同时开平方，注意“﹢”、“﹣”两种情况，解得方程结果。，。 例7 用配方法解方程： (1) (2)； (3) (4) 例8 在用配方法解方程时，小颖的解法如图： 第一步：移项，得． 第二步：配方，得，即 ． 第三步：两边开平方，得． 第四步：所以， 请回答： (1)小颖的解答过程从第___________步开始出现错误； (2)请给出这道题的正确解答过程． 9.用公式法时的注意事项 易错点：用公式法时尤其要注意以下几点： ①正确确认二次项系数a、一次项系数b和常数项c，尤其注意首先要化为一般式，其次要带走符号； ②注意先确认的正负，若结果为负，说明方程无解，无需再用公式求解该方程； ②正确使用公式，注意通用公式中包含“±”，也就是两个解，即：，。 例9 用公式法解下列方程． (1)； (2)； (3)． 10.用根的判别式求一元二次方程中字母参数的取值范围 易错点：在已知一元二次方程根的有无情况后，可以知道判别式的正负，列出关于方程中关于a，b，c的不等式或等式，从而将方程中的字母参数列入式子中求解取值范围。 例10 （25-26九年级下·北京·开学考试）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________． 11.用韦达定理更方便得求一元二次方程的另一个解 易错点：韦达定理的结论是关于两根之和，两根之积的结论，其结果可由系数表示。因此当已知方程及其中一个解x1时，可通过韦达定理求出x1+x2的结果，再求x2。 例11 已知关于x的一元二次方程． (1)若该方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围； (2)若是该方程的一个根，求方程的另一个根． 12.根据韦达定理的结论求关于x1和x2的代数式的值 易错点：遇到求关于x1和x2的代数式的值的题目，先确定x1+x2和x1·x2的值，再结合具体代数式求解，常见的有： ①； ②； ③ ...... 例12 已知方程x2﹣3x﹣1＝0的两个根是x1，x2，则x1+x2＝________，x1•x2＝________，(x1﹣1)(x2﹣1)＝________，x1﹣x2＝________． 13.根据x1和x2的代数式的值求一元二次方程中字母参数的值 易错点：如果一元二次方程中有字母参数的，在已知关于x1和x2的代数式的值时，只要将结合前面第“11”点和第“12”点，建立关于字母参数的等式并求解即可。比如： 关于方程的方程有x1和x2两根，且满足，求a的值。 第一步：确定可以用x1+x2和x1·x2来表示，即； 第二步：根据韦达定理得到x1+x2=﹣a，x1·x2=﹣3； 第三步：代入到第一步的式子中，得到（﹣a）²－2×（-3）=7，解得a=±1 例13 （25-26九年级上·福建泉州·期末）已知关于的一元二次方程有两个不等实数根，． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 14.正确理解握手问题 易错点：我们可能知道，如果n个人要两两之间都相互各握一次手，那么一共握手有次。那为什么是这个公式呢？只有理解了要点，才能举一反三的解决更多问题。本问题中，n个人中的每个人，比如甲，都会与除他自己以外的其他所有人都握手一次（其中包括乙），一共握手n-1次。那么n个人就是次。但是我们考虑甲时他跟乙握手算进去了，我们考虑乙时，同样考虑了和甲握手的一次，这就重复了1次，那么其他人也都相互多握了一次。因此除以2就是折半，只算一次。这个逻辑在关于比赛的问题中同样适用—“n个球队，每两队之间各比赛一场，一共有多少场比赛”问题。 例14 （25-26九年级上·甘肃武威·期末）某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）． 乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： 假设有x人报名参加比赛． (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：_________________________．请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时x的值． 15.利润问题中正确列出表示利润的代数式 易错点：利润问题中，利用公式“利润=（售价－进价）×销售量”即可列出一元二次方程。但是常见的易错点有三个： （1）用自变量表示销售量（利用函数关系）。 ①语言描述的函数关系，比如“售价每增加1元，销量降低40件”。如果设售价增加了x元，则销售量=原销量－40x； ②用列表表示函数关系，比如如下表表示销售量随售价变化表，可知在售价50元基础上，售价每降低1元，销售量增加250件，因此设售价降低x元时，销售量y=2000+250x。 售价 50 48 46 44 42 销售量 2000 2500 3000 3500 4000 ③用函数图像表示函数关系，比如如下图表示销售量随售价变化表，可以用一次函数图象的知识直接求出销售量y与定价x的函数关系，即y=﹣20x+1800 （2）注意题干中是否还有其他销售成本，若有，需减去。比如在销售过程中的一次性宣传费、仓储费，也有增加利润的清仓处理收入。 （3）要注意自变量的取值范围，应用题一定要先根据自变量需要满足的实际条件来求出取值范围。 例15 （25-26九年级下·江苏扬州·开学考试）亚运会吉祥物“江南忆”公仔爆红．据统计“江南忆”公仔在某电商平台8月份的销售量是5万件，10月份的销售量是7.2万件． (1)若该平台8月份到10月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某一间店铺“江南忆”公仔的进价为每件40元，若售价为每件80元，每天能销售20件，售价每降价0.5元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1400元，则售价应降低多少元？ 例16 （25-26九年级上·广东惠州·期中）某地为有力推进乡村全面振兴，拓宽农产品的销售渠道，利用互联网技术，通过电商平台，让农产品直接面向消费者，提高农产品销售效率．其中，销售一批成本为元/的农产品，按销售单价不低于成本价，且不高于元/销售，经调查发现，该商品每天的销售量与销售单价x（元/）之间的关系如图所示． (1)请求出y与x的函数解析式； (2)销售单价定为多少元/时，每天的销售利润为元？ (3)销售该商品每天获得的利润能否达到元？若能求出此时的单价，若不能请说明理由． 16.不同围法的篱笆问题 易错点：依着墙面篱笆问题是一元二次方程实际应用中的典型问题，篱笆有很多不同的围法，最关键要掌握不同的细节。 ①注意墙面长，即关于自变量的取值范围 ②围多块长方形区域时，注意每条边长算入篱笆周长中。 ③需要开门的，每道门宽在计算时要增加总长度（篱笆+门宽） 例17 （25-26九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，某中学准备在校园里利用长的旧围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（其中墙留宽的入口），现已备足可以砌长的墙的材料（全部用完），设的长为． (1)的长为________m，的取值范围是________； (2)当为何值时，可使矩形花园的面积为？ (3)亮亮说：“矩形花园的面积可以为．”请你判断亮亮的说法正确吗？并说明理由． 17.不同设计类型的图形面积问题 易错点：图形面积问题，根据题意计算图形面积即可。利用转化与化归思想，可以解决下列图形的面积问题： 不管是上述哪种情况，转化后都成为了右图中的长方形去掉两列一行后的新长方形。 例18 如图，某单位准备在院内一块长、宽的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的部分种植花草．要使种植花草的面积为，则小道进出口的宽度为（   ） A． B． C．或 D．或 18.动点相关的线段长或面积问题 易错点：一般步骤：①用时间t表示出点运动的路程，然后表示相关的线段长；②结合勾股定理、求面积等方式，表示出所求量的代数式。③根据题意列出等量关系；④结合解一元二次方程的相关知识求解方程；⑤解决问题。 例19 如图，中，，，，动点从点出发以速度向点移动，同时动点从出发以的速度向点移动，设它们的运动时间为．当的面积等于四边形的面积的时，的值为_________秒． 例20 （25-26九年级上·湖南常德·期中）如图所示，在中，，，，点以的速度从点开始沿边向点移动，点以的速度从点开始沿边向点移动，且点，分别从点，同时出发，若有一点到达目的地，则另一点同时停止运动．要使，两点之间的距离等于，则需要经过___________． 19.特殊三角形的存在性问题 易错点：与第18条类似，不同的是需要根据题意，结合几何图形的性质来列式。比如： 当需要三角形是直角三角形时，可以列勾股定理；也可以运用斜边中线定理。 当需要三角形是等腰三角形时，可以表示出两边且列式使得相等；也可以利用“三线合一”的性质。 例21 （25-26八年级上·海南三亚·期末）如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿的方向运动，且速度为，点从点开始沿的方向运动，且速度为，，两点同时出发，当运动到点时，两点停止运动，设运动的时间为秒． (1)________（用含的代数式表示）； (2)点在边上运动时．当是等腰三角形时，求出此时的值． (3)点在边上运动时，当是以或为底边的等腰三角形时，求出此时的值． (4)点在运动过程中，通过计算说明能否把的周长平分？ 1．（25-26九年级上·广东深圳·月考）下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·广西钦州·期末）一元二次方程的一次项系数和常数项分别是（    ） A．，1 B．2，1 C． D． 3．（25-26九年级上·山西运城·月考）如果用配方法解一元二次方程，那么方程可变形为（　　） A． B． C． D． 4．（25-26九年级下·江西·开学考试）若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为（   ） A． B．0 C． D．1 5．（25-26九年级上·陕西延安·期末）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（   ） A． B．3 C．5 D．8 6．（25-26九年级上·内蒙古锡林郭勒·月考）如图，在中，，，，点P从点A开始，沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始，沿边向点C以的速度移动．如果点P，Q同时出发，当一个点到达目的地时，所有运动停止．若四边形的面积为，则点P运动的时间是（　　） A．3 B．3或5 C．4 D．5 7．（25-26九年级上·广西来宾·期末）若方程的两根分别为，，则（　　） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·江苏南通·期末）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为22m．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为，求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·贵州毕节·期末）已知方程是关于的一元二次方程，则的值是______． 10．（25-26九年级上·甘肃平凉·月考）若关于的方程有一根是，则另一个根是___________． 11．（25-26九年级上·山东青岛·期末）小川在春节期间和亲朋好友团圆相聚，他们之间都互相赠送一份礼物，一共赠送了72份，则他们一共有___________人． 12．（25-26九年级上·陕西商洛·期末）若a是一元二次方程的一个根，则的值是_____． 13．（25-26九年级上·山西阳泉·月考）一款衬衫每件进价为元，销售价为元时，每天可售出件，为了扩大销售量，增加利润，商店决定降价销售，经市场调查发现，如果每件衬衫每降价元，那么平均每天可多售出件．每件衬衫降价_______元时，平均每天盈利元． 14．（25-26九年级上·四川成都·月考）若关于x的一元二次方程有两个实数根，且方程的两根满足，则m的值为________． 15．（2026八年级下·全国·专题练习）用适当的方法解方程： (1)； (2)； (3)（用配方法）； (4)． 16．（25-26九年级上·江苏南京·月考）已知关于x 的一元二次方程（k为常数）． (1)求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程有两个实数根，，且，求 k的值． 17．（25-26九年级下·浙江杭州·开学考试）某品牌手机，去年每台的售价（元）与月份之间满足关系，去年的月销量（万台）与月份之间成一次函数关系，其中第一季度的销量情况如表： 月份（） 1月 2月 3月 销售量（） 3.9万台 4.0万台 4.1万台 (1)求关于的函数关系式； (2)求去年12月份的销售量与销售价格； (3)今年1月份比去年12月份该品牌手机的售价下降的百分率为，销售量下降的百分率为，今年2月份，经销商对该手机以1月份价格的八折销售，这样2月份的销售量比今年1月份增加了1.5万台，销售额为6400万元，求的值． 18．如图，，，为矩形的四个顶点，，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向点移动，一直到达点为止，点以的速度向点移动，当点到达点时点随之停止运动，设运动时间为． (1)为多少时，四边形的面积为； (2)为多少时，点和点的距离为． (3)，同时出发，直接写出为何值时，以，，为顶点的三角形为等腰三角形． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 一元二次方程 1.方程的两边都是整式，只含有 一个 未知数，并且未知数的最高次数是 2 次，我们把这样的方程叫作一元二次方程。识别一元二次方程的方法： 首先看方程两边是不是整式，如果是整式，再化简整理为等号右边是0的形式，最后观察是否具备“只含有一个未知数”“未知数的最高次数为2次”这两个条件。 2.能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解(或根)。 3.一般地，任何一个关于x的一元二次方程都可以化为 a2+bx+c=0 的形式。我们把ax2+bx+c=0(a,b,c为已知数，a≠0) 称为一元二次方程的一般形式，其中ax2称为二次项，bx称为一次项， c 称为常数项， a 称为二次项系数， b 称为一次项系数。 4.利用因式分解解一元二次方程的方法叫作 因式分解法 。通过因式分解，把解一个一元二次方程转化为解两个一元一次方程。因式分解法解一元二次方程的步骤： (1)移项：若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零。 (2)化积：将方程的左边分解因式，化为两个一次因式的 乘积 。 (3)转化：根据若A×B=0,则A=0或B=0,使每个因式分别为零，得到两个一元一次方程。 (4)求解：解这两个一元一次方程，它们的解即原一元二次方程的解。 5.一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义，可得 x1=,x2=- 。这种解一元二次方程的方法叫作 开平方法 。如x2=4,解得x=±2,即x1=2,x2=-2。(x+1)2=5,解得x+1=±,即x1=-1+,x2=-1-。用开平方法解一元二次方程的步骤： (1)把原方程化成左边为含未知数的式子的平方，右边为非负数的形式，即：x2=a或（x+b）2=a，(a≥0)； (2)开平方，把一元二次方程转化成一元一次方程； (3)解一元一次方程，得到原一元二次方程的两个根。 6.把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为一个非负常数，即将方程转化为 （x+b）2=a (a≥0)的形式，然后用开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫作 配方法 。 配方法的基本步骤： (1)化：将原方程化成一元二次方程的一般形式，且使二次项系数化为 1 。 (2)移：将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边。 (3)配：配方，方程两边同加上一次项系数 一半的平方 ，将方程的左边配成完全平方式。 (4)开：若方程的右边是非负数，则用开平方法求解，解出一元二次方程的两个根；若方程的右边是负数，则原方程无实数根。 7.用配方法解一元二次方程的关键是化二次项系数为1后，在方程左、右两边同加上一次项系数一半的平方，使含未知数的一边成为完全平方式。 8.对于一元二次方程，当 时，它的两个根为 。 这个公式叫作一元二次方程的求根公式。利用求根公式，我们可以由一元二次方程的系数a，b，c的值，直接求得方程的根。这种解一元二次方程的方法叫作 公式法 。 (1)把一元二次方程化为一般形式，并确定 a，b，c 的值。 (2)求出的值。 (3)判断的符号：当时，把a，b及的值代入求根公式，求出方程的根；当<0时，原方程没有实数根。 9.如果x1,x2是一元二次方程的两个根，那么： ①，即：两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数； ②，即：两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。 10.列一元二次方程解应用题的步骤 (1)审：审题，弄清已知量和未知量及问题中的等量关系。 (2)设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异。 (3)列：列方程，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，用代数式表示出相等关系中的各个量。 (4)解：求出所列方程的解。 (5)检验：检验方程的解是否正确，是否符合实际问题中的意义。 (6)答：写出答案。 11.列一元二次方程解应用题的常见题型： （1）利润问题 利润=售价-进价； 总利润=单位利润×总销售量； 利润率=×100%; 售价=进价×(1+利润率)。 （2）平均变化(增长或降低)率问题 在现实生活、经济和科技中，各项指标都在随着社会的进步而发生变化，这就出现了平均变化的百分率问题，求解时要把握住与百分率相对的基数。 ①平均增长率问题：设基数为a,平均增长率为x,则一次增长后的值为a(1+x),二次增长后的值为 a(1+x)2 ,依此类推，n次增长后的值为a(1+x)n。 ②平均降低率问题：设基数为a,平均降低率为x,则一次降低后的值为a(1-x),二次降低后的值为 a(1-x)2 ,依此类推，n次降低后的值为a(1-x)n。 （3）数字问题 解数字问题的关键是正确而巧妙地设出未知数，一般采用间接设元法。如有关三个连续整数(或连续奇数、连续偶数)的问题，一般设中间一个数为x,再用含x的代数式表示其余两个数；又如多位数问题，一般不直接设出这个多位数，而是设某个数位上的数字，再用代数式表示其余数位上的数字。多位数的表示方法如下： ①两位数=(十位数字)×10+个位数字； ②三位数=(百位数字)×100+(十位数字)×10+个位数字； （4）图形面积或体积问题 解决长方形面积或长方体体积问题的一般步骤： ①设其中一边为x； ②结合题意中的等量关系表示出图形的其他边长或棱长； ③列出x所表示的代数式要满足的条件，求x的取值范围； ④根据面积公式、体积公式进行列式； ⑤求解方程，然后结合x的取值范围进行作答。 （5）线段长问题 结合勾股定理求解线段长问题的一般步骤： ①通过几何图形的性质、作图、证明和计算先确定目标直角三角形； ②设直角三角形其中一边为x，用x表示其他边长； ③结合勾股定理和题意，用直角三角形的三边列出等量关系； ④求解方程，然后结合x的取值范围进行作答。 （6）动点几何问题的重点是用设时间为未知数t，用t结合题干中给出的点的速度，表示出边长关于t的代数式，再结合几何图形的性质列式，最后求解一元二次方程并作答即可。 1.判别一元二次方程 易错点：一元二次方程需要满足“整式方程”、“只含一个未知数”、“未知数最高次数为2”三要素。 例1 （25-26九年级下·浙江杭州·开学考试）下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2． 【详解】选项A，整理后为，是一元一次方程，不符合要求； 选项B，，是整式方程，只含一个未知数x，未知数最高次数为2，符合一元二次方程的定义； 选项C，分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，不符合要求； 选项D，含有两个未知数x和y，是二元一次方程，不符合要求． 2.判别一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数 易错点：在判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数时，要先将方程化为一般式：，然后再判断。 例2 （25-26九年级上·湖北孝感·期中）对于一元二次方程，下列说法错误的是（   ） A．二次项是 B．一次项系数是3 C．常数项是1 D．是它的一个根 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的基本概念，包括各项的定义和根的检验，通过对比方程的一般形式并验证根，即可判断错误选项 【详解】∵ 方程 中， 选项A：二次项是 ，正确，不符合题意； 选项B：一次项系数是 ，不是3，错误，符合题意； 选项C：常数项是1，正确，不符合题意； 选项D：当 时，，是根，正确，不符合题意； 故选B 3.注意a≠0 易错点：在已知方程为一元二次方程或已知方程有解时，求解方程中的字母参数要注意使得二次项系数不为零，不能只计算出字母参数的值，而不进行验算。 例3 若关于的一元二次方程 有一根为0，则的值为______． 【答案】2 【分析】根据一元二次方程的定义得到，再利用方程的解的定义，将代入已知方程，列出关于的方程，求解后结合二次项系数不为0的条件确定的值； 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一根为0， ∴将代入方程得： ， 即， 因式分解得， 解得或， 又∵一元二次方程的二次项系数不能为0，即，得， ∴的值为2． 4.切忌：两边同时除以“关于未知数的代数式” 易错点：计算类似这样的一元二次方程时，不要等式两边同时除以，因为等式两边是同时除以一个不为零的数，等式不变，但是没有考虑时的情况，此时x还有一个解。 例4 （25-26九年级上·江苏宿迁·期末）一元二次方程的根是_____． 【答案】或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的基本步骤，是解题的关键．根据因式分解法求解即可． 【详解】解：， 移项得 ， 因式分解得， 所以或， 解得：或． 故答案为：或． 5.熟练十字相乘法进行因式分解 易错点：十字相乘法可以将不方便用提取公因式法或公式法进行因式分解的二次三项式进行因式分解。十字相乘法主要是通过常数项分解质因数，使得质因数的“和”匹配一次项系数的方法，原理是，但十字相乘法的难度有不同等级： ①二次项系数为1，常数项为质数的：质数只能分为1×本身，只要注意符号即可。如：.﹣7=1×（-7），而1+（-7）=﹣6，因此写作：； ②二次项系数为1，常数项不为质数的：常数项如果不是质数，则有不同的分解因式的方法，需要通过多次尝试才能得到分解结果的“和”等于一次项系数。如：.12=1×12=2×6=3×4，再考虑“﹣”号就有6种分解法。可知在1和12,2和6,3和4这三组数中，只有2和6能通过加减运算得到一次项系数4，即﹣2+6=4.因此写作：； ③二次项系数不为1的：需要通过真正意义上的十字相乘来确认因式分解方式。方法与步骤如下（以3为例）： 1）分别分解二次项3和常数项，如：3； 2）在方程下竖直排列分解结果，并交叉相乘并相加： ，交叉相乘并将分别的结果相加，结果为： 3）结果与一次项进行比对，发现与不同，所以一开始二次项和常数项的分解有误，需重新分解，考虑到3的分解只有，只要调整的分解就行，种类较多。最终发现时，分解后交叉相乘再相加后的结果与一次项相同： ，，交叉相乘并将分别的结果相加，结果为： 4）注意关键一步：在写成因式分解形式时，要横着分别写入括号中： 所以结果为3 例5 解下列一元二次方程 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【分析】本题使用配方法产生分数的运算，使用公式法计算又较为复杂。可以尝试用因式分解法中的十字相乘。第（1）小题可将“﹣14”分解为﹣7×2，第（2）小题中，15=（-5）×（-3），分别分解后，即可化为因式相乘的形式。 【详解】（1）解： 解得： （2）解： 解得：. 6.整体思想在开平方法中的运用 易错点：遇到如，或，两边都是整体的完全平方式，也可以两边同时开平方，得到与相等或互为相反数。 7.开平方时注意“﹢”、“﹣”两种情况 易错点：如上中的案例，在两边开平方时要注意与相等或互为相反数，即有：或两种情况，不要漏掉。 例6 （25-26八年级上·上海·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，利用直接开平方法将方程两边开平方可得，再将此分解为两个方程分别求解即可． 【详解】解：将方程两边开平方得： ， 或， 解得：，． 8.用配方法时的注意事项 易错点：在配方时，尤其是二次项系数不为“1”的一元二次方程用配方法求解时，注意（以为例）： ①先将等式两边同除以二次项系数，使二次项系数化为“1”，； ②将常数项移到等式右边，； ③等式左边和右边都加上一次项系数一半的平方，一次项系数的一半就是，也就是都加上，得到：； ④写成完全平方式， ⑤两边同时开平方，注意“﹢”、“﹣”两种情况，解得方程结果。，。 例7 用配方法解方程： (1) (2)； (3) (4) 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确配方，题目是一道比较常见的题目，难度不是很大． （1）先配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）移项后配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （3）移项后配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （4）去分母后配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解： ， ， ， ； （2） ， 配方得： ， ∴， （3） ∴ 则 （4） 整理得，， 配方得：， ， ∴． 例8 在用配方法解方程时，小颖的解法如图： 第一步：移项，得． 第二步：配方，得，即 ． 第三步：两边开平方，得． 第四步：所以， 请回答： (1)小颖的解答过程从第___________步开始出现错误； (2)请给出这道题的正确解答过程． 【答案】(1)二 (2)， 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方法的步骤． （1）等号两边应该加上； （2）先在等号两边同时加上一次项系数一半的平方，然后配成完全平方式，再直接开平方求解． 【详解】（1）解：小颖的解答过程从第二步开始出现错误， 故答案为：二； （2）解： 或 ∴，． 9.用公式法时的注意事项 易错点：用公式法时尤其要注意以下几点： ①正确确认二次项系数a、一次项系数b和常数项c，尤其注意首先要化为一般式，其次要带走符号； ②注意先确认的正负，若结果为负，说明方程无解，无需再用公式求解该方程； ②正确使用公式，注意通用公式中包含“±”，也就是两个解，即：，。 例9 用公式法解下列方程． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)无解 (2)， (3) 【分析】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键． 各方程整理为一般形式，找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值，代入求根公式即可求出解． 【详解】（1）解： 方程整理得：， 这里 ∵， ∴方程无解； （2）解： 方程整理得：， 这里 ∵， ∴ （3）解： 方程整理得：， 这里 ∵， ∴ 10.用根的判别式求一元二次方程中字母参数的取值范围 易错点：在已知一元二次方程根的有无情况后，可以知道判别式的正负，列出关于方程中关于a，b，c的不等式或等式，从而将方程中的字母参数列入式子中求解取值范围。 例10 （25-26九年级下·北京·开学考试）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________． 【答案】且 【分析】由于关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，由此可以得到，并且方程的判别式，由此即可求出m的取值范围． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 且， 且． 11.用韦达定理更方便得求一元二次方程的另一个解 易错点：韦达定理的结论是关于两根之和，两根之积的结论，其结果可由系数表示。因此当已知方程及其中一个解x1时，可通过韦达定理求出x1+x2的结果，再求x2。 例11 已知关于x的一元二次方程． (1)若该方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围； (2)若是该方程的一个根，求方程的另一个根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程． （1）利用判别式计算即可； （2）可以通过韦达定理知道方程的两根之和x1+x2=﹣2，在已知其中一个解的情况下，另一个解可求。 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 即， ， ， 解得； （2）解：若方程有两个根，那么两根之和x1+x2=﹣2，若x1=﹣3，另一个解（﹣2）－（﹣3）=1. ∴方程的另一个根是． 12.根据韦达定理的结论求关于x1和x2的代数式的值 易错点：遇到求关于x1和x2的代数式的值的题目，先确定x1+x2和x1·x2的值，再结合具体代数式求解，常见的有： ①； ②； ③ ...... 例12 已知方程x2﹣3x﹣1＝0的两个根是x1，x2，则x1+x2＝________，x1•x2＝________，(x1﹣1)(x2﹣1)＝________，x1﹣x2＝________． 【答案】 3 -1 -3 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可直接进行求解． 【详解】解：∵方程x2﹣3x﹣1＝0的两个根是x1，x2， ∴x1+x2＝3，x1x2＝﹣1， ∴（x1﹣1）（x2﹣1）＝x1x2﹣（x1+x2）+1＝﹣1﹣3+1＝﹣3， x1﹣x2＝． 故答案为：3，﹣1，﹣3，． 13.根据x1和x2的代数式的值求一元二次方程中字母参数的值 易错点：如果一元二次方程中有字母参数的，在已知关于x1和x2的代数式的值时，只要将结合前面第“11”点和第“12”点，建立关于字母参数的等式并求解即可。比如： 关于方程的方程有x1和x2两根，且满足，求a的值。 第一步：确定可以用x1+x2和x1·x2来表示，即； 第二步：根据韦达定理得到x1+x2=﹣a，x1·x2=﹣3； 第三步：代入到第一步的式子中，得到（﹣a）²－2×（-3）=7，解得a=±1 例13 （25-26九年级上·福建泉州·期末）已知关于的一元二次方程有两个不等实数根，． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可； （2）根据根与系数的关系得到，，再根据已知条件得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解： ∵方程有两个不等实数根 即， ； （2）解：∵关于的一元二次方程有两个不等实数根，， ∴ ， ， ． 14.正确理解握手问题 易错点：我们可能知道，如果n个人要两两之间都相互各握一次手，那么一共握手有次。那为什么是这个公式呢？只有理解了要点，才能举一反三的解决更多问题。本问题中，n个人中的每个人，比如甲，都会与除他自己以外的其他所有人都握手一次（其中包括乙），一共握手n-1次。那么n个人就是次。但是我们考虑甲时他跟乙握手算进去了，我们考虑乙时，同样考虑了和甲握手的一次，这就重复了1次，那么其他人也都相互多握了一次。因此除以2就是折半，只算一次。这个逻辑在关于比赛的问题中同样适用—“n个球队，每两队之间各比赛一场，一共有多少场比赛”问题。 例14 （25-26九年级上·甘肃武威·期末）某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）． 乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： 假设有x人报名参加比赛． (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：_________________________．请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时x的值． 【答案】(1)，淇淇的说法正确 (2)10 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）设有x人报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论； （2）结合设有x人报名参赛，有一人比赛了4场后退出比赛，由题意得，整理并求解即可． 【详解】（1）解：     淇淇的说法正确，理由如下： 解得：，     ∵x取正整数， ∴，均不满足实际问题，舍去 所以淇淇的说法正确． （2）解：∵有一人比赛了4场后退出比赛， 由题意得， 解得（舍去）， ∴x的值为10． 15.利润问题中正确列出表示利润的代数式 易错点：利润问题中，利用公式“利润=（售价－进价）×销售量”即可列出一元二次方程。但是常见的易错点有三个： （1）用自变量表示销售量（利用函数关系）。 ①语言描述的函数关系，比如“售价每增加1元，销量降低40件”。如果设售价增加了x元，则销售量=原销量－40x； ②用列表表示函数关系，比如如下表表示销售量随售价变化表，可知在售价50元基础上，售价每降低1元，销售量增加250件，因此设售价降低x元时，销售量y=2000+250x。 售价 50 48 46 44 42 销售量 2000 2500 3000 3500 4000 ③用函数图像表示函数关系，比如如下图表示销售量随售价变化表，可以用一次函数图象的知识直接求出销售量y与定价x的函数关系，即y=﹣20x+1800 （2）注意题干中是否还有其他销售成本，若有，需减去。比如在销售过程中的一次性宣传费、仓储费，也有增加利润的清仓处理收入。 （3）要注意自变量的取值范围，应用题一定要先根据自变量需要满足的实际条件来求出取值范围。 例15 （25-26九年级下·江苏扬州·开学考试）亚运会吉祥物“江南忆”公仔爆红．据统计“江南忆”公仔在某电商平台8月份的销售量是5万件，10月份的销售量是7.2万件． (1)若该平台8月份到10月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某一间店铺“江南忆”公仔的进价为每件40元，若售价为每件80元，每天能销售20件，售价每降价0.5元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1400元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1)月平均增长率是 (2)售价应降低30元 【分析】（1）设月平均增长率是x，依题意得，从而得到月平均增长率； （2）设售价应降低y元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，根据总利润每件利润销售量，列出方程，结合“要尽量减少库存”，即可解答． 【详解】（1）解：设月平均增长率是x， 依题意得：， 解得，（不合题意，舍去）． 答：月平均增长率是． （2）解：设售价应降低y元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件， 依题意得：， 整理得：， 解得，， 又∵要尽量减少库存， ∴， 答：售价应降低30元． 例16 （25-26九年级上·广东惠州·期中）某地为有力推进乡村全面振兴，拓宽农产品的销售渠道，利用互联网技术，通过电商平台，让农产品直接面向消费者，提高农产品销售效率．其中，销售一批成本为元/的农产品，按销售单价不低于成本价，且不高于元/销售，经调查发现，该商品每天的销售量与销售单价x（元/）之间的关系如图所示． (1)请求出y与x的函数解析式； (2)销售单价定为多少元/时，每天的销售利润为元？ (3)销售该商品每天获得的利润能否达到元？若能求出此时的单价，若不能请说明理由． 【答案】(1) (2)销售单价定为元/时，每天的销售利润为元 (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查一次函数，一元二次方程的应用，熟练掌握一次函数和一元二次方程是解题的关键， （1）根据题意利用待定系数法即可求函数解析式； （2）根据每天的销售利润为元，列出方程并求解，再结合单价不低于成本价，且不高于元销售，可得符合题意的答案； （3）根据每天获得的利润需要达到元，列出方程，再根据，即可得到结论． 【详解】（1）解：设该商品每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间的函数关系式为， 又∵图象过点、， ∴， 解得， ∴函数关系式为， ∵销售单价不低于成本价元，且不高于元/销售， ∴， ∴每天的销售利润为． （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得：，． ∵单价不低于成本价，且不高于元销售， ∴不符合题意，舍去． ∴销售单价定为元/时，每天的销售利润为元． （3）解：不能，理由如下： 由题意得：， 整理得：， ∵， ∴方程无解， ∴销售该商品每天获得的利润不能达到元． 16.不同围法的篱笆问题 易错点：依着墙面篱笆问题是一元二次方程实际应用中的典型问题，篱笆有很多不同的围法，最关键要掌握不同的细节。 ①注意墙面长，即关于自变量的取值范围 ②围多块长方形区域时，注意每条边长算入篱笆周长中。 ③需要开门的，每道门宽在计算时要增加总长度（篱笆+门宽） 例17 （25-26九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，某中学准备在校园里利用长的旧围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（其中墙留宽的入口），现已备足可以砌长的墙的材料（全部用完），设的长为． (1)的长为________m，的取值范围是________； (2)当为何值时，可使矩形花园的面积为？ (3)亮亮说：“矩形花园的面积可以为．”请你判断亮亮的说法正确吗？并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)亮亮的说法不正确，理由见解析 【分析】（1）根据题意列代数式，再结合旧围墙的长度列不等式求解； （2）根据矩形花园的面积为列一元二次方程，取范围内的解即可； （3）根据矩形花园面积列一元二次方程，再结合根的判别式确定方程无解，即可得解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：根据题意得， 整理得， 解得（舍），， 答：当时，矩形花园的面积为； （3）解：亮亮的说法不正确，理由如下： 根据题意得，即， ， 该方程无实数根， 矩形花园的面积不可以为，即亮亮的说法不正确． 17.不同设计类型的图形面积问题 易错点：图形面积问题，根据题意计算图形面积即可。利用转化与化归思想，可以解决下列图形的面积问题： 不管是上述哪种情况，转化后都成为了右图中的长方形去掉两列一行后的新长方形。 例18 如图，某单位准备在院内一块长、宽的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的部分种植花草．要使种植花草的面积为，则小道进出口的宽度为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用，通过计算花园总面积与种植花草面积的差值来确定小道所占面积 ，进而通过设置未知数，并根据图形分析建立方程求解． 【详解】解：设小道进出口的宽度为， 根据题意得，， 即， 解得：或（舍） ∴小道进出口的宽度为． 18.动点相关的线段长或面积问题 易错点：一般步骤：①用时间t表示出点运动的路程，然后表示相关的线段长；②结合勾股定理、求面积等方式，表示出所求量的代数式。③根据题意列出等量关系；④结合解一元二次方程的相关知识求解方程；⑤解决问题。 例19 如图，中，，，，动点从点出发以速度向点移动，同时动点从出发以的速度向点移动，设它们的运动时间为．当的面积等于四边形的面积的时，的值为_________秒． 【答案】 【分析】本题考查了几何图形中的动点问题，涉及到了一元二次方程的求解，正确理解题意利用方程的思想求解是解题的关键．根据路程速度时间，表示出，，，根据面积等于面积的，可得面积等于面积的列方程求解即可． 【详解】解：根据路程速度时间得：，， 则， 的面积等于四边形的面积的， 面积等于面积的， ， 即， 解得． 当秒时，的面积等于四边形的面积的． 故答案为：． 例20 （25-26九年级上·湖南常德·期中）如图所示，在中，，，，点以的速度从点开始沿边向点移动，点以的速度从点开始沿边向点移动，且点，分别从点，同时出发，若有一点到达目的地，则另一点同时停止运动．要使，两点之间的距离等于，则需要经过___________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查勾股定理以及一元二次方程的应用．根据勾股定理列出方程是解题的关键． 设经过，、之间的距离等于，先用含的代数式分别表示和的长度，进一步利用勾股定理建立方程求得答案即可； 【详解】解：设经过，、之间的距离等于， 由已知可得： ，， ， ， ， 解得：， (不合题意，舍去)， ∴需要经过秒，，两点之间的距离等于． 故答案为． 19.特殊三角形的存在性问题 易错点：与第18条类似，不同的是需要根据题意，结合几何图形的性质来列式。比如： 当需要三角形是直角三角形时，可以列勾股定理；也可以运用斜边中线定理。 当需要三角形是等腰三角形时，可以表示出两边且列式使得相等；也可以利用“三线合一”的性质。 例21 （25-26八年级上·海南三亚·期末）如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿的方向运动，且速度为，点从点开始沿的方向运动，且速度为，，两点同时出发，当运动到点时，两点停止运动，设运动的时间为秒． (1)________（用含的代数式表示）； (2)点在边上运动时．当是等腰三角形时，求出此时的值． (3)点在边上运动时，当是以或为底边的等腰三角形时，求出此时的值． (4)点在运动过程中，通过计算说明能否把的周长平分？ 【答案】(1) (2) (3)11，12 (4)可以 【分析】本题围绕三角形中的动点问题，结合等腰三角形性质与一元一次方程应用展开．需分情况讨论点Q的位置（段、段），利用线段长度关系、等腰三角形的边相等条件建立方程求解；对于周长平分问题，需分析各段路径下线段和的关系来判断是否存在满足条件的． 【详解】（1）点从向运动，速度为，运动时间为，则． 已知，由，可得． （2）点从向运动，速度为，， 故在上时，运动时间满足． 当是等腰三角形时，，则两腰为与 由，，令， 即， 解得． 验证：，符合在上的条件． （3）当是以为底边的等腰三角形时： 此时，腰为． 如图1，则． ∵， ∴． 又∵ 在中，， ∴． ∴． ∴． ． 已知点的速度为，故． 当是以为底边的等腰三角形时： 此时，腰为． 如图2，则． ． ∴． 综上所述，当t为11或12时，是以或为底边的等腰三角形． （4）周长为，若平分周长，则每部分为． 若在上，（）： ，，则， 令，得，但，不符合在上的条件． 若在上（）： ，． 周长被分成和， 即，与． 令，得（符合）； 验证：时，，，和为； ，，，和为，确实平分． 1．（25-26九年级上·广东深圳·月考）下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：是二元一次方程，不是一元二次方程，故A不符合； ，当时，不是一元二次方程，故B不符合； 一元一次方程，不是一元二次方程，故C不符合； 符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，故D符合． 2．（25-26九年级上·广西钦州·期末）一元二次方程的一次项系数和常数项分别是（    ） A．，1 B．2，1 C． D． 【答案】A 【分析】一元二次方程的一般形式为（），其中为一次项系数，为常数项． 【详解】解：在方程中，一次项系数是，常数项是． 3．（25-26九年级上·山西运城·月考）如果用配方法解一元二次方程，那么方程可变形为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，将方程左边整理为完全平方式即可得到结果． 【详解】解： ∵原方程为， ∴移项得， ∴， ∴整理得 ． 4．（25-26九年级下·江西·开学考试）若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】D 【详解】解：∵ 是一元二次方程的一个根， ∴ 将代入方程得 ， 整理得 ， 解得 ． 5．（25-26九年级上·陕西延安·期末）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（   ） A． B．3 C．5 D．8 【答案】A 【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式，据此求出的取值范围，即可选出符合条件的答案，掌握根的判别式与根的个数的关系是解题关键. 【详解】∵关于的方程有两个不相等的实数根，这里，，. ∴. 化简得. 解得. ∵四个选项中只有，其余选项的值均大于. ∴故选A. 6．（25-26九年级上·内蒙古锡林郭勒·月考）如图，在中，，，，点P从点A开始，沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始，沿边向点C以的速度移动．如果点P，Q同时出发，当一个点到达目的地时，所有运动停止．若四边形的面积为，则点P运动的时间是（　　） A．3 B．3或5 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题关键． 设点P运动的时间为，则，，根据题意易得，，根据可得关于的一元二次方程并求解，然后确定的取值范围，即可获得答案． 【详解】解：设点P运动的时间为， 则，， ∵，，， ∴， ， ∵四边形的面积为， ∴， 即，整理可得， 解得， 又∵点P，Q同时出发，点P从点A出发运动到点B用时，点Q从点B运动到点C用时，且当一个点到达目的地时，所有运动停止， ∴， ∴点P运动的时间是． 故选：A． 7．（25-26九年级上·广西来宾·期末）若方程的两根分别为，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，掌握韦达定理是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系，可得出、的值，代入求值即可． 【详解】解：∵对于一元二次方程， 若方程两根为，， 则 ，， 本题方程为 ，可得 ，，， ∴ ，， ∴ . 8．（25-26九年级上·江苏南通·期末）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为22m．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为，求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位（图中阴影部分）可合成长为m，宽为m的矩形，结合停车位的占地面积为，即可列出关于的一元二次方程． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系是解答本题的关键． 【详解】解：若设停车场内车道的宽度为m，则停车位（图中阴影部分）可合成长为m，宽为m的矩形， 根据题意得： 故选：B． 9．（25-26九年级上·贵州毕节·期末）已知方程是关于的一元二次方程，则的值是______． 【答案】 【分析】由一元二次方程的定义可知，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列式求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， 得或， 解得或， 由得：， ∴． 10．（25-26九年级上·甘肃平凉·月考）若关于的方程有一根是，则另一个根是___________． 【答案】 【分析】将已知根代入一元二次方程，求出参数的值，再解一元二次方程即可得到另一个根． 【详解】解：将代入方程， 可得， 解得， 则原方程为， 可得， 解得，， 故方程的另一个根是． 11．（25-26九年级上·山东青岛·期末）小川在春节期间和亲朋好友团圆相聚，他们之间都互相赠送一份礼物，一共赠送了72份，则他们一共有___________人． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握根据互赠礼物的数量关系建立方程是解题的关键． 设总人数为，由于每个人都要给除自己之外的其他人赠送1份礼物，所以每人赠送份礼物，总赠送份数等于人数乘以每人赠送的份数，由此建立方程，解方程并舍去不符合实际的解即可得到人数． 【详解】解：设共有人． ， ， ， 解得或（人数不能为负，舍去） 故答案为：． 12．（25-26九年级上·陕西商洛·期末）若a是一元二次方程的一个根，则的值是_____． 【答案】7 【分析】根据一元二次方程根的定义得到关于a的等式，将所求代数式变形后，整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵a是一元二次方程的一个根， ∴把代入方程得：， 整理得：， ∴． 13．（25-26九年级上·山西阳泉·月考）一款衬衫每件进价为元，销售价为元时，每天可售出件，为了扩大销售量，增加利润，商店决定降价销售，经市场调查发现，如果每件衬衫每降价元，那么平均每天可多售出件．每件衬衫降价_______元时，平均每天盈利元． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设每件衬衫降价元时，每天可售出件，每件盈利元，根据“总利润＝每件利润×销售数量”列出方程求解可得．理解题意找到题目蕴含的等量关系是列方程求解的关键． 【详解】解：设每件衬衫降价元时，每天可售出件，每件盈利元，即元， 依题意，得：， 解得：或， ∵为了扩大销售量，增加利润， ∴， ∴每件衬衫降价元时，平均每天盈利元． 故答案为：． 14．（25-26九年级上·四川成都·月考）若关于x的一元二次方程有两个实数根，且方程的两根满足，则m的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式的意义，一元二次方程根与系数的关系．利用根与系数的关系得到，，代入条件得到关于的方程，解方程并检验判别式，确定的值. 【详解】解：由根与系数的关系，得，， 则， 所以，即， 解得或. 又因为方程有两个实数根，所以判别式，即. 当时，不成立，舍去； 当时，成立. 故. 故答案为：． 15．（2026八年级下·全国·专题练习）用适当的方法解方程： (1)； (2)； (3)（用配方法）； (4)． 【答案】(1) (2)， (3)， (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，配方法，公式法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用解一元二次方程﹣因式分解法进行计算，即可解答； （2）利用解一元二次方程﹣公式法进行计算，即可解答； （3）利用解一元二次方程﹣配方法进行计算，即可解答； （4）利用解一元二次方程﹣因式分解法进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：， ， 或， ； （2）， 整理得：， ∵， ∴， ∴， （3）， ， ， ， ， ， （4）， ， ， 或， ． 16．（25-26九年级上·江苏南京·月考）已知关于x 的一元二次方程（k为常数）． (1)求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程有两个实数根，，且，求 k的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，根与系数的关系，解一元二次方程； （1）求出即可证明； （2）根据根与系数的关系得出，，结合已知等式得出关于k的方程，解方程可得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵方程有两个实数根，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 解得：． 17．（25-26九年级下·浙江杭州·开学考试）某品牌手机，去年每台的售价（元）与月份之间满足关系，去年的月销量（万台）与月份之间成一次函数关系，其中第一季度的销量情况如表： 月份（） 1月 2月 3月 销售量（） 3.9万台 4.0万台 4.1万台 (1)求关于的函数关系式； (2)求去年12月份的销售量与销售价格； (3)今年1月份比去年12月份该品牌手机的售价下降的百分率为，销售量下降的百分率为，今年2月份，经销商对该手机以1月份价格的八折销售，这样2月份的销售量比今年1月份增加了1.5万台，销售额为6400万元，求的值． 【答案】(1) (2)销售量为5万台，售价为每台2000元 (3) 【分析】（1）设一次函数解析式为，将数据代入，利用待定系数法即可解答； （2）把代入函数解析式即可解答； （3）分别表示出1，2月份的销量以及售价，进而利用今年2月份这种品牌手机的销售额为6400万元，得出等式求出即可． 【详解】（1）解：根据题意，设， 分别将，代入， 得， 解得， ∴p关于x的函数关系式为； （2）解：当时，销售量； 每台的售价， 答：销售量为5万台，售价为每台2000元； （3）解：根据题意，1月份的售价为元，则2月份的售价为元， 1月份的销量为万台，2月份的销量为万台， 由题意得：， 解得：（舍），， ∴． 答：的值为． 18．如图，，，为矩形的四个顶点，，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向点移动，一直到达点为止，点以的速度向点移动，当点到达点时点随之停止运动，设运动时间为． (1)为多少时，四边形的面积为； (2)为多少时，点和点的距离为． (3)，同时出发，直接写出为何值时，以，，为顶点的三角形为等腰三角形． 【答案】(1)； (2)为或； (3)或或或． 【分析】（1）利用梯形的面积计算公式，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值； （2）过点作于点，则，利用勾股定理，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． （3）分、、三种情况讨论，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向点移动，点以的速度向点移动，设运动时间为． ，，，， 四边形的面积为， ， 解得：， 当为5时，四边形的面积为； （2）解：如图1，，，，为矩形的四个顶点，过点作于点， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：，， 当为或时，点和点的距离为； （3）解：当时，过作，如图2， 四边形是矩形， ， ，， ，， 四边形是矩形， ， ， 解得：； 当时，过作于，如图3， 同理可证：四边形是矩形， ，，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：或； 当时，如图4， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：或（不合题意，舍去）， 综上所述，或或或时，以，，为顶点的三角形为等腰三角形． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $