第二十三章 一次函数 提优训练 期末复习 课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十三章 一次函数 提优训练 人教版八年级下册 课外延展 1. (1)如图, 正方形AOBC的顶点A和B在坐标轴上, 则直线 OC的函数解析式为 ； (2)直线y＝x与x轴的夹角(锐角)为 , 直线y＝ x＋b与x 轴的夹角(锐角)为 . y＝x 45° 60° 2.如图, 直线AB分别与x轴、y轴交于A, B两点, P为线段AB 上的一个动点, 且不与点A, B重合, 过点P分别作x轴、y轴 的垂线, 垂足分别为C, D.已知四边形OCPD的周长为定值 8, 则直线AB的函数解析式为 ( ) A.y＝x＋8 B. y＝x＋4 C. y＝－x＋8 D. y＝－x＋4 D 3. 如图, 直线y＝kx＋3与x轴、y轴分别相交于点E, F.点E 的坐标为(－6, 0), P是直线EF上的一点. (1)求k的值； (2)若△POE的面积为6, 求点P的坐标. 解：(1)把E(－6, 0)代入y＝kx＋3, 得－6k＋3＝0, ∴k＝ . (2)设点P的坐标为(x1, y1). 依题意, 得 ×6× ＝6, ∴y1＝±2. ∴当y1＝2时, 令 x1＋3＝2, 解得x1＝－2； 当y1＝－2时, 令 x1＋3＝－2, 解得x1＝－10. ∴点P的坐标为(－2, 2)或(－10, －2). 4.如图, 一次函数y＝2x＋b的图象与x轴交于点A(2, 0), 与y 轴交于点B. (1)求b的值； (2)若点C在直线AB上, 且S△AOC＝4, 求点C的坐标. 解：(1)把A(2, 0)代入 y＝2x＋b, 得2×2＋b＝0. ∴b＝－4. (2)设点C(x1, y1). 依题意, 得S△AOC＝ ×2× ＝4. ∴y1＝±4. ∴当y1＝4时, x1＝4； ∴点C的坐标为(4, 4)或(0, －4). 当y1＝－4时, x1＝0, 5. 如图, 直线l的解析式为y＝－ x＋4, 它与坐标轴分别交 于A, B两点. (1)求出点A, B的坐标. (2)在x轴上是否存在点P, 使点P到直线AB的距离为 ？ 若存在, 求点P的坐标. 解：(1)当x＝0时, y＝4, 当y＝0时, x＝3. ∴A(3, 0), B(0, 4). (2)存在. 在Rt△AOB中, AB＝ ＝ ＝5. 设点P的坐标为(m, 0). 依题意, 得S△PAB＝ PA·OB＝ × ·AB, 即 ×4＝12, 解得m＝0或m＝6, ∴点P的坐标为(0, 0)或(6, 0). 6.如图, 长方形ABCO的顶点A, C在坐标轴上, 且A(0, 8), C(10, 0), 折叠长方形ABCO, 使点B落在边OC的点E上, 求 直线AD的函数解析式. 解：由折叠可知AE＝10. 由勾股定理, 得OE＝6. ∴EC＝4. 设CD＝m, 则DE＝BD＝8－m. 在Rt△DEC中, 42＋m2＝(8－m)2, 解得m＝3.∴D(10, 3). 设直线AD的解析式为y＝kx＋b. 依题意, 得 解得 ∴直线AD的函数解析式为y＝－ x＋8. 7. 如图, 已知A(－4, 0), B(0, 2), C(0, 4), D为x轴上一点, CD 交直线AB于点P, 且AP⊥CD, 求点P的坐标. 解：∵A(－4, 0), B(0, 2), ∴lAB：y＝ x＋2. 依题意, 易得△AOB≌△COD. ∴OD＝OB.∴D(2, 0). ∴lCD：y＝－2x＋4. 由－2x＋4＝ x＋2, 得x＝ . ∴yP＝－2× ＋4＝ . ∴点P的坐标为 . 8.大自然中的音乐与数学有着奇妙的联系. 在某地, 人们发 现某种蟋蟀1 min所叫次数与当地气温之间近似为一种函 数关系. 某学校数学综合与实践小组从函数角度对蟋蟀所 叫次数与气温变化情况进行如下探究： 【观察测量】数学综合与实践小组通过观察测量, 记录蟋 蟀所叫次数与气温变化情况如下表： 温度x/℃ 14 16 20 蟋蟀1 min所叫的次数y/次 77 91 119 【探究发现】①如图, 建立平面直角坐标系, 横轴表示温度 x(℃), 纵轴表示蟋蟀1 min所叫的次数y(次), 描出以表格中 数据为坐标的各点. 解：【探究发现】①描出以表格中数据为坐标的各点如图所示. ②观察上述各点的分布规律, 判断它们是否在同一条直线 上. 如果在同一条直线上, 求出这条直线所对应的函数解 析式；如果不在同一条直线上, 请说明理由. 【结论应用】应用上述发现的规律计算： ①如果蟋蟀1 min叫了98次, 那么该地当时的气温大约为 ℃； ②预测蟋蟀在10 ℃时, 1 min所叫的次数为 次. ②它们在同一条直线上. 设这条直线对应的函数解析式为y＝kx＋b(k≠0). 依题意, 得 解得 ∴y＝7x－21. 当x＝20时, y＝7×20－21＝119, ∴它们在同一条直线y＝7x－21上. 【结论应用】①当y＝98时, 7x－21＝98, 解得x＝17, ∴该地当时的气温大约为17 ℃. 故答案为17. ②当x＝10时, y＝7×10－21＝49, ∴预测蟋蟀在10 ℃时, 1 min所叫的次数为49次. 故答案为49. 9. 综合与实践 【知识背景】学校的项目式学习兴趣小组计划用同种型 号的玻璃瓶制作一组水瓶乐器. 根据物理学中的振动频率 和音调的关系可知, 在敲击玻璃瓶时, 瓶中水位高度不同, 声音的振动快慢(频率)也不同：水位越高, 振动越慢, 音 调越低；水位越低, 振动越快, 音调越高. 【数据记录】兴趣小组成员进行了多次实验, 发现频率f随 水位高度h的变化是均匀的, 并记录了瓶中不同水位高度 对应的振动频率, 经整理得到数据如下表： 通过查阅资料, 列出以下音名与频率对照表(部分), 一种音名代表一个水瓶. 水位高度h/cm 5 10 15 20 25 频率f/Hz 428 398 368 338 308 音名 A4 C4 D4 E4 F4 G4 频率f/Hz 440.0 261.6 293.7 329.6 349.2 392.0 根据以上信息, 解答下列问题： (1)求出该种水瓶乐器的频率f关于水位高度h的函数解析式； (不需写出自变量h取值范围) (2)已知水瓶乐器中的水量是随水位高度均匀变化的：当水 位高度为5 cm时, 所使用的水量为100 ml.若演奏音名A4, 请求出演奏A4时所使用到的水量为多少. 解：(1)由表得频率f与水位高度h之间为一次函数关系. 设频率f关于水位高度h的函数解析式为f＝kh＋b(k≠0). 依题意, 得 解得 ∴频率f关于水位高度h的函数解析式为f＝－6h＋458. (2)依题意, 得当f＝440.0时, －6h＋458＝440.0, 解得h＝3, 即演奏A4所使用到的瓶中水位高度为3 cm. ∵水瓶乐器中的水量是随水位高度均匀变化的, 当水位高度为1 cm时, 所使用的水量为100÷5＝20(ml). ∴演奏A4时所使用到的水量为20×3＝60(ml). 10.如图, 已知A(0, 4), B(－4, 0), D(－2, 0), OM⊥AD于点E, MB⊥OB于点B. (1)求直线AD的解析式； (2)求点E的坐标. 解：(1)设直线AD的解析式为y＝kx＋b. ∴ 解得 ∴y＝2x＋4. (2)由题意, 易得△BOM≌△OAD. ∴BM＝2.∴M(－4, 2). ∴lOM：y＝－ x. 由2x＋4＝－ x, 得x＝－ . ∴yE＝－ × ＝ . ∴点E的坐标为 . 11. 如图1, 在平面直角坐标系中, 正方形OABC 的顶点A在x轴的正半轴上. 如图2, 将正方形OABC绕点O 逆时针旋转, 旋转的角度为α(0°<α<45°), AB交直线y＝ x于点E, BC交y轴于点F. (1)当∠COF为多少度时, OE＝OF？(直接写出结果, 不要 求写解答过程) (2)若点A的坐标为(4, 3), 求FC的长. 解：(1)当OE＝OF时, 在Rt△AOE和Rt△COF中, ∴Rt△AOE≌Rt△COF(HL).∴∠AOE＝∠COF. 由旋转, 得∠AOM＝∠COF, ∴∠AOE＝∠AOM. ∴2∠AOE＝45°. ∴∠COF＝∠AOE＝22.5°. ∴当∠COF为22.5°时, OE＝OF. (2)如图2, 过点A作AM⊥x轴于点M, 则AM＝3, OM＝4. 过点C作CN⊥OF于点N, 过点B作BH⊥MA于点H. ∵四边形OABC是正方形, ∴∠COA＝90°, OC＝OA＝ ＝5. 依题意, 易得△CNO≌△AMO≌△BHA. ∴CN＝AM＝BH＝3, ON＝OM＝AH＝4. ∴C(－3, 4), HM＝AH＋AM＝4＋3＝7, OM－BH＝4－3＝1.∴B(1, 7). 设直线CB的解析式为y＝kx＋b, ∴ 解得 ∴直线CB的解析式为y＝ x＋ . 当x＝0时, y＝ ×0＋ ＝ . ∴F . ∴OF＝ . ∵S△OCF＝ ＝ , ∴FC＝ ＝ ＝ . ∴FC的长为 . 12.综合与实践 实验课题 生活中的数学：古代计时器“漏壶” 问题情境 及过程探索 某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图1所示的液体漏壶, 该漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的, 中间连通, 液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中, 实验开始时圆柱容器中已有一部分液体 　　　 实验数据 下表是实验记录的圆柱容器液面高度y(cm)与时间x(h)的数据：   时间x/h 1 2 3 4 5 圆柱容器液面高度y/cm 6 10 14 18 22 根据上述的实践活动, 解答以下问题： (1)【探索发现】请你根据表中的数据在图2中描点、连线, 用所学过的一次函数的知识确定y与x之间的函数解析式. (2)【结论应用】如果本次实验记录的开始时间是上午 7：00, 那么当圆柱容器液面高度达到16 cm时是几点？ 解：(1)描出各点, 并连线, 如图2所示. 由图象可知该函数是一次函数, 设该函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0). ∵点(1, 6), (2, 10)在该函数图象上, ∴ 解得 ∴y与x之间的函数解析式为y＝4x＋2. (2)当y＝16时, 4x＋2＝16, 解得x＝3.5,7＋3.5＝10.5. 答：当圆柱容器液面高度达到16 cm时是10：30. 2.【概念学习】 对于平面直角坐标系xOy中的图形T和图形W, 给出如下 定义：M, N分别为图形T和图形W上任意一点, 将M, N 两点间距离的最小值称为图形T和图形W之间的“关联 距离”, 记作d(T, W).例如, 如图1, 点P(1, 2)与x轴之间的 “关联距离”d(P, x轴)＝2. 【理解概念】 (1)如图2, 已知点P(1, 2)在边长为3的正方 形OABC内, 则d(P, 正方形OABC)＝ . 1 【深入探索】 (2)如图3, 在等边△ABC中, 点A的坐标是(0, 3), 点B, C在x 轴上, Q是y轴上一点. 如果d(Q, △ABC)＝1, 求点Q的坐 标. 【拓展延伸】 (3)已知D(m, －2), E(m＋2, －4), 当－5≤m≤2时, 对于每一 个m, 若线段DE和一次函数y＝kx－k(k是常数, k≠0)的图 象之间的“关联距离”d(DE, 直线y＝kx－k)>0, 则k的取 值范围是 . 解：(2)当点Q在点A上方时, ∵d(Q, △ABC)＝1, ∴AQ＝1. ∵点A的坐标是(0, 3), ∴点Q的坐标是(0, 4)； 当点Q在线段OA上时, 如答图1, 过点Q作QH⊥AC于点H. ∵d(Q, △ABC)＝1, ∴QH＝1, OQ≥1. ∵△ABC是等边三角形, OA⊥BC, ∴∠QAH＝30°.∴AQ＝2QH＝2. ∵点A的坐标是(0, 3), ∴OQ＝1, 符合题意. ∴Q(0, 1)； 当点Q在BC下方时, ∵d(Q, △ABC)＝1, ∴OQ＝1.∴Q(0, －1). 综上所述, 点Q的坐标为(0, 4)或(0, 1)或(0, －1). (3)如答图2所示, 当x＝1时, y＝0, ∴直线y＝kx－k过定点(1, 0). 当m＝－5时, D(－5, －2), E(－3, －4)； 当m＝2时, D′(2, －2), E′(4, －4), 把D(－5, －2)代入y＝kx－k, 得－5k－k＝－2, 解得k＝ , 把E′(4, －4)代入y＝kx－k, 得4k－k＝－4, 解得k＝－ . ∵线段DE和一次函数y＝kx－k(k是常数, k≠0)的图象之间的“关联距离”d(DE, 直线y＝kx－k)>0, ∴直线y＝kx－k与平行四边形DEE′D′无公共点. 由图可知, 此时－ <k< 且k≠0. 故答案为－ <k< 且k≠0. $