专题03 命题与证明6重难点题型（专项训练）数学新教材沪教版五四制七年级下册

专题03 命题与证明 目录 A题型建模・专项突破 题型一、判断是否是命题 1 题型二、写出命题的题设与结论 1 题型三、判断命题真假 2 题型四、命题的逆命题 2 题型五、根据给出的论断组命题并证明 3 题型六、用反证法证明命题 5 B综合攻坚・能力跃升 题型一、判断是否是命题 1．（24-25七年级下·上海·月考）下列是命题的是（    ） A．作两条相交直线 B．和相等吗？ C．对顶角相等 D．若，求a的值 2．（24-25七年级下·上海闵行·月考）列语句中，是命题的是（    ） A．连接A、B两点 B．画一条线段等于已知线段 C．过点M画直线的垂线 D．同旁内角不互补，两直线不平行 3．下列语句不是命题的是（   ） A．两条直线相交有且只有一个交点 B．两点之间线段最短 C．延长AB到D，使 D．等角的补角相等 4．“若，则，”_____命题（选填“是”或“不是”）． 题型二、写出命题的题设与结论 5．（24-25七年级下·上海·期末）将“同角的补角相等”改写成“如果...那么....”的形式：_______． 6．（24-25七年级下·上海金山·期末）将命题“在三角形中，大边对大角”改写成“如果……，那么……”的形式是________． 7．把命题“同旁内角互补，两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式为：如果___________，那么_____________． 题型三、判断命题真假 8．（24-25七年级下·上海·期末）下列命题中，真命题是（ ） A．真命题的逆命题一定是真命题 B．两边分别平行的两个角相等 C．等角的余角相等 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 9．（24-25七年级下·上海·月考）对于以下两个命题，判断正确的是（   ） ①在中，如果，那么；②在中，如果，且，那么是锐角三角形 A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①是真命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 10．（22-23七年级下·上海·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．经过一点一定有一条直线与已知直线平行 B．如果两条直线被第三条直线所截，那么截得的同旁内角互补 C．三角形的三条高交于一点 D．在三角形的三个外角中至少有两个钝角 11．（24-25七年级下·上海普陀·期中）下列命题中是假命题的是（    ） A．点到直线的距离是非负的 B．同一平面内不相交的两条线段叫作平行线 C．经过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行 D．如果两条平行线被第三条直线所截，那么同位角相等 题型四、命题的逆命题 12．（24-25七年级下·上海松江·期末）下列各命题的逆命题成立的是（    ） A．直角都相等 B．如果，那么 C．对顶角相等 D．两直线平行，同旁内角互补 13．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 14．（24-25七年级下·上海·期中）命题“等边三角形有三条对称轴”的逆命题是_______（用“如果…那么…”的形式写出）． 15．（24-25七年级下·上海·期中）命题“互余的两个角都是锐角”的逆命题是___________．（用“如果…那么…”的形式写出）． 题型五、根据给出的论断组命题并证明 16．（24-25七年级下·上海闵行·期末）如图，直线与直线分别相交于点． 请你从①；②；③中选择其中两个作为已知条件，剩下的一个作为结论，组成一个真命题，并进行证明． 你选择作为已知条件的是：_______，作为结论的是_______．（填序号） 证明： 17．如图，直线a，b，c被直线m，n所截，有下列命题： ①；②；③． 从①②③中选出两个作为条件，第三个作为结论，写出一个真命题，并说明理由． 18．已知：如图，在中，D，E是边上的两点，G是边上的一点，连接并延长，交的延长线于点F．从以下三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明：①平分；②；③． 条件：_______，结论：_______．（填序号） 证明： 19．如图，现有以下3个论断：①；②；③．请以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题．    (1)请写出所有的真命题； (2)请选择其中一个命题加以证明． 题型六、用反证法证明命题 20．（25-26七年级下·上海·月考）用反证法证明．如图，已知：直线a、b被直线c所截，，求证：a与b不平行． 证明：假设____________，则根据____________，可得．这与____________矛盾，故假设不成立，a与b不平行． 21．（24-25七年级下·上海松江·月考）用反证法证明：已知，，是平面内3条不同的直线，如果，，那么． 证明：假设 ，那么它们相交于一点． 因为，，过点的两条直线、都与直线垂直．这与基本事实“ ”矛盾，故假设不成立．所以． 22．（24-25七年级下·上海普陀·期末）用反证法证明：在三角形中，大角对大边． 如图，已知：在中，． 求证：． 证明：假设， ________（___________）． 假设________， ________（___________）． （完成以下说理过程） 一、单选题 1．下列语句中．不是命题的是（    ） A．内错角相等，两直线平行 B．对顶角相等 C．如果一个数能被2整除．那么它也能被4整除 D．画一条线段 2．下列说法正确的是（　　） A．命题一定有逆命题 B．真命题一定是定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题 3．关于命题“若，，则”，下列判断正确的是（   ） A．该命题及其逆命题都是真命题 B．该命题是真命题，其逆命题是假命题 C．该命题是假命题，其逆命题是真命题 D．该命题及其逆命题都是假命题 4．对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（    ） A． B．， C．， D． 5．若用反证法证明命题“在中，若，则”，则应假设（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．“和为钝角的两个角都是锐角”是_________（填写“真”或“假”）命题． 7．命题：“如果，那么”的逆命题是______．（填“真命题”或“假命题”） 8．判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中值可以是______． 9．“对顶角相等”请写出该命题的逆命题____________________． 10．“两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行”这是一个______命题．（填“真”、“假”） 11．对于命题“若，则”，下面四组a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是___________．（填序号） ①；    ②； ③；  ④． 三、解答题 12．命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果，那么”的形式：________； (2)请写出“已知”和“求证”，并证明过程． 13．判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命题的真假： (1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点； (2)如果，那么； (3)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零； (4)如果，那么，． 14． 如图，在三角形中，点D在边的延长线上，射线在的内部．给出下列信息：①；②平分；③．请选择其中的两条信息作为条件，剩下的一条信息作为结论组成一个命题．试判断这个命题是否正确，并说明理由． 15．如图，有下列三个条件：①DE//BC；②；③． (1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来； (2)你所写出的命题都是真命题吗？若是，请你就其中的一个真命题给出推理过程；若不是，请你对其中的假命题举出一个反例（温馨提示：） 16．如图，在三角形中，，是上的点，是上一点，，是上的点，．连接，，．有下列三个条件：①；②；③． (1)请从三个条件中任选两个与题干结合作为题设，另一个作为结论．写出所有命题，并判断这些命题是真命题还是假命题； (2)请你选择（1）中的一个真命题进行证明． 17．如图，已知点、分别在、上，连接、交于点、．有以下三个论断：①；②，③． (1)请你从中任选两个作为题设，另一个作为结论，写出所有的命题，并指出这些命题是真命题还是假命题； (2)选择（1）中的一个真命题加以证明． 18．探究：如图①，②，与，与交于点，这两个角的两边分别平行，即． (1)分别猜想图①，图②中与的大小关系，并给予证明； (2)一般地，本题“探究”的命题是真命题，请把这个命题写成“如果……，那么……”的形式． 19．如图，有三个论断： ① ； ② ； ③． (1)请你从中任选两个作为题设，另一个作为结论，写出所有的命题，并指出这些命题是真命题还是假命题； (2)选择（）中的一个真命题加以证明． 20．在学习了平行线的性质后，老师请同学们证明命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直． 小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件． 已知：如图1，，直线分别交于点E，F．的角平分线与的角平分线交于点G． (1)直线有何位置关系？直接写出结论 ． (2)在图1的基础上，分别作的角平分线与的角平分线交于点M，得到图2，求的度数． (3)如图3，，直线分别交于点E，F，点O在直线之间，且在直线右侧，的角平分线与的角平分线交于点P，请直接写出与满足的数量关系 ． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 命题与证明 目录 A题型建模・专项突破 题型一、判断是否是命题 1 题型二、写出命题的题设与结论 2 题型三、判断命题真假 2 题型四、命题的逆命题 4 题型五、根据给出的论断组命题并证明 5 题型六、用反证法证明命题 8 B综合攻坚・能力跃升 题型一、判断是否是命题 1．（24-25七年级下·上海·月考）下列是命题的是（    ） A．作两条相交直线 B．和相等吗？ C．对顶角相等 D．若，求a的值 【答案】C 【详解】解：A、“作两条相交直线”为描述性语言，它不是命题，所以A选项不符合题意； B、“和相等吗？”为疑问句，它不是命题，所以B选项不符合题意； C、对顶角相等，它是命题，所以C选项符合题意； D、“若，求的值”为描述性语言，它不是命题，所以D选项不符合题意． 故选：C． 2．（24-25七年级下·上海闵行·月考）列语句中，是命题的是（    ） A．连接A、B两点 B．画一条线段等于已知线段 C．过点M画直线的垂线 D．同旁内角不互补，两直线不平行 【答案】D 【详解】解：A、连接A、B两点，不是命题，故A不符合题意； B、画一条线段等于已知线段，不是命题，故B不符合题意； C、过点M作直线的垂线，不是命题，故C不符合题意； D、同旁内角不互补，两直线不平行，是命题，故D符合题意； 故选：D. 3．下列语句不是命题的是（   ） A．两条直线相交有且只有一个交点 B．两点之间线段最短 C．延长AB到D，使 D．等角的补角相等 【答案】C 【详解】解：A、两条直线相交有且只有一个交点，可以判断是真的陈述句，是命题，不符合题意； B、两点之间线段最短，可以判断是真的陈述句，是命题，不符合题意； C、延长到D，使，不可以判断真假，不是命题，符合题意； D、等角的补角相等，可以判断是真的陈述句，是命题，不符合题意． 故选：C 4．“若，则，”_____命题（选填“是”或“不是”）． 【答案】是 【详解】若，则，是一个命题. 故答案为：是． 题型二、写出命题的题设与结论 5．（24-25七年级下·上海·期末）将“同角的补角相等”改写成“如果...那么....”的形式：_______． 【答案】如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等 【详解】解：把命题“同角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式为： 如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等； 故答案为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等． 6．（24-25七年级下·上海金山·期末）将命题“在三角形中，大边对大角”改写成“如果……，那么……”的形式是________． 【答案】如果一个三角形中一边大于另一边，那么该边所对的角大于另一边所对的角 【详解】解：如果一个三角形中一边大于另一边，那么该边所对的角大于另一边所对的角 故答案为：如果一个三角形中一边大于另一边，那么该边所对的角大于另一边所对的角． 7．把命题“同旁内角互补，两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式为：如果___________，那么_____________． 【答案】 同旁内角互补 两直线平行 【详解】解：依题意，把命题“同旁内角互补，两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式为：如果同旁内角互补，那么两直线平行， 故答案为：同旁内角互补，两直线平行 题型三、判断命题真假 8．（24-25七年级下·上海·期末）下列命题中，真命题是（ ） A．真命题的逆命题一定是真命题 B．两边分别平行的两个角相等 C．等角的余角相等 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】C 【详解】解：A. 真命题的逆命题不一定是真命题，故该选项不符合题意； B. 两边分别平行的两个角相等或互补，原命题是假命题，故该选项不符合题意； C. 等角的余角相等，故该选项符合题意； D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故该选项不符合题意； 故选：C． 9．（24-25七年级下·上海·月考）对于以下两个命题，判断正确的是（   ） ①在中，如果，那么；②在中，如果，且，那么是锐角三角形 A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①是真命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 【答案】C 【详解】命题①正确，因为边长顺序决定对应角的大小顺序． 命题②正确，因为最大角为锐角且其他角必然更小，三角形为锐角三角形． 故选：C 10．（22-23七年级下·上海·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．经过一点一定有一条直线与已知直线平行 B．如果两条直线被第三条直线所截，那么截得的同旁内角互补 C．三角形的三条高交于一点 D．在三角形的三个外角中至少有两个钝角 【答案】D 【详解】解：A选项错误.平行公理指出：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，若该点在直线上，则无法作平行线，故A不成立. B选项错误．只有当两条直线平行时，被第三条直线所截的同旁内角才互补.若两直线不平行，同旁内角不满足互补关系，故B缺少前提条件． C选项错误．三角形的三条高所在的直线交于一点（垂心），但高作为线段，在钝角三角形中三条高线段不会在形内相交，故C表述不严谨，应为三条高所在直线交于一点． D选项正确．三角形至少有两个内角为锐角，其对应的外角为钝角，因此三个外角中至少有两个钝角，故D为真命题． 故选：D． 11．（24-25七年级下·上海普陀·期中）下列命题中是假命题的是（    ） A．点到直线的距离是非负的 B．同一平面内不相交的两条线段叫作平行线 C．经过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行 D．如果两条平行线被第三条直线所截，那么同位角相等 【答案】B B、同一平面内不相交的两条直线叫作平行线，故本选项命题是假命题，符合题意； C、经过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行，是真命题，不符合题意； D、如果两条平行线被第三条直线所截，那么同位角相等，是真命题，不符合题意； 故选：B． 题型四、命题的逆命题 12．（24-25七年级下·上海松江·期末）下列各命题的逆命题成立的是（    ） A．直角都相等 B．如果，那么 C．对顶角相等 D．两直线平行，同旁内角互补 【答案】D 【详解】解：A、逆命题为：相等的角都是直角，该逆命题不成立，故不符合题意； B、逆命题为：如果，那么，该逆命题不成立，故不符合题意； C、逆命题为：相等的角都是对顶角，该逆命题不成立，故不符合题意； D、逆命题为：同旁内角互补，两直线平行，该逆命题成立，故符合题意； 故选：D． 13．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】解：A. 原命题的逆命题是：若，则，是真命题； B. 原命题的逆命题是：若，则，是真命题； C. 原命题的逆命题是：若，则，是假命题； D. 原命题的逆命题是：若，则，是真命题； 故选：C 14．（24-25七年级下·上海·期中）命题“等边三角形有三条对称轴”的逆命题是_______（用“如果…那么…”的形式写出）． 【答案】如果三角形有三条对称轴，那么这个三角形是等边三角形 【详解】解：命题“等边三角形有三条对称轴”的逆命题是“如果三角形有三条对称轴，那么这个三角形是等边三角形”． 故答案为：如果三角形有三条对称轴，那么这个三角形是等边三角形． 15．（24-25七年级下·上海·期中）命题“互余的两个角都是锐角”的逆命题是___________．（用“如果…那么…”的形式写出）． 【答案】如果两个角都是锐角，那么这两个角互余 【详解】解：命题“互余的两个角都是锐角”的逆命题是“如果两个角都是锐角，那么这两个角互余”． 故答案为：如果两个角都是锐角，那么这两个角互余． 题型五、根据给出的论断组命题并证明 16．（24-25七年级下·上海闵行·期末）如图，直线与直线分别相交于点． 请你从①；②；③中选择其中两个作为已知条件，剩下的一个作为结论，组成一个真命题，并进行证明． 你选择作为已知条件的是：_______，作为结论的是_______．（填序号） 证明： 【答案】①②，③，证明见解析 【详解】解：你选择作为已知条件的是：①②，作为结论的是：③． 证明：，， ， （同位角相等，两直线平行）， 故答案为：①②，③． 17．如图，直线a，b，c被直线m，n所截，有下列命题： ①；②；③． 从①②③中选出两个作为条件，第三个作为结论，写出一个真命题，并说明理由． 【详解】从题干中选出其中的两个作为条件，第三个作为结论，可以构造出3个命题，分别为：①②⇒③；②③⇒①；①③⇒②．以上3个命题都是真命题， ①②⇒③， ， ， ， ， ， ； ②③⇒①， ， ， ， ， ， ； ①③⇒②， ， ， ， ， ， ． 18．已知：如图，在中，D，E是边上的两点，G是边上的一点，连接并延长，交的延长线于点F．从以下三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明：①平分；②；③． 条件：_______，结论：_______．（填序号） 证明： 【详解】解：当条件是①平分，②；结论是③时： 证明：平分， ． ， ，． ； 当条件是①③，结论是②时： 证明：平分， ． ∵， ∴， ∴， ∴； 当条件是②③，结论是①时： ， ，． ， ， ∴平分． 19．如图，现有以下3个论断：①；②；③．请以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题．    (1)请写出所有的真命题； (2)请选择其中一个命题加以证明． 【详解】（1）解：命题1：由①②得到③； 命题2：由①③得到②； 命题3：由②③得到①； （2）命题1证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 命题2证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 命题3证明如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型六、用反证法证明命题 20．（25-26七年级下·上海·月考）用反证法证明．如图，已知：直线a、b被直线c所截，，求证：a与b不平行． 证明：假设____________，则根据____________，可得．这与____________矛盾，故假设不成立，a与b不平行． 【答案】；两直线平行，内错角相等； 【详解】证明：假设，则根据两直线平行，内错角相等， 可得． 这与矛盾，故假设不成立，a与b不平行． 21．（24-25七年级下·上海松江·月考）用反证法证明：已知，，是平面内3条不同的直线，如果，，那么． 证明：假设 ，那么它们相交于一点． 因为，，过点的两条直线、都与直线垂直．这与基本事实“ ”矛盾，故假设不成立．所以． 【答案】与不平行；同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【详解】证明：假设与不平行，那么它们相交于一点． ，，过点的两条直线、都与直线垂直． 这与基本事实“同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾， 故假设不成立． 所以． 故答案为：与不平行；同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 22．（24-25七年级下·上海普陀·期末）用反证法证明：在三角形中，大角对大边． 如图，已知：在中，． 求证：． 证明：假设， ________（___________）． 假设________， ________（___________）． （完成以下说理过程） 【详解】证明：假设， （等边对等角）． 假设， （大边对大角）． 上述无论哪种情况，都与已知矛盾，所以假设不成立． ． 一、单选题 1．下列语句中．不是命题的是（    ） A．内错角相等，两直线平行 B．对顶角相等 C．如果一个数能被2整除．那么它也能被4整除 D．画一条线段 【答案】D 【分析】根据命题的定义，句子可以改写成“如果……那么……”形式，则为命题，如果不能就不是． 【详解】解：A．内错角相等，两直线平行，改写成：如果两条直线被第三条直线所截所成的角中，内错角相等，那么这两条直线平行，是命题，故此选项不符合题意； B．对顶角相等，改写成：如果两个角是对顶角，那么这两角相等，是命题，故此选项不符合题意； C．如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除，是命题，故此选项不符合题意； D．画—条线段，无法改写，不是命题，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果……那么……”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．正确理解命题的定义是解题的关键． 2．下列说法正确的是（　　） A．命题一定有逆命题 B．真命题一定是定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题 【答案】A 【分析】本题考查命题与定理、命题的真假判断、逆命题的概念，解题的关键是掌握：两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题；定理是通过逻辑推理证明为真的命题或公式．据此判断即可． 【详解】解：A．命题一定有逆命题，故此选项符合题意； B．真命题不一定是定理，故此选项不符合题意； C．真命题的逆命题不一定是真命题，故此选项不符合题意； D．假命题的逆命题不一定是假命题，故此选项不符合题意． 故选：A． 3．关于命题“若，，则”，下列判断正确的是（   ） A．该命题及其逆命题都是真命题 B．该命题是真命题，其逆命题是假命题 C．该命题是假命题，其逆命题是真命题 D．该命题及其逆命题都是假命题 【答案】B 【分析】本题考查了命题与定理、逆命题，先判断出原命题的真假，再写出逆命题，再判断真假即可得解． 【详解】解：“若，，则”是真命题，它的逆命题是“若，则，”是假命题， 故选：B． 4．对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（    ） A． B．， C．， D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了假命题，熟练掌握假命题是解题的关键．要说明命题“如果，那么”是假命题，需找到满足条件但结论不成立的例子。 【详解】解：，和为且两角相等，满足命题结论，不能作为反例，故选项A不符合题意； ，，和为，但两角不相等，满足条件且结论不成立，故选项B符合题意； ，，和为，不满足条件，无法作为反例，故选项C不符合题意； ，不满足条件，无法作为反例，故选项D不符合题意； 故选B． 5．若用反证法证明命题“在中，若，则”，则应假设（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．根据反证法的一般步骤解答即可． 【详解】解：用反证法证明命题“在中，若，则”， 第一步应是假设， 故选：A． 二、填空题 6．“和为钝角的两个角都是锐角”是_________（填写“真”或“假”）命题． 【答案】假 【分析】本题考查的是命题与定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 根据锐角、钝角的概念判断即可． 【详解】解：，即与的和是，而、都是钝角， ∴“和为钝角的两个角都是锐角”是假命题， 故答案为：假． 7．命题：“如果，那么”的逆命题是______．（填“真命题”或“假命题”） 【答案】假命题 【分析】本题主要考查了逆命题的概念，真假命题的概念，理解命题的相关概念是解决此题的关键；先根据题意交换题设和结论得到逆命题，再根据绝对值的概念得到结果即可； 【详解】解：由题意可知：逆命题为如果，那么， 绝对值相等的两个数，有可能相等也有可能互为相反数，故逆命题为假命题； 故答案为：假命题. 8．判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中值可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了举反例判断假命题，只要从符合中找出一个数，能使不成立，就可以说明此命题是假命题，所以准确从条件，结论两个角度去判断解题是解题的关键．只要从满足条件的数中找到一个数，使结论不成立，就可以说明命题是假命题． 【详解】解：当时，符合条件， 但，与矛盾， ∴命题“如果，那么”是假命题． 故答案为：（答案不唯一）． 9．“对顶角相等”请写出该命题的逆命题____________________． 【答案】相等的角是对顶角 【分析】本题主要考命题及逆命题的理解及运用能力． 将原命题的条件及结论进行交换即可得到其逆命题． 【详解】解：∵原命题的条件是：如果两个角是对顶角，结论是：那么这两个角相等； ∴其逆命题应该为：如两个角相等那么这两个角是对顶角， 简化后即为：相等的角是对顶角． 故答案为：相等的角是对顶角． 10．“两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行”这是一个______命题．（填“真”、“假”） 【答案】假 【分析】本题考查了真、假命题，平行线的判定和性质，角平分线的定义，根据题意画出图形推导即可判断求解，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，直线被直线所截，交点分别为，平分，平分， ∴，， 当时，， 则， 此时； 当与不平行时，， 则， 此时和不平行； ∴“两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行”是假命题， 故答案为：假． 11．对于命题“若，则”，下面四组a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是___________．（填序号） ①；    ②； ③；  ④． 【答案】② 【分析】本题考查了举例说明假（真）命题，将四组a，b的值代入命题进行验证即可求解． 【详解】解：①，满足，，不能说明命题是假命题．   ②，满足，但不满足，能说明命题是假命题． ③，满足，，不能说明命题是假命题． ④，不满足，不能说明命题是假命题． 故答案为：②． 三、解答题 12．命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果，那么”的形式：________； (2)请写出“已知”和“求证”，并证明过程． 【答案】(1)在同一平面内，如果两条直线都和同一条直线垂直，那么这两条直线互相平行； (2)证明见解析． 【分析】（）根据命题是由两部分组成的， 如果后边跟的是条件， 那么后边跟的是结论，在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，这个命题的条件是“两条直线都和同一条直线垂直”，结论是“这两条直线平行”； （）先把原命题用几何语言表达出来，再根据同位角相等两直线平行进行证明即可； 本题主要考查了命题的定义的理解、平行线的判定，解题的关键是掌握知识点的应用． 【详解】（1）解：在同一平面内，如果两条直线都和同一条直线垂直，那么这两条直线互相平行， 故答案为：在同一平面内，如果两条直线都和同一条直线垂直，那么这两条直线互相平行； （2）已知：如图，，， 求证：； 证明：∵，， ∴，， ∴， ∴． 13．判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命题的真假： (1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点； (2)如果，那么； (3)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零； (4)如果，那么，． 【答案】(1)原命题是真命题．逆命题：如果两条直线只有一个交点，那么它们相交．逆命题是真命题． (2)原命题是假命题．逆命题：如果，那么．逆命题是假命题． (3)原命题是真命题．逆命题：如果两个数的和为零，那么这两个数互为相反数．逆命题是真命题． (4)原命题是假命题．逆命题：如果，那么．逆命题是真命题． 【分析】本题考查了逆命题，命题真假的判断，熟练掌握命题是解题的关键． （1）（2）（3）（4）先判断原命题的真假，再写出逆命题，再判断命题的真假； 【详解】（1）解：∵如果两条直线相交，那么它们只有一个交点； ∴原命题是真命题； 逆命题为：如果两条直线只有一个交点，那么它们相交．逆命题是真命题； （2）解：∵，，满足，但不满足； ∴如果，那么，这是假命题，故原命题是假命题； 其逆命题为：如果，那么，这是假命题， 例如：，，满足，但不满足； （3）解：∵相反数的和为零， ∴原命题是真命题； 逆命题为：如果两个数的和为零，那么这两个数互为相反数．逆命题是真命题； （4）解：∵当时，或． ∴原命题是假命题； 逆命题为：如果，那么．逆命题是真命题． 14． 如图，在三角形中，点D在边的延长线上，射线在的内部．给出下列信息：①；②平分；③．请选择其中的两条信息作为条件，剩下的一条信息作为结论组成一个命题．试判断这个命题是否正确，并说明理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，三角形的外角定理，角平分线的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．利用平行线的性质与判定，三角形的外角定理，角平分线的定义即可证明三种情况． 【详解】解：选择①②作为条件，③作为结论，该命题正确．理由如下： ， ． 平分， ， ； 选择②③作为条件，①作为结论，该命题正确．理由如下： ∵平分， ， ∵，， ∴， ∴； 选择①③作为条件，②作为结论，该命题正确．理由如下： ∵， ， ∵， ， ∴平分． 15．如图，有下列三个条件：①DE//BC；②；③． (1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来； (2)你所写出的命题都是真命题吗？若是，请你就其中的一个真命题给出推理过程；若不是，请你对其中的假命题举出一个反例（温馨提示：） 【答案】(1)一共能组成三个命题，见解析 (2)都是真命题，推理见解析 【分析】（1）（1）根据两条件一结论组成命题，可得答案； （2）根据平行线的性质，可判定①②，根据平行线的判定，可判定③，即可 【详解】（1）解：一共能组成三个命题： ①如果DE//BC，，那么； ②如果DE//BC，，那么； ③如果，，那么DE//BC ； （2）解：都是真命题， 如果DE//BC，，那么， 理由如下：∵DE//BC， ∴， ∵， ∴． 如果DE//BC，，那么； 理由如下：∵DE//BC， ∴，， ∵， ∴； 如果，，那么DE//BC ； 理由如下：∵， ∴∠B+∠C=180°-∠BAC， ∵∠1+∠2+∠BAC=180°， ∴∠1+∠2=180°-∠BAC， ∴∠B+∠C=∠1+∠2， ∵，， ∴∠B=∠1， ∴DE//BC ． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，判断命题的真假，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 16．如图，在三角形中，，是上的点，是上一点，，是上的点，．连接，，．有下列三个条件：①；②；③． (1)请从三个条件中任选两个与题干结合作为题设，另一个作为结论．写出所有命题，并判断这些命题是真命题还是假命题； (2)请你选择（1）中的一个真命题进行证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行线的性质和判定，垂直的定义； （1）根据题意写出命题，并判断真假即可； （2）选择命题一：先根据垂直得到，即可得到，然后根据角的和差解题即可；选择命题二：延长、交于点，根据垂直可得，然后根据，得到，然后根据等量代换的到，即可得到，证明结论；选择命题三：延长、交于点，可以得到，即可得到，然后推导，即可得到平行． 【详解】（1）命题一：已知， 若，，则；真命题． 命题二：已知， 若，，则；真命题． 命题三：已知， 若，，则；真命题． （2）选择命题一． 证明：，， ， ， ． 又， ， ， ． 选择命题二：延长、交于点， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 选择命题三：延长、交于点， ，， ， ， ∴， 又∵， ∴， ∴． 17．如图，已知点、分别在、上，连接、交于点、．有以下三个论断：①；②，③． (1)请你从中任选两个作为题设，另一个作为结论，写出所有的命题，并指出这些命题是真命题还是假命题； (2)选择（1）中的一个真命题加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了判断命题真假，平行线的性质与判定： （1）任选两个条件作为题设，另外一个条件作为结论写出对应的命题，再判断真假即可； （2）根据（1）所求结合平行线的性质与判定条件证明即可． 【详解】（1）解：选择①②为题设，③为结论，命题为：若，，则，该命题是真命题； 选择①③为题设，②为结论，命题为：若，，则，该命题是真命题； 选择②③为题设，①为结论，命题为：若，，则，该命题是真命题； （2）证明：选择①②为题设，③为结论， ，， ， ， ， ， ， ； 选择①③为题设，②为结论， ，， ， ， ， ∴， ， ； 选择②③为题设，①为结论， ， ， ， ， ， ， 又， ． 18．探究：如图①，②，与，与交于点，这两个角的两边分别平行，即． (1)分别猜想图①，图②中与的大小关系，并给予证明； (2)一般地，本题“探究”的命题是真命题，请把这个命题写成“如果……，那么……”的形式． 【答案】(1)图①：，图②：，见解析 (2)如果一个角的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等或互补 【分析】本题主要考查平行线的性质、命题与证明，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）如图①根据平行线的性质得出，可得；如图②根据平行线的性质得出，可得； （2）根据（1）可推出，如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补． 【详解】（1）关系是：图①：，图②：， 如图①∵， ∴ ∵， ∴ ∴ 如图②∵， ∴ ∵， ∴ ∴． （2）命题：如果一个角的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等或互补． 19．如图，有三个论断： ① ； ② ； ③． (1)请你从中任选两个作为题设，另一个作为结论，写出所有的命题，并指出这些命题是真命题还是假命题； (2)选择（）中的一个真命题加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了判断命题真假，平行线的性质与判定： （1）任选两个条件作为题设，另外一个条件作为结论写出对应的明天，再判断真假即可； （2）根据（1）所求结合平行线的性质与判定条件证明即可． 【详解】（1）解：选择①②为题设，③为结论，命题为：若，，则，该命题是真命题； 选择①③为题设，②为结论，命题为：若，，则，该命题是真命题； 选择②③为题设，①为结论，命题为：若，，则，该命题是真命题； （2）证明：选择①②为题设，③为结论， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 选择①③为题设，②为结论， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 选择②③为题设，①为结论 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 20．在学习了平行线的性质后，老师请同学们证明命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直． 小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件． 已知：如图1，，直线分别交于点E，F．的角平分线与的角平分线交于点G． (1)直线有何位置关系？直接写出结论 ． (2)在图1的基础上，分别作的角平分线与的角平分线交于点M，得到图2，求的度数． (3)如图3，，直线分别交于点E，F，点O在直线之间，且在直线右侧，的角平分线与的角平分线交于点P，请直接写出与满足的数量关系 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质定理是解题的关键 ． （1）由平行线的性质推出，由角平分线定义得到，由三角形内角和定理求出，推出； （2）过M作，得到，由平行线的性质推得到，同理，由角平分线定义得到，即可求出； （3）由角平分线定义得到，而，得到． 【详解】（1）解：（1）如图1，直线，理由如下： ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图2，过M作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∵平分，平分， ∴， ∴， 由（1）知， ∴； （3）解：，理由如下： ∵平分，平分， ∴， ∴， 由（2）的证明可得：， ∴． 故答案为：． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $