专题02 平行线12重难点题型（专项训练）数学新教材沪教版五四制七年级下册

专题02 平行线 目录 A题型建模・专项突破 题型一、平行公理的应用 1 题型二、反证法证明中的假设 1 题型三、同位角、内错角、同旁内角 2 题型四、同位角相等两直线平行 3 题型五、两直线平行同位角相等 4 题型六、内错角相等两直线平行 5 题型七、两直线平行内错角相等 6 题型八、同旁内角互补两直线平行 6 题型九、两直线平行同旁内角互补 7 题型十、平行线的性质在生活中的应用 7 题型十一、平行线的性质应用 8 题型十二、平行线判定与性质综合应用 10 B综合攻坚・能力跃升 题型一、平行公理的应用 1．已知，是平面内任一点，过点画一条直线与平行，则这样的直线（    ） A．有且仅有一条 B．有两条 C．不存在 D．有一条或不存在 2．（24-25七年级下·上海青浦·期中）已知直线a、b、c在同一平面内，如果，，那么直线a、b的位置关系是______． 3．如图是一个可折叠衣架，是地平线，当，时，就可以确定点、、在同一直线上，这样判定的依据是____________． 题型二、反证法证明中的假设 4．（24-25七年级下·上海·期中）反证法是初中数学中的一种证明方法，在中国古代数学发展的过程中起到了促进作用，比如墨子谈到“学之益也，说在诽者”，是通过证明“学习无益”的命题为假，以此才说明“学习有益”的命题为真，这就是反证法的例子．若我们用反证法证明命题“已知：在中，，求证：”时，应假设（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·上海·期末）牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：如图，“已知：在同一平面内，，求证：与不平行”时，应先应假设_________． 6．（24-25七年级下·上海青浦·期末）用反证法证明“已知：在中，，求证：”时，应先假设（　　） A． B． C． D． 题型三、同位角、内错角、同旁内角 7．（24-25七年级下·上海闵行·月考）如图所示，下列说法正确的是（   ） A．与是同位角 B．与是内错角 C．与是同位角 D．与是同旁内角 8．（24-25七年级下·上海·期中）如图，数学课上老师用双手形象地表示了“两条直线被第三条直线所截”图形（两大拇指代表被截直线，两食指代表截线，被截直线和截线都在同一平面上），那么这个图形表示的是（　　） A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角 9．（24-25七年级下·上海静安·月考）如图，的同位角是______；的内错角是______；的同旁内角是______．（每空各填一个符合要求的角） 10．（24-25七年级下·上海·期中）如图，与是___________角，与是___________角．（填“同位角”、“内错角”或“同旁内角”） 11．（24-25七年级下·上海崇明·月考）如图，与是直线______和直线_______被直线______所截而得到的______角．    题型四、同位角相等两直线平行 12．（24-25七年级下·上海·月考）如图，已知点A、、和点、、分别在同一直线上，，那么____________． 13．（24-25七年级下·上海·月考）如图，已知，请完成下面的填空． 解：因为（____________） 又因为（已知） 所以______（______） 所以____________（______，两直线平行） 14．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图所示，已知，垂足为B，，垂足为D，．试说明直线与平行． 解，（已知）， ，（____________）， 即、 又（____________）， _____=____________， （____________）． 15．（24-25七年级下·上海闵行·月考）如图，直线分别交直线，于点，．，且．求证：． 补充完成下列证明，并填上推理依据． 证明∵（已知），（　　　）， ∴（　　　）． ∵（已知）， ∴（　　　） ∴（　　　） 题型五、两直线平行同位角相等 16．（25-26七年级下·上海·月考）如图，平分，，且，则____°． 17．（24-25七年级下·上海松江·期中）如图，已知：的两边与的两边分别平行，即，，与AC相交于点G．求证：． 题型六、内错角相等两直线平行 18．如图，以下四个结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则，其中正确的结论是__________（填序号）． 19．如图，已知直线与直线，分别相交于点E，F，于点F，若，，直线与平行吗？请说明理由． 20．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）如图，已知，，，求证：．请完成下列证明过程： 证明：∵，（已知） ∴ （    ） 又∵（已知） ∴ （等式的性质） 即 ∴ （内错角相等，两直线平行） 题型七、两直线平行内错角相等 21．（24-25七年级下·上海闵行·月考）如图，四边形中，，则图中所标的四个角中________________． 22．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图，，平分，平分，如果，那么________． 题型八、同旁内角互补两直线平行 23．如图，在下列四组条件中，能判定的是（    ） A． B． C． D． 24．随着我国科学技术的不断发展，科学幻想变为现实．图是我国自主研发的某型号战斗机模型，全动型后掠翼垂尾是这款战斗机的亮点之一．图是垂尾模型的示意图，现测量垂尾模型的外围得如下数据：，，，，，垂尾模型要求的位置标准之一是，则选择数据 可判断模型位置是否达标（只填序号）． A． B． C． D． 25．（24-25七年级下·上海·月考）如图，已知交于点，交于点，平分，交于点，．当______时，． 题型九、两直线平行同旁内角互补 26．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图，直线a、b被直线c所截，如果、、，则___． 27．（24-25七年级下·上海崇明·月考）两条平行直线被第三条直线所截，一对同旁内角的平分线所形成的夹角为_______°． 题型十、平行线的性质在生活中的应用 28．（24-25七年级下·上海·月考）一学员在训练场上驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向和原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（    ） A．第一次向左拐，第二次向右拐 B．第一次向左拐，第二次向右拐 C．第一次向左拐，第二次再向左拐 D．第一次向左拐，第二次再向左拐 29．（24-25七年级下·上海·月考）如图所示，直线、所成的角跑到画板外面去了，如何量出这两条直线所成角的度数．下列几种方法：①在直线上任取一点，过点作直线的平行线，量出与直线所成锐角的度数即为；②在直线上任取一点，过点作直线的垂线交直线于点，量出与直线所成锐角的度数即为；③在画板上任取一点，过点分别作直线、的平行线，量出它们所成锐角的度数即为．可行的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 30．（24-25七年级下·上海青浦·期中）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳，则此时的度数为______． 题型十一、平行线的性质应用 31．（24-25七年级下·上海·期末）如图，现有一张长方形纸片，点，在上，点，在上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，点的对应点为点．点对应点为点．若.，则的度数为（　　） A．104° B．106° C．96° D．132° 32．（24-25七年级下·上海普陀·期中）如图，如果，那么x、y、z之间的数量关系是______． 33．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，，点位于两平行线之间且在点、的右侧，分别作和的平分线交于点，再分别作和的平分线交于点设的度数是，则的度数用表示为___________．    34．（24-25七年级下·上海普陀·期中）我们知道，插入水中的筷子，从水面上看，水下部分看上去向上弯折了，这是因为光从水中进入空气时发生了折射现象．如图1，线段表示筷子，筷子的底部点A发出的入射光线、进入空气时发生折射，变为折射光线、，两条折射光线的反向延长线的交点D即为我们眼睛看到的筷子底部，所以看上去筷子向上弯折即折线了．如图2，已知，，折射角，折射光线时，求的大小． 解：∵， ∴______°， ∴． ∵， ∴______°．（完成以下解题过程） 35．（24-25七年级下·上海·月考）如图1，将三角板与三角板摆放在一起，其中，，，，如图2，固定三角板，将三角板绕点按顺时针方向旋转，记旋转角． (1)当为______度时，，并在图3中画出相应的图形； (2)如图4，在旋转过程中，当时，试探究与之间的数量关系； (3)若旋转速度为/秒，当它的一边与的某一边平行（不共线）时，直接写出时间的所有值． 36．（24-25七年级下·上海闵行·月考）【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1），我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图（1），，为，之间一点，连接，，得到，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． （2）如图（2），若在之间，，平分，，求与的数量关系； （3）如图（3），射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于，若直线与直线相交所夹的锐角为，直接写出运动时间秒的值． 题型十二、平行线判定与性质综合应用 37．（24-25七年级下·上海静安·月考）如图，，，，求的度数． 38．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，已知，，，那么__________． 39．（24-25七年级下·上海嘉定·期中）如图，已知，与交于点，，，则的度数为多少？ 40．（25-26七年级下·上海·月考）如图，已知，平分，平分，求证：． 41．（24-25七年级下·上海浦东新·期末）完成下列证明： 已知：，，求证：． 证明：①　　， 又， ∴， ②　　③　　． ∴④　　⑤　　． （已知）， ∴． ⑥　　． 42．（25-26七年级下·上海·月考）问题探究： 如图①，已知，我们发现．我们怎么证明这个结论呢？ 张山同学：如图②，过点E作，把分成与的和，然后分别证明，． 李思同学：如图③，过点B作，则，再证明． 问题解答： （1）填空：请按张山同学的思路，写出证明过程． 证明：过点E作 ∴______， ∵，， ∴（______）， ∴______（______）， ∴， 即， （2）请按李思同学的思路，写出证明过程； 证明：过点B作交的延长线于点G…… 问题迁移： （3） 如图④，已知，平分，平分．若，请直接写出的度数． 1．（24-25七年级下·上海青浦·期中）如图，直线a、b被直线c所截，下列选项中不一定能判定的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图，下列条件可以推出的有（   ） ①；        ②；     ③；    ④． A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 3．（24-25七年级下·上海金山·期末）给定如图所示的图形（不再添线），点在的延长线上，请添加一个条件________作为已知条件，通过推理能得到（只需填写一个满足的条件）    4．（24-25七年级下·上海·月考）如图，已知直线、被直线所截，，且，，那么______ 5．（24-25七年级下·上海·月考）如图所示，修高速公路需开凿隧道，为节省时间，现从山的两侧、处同时开工．如果在处测得隧道的走向是北偏东，那么在处应按______方向开工，才能使隧道准确接通． 6．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，下列结论：①与是内错角；②与是同位角；③与是同旁内角，其中正确的有________（只填序号）． 7．（24-25七年级下·上海闵行·月考）如图，在条件：①，②，③，④中能判定的条件有_____．（填序号） 8．（24-25七年级下·上海·月考）如图，直线，点、、分别在直线、、上，若，，则______． 9．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）如图，在中，平分，，如果，那么___________ 10．（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，，，用和表示，_______． 11．（24-25七年级下·上海·月考）如图，直线和直线被直线所截，，求证：． 证明：， ______ ， ____________． 即______． ______ 12．（24-25七年级下·上海·月考）如图，已知，垂足为点，，，求证：． 证明：， __________（ ）， ， ， （______）， （______）， ， ． ____________（______） （______） 13．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）在学习了《相交线与平行线》后，数学小组进行探究平行线的“等角转化”功能的活动． (1)如图1，已知，． ①求证：； ②探究与之间有怎样的数量关系？并说明理由： (2)实际应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮与支撑平台平行，如果，那么的度数为 14．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图1，直线，直线、及直线把平面分成①、②、③、④、⑤、⑥六个部分．点P是其中的一个动点，连接、，观察、、三个角．规定：直线、、上的各点不属于①、②、③、④、⑤、⑥六个部分中的任何一个部分． (1)当动点P落在第①部分时，求证：． (2)探究：当动点P落在第②、③、⑤部分时，、、之间的关系是怎样的？请直接写出、、之间满足的关系式，不必说明理由． 15．（24-25七年级下·上海闵行·月考）（1）问题：如图（1），若，，，求的度数． （2）问题迁移：如图（2），，点在的上方，问：、、之间有何数量关系?请说明理由． （3）联想拓展：如图（3），在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线相交于点，用含有的式子表示的度数．（直接写答案） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 平行线 目录 A题型建模・专项突破 题型一、平行公理的应用 1 题型二、反证法证明中的假设 2 题型三、同位角、内错角、同旁内角 3 题型四、同位角相等两直线平行 4 题型五、两直线平行同位角相等 7 题型六、内错角相等两直线平行 7 题型七、两直线平行内错角相等 9 题型八、同旁内角互补两直线平行 9 题型九、两直线平行同旁内角互补 11 题型十、平行线的性质在生活中的应用 12 题型十一、平行线的性质应用 14 题型十二、平行线判定与性质综合应用 22 B综合攻坚・能力跃升 题型一、平行公理的应用 1．已知，是平面内任一点，过点画一条直线与平行，则这样的直线（    ） A．有且仅有一条 B．有两条 C．不存在 D．有一条或不存在 【答案】D 【详解】解：分两种情况讨论： ①∵ 如果点不在直线上，则过点有且只有一条直线与平行（平行公理）； ②∵ 如果点在直线上，则过点不能画出与平行的直线（因为过点的直线要么与相交，要么是本身，而本身不视为平行）． ∴ 这样的直线有一条或不存在． 故选：D． 2．（24-25七年级下·上海青浦·期中）已知直线a、b、c在同一平面内，如果，，那么直线a、b的位置关系是______． 【答案】（或垂直）． 【详解】，， ，即直线、的位置关系是垂直． 故答案为：（或垂直）． 3．如图是一个可折叠衣架，是地平线，当，时，就可以确定点、、在同一直线上，这样判定的依据是____________． 【答案】过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 【详解】解：∵， ∴点、、在同一直线上（过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行） 故答案为：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 题型二、反证法证明中的假设 4．（24-25七年级下·上海·期中）反证法是初中数学中的一种证明方法，在中国古代数学发展的过程中起到了促进作用，比如墨子谈到“学之益也，说在诽者”，是通过证明“学习无益”的命题为假，以此才说明“学习有益”的命题为真，这就是反证法的例子．若我们用反证法证明命题“已知：在中，，求证：”时，应假设（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：用反证法证明命题“已知：在中，，求证：”时，应假设． 故选：B． 5．（24-25七年级下·上海·期末）牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：如图，“已知：在同一平面内，，求证：与不平行”时，应先应假设_________． 【答案】 【详解】解：反证法证明命题“已知：在同一平面内，，求证：与不平行”时，首先应假设与平行，即． 故答案为：． 6．（24-25七年级下·上海青浦·期末）用反证法证明“已知：在中，，求证：”时，应先假设（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】反证法证明命题：在中，，求证：， 第一步应先假设， 故选：B． 题型三、同位角、内错角、同旁内角 7．（24-25七年级下·上海闵行·月考）如图所示，下列说法正确的是（   ） A．与是同位角 B．与是内错角 C．与是同位角 D．与是同旁内角 【答案】D 【详解】解：A. 与是同旁内角，错误，不符合题意， B. 与是内错角，错误，不符合题意， C. 与是同位角，错误，不符合题意， D. 与是同旁内角，正确，符合题意， 故选：D． 8．（24-25七年级下·上海·期中）如图，数学课上老师用双手形象地表示了“两条直线被第三条直线所截”图形（两大拇指代表被截直线，两食指代表截线，被截直线和截线都在同一平面上），那么这个图形表示的是（　　） A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角 【答案】C 【详解】解：两大拇指代表被截直线，两食指代表截线，被截直线和截线都在同一平面上，那么这个图形表示的是内错角， 故选：C． 9．（24-25七年级下·上海静安·月考）如图，的同位角是______；的内错角是______；的同旁内角是______．（每空各填一个符合要求的角） 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【详解】解：的同位角是；的内错角是或；的同旁内角是或或或， 故答案为：；（答案不唯一）；（答案不唯一）． 10．（24-25七年级下·上海·期中）如图，与是___________角，与是___________角．（填“同位角”、“内错角”或“同旁内角”） 【答案】 同位角 同旁内角 【详解】如图，与是同位角，与是同旁内角． 故答案为：同位角，同旁内角． 11．（24-25七年级下·上海崇明·月考）如图，与是直线______和直线_______被直线______所截而得到的______角．    【答案】 内错 【详解】解：与是直线和直线被直线所截而得到的内错角． 故答案为：，，，内错． 题型四、同位角相等两直线平行 12．（24-25七年级下·上海·月考）如图，已知点A、、和点、、分别在同一直线上，，那么____________． 【答案】 【详解】解：如图，设交于点M， ∵，， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）， 故答案为：；． 13．（24-25七年级下·上海·月考）如图，已知，请完成下面的填空． 解：因为（____________） 又因为（已知） 所以______（______） 所以____________（______，两直线平行） 【答案】对顶角相等，，等量代换，，，同位角相等 【详解】解：因为（对顶角相等）， 又因为（已知）， 所以（等量代换）， 所以（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：对顶角相等，，等量代换，，，同位角相等． 14．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图所示，已知，垂足为B，，垂足为D，．试说明直线与平行． 解，（已知）， ，（____________）， 即、 又（____________）， _____=____________， （____________）． 【详解】解：，（已知）， ，（垂直的定义）， 即、， 又（已知）， （等角的余角相等） ∴（同位角相等，两直线平行）． 15．（24-25七年级下·上海闵行·月考）如图，直线分别交直线，于点，．，且．求证：． 补充完成下列证明，并填上推理依据． 证明∵（已知），（　　　）， ∴（　　　）． ∵（已知）， ∴（　　　） ∴（　　　） 【详解】证明：∵（已知），（对顶角相等）， ∴（等量代换）． ∵（已知）， ∴（等式的性质） ∴（同位角相等，两直线平行） 题型五、两直线平行同位角相等 16．（25-26七年级下·上海·月考）如图，平分，，且，则____°． 【答案】35 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴. 17．（24-25七年级下·上海松江·期中）如图，已知：的两边与的两边分别平行，即，，与AC相交于点G．求证：． 【详解】证明：∵，， ∴，， ∴． 题型六、内错角相等两直线平行 18．如图，以下四个结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则，其中正确的结论是__________（填序号）． 【答案】①④ 【详解】解：若，则，结论①正确，符合题意； 若，不能推出，结论②错误，不符合题意； 若，则，结论③错误，不符合题意；结论④正确，符合题意； 结论正确的是：①④． 19．如图，已知直线与直线，分别相交于点E，F，于点F，若，，直线与平行吗？请说明理由． 【详解】解：直线与平行，理由如下： ∵于点F， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）如图，已知，，，求证：．请完成下列证明过程： 证明：∵，（已知） ∴ （    ） 又∵（已知） ∴ （等式的性质） 即 ∴ （内错角相等，两直线平行） 【答案】90，垂直的定义，，，，， 【详解】证明：∵，（已知） ∴（垂直的定义） 又∵（已知） ∴（等式的性质） 即 ∴（内错角相等，两直线平行） 题型七、两直线平行内错角相等 21．（24-25七年级下·上海闵行·月考）如图，四边形中，，则图中所标的四个角中________________． 【答案】 2 3 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：2；3 22．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图，，平分，平分，如果，那么________． 【答案】155 【详解】解：∵和互补，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵和互补， ∴． 故答案为：155． 题型八、同旁内角互补两直线平行 23．如图，在下列四组条件中，能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、由，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到，不能得到，不符合题意； B、由，不能得到，不符合题意； C、由，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到，符合题意； D、由不能得到，不符合题意； 故选：C． 24．随着我国科学技术的不断发展，科学幻想变为现实．图是我国自主研发的某型号战斗机模型，全动型后掠翼垂尾是这款战斗机的亮点之一．图是垂尾模型的示意图，现测量垂尾模型的外围得如下数据：，，，，，垂尾模型要求的位置标准之一是，则选择数据 可判断模型位置是否达标（只填序号）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：． 25．（24-25七年级下·上海·月考）如图，已知交于点，交于点，平分，交于点，．当______时，． 【答案】65 【详解】解：∵， ∴， ∵当时，， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：65． 题型九、两直线平行同旁内角互补 26．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图，直线a、b被直线c所截，如果、、，则___． 【答案】70 【详解】解：在图中标注，如图所示． ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：70． 27．（24-25七年级下·上海崇明·月考）两条平行直线被第三条直线所截，一对同旁内角的平分线所形成的夹角为_______°． 【答案】 【详解】解：由题意可得：，平分，平分， ， ， 平分，平分， ， ， ， 故一对同旁内角的平分线所形成的夹角为， 故答案为：． 题型十、平行线的性质在生活中的应用 28．（24-25七年级下·上海·月考）一学员在训练场上驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向和原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（    ） A．第一次向左拐，第二次向右拐 B．第一次向左拐，第二次向右拐 C．第一次向左拐，第二次再向左拐 D．第一次向左拐，第二次再向左拐 【答案】A 【详解】解：∵两次拐弯后，按原来的方向前进，即行驶方向平行， ∴两次拐弯的方向相反，形成的角是同位角，且拐的角度相等． A、两次拐弯的方向相反，形成的角是同位角，且拐的角度相等，故此选项符合题意； B、两次拐弯的方向相反，形成的角是同位角，但拐的角度不相等，故此选项不符合题意； C、两次拐弯的方向相同，形成的角不是同位角，故此选项不符合题意； D、两次拐弯的方向相同，形成的角不是同位角，故此选项不符合题意； 故选：A． 29．（24-25七年级下·上海·月考）如图所示，直线、所成的角跑到画板外面去了，如何量出这两条直线所成角的度数．下列几种方法：①在直线上任取一点，过点作直线的平行线，量出与直线所成锐角的度数即为；②在直线上任取一点，过点作直线的垂线交直线于点，量出与直线所成锐角的度数即为；③在画板上任取一点，过点分别作直线、的平行线，量出它们所成锐角的度数即为．可行的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】C 【详解】解：①如图， ∵ ∴，故①正确； ②如图， ∵ ∴ ∴，故②错误； ③如图， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴，故③正确． ∴正确的有①③， 故选：C． 30．（24-25七年级下·上海青浦·期中）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳，则此时的度数为______． 【答案】 【详解】解：如图所示，过点C作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 故答案为：． 题型十一、平行线的性质应用 31．（24-25七年级下·上海·期末）如图，现有一张长方形纸片，点，在上，点，在上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，点的对应点为点．点对应点为点．若.，则的度数为（　　） A．104° B．106° C．96° D．132° 【答案】C 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴． ∴，． ∴， ∵点，在上，点，在上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，点的对应点为点．点对应点为点， ∴，，． ∴ ． ∴， ∴． 故选：C． 32．（24-25七年级下·上海普陀·期中）如图，如果，那么x、y、z之间的数量关系是______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 33．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，，点位于两平行线之间且在点、的右侧，分别作和的平分线交于点，再分别作和的平分线交于点设的度数是，则的度数用表示为___________．    【答案】 【详解】解：如图，过点作，    ∵， ∴， ∵，， ∵， ∴， ∴， ∵和的平分线交于点， ∴同理可得， ∴， ∵， ∴， 同理，， …… 依此类推，． ∴的度数用表示为． 故答案为：． 34．（24-25七年级下·上海普陀·期中）我们知道，插入水中的筷子，从水面上看，水下部分看上去向上弯折了，这是因为光从水中进入空气时发生了折射现象．如图1，线段表示筷子，筷子的底部点A发出的入射光线、进入空气时发生折射，变为折射光线、，两条折射光线的反向延长线的交点D即为我们眼睛看到的筷子底部，所以看上去筷子向上弯折即折线了．如图2，已知，，折射角，折射光线时，求的大小． 解：∵， ∴______°， ∴． ∵， ∴______°．（完成以下解题过程） 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 35．（24-25七年级下·上海·月考）如图1，将三角板与三角板摆放在一起，其中，，，，如图2，固定三角板，将三角板绕点按顺时针方向旋转，记旋转角． (1)当为______度时，，并在图3中画出相应的图形； (2)如图4，在旋转过程中，当时，试探究与之间的数量关系； (3)若旋转速度为/秒，当它的一边与的某一边平行（不共线）时，直接写出时间的所有值． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； ∵， ∴， ； （2）解：由旋转的性质可得， ∵， ∴， ∴； （3）解：依题意，分以下五种情况： ①当时 由（1）知，， 则（秒）， ②当时，此时，与重合 则 ∴（秒）； ③当时，此时，， 则， ∴（秒）； ④当时，此时，与重合 则， ∴（秒）； ⑤当时 则， ∴（秒）； 综上，所有符合要求的t的值为3秒或9秒或21秒或27秒或30秒． 36．（24-25七年级下·上海闵行·月考）【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1），我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图（1），，为，之间一点，连接，，得到，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． （2）如图（2），若在之间，，平分，，求与的数量关系； （3）如图（3），射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于，若直线与直线相交所夹的锐角为，直接写出运动时间秒的值． 【详解】解：（1）过点作， ， ， ，， ， 即； （2）如图， 设，则，设，则， 由（1）知，， 同理可得， ， ， ， 由，得， 由，得， 将，代入， 可得； （3）将直线的点M平移与直线的N点重合，如图， 根据题意得，，， 则， 直线与直线相交所夹的锐角为， ， ， ， ； 根据题意得，，， 直线与直线相交所夹的锐角为， ， ， 即， ； 根据题意得，，， 直线与直线相交所夹的锐角为， ， ， 即， ； 综上所述，或或． 题型十二、平行线判定与性质综合应用 37．（24-25七年级下·上海静安·月考）如图，，，，求的度数． 【答案】 【详解】解：如图，作 ∵ ∴ ∴， ∴ ∴ 38．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，已知，，，那么__________． 【答案】138 【详解】解：如图， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 39．（24-25七年级下·上海嘉定·期中）如图，已知，与交于点，，，则的度数为多少？ 【答案】 【详解】解：过点P作， ∵，， ∴， ∴， ， ∴． 40．（25-26七年级下·上海·月考）如图，已知，平分，平分，求证：． 【分析】先证明，再证明即可得到结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． 41．（24-25七年级下·上海浦东新·期末）完成下列证明： 已知：，，求证：． 证明：①　　， 又， ∴， ②　　③　　． ∴④　　⑤　　． （已知）， ∴． ⑥　　． 【详解】证明：对顶角相等）， 又， ， （同位角相等，两直线平行）， 两直线平行，同旁内角互补）， （已知）， ， 内错角相等，两直线平行）． 故答案为：①对顶角相等；②；③同位角相等，两直线平行；④；⑤两直线平行，同旁内角互补；⑥内错角相等，两直线平行． 42．（25-26七年级下·上海·月考）问题探究： 如图①，已知，我们发现．我们怎么证明这个结论呢？ 张山同学：如图②，过点E作，把分成与的和，然后分别证明，． 李思同学：如图③，过点B作，则，再证明． 问题解答： （1）填空：请按张山同学的思路，写出证明过程． 证明：过点E作 ∴______， ∵，， ∴（______）， ∴______（______）， ∴， 即， （2）请按李思同学的思路，写出证明过程； 证明：过点B作交的延长线于点G…… 问题迁移： （3）如图④，已知，平分，平分．若，请直接写出的度数． 【详解】（1）证明：如图②，过点E作， ∴， ∵，， ∴（平行于同一直线的两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴， 即， （2）如图③，过点B作交的延长线于G． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图④中， ∵平分，平分， ∴，， 设，， 结合（1）可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 1．（24-25七年级下·上海青浦·期中）如图，直线a、b被直线c所截，下列选项中不一定能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，根据同位角相等，两直线平行，可得，故选项A不符合题意； 不一定能判定，故选项B符合题意； ，根据同位角相等，两直线平行，可得，故选项C不符合题意； ，根据内错角相等，两直线平行，可得，故选项D不符合题意； 故选B． 2．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图，下列条件可以推出的有（   ） ①；        ②；     ③；    ④． A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】A 【详解】解：由根据内错角相等，两直线平行可得出，①符合题意； 由，根据内错角相等，两直线平行可得，②不符合题意； 由，根据同旁内角互补，两直线平行可得，③不符合题意； 由，根据同旁内角互补，两直线平行可得，④符合题意； 故选：A． 3．（24-25七年级下·上海金山·期末）给定如图所示的图形（不再添线），点在的延长线上，请添加一个条件________作为已知条件，通过推理能得到（只需填写一个满足的条件）    【答案】（或或或） 【详解】解：∵ ∴； ∵， ∴； ∵或 ∴； 故答案为：（或或或）． 4．（24-25七年级下·上海·月考）如图，已知直线、被直线所截，，且，，那么______ 【答案】 【详解】解：， ， 即， 解得：， ， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·上海·月考）如图所示，修高速公路需开凿隧道，为节省时间，现从山的两侧、处同时开工．如果在处测得隧道的走向是北偏东，那么在处应按______方向开工，才能使隧道准确接通． 【答案】南偏西 【详解】解：如图， 由题意得：， ∴， ∴按南偏西的方向开工． 故答案为：南偏西． 6．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，下列结论：①与是内错角；②与是同位角；③与是同旁内角，其中正确的有________（只填序号）． 【答案】①②③ 【详解】解：与是内错角，①正确； 与是同位角，②正确； 与是同旁内角，③正确； 故答案为：①②③． 7．（24-25七年级下·上海闵行·月考）如图，在条件：①，②，③，④中能判定的条件有_____．（填序号） 【答案】②④/④② 【详解】解：①∵，∴（内错角相等，两直线平行），无法判定，故①不符合题意； ②∵，∴（内错角相等，两直线平行），故②符合题意； ③∵，∴（同旁内角互补，两直线平行），无法判定，故③不符合题意； ④∵，∴（同位角相等，两直线平行），故④符合题意； 综上，能判定的条件有②④， 故答案为：②④． 8．（24-25七年级下·上海·月考）如图，直线，点、、分别在直线、、上，若，，则______． 【答案】 【详解】解：如图， ，， ，， ． 故答案为：． 9．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）如图，在中，平分，，如果，那么___________ 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，，，用和表示，_______． 【答案】 【详解】解：如图，作，， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·上海·月考）如图，直线和直线被直线所截，，求证：． 证明：， ______ ， ____________． 即______． ______ 【答案】两直线平行，内错角相等 内错角相等，两直线平行 【详解】证明：， 两直线平行，内错角相等． ， ． 即． （内错角相等，两直线平行． 故答案为：两直线平行，内错角相等；；；；内错角相等，两直线平行． 12．（24-25七年级下·上海·月考）如图，已知，垂足为点，，，求证：． 证明：， __________（ ）， ， ， （______）， （______）， ， ． ____________（______） （______） 【答案】 ， 垂直的定义， 同位角相等，两直线平行； 两直线平行，同旁内角互补； ； ， 内错角相等，两直线平行； 两直线平行，同位角相等 【详解】证明：， （垂直的定义）， ， ， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， ， ． （内错角相等，两直线平行）． （两直线平行，同位角相等）． 故答案为：；垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 13．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）在学习了《相交线与平行线》后，数学小组进行探究平行线的“等角转化”功能的活动． (1)如图1，已知，． ①求证：； ②探究与之间有怎样的数量关系？并说明理由： (2)实际应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮与支撑平台平行，如果，那么的度数为 【详解】（1）①证明：∵， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴； ②，理由如下， 如图所示，过点作 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）解：如图所示，过点作， 依题意，， ∴ ∴，， ∵，， ∴． 14．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图1，直线，直线、及直线把平面分成①、②、③、④、⑤、⑥六个部分．点P是其中的一个动点，连接、，观察、、三个角．规定：直线、、上的各点不属于①、②、③、④、⑤、⑥六个部分中的任何一个部分． (1)当动点P落在第①部分时，求证：． (2)探究：当动点P落在第②、③、⑤部分时，、、之间的关系是怎样的？请直接写出、、之间满足的关系式，不必说明理由． 【详解】（1）解：如图，过点作，交于点， ，， ， ，， ； （2）解：当动点P落在第②部分时，，理由如下： 如图，过点作的平行线，交于点， ， ， ，， ； ； 如图，当动点P落在第③部分时，，理由如下： 过点向右作，则， ， ， ， ， ． 如图，当动点P落在第⑤部分时，，理由如下： 过点向右作，则， ， ， ， ， ． 15．（24-25七年级下·上海闵行·月考）（1）问题：如图（1），若，，，求的度数． （2）问题迁移：如图（2），，点在的上方，问：、、之间有何数量关系?请说明理由． （3）联想拓展：如图（3），在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线相交于点，用含有的式子表示的度数．（直接写答案） 【详解】解：如图，过点作， ． ∵， ∴， ． ， ． ，即． （2），理由如下： 如图，过点作， ， ∵， ∴， ， ， ， ， （3）如图，过点作的平行线． ∵，， ∴， ，， 又的平分线和的平分线交于点， ，， 由（2）得：， ， ． 即． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $