第8章 乘法公式章节重难点题型复习 讲义 2025-2026学年苏科版数学七年级下册

第8章 乘法公式 章节重难点题型复习（2个知识点+9大题型） 【题型归纳】 题型1 单项式乘单项式 1 题型2 单项式乘多项式 2 题型3 多项式乘多项式 2 题型4 整式化简求值 2 题型5 整式的乘法与不含项问题 3 题型6 利用乘法公式化简求值 3 题型7 乘法公式的应用（整体法） 4 题型8 整式乘法的应用 5 题型9 利用乘法公式解决规律探究问题 6 一、知识梳理 要点一、整式的乘法 1.单项式乘以单项式 单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 2.单项式乘以多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即(都是单项式). 3.多项式乘以多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 要点二、乘法公式 1.平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 2. 完全平方公式：； 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 二、题型精讲 题型1 单项式乘单项式 例1.计算：__________________ 【变式1】化简的结果是（　　） A． B．2（x﹣y）7 C．（y﹣x）7 D．4（y﹣x）7 题型2 单项式乘多项式 例2.化简：（﹣3x2）•（4x﹣3）＝___． 【变式2】某同学在计算﹣3x2乘一个多项式时错误的计算成了加法，得到的答案是x2﹣x+1，由此可以推断正确的计算结果是（　　） A．4x2﹣x+1 B．x2﹣x+1 C．﹣12x4+3x3﹣3x2 D．无法确定 题型3 多项式乘多项式 例3.若（x+3）（x+n）=x2+mx-21，则m的值为_______． 【变式3】若不管a取何值，多项式a3+2a2﹣a﹣2与（a2﹣ma+2n）（a+1）都相等，则m、n的值分别为（　　） A．﹣1，﹣1 B．﹣1，1 C．1，﹣1 D．1，1 题型4 整式化简求值 例4.先化简，再求值：，其中． 【变式4-1】先化简，再求值：，其中，． 【变式4-2】（1）先化简，再求值： ，其中 （2）先化简，再求值： ，其中，． 题型5 整式的乘法与不含项问题 例5.若的展开式中不含的二次项，则的值是（ ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知，，，若的值与x的取值无关，则a的值为（   ） A． B．3 C．5 D．4 【变式5-2】①先化简，再求值：（4x＋3）（x－2）－2（x－1）（2x－3），x＝－2； ②若（x2＋px＋q）（x2－3x＋2）的结果中不含x3和x2项，求p和q的值． 题型6 利用乘法公式化简求值 例6.已知，，则的值为（ ） A．28 B．30 C．33 D．34 【变式6-1】已知则____________________． 【变式6-2】（1）已知，，求和的值； （2）已知，，求和的值； （3）已知，求的值． 题型7 乘法公式的应用（整体法） 例7.如图1是一个长为4b、宽为a的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． （1）观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是 ． （2）根据（1）中的结论，若x+y＝5，xy＝，求x﹣y的值． （3）变式应用：若（2019﹣m）2+（m﹣2021）2＝20，求（2019﹣m）（m﹣2021）的值． 【变式7】我们将（a+b）2＝a2+2ab+b2进行变形，如：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，ab等．根据以上变形解决下列问题： （1）已知a2+b2＝8，（a+b）2＝48，则ab＝　 　． （2）已知，若x满足（25﹣x）（x﹣10）＝﹣15，求（25﹣x）2+（x﹣10）2的值． （3）如图，四边形ABED是梯形，DA⊥AB，EB⊥AB，AD＝AC，BE＝BC，连接CD，CE，若AC•BC＝10，则图中阴影部分的面积为 　 　． 题型8 整式乘法的应用 例8.如图①，将一张长方形铁皮的四个角都剪去边长为的正方形，然后沿四周折起，做成一个无盖铁盒，如图②，铁盒底面长方形的长为，宽为． (1)请用含x的代数式表示图①中原长方形铁皮的面积； (2)现要在铁盒的各个外表面涂上某种油漆，若每需花费x元，则涂漆这个铁盒需要多少钱（用含x的代数式表示）． 【变式8】如图所示，有4张宽为，长为b的小长方形纸片，不重叠的放在矩形内，未被覆盖的部分为空白区域①和空白区域②． (1)用含、b的代数式表示：______________；______________． (2)用含、b的代数式表示区域①、区域②的面积； (3)当=，时，求区域①、区域②的面积的差． 题型9 利用乘法公式解决规律探究问题 例9.观察下列各式，回答问题． ，，…按上述规律填空：（1）_______×_______． （2）计算：． 【变式9】你能化简吗？ 我们不妨先从简单情况入手，发现规律，归纳结论． （1）先填空：　 　； 　 　； 　 　； 由此猜想：　 　． （2）利用这个结论，请你解决下面的问题： ① 求 的值； 若，则等于多少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8章 乘法公式 章节重难点题型复习（2个知识点+9大题型） 【题型归纳】 题型1 单项式乘单项式 1 题型2 单项式乘多项式 2 题型3 多项式乘多项式 3 题型4 整式化简求值 3 题型5 整式的乘法与不含项问题 4 题型6 利用乘法公式化简求值 6 题型7 乘法公式的应用（整体法） 7 题型8 整式乘法的应用 9 题型9 利用乘法公式解决规律探究问题 11 一、知识梳理 要点一、整式的乘法 1.单项式乘以单项式 单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 2.单项式乘以多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即(都是单项式). 3.多项式乘以多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 要点二、乘法公式 1.平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 2. 完全平方公式：； 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 二、题型精讲 题型1 单项式乘单项式 例1.计算：__________________ 【答案】 【分析】根据单项式乘以单项式运算法则，系数与系数相乘，相同字母的指数相加即可． 【详解】解：，故答案为：． 【点睛】题目主要考查单项式乘以单项式的运算法则，熟练掌握运算法则是解题关键． 【变式1】化简的结果是（　　） A． B．2（x﹣y）7 C．（y﹣x）7 D．4（y﹣x）7 【分析】根据整式的运算法则即可求出答案． 【答案】解：原式＝16（x﹣y）4•（﹣）3（y﹣x）3 ＝﹣16（x﹣y）4•（）（x﹣y）3 ＝2（x﹣y）7， 故选：B． 【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型． 题型2 单项式乘多项式 例2.化简：（﹣3x2）•（4x﹣3）＝___． 【答案】﹣12x3+9x2 【分析】直接利用单项式乘以多项式的计算法则求解即可. 【详解】解：，故答案为：. 【点睛】本题主要考查了单项式乘以多项式，解题的关键在于能够熟练掌握单项式乘以多项式的计算法则. 【变式2】某同学在计算﹣3x2乘一个多项式时错误的计算成了加法，得到的答案是x2﹣x+1，由此可以推断正确的计算结果是（　　） A．4x2﹣x+1 B．x2﹣x+1 C．﹣12x4+3x3﹣3x2 D．无法确定 【分析】根据整式的减法法则求出多项式，根据单项式与多项式相乘的运算法则计算，得到答案． 【答案】解：x2﹣x+1﹣（﹣3x2）＝x2﹣x+1+3x2＝4x2﹣x+1， ﹣3x2•（4x2﹣x+1）＝﹣12x4+3x3﹣3x2， 故选：C． 【点睛】本题考查的是单项式乘多项式、整式的加减混合运算，单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 题型3 多项式乘多项式 例3.若（x+3）（x+n）=x2+mx-21，则m的值为_______． 【答案】-4 【分析】已知等式左边利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出m的值即可． 【详解】∵，∴3+n=m，3n=-21，解得：m=-4，n=-7，答案：-4． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘法是解题的关键． 【变式3】若不管a取何值，多项式a3+2a2﹣a﹣2与（a2﹣ma+2n）（a+1）都相等，则m、n的值分别为（　　） A．﹣1，﹣1 B．﹣1，1 C．1，﹣1 D．1，1 【分析】根据多项式乘以多项式进行恒等计算即可． 【答案】解：多项式a3+2a2﹣a﹣2与（a2﹣ma+2n）（a+1）都相等， （a2﹣ma+2n）（a+1） ＝a3﹣ma2+2an+a2﹣ma+2n ＝a3+（1﹣m）a2+（2n﹣m）a+2n 所以1﹣m＝2，得m＝﹣1， 2n﹣m＝﹣1，得n＝﹣1． 或者2n＝﹣2，得n＝﹣1． 故选：A． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，解决本题的关键是理解恒等变换． 题型4 整式化简求值 例4.先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】首先利用单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后再合并同类项，化简后，代入a=-1求值即可． 【详解】解：， 当时，原式． 【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，关键是掌握有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似． 【变式4-1】先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】先利用平方差公式和完全平方公式化简，再带值计算即可； 【详解】原式， 把，代入上式得：原式； 【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，准确利用平方差公式和完全平方公式进行化简是解题的关键． 【变式4-2】（1）先化简，再求值： ，其中 （2）先化简，再求值： ，其中，． 【答案】（1），；（2），； 【分析】本题考查整式的化简求值： （1）先根据乘法法则计算，再合并同类项化到最简，最后代入求解即可得到答案； （2）先根据乘除法法则计算，再合并同类项化到最简，最后代入求解即可得到答案； 【详解】解：（1）原式 ， 当时， 原式 ； （2）原式 ， 当，时， ∴原式， ． 题型5 整式的乘法与不含项问题 例5.若的展开式中不含的二次项，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按照整式乘法去掉括号，根据不含的二次项，的二次项系数为0列出方程即可． 【详解】解：== ∵展开式中不含的二次项，∴，解得，，故选：A． 【点睛】本题考查整式的乘法和多项式中不含某项的问题，解题关键是熟练进行整式运算，正确列出方程． 【变式5-1】已知，，，若的值与x的取值无关，则a的值为（   ） A． B．3 C．5 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了整式的运算，正确化简是解本题的关键． 先求出，再根据取值与x无关，得出，即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴ ， ∵的值与x的取值无关， ∴， 解得：， 故选：A． 【变式5-2】①先化简，再求值：（4x＋3）（x－2）－2（x－1）（2x－3），x＝－2； ②若（x2＋px＋q）（x2－3x＋2）的结果中不含x3和x2项，求p和q的值． 【答案】①，；②p＝3，q＝7． 【分析】①先去括号再合并同类项，将x=-2代入化简后的结果计算； ②先按照多项式乘以多项式将括号打开，再根据不含项的系数为0得到方程，解方程即可得到答案. 【解析】①（4x＋3）（x－2）－2（x－1）（2x－3），= ， =， =∵x＝－2，∴原式=-10-12=-22； ②（x2＋px＋q）（x2－3x＋2），=， =， ∵结果中不含x3和x2项，∴，，∴p=3，∴q=7. 【点睛】此题考查整式的混合运算，整式的不含某项的化简求值，将整式正确化简计算是解题的关键. 题型6 利用乘法公式化简求值 例6.已知，，则的值为（ ） A．28 B．30 C．33 D．34 【答案】B 【分析】根据完全平方公式的变形形式：=，直接代入求值即可． 【详解】解：∵=，∴=36-2×3=30，故选B． 【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握完全平方公式及其变形，是解题的关键． 【变式6-1】已知则____________________． 【答案】 【分析】先利用平方差公式计算，再将整体代入即可； 【详解】解：∵，， ∴原式=；故答案为：9 【点睛】本题考查了求代数式的值，平方差公式，熟练掌握平方差公式和整体代入的思想是解题的关键 【变式6-2】（1）已知，，求和的值； （2）已知，，求和的值； （3）已知，求的值． 【答案】（1）， （2）， （3）5 【分析】本题考查的是利用完全平方公式变形求值，熟记完全平方公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式变形，计算即可． （2）利用完全平方公式变形，计算即可． （3）利用完全平方公式变形，计算即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， ，， ； （2），， ①，②， ①②，得， ， ①②，得， ； （3）， ， ， ， ． 题型7 乘法公式的应用（整体法） 例7.如图1是一个长为4b、宽为a的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． （1）观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是 ． （2）根据（1）中的结论，若x+y＝5，xy＝，求x﹣y的值． （3）变式应用：若（2019﹣m）2+（m﹣2021）2＝20，求（2019﹣m）（m﹣2021）的值． 【答案】（1）（a﹣b）2+4ab＝（a+b）2；（2）±4；（3）-8 【分析】（1）由观察图形可得，（a-b）2+4ab=（a+b）2； （2）由（1）题结论（a-b）2+4ab=（a+b）2可得，（a-b）2=（a+b）2-4ab，将x+y=5，xy=代入，可求得（x-y）2的值，最后就可求出结果； （3）由（a+b）2=a2+2ab+b2得，ab= (a+b)2−(a2+b2) 2 ，运用整体代入法可求出结果． 【详解】（1）由题意得图1中长方形面积为4ab，图2中阴影部分面积是（a﹣b）2，整体面积是（a+b）2，∴（a﹣b）2+4ab＝（a+b）2，故答案为：（a﹣b）2+4ab＝（a+b）2； （2）由（1）题结论（a﹣b）2+4ab＝（a+b）2可得，（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab， ∴（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，当x+y＝5，xy＝时，∴（x﹣y）2＝52﹣4×，＝16，∴x﹣y＝±＝±4， （3）由（a+b）2＝a2+2ab+b2得，ab＝， ∴（2019﹣m）（m﹣2021）＝{[（2019﹣m）+（m﹣2021）]2﹣[（2019﹣m）2+（m﹣2021）2]}， ＝ [（﹣2）2﹣20]，＝×（﹣16），＝﹣8． 【点睛】本题主要考查了数形结合与完全平方公式的变形应用能力，解决本题的关键能将公式变形应用． 【变式7】我们将（a+b）2＝a2+2ab+b2进行变形，如：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，ab等．根据以上变形解决下列问题： （1）已知a2+b2＝8，（a+b）2＝48，则ab＝　20　． （2）已知，若x满足（25﹣x）（x﹣10）＝﹣15，求（25﹣x）2+（x﹣10）2的值． （3）如图，四边形ABED是梯形，DA⊥AB，EB⊥AB，AD＝AC，BE＝BC，连接CD，CE，若AC•BC＝10，则图中阴影部分的面积为 　10　． 【分析】（1）将a2+b2＝8，（a+b）2＝48代入题干中的推导公式就可求得结果； （2）设25﹣x＝a，x﹣10＝b，则（25﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，再代入计算即可； （3）设AD＝AC＝a，BE＝BC＝b，则图中阴影部分的面积为（a+b）（a+b）a²b²[（a+b）²﹣（a²+b²）]2ab＝ab＝10． 【解答】（1）∵a2+b2＝8，（a+b）2＝48， ∴ab20， （2）设25﹣x＝a，x﹣10＝b， 由（a+b）2＝a2+2ab+b2进行变形得， a2+b2＝（a+b）2﹣2ab， ∴（25﹣x）2+（x﹣10）2 ＝[（25﹣x）+（x﹣10）]²﹣2（25﹣x）（x﹣10） ＝15²﹣2×（﹣15） ＝225+30 ＝255， （3）设AD＝AC＝a，BE＝BC＝b， 则图中阴影部分的面积为（a+b）（a+b）（a²+b²） [（a+b）²﹣（a²+b²）] 2ab ＝ab ＝10 题型8 整式乘法的应用 例8.如图①，将一张长方形铁皮的四个角都剪去边长为的正方形，然后沿四周折起，做成一个无盖铁盒，如图②，铁盒底面长方形的长为，宽为． (1)请用含x的代数式表示图①中原长方形铁皮的面积； (2)现要在铁盒的各个外表面涂上某种油漆，若每需花费x元，则涂漆这个铁盒需要多少钱（用含x的代数式表示）． 【答案】(1) (2)涂漆这个铁盒需要元钱 【分析】此题考查了多项式乘多项式的应用． （1）根据长方形的面积等于长乘宽表示出原长方形铁皮的面积即可； （2）根据原长方形铁皮的面积减去四个小正方形的面积，求出铁盒的表面积，再乘单价即可得到结果． 【详解】（1）原铁皮的面积是； （2）油漆这个铁盒的表面积是：； 则油漆这个铁盒需要的钱数是：元． 所以涂漆这个铁盒需要元． 【变式8】如图所示，有4张宽为，长为b的小长方形纸片，不重叠的放在矩形内，未被覆盖的部分为空白区域①和空白区域②． (1)用含、b的代数式表示：______________；______________． (2)用含、b的代数式表示区域①、区域②的面积； (3)当=，时，求区域①、区域②的面积的差． 【答案】(1)， (2)， (3)6 【分析】本题考查了整式乘法的应用，找到图中的线段间的关系是解题的关键． （1）线段为2个小长方形的宽加1个小长方形的长，线段为1个小长方形的宽加1个小长方形的长，列出式子并化简即可； （2）区域①的面积为长，宽的长方形的面积减去一个边长为的小正方形的面积列式化简即可得出；区域②的面积：长为小长方形纸片的长，宽为的长方形的面积加上一个边长为的小正方形的面积列式化简即可得出； （3）将两式相减化简后，将值代入即可得出答案． 【详解】（1）小长方形纸片宽为，长为b ， 故答案为：，； （2）由图可知，，， ， 区域①的面积为： = 区域②的面积为： ； （3）由（2）知，区域①的面积为：，区域②的面积为： 区域①、区域②的面积的差为： 当=，时，原式=6 题型9 利用乘法公式解决规律探究问题 例9.观察下列各式，回答问题． ，，…按上述规律填空：（1）_______×_______． （2）计算：． 【答案】（1），；（2）． 【分析】（1）根据所提供算式所呈现的规律，可得出答案； （2）根据（1）的规律，将原式转化为，根据这一形式进行计算即可． 【详解】解：（1）根据题意可知，规律可表示为：，则； （2） ． 【点睛】本题考查平方差公式以及数字的变化类，发现和理解算式规律是解答本题的关键． 【变式9】你能化简吗？ 我们不妨先从简单情况入手，发现规律，归纳结论． （1）先填空：　 　； 　 　； 　 　； 由此猜想：　 　． （2）利用这个结论，请你解决下面的问题： ① 求 的值； 若，则等于多少？ 【答案】（1），，，；（2）， 【分析】（1）原式利用多项式乘多项式法则计算得到结果，归纳总结得到一般性规律，写出即可； （2）各项变形后，利用得出的规律计算即可得到结果． 【详解】解：（1）：（a−1）（a＋1）＝a2−1；（a−1）（a2＋a＋1）＝a3−1；（a−1）（a3＋a2＋a＋1）＝a4−1；… 由此猜想：（a−1）（a99＋a98＋a97＋…＋a2＋a＋1）＝a100−1；故答案为：a2−1；a3−1；a4−1；a100−1； （2）①∵（2−1）（2199＋2198＋2197＋…＋22＋2＋1）＝2200−1， ∴2199＋2198＋2197＋…＋22＋2＋1＝2200−1； ②∵a8−1＝（a−1）（a7＋a6＋a5＋a4＋a3＋a2＋a＋1）＝0，即a8＝1，∴a＝±1， 当a＝1时，a7＋a6＋a5＋a4＋a3＋a2＋a＋1＝0不成立，∴a＝−1． 【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $