专题03乘法公式题型突破讲义（2）(常考题型精析+强化题型+寒假预习)2025-2026学年新教材苏科版七年级数学下册

专题03乘法公式题型突破讲义（2） 一.核心公式（必须熟练默写、灵活运用） 1. 平方差公式 公式：(a+b)(a−b)=a2−b2 结构特征： 左边是两个二项式相乘，一项完全相同，一项互为相反数； 右边是相同项的平方减去相反项的平方。 2. 完全平方公式 和的完全平方：(a+b)2=a2+2ab+b2 差的完全平方：(a−b)2=a2−2ab+b2 结构特征： (1)左边是一个二项式的平方； (2)右边是三项式，首末两项是两数的平方（均为正），中间项是两数积的 2 倍（符号与左边二项式中间符号一致）。 二、公式的变形与拓展（解题高频考点） 1. 平方差公式常见变形 位置变形：(b+a)(−b+a)=a2−b2 符号变形：(−a−b)(a−b)=(−b)2−a2=b2−a2 系数 / 指数变形：(2x+3y)(2x−3y)=(2x)2−(3y)2=4x2−9y2 2. 完全平方公式常见变形 移项变形：a2+b2=(a+b)2−2ab=(a−b)2+2ab 乘积变形：ab==​ 三项式平方：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac 三、关键易错点（必须重点规避） 1.完全平方公式漏 “2 倍项” 错误：(a+b)2=a2+b2正确：(a+b)2=a2+2ab+b2 2. 完全平方公式符号错误 错误：(a−b)2=a2−b2正确：(a−b)2=a2−2ab+b2 3.平方差公式混淆 “同项” 与 “异项” 错误：(a+2b)(a−3b)=a2−6b2（不满足平方差结构，不能用公式） 4. 系数、符号未整体平方 错误：(2x−3)2=2x2−12x+9正确：(2x−3)2=4x2−12x+9 基础 过关题 1.运用平方差公式进行运算 2.运用完全平方公式进行运算 3.整式的混合运算 能力 提升题 4.平方差公式与几何图形 5.由完全平方公式变形求值 6.求完全平方式中的字母系数 拓展 拔高题 7.完全平方公式的几何应用 8.完全平方式的几何应用 【题型1.运用平方差公式进行运算】 1．利用平方差公式计算的结果是（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式计算，熟记平方差公式是解决问题的关键． 先将化为的形式，再利用平方差公式计算，然后去括号，再由有理数加减运算求解即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：B． 2．运用平方差公式计算，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式的应用，掌握通过分组变形，将原式转化为平方差公式的形式是解题的关键． 将原式通过分组变形，使其符合平方差公式的形式． 【详解】解：∵， ∴该变形直接应用平方差公式，与选项C一致． 故选：C． 3．若，，则的值为（    ） A． B．15 C． D．56 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式的应用与整体代入的思想，掌握平方差公式，以及整体代入简化计算的方法是解题的关键． 利用平方差公式将所求代数式转化为已知条件的乘积形式，直接代入计算． 【详解】解：∵ = ， ，， ∴ 故选：C． 4．已知，则 ． 【答案】4 【分析】此题考查了平方差公式，整体代入思想，注意掌握平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，正确地计算是解题的关键． 利用平方差公式简化代数式，再结合已知条件代入求值． 【详解】原式 ， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为：． 5．已知，则的值是 ． 【答案】25 【分析】本题主要考查了代数式求值，掌握整体代入法是解题的关键．利用平方差公式分解，结合已知，推出，再将式子变形为，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：25． 6．观察下列等式：，，，……．利用你发现的规律回答：若，则的值是 ． 【答案】1 【分析】根据等式规律，推导出 ，再计算 的值； 本题考查了利用乘法公式进行推导，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 【详解】解：由已知等式规律可得 ， ∵ ， ∴ ， 解得 即， 因此 故答案为 ：1． 解答题 7．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用平方差公式计算即可； （2）利用完全平方公式计算即可； （3）将化为，然后利用完全平方公式计算即可； （4）将化为，化为，然后利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解： ． （4）解： ． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，平方差公式，完全平方公式的应用，能正确运用乘法公式进行计算是解此题的关键． 【题型2.运用完全平方公式进行计算】 8．下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方，完全平方公式，合并同类项，同底数幂的除法，正确计算是解题的关键． 检查各选项的运算法则，分别对每个选项进行计算，判断其运算结果是否正确． 【详解】解：A、，计算错误，不符合题意； B、，计算错误，不符合题意； C、，计算错误，不符合题意； D、 ，计算正确，符合题意； 故选：D． 9．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，掌握将对称数表示为中间数±差值，利用完全平方公式简化平方和计算是解题的关键． 将和分别表示为和，利用完全平方公式计算平方和． 【详解】解：设，则， ∵， ∴代入得， 故选：D． 10．已知无意义，则的值为 ． 【答案】34 【分析】本题考查代数式求值，涉及零指数幂的定义、乘法公式等知识，熟练掌握零指数幂的定义、乘法公式是解决问题的关键． 先由零指数幂的定义求出，再由完全平方和公式、平方差公式化简，最后将代入化简结果即可得到答案． 【详解】解：由零指数幂的定义，当无意义时，， 解得， ， 把代入，原式． 11．小石将展开后得到多项式，小明将展开后得到多项式．若两人计算过程无误，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据完全平方公式，分别求出 和 的值，再利用平方差公式计算 ； 本题考查了完全平方公式和平方差公式，熟练掌握两公式是解题的关键． 【详解】解： 展开后 项的系数 ； 展开后 项的系数 ． 则 ． 由平方差公式可得；． 故答案为：. 12．如图，用相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形……．按照这样的方法拼成的第个正方形比第个正方形多的小正方形的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形类的规律探究，完全平方公式等知识．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 由题意知，可推导一般性规律为：拼第个正方形需个小正方形，则第个正方形需个小正方形，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，拼第1个正方形需个小正方形， 拼第2个正方形需个小正方形， 拼第3个正方形需个小正方形， …… ∴可推导一般性规律为：拼第个正方形需个小正方形， ∴第个正方形需个小正方形， ∴， 故选：C． 13．设，，其中为实数，则与的大小关系是   【答案】 【分析】本题考查了整式的大小比较，完全平方式的应用，利用作差法求出，进而根据结果即可判断求解，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴， 即， 故答案为：． 【题型3.整式的混合运算】 14．若表示一种新的运算，其运算法则为，则的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算、新定义，解题的关键是明确题意，利用新定义解答．根据新定义列出式子，然后根据单项式乘多项式进行计算即可． 【详解】解：由题意可得， 故答案为：． 15．设，其中，当时，求 ． 【答案】12 【分析】本题考查了完全平方公式及运用；利用整式的混合运算化简求值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．由，可得，，，，结合以及式子，可计算出其值． 【详解】解：∵，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 则 故答案为：12． 16．观察下列算式：①；②；③；…结合你观察到的规律判断的计算结果的末位数字为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了整式的混合运算和求值的运用，熟练掌握多项式的乘法运算和数字的变化规律是解题关键．根据已知式子的特点得出规律，求出式子的结果，再求出的个位数字，最后即可得出答案． 【详解】解：∵①， ②， ③， …， ， ． ，，，，，，的乘方运算，其末位数字分别为，，，，每个为一组，依次循环． ， 的末位数字为， 的末位数字为， 即的计算结果的末位数字为． 故选：B． 17．如图，有三张边长分别为a，b，c的正方形纸片A，B，C，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中．记图1中阴影部分周长为部分周长为，面积为；图2中阴影部分周长为，面积为，若，则b与c满足的关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式混合运算在面积中的应用，正确用含，，的代数式表示出、和、是解题关键．用含，，的代数式表示出图1、图2中阴影部分的周长和面积，可得、，代入，进行计算，即可求解． 【详解】解：根据题意，得：长方形的长为，宽为， 则，， ， ， ，， ， ∴ ∴， 解得：， 故选：C． 18．如图，依次输入数x，y，经过“数值转换机”后会输出新数．若依次输入数a，b，输出的新数是0；若依次输入数b，a，输出的新数是．则a，b的值分别为（   ） A．2，1 B．1，2 C．2，3 D．3，2 【答案】C 【分析】本题考查整式混合运算，解二元一次方程组，正确建立a，b的方程组是解题的关键． 先化简得，再根据输入数a，b，输出的新数是0；若依次输入数b，a，输出的新数是，得，解之即可求解． 【详解】解： 由题意，得， 解得：， ∴a，b的值分别为2，3． 故选：C． 解答题 19．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查整式的混合运算及化简求值，先根据乘法公式展开，再合并同类项，最后计算多项式除以单项式化简，再把代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【题型4.平方差公式与几何图形】 20．如图（阴影部分面积相等），其中能够验证平方差公式的是 ．（填序号） 【答案】①②/②① 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，掌握利用两个图形阴影部分的面积相等是解题关键． 分别计算图①和图②中两个图形中的阴影部分的面积，再根据两图阴影的面积相等，可得答案． 【详解】解：题图①中，上边是一个长为、宽为的长方形，下边大正方形减去小正方形的面积为， ，能够验证平方差公式； 题图②中，左上边是一个上底为、下底为、高为的等腰梯形，下边大正方形减去小正方形的面积为， ． 题图②中，右上边是一个底边长为，高为的平行四边形，下边大正方形减去小正方形的面积为， ，能够验证平方差公式； 综上所述，能够验证平方差公式的是①②． 故答案为：①②． 21．如图，在边长为的正方形中，减去一个边长为的小正方形（），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于、的恒等式（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式与几何图形，利用图形面积相等建立等式是解题的关键． 分别表示出两个图形中阴影部分的面积，根据阴影部分面积相等即可得到答案． 【详解】解：∵正方形中，， 梯形中，， ∴关于、的恒等式为：． 故选：C． 22．如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图②是由图①中阴影部分拼成的一个长方形． (1)设图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为，请用含a，b的代数式表示和． (2)以上结果可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式． (3)运用（2）中得到的公式，计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1） 图①阴影面积用大正方形面积减去小正方形面积；图②阴影是长方形，用长×宽表示面积； （2） 由两个阴影面积相等，推导出对应的乘法公式； （3） 将变形为，用平方差公式简化计算． 【详解】（1）解：由题意得，，． （2）解：由（1），可得乘法公式． （3）解： ． 【点睛】本题考查了平方差公式的几何验证与代数应用，掌握用面积相等推导公式，以及将数变形为平方差形式简化计算是解题的关键． 23．如图，在一个大正方形的一个角上剪去一个小正方形，剩余部分剪拼出一个长方形，由此可以得到一个结论．根据这个结论解决下面的问题：若两个自然数的平方的差为2023，则这两个自然数的乘积最小为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式，解二元一次方程组，根据图形面积之间的关系可证明，设自然数m与自然数n的平方差为2023，则，根据，得到或或，解方程组求出m、n的值，进而求出对应的的值即可得到答案． 【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， 则左边那幅图中红色部分的面积为，右边那幅图中红色部分的面积为， 因为两幅图中红色部分的面积相等， 所以， 设自然数m与自然数n的平方差为2023， 所以， 因为m、n都是自然数， 所以都是自然数， 所以， 所以或或， 所以或或， 所以或或， 因为， 所以的最小值为， 故答案为：． 解答题 24．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是______． (2)应用你（1）中得出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值． ②计算：． 【答案】(1) (2)①3；② 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． （1）分别用代数式表示图1、图2中阴影部分的面积即可； （2）①利用平方差公式得，再代入计算即可； ②将原式化为，再连续利用平方差公式即可． 【详解】（1）解：图1阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的图2是长为，宽为的长方形， 面积为， ， 故答案为：； （2）解：① ； ② ． 【题型5.由完全平方公式变形求值】 25．已知，则的值为（   ） A．3 B．9 C．49 D．100 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值． 利用完全平方公式求的值，再根据选项判断． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：B． 26．若，则的值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了完全平方公式，非负数的性质，掌握完全平方公式的结构特征是解题关键．将给定方程整理后，通过完成平方得到关于x和y的平方和为零，从而求出x和y的值，再代入表达式求值． 【详解】解：， ， ， ， ，， ，， ， 故答案为：9． 27．若长方形的周长为16，其邻边为整数，且满足则长方形的面积为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式的应用．因为边长为a，b，根据周长为16可得，再将原式整理，整体代入求解即可． 【详解】解：依题意得．则， ∴，即， 解得：． 故选：D． 28．如图，边长分别为、（）的两个正方形紧贴摆放．设阴影面积为．如图1，若，则的值是 ；如图2，若，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式、整式的混合运算、用完全平方公式变形求值，解决本题的关键是根据阴影的面积列代数式． (1)根据阴影与正方形的位置关系可得：，把代入代数式求值即可； (2)根据阴影与正方形的位置关系可得：，利用完全平方公式变形可以求出，把式子的值代入代数式计算求值． 【详解】解： ， 当时， ； ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ． 故答案为：，． 解答题 29．若． (1)若与为相反数，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)25 【分析】本题考查了绝对值非负性，相反数的定义，通过对完全平方公式变形求值，已知式子的值求代数式的值，整式的加减中的化简求值，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）根据互为相反数的两个数的和为0可得x和y的值，然后代入A和B，再进行化简即可得结果； （2）先利用整式加减求出，再将，整体代入，即可求出的值． 【详解】（1）解：∵与为相反数， ∴， ∴，， 解得，， ∵，， ∴， ， ∴ ； （2）∵，， ∴ ， ∵ ∴原式 ， ∴的值为25． 【题型6.求完全平方式中的字母系数】 30．若是完全平方式，则的值为（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据完全平方式的定义求参数，完全平方式：的特点是首平方，尾平方，首尾底数积的两倍在中央，先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方式的二倍项即可求解． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 31．若是完全平方式，则 ． 【答案】或5/5或 【分析】本题考查完全平方公式，掌握知识点是解题的关键．根据完全平方公式求解即可． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， 即或， 解得或． 故答案为：或5． 32．如果多项式是多项式乘法利用完全平方公式化简后的结果，那么b的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查完全平方式，掌握完全平方式的构成特点是解题的关键． 多项式的首项和末项分别是和3的平方，那么中间一项是加上或减去与3积的2倍，由此得到答案． 【详解】解：解：∵关于x的多项式是一个完全平方式，，， ∴． 在中， 即， ∴． 故答案为：． 33．若是一个完全平方式，且为一个常数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了多项式乘以多项式，完全平方公式，将原式展开后，设，通过比较系数法求常数a的值． 【详解】∵，且该式为完全平方式， ∴设， 比较系数得：， ∴， 又， ∴． 故选：D． 【题型7.完全平方公式的几何应用】 34．如图所示，两个正方形的边长分别为和，如果，，那么阴影部分的面积是（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据题意列出阴影部分面积的表达式是解题的关键．由图可得，列式根据完全平方公式变形再计算即可． 【详解】解： ， 故选：C． 35．如图，将甲、乙两个正方形并列放置后构造新的图形，分别得到长方形图1与正方形图2．若图1、图2中阴影部分的面积分别为9与36，则正方形乙的面积为（   ） A．18 B．13 C．10 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减，代数式，完全平方公式，熟练掌握知识点是解题的关键． 甲正方形的边长为a，乙正方形的边长为b，表示图1阴影的面积得到，图2中阴影的面积得到，化简为，整体代入计算即可得到答案． 【详解】解：设甲正方形的边长为a，乙正方形的边长为b，由题意得 图1中阴影的面积为； 图2中阴影的面积为，即， ∴，即乙正方形的面积为9． 故选D． 36．如图，在长方形中，有正方形，正方形和正方形．，分别表示正方形，正方形的面积，若，，则阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． 设，根据“，”，可列出关于x，y的方程组，再利用，即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：设， 根据题意得：， 得： 即， ∴阴影部分的面积是． 故答案为：． 37．若干个大小形状完全相同的小长方形，现将其中4个小长方形按如图1摆放，构造出一个正方形，其中阴影部分面积为40；再将其中5个小长方形按如图2摆放，构造出一个大长方形，其中阴影部分面积为100（各个小长方形之间不重叠不留空），则每个小长方形的面积为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了完全平方公式，利用方程思想列等式，再利用完全平方公式整理式子，确定小长方形的面积． 【详解】解：设长方形的长为a，宽为b， 由图1可知，，即①， 由图2可知，，即②， 由①②得， ∴， 即每个长方形的面积为5， 故答案为：5． 解答题 38．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形．用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张可拼成如图2的大正方形． (1)请用两种不同的方法求图2大正方形的面积（答案直接填写到题中横线上）； 方法1______；方法2______． (2)观察图2，请你直接写出下列三个代数式：，，之间的等量关系； (3)类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证：，请你将该示意图画在答题卡上； (4)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)见解析 (4)①；②16 【分析】本题考查完全平方公式的运用，利用数形结合的思想和熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据大正方形的面积计算，两个小正方形和两个小矩形的面积计算即可； （2）由大正方形的面积=两个小正方形+两个小矩形的面积即得出答案； （3）由等式可得出该图形为长为，宽为的大正方形，即由2个边长为b，1个边长为a的正方形，3个长为b，宽为a的长方形组成，据此画出图形即可； （4）①由题意可求出，即，再将代入求解即可； ②将原等式改为，再将看作整体，由完全平方公式去括号计算即可． 【详解】（1）解：方法1：由大正方形的面积计算：， 方法2：由两个小正方形和两个小矩形的面积计算：； （2）解：由图2可直接得出； （3）解：如图； ； （4）解：①∵， ∴，即． ∵， ∴， ∴； ②， ， ， ， ∴． 【题型8.完全平方式的几何应用】 39．如图，要用木板为一幅正方形油画装裱边框，其中油画的边长为，边框每条边的宽度为，则制作边框的木板面积为（　　）（不计接缝） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了整式混合运算的应用，根据题意，总面积减去正方形油画的面积即可． 【详解】解：根据题意，制作边框的面积是： ， 故选：B． 40．如图，长方形的周长是，分别以为边向外作正方形和正方形．若长方形的面积是，则正方形和的面积之和为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用矩形的长和宽分别表示矩形的周长和面积，正方形的面积和，从而运用完全平方公式的变形计算即可． 【详解】设， ∵长方形的周长是，长方形的面积是， ∴，， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了图形的面积与完全平方公式，熟练掌握矩形的面积，周长的计算公式，正方形的面积的个数，两数和的完全平方公式是解题的关键． 41．如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为，．已知，，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式与几何图形的面积，根据正方形的性质，可得，设，则，即得，，进而得到，再利用可求得，据此即可求解，掌握完全平方公式的运用是解题的关键． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 42．如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为．已知，，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，根据正方形的性质，得到，设，得到，进而得到，进而得到，利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∴， ∴， 设，则：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：， ∴． 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03乘法公式题型突破讲义（2） 一.核心公式（必须熟练默写、灵活运用） 1. 平方差公式 公式：(a+b)(a−b)=a2−b2 结构特征： 左边是两个二项式相乘，一项完全相同，一项互为相反数； 右边是相同项的平方减去相反项的平方。 2. 完全平方公式 和的完全平方：(a+b)2=a2+2ab+b2 差的完全平方：(a−b)2=a2−2ab+b2 结构特征： (1)左边是一个二项式的平方； (2)右边是三项式，首末两项是两数的平方（均为正），中间项是两数积的 2 倍（符号与左边二项式中间符号一致）。 二、公式的变形与拓展（解题高频考点） 1. 平方差公式常见变形 位置变形：(b+a)(−b+a)=a2−b2 符号变形：(−a−b)(a−b)=(−b)2−a2=b2−a2 系数 / 指数变形：(2x+3y)(2x−3y)=(2x)2−(3y)2=4x2−9y2 2. 完全平方公式常见变形 移项变形：a2+b2=(a+b)2−2ab=(a−b)2+2ab 乘积变形：ab==​ 三项式平方：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac 三、关键易错点（必须重点规避） 1.完全平方公式漏 “2 倍项” 错误：(a+b)2=a2+b2正确：(a+b)2=a2+2ab+b2 2. 完全平方公式符号错误 错误：(a−b)2=a2−b2正确：(a−b)2=a2−2ab+b2 3.平方差公式混淆 “同项” 与 “异项” 错误：(a+2b)(a−3b)=a2−6b2（不满足平方差结构，不能用公式） 4. 系数、符号未整体平方 错误：(2x−3)2=2x2−12x+9正确：(2x−3)2=4x2−12x+9 基础 过关题 1.运用平方差公式进行运算 2.运用完全平方公式进行运算 3.整式的混合运算 能力 提升题 4.平方差公式与几何图形 5.由完全平方公式变形求值 6.求完全平方式中的字母系数 拓展 拔高题 7.完全平方公式的几何应用 8.完全平方式的几何应用 【题型1.运用平方差公式进行运算】 1．利用平方差公式计算的结果是（   ） A． B．1 C． D．2 2．运用平方差公式计算，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 3．若，，则的值为（    ） A． B．15 C． D．56 4．已知，则 ． 5．已知，则的值是 ． 6．观察下列等式：，，，……．利用你发现的规律回答：若，则的值是 ． 解答题 7．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【题型2.运用完全平方公式进行计算】 8．下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 9．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 10．已知无意义，则的值为 ． 11．小石将展开后得到多项式，小明将展开后得到多项式．若两人计算过程无误，则的值为 ． 12．如图，用相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形……．按照这样的方法拼成的第个正方形比第个正方形多的小正方形的个数为（    ） A． B． C． D． 13．设，，其中为实数，则与的大小关系是   【题型3.整式的混合运算】 14．若表示一种新的运算，其运算法则为，则的结果为 ． 15．设，其中，当时，求 ． 16．观察下列算式：①；②；③；…结合你观察到的规律判断的计算结果的末位数字为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 17．如图，有三张边长分别为a，b，c的正方形纸片A，B，C，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中．记图1中阴影部分周长为部分周长为，面积为；图2中阴影部分周长为，面积为，若，则b与c满足的关系为（　　） A． B． C． D． 18．如图，依次输入数x，y，经过“数值转换机”后会输出新数．若依次输入数a，b，输出的新数是0；若依次输入数b，a，输出的新数是．则a，b的值分别为（   ） A．2，1 B．1，2 C．2，3 D．3，2 解答题 19．先化简，再求值：，其中． 【题型4.平方差公式与几何图形】 20．如图（阴影部分面积相等），其中能够验证平方差公式的是 ．（填序号） 21．如图，在边长为的正方形中，减去一个边长为的小正方形（），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于、的恒等式（   ） A． B． C． D． 22．如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图②是由图①中阴影部分拼成的一个长方形． (1)设图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为，请用含a，b的代数式表示和． (2)以上结果可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式． (3)运用（2）中得到的公式，计算：． 23．如图，在一个大正方形的一个角上剪去一个小正方形，剩余部分剪拼出一个长方形，由此可以得到一个结论．根据这个结论解决下面的问题：若两个自然数的平方的差为2023，则这两个自然数的乘积最小为 ． 解答题 24．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是______． (2)应用你（1）中得出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值． ②计算：． 【题型5.由完全平方公式变形求值】 25．已知，则的值为（   ） A．3 B．9 C．49 D．100 26．若，则的值为 ． 27．若长方形的周长为16，其邻边为整数，且满足则长方形的面积为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 28．如图，边长分别为、（）的两个正方形紧贴摆放．设阴影面积为．如图1，若，则的值是 ；如图2，若，，则的值是 ． 解答题 29．若． (1)若与为相反数，求的值； (2)若，求的值． 【题型6.求完全平方式中的字母系数】 30．若是完全平方式，则的值为（   ） A．4 B．8 C． D． 31．若是完全平方式，则 ． 32．如果多项式是多项式乘法利用完全平方公式化简后的结果，那么b的值是 ． 33．若是一个完全平方式，且为一个常数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【题型7.完全平方公式的几何应用】 34．如图所示，两个正方形的边长分别为和，如果，，那么阴影部分的面积是（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 35．如图，将甲、乙两个正方形并列放置后构造新的图形，分别得到长方形图1与正方形图2．若图1、图2中阴影部分的面积分别为9与36，则正方形乙的面积为（   ） A．18 B．13 C．10 D．9 36．如图，在长方形中，有正方形，正方形和正方形．，分别表示正方形，正方形的面积，若，，则阴影部分的面积是 ． 37．若干个大小形状完全相同的小长方形，现将其中4个小长方形按如图1摆放，构造出一个正方形，其中阴影部分面积为40；再将其中5个小长方形按如图2摆放，构造出一个大长方形，其中阴影部分面积为100（各个小长方形之间不重叠不留空），则每个小长方形的面积为 ． 解答题 38．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形．用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张可拼成如图2的大正方形． (1)请用两种不同的方法求图2大正方形的面积（答案直接填写到题中横线上）； 方法1______；方法2______． (2)观察图2，请你直接写出下列三个代数式：，，之间的等量关系； (3)类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证：，请你将该示意图画在答题卡上； (4)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知，求的值． 【题型8.完全平方式的几何应用】 39．如图，要用木板为一幅正方形油画装裱边框，其中油画的边长为，边框每条边的宽度为，则制作边框的木板面积为（　　）（不计接缝） A． B． C． D． 40．如图，长方形的周长是，分别以为边向外作正方形和正方形．若长方形的面积是，则正方形和的面积之和为（    ）    A． B． C． D． 41．如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为，．已知，，且，则 ． 42．如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为．已知，，且，则 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $