第9章 图形的变换-平移与轴对称 讲义 2025-2026学年苏科版数学七年级下册

本初中数学讲义聚焦图形变换中的平移与轴对称核心知识点，从概念理解到性质掌握，再到尺规作图（线段垂直平分线、角平分线）及图形变换作图，结合实际应用构建完整学习支架。 资料亮点在于融合中考及期中真题，通过“将军饮马”等问题培养数学眼光，分层练习提升推理能力，助力课中教学效率提升，课后可通过典型例题回顾强化，有效查漏补缺。

第9章 图形的变换-平移与轴对称 学习目标： 1、 理解平移、轴对称的概念。 2、 掌握平移、轴对称的基本性质，并能够灵活应用。 3、 掌握垂直平分线的概念。 4、 会用尺规作图作出线段的垂直平分线和角的平分线。 5、 能够按要求作出简单平面图形经过平移、轴对称后的图形。 知识归纳： 一、平移 1、平移的概念 （1）平移：一般地，在平面内，将一个图形沿直线的某个方向平行移动一定的距离后得到另一个图形的平面变换叫作平移。 （2）平移中的对应元素：对应点、对应线段、对应角。 2、平移的基本性质 （1）平移前后的两个图形可以重合，对应线段相等，对应角也相等。 （2）平移前后的两个图形中，两组对应点的连线段平行（或在同一条直线上）且相等。 3、平移的方向与距离 平移的方向：平移前后对应点的连线的方向是平移的方向。 平移的距离：对应点连线所得的线段的长度是平移的距离。 4、平移作图 练习： 1、甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是 （ ） 2、如图所示，某商场重新装修后准备在大厅的主楼梯上铺设一种红色的地毯，已知这种地毯的批发价为每平方米40元，且知主楼梯道的宽为3m，其侧面如图所示，则买地毯至少需要 ( ) 元。 A. 1881.6 B. 768 C. 1008 D. 672 3、（2024·廊坊期中）如图，把三角形ABC沿AC方向平移3cm得到三角形MDN，AN=10cm，则MC的长是 cm. 4、如图，把∠AOB沿着直线MN平移一定的距离，得到∠CPD，若∠AOM=40°，∠DPN=40°，则∠AOB的度数为 °. 5、如图，将△ABD沿BD所在直线向右平移，得到△A’B’D’，点C为BD延长线上一点，A’B’交AC于点E，AD平分∠BAC，∠A’= 40°，则∠B’EC = 。 6、如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点A、B、C及点A1在网格的格点上，平移后A的对应点为A1． （1）在网格中画出△ABC平移后所得的△A1B1C1； （2）连接AA1，CC1，则AA1与CC1的关系是 ； （3）计算线段AC在平移到线段 A1C1的过程中，扫过的区域的面积。 7.（2024·龙岩期中）如图是两个有重叠的直角三角形，可以看作是将其中的一个直角三角形ABC沿着BC方向平移5个单位长度就得到了另一直角三角形DEF，其中AB=8，BE=5，DH=3. （1）线段AC与线段DF的关系为 ； （2）求四边形DHCF的面积； （3）连接CD，若∠A=65°，∠EDC=50°，求∠ACD的度数。 二、轴对称 1、轴对称的概念 一般地，将一个平面图形沿某条直线翻折后得到另一个图形的平面变换叫作轴对称，这条直线叫作对称轴。此时称这两个图形成轴对称。 2、线段的垂直平分线 （1）概念：垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线，简称中垂线。 （2）作线段AB的垂直平分线（尺规作图）： ①分别以点A，点B为圆心，取大于长为半径，作两条相交的弧，交点记作为C，D； ②作直线CD，与AB相交于点O, 直线CD即为所求。 3、轴对称的基本性质 （1）成轴对称的两个图形可以重合，对应线段相等，对应角也相等。 （2）成轴对称的两个图形中，不在对称轴上的两个对应点的连线段被对称轴垂直平分。也就是说，成轴对称的两个图形中，对称轴是任意两个对称点连线段的垂直平分线。 4、轴对称图形 （1）概念：如果一个图形关于某条直线成轴对称的图形是其本身，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴。 （2）线段是轴对称图形，它有两条对称轴：一条是线段的垂直平分线；一条是线段本身。 角也是轴对称图形，它的对称轴是：角平分线所在直线。 （3）作∠AOB的平分线（尺规作图）： ①以点O为圆心、任意长为半径作弧，与OA，OB分别交于点P，Q； ②分别以点 P，Q为圆心，取大于长为半径作弧，交于点O'，连接OO'。射线OO'即为所求。 （4） 设计轴对称图形 5、将军饮马 练习： 1、（2024江苏南京六合期中）下列说法中错误的是 （ ） A. 角的两边关于角平分线所在直线对称 B. 两点关于连接它们的线段的垂直平分线对称 C. 成轴对称的两个三角形的对应点或对应线段或对应角也分别成轴对称 D. 到直线l的距离相等的点关于l对称 2、如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DM交BC于点D，边AC的垂直平分线EN交BC于点E。已知△ADE 的周长为8cm，则BC的长为 （ ） A. 4cm B. 5cm C. 6cm D. 8cm 3、（聊城中考）如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上。若PM=2.5cm，PN=3cm，MN=4cm，则线段QR的长为 （ ） A. 4.5cm B. 5.5cm C. 6.5cm D. 7cm 4、如图，在长方形ABCD中，AD=BC=6，AB=CD=8，AC=10，动点M在线段AC上运动（不与端点重合），点M关于边AD，DC的对称点分别为M1，M2，连接M1M2，点D在M1M2上，则在点M的运动过程中，线段M1M2长度的最小值是 5、（2024·宁波期中）如图，长方形纸片ABCD分别沿直线OP，OQ折叠，若∠POQ=80°，则A'OB'= . 6、如图，三角形纸片中，AB=8cm，AC=6cm，BC=5cm。沿过点B的直线折叠这个三角形纸片，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，求△ADE的周长。 7、（2024江苏淮安期中）如图，小明在课余时间拿出一张长方形纸片ABCD（∠A=∠B=∠C=90°），他先将纸片沿EF折叠，再将折叠后的纸片沿GH折叠，使得GD'与A'B'重合，展开纸片后测量发现∠BFE=64°，求∠DGH的度数。 8、（2024江苏苏州吴江期中）如图，△ABC与△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上。若ED=11cm，FC=5cm，∠BAD=88°，∠EAC=106°。 （1）求出BF的长度。 （2）求∠CAD的度数。 （3）连接EC，线段EC与直线MN有怎样的关系？ 9、（2024·盐城校级月考）综合与实践。 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句，“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马。如图①，将军从山脚下的点A出发，到达河岸点C饮马后再回到点B宿营，他时常想， 怎么走，才能使他走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 （1）小亮：作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的.（如图②） 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图③，在直线l上另取任一点C'，连接AC'，BC'，B'C'，我只要得出AC+CB<AC'+C'B。因为直线l是点B，B'的对称轴，点C，C'在l上，所以CB= ，C'B= 。请完整地写出小亮的说理过程。 【解决问题】 （2） 如图④，将军牵马从军营P处出发，到河流OA饮马，再到草地OB吃草，最后回到P处，试分别在边OA和OB上各找一点E，F，使得走过的路程最短。（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线） 10、（2024·成都期末）若∠α和∠β均为大于0°小于180°的角，且，则称∠α和∠β互为“伙伴角”。根据这个约定，解答下列问题： （1）若∠α和∠β互为“伙伴角”，当∠α=130°时，求∠β的度数； （2）如图①，将一长方形纸片沿着EP对折（点P在线段BC上，点E在线段AB上），使点B落在点B'处。若∠1与∠2互为“伙伴角”，求∠3的度数； （3）如图②，在图①的基础上，再将长方形纸片沿着PF对折（点F在线段AD上），使点C落在线段PE上的点C'处，线段PB'落在∠EPF内部。若∠1与∠4互为“伙伴角”，求∠BPF的度数。 参考答案： 一、平移 1、甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是 （ A ） 2、如图所示，某商场重新装修后准备在大厅的主楼梯上铺设一种红色的地毯，已知这种地毯的批发价为每平方米40元，且知主楼梯道的宽为3m，其侧面如图所示，则买地毯至少需要 ( C ) 元。 A. 1881.6 B. 768 C. 1008 D. 672 3、 （2024·廊坊期中）如图，把三角形ABC沿AC方向平移3cm得到三角形MDN，AN=10cm，则MC的长是 4 cm. 4、 如图，把∠AOB沿着直线MN平移一定的距离，得到∠CPD，若∠AOM=40°，∠DPN=40°，则∠AOB的度数为 100 °. 5、 如图，将△ABD沿BD所在直线向右平移，得到△A’B’D’，点C为BD延长线上一点，A’B’交AC于点E，AD平分∠BAC，∠A’= 40°，则∠B’EC = 80°。 6、 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点A、B、C及点A1在网格的格点上，平移后A的对应点为A1． （1）在网格中画出△ABC平移后所得的△A1B1C1； （2）连接AA1，CC1，则AA1与CC1的关系是 AA1∥CC1，AA1=CC1 ； （3）计算线段AC在平移到线段 A1C1的过程中，扫过的区域的面积。 解：（1）略 （3）用割补法可以求得：S=14 7.（2024·龙岩期中）如图是两个有重叠的直角三角形，可以看作是将其中的一个直角三角形ABC沿着BC方向平移5个单位长度就得到了另一直角三角形DEF，其中AB=8，BE=5，DH=3. （1）线段AC与线段DF的关系为 平行且相等 ； （2）求四边形DHCF的面积； （3）连接CD，若∠A=65°，∠EDC=50°，求∠ACD的度数。 解：（2）∵三角形ABC沿着BC方向平移就得到三角形DEF ∴S△ABC=S△DEF ∴S四边形DHCF=S梯形ABEH==32.5 （3）在直角三角形ABC中，∵∠A=65°，∠B=90° ∴ACB=25° ∵∠EDC=50° ∴∠ECD=90°-50°=40° ∵∠ACD=∠ECD-∠ACB=15° 二、轴对称 1、（2024江苏南京六合期中）下列说法中错误的是 （ D ） A. 角的两边关于角平分线所在直线对称 B. 两点关于连接它们的线段的垂直平分线对称 C. 成轴对称的两个三角形的对应点或对应线段或对应角也分别成轴对称 D. 到直线l的距离相等的点关于l对称 2、如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DM交BC于点D，边AC的垂直平分线EN交BC于点E。已知△ADE的周长为8cm，则BC的长为 （ D ） A4cm B. 5cm C. 6cm D. 8cm 3、 （聊城中考）如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上。若PM=2.5cm，PN=3cm，MN=4cm，则线段QR的长为 （ A ） A. 4.5cm B. 5.5cm C. 6.5cm D. 7cm 4、 如图，在长方形ABCD中，AD=BC=6，AB=CD=8，AC=10，动点M在线段AC上运动（不与端点重合），点M关于边AD，DC的对称点分别为M1，M2，连接M1M2，点D在M1M2上，则在点M的运动过程中，线段M1M2长度的最小值是 9.6 5、 （2024·宁波期中）如图，长方形纸片ABCD分别沿直线OP，OQ折叠，若∠POQ=80°，则A'OB'= 20° . 6、 如图，三角形纸片中，AB=8cm，AC=6cm，BC=5cm。沿过点B的直线折叠这个三角形纸片，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，求△ADE的周长。 解：∵翻折 ∴BE=BC=5，DE=CD ∴AD+DE=AC=6 又∵AE=AB-BE=8-5=3 ∴AD+DE+AE=6+3=9cm 即△ADE的周长为9cm 7、 （2024江苏淮安期中）如图，小明在课余时间拿出一张长方形纸片ABCD（∠A=∠B=∠C=90°），他先将纸片沿EF折叠，再将折叠后的纸片沿GH折叠，使得GD'与A'B'重合，展开纸片后测量发现∠BFE=64°，求∠DGH的度数。 解：∵长方形纸片ABCD ∴∠BFE=∠FEG=64°, ∠AEF=116° ∵纸片沿EF折叠 ∴∠A'EF=∠AEF=116°，∠A'=∠A=90° ∴∠A'EG=116°-64°=52° ∴∠A'GE=90°-52°= 28° ∵纸片沿GH折叠 ∴∠DGH=∠D'GH=∠DGD'=A'GE= 19° 8、（2024江苏苏州吴江期中）如图，△ABC与△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上。若ED=11cm，FC=5cm，∠BAD=88°，∠EAC=106°。 （1）求出BF的长度。 （2）求∠CAD的度数。 （3）连接EC，线段EC与直线MN有怎样的关系？ 解：（1）BF=BC-CF=ED-CF=6cm （2） （3）MN垂直平分EC 9、（2024·盐城校级月考）综合与实践。 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句，“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马。如图①，将军从山脚下的点A出发，到达河岸点C饮马后再回到点B宿营，他时常想， 怎么走，才能使他走的路程之和最短呢？ 【分析问题】（1）小亮：作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的.（如图②）小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图③，在直线l上另取任一点C'，连接AC'，BC'，B'C'，我只要得出AC+CB<AC'+C'B。因为直线l是点B，B'的对称轴，点C，C'在l上，所以CB= ，C'B= 。请完整地写出小亮的说理过程。 【解决问题】（3）如图④，将军牵马从军营P处出发，到河流OA饮马，再到草地OB吃草，最后回到P处，试分别在边OA和OB上各找一点E，F，使得走过的路程最短。（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线） 解：（1）因为直线l是点B,B'的对称轴，点C,C'在l上，所以CB=CB'，C'B=C'B'，所以 AC+BC=AC+B'C=AB'，AC'+BC'=AC'+C'B'，由两点之间线段最短可知，AB'<AC'+B'C'，所以AC+CB<AC'+C'B，所以作点B关于直线l的对称点B’，连接AB'与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的。 (2) 如图所示，分别作点P关于OA，OB的对称点C，D，连接CD分别交OA，OB于E，F，则路线PE，EF，PF即为所求。由对称可得CE=PE，DF=PF，则PE+EF+PF=CE+EF+DF，根据两点之间线段最短可得路线PE，EF，PF即为所求。 10、（2024·成都期末）若∠α和∠β均为大于0°小于180°的角，且，则称∠α和∠β互为“伙伴角”。根据这个约定，解答下列问题： （1）若∠α和∠β互为“伙伴角”，当∠α=130°时，求∠β的度数； （2）如图①，将一长方形纸片沿着EP对折（点P在线段BC上，点E在线段AB上），使点B落在点B'处。若∠1与∠2互为“伙伴角”，求∠3的度数； ∠3=40°或∠3=80° （3）如图②，在图①的基础上，再将长方形纸片沿着PF对折（点F在线段AD上），使点C落在线段PE上的点C'处，线段PB'落在∠EPF内部。若∠1与∠4互为“伙伴角”，求∠BPF的度数。 解：（1）∠β=70° （2）∠3=40°或∠3=80° （3） ∠4=80°， ∠3=20°，∠BPF=100° 1 学科网（北京）股份有限公司 $