8.4 乘法公式重难点题型 讲义 2025-2026学年苏科版数学七年级下册

8.4乘法公式 重难点题型（2个知识点+7种题型） 【题型归纳】 题型1 运用完全平方公式进行运算 1 题型2 完全平方公式（求系数的值） 2 题型3 完全平方公式与几何图形 3 题型4 运用平方差公式进行运算 5 题型5 平方差公式与几何图形 6 题型6 乘法公式（求代数式的值） 7 题型7 乘法公式的综合运算 8 一、知识梳理 要点一、平方差公式 平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 要点二、完全平方公式 完全平方公式： 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： 二、题型精讲 题型1 运用完全平方公式进行运算 例1.若，则代数式的值为（    ） A．4 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了代数式求值，完全平方公式，先求出，再把代入所求式子中利用完全平方公式求解即可． 【详解】解；∵， ∴， ∴ ， 故选：D． 【变式1】若，，那么______． 【答案】 【解析】解析：∵， ∴ 题型2 完全平方公式（求系数的值） 例2.若是一个完全平方式，则的值是_____． 【答案】9或-7 【解析】解析：∵ ∴ 解得或 即或 【变式2-1】如果x2+8x+m2是一个完全平方式，那么m的值是（　　） A．4 B．16 C．±4 D．±16 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值． 【解答】解：∵x2+8x+m2是一个完全平方式， ∴m2＝16， 解得：m＝±4． 故选：C． 【变式2-2】若x2﹣2（m﹣1）x+4是一个完全平方式，则m＝　3或﹣1　． 【分析】根据完全平方公式得出2（m﹣1）x＝±2•x•2，求出m即可． 【解答】解：∵x2﹣2（m﹣1）x+4是一个完全平方式， ∴﹣2（m﹣1）x＝±2•x•2， 解得：m＝3或﹣1． 故答案为：3或﹣1． 题型3 完全平方公式与几何图形 例3.用4块完全相同的长方形拼成如图所示的正方形，用不同的方法计算图中阴影部分的面积，可得到一个关于a，b的等式为（　　） A．4a（a+b）＝4a2+4ab B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab 【分析】由观察图形可得阴影部分的面积为4ab，也可以表示为（a+b）2﹣（a﹣b）2，可得结果． 【解答】解：∵图形中大正方形的面积为（a+b）2， 中间空白正方形的面积为（a﹣b）2， ∴图中阴影部分的面积为（a+b）2﹣（a﹣b）2， 又∵图中阴影部分的面积还可表示为4ab， ∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab， 故选：D． 【变式3-1】如图，C是上一点，分别以、为边画正方形与正方形，连接、．已知 ，的面积为，则正方形与正方形的面积的和为 ．    【答案】 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．设，根据正方形的性质得到，由得到，由的面积为，得到，据此利用完全平方公式求出的值即可得到答案． 【详解】解：设， ∵四边形、都是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴正方形与正方形的面积的和为， 故答案为：． 【变式3-2】（1）如图是用4个全等的长方形拼成的一个“回形”正方形，将图中阴影部分面积用2种方法表示可得一个等式，这个等式为______． （2）若，，求的值． 【答案】见解析 【解析】解析：（1） （2）∵， ∴ ∴ 题型4 运用平方差公式进行运算 例4.下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 解析：A、原式=（−3y+4x）（−3y−4x），可以运用平方差公式，错误； B、符合两个数的和与这两个数差的积的形式，可以运用平方差公式，错误； C、可以把−c+a看做一个整体，故原式=（−c+a+b）（−c+a−b），可以运用平方差公式，错误； D、不能整理为两个数的和与这两个数差的积的形式，所以不可以运用平方差公式，正确． 故选：D． 【变式4】计算：（1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【知识点】合并同类项、幂的乘方运算、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查整式的混合运算，涉及幂的乘方、平方差公式、合并同类项，正确求解是解答的关键． （1）先进行幂的乘方运算，再合并同类项即可求解； （2）利用平方差公式求解即可． 【详解】（1） ； （2） ． 题型5 平方差公式与几何图形 例5.如图，大正方形与小正方形的面积之差是30，则阴影部分的面积是（ ） A．15 B．10 C．30 D．20 【答案】A 【解析】解析：设大正方形边长为x，小正方形边长为y，则， 阴影部分的面积是： ， ． 故选：A． 【变式5】图①、图②分别由两个长方形拼成： (1)图②中的阴影部分的面积是：，那么图①中的阴影部分的面积为______________． (2)观察图①和图②，请你写出代数式之间的等量关系式________________． (3)根据你得到的关系式解答下列问题：若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形 【分析】（1）由图①中的阴影部分的面积为边长为a的大正方形的面积减去边长为b的小正方形的面积，再结合正方形的面积公式即可解答； （2）由题意可知图①中的阴影部分的面积和图②中的阴影部分的面积相等，从而可得出等式； （3）由平方差公式求解即可． 【详解】（1）图①中的阴影部分的面积为边长为a的大正方形的面积减去边长为b的小正方形的面积，即为：． 故答案为：； （2）由题意可知图①中的阴影部分的面积和图②中的阴影部分的面积相等， ∴得出等式：． 故答案为：； （3）解：∵， ∴． 将代入上式，得：， 解得：． 【点睛】本题考查平方差公式与几何图形，利用平方差公式计算．利用数形结合的思想是解题关键． 题型6 乘法公式（求代数式的值） 例6.已知（2x+y）2＝58，（2x﹣y）2＝18，则xy＝　5　． 【分析】由（2x+y）2﹣（2x﹣y）2＝4×2xy进行解答． 【解答】解：∵（2x+y）2＝58，（2x﹣y）2＝18， ∴（2x+y）2﹣（2x﹣y）2＝4×2xy， ∴58﹣18＝8xy， ∴xy＝5． 故答案是：5． 【变式6-1】若，，求和的值． 【答案】见解析 【解析】解析：∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴ 【变式6-2】已知，则的值为 ． 【答案】36 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，用不同的代数式表示阴影部分的面积是解决问题的关键．设a=x-2021，b=x-2023，进而得出则，再进行计算即可． 【详解】解：设，则， 所以， 即， 所以， 即． 故答案为：36 题型7 乘法公式的综合运算 例7.图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)观察图2，请你写出下列三个代数式，，之间的等量关系为 ． (2)运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且已知，，求的值； (3)如图3，点C是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】(1) (2) (3)9 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，掌握公式的变形是解题的关键． （1）根据同一个图形面积的不同表示方法求解； （2）根据（1）中的公式得，再整体代入求解； （3）先把题中的条件进行变形，再整体代入求解． 【详解】（1）解：∵图2中的阴影部分的面积等于大正方形的面积减去4个小长方形的面积， ∴； 故答案为：； （2）解：由（1）得：， ∵， ∴ ∴； （3）解：∵点C是线段上的一点，以、为边向两边作正方形， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴阴影部分面积为：， ∴图中阴影部分面积为9． 【变式7】我们将（a+b）2＝a2+2ab+b2进行变形，如：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，ab等．根据以上变形解决下列问题： （1）已知a2+b2＝8，（a+b）2＝48，则ab＝　20　． （2）已知，若x满足（25﹣x）（x﹣10）＝﹣15，求（25﹣x）2+（x﹣10）2的值． （3）如图，四边形ABED是梯形，DA⊥AB，EB⊥AB，AD＝AC，BE＝BC，连接CD，CE，若AC•BC＝10，则图中阴影部分的面积为 　10　． 【分析】（1）将a2+b2＝8，（a+b）2＝48代入题干中的推导公式就可求得结果； （2）设25﹣x＝a，x﹣10＝b，则（25﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，再代入计算即可； （3）设AD＝AC＝a，BE＝BC＝b，则图中阴影部分的面积为（a+b）（a+b）a²b²[（a+b）²﹣（a²+b²）]2ab＝ab＝10． 【解答】（1）∵a2+b2＝8，（a+b）2＝48， ∴ab20， （2）设25﹣x＝a，x﹣10＝b， 由（a+b）2＝a2+2ab+b2进行变形得， a2+b2＝（a+b）2﹣2ab， ∴（25﹣x）2+（x﹣10）2 ＝[（25﹣x）+（x﹣10）]²﹣2（25﹣x）（x﹣10） ＝15²﹣2×（﹣15） ＝225+30 ＝255， （3）设AD＝AC＝a，BE＝BC＝b， 则图中阴影部分的面积为（a+b）（a+b）（a²+b²） [（a+b）²﹣（a²+b²）] 2ab ＝ab ＝10 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.4乘法公式 重难点题型（2个知识点+7种题型） 【题型归纳】 题型1 运用完全平方公式进行运算 1 题型2 完全平方公式（求系数的值） 1 题型3 完全平方公式与几何图形 2 题型4 运用平方差公式进行运算 3 题型5 平方差公式与几何图形 3 题型6 乘法公式（求代数式的值） 4 题型7 乘法公式的综合运算 4 一、知识梳理 要点一、平方差公式 平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 要点二、完全平方公式 完全平方公式： 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： 二、题型精讲 题型1 运用完全平方公式进行运算 例1.若，则代数式的值为（    ） A．4 B．8 C．9 D．10 【变式1】若，，那么______． 题型2 完全平方公式（求系数的值） 例2.若是一个完全平方式，则的值是_____． 【变式2-1】如果x2+8x+m2是一个完全平方式，那么m的值是（　　） A．4 B．16 C．±4 D．±16 【变式2-2】若x2﹣2（m﹣1）x+4是一个完全平方式，则m＝　 　． 题型3 完全平方公式与几何图形 例3.用4块完全相同的长方形拼成如图所示的正方形，用不同的方法计算图中阴影部分的面积，可得到一个关于a，b的等式为（　　） A．4a（a+b）＝4a2+4ab B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab 【变式3-1】如图，C是上一点，分别以、为边画正方形与正方形，连接、．已知 ，的面积为，则正方形与正方形的面积的和为 ．    【变式3-2】（1）如图是用4个全等的长方形拼成的一个“回形”正方形，将图中阴影部分面积用2种方法表示可得一个等式，这个等式为_____________________． （2）若，，求的值． 题型4 运用平方差公式进行运算 例4.下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ） A． B． C． D． 【变式4】计算：（1）； （2）． 题型5 平方差公式与几何图形 例5.如图，大正方形与小正方形的面积之差是30，则阴影部分的面积是（ ） A．15 B．10 C．30 D．20 【变式5】图①、图②分别由两个长方形拼成： (1)图②中的阴影部分的面积是：，那么图①中的阴影部分的面积为______________． (2)观察图①和图②，请你写出代数式之间的等量关系式________________． (3)根据你得到的关系式解答下列问题：若，求的值． 题型6 乘法公式（求代数式的值） 例6.已知（2x+y）2＝58，（2x﹣y）2＝18，则xy＝　 　． 【变式6-1】若，，求和的值． 【变式6-2】已知，则的值为 ． 题型7 乘法公式的综合运算 例7.图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)观察图2，请你写出下列三个代数式，，之间的等量关系为 ． (2)运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且已知，，求的值； (3)如图3，点C是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【变式7】我们将（a+b）2＝a2+2ab+b2进行变形，如：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，ab等．根据以上变形解决下列问题： （1）已知a2+b2＝8，（a+b）2＝48，则ab＝　 　． （2）已知，若x满足（25﹣x）（x﹣10）＝﹣15，求（25﹣x）2+（x﹣10）2的值． （3）如图，四边形ABED是梯形，DA⊥AB，EB⊥AB，AD＝AC，BE＝BC，连接CD，CE，若AC•BC＝10，则图中阴影部分的面积为 　 　． 1 学科网（北京）股份有限公司 $