专题8.4 乘法公式（知识荟萃+8个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题）-2025-2026学年苏科版数学七年级下册同步培优讲义

本讲义聚焦初中数学乘法公式核心知识点，系统梳理完全平方公式（(a±b)²=a²±2ab+b²）、平方差公式（(a+b)(a-b)=a²-b²）的特征、应用注意事项及几何背景，搭建从概念理解到运算应用的学习支架，衔接8个题型讲练与中考真题演练。 资料特色在于融合几何直观与代数运算，如通过图形面积验证平方差公式（题型2）、完全平方公式在正方形拼接中的应用（题型5），培养数学眼光。题型设计含典例与变式，如完全平方公式变形求值（题型4）提升推理能力，分层训练适配不同学情，课中辅助教学，课后助力查漏补缺，强化应用意识。

专题8.4 乘法公式 （知识荟萃+8个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题） 【解析版】 知识荟萃 1 知识点梳理01：完全平方公式 1 知识点梳理02：完全平方公式的几何背景 2 知识点梳理03：完全平方式 2 知识点梳理04：平方差公式 2 知识点梳理05：平方差公式的几何背景 3 题型讲练 3 题型1：运用平方差公式进行运算 3 题型2：平方差公式与几何图形 4 题型3：运用完全平方公式进行运算 6 题型4：通过对完全平方公式变形求值 9 题型5：完全平方公式在几何图形中的应用 11 题型6：求完全平方式中的字母系数 14 题型7：完全平方式在几何图形中的应用 15 题型8：整式的混合运算 17 中考真题 19 分层训练 22 基础夯实 22 培优拔高 25 知识点梳理01：完全平方公式 （1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2． 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． （2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． （3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 知识点梳理02：完全平方公式的几何背景 （1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． （2）常见验证完全平方公式的几何图形 （a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系） 知识点梳理03：完全平方式 完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A＝B2，则称A是完全平方式． a2±2ab+b2＝（a±b）2 完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号都用+）” 知识点梳理04：平方差公式 （1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 （2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． 知识点梳理05：平方差公式的几何背景 （1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）． （2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释． 题型1：运用平方差公式进行运算 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）用简便方法计算： ________；________；________；________． （2）你发现了什么规律？请用含有字母的式子表示出来． 【答案】（1）399，899，1599，2499；（2）规律：两个相差2的整数的乘积等于它们中间数的平方减1，． 【思路点拨】本题考查了平方差公式． （1）通过观察，每个乘法算式中的两个数都相差2，可以利用平方差公式进行简便计算，即； （2）由（1）可知两个相差2的整数的乘积等于它们中间数的平方减1，用含有字母的式子表示为． 【规范解答】（1）解：； ； ； ； 故答案为：399，899，1599，2499； （2）解：由（1）发现规律：两个相差2的整数的乘积等于它们中间数的平方减1，因此用含有字母的式子表示为． 【变式训练1】（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）已知．求的值． （2）已知．求的值． 【答案】（1）56；（2）9． 【思路点拨】本题考查了平方差公式． （1）直接利用平方差公式计算即可； （2）将所求表达式转化为平方差公式的平方形式后代入已知值计算即可． 【规范解答】（1）解：； （2）解：． 【变式训练2】（25-26七年级下·全国·课后作业）先化简，再求值： (1)．其中，． (2)．其中，． 【答案】(1)， (2)，15 【思路点拨】本题考查了整式的化简求值． （1）先根据平方差公式和单项式乘以多项式法则计算，再合并同类项，最后将代入化简结果计算即可； （2）先根据平方差公式计算，再合并同类项，最后将代入化简结果计算即可． 【规范解答】（1）解：原式=， 当时，原式=； （2）解：原式=， 当时，原式=． 题型2：平方差公式与几何图形 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，将图1中阴影部分的小长方形变换到图2位置，根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查平方差公式与几何图形，数形结合是解决问题的关键． 通过题意，分别表示出图1和图2中阴影部分的面积即可得到答案． 【规范解答】解：图1中阴影部分的小长方形变换到图2位置成为边长为的正方形， 图1中阴影部分的长方形长为、宽为，则面积为； 图2中阴影部分的是边长为的大正方形面积减掉边长为的小正方形面积，则面积为； 由于两个阴影部分面积相等，则得， 故选：C． 【变式训练1】（24-25七年级下·安徽宿州·月考）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示） (1)比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式______． (2)请应用这个公式完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算： 【答案】(1) (2)①3；②4 【思路点拨】本题主要考查了平方差公式的几何背景及其应用与拓展，计算具有一定的难度，属于中档题． （1）分别求出两个图中阴影部分面积，可得公式； （2）①根据平方差公式，已知代入即可求出答案；②将变形为，然后利用平方差公式求解即可； 【规范解答】（1）解：由图1可得，阴影部分的面积是， 由图2可得，阴影部分的宽是，长是，面积是， 故答案为：； （2）①， ， ， ， ； ② 【变式训练2】（25-26七年级下·全国·课后作业）若长方形玻璃的长为，对应的宽为，则此玻璃的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了平方差公式的应用． 根据平方差公式计算即可． 【规范解答】解：若长方形玻璃的长为，对应的宽为， 则此玻璃的面积为， 故选：A． 题型3：运用完全平方公式进行运算 【典例精讲】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）利用完全平方公式解答下列各题． (1)若，，求的值； (2)如图，正方形，的边长分别为，，若，，求图中阴影部分（梯形）的面积． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式及其变形推导是解此题的关键． （1）根据，代入计算即可； （2）由题意可知，根据，代入即可求得，再根据，代入可得，由，可得，最后根据直角梯形的面积公式计算即可． 【规范解答】（1）解：，且，， ， 解得． 故的值为； （2）由题意可知，，，且四边形为直角梯形， ， ， ， ， 解得， ， ， ， ． 故阴影部分的面积为． 【变式训练1】（25-26七年级下·全国·课后作业）观察下列算式： ， ， ，          说明当n为自然数时，的正确性． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查了整式的乘法． 通过代数变换，将左边表达式展开并化简，验证是否等于右边表达式． 【规范解答】证明：∵，， ∴． 令， 则左边表达式为， ∵， 又， ∴左边表达式右边． 因此，等式成立． 【变式训练2】（25-26七年级下·全国·课后作业）三个圆的位置关系如图所示，分别是两个较小的圆的直径，是最大的圆的直径．求图中阴影部分的面积． 【答案】 【思路点拨】本题考查了整式的乘法． 根据圆的面积公式，用大圆面积减去两个小圆面积即可． 【规范解答】解：阴影部分的面积 ． 题型4：通过对完全平方公式变形求值 【典例精讲】（23-24七年级下·四川成都·期中）已知长方形，将图沿虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成图中的“回形”正方形． (1)观察图，请你写出、、之间的等量关系是_____． (2)根据（）中的结论，若，求的值； (3)拓展应用：如图，点，分别是，的中点，点在上，，以为边作正方形，点在上，交于点，长方形的面积为，若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】（）根据图（）分别表示出大正方形、阴影部分和个空白长方形的面积和，再根据面积关系写出等量关系即可； （）利用（）的等量关系解答即可求解； （）由题意可得正方形的边长为，，进而由可得，又由长方形的面积为可得，即得到，最后代入计算即可求解； 本题考查了完全平方公式的几何背景，完全平方公式的应用，正确识图是解题的关键． 【规范解答】（1）解：图中，大正方形的边长为，面积为，阴影部分是边长为，面积为，个空白长方形的面积和为， 所以有， 故答案为：； （2）解：由（）得，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意可知，正方形的边长为，， ∵，， ∴， 即， ∵长方形的面积为，即， ∴， 把代入得，， 整理得，， ∴． 【变式训练1】（24-25七年级下·广东揭阳·期中）已知，求的值． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查完全平方公式，利用分组分解因式可得：，根据平方的非负性可得：、，把、代入代数式中计算求值即可． 【规范解答】解： ， 移项得：， 分组可得：， 分解因式可得：， ，， 当时，可得：， 当时，可得：， ． 【变式训练2】（25-26七年级下·全国·课后作业）已知，则的值是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了完全平方公式的应用，把化为，利用完全平方公式展开，化简后即可求得的值． 【规范解答】解：， ，，， ． 故选：D． 题型5：完全平方公式在几何图形中的应用 【典例精讲】（23-24七年级下·全国·月考）如图1，将一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． (1)观察图2，用等式表示出，和的数量关系． (2)若，且，求图2中的空白正方形的面积． (3)如图3，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，面积分别是和，若，两正方形的面积，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的变形是解决问题的关键． （1）由拼图，矩形和正方形的面积公式可得出答案； （2）将已知数据代入（1）中所推等式里即可得解； （3）设，则，代入所推等式求出，进而即可求解． 【规范解答】（1）解：由拼图可得，阴影部分是4个长为，宽为b的小长方形的面积和，中间空白部分的面积为边长为的正方形的面积，整个图2的面积为边长为的正方形的面积， ∴， ∴； （2）解：由 (1)得，， ∵，且， ∴， ∴， ∴图2中的空白正方形的面积为； （3）解：设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：的面积为． 【变式训练1】（24-25七年级下·江苏南京·月考）有两个正方形A，B，将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造一个大正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为5和45，则图2中大正方形的面积为 ． 【答案】95 【思路点拨】本题考查了完全平方公式的几何背景，设两个正方形的边长分别为，图1和图2中阴影部分的面积分别为和，进而求出，则，即可得解． 【规范解答】解：设两个正方形的边长分别为， 由图1可得：， ， 由图2可得：， ， ， ， 图2中大正方形的面积为， 故答案为：95． 【变式训练2】（24-25七年级下·全国·单元测试）三种不同类型的地砖如下图所示（各条边的长已给出），现有A类地砖16块，B类地砖48块，小明用这些地砖刚好拼成一个正方形（无缝隙且不重叠），那么小明用C类地砖多少块？ 【答案】36 【思路点拨】本题考查完全平方公式的应用，解题的关键是读懂题意，判断出三类地砖的面积之和可以写成完全平方的形式． 根据拼成的图形为正方形可知三类地砖的面积之和可以写成完全平方的形式，由此可解． 【规范解答】解：设用C类地砖x块， 由题意知，16块A类地砖的面积为，48块B类地砖的面积为，x块C类地砖的面积为， 故这三类地砖的总面积为： ， 因为所拼成的图形是正方形， 所以拼成图形的面积为：， 即， 解得， 故所用C类地砖为36块． 答：小明用C类地砖36块． 题型6：求完全平方式中的字母系数 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列多项式属于完全平方式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查完全平方式的判定，依据完全平方公式结构特征分析，关键是准确把握 的形式，易错点是对中间项系数和常数项的判断不准确； 解题思路是根据完全平方公式的结构，逐一分析选项是否符合 的形式即可． 【规范解答】解：完全平方式必须能表示为 ， 选项 A：，若 , ，则 ，不符合题意； 选项 B：，可化为 ，符合题意； 选项 C：，若 ,，则 ，不符合题意； 选项 D：，常数项为负，不符合题意； 故选 B． 【变式训练1】（23-24七年级下·湖南益阳·期中）若可以配成一个完全平方公式，则m的值为（ ） A． B． C．16 D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式的特点是解题的关键； 根据完全平方式得出，即可求解． 【规范解答】解：∵ 是一个完全平方式， ∴可设为 ， ∴， 解得：． 故选：D． 【变式训练2】（24-25七年级下·山东枣庄·月考）如果是一个完全平方式，那么的值是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了求完全平方式中字母系数的值，根据题意可确定两平方项为，则一次项为，据此可得答案． 【规范解答】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， 故答案为：． 题型7：完全平方式在几何图形中的应用 【典例精讲】（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为，．已知，，且，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了完全平方公式与几何图形的面积，根据正方形的性质，可得，设，则，即得，，进而得到，再利用可求得，据此即可求解，掌握完全平方公式的运用是解题的关键． 【规范解答】解：∵正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练1】（2024·江西南昌·模拟预测）杨辉三角形，又称贾宪三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图是杨辉三角形的部分排列规律，则第八行从左数第三个数为（    ）    A．十五 B．二十一 C．二十五 D．三十五 【答案】B 【思路点拨】本题考查了完全平方公式，各项是按a的降幂排列的，它的两端都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和． 从第3行开始依次确定第三个数，即是完全平方公式中的第三项的系数，找到规律即可确定第八行第三个数． 【规范解答】解：依据规律可得到：的展开式的系数是杨辉三角第8行的数， 第3行第三个数为1， 第4行第三个数为， 第5行第三个数为， … 第8行第三个数为：． 故选：B． 【变式训练2】（2024·河北张家口·三模）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示．某同学分别用4张卡片拼出了两个矩形（不重叠无缝隙），如图2和图3，其面积分别为，．      （1） ； （2） ． 【答案】 【思路点拨】本题考查列代数式，根据所给的图形，用含，的代数式表示出长方形的长和宽是解题的关键． （1）根据图2中正方形的组成即可解决问题； （2）根据图3长方形的组成即可解决问题． 【规范解答】解：（1）由题可知，图2正方形的边长为， ∴， 根据长方形的组成得： ， ∴， 故答案为：． （2）由题可知，图3长方形的长和宽为和 ∴， ∴， 故答案为：． 题型8：整式的混合运算 【典例精讲】（23-24七年级下·山东淄博·期中）（1）先化简，再求值：，其中，． （2）计算：． 【答案】(1) ，2； (2) 1 【思路点拨】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握乘法公式与多项式除以单项式是解题的关键， （1）根据完全平方公式，平方差公式，单项式乘以单项式计算括号内的，然后根据多项式除以单项式进行计算，最后将字母的值代入即可求解； （2）利用平方差公式进行计算，即可解答． 【规范解答】（1）原式 ； 当，， ； 所以化简结果为；其值为2； （2）原式 ． 【变式训练1】（24-25七年级下·山东济南·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【思路点拨】本题考查了整式的混合运算、绝对值的非负性、偶次方的非负性，掌握整式的化简方法是解题关键． 先利用完全平方公式、平方差公式计算括号内的运算，再计算整式的除法，然后根据绝对值的非负性、偶次方的非负性求出a、b的值，最后代入求解即可． 【规范解答】解：原式 ， ， ， 原式． 【变式训练2】（24-25七年级下·四川达州·期末）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2），1 【思路点拨】本题考查含乘方的有理数的混合运算，整式的化简求值，正确计算是解题的关键． （1）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减，有括号先算括号里面的； （2）先计算完全平方、平方差、单项式乘多项式，再合并同类项，最后将代入求值即可． 【规范解答】解：（1） ； （2）原式 ， ∵， ∴原式． 1．（2024·广东深圳·中考真题）我校“快乐农场”开辟出一块边长为的正方形菜地，计划种植黄瓜与番茄两种蔬菜．为了兼顾美观，在菜地中设计两个长和宽分别为a，b的长方形，其中每个长方形的长与宽之差为，每个长方形的面积为．如图，计划在图中阴影部分种植黄瓜，其余菜地种植番茄，请求出黄瓜的种植面积是（    ）． A．53 B．35 C．47 D．68 【答案】A 【思路点拨】本题考查了完全平方公式与几何面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键．由题意先得出，再运用，得出，结合图形，得阴影部分面积，进行化简，再代入数值，进行计算，即可作答． 【规范解答】解：∵在菜地中设计两个长和宽分别为、的长方形，其中每个长方形的长与宽之差为2米，每个长方形的面积为35平方米， ∴， 则． （负值已舍去）， 阴影部分面积 （平方米）． 故选：A. 2．（2024·湖南长沙·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了完全平方公式，积的乘方计算，合并同类项，同底数幂乘法，根据完全平方公式，积的乘方计算，合并同类项，同底数幂乘法运算法则逐一排除即可，熟知相关计算法则是解题的关键． 【规范解答】解：、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：． 3．（2024·江苏南京·中考真题）发现：，，，，，，，，依据上述规律，通过计算判断的结果的个位数字是 ． 【答案】6 【思路点拨】本题考查了平方差公式和尾数特征．观察时注意4的指数的奇偶性与个位数字的关系，利用平方差公式进行计算，然后利用观察的规律解答． 【规范解答】解：，，，，，，，， 观察上面运算结果发现：当4的指数是奇数时，运算结果的个位数字是4；当4的指数是偶数时，运算结果的个位数字是6； ... ． 由规律可得的个位数字是6， ∴的结果的个位数字是6． 故答案为：6． 4．（2024·全国·中考真题）已知，代数式 ． 【答案】2043 【思路点拨】本题考查了代数式的变形与整体代入思想．观察到所求代数式与已知方程中的部分存在联系，通过配方法将已知方程变形，直接代入求值即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：2043． 5．（2024·上海·中考真题）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题考查了整式的乘法． （1）根据平方差公式计算即可； （2）先根据平方差公式计算，再根据完全平方公式计算即可； （3）先根据平方差公式计算，再根据完全平方公式计算即可． 【规范解答】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 基础夯实 1．（24-25七年级下·江西南昌·期末）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查“完全平方式的定义”，熟练掌握完全平方式的形式是解题关键． 根据完全平方式的定义，两个因式需完全一致或其中一个式子是另一个式子的因式，才能应用完全平方式，根据定义判断即可． 【规范解答】 A选项： 中，不满足定义，不能用完全平方公式； B选项：，两项都相等，符合完全平方公式； C选项： 中，不满足定义，不能用完全平方公式； D选项： 中，两项无共同点，不满足定义，不能用完全平方公式； 故选：B． 2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查整式的运算，包括同底数幂的乘除、积的乘方和平方差公式，熟练掌握各个运算是解题的关键；需根据运算法则逐一判断各选项的正确性即可． 【规范解答】解：∵选项A：，∴A错误； ∵选项B：，∴B错误； ∵选项C：，与右边相等，∴C正确； ∵选项D：，∴D错误； 故选C． 3．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）下列各式中，可以用乘法公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查乘法公式的应用，包括完全平方公式和平方差公式．通过观察各选项的形式，判断是否可以直接应用公式． 【规范解答】A. 不符合乘法公式的形式； B. ，可以用完全平方公式； C. 不符合乘法公式的形式； D. 不符合乘法公式的形式． 故选：B． 4．（24-25七年级下·吉林松原·期末）若多项式是某一个多项式的平方，则常数项的值为 ． 【答案】36 【规范解答】本题考查完全平方公式，根据乘积二倍项确定常数项的值． 因为多项式是某一个多项式的平方，所以可设为， 比较系数得，解得， 所以． 故答案为：36． 5．（25-26七年级下·上海普陀·期中）计算： ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了运用平方差公式进行运算，熟练掌握平方差公式是解题点关键．将原式变形为，然后应用平方差公式计算． 【规范解答】解：原式． 故答案为：． 6．（23-24七年级下·甘肃酒泉·期中）若，，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了利用平方差公式求值，利用平方差公式将代数式变形，再代入已知条件计算即可求解，掌握平方差公式是解题的关键． 【规范解答】解：∵，， ∴， 故答案为：． 7．（23-24七年级下·全国·月考）已知，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查利用平方差公式计算，掌握平方差公式是解题的关键． 根据等式的结构特点，将等式的右边变形为，利用平方差公式即可确定m、n的值，得出结果． 【规范解答】解：， ∴， ∴ 故答案为：． 8．（24-25七年级下·甘肃天水·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【思路点拨】本题考查整式的混合运算，化简求值，利用完全平方公式，平方差公式，去括号法则进行计算，合并同类项后，再代值计算即可． 【规范解答】解：原式 ； 当时，原式． 9．（2026七年级下·全国·专题练习）已知．求的值． 【答案】52 【思路点拨】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键；因此此题可根据完全平方公式进行求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴． 10．（2026七年级下·全国·专题练习）如图，已知大圆的直径为a，两圆直径之差为d． (1)求小圆的直径及阴影部分的面积S． (2)当取3.14时，求S的近似值． 【答案】(1)小圆的直径为， (2) 【思路点拨】本题主要考查平方差公式与图形面积，熟练掌握平方差公式是解题的关键； （1）由图易得小圆的直径为，然后根据圆的面积公式及平方差公式可进行求解； （2）把代入（1）中代数式进行求解即可． 【规范解答】（1）解：由图可知：小圆的直径为， ∴阴影部分的面积为； （2）解：把代入（1）中代数式得： ． 培优拔高 11．（24-25七年级下·重庆九龙坡·期末）有A，B两个正方形，现将A的一边与B的一边重叠，（l，m过正方形A所在边的直线），又将正方形A，B的一边如图2所示部分重叠重新放置在大正方形中，若图1和图2中阴影部分面积分别为5和38．则正方形A，B的面积之和为（   ） A．43 B．33 C．38 D．48 【答案】A 【思路点拨】此题主要考查了完全平方公式的几何应用．设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，则正方形A，B的面积之和为，依题意得图1中阴影部分的面积，则，再根据图2中阴影部分的面积，得，进而得，由此即可得出答案． 【规范解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b， ∴正方形A，B的面积之和为， 如图所示： 在正方形中，， ∴，， ∴图1中阴影部分的面积为：， ∵图1中阴影部分的面积为：5， ∴，即， 在正方形中，， ∴图2中阴影部分的面积为：， 又∵图2中阴影部分的面积为：38， ∴， ∴， ∴， ∴正方形A，B的面积之和为43． 故选：A． 12．（24-25七年级下·山东济宁·期中）如图，用相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形……．按照这样的方法拼成的第个正方形比第个正方形多的小正方形的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了图形类的规律探究，完全平方公式等知识．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 由题意知，可推导一般性规律为：拼第个正方形需个小正方形，则第个正方形需个小正方形，根据，计算求解即可． 【规范解答】解：由题意知，拼第1个正方形需个小正方形， 拼第2个正方形需个小正方形， 拼第3个正方形需个小正方形， …… ∴可推导一般性规律为：拼第个正方形需个小正方形， ∴第个正方形需个小正方形， ∴， 故选：C． 13．（25-26七年级下·河南驻马店·月考）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点为的中点，连结，，将乙纸片放到甲纸片的内部得到图2．已知甲、乙两个正方形边长之和为6，图2阴影部分的面积为4，则图1阴影部分的面积为（   ） A．10 B．11 C．12 D．15 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了乘法公式的几何意义，准确分析计算是解题的关键． 设正方形的边长为，正方形乙的边长为，得出，，求出，，再根据计算即可； 【规范解答】设正方形的边长为，正方形乙的边长为， ，， ， ，， 两式相减得：， ， ，， ． 故选． 14．（25-26七年级下·重庆长寿·期中）若，则的值为 ． 【答案】9 【思路点拨】本题考查了完全平方公式，非负数的性质，掌握完全平方公式的结构特征是解题关键．将给定方程整理后，通过完成平方得到关于x和y的平方和为零，从而求出x和y的值，再代入表达式求值． 【规范解答】解：， ， ， ， ，， ，， ， 故答案为：9． 15．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如图，边长分别为、（）的两个正方形紧贴摆放．设阴影面积为．如图1，若，则的值是 ；如图2，若，，则的值是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了列代数式、整式的混合运算、用完全平方公式变形求值，解决本题的关键是根据阴影的面积列代数式． (1)根据阴影与正方形的位置关系可得：，把代入代数式求值即可； (2)根据阴影与正方形的位置关系可得：，利用完全平方公式变形可以求出，把式子的值代入代数式计算求值． 【规范解答】解： ， 当时， ； ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ． 故答案为：，． 16．（23-24七年级下·全国·月考）若关于a的多项式（k和n表示常数）可以写成另一多项式的平方，则这组常数k和n的值可能是 ． 【答案】，或， 【思路点拨】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．由于多项式可以写成另一多项式的平方，因此它必须是一个完全平方式，根据完全平方公式的结构特征，分两种情况求解即可． 【规范解答】解：由题意可知，多项式是完全平方式， 若和是平方项，则， ， ，； 若和是平方项，则， ， ，， ，； 故答案为：，或，． 17．（23-24七年级下·重庆·期末）已知直角三角形两直角边的长度分别为，已知，则该三角形的面积是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查利用完全平方公式求直角三角形的面积，熟练掌握及运用完全平方公式是做题的关键．通过已知条件 和 ，利用公式 求出 ，再代入面积公式求解． 【规范解答】解：∵ ，， ∴ ，即 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 三角形的面积为：． 故答案为：． 18．（2026七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路点拨】本题考查整式的混合运算，理解整式混合运算的运算顺序和计算法则，掌握乘法公式是解题关键． （1）先把原式变形为，利用完全平方公式计算，再次利用完全平方公式去括号计算即可； （2）先计算幂的乘方，再根据乘法分配律计算，最后合并同类项即可； （3）先利用平方差公式计算，再利用完全平方公式计算即可； （4）先利用完全平方公式计算，单项式乘以多项式，分配律计算，最后合并同类项即可. 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： . 19．（2026七年级下·全国·专题练习）求下列代数式的值： (1)．其中，． (2)．其中，，． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查整式的混合运算，化简求值，熟练掌握整式的运算法则是做题的关键． （1）先计算整式的乘法运算，再合并同类项得到化简结果，再把代入计算即可； （2）先计算整式的乘法运算，再合并同类项得到化简结果，再把，代入计算即可． 【规范解答】（1）解： 当时，原式． （2）解： 当，时，原式． 20．（25-26七年级下·全国·课后作业）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查了了整式的运算与一元一次方程的解法,正确计算是解题的关键． （1）先根据单项式乘以多项式和多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后解一元一次方程即可得到答案； （2）先根据平方差公式和多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后解一元一次方程即可得到答案． 【规范解答】（1）解：∵ ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.4 乘法公式 （知识荟萃+8个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题） 【原卷版】 知识荟萃 1 知识点梳理01：完全平方公式 1 知识点梳理02：完全平方公式的几何背景 2 知识点梳理03：完全平方式 2 知识点梳理04：平方差公式 2 知识点梳理05：平方差公式的几何背景 3 题型讲练 3 题型1：运用平方差公式进行运算 3 题型2：平方差公式与几何图形 4 题型3：运用完全平方公式进行运算 4 题型4：通过对完全平方公式变形求值 6 题型5：完全平方公式在几何图形中的应用 6 题型6：求完全平方式中的字母系数 8 题型7：完全平方式在几何图形中的应用 8 题型8：整式的混合运算 9 中考真题 9 分层训练 10 基础夯实 10 培优拔高 11 知识点梳理01：完全平方公式 （1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2． 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． （2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． （3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 知识点梳理02：完全平方公式的几何背景 （1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． （2）常见验证完全平方公式的几何图形 （a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系） 知识点梳理03：完全平方式 完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A＝B2，则称A是完全平方式． a2±2ab+b2＝（a±b）2 完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号都用+）” 知识点梳理04：平方差公式 （1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 （2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． 知识点梳理05：平方差公式的几何背景 （1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）． （2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释． 题型1：运用平方差公式进行运算 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）用简便方法计算： ________；________；________；________． （2）你发现了什么规律？请用含有字母的式子表示出来． 【变式训练1】（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）已知．求的值． （2）已知．求的值． 【变式训练2】（25-26七年级下·全国·课后作业）先化简，再求值： (1)．其中，． (2)．其中，． 题型2：平方差公式与几何图形 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，将图1中阴影部分的小长方形变换到图2位置，根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25七年级下·安徽宿州·月考）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示） (1)比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式______． (2)请应用这个公式完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算： 【变式训练2】（25-26七年级下·全国·课后作业）若长方形玻璃的长为，对应的宽为，则此玻璃的面积为（    ） A． B． C． D． 题型3：运用完全平方公式进行运算 【典例精讲】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）利用完全平方公式解答下列各题． (1)若，，求的值； (2)如图，正方形，的边长分别为，，若，，求图中阴影部分（梯形）的面积． 【变式训练1】（25-26七年级下·全国·课后作业）观察下列算式： ， ， ，          说明当n为自然数时，的正确性． 【变式训练2】（25-26七年级下·全国·课后作业）三个圆的位置关系如图所示，分别是两个较小的圆的直径，是最大的圆的直径．求图中阴影部分的面积． 题型4：通过对完全平方公式变形求值 【典例精讲】（23-24七年级下·四川成都·期中）已知长方形，将图沿虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成图中的“回形”正方形． (1)观察图，请你写出、、之间的等量关系是_____． (2)根据（）中的结论，若，求的值； (3)拓展应用：如图，点，分别是，的中点，点在上，，以为边作正方形，点在上，交于点，长方形的面积为，若，求的值． 【变式训练1】（24-25七年级下·广东揭阳·期中）已知，求的值． 【变式训练2】（25-26七年级下·全国·课后作业）已知，则的值是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 题型5：完全平方公式在几何图形中的应用 【典例精讲】（23-24七年级下·全国·月考）如图1，将一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． (1)观察图2，用等式表示出，和的数量关系． (2)若，且，求图2中的空白正方形的面积． (3)如图3，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，面积分别是和，若，两正方形的面积，求的面积． 【变式训练1】（24-25七年级下·江苏南京·月考）有两个正方形A，B，将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造一个大正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为5和45，则图2中大正方形的面积为 ． 【变式训练2】（24-25七年级下·全国·单元测试）三种不同类型的地砖如下图所示（各条边的长已给出），现有A类地砖16块，B类地砖48块，小明用这些地砖刚好拼成一个正方形（无缝隙且不重叠），那么小明用C类地砖多少块？ 题型6：求完全平方式中的字母系数 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列多项式属于完全平方式的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（23-24七年级下·湖南益阳·期中）若可以配成一个完全平方公式，则m的值为（ ） A． B． C．16 D． 【变式训练2】（24-25七年级下·山东枣庄·月考）如果是一个完全平方式，那么的值是 ． 题型7：完全平方式在几何图形中的应用 【典例精讲】（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为，．已知，，且，则 ． 【变式训练1】（2024·江西南昌·模拟预测）杨辉三角形，又称贾宪三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图是杨辉三角形的部分排列规律，则第八行从左数第三个数为（    ）    A．十五 B．二十一 C．二十五 D．三十五 【变式训练2】（2024·河北张家口·三模）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示．某同学分别用4张卡片拼出了两个矩形（不重叠无缝隙），如图2和图3，其面积分别为，．      （1） ； （2） ． 题型8：整式的混合运算 【典例精讲】（23-24七年级下·山东淄博·期中）（1）先化简，再求值：，其中，． （2）计算：． 【变式训练1】（24-25七年级下·山东济南·期末）先化简，再求值：，其中． 【变式训练2】（24-25七年级下·四川达州·期末）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 1．（2024·广东深圳·中考真题）我校“快乐农场”开辟出一块边长为的正方形菜地，计划种植黄瓜与番茄两种蔬菜．为了兼顾美观，在菜地中设计两个长和宽分别为a，b的长方形，其中每个长方形的长与宽之差为，每个长方形的面积为．如图，计划在图中阴影部分种植黄瓜，其余菜地种植番茄，请求出黄瓜的种植面积是（    ）． A．53 B．35 C．47 D．68 2．（2024·湖南长沙·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏南京·中考真题）发现：，，，，，，，，依据上述规律，通过计算判断的结果的个位数字是 ． 4．（2024·全国·中考真题）已知，代数式 ． 5．（2024·上海·中考真题）计算： (1)； (2)； (3)． 基础夯实 1．（24-25七年级下·江西南昌·期末）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）下列各式中，可以用乘法公式计算的是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·吉林松原·期末）若多项式是某一个多项式的平方，则常数项的值为 ． 5．（25-26七年级下·上海普陀·期中）计算： ． 6．（23-24七年级下·甘肃酒泉·期中）若，，则的值为 ． 7．（23-24七年级下·全国·月考）已知，则 ． 8．（24-25七年级下·甘肃天水·期中）先化简，再求值：，其中． 9．（2026七年级下·全国·专题练习）已知．求的值． 10．（2026七年级下·全国·专题练习）如图，已知大圆的直径为a，两圆直径之差为d． (1)求小圆的直径及阴影部分的面积S． (2)当取3.14时，求S的近似值． 培优拔高 11．（24-25七年级下·重庆九龙坡·期末）有A，B两个正方形，现将A的一边与B的一边重叠，（l，m过正方形A所在边的直线），又将正方形A，B的一边如图2所示部分重叠重新放置在大正方形中，若图1和图2中阴影部分面积分别为5和38．则正方形A，B的面积之和为（   ） A．43 B．33 C．38 D．48 12．（24-25七年级下·山东济宁·期中）如图，用相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形……．按照这样的方法拼成的第个正方形比第个正方形多的小正方形的个数为（    ） A． B． C． D． 13．（25-26七年级下·河南驻马店·月考）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点为的中点，连结，，将乙纸片放到甲纸片的内部得到图2．已知甲、乙两个正方形边长之和为6，图2阴影部分的面积为4，则图1阴影部分的面积为（   ） A．10 B．11 C．12 D．15 14．（25-26七年级下·重庆长寿·期中）若，则的值为 ． 15．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如图，边长分别为、（）的两个正方形紧贴摆放．设阴影面积为．如图1，若，则的值是 ；如图2，若，，则的值是 ． 16．（23-24七年级下·全国·月考）若关于a的多项式（k和n表示常数）可以写成另一多项式的平方，则这组常数k和n的值可能是 ． 17．（23-24七年级下·重庆·期末）已知直角三角形两直角边的长度分别为，已知，则该三角形的面积是 ． 18．（2026七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 19．（2026七年级下·全国·专题练习）求下列代数式的值： (1)．其中，． (2)．其中，，． 20．（25-26七年级下·全国·课后作业）解方程： (1)； (2)． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $