专题01 数与式、方程与不等式（复习讲义）（上海专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题01 数与式、方程与不等式 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 考点一 数与式（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一 列代数式与整式 题型二 科学记数法 题型三 整式的运算 题型四 因式分解 题型五 分式 题型六 二次根式 题型七 实数的混合运算 必备知识 知识1 实数的混合运算 知识2 整式的混合运算 知识 3 因式分解 知识 4 分式的运算 知识 5 二次根式的运算 命题预测 考点二 方程与不等式（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一 一元二次方程根的判别式 题型二 分式方程 题型三 无理方程 题型四 二元二次方程组 题型五 实际问题与一元二次方程 题型六 不等式的性质 题型七 解一元一次不等式（组） 必备知识 知识1 解一元一次方程 知识 2 解二元一次方程（组） 知识3解分式方程 知识 4 解一元二次方程 知识5解无理方程 知识 6 解二元二次方程组 知识 7 解一元一次不等式（组） 命题预测 命题透视 命题形式：以填选基础题和解答前两题为主，呈现“重基础、强运算、融应用”的核心特点，突出对运算能力、代数建模能力的考查，是中考数学的核心得分模块. 命题内容： 1. 数与式：侧重运算的准确性与工具性，实数综合运算为每年固定必考题，幂的运算、整式乘法公式、因式分解为高频基础考点. 2. 方程与不等式：侧重解法的规范性与实际应用，一元二次方程根的判别式为每年必考考点，不等式（组）求解、各类方程（组）的解法为高频基础考点；实际情境的建模应用是主流考查形式，常与一次函数结合考查综合分析能力. 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 实数的概念与运算 T19：实数综合运算（二次根式、负指数幂、绝对值、分母有理化） T16：科学记数法（负指数） T19：实数综合运算（二次根式、零指数幂、绝对值、分数指数幂） T9：算术平方根运算 T10：科学记数法 T19：实数综合运算（立方根、二次根式、负指数幂、绝对值） T1：相反数的概念 T19：实数综合运算（二次根式、负指数幂、绝对值、分数指数幂） T1：实数的分类（有理数与无理数） T9：算术平方根运算 T19：实数综合运算（二次根式、负指数幂、绝对值、分数指数幂） 整式的运算与因式分解 T1：整式运算法则辨析 T2：列代数式 T7：因式分解（提公因式法） T7：幂的乘方运算 T8：乘法公式（平方差公式） T1：整式运算法则辨析 T7：因式分解（平方差公式） T2：整式运算与乘法公式辨析 T7：合并同类项 T2：同类项的概念 T7：同底数幂的除法运算 分式与二次根式 T8：分式的化简运算 T1：二次根式的化简 不等式（组）的求解与性质 T8：一元一次不等式组的求解 T1：不等式的基本性质 T20：一元一次不等式组的求解 T20：一元一次不等式组的求解 T10：一元一次不等式的求解 方程（组）的求解与应用 T9：无理方程求解 T20：分式方程求解 T20：二元二次方程组的求解 T9：无理方程求解 T9：二元二次方程组的求解 T12：一元二次方程实际应用（增长率问题） T22(2)：分式方程实际应用 T20：二元二次方程组的求解 一元二次方程根的判别式 T10：一元二次方程无实根，求参数取值范围 T3：一元二次方程相等实根的判定 T11：一元二次方程无实根，求参数取值范围 T10：一元二次方程两个不等实根，求参数取值范围 T12：一元二次方程无实根，求参数取值范围 命题预测 一、考情预测 数与式 必考：实数综合运算（负指数幂、二次根式、绝对值），固定19题，核心考查运算规范性与准确率. 高频：整式运算、乘法公式、因式分解，以选择填空小题为主，重基础概念应用. 趋势：新定义运算、代数规律探究为创新方向，知识工具性贯穿全卷综合题. 方程与不等式 必考：一元二次方程根的判别式，聚焦参数取值范围求解. 高频：不等式（组）求解、分式/无理/方程组解法，重解题规范与验根步骤. 趋势：方程+不等式+一次函数的实际建模为应用核心，贴合生活与科技情境命题. 二、备考建议 1. 锚定核心考点：针对必考、高频考点专项突破，固化解题流程，确保基础题零失分. 2. 强化运算能力：狠抓代数运算的准确率与速度，严控易错点，筑牢代数基础. 3. 突破应用题型：深耕建模类应用题，掌握审题建模求解检验的标准化流程. 4. 适配创新考法：针对性训练新定义、规律探究题，提升代数推理与知识迁移能力. 考点一 数与式 题型一 列代数式与整式 1．列代数式：严格遵循运算顺序，＂和／差／积／商的平方／立方＂需先对运算整体加括号，再进行乘方运算. 2．同类项判定：核心为两相同，即所含字母完全相同、相同字母的对应指数也完全相同，与系数无关. 3．同类项合并：系数相加作为结果的系数，字母及字母的指数保持不变. 1．（2025·上海·中考真题）用代数式表示与差的平方，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】列代数式 【分析】本题考查了列代数式，理解题中的数量关系是解题的关键； “a与b差的平方”指先求a减b的差，再将这个差整体平方，即． 【详解】解：A. ：这是平方差公式的结果，表示的平方减去的平方，而非差的平方，错误，不符合题意； B. ：表示先求差再平方，正确，符合题意； C. ：仅对平方后减去，未对差整体平方，错误，不符合题意； D. ：表示减去的平方，运算顺序错误，错误，不符合题意； 故选：B． 2．（2021·上海·中考真题）下列单项式中，的同类项是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同类项的判断 【分析】比较对应字母的指数,分别相等就是同类项 【详解】∵a的指数是3，b的指数是2，与中a的指数是2，b的指数是3不一致， ∴不是的同类项，不符合题意； ∵a的指数是2，b的指数是3，与中a的指数是2，b的指数是3一致， ∴是的同类项，符合题意； ∵a的指数是2，b的指数是1，与中a的指数是2，b的指数是3不一致， ∴不是的同类项，不符合题意； ∵a的指数是1，b的指数是3，与中a的指数是2，b的指数是3不一致， ∴不是的同类项，不符合题意； 故选B 【点睛】本题考查了同类项，正确理解同类项的定义是解题的关键． 题型二 科学记数法 1．规范形式： ，其中 为整数. 2．大数记数：原数绝对值 时， 为正整数，等于原数的整数位数减 1 . 3．小数记数：原数绝对值 时， 为负整数，绝对值等于原数左起第一个非零数字前所有 0 的个数. 4．乘除运算：先计算系数的乘除，再计算 10 的幂的乘除，最终化为规范形式. 1．（2025·上海·中考真题）据报道，我国某科研团队近期成功研制出一种新闪存器件，其快速擦写速度全球领先．已知一皮秒等于秒，该器件执行一次擦写需要400皮秒，则该器件一秒可以擦写______次（科学记数法表示）． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示数的除法 【分析】本题主要考查了科学记数法，根据题意可得1秒等于皮秒，再由该器件执行一次擦写需要400皮秒列式求解即可． 【详解】解：， ∴该器件一秒可以擦写次， 故答案为：． 2．（2024·上海·中考真题）科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量约为，一张普通唱片的容量约为25，则蓝光唱片的容量是普通唱片的___________倍．（用科学记数法表示） 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查科学记数法，按照定义，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，按要求表示即可得到答案，确定与的值是解决问题的关键． 【详解】解：蓝光唱片的容量是普通唱片的倍， 故答案为：． 题型三 整式的运算 1．幂运算核心法则： 同底数幂相乘： ；同底数幂相除： 幂的乘方： ；积的乘方： 2．核心乘法公式： 平方差公式： ，核心为＂相同项平方减相反项平方＂ 完全平方公式： ，核心为＂首平方，尾平方，积的 2 倍放中央＂ 3．运算规范：先乘方，再乘除，最后加减；结果需合并同类项，化为最简整式，可按某一字母升幂／降幂排列. 1．（2025·上海·中考真题）下列代数式中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方运算 【分析】本题考查代数式的运算，涉及合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方等基本法则；逐一验证各选项的正确性即可． 【详解】解：A：，合并同类项时，系数相加，字母部分不变，的系数为1，故，结果为，计算正确； B：加法运算中，指数不改变，仅系数相加；正确结果应为，而非，计算错误； C：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；，结果应为，而非，计算错误； D：幂的乘方运算中，底数不变，指数相乘；，结果应为，而非，计算错误； 故选：A． 2．（2022·上海·中考真题）下列运算正确的是（   ） A．a²+a³=a6 B．（ab）2 =ab2 C．（a+b）²=a²+b² D．（a+b）（ab）=a² b2 【答案】D 【知识点】合并同类项、积的乘方运算、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】根据整式加法判定A；运用积的乘方计算关判定B；运用完全平方公式计算并判定C；运用平方差公式计算并判定D． 【详解】解：A.a²+a³没有同类项不能合并，故此选项不符合题意； B.（ab）2 =a2b2，故此选项不符合题意； C.（a+b）²=a²+2ab+b²，故此选项不符合题意 D.（a+b）（ab）=a² b2，故此选项符合题意 故选：D． 【点睛】本题考查整理式加法，积的乘方，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握积的乘方运算法则、完全平方公式、平方差公式是解题的关键． 3．（2024·上海·中考真题）计算_____． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】根据平方差公式计算即可． 本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 4．（2024·上海·中考真题）计算：___________． 【答案】 【知识点】幂的乘方运算、积的乘方运算 【分析】本题考查了积的乘方以及幂的乘方，掌握相关运算法则是解题关键．先将因式分别乘方，再结合幂的乘方计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 5．（2021·上海·中考真题）计算：_____________． 【答案】 【知识点】同底数幂的除法运算 【分析】根据同底数幂的除法法则计算即可 【详解】∵, 故答案为: ． 【点睛】本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握运算的法则是解题的关键． 题型四 因式分解 1．核心流程：一提（提公因式）、二套（套用公式）、三查（检查是否分解彻底）. 2．提公因式法：公因式为各项系数的最大公约数与相同字母最低次幂的积；首项为负时，先提取负号，再提取公因式. 3．公式法： 平方差公式： ，适用于两项式、异号、均为平方形式 完全平方公式： ，适用于三项式，符合＂首平方、尾平方、积 2 倍在中央＂结构 4．最终要求：分解至每一个多项式因式都不能再分解为止，结果为整式乘积形式. 1．（2025·上海·中考真题）分解因式：____________． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】原式提取ab进行分解即可． 【详解】解：原式= 故答案为： 【点睛】此题考查了提公因式法的运用，熟练掌握因式分解的提公因式方法是解本题的关键． 2．（2023·上海·中考真题）分解因式：x2－9＝______． 【答案】(x＋3)(x－3) 【知识点】平方差公式分解因式 【详解】解：x29=（x+3）（x3）， 故答案为：（x+3）（x3）. 3．（上海中考）因式分解：_______________． 【答案】(x+3y)(x3y) 【知识点】平方差公式分解因式 【详解】根据平方差公式可求得，原式=x2(3y)2=(x+3y)(x3y) 题型五 分式 1．成立条件： 分式有意义：分母 分式值为 0 ：分子 且分母 （二者需同时满足） 2．运算规范： 同分母分式加减：分母不变，分子相加减，结果化为最简分式 异分母分式加减：先通分，化为同分母分式后再运算 分式乘除：先因式分解，再约分，最终化为最简分式 3．函数定义域：分式型函数的定义域为使分母 的自变量取值范围. 1．（2024·上海·中考真题）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式有意义的条件、求自变量的取值范围 【分析】本题考查求函数定义域，涉及分式有意义的条件：分式分母不为0，解不等式即可得到答案，熟练掌握求函数定义域的方法是解决问题的关键． 【详解】解：函数的定义域是，解得， 故选：D． 2．（2023·上海·中考真题）化简：的结果为________． 【答案】2 【知识点】同分母分式加减法 【分析】根据同分母分式的减法计算法则解答即可． 【详解】解：； 故答案为：2． 【点睛】本题考查了同分母分式减法计算，熟练掌握运算法则是解题关键． 题型六 二次根式 1．有意义条件：被开方数 ，据此可列不等式求解未知数取值. 2．核心性质： ，去根号后先加绝对值，再根据 的符号化简 3．运算规范： 先化为最简二次根式，再合并同类二次根式 乘除运算： 分母有理化：通过乘以有理化因式，化去分母中的根号 4．有理数判定：能化为整数或分数的二次根式为有理数，否则为无理数. 1．（2024·上海·中考真题）已知，则___________． 【答案】1 【知识点】二次根式有意义的条件、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．由二次根式被开方数大于0可知，则可得出，求出x即可． 【详解】解：根据题意可知：， ∴， 解得：， 故答案为：1． 2．（2021·上海·中考真题）下列实数中，有理数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】化为最简二次根式 【分析】先化简二次根式，再根据有理数的定义选择即可 【详解】解： A、∵是无理数，故是无理数 B、∵是无理数，故是无理数 C、为有理数 D、∵是无理数，故是无理数 故选：C 【点睛】本题考查二次根式的化简、无理数的定义、有理数的定义、熟练掌握有理数的定义是关键 3．（2023·上海·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用二次根式的性质化简、同底数幂的除法运算、幂的乘方运算、合并同类项 【分析】根据同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，二次根式的化简等计算即可． 【详解】解：A、，故正确，符合题意； B、，故错误，不符合题意； C、，故错误，不符合题意； D、，故错误，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，二次根式的化简，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． 4．（2022·上海·中考真题）计算： 【答案】 【知识点】分母有理化、分数指数幂 【分析】原式分别化简，再进行合并即可得到答案． 【详解】解： = = 【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 题型七 实数的混合运算 1．运算优先级：先乘方、开方（含分数指数幂、分母有理化），再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内的运算. 2．分项化简核心法则： 乘方符号：负数的奇数次幂为负，偶数次幂为正 绝对值化简：非负数的绝对值是其本身，负数的绝对值是其相反数 零指数幂： 负整数指数幂： 为正整数) 3．最终要求：分项化简后，合并同类项／同类二次根式，结果化为最简形式. 1．（2025·上海·中考真题）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算、分数指数幂、负整数指数幂、实数的混合运算 【分析】本题考查的是实数的混合运算，二次根式的混合运算，分数指数幂的含义，先分母有理化，计算分数指数幂，绝对值，负整数指数幂，再合并即可. 【详解】解： . 2．（2024·上海·中考真题）计算：． 【答案】 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、零指数幂、分数指数幂、分母有理化 【分析】本题考查了绝对值，二次根式，零指数幂等，掌握化简法则是解题的关键．先化简绝对值，二次根式，零指数幂，再根据实数的运算法则进行计算． 【详解】解： ． 3．（2023·上海·中考真题）计算： 【答案】 【知识点】求一个数的立方根、负整数指数幂、二次根式的加减运算、分母有理化 【分析】根据立方根、负整数指数幂及二次根式的运算可进行求解． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题主要考查立方根、负整数指数幂及二次根式的运算，熟练掌握立方根、负整数指数幂及二次根式的运算是解题的关键． 4．（2021·上海·中考真题）计算： 【答案】2 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、实数的混合运算、负整数指数幂、化为最简二次根式 【分析】根据分指数运算法则，绝对值化简，负整指数运算法则，化最简二次根式，合并同类二次根式以及同类项即可． 【详解】解：， =， =， =2． 【点睛】本题考查实数混合运算，分指数运算法则，绝对值符号化简，负整指数运算法则，化最简二次根式，合并同类二次根式与同类项，掌握实数混合运算法则与运算顺序，分指数运算法则，绝对值符号化简，负整指数运算法则，化最简二次根式，合并同类二次根式与同类项是解题关键． 知识1 实数的混合运算 1．实数混合运算核心规则 先进行乘方和开方运算，再算乘除，最后算加减；如果遇到括号，则先进行括号里的运算. 2．核心运算公式 乘方符号规则：负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数 绝对值化简：非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数 零指数幂： 负验数指数幂： 为正整数） 知识2 整式的混合运算 1．整式加减运算法则 几个整式相加减，有括号先去括号，再合并同类项；合并同类项时，系数相加，字母及字母的指数保持不变. 2．幂的运算法则（,均为整数） 运算类型 核心法则 公式表达 计算示例 同底数幂的乘法 底数不变，指数相加 幂的乘方 底数不变，指数相乘 积的乘方 每个因式分别乘方，再把所得的积相乘 同底数幂的除法 底数不变，指数相减 3．整式乘法核心公式 平方差公式： 完全平方公式： ； 4．整式运算结果规范 不能含有同类项，有同类项必须合并 带分数要化成假分数，保证系数形式规范 一般按照某个字母升幂／降幂排列，结果应为最简整式，无多余括号、无未合并的项 知识 3 因式分解 1．因式分解核心定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解. 2．因式分解标准流程 一提（提公因式）→ 二套（套用乘法公式）→ 三查（检查是否分解彻底） 3．核心分解方法 提公因式法： ；若多项式首项为负，先提取负号，再提取公因式 公式法： ①平方差公式： ②完全平方公式： 4．因式分解注意事项 必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止 公式法应用前，需先判断多项式结构是否匹配公式，避免强行套用 知识 4 分式的运算 1．分式核心成立条件 分式有意义：分母 分式值为 0 ：分子 且分母 2．分式基本性质 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于 0 的整式，分式的值不变. 3．分式运算法则 （1）加减法： ①同分母分式相加减，分母不变，分子相加减： ②异分母分式相加减，先通分，变为同分母分式，再加减 （2）乘除法： ①乘法：分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母 ②除法：除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数 4．运算结果规范 分式运算的最终结果必须化为最简分式（分子分母无公因式） 知识 5 二次根式的运算 1．二次根式核心成立条件 被开方数 （二次根式具备双重非负性：被开方数 ，二次根式的值 ） 2．二次根式核心性质 乘法法则： 除法法则： 3．二次根式运算规范 先将所有二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式 分母含有根号时，需通过分母有理化，化去分母中的根号 运算结果必须为最简二次根式，无多余括号、无未合并的同类项 1．（2025·上海宝山·二模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】】本题考查完全平方公式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用完全平方公式，合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方法则逐项判断即可． 【详解】解：A、，则A不符合题意， B、，则B不符合题意， C、，则C不符合题意， D、，则D符合题意， 故选：D． 2．（2026·上海·一模）如果，那么（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将看作整体简化计算． 【详解】解：设， 则原等式可化为， ∴， ∴， ∴， ∴， 等式两边同时除以，得． 故选：C． 3．（2025·上海静安·二模）单项式的系数是（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式的知识，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．根据单项式的系数的概念求解即可． 【详解】解：单项式的系数是， 故选：A． 4．（2026·河南郑州·一模）U盘由朗科公司1999年发明，取代软盘，成为便携式移动存储的划时代产品，已知，则图中的U盘容量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，利用同底数幂乘法求解即可． 【详解】解：根据题意，得． 5．（2026·河南郑州·一模）如图将一个圆形转盘均分成3个扇形，扇形上写有三个等式，随机转动转盘两次，记录得到的两个等式（指向边界处重转），则两次记录的等式都错误的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【详解】解：设为A（计算正确），为B（计算错误），为C（计算错误）， 列表如下： A B C A B C ∴共有9种可能结果，其中两次记录的等式都错误的有4种， ∴两次记录的等式都错误的概率为． 6．（2026·河北张家口·一模）若x，y都是正整数，且满足，则x与y的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，，即可得出结果. 【详解】解：∵，，， ∴， ∴. 7．（2025·上海嘉定·二模）分解因式： ______． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 直接根据平方差公式进行分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 8．（2026·广东深圳·一模）已知：，，则__________． 【答案】 【分析】根据幂的乘方将转化为，再根据同底数幂的除法的逆运算将转化为，再代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 9．（2026·安徽阜阳·一模）已知，则的值为____． 【答案】 【分析】根据，通过变形可以建立与的关系，从而可以取得的值． 【详解】解：， ． 10．（2026·河北沧州·一模），则____________． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式的乘除运算．根据题意得出，再进行计算即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为：． 11．（2026·上海·一模）计算： 【答案】 【分析】本题考查了零次幂，负整数指数幂，含特殊角的三角函数的混合运算，化简绝对值．先化简零次幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，以及化简绝对值，再运算乘法，最后运算加减法，即可作答． 【详解】解： ． 考点二 方程与不等式 题型一 一元二次方程根的判别式 1．核心公式：对于一元二次方程 ，根的判别式 . 2．根的情况判定： 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程没有实数根 3．参数求解流程：①确认二次项系数 ；②根据根的情况列关于 的等式／不等式；③求解参数的取值范围／值. 1．（2025·上海·中考真题）已知关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是______． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查根的判别式，根据方程没有实数根，得到，进行求解即可．熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 2．（2024·上海·中考真题）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了一元二次方程判别式判断根的情况，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等实数根；当时，方程的两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．分别计算出各选项中的根的判别式的值，即可判断． 【详解】解：A． ，该方程有两个不相等实数根，故A选项不符合题意； B． ，该方程有两个不相等实数根，故B选项不符合题意； C． ，该方程有两个不相等实数根，故C选项不符合题意； D． ，该方程有两个相等实数根，故D选项不符合题意； 故选：D． 3．（2023·上海·中考真题）已知关于x的一元二次方程没有实数根，那么a的取值范围是________． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】根据一元二次方程根的判别式可进行求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根， ∴， 解得：； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 4．（2022·上海·中考真题）已知x2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是_____． 【答案】m<3 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】根据方程有两个不相等的实数根，则Δ>0，即(2)24m>0，求解即可． 【详解】解：∵xx+m=0有两个不相等的实数根， ∴Δ=(2)24m>0 解得：m<3， 故答案为: m<3． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握“当方程有两个不相等的实数根，Δ>0；当方程有两个相等的实数根，Δ=0；当方程没有实数根，Δ<0”是解题的关键． 5．（2021·上海·中考真题）若一元二次方程无解，则c的取值范围为_________． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义得到＜0，然后求出c的取值范围． 【详解】解：关于x的一元二次方程无解， ∵，，， ∴， 解得， ∴的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b24ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 题型二 分式方程 1．核心解法流程： ①去分母：方程两边同乘最简公分母，化为整式方程； ②解整式方程：按整式方程解法求解未知数； ③验根：将解代入最简公分母，公分母 为原方程的解；公分母 为增根，需舍去. 2．换元法：对于结构重复的分式方程，可设重复部分为新元，简化方程后求解，再回代求原未知数. 3．实际应用：按＂审题 → 设元 → 列方程 → 求解 → 双检验（增根 + 实际意义）→ 作答＂流程解题. 1．（2025·上海·中考真题）解方程：． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【详解】解： 方差两边同时乘以得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， ∴， ∴或， 解得或， 检验，当时，，此时是原方程的增根， 当时，，此时是原方程的解， ∴原方程的解为． 2．（2023·上海·中考真题）在分式方程中，设，可得到关于y的整式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】换元法解一元二次方程、解分式方程（化为一元一次） 【分析】设，则原方程可变形为，再化为整式方程即可得出答案. 【详解】解：设，则原方程可变形为， 即； 故选：D. 【点睛】本题考查了利用换元法解方程，正确变形是关键，注意最后要化为整式方程. 3．（2021·上海·中考真题）现在手机非常流行，某公司第一季度总共生产80万部手机，三个月生产情况如下图． （1）求三月份共生产了多少部手机? （2）手机速度很快，比下载速度每秒多，下载一部的电影，比要快190秒，求手机的下载速度． 【答案】（1）36万部；（2）100/秒 【知识点】分式方程的其它实际问题 【分析】（1）根据扇形统计图求出3月份的百分比，再利用80万×3月份的百分比求出三月份共生产的手机数； （2）设手机的下载速度为x/秒，则下载速度为/秒，根据下载一部的电影，比要快190秒列方程求解． 【详解】（1）3月份的百分比= 三月份共生产的手机数=（万部） 答：三月份共生产了36万部手机． （2）设手机的下载速度为x/秒，则下载速度为/秒， 由题意可知： 解得： 检验：当时， ∴是原分式方程的解． 答：手机的下载速度为100/秒． 【点睛】本题考查实际问题与分式方程．求解分式方程时，需要检验最简公分母是否为0． 题型三 无理方程 1．核心解法：平方法，将方程两边同时平方，化去根号，转化为整式方程求解. 2．标准化流程： ①移项：将含根号的项单独放在方程一侧，其余项移到另一侧； ②平方：方程两边同时平方，化为整式方程； ③解整式方程：求解未知数； ④验根：将解代入原方程，检验二次根式是否有意义、等式是否成立，不成立的为增根，需舍去. 1．（2025·上海·中考真题）方程的解为_______． 【答案】 【知识点】无理方程 【分析】本题考查解无理方程，利用平方法将方程转化为一元一次方程，进行求解，检验即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 经检验，是原方程的解， 故答案为：． 2．（2023·上海·中考真题）已知关于的方程，则________ 【答案】 【知识点】无理方程 【分析】根据二次根式的性质，等式两边平方，解方程即可． 【详解】解：根据题意得，，即， ， 等式两边分别平方， 移项，，符合题意， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次根式与方程的综合，掌握含二次根式的方程的解法是解题的关键． 3．（2021·上海·中考真题）已知，则___________． 【答案】5 【知识点】无理方程 【分析】方程两边同平方，化为一元一次方程，进而即可求解． 【详解】解：， 两边同平方，得， 解得：x=5， 经检验，x=5是方程的解， ∴x=5， 故答案是：5． 【点睛】本题主要考查解根式方程，把根式方程化为整式方程，是解题的关键． 题型四 二元二次方程组 1．核心解题思想：消元、降次，将二元二次方程组转化为一元一次 /一元二次方程求解. 2．常用解法： －代入消元法：适用于含二元一次方程的方程组，将一次方程变形为用一个未知数表示另一个未知数的形式，代入二次方程，化为一元方程求解. －因式分解法：适用于二次方程可因式分解为两个一次方程乘积的情况，分解后转化为两个二元一次方程组，分别求解. 3．规范流程：消元 /降次 → 解一元方程 → 回代求对应未知数 → 写出方程组的所有解. 1．（2024·上海·中考真题）解方程组：． 【答案】，或者，． 【知识点】二元二次方程组及其解法、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了二元二次方程，求解一元二次方程，解题的关键是利用代入法进行求解． 【详解】解：， 由得：代入中得： ， ， ， ， 解得：或， 当时，， 当时，， ∴方程组的解为或者． 2．（2022·上海·中考真题）解方程组的结果为_____． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、二元二次方程组及其解法、加减消元法 【分析】利用平方差公式将②分解因式变形，继而可得④，联立①④利用加减消元法，算出结果即可． 【详解】解： 由②，得：③， 将①代入③，得：，即④， ①+④，得：， 解得：， ①−④，得：， 解得：， ∴方程组的结果为． 【点睛】本题考查解二元二次方程组，与平方差公式分解因式，能够熟练掌握平方差公式分解因式是解决本题的关键． 3．（2021·上海·中考真题）解方程组： 【答案】和 【知识点】二元二次方程组及其解法 【分析】由第一个方程得到，再代入第二个方程中，解一元二次方程方程即可求出，再回代第一个方程中即可求出． 【详解】解：由题意：， 由方程(1)得到：，再代入方程(2)中： 得到：， 进一步整理为：或， 解得，， 再回代方程(1)中，解得对应的，， 故方程组的解为：和． 【点睛】本题考查了代入消元法解方程及一元二次方程的解法，熟练掌握代入消元法，运算过程中细心即可． 题型五 实际问题与一元二次方程 1．核心题型公式： －增长率问题： ，其中 为初始量， 为增长率／下降率， 为增长／下降次数， 为最终量. －销售利润问题：总利润 = 单利润 × 销量 2．标准化解题流程：审题 → 设未知数（直接设元／间接设元）→ 找等量关系列方程 → 解方程 → 检验解是否符合实际意义 → 作答. 1．（2022·上海·中考真题）某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知6、7月的增长率相同，则增长率为_____． 【答案】20% 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】根据该公司6、7两个月营业额的月均增长率为x，结合5月、7月营业额即可得出关于x的一元二次方程，解此方程即可得解． 【详解】解：设该公司6、7两个月营业额的月均增长率为x，根据题意得， 解得，（舍去） 所以，增长率为20% 故答案为：20% 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键． 题型六 不等式的性质 1．核心性质： 加减性质：不等式两边加／减同一个数（或整式），不等号方向不变； 乘除正数性质：不等式两边乘／除以同一个正数，不等号方向不变； 乘除负数性质：不等式两边乘／除以同一个负数，不等号方向必须改变. 2．判定方法：根据不等式核心性质，逐一验证变形是否符合规则. 1．（2024·上海·中考真题）如果，那么下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】不等式的性质 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，根据不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：A．两边都加上，不等号的方向不改变，故错误，不符合题意； B．两边都加上，不等号的方向不改变，故错误，不符合题意； C．两边同时乘上大于零的数，不等号的方向不改变，故正确，符合题意； D．两边同时乘上小于零的数，不等号的方向改变，故错误，不符合题意； 故选：C． 题型七 解一元一次不等式（组） 1．一元一次不等式解法： 流程：去分母 → 去括号 → 移项 → 合并同类项 → 系数化为 1 ； 注意：系数化为 1 时，若系数为负数，必须改变不等号方向. 2．一元一次不等式组解法： ①分别求解每个不等式的解集； ②用口诀＂同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找＂确定公共解集； ③数轴表示：空心圈表示不包含该点，实心点表示包含该点，遵循＂小于向左，大于向右＂. 3．整数解问题：先确定不等式组的解集，再在解集范围内找出符合要求的整数解. 1．（2025·上海·中考真题）不等式组的解集为______． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查求不等式组的解集，先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集． 【详解】解： 由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为：； 故答案为：． 2．（2023·上海·中考真题）解不等式组 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组的解集为． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键． 3．（2022·上海·中考真题）解关于x的不等式组 【答案】2<x<1 【知识点】求不等式组的解集 【分析】分别求出不等式组中每一个不等式的解集，再确定出公共部分，即可求解． 【详解】解：， 解①得：x>2， 解②得：x<1， ∴2<x<1． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握根据“大取较大，小小取较小，大小小大中间找，大大小小无处找”的原则性确定不等式组的解集是解题的关键． 4．（2021·上海·中考真题）不等式的解集是_______． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】根据不等式的性质即可求解． 【详解】 故答案为：． 【点睛】此题主要考查不等式的求解，解题的关键是熟知不等式的性质． 知识1 解一元一次方程 1．一元一次方程标准形式 ，其中 是未知数， 是常数 2．一元一次方程标准解法步骤 ①去分母：方程两边同乘所有分母的最小公倍数，注意不要漏乘不含分母的项 ②去括号：括号前为负号时，括号内所有项都要变号 ③移项：移项要变号，含未知数的项移到等号一侧，常数项移到另一侧 ④合并同类项：把方程化为 的形式 ⑤系数化为 1：方程两边同除以未知数的系数 ，得到方程的解 知识 2 解二元一次方程（组） 1．二元一次方程组核心解题思想 消元：将二元方程组转化为一元一次方程求解 2．核心消元解法 （1）代入消元法： ①将其中一个方程变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数 ②代入另一个方程，消去一个未知数，得到一元一次方程 ③解一元一次方程，回代求另一个未知数的值，写出方程组的解 （2）加减消元法： ①把方程组中一个或两个方程变形，使两个方程中某一个未知数的系数互为相反数或相等 ②把两个方程相加／相减，消去这个未知数，得到一元一次方程 ③解一元一次方程，回代求另一个未知数的值，写出方程组的解 知识3解分式方程 1.分式方程核心定义 分母中含有未知数的方程叫做分式方程 2.分式方程标准解法步骤 ①去分母:方程两边同乘所有分母的最简公分母，化为整式方程 ②解整式方程:按照整式方程的解法，求解未知数 ③验根:将求得的解代入最简公分母 若最简公分母≠0，该解为原分式方程的解 若最简公分母＝0，该解为增根，必须舍去 3.核心注意事项: 解分式方程必须验根，这是分式方程与整式方程解法的核心区别 知识 4 解一元二次方程 1．一元二次方程标准形式 ，其中 是二次项系数， 是一次项系数， 是常数项，核心前提是二次项系数 2．根的判别式 （1）判别式公式： （2）根的情况判定： ① 方程有两个不相等的实数根 ② 方程有两个相等的实数根 ③ 方程没有实数根 3．一元二次方程核心解法 ①直接开平方法：适用于形如 的方程 ②因式分解法：将方程化为两个一次因式的乘积等于 0 的形式，分别令每个因式为 0 求解 ③公式法：当 时，方程的解为 知识5解无理方程 1.无理方程核心定义 根号下含有未知数的方程，叫做无理方程(也叫根式方程). 2.核心解题思想 去根号、降次:通过平方运算化去根号，将无理方程转化为整式方程求解. 3.无理方程标准解法步骤: ①移项:将含根号的项单独移到方程一侧，其余项移到另一侧(多个根号可分步移项、分步平方) ②平方:方程两边同时平方，化去根号，得到整式方程 ③解整式方程:按照整式方程解法，求解未知数的值 ④验根:必须将解代入原无理方程验根(核心必备步骤) 代入后二次根式有意义、方程左右两边相等，为原方程的解 代入后二次根式无意义、方程左右两边不相等，为增根，必须舍去 4.核心注意事项 平方前优先移项，使根号单独在一侧，避免平方后仍有根号，增加计算难度. 平方运算严格遵循完全平方公式，避免漏乘、漏项导致方程变形不等价 无理方程必须验根，平方运算会扩大未知数取值范围，极易产生增根 知识 6 解二元二次方程组 1．二元二次方程组核心定义 方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的最高次数为 2 的整式方程组，叫做二元二次方程组. 2．核心解题思想 两大核心：消元、降次 消元：通过代入、加减等方法，化二元为一元，转化为一元方程求解 降次：通过因式分解等方法，化二次为一次，转化为一次方程／方程组求解 3．解法 （1）代入消元法（最常用，适用于「二元一次方程 + 二元二次方程」组成的方程组） ①将方程组中的二元一次方程变形，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数 ②将变形后的式子代入二元二次方程，消去一个未知数，得到一元二次方程 ③解一元二次方程，求得一个未知数的取值 ④将求得的值回代到变形后的一次方程，求出另一个未知数的对应值 ⑤写出方程组的所有解 （2）因式分解降次法（适用于二元二次方程可因式分解为两个一次方程乘积的方程组） ①将方程组中能因式分解的二元二次方程，因式分解为两个二元一次方程 ②将分解得到的一次方程，分别与原方程组中的另一个方程组合，得到两个二元一次方程组 ③分别解这两个二元一次方程组，得到的解即为原方程组的解 4．核心注意事项 代入消元时，必须代入二次方程，避免回代错误导致解缺失 因式分解降次时，要确保分解彻底、符号正确，避免漏写分解后的一次方程 求解一元二次方程后，必须完整回代求出对应未知数的所有值，避免漏解 知识 7 解一元一次不等式（组） 1．不等式的核心性质 性质 1：不等式两边加（或减）同一个数（或整式），不等号的方向不变 性质 2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 性质 3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向必须改变（高频易错点） 2．一元一次不等式标准解法步骤 ①去分母：注意不要漏乘常数项，乘／除以负数时要变不等号方向 ②去括号：括号前为负号时，括号内所有项都要变号 ③移项：移项要变号 ④合并同类项：把不等式化为 或 的形式 ⑤系数化为 1：系数为负数时，必须改变不等号的方向 3．一元一次不等式组解法步骤 ①分别求出不等式组中每个不等式的解集 ②找所有解集的公共部分，即为不等式组的解集 4．不等式组解集判定口诀 同大取大，同小取小 大小小大中间找，大大小小无处找 5．数轴表示解集规范 空心圈：表示不包含该点（对应不含等号的不等式） 实心点：表示包含该点（对应含等号的不等式） 方向：小于向左，大于向右 1．（2025·上海杨浦·模拟预测）用配方法解一元二次方程时，下列变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方的步骤是解题的关键；方程变形为，再配方即可． 【详解】解：由变形得：， 配方得：，即； 所以选：A． 2．（2025·上海·二模）如果关于x的方程有实数根，那么k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键；因此此题可根据进行求解即可． 【详解】解：由关于x的方程有实数根，可知： 且， 解得：； 故选D． 3．（2026·河南·一模）一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 【答案】B 【详解】解：一元二次方程 其中，，， ， 此一元二次方程没有实数根. 4．（2025·上海·模拟预测）下列关于的方程中，不论取什么实数值，一定有两个实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式是解题的关键．根据一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义逐一分析即可求解． 【详解】解：A、， ， ∵时， ∴，即关于的方程一定有两个实数根，故该选项符合题意； B、当时，原方程变为， 解得，， 故该选项不符合题意， C、， ， 当时，，即关于的方程没有实数根，故该选项不符合题意； D、， ， 当时，，即关于的方程没有实数根，故该选项不符合题意； 故选：A． 5．（2026·河南郑州·一模）已知关于x的不等式组无解，则m的值可能为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】先分别解两个不等式，再根据“大大小小无解”确定m的取值范围，最后结合选项判断即可． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得； ∵不等式组无解， ∴， ∴． 结合选项，只有A选项满足． 6．（2025·山西大同·三模）某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，预算均为4000元，……．若单枪充电桩的单价表示为x元，这一情境中的等量关系可用方程“”刻画，则“……”表示的条件为（    ） A．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价多200元，数量比单枪充电桩少1个 B．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价少200元，数量比单枪充电桩少1个 C．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价多200元，数量比单枪充电桩多1个 D．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价少200元，数量比单枪充电桩多1个 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据分式方程的形式求解即可． 【详解】∵单枪充电桩的单价表示为x元，这一情境中的等量关系可用方程“”刻画， ∴“……”表示的条件为双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价多200元，数量比单枪充电桩少1个． 故选：A． 7．（2025·上海徐汇·二模）已知，那么__________． 【答案】 【分析】本题考查求函数值，二次根式的运算，掌握相关知识是解决问题的关键．将代入计算即可． 【详解】解：将代入得： ． 故答案为：． 8．（2025·上海·二模）不等式的最大整数解是_________． 【答案】 【分析】本题考查的是解不等式，熟练掌握不等式的性质是解题关键． 求不等式的最大整数解，按照移项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，进而求出其最大整数解即可． 【详解】解： ， ∴不等式的最大整数解是， 故答案为：． 9．（2025·上海静安·二模）在实数范围内分解因式：___________________． 【答案】 【分析】本题考查了实数范围内因式分解，熟练掌握配方法是解题的关键． 根据配方法化为平方差的形式，进而因式分解，即可求解． 【详解】解： ． 10．（2025·上海·二模）方程的根是___________． 【答案】或 【分析】本题主要考查解无理方程，在解无理方程时最常用的方法是两边平方法及换元法，本题用了平方法．注意要把求得的x的值代入原方程进行检验． 此题需把方程两边平方去根号后求解，然后把求得的值进行检验即可得出答案． 【详解】解：， 整理为， 两边同时平方得， 则， ∴， ∴或． 检验：当时，方程左边，右边，左边右边，所以是原方程的根， 当时，方程左边，右边，左边右边，所以是原方程的根， 则原方程的根是或． 故答案为：或． 11．（2025·上海·二模）方程有两个实数根，则实数k的取值范围是_______． 【答案】，且 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，明确根的判别式与根的情况之间的关系是解答此题的关键． 根据一元二次方程有两个实数根则得判别式且，列含k的不等式，求解即可． 【详解】一元二次方程有两个实数根， 则，且 解得，，且. 故答案为：，且． 12．（2025·上海徐汇·二模）若一元二次方程中的，则的值为______． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，直接开平方法解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意得，整理得，运用直接开平方法进行解方程，即可作答． 【详解】∵一元二次方程中的， ∴， ． 或． 故答案为：或 13．（24-25七年级下·山西长治·期末）砌砖墙是墙体建筑的一种方式，盖房子过程中，黏土多孔砖墙在砌合时，应满足砂浆饱满、横平竖直、上下错缝、内外搭砌等最基本的砌墙要求，以此来保证墙体的强度和稳定性及固定性．如图是由截面相同的长方形墙砖粘贴的部分墙面，则每块墙砖的截面面积是______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系列方程组是解题的关键．设每块墙砖的长为厘米，宽为厘米，如图根据“三块横放的墙砖比一块竖放的墙砖高，两块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低高．”列方程组求解即可． 【详解】解：设墙砖的长为厘米，宽为厘米， 根据题意得， 解得， 墙砖的面积为：（）. 故答案为： ． 14．（2025·上海奉贤·三模）解方程组：． 【答案】或 【分析】本题考查了解方程组，先将因式分解为或，再分别联立，解二元一次方程组即可． 【详解】解：， 由②得， ∴或， 联立得， 解得， 联立得， 解得． 15．（2025·上海嘉定·二模）已知分式方程．甲同学的解答过程如下： 解：（第①步）去分母，得：， （第②步）解这个整式方程，得：， （第③步）检验：当时，， （第④步）所以，原方程的根是． (1)甲同学的解答过程是从第　　步开始出现错误的，请简要说明错误的原因：_______ (2)请写出正确且完整的解答过程． 【答案】(1)①，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了分式方程的求解及解一元二次方程，熟练掌握分式方程求解的步骤是解题的关键． （1）依据分式方程求解的步骤进行判断即可； （2）利用分式方程求解的步骤求解即可． 【详解】（1）解：甲同学在解答过程中第①步开始出错，错误原因为：方程右边的1没有乘； （2）解：去分母，得：， 整理，得：， 解得：， 检验：当时，；当时，， 可知是增根，舍去. 所以，原方程的根是． 16．（2025·上海奉贤·二模）解不等式组，将其解集在数轴上表示出来，并写出这个不等式组的整数解． 【答案】，数轴表示见解析， 【分析】本题考查解不等式组的解集及整数解，在数轴上表示解集．先分别求出各不等式的解集，它们的公共部分即为不等式组的解集，再根据数轴上表示解集的方法表示出该不等式组的解集，最后写出整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴该不等式组的解集为． 该解集在数轴上表示为： ∴该不等式组的整数解为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 数与式、方程与不等式 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 考点一 数与式（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一 列代数式与整式 题型二 科学记数法 题型三 整式的运算 题型四 因式分解 题型五 分式 题型六 二次根式 题型七 实数的混合运算 必备知识 知识1 实数的混合运算 知识2 整式的混合运算 知识 3 因式分解 知识 4 分式的运算 知识 5 二次根式的运算 命题预测 考点二 方程与不等式（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一 一元二次方程根的判别式 题型二 分式方程 题型三 无理方程 题型四 二元二次方程组 题型五 实际问题与一元二次方程 题型六 不等式的性质 题型七 解一元一次不等式（组） 必备知识 知识1 解一元一次方程 知识 2 解二元一次方程（组） 知识3解分式方程 知识 4 解一元二次方程 知识5解无理方程 知识 6 解二元二次方程组 知识 7 解一元一次不等式（组） 命题预测 命题透视 命题形式：以填选基础题和解答前两题为主，呈现“重基础、强运算、融应用”的核心特点，突出对运算能力、代数建模能力的考查，是中考数学的核心得分模块. 命题内容： 1. 数与式：侧重运算的准确性与工具性，实数综合运算为每年固定必考题，幂的运算、整式乘法公式、因式分解为高频基础考点. 2. 方程与不等式：侧重解法的规范性与实际应用，一元二次方程根的判别式为每年必考考点，不等式（组）求解、各类方程（组）的解法为高频基础考点；实际情境的建模应用是主流考查形式，常与一次函数结合考查综合分析能力. 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 实数的概念与运算 T19：实数综合运算（二次根式、负指数幂、绝对值、分母有理化） T16：科学记数法（负指数） T19：实数综合运算（二次根式、零指数幂、绝对值、分数指数幂） T9：算术平方根运算 T10：科学记数法 T19：实数综合运算（立方根、二次根式、负指数幂、绝对值） T1：相反数的概念 T19：实数综合运算（二次根式、负指数幂、绝对值、分数指数幂） T1：实数的分类（有理数与无理数） T9：算术平方根运算 T19：实数综合运算（二次根式、负指数幂、绝对值、分数指数幂） 整式的运算与因式分解 T1：整式运算法则辨析 T2：列代数式 T7：因式分解（提公因式法） T7：幂的乘方运算 T8：乘法公式（平方差公式） T1：整式运算法则辨析 T7：因式分解（平方差公式） T2：整式运算与乘法公式辨析 T7：合并同类项 T2：同类项的概念 T7：同底数幂的除法运算 分式与二次根式 T8：分式的化简运算 T1：二次根式的化简 不等式（组）的求解与性质 T8：一元一次不等式组的求解 T1：不等式的基本性质 T20：一元一次不等式组的求解 T20：一元一次不等式组的求解 T10：一元一次不等式的求解 方程（组）的求解与应用 T9：无理方程求解 T20：分式方程求解 T20：二元二次方程组的求解 T9：无理方程求解 T9：二元二次方程组的求解 T12：一元二次方程实际应用（增长率问题） T22(2)：分式方程实际应用 T20：二元二次方程组的求解 一元二次方程根的判别式 T10：一元二次方程无实根，求参数取值范围 T3：一元二次方程相等实根的判定 T11：一元二次方程无实根，求参数取值范围 T10：一元二次方程两个不等实根，求参数取值范围 T12：一元二次方程无实根，求参数取值范围 命题预测 一、考情预测 数与式 必考：实数综合运算（负指数幂、二次根式、绝对值），固定19题，核心考查运算规范性与准确率. 高频：整式运算、乘法公式、因式分解，以选择填空小题为主，重基础概念应用. 趋势：新定义运算、代数规律探究为创新方向，知识工具性贯穿全卷综合题. 方程与不等式 必考：一元二次方程根的判别式，聚焦参数取值范围求解. 高频：不等式（组）求解、分式/无理/方程组解法，重解题规范与验根步骤. 趋势：方程+不等式+一次函数的实际建模为应用核心，贴合生活与科技情境命题. 二、备考建议 1. 锚定核心考点：针对必考、高频考点专项突破，固化解题流程，确保基础题零失分. 2. 强化运算能力：狠抓代数运算的准确率与速度，严控易错点，筑牢代数基础. 3. 突破应用题型：深耕建模类应用题，掌握审题建模求解检验的标准化流程. 4. 适配创新考法：针对性训练新定义、规律探究题，提升代数推理与知识迁移能力. 考点一 数与式 题型一 列代数式与整式 1．列代数式：严格遵循运算顺序，＂和／差／积／商的平方／立方＂需先对运算整体加括号，再进行乘方运算. 2．同类项判定：核心为两相同，即所含字母完全相同、相同字母的对应指数也完全相同，与系数无关. 3．同类项合并：系数相加作为结果的系数，字母及字母的指数保持不变. 1．（2025·上海·中考真题）用代数式表示与差的平方，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2021·上海·中考真题）下列单项式中，的同类项是（    ） A． B． C． D． 题型二 科学记数法 1．规范形式： ，其中 为整数. 2．大数记数：原数绝对值 时， 为正整数，等于原数的整数位数减 1 . 3．小数记数：原数绝对值 时， 为负整数，绝对值等于原数左起第一个非零数字前所有 0 的个数. 4．乘除运算：先计算系数的乘除，再计算 10 的幂的乘除，最终化为规范形式. 1．（2025·上海·中考真题）据报道，我国某科研团队近期成功研制出一种新闪存器件，其快速擦写速度全球领先．已知一皮秒等于秒，该器件执行一次擦写需要400皮秒，则该器件一秒可以擦写______次（科学记数法表示）． 2．（2024·上海·中考真题）科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量约为，一张普通唱片的容量约为25，则蓝光唱片的容量是普通唱片的___________倍．（用科学记数法表示） 题型三 整式的运算 1．幂运算核心法则： 同底数幂相乘： ；同底数幂相除： 幂的乘方： ；积的乘方： 2．核心乘法公式： 平方差公式： ，核心为＂相同项平方减相反项平方＂ 完全平方公式： ，核心为＂首平方，尾平方，积的 2 倍放中央＂ 3．运算规范：先乘方，再乘除，最后加减；结果需合并同类项，化为最简整式，可按某一字母升幂／降幂排列. 1．（2025·上海·中考真题）下列代数式中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2022·上海·中考真题）下列运算正确的是（   ） A．a²+a³=a6 B．（ab）2 =ab2 C．（a+b）²=a²+b² D．（a+b）（ab）=a² b2 3．（2024·上海·中考真题）计算_____． 4．（2024·上海·中考真题）计算：___________． 5．（2021·上海·中考真题）计算：_____________． 题型四 因式分解 1．核心流程：一提（提公因式）、二套（套用公式）、三查（检查是否分解彻底）. 2．提公因式法：公因式为各项系数的最大公约数与相同字母最低次幂的积；首项为负时，先提取负号，再提取公因式. 3．公式法： 平方差公式： ，适用于两项式、异号、均为平方形式 完全平方公式： ，适用于三项式，符合＂首平方、尾平方、积 2 倍在中央＂结构 4．最终要求：分解至每一个多项式因式都不能再分解为止，结果为整式乘积形式. 1．（2025·上海·中考真题）分解因式：____________． 2．（2023·上海·中考真题）分解因式：x2－9＝______． 3．（上海中考）因式分解：_______________． 题型五 分式 1．成立条件： 分式有意义：分母 分式值为 0 ：分子 且分母 （二者需同时满足） 2．运算规范： 同分母分式加减：分母不变，分子相加减，结果化为最简分式 异分母分式加减：先通分，化为同分母分式后再运算 分式乘除：先因式分解，再约分，最终化为最简分式 3．函数定义域：分式型函数的定义域为使分母 的自变量取值范围. 1．（2024·上海·中考真题）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·上海·中考真题）化简：的结果为________． 题型六 二次根式 1．有意义条件：被开方数 ，据此可列不等式求解未知数取值. 2．核心性质： ，去根号后先加绝对值，再根据 的符号化简 3．运算规范： 先化为最简二次根式，再合并同类二次根式 乘除运算： 分母有理化：通过乘以有理化因式，化去分母中的根号 4．有理数判定：能化为整数或分数的二次根式为有理数，否则为无理数. 1．（2024·上海·中考真题）已知，则___________． 2．（2021·上海·中考真题）下列实数中，有理数是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·上海·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2022·上海·中考真题）计算： 题型七 实数的混合运算 1．运算优先级：先乘方、开方（含分数指数幂、分母有理化），再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内的运算. 2．分项化简核心法则： 乘方符号：负数的奇数次幂为负，偶数次幂为正 绝对值化简：非负数的绝对值是其本身，负数的绝对值是其相反数 零指数幂： 负整数指数幂： 为正整数) 3．最终要求：分项化简后，合并同类项／同类二次根式，结果化为最简形式. 1．（2025·上海·中考真题）计算：． 2．（2024·上海·中考真题）计算：． 3．（2023·上海·中考真题）计算： 4．（2021·上海·中考真题）计算： 知识1 实数的混合运算 1．实数混合运算核心规则 先进行乘方和开方运算，再算乘除，最后算加减；如果遇到括号，则先进行括号里的运算. 2．核心运算公式 乘方符号规则：负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数 绝对值化简：非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数 零指数幂： 负验数指数幂： 为正整数） 知识2 整式的混合运算 1．整式加减运算法则 几个整式相加减，有括号先去括号，再合并同类项；合并同类项时，系数相加，字母及字母的指数保持不变. 2．幂的运算法则（,均为整数） 运算类型 核心法则 公式表达 计算示例 同底数幂的乘法 底数不变，指数相加 幂的乘方 底数不变，指数相乘 积的乘方 每个因式分别乘方，再把所得的积相乘 同底数幂的除法 底数不变，指数相减 3．整式乘法核心公式 平方差公式： 完全平方公式： ； 4．整式运算结果规范 不能含有同类项，有同类项必须合并 带分数要化成假分数，保证系数形式规范 一般按照某个字母升幂／降幂排列，结果应为最简整式，无多余括号、无未合并的项 知识 3 因式分解 1．因式分解核心定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解. 2．因式分解标准流程 一提（提公因式）→ 二套（套用乘法公式）→ 三查（检查是否分解彻底） 3．核心分解方法 提公因式法： ；若多项式首项为负，先提取负号，再提取公因式 公式法： ①平方差公式： ②完全平方公式： 4．因式分解注意事项 必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止 公式法应用前，需先判断多项式结构是否匹配公式，避免强行套用 知识 4 分式的运算 1．分式核心成立条件 分式有意义：分母 分式值为 0 ：分子 且分母 2．分式基本性质 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于 0 的整式，分式的值不变. 3．分式运算法则 （1）加减法： ①同分母分式相加减，分母不变，分子相加减： ②异分母分式相加减，先通分，变为同分母分式，再加减 （2）乘除法： ①乘法：分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母 ②除法：除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数 4．运算结果规范 分式运算的最终结果必须化为最简分式（分子分母无公因式） 知识 5 二次根式的运算 1．二次根式核心成立条件 被开方数 （二次根式具备双重非负性：被开方数 ，二次根式的值 ） 2．二次根式核心性质 乘法法则： 除法法则： 3．二次根式运算规范 先将所有二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式 分母含有根号时，需通过分母有理化，化去分母中的根号 运算结果必须为最简二次根式，无多余括号、无未合并的同类项 1．（2025·上海宝山·二模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·上海·一模）如果，那么（     ） A． B． C． D． 3．（2025·上海静安·二模）单项式的系数是（    ） A． B．4 C． D． 4．（2026·河南郑州·一模）U盘由朗科公司1999年发明，取代软盘，成为便携式移动存储的划时代产品，已知，则图中的U盘容量是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·河南郑州·一模）如图将一个圆形转盘均分成3个扇形，扇形上写有三个等式，随机转动转盘两次，记录得到的两个等式（指向边界处重转），则两次记录的等式都错误的概率是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·河北张家口·一模）若x，y都是正整数，且满足，则x与y的关系是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·上海嘉定·二模）分解因式： ______． 8．（2026·广东深圳·一模）已知：，，则__________． 9．（2026·安徽阜阳·一模）已知，则的值为__________． 10．（2026·河北沧州·一模），则____________． 11．（2026·上海·一模）计算： 考点二 方程与不等式 题型一 一元二次方程根的判别式 1．核心公式：对于一元二次方程 ，根的判别式 . 2．根的情况判定： 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程没有实数根 3．参数求解流程：①确认二次项系数 ；②根据根的情况列关于 的等式／不等式；③求解参数的取值范围／值. 1．（2025·上海·中考真题）已知关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是______． 2．（2024·上海·中考真题）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·上海·中考真题）已知关于x的一元二次方程没有实数根，那么a的取值范围是________． 4．（2022·上海·中考真题）已知x2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是_____． 5．（2021·上海·中考真题）若一元二次方程无解，则c的取值范围为_________． 题型二 分式方程 1．核心解法流程： ①去分母：方程两边同乘最简公分母，化为整式方程； ②解整式方程：按整式方程解法求解未知数； ③验根：将解代入最简公分母，公分母 为原方程的解；公分母 为增根，需舍去. 2．换元法：对于结构重复的分式方程，可设重复部分为新元，简化方程后求解，再回代求原未知数. 3．实际应用：按＂审题 → 设元 → 列方程 → 求解 → 双检验（增根 + 实际意义）→ 作答＂流程解题. 1．（2025·上海·中考真题）解方程：． 2．（2023·上海·中考真题）在分式方程中，设，可得到关于y的整式方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2021·上海·中考真题）现在手机非常流行，某公司第一季度总共生产80万部手机，三个月生产情况如下图． （1）求三月份共生产了多少部手机? （2）手机速度很快，比下载速度每秒多，下载一部的电影，比要快190秒，求手机的下载速度． 题型三 无理方程 1．核心解法：平方法，将方程两边同时平方，化去根号，转化为整式方程求解. 2．标准化流程： ①移项：将含根号的项单独放在方程一侧，其余项移到另一侧； ②平方：方程两边同时平方，化为整式方程； ③解整式方程：求解未知数； ④验根：将解代入原方程，检验二次根式是否有意义、等式是否成立，不成立的为增根，需舍去. 1．（2025·上海·中考真题）方程的解为_______． 2．（2023·上海·中考真题）已知关于的方程，则________ 3．（2021·上海·中考真题）已知，则___________． 题型四 二元二次方程组 1．核心解题思想：消元、降次，将二元二次方程组转化为一元一次 /一元二次方程求解. 2．常用解法： －代入消元法：适用于含二元一次方程的方程组，将一次方程变形为用一个未知数表示另一个未知数的形式，代入二次方程，化为一元方程求解. －因式分解法：适用于二次方程可因式分解为两个一次方程乘积的情况，分解后转化为两个二元一次方程组，分别求解. 3．规范流程：消元 /降次 → 解一元方程 → 回代求对应未知数 → 写出方程组的所有解. 1．（2024·上海·中考真题）解方程组：． 2．（2022·上海·中考真题）解方程组的结果为_____． 3．（2021·上海·中考真题）解方程组： 题型五 实际问题与一元二次方程 1．核心题型公式： －增长率问题： ，其中 为初始量， 为增长率／下降率， 为增长／下降次数， 为最终量. －销售利润问题：总利润 = 单利润 × 销量 2．标准化解题流程：审题 → 设未知数（直接设元／间接设元）→ 找等量关系列方程 → 解方程 → 检验解是否符合实际意义 → 作答. 1．（2022·上海·中考真题）某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知6、7月的增长率相同，则增长率为_____． 题型六 不等式的性质 1．核心性质： 加减性质：不等式两边加／减同一个数（或整式），不等号方向不变； 乘除正数性质：不等式两边乘／除以同一个正数，不等号方向不变； 乘除负数性质：不等式两边乘／除以同一个负数，不等号方向必须改变. 2．判定方法：根据不等式核心性质，逐一验证变形是否符合规则. 1．（2024·上海·中考真题）如果，那么下列正确的是（    ） A． B． C． D． 题型七 解一元一次不等式（组） 1．一元一次不等式解法： 流程：去分母 → 去括号 → 移项 → 合并同类项 → 系数化为 1 ； 注意：系数化为 1 时，若系数为负数，必须改变不等号方向. 2．一元一次不等式组解法： ①分别求解每个不等式的解集； ②用口诀＂同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找＂确定公共解集； ③数轴表示：空心圈表示不包含该点，实心点表示包含该点，遵循＂小于向左，大于向右＂. 3．整数解问题：先确定不等式组的解集，再在解集范围内找出符合要求的整数解. 1．（2025·上海·中考真题）不等式组的解集为______． 2．（2023·上海·中考真题）解不等式组 3．（2022·上海·中考真题）解关于x的不等式组 4．（2021·上海·中考真题）不等式的解集是_______． 知识1 解一元一次方程 1．一元一次方程标准形式 ，其中 是未知数， 是常数 2．一元一次方程标准解法步骤 ①去分母：方程两边同乘所有分母的最小公倍数，注意不要漏乘不含分母的项 ②去括号：括号前为负号时，括号内所有项都要变号 ③移项：移项要变号，含未知数的项移到等号一侧，常数项移到另一侧 ④合并同类项：把方程化为 的形式 ⑤系数化为 1：方程两边同除以未知数的系数 ，得到方程的解 知识 2 解二元一次方程（组） 1．二元一次方程组核心解题思想 消元：将二元方程组转化为一元一次方程求解 2．核心消元解法 （1）代入消元法： ①将其中一个方程变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数 ②代入另一个方程，消去一个未知数，得到一元一次方程 ③解一元一次方程，回代求另一个未知数的值，写出方程组的解 （2）加减消元法： ①把方程组中一个或两个方程变形，使两个方程中某一个未知数的系数互为相反数或相等 ②把两个方程相加／相减，消去这个未知数，得到一元一次方程 ③解一元一次方程，回代求另一个未知数的值，写出方程组的解 知识3解分式方程 1.分式方程核心定义 分母中含有未知数的方程叫做分式方程 2.分式方程标准解法步骤 ①去分母:方程两边同乘所有分母的最简公分母，化为整式方程 ②解整式方程:按照整式方程的解法，求解未知数 ③验根:将求得的解代入最简公分母 若最简公分母≠0，该解为原分式方程的解 若最简公分母＝0，该解为增根，必须舍去 3.核心注意事项: 解分式方程必须验根，这是分式方程与整式方程解法的核心区别 知识 4 解一元二次方程 1．一元二次方程标准形式 ，其中 是二次项系数， 是一次项系数， 是常数项，核心前提是二次项系数 2．根的判别式 （1）判别式公式： （2）根的情况判定： ① 方程有两个不相等的实数根 ② 方程有两个相等的实数根 ③ 方程没有实数根 3．一元二次方程核心解法 ①直接开平方法：适用于形如 的方程 ②因式分解法：将方程化为两个一次因式的乘积等于 0 的形式，分别令每个因式为 0 求解 ③公式法：当 时，方程的解为 知识5解无理方程 1.无理方程核心定义 根号下含有未知数的方程，叫做无理方程(也叫根式方程). 2.核心解题思想 去根号、降次:通过平方运算化去根号，将无理方程转化为整式方程求解. 3.无理方程标准解法步骤: ①移项:将含根号的项单独移到方程一侧，其余项移到另一侧(多个根号可分步移项、分步平方) ②平方:方程两边同时平方，化去根号，得到整式方程 ③解整式方程:按照整式方程解法，求解未知数的值 ④验根:必须将解代入原无理方程验根(核心必备步骤) 代入后二次根式有意义、方程左右两边相等，为原方程的解 代入后二次根式无意义、方程左右两边不相等，为增根，必须舍去 4.核心注意事项 平方前优先移项，使根号单独在一侧，避免平方后仍有根号，增加计算难度. 平方运算严格遵循完全平方公式，避免漏乘、漏项导致方程变形不等价 无理方程必须验根，平方运算会扩大未知数取值范围，极易产生增根 知识 6 解二元二次方程组 1．二元二次方程组核心定义 方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的最高次数为 2 的整式方程组，叫做二元二次方程组. 2．核心解题思想 两大核心：消元、降次 消元：通过代入、加减等方法，化二元为一元，转化为一元方程求解 降次：通过因式分解等方法，化二次为一次，转化为一次方程／方程组求解 3．解法 （1）代入消元法（最常用，适用于「二元一次方程 + 二元二次方程」组成的方程组） ①将方程组中的二元一次方程变形，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数 ②将变形后的式子代入二元二次方程，消去一个未知数，得到一元二次方程 ③解一元二次方程，求得一个未知数的取值 ④将求得的值回代到变形后的一次方程，求出另一个未知数的对应值 ⑤写出方程组的所有解 （2）因式分解降次法（适用于二元二次方程可因式分解为两个一次方程乘积的方程组） ①将方程组中能因式分解的二元二次方程，因式分解为两个二元一次方程 ②将分解得到的一次方程，分别与原方程组中的另一个方程组合，得到两个二元一次方程组 ③分别解这两个二元一次方程组，得到的解即为原方程组的解 4．核心注意事项 代入消元时，必须代入二次方程，避免回代错误导致解缺失 因式分解降次时，要确保分解彻底、符号正确，避免漏写分解后的一次方程 求解一元二次方程后，必须完整回代求出对应未知数的所有值，避免漏解 知识 7 解一元一次不等式（组） 1．不等式的核心性质 性质 1：不等式两边加（或减）同一个数（或整式），不等号的方向不变 性质 2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 性质 3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向必须改变（高频易错点） 2．一元一次不等式标准解法步骤 ①去分母：注意不要漏乘常数项，乘／除以负数时要变不等号方向 ②去括号：括号前为负号时，括号内所有项都要变号 ③移项：移项要变号 ④合并同类项：把不等式化为 或 的形式 ⑤系数化为 1：系数为负数时，必须改变不等号的方向 3．一元一次不等式组解法步骤 ①分别求出不等式组中每个不等式的解集 ②找所有解集的公共部分，即为不等式组的解集 4．不等式组解集判定口诀 同大取大，同小取小 大小小大中间找，大大小小无处找 5．数轴表示解集规范 空心圈：表示不包含该点（对应不含等号的不等式） 实心点：表示包含该点（对应含等号的不等式） 方向：小于向左，大于向右 1．（2025·上海杨浦·模拟预测）用配方法解一元二次方程时，下列变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·上海·二模）如果关于x的方程有实数根，那么k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．（2026·河南·一模）一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 4．（2025·上海·模拟预测）下列关于的方程中，不论取什么实数值，一定有两个实数根的是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·河南郑州·一模）已知关于x的不等式组无解，则m的值可能为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（2025·山西大同·三模）某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，预算均为4000元，……．若单枪充电桩的单价表示为x元，这一情境中的等量关系可用方程“”刻画，则“……”表示的条件为（    ） A．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价多200元，数量比单枪充电桩少1个 B．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价少200元，数量比单枪充电桩少1个 C．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价多200元，数量比单枪充电桩多1个 D．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价少200元，数量比单枪充电桩多1个 7．（2025·上海徐汇·二模）已知，那么__________． 8．（2025·上海·二模）不等式的最大整数解是_________． 9．（2025·上海静安·二模）在实数范围内分解因式：___________________． 10．（2025·上海·二模）方程的根是___________． 11．（2025·上海·二模）方程有两个实数根，则实数k的取值范围是_______． 12．（2025·上海徐汇·二模）若一元二次方程中的，则的值为______． 13．（24-25七年级下·山西长治·期末）砌砖墙是墙体建筑的一种方式，盖房子过程中，黏土多孔砖墙在砌合时，应满足砂浆饱满、横平竖直、上下错缝、内外搭砌等最基本的砌墙要求，以此来保证墙体的强度和稳定性及固定性．如图是由截面相同的长方形墙砖粘贴的部分墙面，则每块墙砖的截面面积是______． 14．（2025·上海奉贤·三模）解方程组：． 15．（2025·上海嘉定·二模）已知分式方程．甲同学的解答过程如下： 解：（第①步）去分母，得：， （第②步）解这个整式方程，得：， （第③步）检验：当时，， （第④步）所以，原方程的根是． (1)甲同学的解答过程是从第　　步开始出现错误的，请简要说明错误的原因：_______ (2)请写出正确且完整的解答过程． 16．（2025·上海奉贤·二模）解不等式组，将其解集在数轴上表示出来，并写出这个不等式组的整数解． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $