微专题 平行线的性质（专项训练）数学新教材沪教版五四制七年级下册

微专题 平行线的性质 目录 题型一、两直线平行同位角相等 1 题型二、两直线平行内错角相等 5 题型三、两直线平行同旁内角互补 10 题型四、根据平行线的性质探究角的关系 14 题型五、根据平行线的性质求角的度数 25 题型六、平行线的性质在生活中的应用 33 题型七、根据平行线判定与性质求角度 38 题型八、根据平行线判定与性质证明 44 题型九、求平行线间的距离 51 题型十、利用平行线间距离解决问题 54 题型一、两直线平行同位角相等 例1给出下列说法： ①平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ②一个三角形中至少有两个角为锐角； ③从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离； ④不相交的两条直线叫做平行线； ⑤两条直线被第三条直线所截，同位角相等； ⑥若与互补，则与互余．其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式1-1】下列命题中，是真命题的是（    ） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．若两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的平分线互相平行 C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D．直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离 【变式1-2】如图，直线m、n被直线l所截，已知 那么 __________ 【变式1-3】如图，已知、、、在同一条直线上，，，，与交于点． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【变式1-4】如图，已知，相交于点，，，分别在、、上，且，，，求证：．    题型二、两直线平行内错角相等 例2如图，中，，，与的平分线相交于点O，过点O作交于点D，交于点E，则的周长等于（    ）． A．12 B．14 C．15 D．18 【变式2-1】如图，在中，分别是和的平分线，过点E作，分别交于点D，F．若，，则的周长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式2-2】如图，将长方形的一角折叠，以（点在上，不与A，重合）为折痕，得到，连接，设，的度数分别为，，若，则，之间的数量关系是______． 【变式2-3】如图，中，，与的平分线交于点O，过O作，，分别交于点E、F，则的周长为______． 【变式2-4】如图，已知：在中，是的角平分线，垂直平分分别交于点E、F，连接． (1)如果，求的度数； (2)过点F作交边于点G，如果，求的周长． 【变式2-5】如图，已知且，、是上两点，且． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 题型三、两直线平行同旁内角互补 例3下列语句中真命题的个数是（   ） ①两直线平行，同旁内角相等； ②三角形的三条高交于三角形内一点； ③若，，则； ④在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ⑤命题“对顶角相等”的逆命题是真命题； ⑥两条平行直线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-1】下列命题是假命题的是（　　） ①对顶角相等，②直线外的一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离，③过一点有且只有一条直线与已知直线平行，④两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补． A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【变式3-2】两条平行直线被第三条直线所截，一对同旁内角的平分线所形成的夹角为_______°． 【变式3-3】线段，交于点，为直线上一点（不与点，重合）．过点在的右侧作射线，过点作直线，交于点（与不重合）． (1)如图1，若点在线段上，且为钝角． ①按要求补全图形； ②判断与的数量关系，并证明．    (2)若点在线段的延长线上，请直接写出与的数量关系______    题型四、根据平行线的性质探究角的关系 例4如图，，，则，和的关系是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，点E、F分别在线段上，线段交于点G，，找出图中与所有相等的角：_____． 【变式4-2】如图，，点位于两平行线之间且在点、的右侧，分别作和的平分线交于点，再分别作和的平分线交于点设的度数是，则的度数用表示为___________．    【变式4-3】如图，已知在中，射线 点P为射线上的动点（点P不与点A重合），连接，将线段绕点B顺时针旋转角度α后，得到线段，连接、． (1)与全等吗？ 试说明理由； (2)延长交射线于点D，在点P的移动过程中，的大小是否发生变化？若改变请说明理由，若不改变，请求出的大小（用含α的代数式表示）； (3)当时，过点Q作垂直射线，垂足为E，那么 ________（用m、 n的代数式表示） ． 【变式4-4】已知直线，E为平面内一点，点P，Q分别在直线，上，连接，． (1)如图1，若点E在直线，之间，试探究之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若点E在直线，之间，平分，平分，当时，求的度数． (3)如图3，若点E在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点F，当时，求的度数． 【变式4-5】如图1，直线，直线、及直线把平面分成①、②、③、④、⑤、⑥六个部分．点P是其中的一个动点，连接、，观察、、三个角．规定：直线、、上的各点不属于①、②、③、④、⑤、⑥六个部分中的任何一个部分． (1)当动点P落在第①部分时，求证：． (2)探究：当动点P落在第②、③、⑤部分时，、、之间的关系是怎样的？请直接写出、、之间满足的关系式，不必说明理由． 题型五、根据平行线的性质求角的度数 例5如图，现有一张长方形纸片，点，在上，点，在上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，点的对应点为点．点对应点为点．若.，则的度数为（　　） A．104° B．106° C．96° D．132° 【变式5-1】如图①，四边形纸片中，，．若将其按照图②所示方式折叠后，恰好使得，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，将长方形纸条折叠，．按如图折叠，，则_____． 【变式5-3】如图，已知，的平分线交于点D，交于点E，如果，，则_____． 【变式5-4】已知小于的，点是边上的一个定点，点在边上． (1)如图1，，将沿着直线翻折得，点的对应点为点，如果，求的度数； (2)在图2中，用尺规作，使；（保留作图痕迹，简要说明作图步骤） (3)在（2）所作的图中，当时，求的面积．（用含的代数式表示） 【变式5-5】【问题背景】 同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1），我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图（1），，为、之间一点，连接、，得到，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． 【实际运用】 （2）消防云梯的示意图如图（2）所示，其由救援台、延展臂（在的左侧）、伸展主臂、支撑臂构成，在作业过程中，救援台、车身及地面三者始终保持水平平行．为了参与一项高空救援工作，需要进行作业调整，如图（3）．使得延展臂与支撑臂所在直线互相垂直，且，这时展角______°． 【深入探索】 （3）今年元宵节小美江边观赏灯光秀时，发现两岸灯光在有规律的旋转．如图（4），射线从开始，绕点以10°每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕点以25°每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于，若直线与直线相交所夹的锐角为45°，请求出运动时间秒（）的值． 题型六、平行线的性质在生活中的应用 例6如图所示，直线、所成的角跑到画板外面去了，如何量出这两条直线所成角的度数．下列几种方法：①在直线上任取一点，过点作直线的平行线，量出与直线所成锐角的度数即为；②在直线上任取一点，过点作直线的垂线交直线于点，量出与直线所成锐角的度数即为；③在画板上任取一点，过点分别作直线、的平行线，量出它们所成锐角的度数即为．可行的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【变式6-1】生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源P点照射到抛物线上的光线，等反射以后沿着与平行的方向射出，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D．无法确定 【变式6-2】消防云梯的示意图如图1所示，其由救援台、延展臂（B在C的左侧）、伸展主臂、支撑臂构成，在作业过程中，救援台、车身及地面三者始终保持水平平行．为了参与一项高空救援工作，需要进行作业调整，如图2．使得延展臂与支撑臂所在直线互相垂直，且，这时展角_________． 【变式6-3】“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即，且． (1)填空：_______； (2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线第一次到达之前，灯A转动几秒，两灯的光束互相平行？ 题型七、根据平行线判定与性质求角度 例7如图，，，，那么的度数是（      ） A． B． C． D． 【变式7-1】如图，已知，，，那么__________． 【变式7-2】如图，已知中，，，点在边上，将沿直线翻折得到，如果直线与的一条边垂直，那么的度数是___________． 【变式7-3】如图，已知，求的度数． 【变式7-4】在学习了《相交线与平行线》后，数学小组进行探究平行线的“等角转化”功能的活动． (1)如图1，已知，． ①求证：； ②探究与之间有怎样的数量关系？并说明理由： (2)实际应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮与支撑平台平行，如果，那么的度数为 【变式7-5】如图，交于点F，点C在的延长线上，．    (1)若，求的度数． (2)若，求证：． 题型八、根据平行线判定与性质证明 例8如图已知，，则下列结论（1）；（2）；（3）；（4）．正确的有（    ） A．1个； B．2个； C．3个； D．4个． 【变式8-1】如图，分别平分的内角、外角、外角．下列结论中，不正确的结论是（　　） A． B． C． D． 【变式8-2】如图，在中，是边的中点，是边上一点，过点作，交的延长线于点，如果，，那么的长为___________． 【变式8-3】如图，已知，平分，平分，求证：． 【变式8-4】完成下列证明： 已知：，，求证：． 证明：①　　 ， 又， ∴， ②　　③　　 ． ∴④　　⑤　　 ． （已知）， ∴． ⑥　　 ． 【变式8-5】在直角坐标平面内，已知点在轴负半轴上，点在轴负半轴上，直线轴，点为轴上一点，射线交直线于点． (1)点在线段上时，试说明的理由； (2)如果是等腰三角形，求点的坐标； (3)如果以为顶点的三角形与全等，如存在，试直接写出点的坐标；如不存在，试说明理由． 题型九、求平行线间的距离 例9如图，，如果，，的面积为18，那么的面积为 ___________． 【变式9-1】如图，，，请画出点A到的距离和和之间的距离． 【变式9-2】如图，已知，根据下列要求作图并回答（不要求写画法，需写出结论）： (1)过点A作直线； (2)用圆规和直尺作线段的垂直平分线，交线段于点M、交直线于点N（保留作图痕迹）； (3)点O到直线的距离是线段__________的长度． 题型十、利用平行线间距离解决问题 例10如图，，点A、E在直线上，点B，C，D在直线上，如果，是边上的中线，的面积为30，那么的面积是________． 【变式10-1】如图所示，，，相交于点，若面积为2，面积为3，则的面积为_________．    【变式10-2】如图，已知，与相交于点． (1)找出图中面积相等的三角形，并选择其中一对说明理由； (2)如果，，垂足分别为、，，求的值． 【变式10-3】请你经过点A作一条直线使五边形化为与之面积相等的四边形． 2 / 58 1 / 58 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题 平行线的性质 目录 题型一、两直线平行同位角相等 1 题型二、两直线平行内错角相等 5 题型三、两直线平行同旁内角互补 10 题型四、根据平行线的性质探究角的关系 14 题型五、根据平行线的性质求角的度数 25 题型六、平行线的性质在生活中的应用 33 题型七、根据平行线判定与性质求角度 38 题型八、根据平行线判定与性质证明 44 题型九、求平行线间的距离 51 题型十、利用平行线间距离解决问题 54 题型一、两直线平行同位角相等 例1给出下列说法： ①平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ②一个三角形中至少有两个角为锐角； ③从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离； ④不相交的两条直线叫做平行线； ⑤两条直线被第三条直线所截，同位角相等； ⑥若与互补，则与互余．其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【知识点】与余角、补角有关的计算、垂线的定义理解、两直线平行同位角相等、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了本题主要考查了相交线与平行线的一些基本概念以及三角形内角和定理、余角与补角的定义，根据垂线的性质，三角形内角和定理，点到直线的距离，平行线的定义与性质，余角与补角的定义进行判断即可． 【详解】解：①平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确； ②根据三角形内角和为度可知：在直角三角形和钝角三角形中都只有2个锐角，而锐角三角形的三个内角都是锐角．故一个三角形中至少有两个角为锐角，正确； ③从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，故③错误； ④平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故④错误； ⑤两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故⑤错误； ⑥若与互补，即 ∴ 则与互余，故⑥正确． 故说法正确的有2个． 故选：C． 【变式1-1】下列命题中，是真命题的是（    ） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．若两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的平分线互相平行 C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D．直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离 【答案】C 【知识点】判断命题真假、根据平行线判定与性质证明、两直线平行同位角相等、点到直线的距离 【分析】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．根据平行线的性质、平行公理的推论、平行线的判定、点到直线的距离的定义判断即可． 【详解】解：A、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故本选项命题是假命题，不符合题意； B、若两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的平分线互相垂直，故本选项命题是假命题，不符合题意； C、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，是真命题，符合题意； D、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，故本选项命题是假命题，不符合题意； 故选：C． 【变式1-2】如图，直线m、n被直线l所截，已知 那么 __________ 【答案】/105度 【知识点】两直线平行同位角相等、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了平行线的性质，由得到，由，得到，即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-3】如图，已知、、、在同一条直线上，，，，与交于点． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、全等的性质和SAS综合（SAS）、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形内角和定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）由得，根据平行线的性质求出，然后根据可证明； （2）根据全等三角形的性质求出，由三角形内角和定理可得，根据平行线的性质可求的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴， 在和中， ∴； （2）解：由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式1-4】如图，已知，相交于点，，，分别在、、上，且，，，求证：．    【答案】见解析 【知识点】两直线平行同位角相等、内错角相等两直线平行、同位角相等两直线平行 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，由可证明，得由得从而证明得由可得从而可证明 【详解】证明：∵， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 题型二、两直线平行内错角相等 例2如图，中，，，与的平分线相交于点O，过点O作交于点D，交于点E，则的周长等于（    ）． A．12 B．14 C．15 D．18 【答案】C 【知识点】角平分线的有关计算、两直线平行内错角相等、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，根据角平分线的定义和平行线的性质可得与是等腰三角形， 即可得的周长等于解题即可． 【详解】解： ∵平分， 平分， ∴， ， ∵， ∴， ， ∴， ， ∴， ， ∵， ， ∴的周长为： . 故选：C． 【变式2-1】如图，在中，分别是和的平分线，过点E作，分别交于点D，F．若，，则的周长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【知识点】等腰三角形的性质和判定、两直线平行内错角相等 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，平行线的性质以及角平分线的定义根据平行线的性质和角平分线的定义得出，，进而解答即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵、分别是和的平分线， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ ． 故选：A． 【变式2-2】如图，将长方形的一角折叠，以（点在上，不与A，重合）为折痕，得到，连接，设，的度数分别为，，若，则，之间的数量关系是______． 【答案】 【知识点】两直线平行内错角相等、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题主要考查折叠，平行线的性质，直角三角形两锐角互余，掌握折叠的性质，平行线的性质是解题的关键． 根据长方形的性质，折叠的性质得到，根据平行线的性质，直角三角形两锐角互余得到，化简即可求解． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， 解得，， 故答案为：． 【变式2-3】如图，中，，与的平分线交于点O，过O作，，分别交于点E、F，则的周长为______． 【答案】10 【知识点】角平分线的有关计算、两直线平行内错角相等、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，得到，是解题的关键．由，分别是的和的平分线和，可推出，，根据的周长即为的长度，即可求解． 【详解】解：，分别是，的平分线， ，， ，， ，， ，， ，， ， ， ， 的周长， 故答案为： 【变式2-4】如图，已知：在中，是的角平分线，垂直平分分别交于点E、F，连接． (1)如果，求的度数； (2)过点F作交边于点G，如果，求的周长． 【答案】(1)55° (2)16 【知识点】线段垂直平分线的性质、两直线平行内错角相等、与角平分线有关的三角形内角和问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据角平分线的定义求出，根据线段垂直平分线的性质得到，得到，根据直角三角形的性质计算，得到答案； （2）根据平行线的性质、角平分线的定义得到，得到，根据三角形周长公式计算即可． 【详解】（1）解：∵是的角平分线，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：如下图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长． 【变式2-5】如图，已知且，、是上两点，且． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】两直线平行内错角相等、三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是： （1）根据等式的性质可得出，根据平行线的性质得出，然后根据证明即可； （2）根据三角形内角和定理求出，根据全等三角形的性质求出，然后根据邻补角定义求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型三、两直线平行同旁内角互补 例3下列语句中真命题的个数是（   ） ①两直线平行，同旁内角相等； ②三角形的三条高交于三角形内一点； ③若，，则； ④在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ⑤命题“对顶角相等”的逆命题是真命题； ⑥两条平行直线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】写出命题的逆命题、判断命题真假、两直线平行同旁内角互补、对顶角相等 【分析】本题主要考查了对顶角相等、平行公理、平行线的性质．根据对顶角相等、线段、平行公理、平行线的性质逐个判断即可得． 【详解】解：①两直线平行，同旁内角互补，原说法错误，不是真命题； ②锐角三角形的三条高交于三角形内一点，原说法错误，不是真命题； ③在同一平面内，若，，则，原说法错误，不是真命题； ④在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，说法正确，是真命题； ⑤命题“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”不是真命题； ⑥两条平行直线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直，说法正确，是真命题； 综上，真命题的个数有2个， 故选：B． 【变式3-1】下列命题是假命题的是（　　） ①对顶角相等，②直线外的一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离，③过一点有且只有一条直线与已知直线平行，④两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补． A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】B 【知识点】判断命题真假、两直线平行同旁内角互补、对顶角相等、点到直线的距离 【分析】本题考查了真假命题的判断，对顶角相等、点到直线的距离、平行公理、平行线的性质的知识，牢记相关定义与定理是解题的关键． 根据对顶角相等、点到直线的距离、平行公理、平行线的性质逐项判断即可． 【详解】解：对顶角相等，故①是真命题； 直线外的一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故②是假命题； 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故③是假命题； 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故④是假命题； 所以假命题有②③④， 故选：B． 【变式3-2】两条平行直线被第三条直线所截，一对同旁内角的平分线所形成的夹角为_______°． 【答案】 【知识点】两直线平行同旁内角互补、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查平行线的性质以及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据题意画出图形，再由角平分线的定义进行计算即可． 【详解】解：由题意可得：，平分，平分， ， ， 平分，平分， ， ， ， 故一对同旁内角的平分线所形成的夹角为， 故答案为：． 【变式3-3】线段，交于点，为直线上一点（不与点，重合）．过点在的右侧作射线，过点作直线，交于点（与不重合）． (1)如图1，若点在线段上，且为钝角． ①按要求补全图形； ②判断与的数量关系，并证明．    (2)若点在线段的延长线上，请直接写出与的数量关系______    【答案】(1)①见解析；②，证明见解析 (2) 【知识点】两直线平行同旁内角互补、两直线平行内错角相等 【分析】（1）①依据过点在的右侧作射线，过点作直线，交于点，画出图形即可；②根据平行线的性质即可得到，再根据平行线的性质，即可得出，进而得出． （2）过点C作，根据平行线的性质可得，再根据平行线的性质即可得到，进而得出． 【详解】（1）①补全图形如图：    ②判断：． 证明：过点C作， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴， 即． （2）． 理由：如图，过点C作，    ∴， ∵， ∴． ∴， 又∵， ∴， ∴， 即． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． 题型四、根据平行线的性质探究角的关系 例4如图，，，则，和的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平行公理推论的应用、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查了平行公理推论、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．过点作，过点作，先根据平行公理推论可得，再根据平行线的性质可得，，，然后根据可得①，根据可得②，将②代入①即可得． 【详解】解：如图，过点作，过点作， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴①， ∵， ∴，即②， 将②代入①得：， 故选：B． 【变式4-1】如图，点E、F分别在线段上，线段交于点G，，找出图中与所有相等的角：_____． 【答案】，， 【知识点】对顶角相等、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】根据平行线的性质和对顶角相等进行求解即可． 【详解】解：∵，（已知） ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴ （等量代换）， 又∵与是对顶角， ∴（对顶角相等）， ∴图中与所有相等的角有，，． 【变式4-2】如图，，点位于两平行线之间且在点、的右侧，分别作和的平分线交于点，再分别作和的平分线交于点设的度数是，则的度数用表示为___________．    【答案】 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查了图形的变化规律、角平分线定义、平行线性质，熟练掌握以上知识点是关键．过点作，利用平行线性质得到，进而得到，同理可得，…依此类推得到，即可解答． 【详解】解：如图，过点作，    ∵， ∴， ∵，， ∵， ∴， ∴， ∵和的平分线交于点， ∴同理可得， ∴， ∵， ∴， 同理，， …… 依此类推，． ∴的度数用表示为． 故答案为：． 【变式4-3】如图，已知在中，射线 点P为射线上的动点（点P不与点A重合），连接，将线段绕点B顺时针旋转角度α后，得到线段，连接、． (1)与全等吗？ 试说明理由； (2)延长交射线于点D，在点P的移动过程中，的大小是否发生变化？若改变请说明理由，若不改变，请求出的大小（用含α的代数式表示）； (3)当时，过点Q作垂直射线，垂足为E，那么 ________（用m、 n的代数式表示） ． 【答案】(1)，理由见解析 (2)大小不改变， (3) 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、三角形的外角的定义及性质、全等三角形综合问题、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形外角定理，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定定理． （1）先证明，再根据两条边相等，即可证得两个三角形全等； （2）先证明，得到，，，根据，推出，再利用三角形内角和定理求出，结合，推出，利用三角形外角的性质即可解答； （3）证明，得到，，再根据，，即可得到和，根据三角形面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 根据旋转的性质得到，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如下图所示，连接， ∵， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴大小不改变，且； （3）解：如下图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式4-4】已知直线，E为平面内一点，点P，Q分别在直线，上，连接，． (1)如图1，若点E在直线，之间，试探究之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若点E在直线，之间，平分，平分，当时，求的度数． (3)如图3，若点E在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点F，当时，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线的性质求角的度数、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理推论、对顶角相等、角平分线等知识，熟练掌握平行线的性质是解题关键． （1）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，然后根据角的和差、等量代换即可得； （2）过点作，先根据（1）的结论可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据平行线的性质、平行公理推论可得，由此即可得； （3）过点作，先参考（1）的方法可得，再根据角平分线的定义可得，，从而可得，，然后根据代入计算即可得． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图1，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：如图2，过点作， 由（1）可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图3，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， 由对顶角相等得：， 由（2）可知， ， 所以的度数为． 【变式4-5】如图1，直线，直线、及直线把平面分成①、②、③、④、⑤、⑥六个部分．点P是其中的一个动点，连接、，观察、、三个角．规定：直线、、上的各点不属于①、②、③、④、⑤、⑥六个部分中的任何一个部分． (1)当动点P落在第①部分时，求证：． (2)探究：当动点P落在第②、③、⑤部分时，、、之间的关系是怎样的？请直接写出、、之间满足的关系式，不必说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)当动点P落在第②部分时，， 当动点P落在第③部分时，， 当动点P落在第⑤部分时，． 【知识点】平行公理的应用、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理的应用，熟记性质并灵活运用是解题的关键，两直线平行，同位角相等，同旁内角互补，内错角相等． （1）首先过点作的平行线，交于点，进而利用平行线的性质得出即可； （2）当动点P落在第②部分时，首先过点作的平行线，交于点，进而利用平行线的性质得出即可；当动点P落在第③部分时，过点向右作，根据平行公理可得，然后根据两直线平行，同旁内角互补用表示出，用表示出，然后结合图形整理即可得解．当动点P落在第⑤部分时，如图， 过点向右作，则，，进一步解答即可． 【详解】（1）解：如图，过点作，交于点， ，， ， ，， ； （2）解：当动点P落在第②部分时，，理由如下： 如图，过点作的平行线，交于点， ， ， ，， ； ； 如图，当动点P落在第③部分时，，理由如下： 过点向右作，则， ， ， ， ， ． 如图，当动点P落在第⑤部分时，，理由如下： 过点向右作，则， ， ， ， ， ． 题型五、根据平行线的性质求角的度数 例5如图，现有一张长方形纸片，点，在上，点，在上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，点的对应点为点．点对应点为点．若.，则的度数为（　　） A．104° B．106° C．96° D．132° 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】由平行线的性质得到，．根据得到，由折叠得到，．即可由，根据三角形的内角和定理可得，由周角的定义得到答案．此题考查了平行线的性质、折叠的性质、邻补角等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴． ∴，． ∴， ∵点，在上，点，在上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，点的对应点为点．点对应点为点， ∴，，． ∴ ． ∴， ∴． 故选：C． 【变式5-1】如图①，四边形纸片中，，．若将其按照图②所示方式折叠后，恰好使得，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了平行线的性质，翻折的性质，三角形的内角和定理等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质． 利用平行线的性质得出的度数，再利用翻折的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 由翻折的性质得， ， ∴， 故选：D． 【变式5-2】如图，将长方形纸条折叠，．按如图折叠，，则_____． 【答案】/115度 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行线的性质得到，由折叠的性质得到，即可通过平行线的性质求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式5-3】如图，已知，的平分线交于点D，交于点E，如果，，则_____． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，由，，得到，由平行线的性质得到，由角平分线的性质得到，所以，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式5-4】已知小于的，点是边上的一个定点，点在边上． (1)如图1，，将沿着直线翻折得，点的对应点为点，如果，求的度数； (2)在图2中，用尺规作，使；（保留作图痕迹，简要说明作图步骤） (3)在（2）所作的图中，当时，求的面积．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、等腰三角形的性质和判定、折叠问题 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质及其尺规作图，等腰三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）由折叠的性质可得，则，再由平行线的性质即可得到答案； （2）作线段的垂直平分线交射线于D，以点B为圆心，的长为半径画弧交于C，连接，则即为所求； （3）过点C作于F，设线段的垂直平分线交于E，则，可证明，得到，据此根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图所示，作线段的垂直平分线交射线于D，以点B为圆心，的长为半径画弧交于C，连接，则即为所求； 由线段垂直平分线的性质可得，则，则， 再由可得； （3）解：如图所示，过点C作于F，设线段的垂直平分线交于E， ∴， 由（1）可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式5-5】【问题背景】 同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1），我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图（1），，为、之间一点，连接、，得到，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． 【实际运用】 （2）消防云梯的示意图如图（2）所示，其由救援台、延展臂（在的左侧）、伸展主臂、支撑臂构成，在作业过程中，救援台、车身及地面三者始终保持水平平行．为了参与一项高空救援工作，需要进行作业调整，如图（3）．使得延展臂与支撑臂所在直线互相垂直，且，这时展角______°． 【深入探索】 （3）今年元宵节小美江边观赏灯光秀时，发现两岸灯光在有规律的旋转．如图（4），射线从开始，绕点以10°每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕点以25°每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于，若直线与直线相交所夹的锐角为45°，请求出运动时间秒（）的值． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）3秒或9秒 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、根据平行线的性质求角的度数、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查了旋转的定义、平行线的性质、三角形外角的性质、垂直的定义等知识点，灵活运用相关性质定理是解题的关键． （1）如图，过E点作，根据平行线的性质、角的和差以及等量代换即可解答； （2）如图：延长相交于点P，过P作，易得则、，由垂直的定义可得，然后根据角的和差以及平行线的性质即可解答； （3）将直线的点M平移与直线的N点重合，然后根据题意分情况画出图形，根据旋转的性质列出关于t的方程求解即可． 【详解】解：（1），理由如下： 如图，过E点作， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）如图：延长相交于点P，过P作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）将直线的点M平移与直线的N点重合， 根据题意得，， ∴， 由题意可得：， ∴，解得：； 根据题意得，， 由题意可得：， ∴， ∴，解得：； 根据题意得，， 由题意可得：， ∴， ∴，解得：（不符合题意）； 综上所述，运动时间秒为3或9． 题型六、平行线的性质在生活中的应用 例6如图所示，直线、所成的角跑到画板外面去了，如何量出这两条直线所成角的度数．下列几种方法：①在直线上任取一点，过点作直线的平行线，量出与直线所成锐角的度数即为；②在直线上任取一点，过点作直线的垂线交直线于点，量出与直线所成锐角的度数即为；③在画板上任取一点，过点分别作直线、的平行线，量出它们所成锐角的度数即为．可行的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】C 【知识点】平行线的性质在生活中的应用 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理，解题的关键是掌握平行线的性质定理． 分别画出图形，再根据平行线的性质、三角形内角和定理，逐个判断即可． 【详解】解：①如图， ∵ ∴，故①正确； ②如图， ∵ ∴ ∴，故②错误； ③如图， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴，故③正确． ∴正确的有①③， 故选：C． 【变式6-1】生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源P点照射到抛物线上的光线，等反射以后沿着与平行的方向射出，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、平行线的性质在生活中的应用 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等可得，又因为，所以，再根据，即可解得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【变式6-2】消防云梯的示意图如图1所示，其由救援台、延展臂（B在C的左侧）、伸展主臂、支撑臂构成，在作业过程中，救援台、车身及地面三者始终保持水平平行．为了参与一项高空救援工作，需要进行作业调整，如图2．使得延展臂与支撑臂所在直线互相垂直，且，这时展角_________． 【答案】/度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、平行线的性质在生活中的应用 【分析】本题主要考查平行线的性质，三角形的外角性质，解答的关键是作出正确的辅助线．延长，，相交于点P，延长交的延长线于点Q，利用平行线的性质可求得，再利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，即可求得答案． 【详解】如图，延长，，相交于点P，延长交的延长线于点Q， ，， ， 延展臂与支撑臂所在直线互相垂直， ， ． 故答案为：． 【变式6-3】“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即，且． (1)填空：_______； (2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线第一次到达之前，灯A转动几秒，两灯的光束互相平行？ 【答案】(1) (2)30或110秒 【知识点】平行线的性质在生活中的应用、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与角的和差关系的运用、一元一次方程的几何应用， （1）根据两角之和为以及两角之比为即可求解； （2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分为两种情况得到关于t的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵且， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：； （2）设灯A转t秒时，两灯的光束互相平行， 或， 所以或． 答：灯A转动30或110秒，两灯的光束互相平行． 题型七、根据平行线判定与性质求角度 例7如图，，，，那么的度数是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、垂线的定义理解 【分析】本题考查了垂线的定义、平行线的判定与性质，由垂线的定义得出，再由平行线的判定与性质得出，即可得出答案． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式7-1】如图，已知，，，那么__________． 【答案】138 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、对顶角相等 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的判定和性质，易得，则，得到，再根据对顶角相等，得到结果． 【详解】解：如图， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式7-2】如图，已知中，，，点在边上，将沿直线翻折得到，如果直线与的一条边垂直，那么的度数是___________． 【答案】或 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质、平行线的判定与性质、三角形的外角性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握折叠的性质是解题关键．分三种情况：①，②和③，先求出，，再根据平行线的性质求出度数，然后根据折叠的性质可得，，最后根据三角形的外角性质、三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】解：①如图1，当时， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴； ②如图2，当时， ∴， 由折叠的性质得：， ∴； ③如图3，当时， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴， ∴，不符合题意，舍去； 综上，的度数是或， 故答案为：或． 【变式7-3】如图，已知，求的度数． 【答案】 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查平行线的判定与性质，根据得出，结合已知可得，即可证明，根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 又∵， ∴． 【变式7-4】在学习了《相交线与平行线》后，数学小组进行探究平行线的“等角转化”功能的活动． (1)如图1，已知，． ①求证：； ②探究与之间有怎样的数量关系？并说明理由： (2)实际应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮与支撑平台平行，如果，那么的度数为 【答案】(1)①见解析；②，理由见解析 (2) 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，添加平行线求解是解答的关键． （1）①根据同旁内角互补两直线平行，即可得，根据平行线的性质可得，结合已知条件得出，根据内错角相等两直线平行，即可得证； ②过点作，根据两直线平行，内错角相等得出，，进而即可求解； （2）过点作，根据题意以及平行线的性质得出，，即可求解． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴； ②，理由如下， 如图所示，过点作 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）解：如图所示，过点作， 依题意，， ∴ ∴，， ∵，， ∴． 【变式7-5】如图，交于点F，点C在的延长线上，．    (1)若，求的度数． (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)详见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查平行线的判定和性质，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键． （1）结合平行线判定和性质和角的关系求得，，从而求解； （2）根据平行线的性质和判定进行推理论证． 【详解】（1）解：， ， ． ， ，即． （2）证明：由（1），可知， ． 又， ， 题型八、根据平行线判定与性质证明 例8如图已知，，则下列结论（1）；（2）；（3）；（4）．正确的有（    ） A．1个； B．2个； C．3个； D．4个． 【答案】D 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，①根据内错角相等，判定两直线平行；②根据两直线平行，同旁内角互补与同旁内角互补，两直线平行进行判定；③根据两直线平行，同旁内角互补与同角的补角相等判定；④根据两直线平行，内错角相等判定． 【详解】解：∵， ∴（内错角相等，两直线平行）， 所以①正确； ∵（已证）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵， ∴， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， 故②正确； ∵，（已证）， ∴，， ∴（同角的补角相等）， 所以③正确； ∵（已证）， ∴（两直线平行，内错角相等）， 所以④正确． 综上，正确的有①②③④，一共4个． 故选：D． 【变式8-1】如图，分别平分的内角、外角、外角．下列结论中，不正确的结论是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查三角形外角的性质，角平分线定义，平行线的判定和性质，三角形内角和定理的应用等知识点，掌握三角形外角的性质是解题的关键． 根据角平分线定义得出，，，根据三角形的内角和定理得出，根据三角形外角性质得出，，根据已知结论逐步推理，即可判断各项． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴，故选项A的结论正确，不符合题意； ∵平分， ∴， ∵，，， ∴，故选项B的结论正确，不符合题意； ∵， ∴ ， 即， 故选项C的结论不正确，符合题意； 在中，， ∵平分， ∴， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，故选项D的结论正确，不符合题意． 故选：C． 【变式8-2】如图，在中，是边的中点，是边上一点，过点作，交的延长线于点，如果，，那么的长为___________． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质，由题意可得，由平行线的性质可得，，证明，得出，即可得解． 【详解】解：∵是边的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式8-3】如图，已知，平分，平分，求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】先证明，再证明即可得到结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． 【变式8-4】完成下列证明： 已知：，，求证：． 证明：①　　， 又， ∴， ②　　③　　． ∴④　　⑤　　． （已知）， ∴． ⑥　　． 【答案】①对顶角相等②③同位角相等，两直线平行④⑤两直线平行，同旁内角互补⑥内错角相等，两直线平行 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．根据平行线的判定和性质，补齐各步骤的结论和推理依据即可． 【详解】证明：对顶角相等）， 又， ， （同位角相等，两直线平行）， 两直线平行，同旁内角互补）， （已知）， ， 内错角相等，两直线平行）． 故答案为：①对顶角相等；②；③同位角相等，两直线平行；④；⑤两直线平行，同旁内角互补；⑥内错角相等，两直线平行． 【变式8-5】在直角坐标平面内，已知点在轴负半轴上，点在轴负半轴上，直线轴，点为轴上一点，射线交直线于点． (1)点在线段上时，试说明的理由； (2)如果是等腰三角形，求点的坐标； (3)如果以为顶点的三角形与全等，如存在，试直接写出点的坐标；如不存在，试说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2)点坐标为或 (3)存在，点坐标为或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题、根据平行线判定与性质证明、坐标与图形 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、坐标与图形、直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由平行线的性质得出，再求出，即可得解； （2）分三种情况：当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，当点在线段的延长线上时，分别求解即可得出答案； （3）分三种情况：当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，当点在线段的延长线上时，分别利用全等三角形的性质求解即可得出答案． 【详解】（1）解：直线轴， ，（两直线平行同旁内角互补） （已知） ，（等式性质） ，（三角形内角和） ，（等式性质） ，（已知） （垂直的意义）， ，（平角的意义） ，（等式性质） （同角的补角相等）； （2）解：当点在线段上时， ∵，且是等腰三角形， 为等腰直角三角形，即， ， ，则为等腰直角三角形， ， ，， ，， 点坐标为； 当点在线段的延长线上时， ∵是等腰三角形，且， ∴，， ， ∴， ， ，即为等腰直角三角形， ， ， 点坐标为； 当点在线段的延长线上时，不符合题意，舍去． 综上所述，点坐标为或． （3）解：当点在线段上时， 由（1）可得，， ∵以点为顶点的三角形与全等， ∴，， ∴点坐标为； 当点在线段的延长线上时， ∵直线轴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵以点为顶点的三角形与全等， ∴，， ∵， ∴， ∴点坐标为． 当点在线段的延长线上时，不符合题意，舍去． 综上所述，点坐标为或． 题型九、求平行线间的距离 例9如图，，如果，，的面积为18，那么的面积为 ___________． 【答案】27 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、求平行线间的距离 【分析】本题考查了三角形的面积，平行线间距离相等，求出的长是解题的关键．过点作，求出的长，再利用面积公式解答即可． 【详解】解：过点作， ，的面积， ， ， ， 点到的距离等于的长度， 的面积． 故答案为：27． 【变式9-1】如图，，，请画出点A到的距离和和之间的距离． 【答案】见解析 【知识点】画垂线、求平行线间的距离 【分析】本题考查了作垂线，平行线的性质． 过A作的垂线，过A作的垂线即为和之间的距离． 【详解】如图，即为所求， ∵， ∴即为和之间的距离． 【变式9-2】如图，已知，根据下列要求作图并回答（不要求写画法，需写出结论）： (1)过点A作直线； (2)用圆规和直尺作线段的垂直平分线，交线段于点M、交直线于点N（保留作图痕迹）； (3)点O到直线的距离是线段__________的长度． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【知识点】无刻度直尺作图、作垂线(尺规作图)、求平行线间的距离、点到直线的距离 【分析】本题考查了过直线外一点作已知直线的平行线，线段垂直平分线的尺规作图，平行线之间的距离的定义，点到直线的距离的定义； （1）根据过直线外一点作已知直线的平行线进行作图，即可求解； （2）根据要求作出线段的垂直平分线，即可求解； （3）由平行线之间的距离得直线与直线之间的距离为线段的长度，再由点到直线的距离即可求解； 理解平行线之间的距离和点到直线的距离的定义，掌握作法是解题的关键． 【详解】（1）解：如图， 直线为所求作； （2）解：如图， 点、为所求作； （3）解： ，， 直线与直线之间的距离为线段的长度， 点O到直线的距离是线段的长度； 故答案：． 题型十、利用平行线间距离解决问题 例10如图，，点A、E在直线上，点B，C，D在直线上，如果，是边上的中线，的面积为30，那么的面积是________． 【答案】5 【知识点】利用平行线间距离解决问题、根据三角形中线求面积 【分析】本题考查三角形的面积、平行线之间的距离，连接，根据平行线之间的距离处处相等得到，根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”分别求出和，再由计算的面积即可． 【详解】解：如图，连接． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴． 故答案为：5． 【变式10-1】如图所示，，，相交于点，若面积为2，面积为3，则的面积为_________．    【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、利用平行线间距离解决问题 【分析】本题考查了平行线的等积变形，求三角形的面积，熟练掌握利用平行线的等积变形求三角形的面积的方法是解题的关键．根据面积为2，面积为3，可得，利用平行线的等积变形，可知，，进而利用，即可求的答案． 【详解】面积为2，面积为3， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式10-2】如图，已知，与相交于点． (1)找出图中面积相等的三角形，并选择其中一对说明理由； (2)如果，，垂足分别为、，，求的值． 【答案】(1)与，与，与，理由见解析 (2) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、利用平行线间距离解决问题 【分析】本题考查的是三角形的面积及平行线间的距离，解答此题的关键是熟知以下知识：①同底等高的三角形面积相等；②两平行线之间的距离相等． （1）根据同底等高的三角形面积相等可得出面积相等的三角形，过作，，垂足、，由平行线间的距离相等可知，再由三角形的面积公式即可得出； （2）由，，，再根据三角形的面积公式可知，进而可得出结论． 【详解】（1）解： 与，与，与．理由如下： 过作，，垂足、， ，（已知）， （平行线间距离的意义）． ，，（三角形面积公式）， ． （2）解：，，（已知） ，（三角形面积公式）． ， ． ， ． ， ． 【变式10-3】请你经过点A作一条直线使五边形化为与之面积相等的四边形． 【答案】作图见解析 【知识点】利用平行线间距离解决问题 【分析】连接AD,过点E作EF∥AD交CD的延长线于F,连接AF,此时，进而得到，可得，则直线AF为所求直线. 【详解】 连接AD,过点E作EF∥AD交CD的延长线于F,连接AF,此时，直线AF为所求直线. 理由：∵AD∥EF， ∴, ∴, 即, ∴. 【点睛】本题主要考查了平行线间距离，根据图形正确作出平行线是解题的关键. 2 / 58 1 / 58 学科网（北京）股份有限公司 $