第1章 相交线与平行线（高效培优讲义）数学新教材浙教版七年级下册

第1章 相交线与平行线 教学目标 1.理解相交线、平行线、对顶角、邻补角、垂线、同位角、内错角、同旁内角等概念。 2.掌握对顶角相等、垂线的性质、平行线的判定与性质。 3.能进行简单的几何推理与角度计算 教学重难点 1. 重点 （1）对顶角、邻补角的性质。 （2）垂线的概念与性质。 （3）同位角、内错角、同旁内角的识别。 （4）平行线的判定与性质 2. 难点 （1）正确区分同位角、内错角、同旁内角。 （2）分清平行线的判定（由角得线）与性质（由线得角），不混淆。 （3）初步学习几何证明的逻辑表达，规范书写推理过程。 考点01 相交线 （1） 相交线的定义 如图1所示，直线AB与直线CD相交于点O。 图1 图2 图3 （2）对顶角的定义 如图2所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。对顶角相等。 （3） 邻补角的定义 如图3所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180°。 【题型1】“直线与射线相交于点O”，画图正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相交线，熟练掌握直线、射线的定义以及相交线的定义是解题的关键．根据直线、射线相交的定义判断即可． 【详解】解：如图，直线与射线相交于点O， 故选：B． 【题型2】若平面内两条直线，被第三条直线l3所截，则这三条直线把平面分成（   ）个部分． A．5或6 B．6 C．6或7 D．7或8 【答案】C 【分析】本题考查了直线定义，相交线，掌握直线的位置关系是解题的关键． 根据题意，画出图形，分两种情况：①，不平行；②，平行时，进行解答即可． 【详解】解：分两种情况： ①若，不平行，如图所示， 观察图形可知，这三条直线把平面分成7个部分． ②若，平行，如图所示， 观察图形可知，这三条直线把平面分成6个部分， 综上所述，这三条直线把平面分成6或7个部分． 故选：C． 【题型3】下面的四个图形中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查对顶角的定义． 根据对顶角的定义（如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角），对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．与没有公共顶点，且不满足一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，故与不是对顶角，不符合题意； B．与有公共顶点，但不满足一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，故与不是对顶角，不符合题意； C．与有公共顶点，且满足一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，故与是对顶角，符合题意； D．与有公共顶点，但不满足一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，故与不是对顶角，不符合题意． 故选：C． 【题型4】如图，直线与相交于点O，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是对顶角相等.根据对顶角的性质可得答案. 【详解】解：∵直线相交于点O，， ∴， 故选：A． 【题型5】如图，直线，，交于点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角的性质，角的和差，由题意可得与是对顶角，即得，即得到，再代入已知计算即可求解，掌握对顶角的性质是解题的关键． 【详解】解：∵直线，，交于点， ∴与是对顶角， ∴， 即， ∵，， ∴， 故选：． 【题型6】数学为人们提供了一种认识与探究现实世界的观察方式，通过数学眼光，可以从现实世界的客观现象中发现数量关系与空间形式，提出有意义的数学问题．某同学在学习完相交线后，发现伸缩门中存在非常多的对顶角，如图为简易伸缩门，当增大时，的度数（   ） A．增大 B．减小 C．增大 D．不变 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角相等，根据对顶角相等即可得解，熟练掌握对顶角的性质是解此题的关键． 【详解】解：由对顶角相等可得，当增大时，的度数增大， 故选：A． 考点02 垂线 1.垂线的性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 2.点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． 图4 如图4所示，m 的垂线段PB 的长度叫做点P 到 直线m 的距离。 【题型1】已知直线与相交于点，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直的定义，根据，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，故B选项正确，其他选项不正确 故选：B． 【题型2】如图，直线和相交于点，平分，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查垂线，角平分线定义，对顶角、邻补角，由垂直的定义得到，由平角定义求出，由角平分线定义得到，由对顶角相等得到，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【题型3】过点向线段所在直线作垂线段，作图正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了作图复杂作图，垂线，注意垂线和垂线段的区别是解题关键． 根据垂线的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、所作直线过点，但不与垂直，作图错误，不符合题意； B、所作直线与垂直，但不经过点，作图错误，不符合题意； C、所作直线过点，且与垂直，但作的是垂线，不是垂线段，作图错误，不符合题意； D、所作直线是过点，且与垂直的垂线段，作图正确，符合题意． 故选：D． 【题型4】如图，在同一平面上，如果直线垂直于直线，直线垂直于直线，垂足为点，那么直线与直线重合的理由是（   ） A．垂线段相等 B．两点确定一条直线 C．在同一平面上，已知直线的垂线只有一条 D．在同一平面上，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 【答案】D 【分析】本题考查了垂线的定义，直接利用垂线的性质：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，进而判断得出答案，掌握垂线的定义是解题的关键． 【详解】解：在同一平面内，，，垂足为，则直线和直线重合的理由是：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故选：． 【题型5】数学源于生活，又服务于生活，我们要会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界．如图是陈优同学在体育课上跳远后留下的脚印，测量线段的长度即为他的跳远成绩，这样测量的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．垂线段最短 【答案】D 【分析】本题考查了垂线段的性质，从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段，垂线段最短．利用垂线段最短求解即可． 【详解】解：测量线段的长度即为他的跳远成绩，这样测量的依据是垂线段最短． 故选：D． 【题型6】如图，从位置到笔直公路共有四条小道，用同样的速度行走，选择道路耗时最少，用到的数学知识是（    ） A．两点确定一条直线． B．垂线段最短． C．两点之间，线段最短 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】B 【分析】此题主要考查了垂线段的性质：点到直线的所有连线中，垂线段最短．根据垂线段的性质解答即可． 【详解】解：用同样的速度行走，选择道路耗时最少，用到的数学知识是垂线段最短．3 故选：B． 【题型7】点P是直线l外一点，A、B、C为直线l上的三点，，，，则点P到直线l的距离（   ） A． B．小于 C．不大于 D． 【答案】C 【分析】此题考查了垂线段最短，正确理解垂线段最短的性质是解题的关键．根据垂线段最短，分析判断． 【详解】解：∵直线外一点到直线上所有的连接线段中，垂线段最短，，，， ∴距离一定不大于， 故选：C． 【题型8】如图所示，三角形中，，过点画，则下列说法不正确的是（    ） A．线段是点与直线上各点连接的所有线段中最短的 B．线段是点到直线的垂线段 C．点到直线的距离是线段的长 D．点到直线的距离是线段的长 【答案】B 【分析】根据垂线段的定义，点到直线的距离的定义判断即可． 【详解】解：线段是点与直线上各点连接的所有线段中最短的，正确，本选项不符合题意； 线段是点到直线的垂线段，错误，应该是线段，本选项符合题意； 点到直线的距离是线段的长，正确，本选项不符合题意； 点到直线的距离是线段的长，正确，本选项不符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查垂线段最短，点到直线的距离等知识，解题的关键是理解点到直线的距离． 考点03 平行线的定义及画法 1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b． 注意： (1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可； (2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行． (3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系． 2.平行线的画法： 用直尺和三角板作平行线的步骤： ①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合. ②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边. ③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点. ④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行. 原理：同位角相等，两直线平行。 【题型1】在同一平面内，不重合的两直线的位置关系必是（    ） A．相交 B．平行 C．相交或平行 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查同一平面内两条直线的位置关系的基本概念． 【详解】解：∵在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交和平行两种． ∴两直线的位置关系必是相交或平行， 故选：C． 【题型2】小明利用三角尺和直角尺画直线的平行线，如图所示，由此可得到的基本事实是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【分析】本题考查了画平行线，根据平行线的判定可得答案． 【详解】解：由图可知，，与为同位角， ∴， ∴由此可得到的基本事实是同位角相等，两直线平行． 故选：A． 【题型3】如图，按要求画图． (1)过点P画直线； (2)连接；过B画的垂线，垂足为C、D； (3)过点P画的垂线段，垂足为E． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【详解】（1）解：如图，过点P画直线即可； （2）如图，连接；过B画的垂线，垂足为C、D； （3）如图，过点P画的垂线段，垂足为E 【点睛】本题考查了平行以及垂线的定义，需要图形结合． 考点04 同位角，内错角和同旁内角 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图5所示。 （1）同位角（F型）：图中的同位角∠1与∠5∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 （2）内错角（Z型）：图中的内错角∠3与∠5，∠4与∠6。 （3）同旁内角（U型）：图中的同旁内角∠4与∠5，∠3与∠6。 【题型1】如图，下列说法不正确的是（   ） A．与是直线，被所截得的内错角 B．与是对顶角 C．和互为补角 D．与是直线，被直线所截得的同旁内角 【答案】C 【分析】根据内错角、对顶角、补角、同旁内角的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、与是直线，被所截得的内错角，原说法正确，不符合题意； B、与是对顶角，原说法正确，不符合题意； C、和是同旁内角，不一定互为补角，原说法不正确，符合题意； D、与是直线，被直线所截得的同旁内角，原说法正确，不符合题意． 【题型2】下列图形中，与不属于同位角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同位角的识别，关键是掌握同位角的定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，位于截线的同旁，且在两条被截直线的同一侧的角称为同位角，需逐一判断每个选项中和的位置是否符合该定义． 【详解】解：选项A：与在截线的同旁，且在两条被截直线的同侧，符合同位角的定义； 选项B：与在截线的同旁，且在两条被截直线的同侧，符合同位角的定义； 选项C：与不在截线的同旁，不满足同位角“同旁同侧”的位置特征，不属于同位角； 选项D：与在截线的同旁，且在两条被截直线的同侧，符合同位角的定义； 故选：C． 【题型3】如图，下列说法正确的是（   ） A．和是内错角 B．和是对顶角 C．和是同旁内角 D．和是同位角 【答案】D 【分析】本题考查了内错角、对顶角、同旁内角、同位角的定义，根据内错角、对顶角、同旁内角、同位角的定义一一判断即可． 【详解】解：A．和不是内错角，所以该选项错误，不符合题意； B．和是内错角，原说法错误，所以该选项错误，不符合题意； C．和是同位角，原说法错误，所以该选项错误，不符合题意； D．和是同位角，说法正确，所以该选项正确，符合题意． 故选：D． 【题型4】下列各图中，和是同位角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了同位角，关键是掌握同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形．根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角进行分析即可． 【详解】解：A. 不是同位角，不符合题意； B. 不是同位角，不符合题意； C. 不是同位角，不符合题意； D. 是同位角，符合题意； 故选：D． 考点05 平行线公理及推论 1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 记作：如果 a∥b，a∥c，那么a∥c 【题型1】如图是一个可折叠衣架，是地平线，当，时，就可以确定点、、在同一直线上，这样判定的依据是____________． 【答案】过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 【分析】本题考查了平行公理，根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行进行判断即可，掌握经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行是解题关键． 【详解】解：∵， ∴点、、在同一直线上（过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行） 故答案为：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 【题型2】已知直线AB和直线外一点P，过点P作直线与AB平行，这样的直线有_______条． 【答案】1 【分析】本题是对平行公理的考查，熟记公理是解题的关键． 根据平行公理，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，即可得到答案． 【详解】解：由平行公理可知，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行. 故答案为：． 【题型3】被誉为“中国最美公路”之一的新疆的独库公路，在5月31号恢复通车．独库公路是北起克拉玛依市独山子区，南至阿克苏地区库车市，全长561公里，它纵跨天山一半路段，海拔都在两千米以上，在独库公路上行驶一天就能够穿越四季，图1是蜿蜒曲折的弯路，局部公路抽象成图2．当，，那么的理由是______． 【答案】平行于同一条直线的两条直线互相平行 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，根据平行线性质得出，，推出，根据平行线的判定推出即可． 【详解】解：理由是：平行于同一条直线的两条直线互相平行 延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（平行于同一条直线的两条直线互相平行）． 故答案为：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 【题型4】平面上有2025条直线，若，，，，，，…，那么和的位置关系是________． 【答案】平行 【分析】本题考查了平行线的判定．根据题意推导出一般性规律是解题的关键．根据在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，垂直于同一条直线的两直线平行等，进行判定位置关系，然后推导出一般性规律：4条直线的位置关系为一个循环，然后求解即可． 【详解】解：∵若，，，，，，…， ∴，，……， ∴可推导一般性规律，4条直线的位置关系为一个循环， ∵， ∴， 故答案为：平行． 考点06 平行线的判定 平行线判定 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 【题型1】如图，下列条件中，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行线的判定定理逐项进行判断． 【详解】解：A.∵， ∴； B. ∵， ∴； C. ∵， ∴， 无法得出； D.∵， ∴； 【点睛】注意掌握“三线八角”模型和平行线的判定定理． 【题型2】如图，点在的延长线上，下列条件能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定定理． 根据平行线的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A.∵， ∴， 该选项符合题意； B. ∵， ∴， 该选项不符合题意； C. ∵， ∴， 该选项不符合题意； D. ∵， ∴， 该选项不符合题意； 故选：A． 【题型3】如图，将两块相同的直角三角板按图示摆放，则与平行，这一判断过程体现的数学依据是（   ） A．垂线段最短 B．内错角相等，两直线平行 C．两点之间线段最短 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的判定，熟练掌握内错角相等，两直线平行是解题的关键． 根据内错角相等，两直线平行直接得到答案． 【详解】解：由题意得， 根据内错角相等，两直线平行可得． 故选：B． 【题型4】如图，借助三角板画直线的操作过程，其数学依据是（   ） A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．两直线平行，同位角相等 C．同位角相等，两直线平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】C 【分析】本题考查了作图-复杂作图、平行线的判定，解决本题的关键是掌握平行线的判定．根据平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行，即可写出这样画图的依据． 【详解】解：根据作图过程可知，画图的依据是：同位角相等，两直线平行， 故选：C． 【题型5】填空(理由或数学式) 如图，已知，，，，则与平行吗？ 与平行吗？ 解：，已知， 等量代换，        ． 又       ， ， 等式的性质． 同理可得 ． 等量代换， (       ) 【答案】；同位角相等，两直线平行；已知；；；；；同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了垂直的定义，平行线的判定，根据题意得出，根据同位角相等，两直线平行即可证明；再证明，同理证明． 【详解】解：，已知， 等量代换， ． 又， ， 等式的性质． 同理可得． 等量代换， (同位角相等，两直线平行) ． 【题型6】如图，平分，且，和平行吗？为什么？ 【答案】，见解析 【分析】此题考查了平行线的判定，角平分线的定义，解题的关键是掌握以上知识点． 首先由角平分线得到，然后等量代换得到，即可证明出． 【详解】解：，理由如下 平分， ． 【题型7】如图，点O在直线上，点F在射线上，平分，平分． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)如果与互余，那么与平行吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先判定，再说理，利用角平分的意义得出，，再利用邻补角的意义证得，从而可得； （2）先判定，再说理，利用角平分线的意义得出，，再结合，得出，再根据与互余，证得，从而可得． 【详解】（1）解：∵平分，平分 ∴，， ∴， ∴； （2）， 理由：∵平分，平分 ∴，， ∵， ∴， ∵与互余， ∴， ∴， ∴． 【题型8】如图，是三角形的角平分线，点D在的延长线上，过点D作，交于点F． (1)与平行吗？请说明理由． (2)若，求的度数． 【答案】(1)平行，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定； （1）由是三角形的角平分线，得，由得，由平行线的判定即可求解； （2）由（1）知，由角平分线即可求得结果． 【详解】（1）解：与平行； 理由如下： ∵是三角形的角平分线， ∴； ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）知，，且， ∴； ∵是三角形的角平分线， ∴； 考点07 平行线的性质 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 【题型1】如图，，点在直线上，且，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据平行线的性质，得出的度数，再根据平角的定义求出的度数． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【题型2】如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角板中角度计算问题，两直线平行同位角相等． 由平行线的性质，可得，即可得的度数． 【详解】解：∵直尺的两边互相平行， ∴， ∴， 故选：D． 【题型3】如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．延长交直线于点，根据平行线的性质求出，从而求出，再由求出，从而求出的度数． 【详解】解：延长交直线于点， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 【题型4】如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底C处，点D在的延长线上，若，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的性质，由平行线的性质求出的度数，由对顶角定义得，再根据求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【题型5】某市为方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图②是图①共享单车示意图，．已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．根据两直线平行，内错角相等得． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：D． 【题型6】如图，已知，连接得到，则下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键． 由得，由得，整理可得． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选D． 考点08 平移 1.定义：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种 移动，叫做平移变换，简称平移。 2.平移三要素：图形的原来位置、平移的方向、平移的距离。 3. 平移的性质 （1）对应点的连线平行(或共线)且相等 （2）对应线段平行(或共线)且相等； （3）对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致。 4.平移作图的步骤和方法：平行线法、对应点连线法、全等图形法 （1）找关键点； （2）过每个关键点作平移方向的平行线，截取与之相等的距离，标出对应点 （3）连接对应点。将原图形的各个特征点按规定的方向平移，得到相应的对称点，再将各对称点进行相应连接，即得到平移后的图形 【题型1】下列选项中的车标图案可以看作是由“基本图案”经过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平移的定义：将一个图形沿某一直线方向移动，得到的新图形与原图形的形状、大小和方向完全相同． 根据平移的定义判断即可． 【详解】解：A、通过旋转得到，故本选项不符合题意； B、通过平移得到，故本选项符合题意； C、通过轴对称得到，故本选项不符合题意； D、通过旋转得到，故本选项不符合题意； 故选：B． 【题型2】如图，洪洪量得三边长分别为，，．将其向右侧平移后得到，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移前后两个图形的对应线段相等即可得到答案． 【详解】解：由平移的性质可得， 故选：C． 【题型3】如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个沿点到点的方向平移到的位置，，，平移距离为，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质可知，因为，可知，根据梯形的面积公式可得：，由重叠可知，从而可得． 【详解】解：平移距离为， ， 由平移的性质可知， ， ， ， 两个直角三角形可以重叠在一起， ， ， ． 故选：C． 【题型4】如图，将沿射线方向平移1个单位得到，若的周长是8，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平移的性质，由题意得，根据四边形的周长即可求解； 【详解】解：由题意得：， ∵的周长是8， ∴； ∴， ∴四边形的周长． 故选：A． 【题型5】如图是一个5级台阶侧面示意图，在台阶上铺地毯至少需（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移在实际问题中的应用，解题的关键是理解台阶上铺地毯的长度与台阶水平方向总长度和垂直方向总长度的关系． 明确台阶的水平部分总长度等于底边的长度，垂直部分总长度等于高的长度；地毯的长度为水平部分总长度与垂直部分总长度之和，代入数值计算即可． 【详解】由题意可知，台阶的水平底边即所有台阶水平部分的总长度为台阶高即所有台阶垂直部分的总长度为． 在台阶上铺地毯，地毯的长度至少需要覆盖所有水平部分和垂直部分，因此地毯长度水平部分总长度垂直部分总长度． 故选：C． 【题型6】如图，是一块长方形场地，米，米，，两个入口处的小路的宽都为1米，两小路汇合处的路宽为2米，其余部分种植草坪，则草坪面积为（　　）平方米 A．40 B．160 C．38 D．158 【答案】B 【分析】本题考查生活中的平移现象．将三块图形平移组合成一个完整的长方形是解决问题的关键． 从图中可以看出剩余部分的草坪正好可以拼成一个长方形，然后根据题意求出长和宽，最后求出面积即可． 【详解】解：由图片可看出，剩余部分的草坪经过平移，正好可以拼成一个长方形，且 这个长方形的长为（米）， 这个长方形的宽为（米）， 所以草坪面积（平方米）， 故选：B 【题型7】（1）图①是将线段向右平移1个单位长度，图②是将线段折一下再向右平移1个单位长度，请在图③中画出一条有两个折点的折线向右平移1个单位长度的图形； （2）若长方形的长为，宽为，请分别写出三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积； （3）如图④，在宽为，长为的长方形菜地上有一条弯曲的小路，小路宽为，求这块菜地的面积． 【答案】（1）见解析（答案不唯一）；（2），，；（3） 【分析】本题考查了利用平移设计图案，用到的知识点是矩形的性质和平移的性质，能利用平移的性质把不规则的图形拆分或拼凑为简单图形来计算草地的面积是解题的关键． （1）根据题意，直接画图即可，注意答案不唯一，只要画一条有两个折点的折线，得到一个封闭图形即可； （2）结合图形，根据平移的性质可知，图1图2图3中空白部分的面积都可看作是以为长，b为宽的长方形的面积； （3）结合图形，通过平移，空白部分可平移为以为长，为宽的长方形，根据长方形的面积可得菜地部分所占的面积． 【详解】解：（1）画图如下（答案不唯一）： （2），，， 理由：1．将阴影部分沿着左右两个边界“剪去”； 2．将左侧部分向右平移一个单位； 3．得到一个新的长方形．在新得到的长方形中，其纵向宽仍然是b．其水平方向的长变成了，所以三个图形中空白面积都为； （3）∵纵向小路任何地方的水平宽度都是， ∴空白部分可平移为以为长，为宽的长方形， ∴这块菜地面积是． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 相交线与平行线 教学目标 1.理解相交线、平行线、对顶角、邻补角、垂线、同位角、内错角、同旁内角等概念。 2.掌握对顶角相等、垂线的性质、平行线的判定与性质。 3.能进行简单的几何推理与角度计算 教学重难点 1. 重点 （1）对顶角、邻补角的性质。 （2）垂线的概念与性质。 （3）同位角、内错角、同旁内角的识别。 （4）平行线的判定与性质 2. 难点 （1）正确区分同位角、内错角、同旁内角。 （2）分清平行线的判定（由角得线）与性质（由线得角），不混淆。 （3）初步学习几何证明的逻辑表达，规范书写推理过程。 考点01 相交线 （1） 相交线的定义 如图1所示，直线AB与直线CD相交于点O。 图1 图2 图3 （2）对顶角的定义 如图2所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。对顶角相等。 （3） 邻补角的定义 如图3所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180°。 【题型1】“直线与射线相交于点O”，画图正确的是（　　） A． B． C． D． 【题型2】若平面内两条直线，被第三条直线l3所截，则这三条直线把平面分成（   ）个部分． A．5或6 B．6 C．6或7 D．7或8 【题型3】下面的四个图形中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【题型4】如图，直线与相交于点O，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【题型5】如图，直线，，交于点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型6】数学为人们提供了一种认识与探究现实世界的观察方式，通过数学眼光，可以从现实世界的客观现象中发现数量关系与空间形式，提出有意义的数学问题．某同学在学习完相交线后，发现伸缩门中存在非常多的对顶角，如图为简易伸缩门，当增大时，的度数（   ） A．增大 B．减小 C．增大 D．不变 考点02 垂线 1.垂线的性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 2.点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． 图4 如图4所示，m 的垂线段PB 的长度叫做点P 到 直线m 的距离。 【题型1】已知直线与相交于点，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型2】如图，直线和相交于点，平分，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型3】过点向线段所在直线作垂线段，作图正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型4】如图，在同一平面上，如果直线垂直于直线，直线垂直于直线，垂足为点，那么直线与直线重合的理由是（   ） A．垂线段相等 B．两点确定一条直线 C．在同一平面上，已知直线的垂线只有一条 D．在同一平面上，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 【题型5】数学源于生活，又服务于生活，我们要会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界．如图是陈优同学在体育课上跳远后留下的脚印，测量线段的长度即为他的跳远成绩，这样测量的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．垂线段最短 【题型6】如图，从位置到笔直公路共有四条小道，用同样的速度行走，选择道路耗时最少，用到的数学知识是（    ） A．两点确定一条直线． B．垂线段最短． C．两点之间，线段最短 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【题型7】点P是直线l外一点，A、B、C为直线l上的三点，，，，则点P到直线l的距离（   ） A． B．小于 C．不大于 D． 【题型8】如图所示，三角形中，，过点画，则下列说法不正确的是（    ） A．线段是点与直线上各点连接的所有线段中最短的 B．线段是点到直线的垂线段 C．点到直线的距离是线段的长 D．点到直线的距离是线段的长 考点03 平行线的定义及画法 1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b． 注意： (1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可； (2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行． (3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系． 2.平行线的画法： 用直尺和三角板作平行线的步骤： ①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合. ②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边. ③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点. ④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行. 原理：同位角相等，两直线平行。 【题型1】在同一平面内，不重合的两直线的位置关系必是（    ） A．相交 B．平行 C．相交或平行 D．无法确定 【题型2】小明利用三角尺和直角尺画直线的平行线，如图所示，由此可得到的基本事实是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 【题型3】如图，按要求画图． (1)过点P画直线； (2)连接；过B画的垂线，垂足为C、D； (3)过点P画的垂线段，垂足为E． 考点04 同位角，内错角和同旁内角 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图5所示。 （1）同位角（F型）：图中的同位角∠1与∠5∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 （2）内错角（Z型）：图中的内错角∠3与∠5，∠4与∠6。 （3）同旁内角（U型）：图中的同旁内角∠4与∠5，∠3与∠6。 【题型1】如图，下列说法不正确的是（   ） A．与是直线，被所截得的内错角 B．与是对顶角 C．和互为补角 D．与是直线，被直线所截得的同旁内角 【题型2】下列图形中，与不属于同位角的是（   ） A． B． C． D． 【题型3】如图，下列说法正确的是（   ） A．和是内错角 B．和是对顶角 C．和是同旁内角 D．和是同位角 【题型4】下列各图中，和是同位角的是（   ） A． B． C． D． 考点05 平行线公理及推论 1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 记作：如果 a∥b，a∥c，那么a∥c 【题型1】如图是一个可折叠衣架，是地平线，当，时，就可以确定点、、在同一直线上，这样判定的依据是____________． 【题型2】已知直线AB和直线外一点P，过点P作直线与AB平行，这样的直线有_______条． 【题型3】被誉为“中国最美公路”之一的新疆的独库公路，在5月31号恢复通车．独库公路是北起克拉玛依市独山子区，南至阿克苏地区库车市，全长561公里，它纵跨天山一半路段，海拔都在两千米以上，在独库公路上行驶一天就能够穿越四季，图1是蜿蜒曲折的弯路，局部公路抽象成图2．当，，那么的理由是______． 【题型4】平面上有2025条直线，若，，，，，，…，那么和的位置关系是________． 考点06 平行线的判定 平行线判定 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 【题型1】如图，下列条件中，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【题型2】如图，点在的延长线上，下列条件能判断的是（    ） A． B． C． D． 【题型3】如图，将两块相同的直角三角板按图示摆放，则与平行，这一判断过程体现的数学依据是（   ） A．垂线段最短 B．内错角相等，两直线平行 C．两点之间线段最短 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【题型4】如图，借助三角板画直线的操作过程，其数学依据是（   ） A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．两直线平行，同位角相等 C．同位角相等，两直线平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【题型5】填空(理由或数学式) 如图，已知，，，，则与平行吗？ 与平行吗？ 解：，已知， 等量代换，         ． 又        ， ， 等式的性质． 同理可得 ． 等量代换， (        ) 【题型6】如图，平分，且，和平行吗？为什么？ 【题型7】如图，点O在直线上，点F在射线上，平分，平分． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)如果与互余，那么与平行吗？请说明理由． 【题型8】如图，是三角形的角平分线，点D在的延长线上，过点D作，交于点F． (1)与平行吗？请说明理由． (2)若，求的度数． 考点07 平行线的性质 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 【题型1】如图，，点在直线上，且，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【题型2】如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型3】如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【题型4】如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底C处，点D在的延长线上，若，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【题型5】某市为方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图②是图①共享单车示意图，．已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型6】如图，已知，连接得到，则下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 考点08 平移 1.定义：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种 移动，叫做平移变换，简称平移。 2.平移三要素：图形的原来位置、平移的方向、平移的距离。 3. 平移的性质 （1）对应点的连线平行(或共线)且相等 （2）对应线段平行(或共线)且相等； （3）对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致。 4.平移作图的步骤和方法：平行线法、对应点连线法、全等图形法 （1）找关键点； （2）过每个关键点作平移方向的平行线，截取与之相等的距离，标出对应点 （3）连接对应点。将原图形的各个特征点按规定的方向平移，得到相应的对称点，再将各对称点进行相应连接，即得到平移后的图形 【题型1】下列选项中的车标图案可以看作是由“基本图案”经过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【题型2】如图，洪洪量得三边长分别为，，．将其向右侧平移后得到，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【题型3】如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个沿点到点的方向平移到的位置，，，平移距离为，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【题型4】如图，将沿射线方向平移1个单位得到，若的周长是8，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D． 【题型5】如图是一个5级台阶侧面示意图，在台阶上铺地毯至少需（　） A． B． C． D． 【题型6】如图，是一块长方形场地，米，米，，两个入口处的小路的宽都为1米，两小路汇合处的路宽为2米，其余部分种植草坪，则草坪面积为（　　）平方米 A．40 B．160 C．38 D．158 【题型7】（1）图①是将线段向右平移1个单位长度，图②是将线段折一下再向右平移1个单位长度，请在图③中画出一条有两个折点的折线向右平移1个单位长度的图形； （2）若长方形的长为，宽为，请分别写出三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积； （3）如图④，在宽为，长为的长方形菜地上有一条弯曲的小路，小路宽为，求这块菜地的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $