18.1.1勾股定理（教学课件）数学新教材沪科版八年级下册

18.1.1 勾股定理 第十七章 一元二次方程 沪科版 · 新教材 · 八年级下册 学 习 目 标 1 2 3 探索直角三角形三边关系,了解勾股定理的发现过程,掌握勾股定理的内容,会用勾股定理求直角三角形的边长. 经历观察、发现直角三角形三边关系的过程,提升“观察—猜想—归纳”的能力,并体会数形结合和从特殊到一般的思想方法. 介绍我国古代勾股定理研究方面所取得的成就,感受数学文化,激发学生的爱国热情,促使其勤奋学习;在探究活动中,培养学生的合作交流意识和探索精神. 这是2002年在北京召开的世界数学家大会的会徽. 被称为“赵爽弦图”． 这个会徽 是以 我国古代数学家赵爽 所作的“弦图”为原型设计的， 为证明勾股定理 今天我们将要学习与这个图形相关的一个重要定理—— 勾股定理 在行距、列距都是 1 的方格网中，任意作出几个以格点为顶点的直角三角形，分别以三角形的各边为正方形的一边，向外作正方形，如图.并以 S1，S2 与 S3 分别表示几个正方形的面积. (1) (2) b a c b a c 探究新知 探究新知 S1= 个单位面积； S1= 个单位面积； S2= 个单位面积； S3= 个单位面积； 9 9 观察图 1，并填写 18 观察图 2，并填写 S3= 个单位面积； S2= 个单位面积； 9 16 25 (1) (2) b a c b a c 问题 1：你能发现图 1、2 中三个正方形面积之间有怎样的数量关系吗？ S1+S2=S3 问题2：式子 S1+S2=S3 能用直角三角形的三边 a、b、c 来表示吗? a2+b2=c2 通过上面的探究，你能发现直角三角形三边的长之间有怎样的关系吗？ 直角三角形的两条直角边的平方和，等于斜边的平方. 猜想： 如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为 c，那么 a2+b2=c2. 即 A B C b a c 下面，用面积计算来证明这个定理. 探究新知 尝试用四个全等的直角三角形拼成一个正方形. c a b c a b c a b c a b 探究新知 c a b c a b c a b c a b ∴ c2= ∴ c2=b2-2ab+a2+ 2ab ∴ c2=a2+b2 ∴ a2+b2=c2 大正方形的面积可以表示为 ；也可以表示为 . c2 该图是 2002 年在北京召开的世界数学家大会的会徽.被称为“赵爽弦图”. 证明 1： c a b c a b c a b c a b ∴ a2+2ab+b2 = 2ab +c2 ∴ a2+b2=c2 大正方形的面积可以表示为 ； 也可以表示为 . (a+b)2 证明 2： C2 ∴ (a+b)2 = 探究新知 知识归纳 勾股定理： 直角三角形的两条直角边的平方和，等于斜边的平方. 如果直角三角形的两直角边用 a，b 表示，斜边用 c 表示，那么勾股定理可表示为 a2+b2=c2 A B C b a c 几何语言： ∴ a2+b2=c2 ∵ △ABC 为直角三角形，∠C=90° (或 BC2+AC2=AB2） (勾股定理) 知识拓展： 勾股定理揭示的是直角三角形三边的平方关系，只有在直角三角形中才可以使用勾股定理. 猜想： 1、在 Rt△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边分别为 a，b，c，∠C=90°. (1) 已知 a=6，b=8，求 c； (2) 已知 a=8，c=17，求 b； 解：(1) ∵ ∠C=90°，a=6，b=8 ∴ =10 A B C b a c 巩固练习 解：(2) ∵ ∠C=90°，a=8，c=17 ∴ =15 已知其中任意两边 勾股定理的作用： 在直角三角形中, 可以求出第三边. 1、在 Rt△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边分别为 a，b，c，∠C=90°. (3) 已知 a:b=1:2 ，c=5，求 a，b. (4) 若 a=5，∠A=30°，求 b . A B C b a c 巩固练习 解：(3) ∵ a：b=1：2 ∴ 设 a=x，b=2x ∵ a2+b2=c2 ∴ x2+(2x)2=52 解得 x1= ， x2= (负值舍去) ∴ a= ， b= 巩固练习 勾股定理公式变形 c2=a2 +b2 a b c ? ? b2= c2 - a2 a2= c2 - b2 灵活运用 { (舍负值) (舍负值) (舍负值) ? 知识拓展： ② 运用勾股定理时，要分清斜边、直角边. 若分不清那条边是斜边，则要分类讨论. ① 勾股定理揭示的是直角三角形三边的平方关系，所以已知其中任意两边，可以求出第三边. 巩固练习 2、已知直角三角形的两边长分别为 6，8，求第三条边的长. 解： ① 当直角边长分别为 6 和 8 时， 第三边的长为 ② 当斜边长为 8， 其中一条直角边为 6 时， 第三边的长为 综上所述：第三条边的长为 10 或 . 巩固练习 3、已知：如图，在 Rt△ABC 中，两直角边 AC=5，BC=12. 求斜边上的高 CD 的长. 解：∵ 在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°， AC=5，BC=12 又∵ 巩固练习 A、a<c<b B.a<b<c C、c<a<b D.c<b<a 4、如图，每个小正方形的边长为 1，△ABC 的三边 a， b，c 的大小关系是（ ）. A B C b a c A 变式：如图，小正方形边长为 1，连接小正方形的三个顶点，可得 △ABC，则 AC 边上的高是 . D 巩固练习 (1) 这个梯子的顶端距地面有多高？ (2) 如果梯子的顶端下滑了 4 m，那么梯子的底端在水平方向上滑动了几米？ 6、如图，一架梯子 AB 长 25 m，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙 7 m. 解：(1) 梯子的顶端距地面的高度： =24 (米) A' O A B B' 解：(2) 根据题意，得 A'O= =15 (米) ∴ 由勾股定理，得 ∴ BB'= AO-4 =24-4 =20 (米) OB'-OB =15-7 =8(米) 巩固练习 则梯子的底端水平滑动距离也为 xm. 6、如图，一架梯子 AB 长 25 m，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙 7 m. A' O (3) 当梯子的顶端下滑的距离与梯子的底端水平滑动距离相等时，这时梯子的顶端距 离地面有多高？ A B B' 解：(3) 设梯子的顶端下滑的距离为 x m， x (24-x)2 +(7+x)2 =252 根据题意，得 x 解得 x1=17， x2=0 (舍去) ∴ 梯子的顶端下滑的距离为17米 ∴ 梯子顶端距离地面的高度为 24 -17 =7 (米) (1) 这个梯子的顶端距地面有多高？ (2) 如果梯子的顶端下滑了 4 m，那么梯子的底端在水平方向上滑动了几米？ 巩固练习 7、学以致用：求图中字母所代表的正方形的面积。 81 144 A 225 知识拓展： 直角三角形两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形面积. 24 80 A B B 400 625 ∟ 225 56 80 巩固练习 8、如图，已知直角三角形的三边长分别为 a、b、c，以直角三角形的三边为边（或直径），分别向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形．那么，这四个图形中，其面积 S1、S2、S3 满足 S1+S2＝S3 的个数是（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 D 感谢聆听! $