8.1.2 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体（教学课件）高一数学人教A版必修第二册

第八章 立体几何初步 8.1基本立体图形 第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球、 简单组合体 学 习 目 标 1 2 3 能准确识别圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征，掌握它们的定义、图形表示及核心要素（底面、侧面、母线、球心、半径等）。 理解圆柱、圆锥、圆台之间的内在联系，能说明它们的生成过程，掌握简单组合体的构成方式（拼接、截割）。 能运用空间几何体的结构特征，判断简单几何体的类型，解决与结构特征相关的简单问题，提升空间想象能力。 新课引入 同学们，观察我们周围的物体： 纸杯、 篮球、 圆柱形罐头、 地球仪等、 这些物体都具有特定的几何形状。 你们知道这些形状在数学上如何定义和描述吗？ 今天我们将学习圆柱、圆锥、圆台、球这四种基本旋转体，以及由它们组合而成的简单组合体。 新课引入 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体 思考 这些物体是如何形成的？ 它们有哪些共同特征和区别？ 如何用数学语言准确描述它们的结构？ 观察这些物体，它们与我们上节课学习的棱柱、棱锥等几何体在外观上有什么最大的不同？ （共同发现：这些物体的面不全是平面，有些面是曲面）。 互动探究 探究圆柱、圆锥、圆台的生成 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体 工具 硬纸板、细木棒（作为旋转轴） 操作 ① 用矩形绕着一边旋转一周，观察生成的几何体； 点击观看视频 互动探究 探究圆柱、圆锥、圆台的生成 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体 工具 硬纸板、细木棒（作为旋转轴） 操作 ② 用直角三角形绕着一条直角边旋转一周，观察生成的几何体； 点击观看视频 互动探究 探究圆柱、圆锥、圆台的生成 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体 工具 硬纸板、细木棒（作为旋转轴） 操作 ③ 用直角梯形绕着垂直于底边的腰旋转一周，观察生成的几何体。 点击观看视频 互动探究 探究圆柱、圆锥、圆台的生成 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体 小组讨论 1. 分别描述旋转后得到的几何体的形状，说说它们的底面、侧面有什么特点？ 展示反馈 2. 对比这三个几何体的生成过程，找出它们的相同点和不同点。 咱们邀请3个小组分别展示操作结果，描述生成的几何体 师生共同总结圆柱、圆锥、圆台的定义。 生成逻辑 矩形→圆柱、直角三角形→圆锥、直角梯形→圆台 互动探究 探究球的生成与结构 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体 观察思考 球是怎么生成的？它的表面有什么特点？ 自主探究 思考“平面内的圆绕着什么旋转能得到球”，结合模型，尝试用圆形硬纸板（标注圆心）绕着直径旋转，观察生成的几何体。 点击观看视频 互动探究 探究简单组合体的构成 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体 观察识别 现实生活中的物体表示的几何体，除柱体、椎体、台体和球等简单几何体外，还有大量的几何体是由简单几何体组合而成的，这些几何体称作简单组合体． 请同学们观察这些物体，说说它们是由哪些基本几何体（圆柱、圆锥、圆台、球等）组成的。 互动探究 探究简单组合体的构成 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体 延伸拓展 下面四个简单组合体，用基本几何体以何种方式组合而成？ 简单组合体的构成有两种基本情势：一种是由简单几何体拼接而成，如图①②中物体表示的几何体；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，如图③④中的几何体．现实世界中的物体大多是由具有柱体、椎体、台体、球等结构特征的物体组合而成． 拼接 截割 ③ ④ 构建体系 圆柱结构特征 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体 如图，以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱（circular cylinder）．旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线． 轴 侧面 母线 底面 A B O 旋转轴 矩形绕着旋转的那条边（记为l）； 底面 旋转过程中，与旋转轴垂直的两边旋转形成的两个全等的圆（互相平行）； 侧面 旋转过程中，不与旋转轴垂直的边旋转形成的曲面（展开图是矩形）； 母线 不与旋转轴垂直的边旋转形成的线段（所有母线平行且相等）。 表示方法 用表示旋转轴的字母表示，如圆柱OO₁（O、O₁分别为上、下底面圆心）。 构建体系 圆锥的结构特征 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体 与圆柱一样，圆锥也可以看作是平面图形旋转而成的．以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥（circular cone）．圆锥也有轴、底面、侧面和母线． 旋转轴 直角三角形绕着旋转的那条直角边； 底面 另一条直角边旋转形成的圆； 侧面 斜边旋转形成的曲面（展开图是扇形）； 母线 斜边旋转形成的线段（所有母线交于顶点，长度相等）； 顶点 旋转轴的一个端点（与底面圆心的连线垂直于底面）。 表示方法 用表示顶点和底面圆心的字母表示，如圆锥SO（S为顶点，O为底面圆心）。 A B O S 构建体系 圆台的结构特征 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体 如图，与棱台类似，用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部．圆台也用表示它的轴的字母表示，如图的圆台记作圆台O’O． 旋转轴 直角梯形绕着旋转的那条垂直于底边的腰； 底面 上、下两个互相平行的圆（上底面小，下底面大）； 侧面 梯形的另一条腰旋转形成的曲面（展开图是扇环）； 母线 梯形的另一条腰旋转形成的线段（所有母线延长后交于一点）。 表示方法 用表示上、下底面圆心的字母表示，如圆台O₁O（O₁为上底面圆心，O为下底面圆心）。 S O 构建体系 球的结构特征 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体 如图，半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体（solid sphere），简称球．半圆的圆心叫做球的球心；连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径；连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径．球常用表示球心的字母来表示，如图的球记作球O． 球心 半圆的圆心（记为O）； 半径 上、下两个互相平行的圆（上底面小，下底面大）； 直径 连接球面上两点且经过球心的线段（记为d，d=2r）； 球面 球的表面（到球心距离等于半径的所有点的集合），球是球面及其内部的几何体。 表示方法 用表示球心的字母表示，如球O。 O 半径 直径 球心 构建体系 简单组合体 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体 由两个或两个以上的基本几何体（棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球等）通过拼接、截割等方式组合而成的几何体叫做简单组合体。 拼接 将多个基本几何体按一定方式拼接在一起（如圆柱+圆锥、圆台+球）； 截割 用一个或多个平面截一个基本几何体，得到的新几何体（如截圆柱得到的半圆柱）。 关键 识别简单组合体，需将其拆解为基本几何体，再分析各基本几何体的结构特征。 构建体系 易错提醒 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体 圆柱、圆锥、圆台的母线 圆柱的母线平行且相等，圆锥的母线交于顶点，圆台的母线延长后交于一点，不可混淆； 球与球面的区别 球面是球的表面（空心）， 球是球面及其内部（实心）； 典例分析 题型1 概念理解 1.下列命题中，正确的个数是（ ）。 ① 在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ② 圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线； ③ 在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线； ④ 圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的。 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 解析：①错，只有当连线平行于轴时才是母线；②对；③错，母线延长后应交于一点，随意取点连线不一定满足；④对。故选C。 典例分析 题型2 识别空间几何体的类型 判断下列几何体是否为圆柱、圆锥、圆台、球，并说明理由： （1）一个圆柱体，被平行于底面的平面截去一部分后剩余的几何体； （2）一个直角三角形绕着斜边旋转一周得到的几何体； （3）一个半圆绕着直径旋转一周得到的几何体； （4）一个等腰梯形绕着垂直于底边的腰旋转一周得到的几何体。 圆台 （1）理由：该几何体是用平行于圆柱底面的平面截圆柱得到的，符合圆台的截割生成方式，上、下底面为互相平行的圆，侧面为扇环，满足圆台的结构特征。 不是圆锥 （2）理由：直角三角形绕着斜边旋转一周，生成的几何体是两个同底面的圆锥拼接而成的组合体，并非单个圆锥（圆锥需绕直角边旋转）。 球 （3）理由：半圆绕着直径旋转一周，符合球的定义，生成的几何体是球面及其内部，为球。 圆台 （4）理由：等腰梯形绕着垂直于底边的腰旋转一周，符合圆台的旋转生成方式，上、下底面为互相平行的圆，侧面为扇环，满足圆台的结构特征。 典例分析 题型3 简单组合体的构成分析 描述下图所示简单组合体的构成 分析 将组合体拆解为基本几何体，从下到上或从左到右分析，明确各基本几何体的类型及拼接方式。 拼接型 该简单组合体由两部分拼接而成，下部是一个圆柱（底面为圆形，侧面为曲面），上部是一个圆锥（底面与圆柱的上底面重合，顶点朝上），属于“圆柱+圆锥”的拼接型组合体。 截割型 这个几何体的图形如图，下半截是一个圆锥，上半截是一个圆柱挖去一个圆锥的组合体． 典例分析 题型4 利用结构特征解决简单问题 已知圆锥的母线长为5cm，底面半径为3cm，求圆锥的高（顶点到底面的距离）。 分析：根据圆锥的结构特征，圆锥的高、底面半径、母线构成直角三角形，其中母线为斜边，利用勾股定理求解。 解：设圆锥的顶点为A，底面圆心为O，底面半径为r=3cm，母线长为l=5cm，圆锥的高为h=AO。由圆锥的结构特征可知，AO⊥底面，故△AOB（B为底面圆周上一点）为直角三角形，其中OB=r=3cm，SB=5cm。根据勾股定理：h² + r² = l²，即h² + 3² = 5²，解得h=4cm。答：圆锥的高为4cm。 典例分析 题型4 利用结构特征解决简单问题 如图,用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16,截去的圆锥的母线长是3 cm,求圆台O'O的母线长. 解设圆台的母线长为l cm,由截得圆台上、下底面面积之比为1∶16,可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r cm,4r cm.过轴SO作截面,如图.则 ，所以所以解得 ，故圆台的母线长为 。 典例分析 题型5 球截面问题 已知半径为25 cm的球的一个截面的面积是49π cm2,则球心到这个截面的距离为　　　　　.  解析设球的半径为R,截面圆的半径为r,球心到截面的距离为d.因为S截=πr2=49π,所以r=7 cm,即球心到这个截面的距离为24 cm.答案24 cm 【小结】设球的截面圆上一点A,球心为O,截面圆心为O1,则△AO1O是以O1为直角顶点的直角三角形,解答球的截面问题时,常用该直角三角形或者用过球心和截面圆心的轴截面求解. 举一反三 1.判断下列说法是否正确，并说明理由： （1）圆柱的母线与底面垂直；（2）圆锥的底面是圆，侧面是曲面；（3）圆台的上、下底面半径相等；（4）球的半径都相等。 （1）错误；理由：圆柱的母线与底面平行，并非垂直（圆柱的高与底面垂直）。 （2）正确；理由：圆锥的底面是一个圆，侧面是斜边旋转形成的曲面，符合圆锥的结构特征。 （3）错误；理由：圆台的上底面半径小于下底面半径（或反之），若半径相等，则为圆柱。 （4）正确；理由：球的所有半径都等于球心到球面上任意一点的距离，长度相等。 举一反三 2.指出下列简单组合体的构成（可结合生活实例描述）： （1）台灯（灯罩+灯柱）；（2）篮球架的底座与支架（忽略细节，简化为基本几何体）。 （1）台灯由两部分构成：灯罩是圆台，灯柱是圆柱，属于“圆台+圆柱”的拼接型组合体。 （2）篮球架的底座可简化为长方体（或正方体），支架可简化为圆柱，属于“长方体+圆柱”的拼接型组合体。 举一反三 3.已知圆台的上底面半径为1cm，下底面半径为2cm，母线长为 cm，求圆台的高。 梳理条件 设圆台的上底面圆心为O₁，下底面圆心为O2，圆台的高为h=O₁O，上底面半径r₁=1cm，下底面半径r₂=2cm，母线长l= cm。 构形 由圆台的结构特征可知，O₁O2垂直于上、下底面，过B作BC⊥AO₂（A为垂足），则O₁O2=h，CA=r₂ - r₁=1cm，BA=l=√5 cm。 O₁ O2 A C B 计算 根据勾股定理：h² + (r₂ - r₁)² = l²，即h² + 1² = ()²，解得h=2cm。 举一反三 4.下列几何体中，属于圆锥的是（ ） A. 矩形绕着一边旋转一周形成的几何体 B. 直角三角形绕着斜边旋转一周形成的几何体 C. 直角三角形绕着一条直角边旋转一周形成的几何体 D. 直角梯形绕着垂直于底边的腰旋转一周形成的几何体 C 解析：A选项是圆柱，B选项是两个同底圆锥的组合体，C选项是圆锥，D选项是圆台。 举一反三 5.下列说法正确的是（ ） A. 圆台的母线互相平行 B. 球的表面是平面图形 C. 圆柱的上、下底面是全等的圆 D. 圆锥的高与母线相等 C 解析：A选项，圆台的母线延长后交于一点，不平行；B选项，球的表面是曲面，不是平面图形；C选项，圆柱的上、下底面是全等的圆，正确；D选项，圆锥的高小于母线（母线为斜边）。 举一反三 6.一正方体内接于一个球,经过球心作一个截面,则截面的可能图形为　　　　　　.(只填写序号)  解析当截面平行于正方体的一个侧面时得①图;当截面过正方体的体对角线时得③图;当截面不平行于任何侧面也不过体对角线时得②图.答案①②③ 学海拾贝 核心内容 掌握圆柱、圆锥、圆台、球的定义、结构特征及表示方法，理解简单组合体的构成方式（拼接、截割）。 关键要点 旋转体生成：矩形→圆柱、直角三角形→圆锥、直角梯形→圆台、半圆→球； 核心要素：圆柱、圆锥、圆台的母线，球的球心、半径，简单组合体的拆解方法； 易错点：区分圆柱母线与高、球与球面、圆台与圆柱的不同。 知识小结 学海拾贝 认知方法 从具体实物、模型入手，经历“观察—操作—归纳—总结”的过程，体现了直观感知、抽象概括的数学思想。 核心思想 转化思想——将空间几何体的结构问题转化为平面图形问题（如圆锥的高、半径、母线转化为直角三角形），将复杂组合体转化为基本几何体。 方法小结 学海拾贝 后续展望 本节课所学的空间几何体是后续学习空间几何体表面积、体积的基础，也是培养空间想象能力的关键。课后需多观察生活中的空间几何体，尝试将其抽象为数学中的基本几何体，熟练掌握各几何体的结构特征，为后续学习奠定坚实基础。 感谢聆听! $