第七章 幂的运算 单元复习与题型总结2025-2026学年七年级下学期数学（苏科版）

2025-2026学年七年级下学期数学单元复习与题型总结（2024苏科版） 第七章 幂的运算 题型速览 题型速览 1 模块1：思维导图 2 模块2：考点梳理 2 模块3：题型总结 4 【题型1】同底数幂的乘法公式正向运用 4 【题型2】同底数幂的乘法公式逆向运用 5 【题型3】幂的乘方公式正向运用 5 【题型4】幂的乘方公式逆向运用 6 【题型5】积的乘方公式正向运用 6 【题型6】积的乘方公式逆向运用 7 【题型7】同底数幂的除法公式正向运用 7 【题型8】同底数幂的除法公式逆向运用 8 【题型9】零指数幂的运算 8 【题型10】负整数指数幂的运算 9 【题型11】幂的混合运算 10 【题型12】科学记数法 12 【题型13】利用幂的运算进行简便运算 13 【题型14】有关幂的运算的新定义运算问题 14 【题型15】幂的运算的实际应用问题 16 模块1：思维导图 模块2：考点梳理 考点1：同底数幂的乘法 1.同底数幂的乘法：(其中都是正整数). 2.语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 3.易错提醒： （1）当底数是负数或者分数时，需要用括号将底数括起来； （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是正整数）. 3.公式可以逆用： （都是正整数） 把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即(都是正整数）. 考点2：幂的乘方 1. 幂的乘方： (其中都是正整数). 2.语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘. 3.公式的推广： () 4.逆用公式：. 考点3：积的乘方 1.公式3： (其中是正整数). 语言叙述：即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. （1）公式的推广： (为正整数). （2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互 为倒数时，计算更简便.如： 考点4：同底数幂的除法 公式4：（≠0，都是正整数，并且） 语言叙述：即同底数幂相除，底数不变，指数相减。 （1）公式的推广： ( （2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互 为倒数时，计算更简便.如： 考点5：零指数幂 公式5： 语言叙述：任何不等于0的数的0次幂都等于1； 易错提醒：底数不能为0，即没有意义. 考点6：负整数指数幂 公式6：（≠0，是正整数）. 语言叙述：任何不等于零的数的（为正整数）次幂，等于这个数的次幂的倒数。 引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的幂的运算性质仍然成立. （、为整数，）； （、为整数，）； （为整数，，）； （、为整数，）. 是的倒数，可以是不等于0的任何数. 考点7：科学记数法 1.把一个绝对值大于10的数表示成的形式，其中是正整数； 2.把一个绝对值小于1的数表示成的形式，其中是负整数。 模块3：题型总结 【题型1】同底数幂的乘法公式正向运用 例题1．计算的结果是（ ） A． B． C． D． 举一反三 1．下列幂的运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．若，则的值为（    ） A．2 B．7 C．9 D．14 3．若__________，则横线上应填（    ） A． B． C． D． 4．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【题型2】同底数幂的乘法公式逆向运用 例题2．代数式，，则的值为（    ） A．2 B．3 C．9 D．18 举一反三 1．若，，则的值为（     ） A．30 B．10 C．6 D． 2．可写成（ ） A． B． C． D． 3．已知，，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 4．若，，则的值为_____． 【题型3】幂的乘方公式正向运用 例题3．计算的结果是（  ） A． B． C． D． 举一反三 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．，则（　　）里可以填写的式子是（　　） A． B． C． D． 3．计算：______． 4．若成立，则__________，__________ 【题型4】幂的乘方公式逆向运用 例题4．已知：，且，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 举一反三 1．已知，则的值为 （　　） A．8 B．16 C．32 D．64 2．已知，则的值为（    ） A．4 B．8 C．32 D．128 3．若，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．已知n为正整数，且，求的值． 【题型5】积的乘方公式正向运用 例题5．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 举一反三 1．下列各式中，计算结果等于的是（  ） A． B． C． D． 2．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 3．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 4．计算：________ 【题型6】积的乘方公式逆向运用 例题6．若，，则（　　） A． B． C． D． 举一反三 1．计算的结果为（   ） A．1 B． C． D． 2．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 3．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 【题型7】同底数幂的除法公式正向运用 例题7．若，则_____________． 举一反三 1．已知，则______． 2．为非零数，计算的结果为____． 3．已知，则的值为________． 4．若，则与之间的关系是___________． 【题型8】同底数幂的除法公式逆向运用 例题8．已知，，则的值为（   ） A．12 B． C．7 D． 举一反三 1．若，则的值是（   ） A．10 B．12 C．18 D．34 2．若，，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 3．若，则代数式的值为____________． 4．若，则_____． 【题型9】零指数幂的运算 例题9．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 举一反三 1．（    ） A．0 B．1 C． D． 2．下列各数中，最小的是（   ） A． B． C． D． 3．计算的结果是___________________ ． 4．，则的值为 ______． 【题型10】负整数指数幂的运算 例题10．计算：（　　） A． B． C．3 D． 举一反三 1．计算： 2．计算：． 3．计算：． 4．计算： 【题型11】幂的混合运算 例题11．计算： (1) (2) 举一反三 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．计算： (1) (2) (3) (4) 4．计算： (1)； (2)； (3)． (4)； 【题型12】科学记数法 例题12．计算速度是衡量计算机性能的一项重要指标近年来，我国超级计算机运算速度不断问鼎世界第一，某超级计算机每秒可以完成20亿次基本运算，则该超级计算机完成一次基本运算所用的时间用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 举一反三 1．泉州湾跨海高铁大桥是世界首座跨海高铁大桥，其采用了自主创新的“石墨烯重防腐涂装体系”，将实现30年超长防腐寿命的突破，单层石墨烯的标准厚度为，用科学记数法可表示为（     ） A． B． C． D． 2．据统计，人的头发直径约70微米，在好奇心的驱使下，小丽同学测得自己的一根头发直径约为，将数据用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 3．钙是人体必需的矿物质，主要作用是构建和维持骨骼、牙齿结构，调节神经肌肉功能，参与凝血和细胞信号传递，已知成人每日钙的摄入量一般为0.0008千克．数据“0.0008”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 4．深度求索（）是一家专注实现的中国人工智能公司．在研发人工智能模型时，常需处理一些数据，例如权重参数0.0000034．将数据0.0000034用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【题型13】利用幂的运算进行简便运算 例题13．用简便方法进行计算： 举一反三 1．用简便方法计算： (1)； (2)． 2．简便计算： (1) (2) 3．用简便方法计算． (1)； (2)． 4．用简便方法计算： (1)； (2)． 【题型14】有关幂的运算的新定义运算问题 例题14．教材重读：小明在学完第12章《证明》后，对数学推理证明有了进一步的认识，在回顾第8章《幂的运算》过程中，小明又仔细阅读七下教材P57如下的一段话： 规定了零指数幂、负整数指数幂的意义后，同底数幂的除法运算性质扩展为： （，m、n是整数）． 小明注意到当m、n是正整数，时，教材给出根据幂的定义证明（，m、n是正整数，）成立，但对于幂运算性质适用一切整数指数幂，并未给出相应的解释． 为此，小明进行了如下的探究： (1)根据幂的定义证明同底数幂的除法法则：（，m、n是正整数，）． (2)当，时，根据负整数指数幂的定义， 得____________， ∵， ∴． (3)当m、n是正整数时，根据负整数指数幂的定义，证明：． 举一反三 1．阅读材料： 定义：如果，那么称a为n的劳格数，记为， 例如：，那么称2是100的劳格数，记为． 填空：根据劳格数的定义，在算式中，______相当于定义中的n，所以______； 直接写出______； 探究：某数学研究小组探究劳格数有哪些运算性质，以下是他们的探究过程 若a、b、m、n均为正数，且，， 根据劳格数的定义：，______， ∵ ∴，这个算式中，______相当于定义中的a，______相当于定义中的n， ∴______，即， 请你把数学研究小组探究过程补全 拓展：根据上面的推理，你认为：______． 2．定义：如果，那么c为a，b的“甜幂指数”，记为．例如，那么2为的“甜幂指数”，记为．根据定义回答以下问题： (1)若，则m＝______；若，则n＝______； (2)已知，，，x，y，z为正整数，且，求m的值； 3．规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，则．我们叫为“雅对”． 例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下： 设，，则，， 故， 则 ， 即． (1)根据上述规定，填空： ； ； ． (2)计算 ，并说明理由． (3)利用“雅对”定义证明：，对于任意自然数n都成立． 4．定义：若am＝b，则Lab＝m（a＞0）．例如23＝8，则L28＝3． （1）运用以上定义，计算L525﹣L22； （2）如果L23＝x， ，求x+2y的值． 【题型15】幂的运算的实际应用问题 例题15．某一人造地球卫星绕地球运动的速度约为米/秒，则该卫星运行米所需要的时间约为多少秒？ 举一反三 1．在手工课上，小明做了一个正方体，已知其棱长为，求该正方体的表面积与体积． 2．一滴水约为，有一个未拧紧的水龙头每分钟大约漏水50滴水，问：该水龙头一天大约漏水多少立方米？（结果用科学记数法表示） 3．通常分子的质量和体积都很小，已知1个水分子的质量约是，1滴水（以20滴水为计）中大约有多少个水分子？假设10亿人来数1滴水中的水分子，每人每分数100个，日夜不停，大约需要多长时间才能数完？ 4．我国约有的土地，平均的土地一年通过太阳得到的能量相当于燃烧煤所产生的能量． (1)一年内我国土地通过太阳得到的能量相当于燃烧多少吨煤？ (2)若燃烧1t煤大约可以获得的电，则燃烧（1）中的煤大约可以获得多少千瓦时的电？（用科学记数法表示） 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下学期数学单元复习与题型总结（2024苏科版） 第七章 幂的运算 题型速览 题型速览 1 模块1：思维导图 2 模块2：考点梳理 2 模块3：题型总结 4 【题型1】同底数幂的乘法公式正向运用 4 【题型2】同底数幂的乘法公式逆向运用 6 【题型3】幂的乘方公式正向运用 7 【题型4】幂的乘方公式逆向运用 9 【题型5】积的乘方公式正向运用 11 【题型6】积的乘方公式逆向运用 13 【题型7】同底数幂的除法公式正向运用 16 【题型8】同底数幂的除法公式逆向运用 17 【题型9】零指数幂的运算 19 【题型10】负整数指数幂的运算 21 【题型11】幂的混合运算 23 【题型12】科学记数法 27 【题型13】利用幂的运算进行简便运算 29 【题型14】有关幂的运算的新定义运算问题 33 模块1：思维导图 模块2：考点梳理 考点1：同底数幂的乘法 1.同底数幂的乘法：(其中都是正整数). 2.语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 3.易错提醒： （1）当底数是负数或者分数时，需要用括号将底数括起来； （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是正整数）. 3.公式可以逆用： （都是正整数） 把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即(都是正整数）. 考点2：幂的乘方 1. 幂的乘方： (其中都是正整数). 2.语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘. 3.公式的推广： () 4.逆用公式：. 考点3：积的乘方 1.公式3： (其中是正整数). 语言叙述：即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. （1）公式的推广： (为正整数). （2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互 为倒数时，计算更简便.如： 考点4：同底数幂的除法 公式4：（≠0，都是正整数，并且） 语言叙述：即同底数幂相除，底数不变，指数相减。 （1）公式的推广： ( （2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互 为倒数时，计算更简便.如： 考点5：零指数幂 公式5： 语言叙述：任何不等于0的数的0次幂都等于1； 易错提醒：底数不能为0，即没有意义. 考点6：负整数指数幂 公式6：（≠0，是正整数）. 语言叙述：任何不等于零的数的（为正整数）次幂，等于这个数的次幂的倒数。 引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的幂的运算性质仍然成立. （、为整数，）； （、为整数，）； （为整数，，）； （、为整数，）. 是的倒数，可以是不等于0的任何数. 考点7：科学记数法 1.把一个绝对值大于10的数表示成的形式，其中是正整数； 2.把一个绝对值小于1的数表示成的形式，其中是负整数。 模块3：题型总结 【题型1】同底数幂的乘法公式正向运用 例题1．计算的结果是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，运用同底数幂的乘法法则求解即可，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴， 故选：． 举一反三 1．下列幂的运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘，根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，逐一判断即可，解题关键是熟练计算． 【详解】解：A、，故原式错误，不符合题意； B、，故原式错误，不符合题意； C、，故原式正确，符合题意； D、，故原式错误，不符合题意， 故选：C． 2．若，则的值为（    ） A．2 B．7 C．9 D．14 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法法则是计算的关键． 根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加． 【详解】解：∵ ，且 ， ∴ ． 故选：C． 3．若__________，则横线上应填（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算，利用“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的法则，先计算已知项的指数和，再求出未知项的指数即可解答． 【详解】解：设横线上的式子为，则 = ， ∴， ∴， 即横线上应填， 故选：C． 4．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 【题型2】同底数幂的乘法公式逆向运用 例题2．代数式，，则的值为（    ） A．2 B．3 C．9 D．18 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂的乘法的逆运算，利用“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的性质，将转化为，再代入已知值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：D． 举一反三 1．若，，则的值为（     ） A．30 B．10 C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算，熟练掌握同底数幂的乘法运算是解题的关键． 需利用“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的法则，将待求式转化为已知幂的乘积形式，再代入计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选A． 2．可写成（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆运算，根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加即可求解，掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：． 3．已知，，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂相乘的逆用，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，利用这一法则计算即可． 【详解】解：∵ ，且 ，， ∴ ． 故选：D． 4．若，，则的值为_____． 【答案】 15 【分析】本题考查了同底数幂相乘，利用同底数幂相乘的法则，将转化为，再代入已知值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：15． 【题型3】幂的乘方公式正向运用 例题3．计算的结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方运算，解题的关键是熟练运用积的乘方法则和幂的乘方法则． 先运用积的乘方法则，将展开为；再分别计算各项，其中，，最后合并得到结果． 【详解】解：． 故选：． 举一反三 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 2．，则（　　）里可以填写的式子是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查积的乘方与幂的乘方的逆运算，关键是熟练应用运算法则进行计算；需将等式左边的式子转化为平方形式，再与选项对比即可. 【详解】解：∵ ∴ ∴括号里可填写的式子是， 故选：C． 3．计算：______． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方与幂的乘方，掌握积的乘方与幂的乘方运算法则是解题的关键． 根据积的乘方法则计算，再根据幂的乘方法则计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 4．若成立，则__________，__________ 【答案】 2 【分析】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握幂的乘方与积的乘方法则是解题关键．先计算等式左边的幂的乘方与积的乘方，再与等式的右边进行比较即可得． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 将代入，得， ∴． 故答案为：2，． 【题型4】幂的乘方公式逆向运用 例题4．已知：，且，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查幂的乘方的逆用，掌握其运算法则是关键． 利用幂的运算法则，将已知条件代入求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 又 ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故选：B． 举一反三 1．已知，则的值为 （　　） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】B 【分析】本题主要考查幂的乘方公式以及同底数幂的乘法公式，熟练掌握公式是解题的关键； 先利用幂的乘方法则把变为同底数幂相乘的形式，继而根据同底数幂的乘法法则得到，再根据，利用等式的性质得出，即可得出的值． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：B． 2．已知，则的值为（    ） A．4 B．8 C．32 D．128 【答案】B 【分析】本题考查指数运算，由方程可得，将和化为以2为底的幂形式，利用指数运算法则计算表达式值，关键是将底数统一为 2，利用已知条件代入求值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 3．若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法和幂的乘方运算，熟练的逆用同底数幂的乘法运算公式和幂的乘方运算公式进行变形，是解题的关键； 将已知方程化简得到 ，再将所求表达式 化为以为底的幂形式，利用指数运算性质代入求值． 【详解】解：∵， ∴， 两边除以得：， ∴． 故选：C． 4．已知n为正整数，且，求的值． 【答案】120 【分析】本题考查幂的乘方的逆应用，根据直接求解即可得到答案； 【详解】解： ． 【题型5】积的乘方公式正向运用 例题5．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 举一反三 1．下列各式中，计算结果等于的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查积的乘方与幂的乘方的运算，需根据相关运算法则分别计算各选项，再与对比得出答案． 【详解】解：∵积的乘方法则为，幂的乘方法则为， ∴对各选项计算如下： A选项：，符合要求； B选项：； C选项：； D选项：； ∴只有A选项计算结果等于． 故选：A． 2．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了积的乘方，根据积的乘方的运算法则计算求解，即可解题． 【详解】解：； 故选：B． 3．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查积的乘方与幂的乘方的运算性质，关键是熟练应用运算法则进行计算；根据相关法则逐步计算即可． 【详解】解：   ． 故选：D． 4．计算：________ 【答案】 【详解】解： 【题型6】积的乘方公式逆向运用 例题6．若，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查积的乘方的逆运算，关键是熟练应用运算法则进行计算；将转化为，再利用积的乘方公式变形，代入已知条件即可求解． 【详解】∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 举一反三 1．计算的结果为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了积的乘方的逆运算．先将小数转化为分数，再利用积的乘方的逆运算简化计算，最后结合有理数的乘方性质得出结果． 【详解】解：原式 故选：D． 2．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了积的乘方的逆运算，同底数幂的乘法的逆运算，先把原式变形为，进一步可变形为，据此求解即可． 【详解】解： ， 故选：B． 3．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，乘法运算律，先把原式变形为，再运用乘法运算律进行简便运算，即可作答． 【详解】解： ． 故选：D 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆用、积的乘方的逆用等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． （1）先逆用幂的乘方运算法则，再逆用积的乘方运算法则进行计算； （2）先将变形，再综合运用幂的乘方与积的乘方运算法则的逆用进行计算． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【题型7】同底数幂的除法公式正向运用 例题7．若，则_____________． 【答案】81 【分析】本题考查了同底数幂相除，已知式子的值求代数式的值，利用同底数幂的除法法则，将原式转化为，再代入已知条件计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：81． 举一反三 1．已知，则______． 【答案】 【详解】解：， ， ． 2．为非零数，计算的结果为____． 【答案】 【分析】根据同底数幂相除，底数不变，指数相减计算即可． 【详解】解：． 3．已知，则的值为________． 【答案】1 【分析】本题考查同底数的除法和幂的乘方，先将25和125化为以5为底的幂，再利用同底数幂的除法法则和指数相等求解即可． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 因此， 解得． 故答案为：1． 4．若，则与之间的关系是___________． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则和除法法则．利用同底数幂的乘法法则和除法法则，将等式两边化为同底数幂的形式，再根据底数相同指数相等的原则，得到关于m和n的方程，进而求解关系． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 【题型8】同底数幂的除法公式逆向运用 例题8．已知，，则的值为（   ） A．12 B． C．7 D． 【答案】B 【分析】本题考查幂的运算性质，需将转化为以2为底的幂，再利用同底数幂的除法性质计算即可求解． 【详解】解：∵， 又∵， ∴，即， ∵（同底数幂除法性质：）， 又∵， ∴原式． 故选：B． 举一反三 1．若，则的值是（   ） A．10 B．12 C．18 D．34 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方和同底数幂除法的逆用； 利用指数运算的性质，将所求表达式分解为已知指数的形式，再代入数值计算． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 2．若，，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【分析】将所求表达式利用指数法则化简为，再根据已知条件求出的值． 本题主要考查了同底数幂除法以及幂的乘方的逆应用，熟练掌握并运用是解决问题的关键． 【详解】解：∵，，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 故选：D． 3．若，则代数式的值为____________． 【答案】2 【分析】本题考查幂的乘方，将原式进行正确的变形是解题的关键，利用幂的乘方将原式进行化简，再整体代入求解． 【详解】解：， ∵， ∴原式， 故答案为：2． 4．若，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂除法的逆运算，熟记法则并根据法则计算是解题关键； 利用指数的运算性质，将表示为，然后代入已知值计算． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 【题型9】零指数幂的运算 例题9．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查零指数幂． 依据零指数幂的运算法则直接计算即可． 【详解】解：． 故选：A． 举一反三 1．（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查零指数幂，根据零指数幂的法则进行计算即可． 【详解】解：； 故选：B． 2．下列各数中，最小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据绝对值的定义，负指数幂和0指数幂的法则分别计算各选项的值，再比较大小，即可得解． 本题主要考查了绝对值的定义，负指数幂和0指数幂的法则，以及比较有理数的大小，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：，，， ， ∵， 故选：C． 3．计算的结果是___________________ ． 【答案】 【分析】本题考查零指数幂，先根据零指数幂的运算法则计算出零指数幂的值，再按照有理数乘除混合运算的顺序从左到右依次计算即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 4．，则的值为 ______． 【答案】1 【分析】根据零指数幂的意义，得到指数为0，列式求解即可. 【详解】解：由零指数幂的性质可知，任何非零数的0次幂等于1. ∵，且， ∴ 解得. 【题型10】负整数指数幂的运算 例题10．计算：（　　） A． B． C．3 D． 【答案】D 【详解】解：∵ ， ∴ ． 举一反三 1．计算： 【答案】 【分析】此题考查了绝对值，有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算绝对值，有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂，然后计算即可． 【详解】解： ． 2．计算：． 【答案】 【分析】先算乘方，再算加减法． 本题考查了实数的混合运算，掌握实数运算法则是解题关键． 【详解】解： ． 故答案为：． 3．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，包括乘方、绝对值、负整数指数幂和零指数幂，灵活应用相关运算法则是解题的关键．先计算乘方、绝对值、负整数指数幂和零指数幂，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式 ． 4．计算： 【答案】 【分析】本题考查了整数指数幂的运算，包括乘方、负整数指数幂及零指数幂等运算，掌握运算法则是关键；计算乘方、负整数指数幂及零指数幂，再相加减即可． 【详解】解：原式 ． 【题型11】幂的混合运算 例题11．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的运算（同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方），解题关键是熟练掌握幂的各种运算法则并准确运算． （1）先分别用幂的乘方、积的乘方化简各项，再算同底数幂的乘除，最后合并同类项； （2）同理，先化简幂的乘方、积的乘方，再算同底数幂的乘除，最后合并同类项． 【详解】（1）解： ， ， ． （2）解： ， ， ． 举一反三 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了幂的混合运算，幂的乘方和积的乘方． （1）先算乘方，然后再算乘法； （2）先算乘方和乘法，再算加法； （3）先算乘法和乘方，再算加减法； （4）先算积的乘方，再算加法． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了幂的运算，掌握幂的运算法则是解题的关键． （1）先算幂的乘方，再算同底数幂的乘法； （2）先算幂的乘方，再合并同类项； （3）先算积的乘方和同底数幂的乘法，再合并同类项； （4）先算幂的乘方，再乘同底数幂的乘法，最后合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 3．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)） (2) (3) (4)0 【分析】本题考查幂的运算，零指数幂和负整数指数幂： （1）根据同底数幂的除法法则进行计算即可； （2）先进行幂的运算，再进行加减运算即可； （3）先进行幂的运算，再合并同类项即可； （4）先进行幂的运算，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 4．计算： (1)； (2)； (3)． (4)； 【答案】(1)24 (2) (3) (4) 【分析】（1）首先根据零指数幂与负整数指数幂的运算、有理数的乘方运算，进行运算，再进行有理数的加减运算，即可求解； （2）首先进行积的乘方运算，再进行同底数幂的乘法运算，即可求解； （3）根据同底数幂的乘除法运算法则进行运算，即可求解； （4）首先根据积的乘方与幂的乘方运算法则进行运算，再进行整式的混合运算，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【题型12】科学记数法 例题12．计算速度是衡量计算机性能的一项重要指标近年来，我国超级计算机运算速度不断问鼎世界第一，某超级计算机每秒可以完成20亿次基本运算，则该超级计算机完成一次基本运算所用的时间用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把20亿写成2，再计算该超级计算机完成一次基本运算所用的时间，即可求解． 【详解】解：20亿=2000000000=2， 由于超级计算机每秒可以完成20亿次基本运算， 则该超级计算机完成一次基本运算所用的时间为(s)， 故选：A． 举一反三 1．泉州湾跨海高铁大桥是世界首座跨海高铁大桥，其采用了自主创新的“石墨烯重防腐涂装体系”，将实现30年超长防腐寿命的突破，单层石墨烯的标准厚度为，用科学记数法可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：. 2．据统计，人的头发直径约70微米，在好奇心的驱使下，小丽同学测得自己的一根头发直径约为，将数据用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据科学记数法的定义，绝对值小于1的正数可表示为，其中要求，n为原数左起第一个非零数字前所有零的个数． 【详解】∵ 0.000073左起第一个非零数字为7，其前面共有5个零，只有满足， ∴． 3．钙是人体必需的矿物质，主要作用是构建和维持骨骼、牙齿结构，调节神经肌肉功能，参与凝血和细胞信号传递，已知成人每日钙的摄入量一般为0.0008千克．数据“0.0008”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 4．深度求索（）是一家专注实现的中国人工智能公司．在研发人工智能模型时，常需处理一些数据，例如权重参数0.0000034．将数据0.0000034用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值较小的数，需遵循科学记数法的形式（其中，为原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数），确定与的值是解题关键． 【详解】解：∵科学记数法表示绝对值较小的数的形式为，其中，为原数左边第一个非零数字前面的0的个数， ∴对于，，原数左边第一个非零数字3前面有6个0，即， ∴， 故选：A． 【题型13】利用幂的运算进行简便运算 例题13．用简便方法进行计算： 【答案】2 【分析】本题主要考查了幂的运算，熟练掌握积的乘方的逆运算是解题的关键．把拆分为，再利用积的乘方的逆运算，将与结合起来进行简便计算． 【详解】解：原式 ． 举一反三 1．用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了积的乘方逆用、有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先根据积的乘方逆用可将式子变形为，再计算有理数的乘方与乘法即可得； （2）先根据积的乘方逆用可将式子变形为，再计算有理数的乘方与乘法即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 2．简便计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算， （1）根据积的乘方的逆运算及有理数的乘方运算法则计算即可； （2）将原式转化为，再利用有理数的乘方运算法则计算即可； 掌握相应的运算法则、运算律及运算顺序是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2） ． 3．用简便方法计算． (1)； (2)． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查积的乘方的逆用，掌握掌握积的乘方运算法则是解题关键． （1）根据积的乘方运算法则进行简便计算； （2）根据积的乘方运算法则进行简便计算． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 4．用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查积的乘方的逆运算、同底数幂的乘法的逆运算、含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解答的关键． （1）先利用乘法运算律，再利用积的乘方的逆运算、同底数幂的乘法的逆运算将原算式转化为求的值，进而根据有理数的乘方和乘法运算法则求解即可； （2）根据积的乘方的逆运算、同底数幂的乘法的逆运算将原算式转化为求的值，进而根据有理数的乘方和乘法运算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【题型14】有关幂的运算的新定义运算问题 例题14．教材重读：小明在学完第12章《证明》后，对数学推理证明有了进一步的认识，在回顾第8章《幂的运算》过程中，小明又仔细阅读七下教材P57如下的一段话： 规定了零指数幂、负整数指数幂的意义后，同底数幂的除法运算性质扩展为： （，m、n是整数）． 小明注意到当m、n是正整数，时，教材给出根据幂的定义证明（，m、n是正整数，）成立，但对于幂运算性质适用一切整数指数幂，并未给出相应的解释． 为此，小明进行了如下的探究： (1)根据幂的定义证明同底数幂的除法法则：（，m、n是正整数，）． (2)当，时，根据负整数指数幂的定义， 得____________， ∵， ∴． (3)当m、n是正整数时，根据负整数指数幂的定义，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】本题考查的是幂的含义，同底数幂的除法运算，负整数指数幂的含义； （1）直接利用幂的含义证明即可； （2）根据负整数指数幂的含义可得结论； （3）根据负整数指数幂把化为，再结合同底数幂的除法运算可得结论． 【详解】（1）解：∵，m、n是正整数， ∴ ； （2）解：当，时，根据负整数指数幂的定义， 得， ∵， ∴． （3）解：∵m、n是正整数时， ． 举一反三 1．阅读材料： 定义：如果，那么称a为n的劳格数，记为， 例如：，那么称2是100的劳格数，记为． 填空：根据劳格数的定义，在算式中，______相当于定义中的n，所以______； 直接写出______； 探究：某数学研究小组探究劳格数有哪些运算性质，以下是他们的探究过程 若a、b、m、n均为正数，且，， 根据劳格数的定义：，______， ∵ ∴，这个算式中，______相当于定义中的a，______相当于定义中的n， ∴______，即， 请你把数学研究小组探究过程补全 拓展：根据上面的推理，你认为：______． 【答案】1000，3；﹣8；b，a＋b，，a＋b；－． 【分析】根据新定义法则进行运算即可． 【详解】解：∵如果，那么称a为n的劳格数，记为， ∴，那么称3是1000的劳格数，记为． ∴在算式中，1000相当于定义中的n，所以3；﹣8； ∵， ∴， ∵，， ∴＝pq， ∴这个算式中，pq相当于定义中的a， 相当于定义中的n， ∴＝＋， 即， 设，， ∴，， ∵， ∴＝a－b＝－， 即－． 故答案为：1000，3；﹣8；b，a＋b，，a＋b；－． 定义：如果，那么c为a，b的“甜幂指数”，记为．例如，那么2为的“甜幂指数”，记为．根据定义回答以下问题： (1)若，则m＝______；若，则n＝______； (2)已知，，，x，y，z为正整数，且，求m的值； (3)已知当x，y为正整数，且时，成立，且满足，若，，m，n为正整数，且，时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了幂的乘方、同底数幂幂的乘法和除法等知识，熟练掌握幂的运算法则是关键． （1）根据新定义可得到答案； （2）根据新定义得到，进一步得到，即可得到答案； （3）根据题意得到则，即可得到,整理即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意可得，若，∵， 则； 若，∵，则； （2）由题意可得，， ∵， ∴ ∴ （3）∵，，m，n为正整数， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴, ∴ ∴ 3．规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，则．我们叫为“雅对”． 例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下： 设，，则，， 故， 则 ， 即． (1)根据上述规定，填空： ； ； ． (2)计算 ，并说明理由． (3)利用“雅对”定义证明：，对于任意自然数n都成立． 【答案】(1)2，0，3 (2)，见解析 (3)见解析 【分析】此题考查了实数的运算，弄清题中的新运算是解本题的关键： （1）根据题干规定计算即可得到结论； （2）设，，根据同底数幂的乘法法则即可求解； （3）设，于是得到，即根据“雅对”定义即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； 故答案为：2，0，3； （2）解：设，， 则，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：，于是得到，即， ∴，即， ∴． 4．定义：若am＝b，则Lab＝m（a＞0）．例如23＝8，则L28＝3． （1）运用以上定义，计算L525﹣L22； （2）如果L23＝x， ，求x+2y的值． 【答案】（1）1；（2）3． 【分析】（1）由定义和幂的运算可得，L525＝2，L22＝1； （2）由定义可得2x＝3，4y＝22y＝，所以2x×4y＝2x×22y＝2x+2y＝3×＝8＝23，可求得结果为3． 【详解】解：（1）∵52＝25，21＝2， ∴L525＝2，L22＝1， ∴L525﹣L22＝2﹣1＝1； （2）由定义可得2x＝3，4y＝22y＝， ∴2x×4y＝2x×22y＝2x+2y＝3×＝8＝23， ∴x+2y的值是3． 【题型15】幂的运算的实际应用问题 例题15．某一人造地球卫星绕地球运动的速度约为米/秒，则该卫星运行米所需要的时间约为多少秒？ 【答案】卫星运行米所需要的时间约为秒 【分析】本题考查同底数幂的除法，根据同底数幂的除法，底数不变指数相减，列出算式解答即可． 【详解】解：由题意，得 （秒）， 所以卫星运行米所需要的时间约为秒． 举一反三 1．在手工课上，小明做了一个正方体，已知其棱长为，求该正方体的表面积与体积． 【答案】表面积为；体积为． 【分析】本题考查了正方体的表面积和体积、幂的运算、科学记数法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据正方体的表面积和体积的求法计算，用科学记数法表示即可． 【详解】解：表面积为 ； 体积为 ． 2．一滴水约为，有一个未拧紧的水龙头每分钟大约漏水50滴水，问：该水龙头一天大约漏水多少立方米？（结果用科学记数法表示） 【答案】答：该水龙头一天大约漏水立方米 【分析】本题考查科学记数法，用一天漏水的滴数乘以一滴水的体积，进行计算即可． 【详解】解：； 答：该水龙头一天大约漏水立方米． 3．通常分子的质量和体积都很小，已知1个水分子的质量约是，1滴水（以20滴水为计）中大约有多少个水分子？假设10亿人来数1滴水中的水分子，每人每分数100个，日夜不停，大约需要多长时间才能数完？ 【答案】1滴水（以20滴水为计）中大约有个水分子，大约需要31773年才能数完． 【分析】此题考查负整数指数幂计算，先求出1滴水的质量，再除以1个水分子的质量即可得到1滴水中水分子的数量；求出每分钟数的数量，利用工作时间=工作总量除以每分钟的工作量求出工作时间． 【详解】解：1滴水的质量为1克克千克， 1滴水中水分子数量为个； 10亿人人， 每分钟计数数量总量为个， 总工作量为个， 总时间为分钟， 分钟年， ∴大约需要31773年才能数完． 4．我国约有的土地，平均的土地一年通过太阳得到的能量相当于燃烧煤所产生的能量． (1)一年内我国土地通过太阳得到的能量相当于燃烧多少吨煤？ (2)若燃烧1t煤大约可以获得的电，则燃烧（1）中的煤大约可以获得多少千瓦时的电？（用科学记数法表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了科学记数法和整式的运算，熟练掌握“将一个数表示成的形式，其中，为整数”和整式的运算法则是解题的关键. 【详解】（1）解：由题意，得 ． 故一年内我国土地通过太阳得到的能量相当于燃烧煤． （2）解：由题意，得 ． 故燃烧（1）中的煤大约可以获得的电． 故答案为：（1）相当于燃烧吨煤；（2）大约可以获得千瓦时的电. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $