5.2.1 等差数列 讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教B版选择性必修第三册

5.2.1等差数列 一、知识点 1.等差数列的定义 一般地，如果数列从第项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数，即恒成立，则称为等差数列，其中称为等差数列的公差． 2.等差数列的通项公式 1）通项公式：首项为，公差为的等差数列的通项公式为． 2）从函数角度认识等差数列 若数列是等差数列，首项为，公差为，则. （1）点 落在直线上； （2）这些点的横坐标每增加，函数值增加 ． 3．等差数列与一次函数的区别与联系 等差数列 一次函数 通项公式（解析式） 不同点 定义域为或的子集，图象是一系列孤立的点（在直线上） 定义域为，图象是一条直线 相同点 等差数列的通项公式与一次函数的解析式都是关于自变量的一次整式 4.等差数列的单调性 等差数列的公差为， （1）当时，数列为递增数列； （2）当时，数列为递减数列； （3）当时，数列为常数列． 5．等差数列通项公式的变形及推广 已知等差数列中的任意两项，（，，），则， 所以①（，）， ②（，，且）. 3.等差中项及其推论 1）如果，，是等差数列，那么称为与的等差中项，且； 2）在一个等差数列中，中间的每一项(既不是首项也不是末项的项)都是它的前一项与后一项的等差中项； 3）一般地，如果是等差数列，而且正整数，，，，，满足，则； 4）对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即； 5）类比可得，如果是等差数列，而且正整数，，，，，满足，则； 4.等差数列的性质 若是公差为的等差数列，则 1）（为任一常数）是公差为的等差数列； 2）（为任一常数）是公差为的等差数列； 3）（为常数，）是公差为的等差数列． 若，分别是公差为，的等差数列，则数列（，是常数）是公差为的等差数列． 二、题型训练 1.等差数列的通项及其计算 例1.在等差数列中，，，则（    ） A. B. C. D. 例2.在等差数列中，已知，，，则（     ） A. B. C. D. 例3.等差数列，，，，的第项为（     ） A. B. C. D. 练习： 1.已知数列满足，，则此数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 2.等差数列的公差，且，，则的通项公式是（ ） A. B. C. D. 3.已知数列中，，，又数列是等差数列，则（ ） A. B. C. D. 4.已知等差数列中，，则（ ） A. B. C. D. 5.有穷数列，，，，，的项数是（ ） A. B. C. D. 6.四个数成等差数列，其平方和为，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少，求这四个数构成的数列. 7.在数列中，，，若，则_______． 8.已知等差数列满足，且，则首项（     ） A. B. C. D. 9.已知数列是等差数列. （1）如果，，求公差和； （2）如果，，求公差和. 10.已知等差数列满足，. （1）求的通项公式； （2）若对一切，恒成立，求的取值范围. 11.在等差数列，，，，每相邻的两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列. （1）求新数列的通项公式； （2）是新数列的项吗？若是，是第几项？ 2.等差中项及其应用 例4.已知等差数列的前项分别为，，，则的值为（   ） A. B. C. D. 例5.已知和的等差中项是，和的等差中项是，则和的等差中项是（     ） A. B. C. D. 练习： 1.已知，，则，的等差中项为（ ） A. B. C. D. 2.在等差数列中，若，，则（ ） A. B. C. D. 3.设是与的等差中项，是与的等差中项，则，的关系是（ ） A. B. C. 或 D. 4.下列说法中正确的是（ ） A.若，，成等差数列，则，，成等差数列 B. 若，，成等差数列，则，，成等差数列 C. 若，，成等差数列，则，，成等差数列 D. 若，，成等差数列，则，，成等差数列 5.等差数列中，，，则与的等差中项的值为_______. 6.正项数列 满足：，，（，），则_______. 7. 若，，成等差数列，则二次函数的图像与轴的交点个数为（ ） A. B. C. D. 或 8.若，是方程的两根，则，的等差中项为（     ） A. B. C. D. 9.已知，，构成等差数列，则实数的值为________. 10.已知，，则，的等差中项为（    ） A. B. C. D. 11.已知，，，四个数，其中，，成等差数列，且，，若，，成等差数列，求的值． 3.等差中项推论的其应用 例6.在等差数列中，，，则（    ） A. B. C. D. 例7.已知数列为等差数列，且，则（    ） A. B. C. D. 例8.公差不为的等差数列满足（，，），则的最小值为（   ） A. B. C. D. 练习： 1.等差数列中，，，则公差（ ） A. B. C. D. 2.已知数列是等差数列，若，，则（ ） A. B. C. D. 3.已知为等差数列，，，则（ ） A. B. C. D. 4.在等差数列中，，，则数列中为整数的项的个数为（ ） A. B. C. D. 5.设数列，都是等差数列，若，，则_______. 6.已知数列是等差数列，若，，且，则________. 7.已知函数是上的单调递增函数且为奇函数，数列是等差数列，，则的值（ ） A.恒为整数 B.恒为负数 C.恒为 D.可正可负 8.已知数列为等差数列，（），若，则（ ） A. B. C. D. 9.已知方程的四个根构成首项为的等差数列，则（ ） A. B. C. D. 10.在等差数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 11.在等差数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 12.将给定的个数排成如图所示的数表，若每行个数按从左至右的顺序构成等差数列，每列的个数按从上到下的顺序也构成等差数列，且表正中间的一个数，则表中所有数之和为（ ） A. B. C. D. 13.已知等差数列的各项均为正数，，且，若，则________. 14.已知等差数列满足，则等于（     ） A. B. C. D. 15.等差数列中，，则（    ） A. B. C. D. 16.已知在等差数列中，且，则数列的通项公式为（     ） A. B. C. D. 17.在等差数列中，，则（     ） A. B. C. D. 18.公差不为的等差数列中，，则的值不可能是（    ） A. B. C. D. 4.等差数列的单调性及其最值 例9.已知等差数列，则“单调递增”是“”的（     ）条件 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 例10.已知数列为等差数列，且，则的最小值为________． 练习： 1.已知等差数列的通项公式为，则这个数列共有正数项（ ） A. 项 B. 项 C. 项 D.无穷多项 2.设为平面内异于，，三点的任一点，且，当，，三点共线时，数列为（ ） A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列 3.首项为的等差数列，从第项开始为正数，则公差的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4.若等差数列的首项为，且从第项开始比大的项，则公差的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5.一个首项为，公差为整数的等差数列，如果前项均为正数，第项起为负数，则它的公差为________. 6.（多选）已知等差数列的公差，则下列四个命题中真命题为（    ） A.数列是递增数列 B.数列是递增数列 C.数列是递增数列 D.数列是递增数列 7.已知等差数列的首项，公差，当最小时，_______． 8.若为等差数列，，，则下列说法正确的是（     ） A. B. 是数列中的项 C.数列单调递减 D.数列前项和最大 9.已知等差数列的公差为，若，，则首项的值可能是（    ） A. B. C. D. 5.等差数列的判断与证明 例11.下列数列是等差数列的是（    ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 例12.下列数列的通项公式中，能得到为等差数列的是（    ） A. B. C. D. 例13.已知数列是等差数列，下面的数列中①②③④必为等差数列的个数是（    ） A. B. C. D. 练习： 1. 如果一个数列的前项分别是，，，，，则下列说法正确的是（ ） A.该数列一定是等差数列 B.该数列一定不是等差数列 C.该数列不一定是等差数列 D.以上结论都不正确 2.数列中，如果，那么这个数列是（ ） A.公差为的等差数列 B.公差为的等差数列 C.首项为的等比数列 D.首项为的等比数列 3.若是等差数列，则由下列关系确定的数列也一定是等差数列的是（ ） A. B. C. C. 4.若是等差数列，则下列数列为等差数列的有（ ） ①；②；③；④；⑤ A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 5.已知数列的前项和，判断是否为等差数列. 6.已知数列和都是等差数列，公差分别为，，数列满足. （1）数列是不是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由. （2）若的公差为，的公差为，，，求数列的通项公式. 7.数列与的所有公共项由小到大构成一个新的数列，则_______. 6.构造法及其应用 例14.已知数列的首项，且满足，则此数列的通项公式等于（     ） A. B. C. D. 例15.已知数列的首项，且满足，则的值为（     ） A. B. C. D. 练习： 1.在数列中，若，，，则该数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 2.已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知数列满足，若点在直线上，则_________. 4.已知数列满足，，则_______. 5.已知数列满足，. （1）数列是否为等差数列？说明理由； （2）求. 6.已知数列满足，且，若，则正整数（ ） A. B. C. D. 7已知数列中，，（，）. （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列中的最大值项和最小值项，并说明理由. 8.已知数列满足，且，则（     ） A. B. C. D. 9.已知数列中，，，，则（     ） A. B. C. D. 10.已知数列满足（，），，则（     ） A. B. C. D. 11.已知数列满足，且，则（     ） A. B. C. D. 12.如果，且，则（    ） A. B. C. D. 13.已知数列满足，且，，则（     ）． A. B. C. D. 14.已知，，则_______. 7.等差数列在实际中的应用 例16.罗星塔是航海灯塔，是福州港口的标志，是国际上公认的海上重要航标之一，世界许多航海图上都标有罗星塔.如图，该塔为七层仿楼阁式石塔，假设该塔底层（第一层）的底面直径为米，且每往上一层，底面直径减少米，则该塔顶层（第七层）的底面直径为（    ）    A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 练习： 1.《九章算术》大约成书于公元一世纪，是我国古代第一部数学著作，共收藏了个与生产实践有关的应用问题，其中有一题：“今有金锤，长五尺.斩本一尺，重四斤.斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？”其意：现有一根金杖，五尺长，一头粗，一头细，在粗的一端截下一尺，质量为四斤，在细的一端截下一尺，质量为二斤.问依次每一尺各有多重？假设金杖由粗到细所截得的每尺的质量依次成等差数列，斤，则（ ） A. 斤 B. 斤 C. 斤 D. 斤 2.天干地支纪年法，源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如说第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，以此类推.排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，依次类推.已知年为“乙丑”年，那么到新中国成立周年时，即年为（ ） A.乙丑年 B.己酉年 C.壬午年 D.辛未年 3.现有甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七人，他们手里的钱不一样多，依次成等差数列，已知甲、乙两人共钱，戊、己、庚三人共钱，则丁有（     ） A. 钱 B. 钱 C. 钱 D. 钱 4.我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们.定理涉及的是数的整除问题，其数学思想在近代数学，当代密码学研究及日常生活都有着广泛的应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献，现有这样一个整除问题：将到这个数中能被除余，且被除余，且被除余的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，那么此数列的项数为（     ） A. B. C. D．20 5.《九章算术》是我国古代数学名著，其中记载了关于家畜偷吃禾苗的问题.假设有羊、骡子、马、牛吃了别人的禾苗，禾苗的主人要求羊的主人、骡子的主人、马的主人、牛的主人共赔偿斗粟.羊的主人说：“羊吃得最少，羊和骡子吃的禾苗总数只有马和牛吃的禾苗总数的一半.”骡子的主人说：“骡子吃的禾苗只有羊和马吃的禾苗总数的一半.”马的主人说：“马吃的禾苗只有骡子和牛吃的禾苗总数的一半.”若按照此比率偿还，则羊的主人应赔偿的粟的斗数为（     ） A. B. C. D. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.2.1等差数列 一、知识点 1.等差数列的定义 一般地，如果数列从第项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数，即恒成立，则称为等差数列，其中称为等差数列的公差． 2.等差数列的通项公式 1）通项公式：首项为，公差为的等差数列的通项公式为． 2）从函数角度认识等差数列 若数列是等差数列，首项为，公差为，则. （1）点 落在直线上； （2）这些点的横坐标每增加，函数值增加 ． 3．等差数列与一次函数的区别与联系 等差数列 一次函数 通项公式（解析式） 不同点 定义域为或的子集，图象是一系列孤立的点（在直线上） 定义域为，图象是一条直线 相同点 等差数列的通项公式与一次函数的解析式都是关于自变量的一次整式 4.等差数列的单调性 等差数列的公差为， （1）当时，数列为递增数列； （2）当时，数列为递减数列； （3）当时，数列为常数列． 5．等差数列通项公式的变形及推广 已知等差数列中的任意两项，（，，），则， 所以①（，）， ②（，，且）. 3.等差中项及其推论 1）如果，，是等差数列，那么称为与的等差中项，且； 2）在一个等差数列中，中间的每一项(既不是首项也不是末项的项)都是它的前一项与后一项的等差中项； 3）一般地，如果是等差数列，而且正整数，，，，，满足，则； 4）对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即； 5）类比可得，如果是等差数列，而且正整数，，，，，满足，则； 4.等差数列的性质 若是公差为的等差数列，则 1）（为任一常数）是公差为的等差数列； 2）（为任一常数）是公差为的等差数列； 3）（为常数，）是公差为的等差数列． 若，分别是公差为，的等差数列，则数列（，是常数）是公差为的等差数列． 二、题型训练 1.等差数列的通项及其计算 例1.在等差数列中，，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 设等差数列的公差为，则， 所以. 故选：B 例2.在等差数列中，已知，，，则（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由，可得，公差， 故，解得， 故选：A 例3.等差数列，，，，的第项为（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 设该等差数列为，则由题意得，， 则，则. 故选：C. 练习： 1.已知数列满足，，则此数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 ，，数列是首项为，公差为的等差数列，. 2.等差数列的公差，且，，则的通项公式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 因为数列为等差数列，所以，又，所以，可以看成一元二次方程的两个根，又因为，所以，，所以，解得，所以，故选：C. 3.已知数列中，，，又数列是等差数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设等差数列的公差为，则，，从而，，，故选B. 4.已知等差数列中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 设等差数列的公差为，则，所以，故选：C. 5.有穷数列，，，，，的项数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 由有穷数列，，，，，，可得指数为，，，，，，构成首项为，公差为的等差数列，设为此数列的第项，则，解得，故选：D. 6.四个数成等差数列，其平方和为，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少，求这四个数构成的数列. 【答案】答案见解析 【解析】 设四个数构成的数列为，，，，根据题意得，得， 又，解得，所以，代入可得。 故所求四个数构成的数量为，，，，或，，，，或，，，，或，，，. 7.在数列中，，，若，则_______． 【答案】 【解析】 由可得， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 令，解得， 故答案为： 8.已知等差数列满足，且，则首项（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 设等差数列的公差为， 因为，且， 所以，所以． 故选：C． 9.已知数列是等差数列. （1）如果，，求公差和； （2）如果，，求公差和. 【答案】（1），；（2）， 【解析】 （1）因为，，所以，所以， 所以； （2）因为，，所以， 所以，所以. 10.已知等差数列满足，. （1）求的通项公式； （2）若对一切，恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【解析】 （1）设等差数列的公差为，由，， 得，解得， 所以. （2）由恒成立，得恒成立， 即对一切恒成立. 当时，取得最小值， 所以，即的取值范围是. 11.在等差数列，，，，每相邻的两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列. （1）求新数列的通项公式； （2）是新数列的项吗？若是，是第几项？ 【答案】（1）；（2）是，第项. 【解析】 （1）原数列的公差， 所以新数列的公差，所以新数列的通项公式为. （2）是.设是新数列的第项，令， 解得，所以是新数列中的项，且是第项. 2.等差中项及其应用 例4.已知等差数列的前项分别为，，，则的值为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 因为等差数列的前项分别为，，， 所以，解得． 故选：B 例5.已知和的等差中项是，和的等差中项是，则和的等差中项是（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 ，， ，， 和的等差中项是. 故选：D. 练习： 1.已知，，则，的等差中项为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 ，的等差中项为，故选：A. 2.在等差数列中，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 因为为等差数列，所以，解得，故选：B. 3.设是与的等差中项，是与的等差中项，则，的关系是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】 【解析】 由等差中项的定义知，，所以，即，故或. 4.下列说法中正确的是（ ） A.若，，成等差数列，则，，成等差数列 B. 若，，成等差数列，则，，成等差数列 C. 若，，成等差数列，则，，成等差数列 D. 若，，成等差数列，则，，成等差数列 【答案】C 【解析】 因为，，成等差数列，所以，则，即，所以，，成等差数列. 5.等差数列中，，，则与的等差中项的值为_______. 【答案】 【解析】 根据题意，等差数列中，，，则有，则与的等差中项 . 6.正项数列 满足：，，（，），则_______. 【答案】 【解析】 由（，），可得数列是等差数列，公差，首项 ，所以，所以，故 7. 若，，成等差数列，则二次函数的图像与轴的交点个数为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 因为，，成等差数列，所以，所以，所以二次函数的图像与轴的交点个数为或，故选：D. 8.若，是方程的两根，则，的等差中项为（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 因为， 所以，的等差中项为. 故选：C. 9.已知，，构成等差数列，则实数的值为________. 【答案】 【解析】 因为，，构成等差数列， 所以，解得. 故答案为：. 10.已知，，则，的等差中项为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 由已知可得，. 设，的等差中项为， 根据等差中项的定义，有. 故选：B. 11.已知，，，四个数，其中，，成等差数列，且，，若，，成等差数列，求的值． 【答案】 【解析】 因为，，则， 因为，，构成等差数列，则，即，即， 因为，，构成等差数列，则，即，解得． 3.等差中项推论的其应用 例6.在等差数列中，，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由等差数列的性质可知， 所以． 故选：A． 例7.已知数列为等差数列，且，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由等差数列的性质知， 所以，解得， 所以， 故选：A 例8.公差不为的等差数列满足（，，），则的最小值为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由题可知，，则，所以， 所以， 当且仅当且时，即，时等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 练习： 1.等差数列中，，，则公差（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 在等差数列中，由，得，，又，则公差，故选A. 2.已知数列是等差数列，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 设数列的公差为，由，可得，又，可得，所以，故选D. 3.已知为等差数列，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 设数列的公差为，为等差数列，，，，，，，故选B. 4.在等差数列中，，，则数列中为整数的项的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 设数列的公差为，等差数列中，，，，解得，，由，可得，则数列中为整数的项的个数为，故选B. 5.设数列，都是等差数列，若，，则_______. 【答案】 【解析】 因为数列，都是等差数列，所以数列也是等差数列，故由等差数列的性质，得，即，解得 6.已知数列是等差数列，若，，且，则________. 【答案】 【解析】 设数列的公差为，，，，，，，即，解得 7.已知函数是上的单调递增函数且为奇函数，数列是等差数列，，则的值（ ） A.恒为整数 B.恒为负数 C.恒为 D.可正可负 【答案】A 【解析】 ，，，，，，故选A. 8.已知数列为等差数列，（），若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 ，，数列为等差数列，（），，，，，. 9.已知方程的四个根构成首项为的等差数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 根据根与系数的关系，得等差数列中两项的和是，另外两项的和也是，首项是，容易得到四项依次为，，，，则，的值一个为，另外一个为， . 10.在等差数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 由等差数列的性质可知，在等差数列中，项数间隔相等的项也成等差数列，由，，得，，故选D. 11.在等差数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 设等差数列的公差为，，，，，，，，故选B. 12.将给定的个数排成如图所示的数表，若每行个数按从左至右的顺序构成等差数列，每列的个数按从上到下的顺序也构成等差数列，且表正中间的一个数，则表中所有数之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 每行个数按从左至右的顺序构成等差数列，，，，每列的个数按从上到下的顺序也构成等差数列，，表中所有数之和为，故选B. 13.已知等差数列的各项均为正数，，且，若，则________. 【答案】 【解析】 设等差数列的公差为（），，且，，解得，若，则. 14.已知等差数列满足，则等于（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 因为，解得， 故选：D. 15.等差数列中，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 由等差数列的性质可知，即， 所以. 故选：B 16.已知在等差数列中，且，则数列的通项公式为（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 设等差数列公差为， 由题意：，故，即，解得； 故等差数列的公差为，通项公式为； 故选：A. 17.在等差数列中，，则（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由等差数列的性质可知， 故， 故选：C． 18.公差不为的等差数列中，，则的值不可能是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 因为，所以， 又，， 所以或或或或或或或或， 所以的值可能是，，，，. 故选：. 4.等差数列的单调性及其最值 例9.已知等差数列，则“单调递增”是“”的（     ）条件 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 已知等差数列的公差为，即， 当单调递增时，，令得到，； 反之，，为单调递增. 故“单调递增”是“”的充要条件． 故选：A. 例10.已知数列为等差数列，且，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 设数列的公差为，则， 故， 故， 根据二次函数的性质可知：当或时，取得最小值． 故答案为： 练习： 1.已知等差数列的通项公式为，则这个数列共有正数项（ ） A. 项 B. 项 C. 项 D.无穷多项 【答案】A 【解析】 令，解得，又因为，所以共有正数项项. 2.设为平面内异于，，三点的任一点，且，当，，三点共线时，数列为（ ） A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列 【答案】B 【解析】 由题意，，，三点共线，根据共线定理，可得，即，所以数列是一个公差为的等差数列，所以是递减数列，故选B. 3.首项为的等差数列，从第项开始为正数，则公差的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 数列从第项开始为正数，，则，. 4.若等差数列的首项为，且从第项开始比大的项，则公差的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 数列从第项开始比大，，则，. 5.一个首项为，公差为整数的等差数列，如果前项均为正数，第项起为负数，则它的公差为________. 【答案】 【解析】 设等差数列的公差为，且为整数，由题意得，， 所以，且，解得，又为整数，则公差. 6.（多选）已知等差数列的公差，则下列四个命题中真命题为（    ） A.数列是递增数列 B.数列是递增数列 C.数列是递增数列 D.数列是递增数列 【答案】AD 【解析】 对于A，等差数列的公差，则数列是递增数列，正确； 对于B，不妨取，则不是递增数列，B错误； 对于C，不妨取，则不是递增数列，C错误； 对于D，由于等差数列的公差，随的增大而增大，随的增大而增大， 故也随的增大而增大，即数列是递增数列，D正确， 故选：AD 7.已知等差数列的首项，公差，当最小时，_______． 【答案】 【解析】 由题意，， 令，得，解得， 所以当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 又，，则， 因此当最小时，， 故答案为： 8.若为等差数列，，，则下列说法正确的是（     ） A. B. 是数列中的项 C.数列单调递减 D.数列前项和最大 【答案】ACD 【解析】 因为数列为等差数列，且，，则，解得，，，故A选项正确， 由，得，故B错误， 因为，所以数列单调递减，故C正确， 由数列通项公式可知，前项均为正数，，所以前项和最大,故D正确. 故选：ACD 9.已知等差数列的公差为，若，，则首项的值可能是（    ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 由题意，得，所以. 故选：BC. 5.等差数列的判断与证明 例11.下列数列是等差数列的是（    ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】D 【解析】 ，故排除A； ∵，故排除B； ∵，故排除C， 常数列是等差数列，故D正确. 故选：D． 例12.下列数列的通项公式中，能得到为等差数列的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 对于A，不为常数，故A错误， 对于B，为常数，故B正确， 对于C, 不为常数，故C错误， 对于D，不为常数，故D错误， 故选：B 例13.已知数列是等差数列，下面的数列中①②③④必为等差数列的个数是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由数列是等差数列，不妨设其公差为，则， 对于①，因，， 则为常数，故是等差数列； 对于②，不妨设，则，， 于是为常数，故是等差数列； 对于③，设，则，， 于是为常数，故是等差数列； 对于④，若数列为，显然是等差数列，则数列为，因，故不是等差数列. 即在①，②，③，④中，是等差数列的有个， 故选：C. 练习： 1. 如果一个数列的前项分别是，，，，，则下列说法正确的是（ ） A.该数列一定是等差数列 B.该数列一定不是等差数列 C.该数列不一定是等差数列 D.以上结论都不正确 【答案】C 【解析】 如果一个数列的前项分别是，，，，，该数列可能是等差数列、周期数列或其他数列，所以该数列不一定是等差数列，故选C. 2.数列中，如果，那么这个数列是（ ） A.公差为的等差数列 B.公差为的等差数列 C.首项为的等比数列 D.首项为的等比数列 【答案】B 【解析】 因为为定值，所以数列是公差 的等差数列，故选B. 3.若是等差数列，则由下列关系确定的数列也一定是等差数列的是（ ） A. B. C. C. 【答案】C 【解析】 由是等差数列，设，则，满足，故选C. 4.若是等差数列，则下列数列为等差数列的有（ ） ①；②；③；④；⑤ A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 设等差数列的公差为，对于①，，是以为公差的等差数列；对于②，常数，不是等差数列；对于③，，为常数列，也为等差数列；对于④，，为等差数列；对于⑤，，为等差数列，故选D. 5.已知数列的前项和，判断是否为等差数列. 【答案】不是 【解析】 当 时，，当时，，，显然，，不是等差数列. 6.已知数列和都是等差数列，公差分别为，，数列满足. （1）数列是不是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由. （2）若的公差为，的公差为，，，求数列的通项公式. 【答案】（1）数列是等差数列，理由见解析；（2） 【解析】 （1）数列是等差数列，理由如下： 因为数列，都是等差数列，公差分别为，， 所以，，， 因为， 所以为常数， 所以数列是以为公差的等差数列； （2）因为，， 所以， 由（1）可知数列是等差数列，且公差为， 因为的公差为，的公差为， 所以数列的公差， 所以数列的通项公式为. 7.数列与的所有公共项由小到大构成一个新的数列，则_______. 【答案】 【解析】 与的所有公共项由小到大构成一个新的数列为， 故为首项为，公差为的等差数列， 所以， 所以. 故答案为： 6.构造法及其应用 例14.已知数列的首项，且满足，则此数列的通项公式等于（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 ，， 即，则， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以. 故选：C. 例15.已知数列的首项，且满足，则的值为（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 因为，，易知， 所以，即， 又，所以， 故是以为首项，为公差的等差数列， 则，故， 所以. 故选：A. 练习： 1.在数列中，若，，，则该数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由可得，知数列是首项为，公差的等差数列，所以，即. 2.已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由，得，，又，数列是以为首项，为公差的等差数列，则，，. 3. 已知数列满足，若点在直线上，则_________. 【答案】 【解析】 由点在直线上，得，即，数列为等差数列，且公差，又，，即. 4.已知数列满足，，则_______. 【答案】（） 【解析】 ，，，数列是以为首项，为公差的等差数列，，（） 5.已知数列满足，. （1）数列是否为等差数列？说明理由； （2）求. 【答案】（1）是，理由见解析；（2） 【解析】 （1）数列是等差数列，理由如下： 因为，，所以， 所以， 即是首项为，公差的等差数列， （2）由（1）可知，，所以 6.已知数列满足，且，若，则正整数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 由，得，所以数列为首项，公差的等差数列，所以，由，得，，令，得， 所以，，所以，故选B. 7已知数列中，，（，）. （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列中的最大值项和最小值项，并说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）当时，取得最小值；当时，取得最大值 【解析】 （1）因为，， 所以当时，， 又， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列； （2）由（1）知，则， 设函数， 易知在和上为减函数， 所以当时，取得最小值；当时，取得最大值. 8.已知数列满足，且，则（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 因为数列满足，且， 可得数列为等差数列，且公差为， 所以，即，所以. 故选：D. 9.已知数列中，，，，则（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由题得，， 即，则数列是以首项，为公差的等差数列， 所以，即，则． 故选：A. 10.已知数列满足（，），，则（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 ， 所以，，所以为等差数列，且公差为，首项为， 故，即， 故选：B 11.已知数列满足，且，则（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 由可得是公差为的等差数列， 故． 故选：B. 12.如果，且，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 因为，所以， 记，则,， 所以是首项为，公差为的等差数列， 所以. 故选：D 13.已知数列满足，且，，则（     ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由，则可得， 故可得， 所以， 又，，则，， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 则， 故， 故选：C. 14.已知，，则_______. 【答案】 【解析】 由，得， 又，则， 所以数列首项为，公差为的等差数列，所以， 又可得，又，所以，得， 所以， 故答案为：。 7.等差数列在实际中的应用 例16.罗星塔是航海灯塔，是福州港口的标志，是国际上公认的海上重要航标之一，世界许多航海图上都标有罗星塔.如图，该塔为七层仿楼阁式石塔，假设该塔底层（第一层）的底面直径为米，且每往上一层，底面直径减少米，则该塔顶层（第七层）的底面直径为（    ）    A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 由题意，从第一层到顶层的底面直径构成首项为，公差为的等差数列， 所以米. 故选：C 练习： 1.《九章算术》大约成书于公元一世纪，是我国古代第一部数学著作，共收藏了个与生产实践有关的应用问题，其中有一题：“今有金锤，长五尺.斩本一尺，重四斤.斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？”其意：现有一根金杖，五尺长，一头粗，一头细，在粗的一端截下一尺，质量为四斤，在细的一端截下一尺，质量为二斤.问依次每一尺各有多重？假设金杖由粗到细所截得的每尺的质量依次成等差数列，斤，则（ ） A. 斤 B. 斤 C. 斤 D. 斤 【答案】D 【解析】 由题意可知斤，斤，则公差斤，故斤，故选D. 2.天干地支纪年法，源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如说第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，以此类推.排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，依次类推.已知年为“乙丑”年，那么到新中国成立周年时，即年为（ ） A.乙丑年 B.己酉年 C.壬午年 D.辛未年 【答案】B 【解析】 根据题意可得，天干是以为公差的等差数列，地支是以为公差的等差数列，从年到年经过年，且年为“己丑”年，以年的天根和地支分别为首项，则，则年的天干为己，，即余数为，则年的地址为酉，所以年为己酉年，故选B. 3.现有甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七人，他们手里的钱不一样多，依次成等差数列，已知甲、乙两人共钱，戊、己、庚三人共钱，则丁有（     ） A. 钱 B. 钱 C. 钱 D. 钱 【答案】C 【解析】 设甲、乙、丙、丁、戈、己、庚七人的钱数为数列，等差数列的公差为， 依题意得，即，解得， 所以，故丁有钱． 故选：C． 4.我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们.定理涉及的是数的整除问题，其数学思想在近代数学，当代密码学研究及日常生活都有着广泛的应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献，现有这样一个整除问题：将到这个数中能被除余，且被除余，且被除余的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，那么此数列的项数为（     ） A. B. C. D．20 【答案】D 【解析】 由题意得：能被除余的数为，，，，， 故，， 被除余的数为，，，，故，， 被除余的数为，，，，故，， 由，，， 故，， 令，解得：， 因为，所以，故此数列的项数为. 故选：D 5.《九章算术》是我国古代数学名著，其中记载了关于家畜偷吃禾苗的问题.假设有羊、骡子、马、牛吃了别人的禾苗，禾苗的主人要求羊的主人、骡子的主人、马的主人、牛的主人共赔偿斗粟.羊的主人说：“羊吃得最少，羊和骡子吃的禾苗总数只有马和牛吃的禾苗总数的一半.”骡子的主人说：“骡子吃的禾苗只有羊和马吃的禾苗总数的一半.”马的主人说：“马吃的禾苗只有骡子和牛吃的禾苗总数的一半.”若按照此比率偿还，则羊的主人应赔偿的粟的斗数为（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 设羊、骡子、马、牛吃的禾苗数依次为，，，，由题意得 通过等差中项可判断羊、骡子、马、牛吃的禾苗数依次成等差数列， 设该数列为，公差为，则．由题意得 即，解得. 故选：B. 2 学科网（北京）股份有限公司 $