5.2.1 第2课时 等差数列的性质-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教B版）

第2课时　等差数列的性质 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 了解数列的等差中项，能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质；并能运用等差数列的性质简化计算，能根据实例抽象出等差数列进行简单的应用. 1.等差数列的增减性 对于an=dn+（a1-d）， （1）当d>0时，数列{an}为递增数列. （2）当d<0时，数列{an}为递减数列. （3）当d=0时，数列{an}为常数列. 2.等差中项 （1）如果x，A，y是等差数列，那么称A为x与y的等差中项. （2）在一个等差数列中，中间的每一项（既不是首项也不是末项的项）都是它的前一项与后一项的等差中项. 3.等差数列的性质 一般地，如果{an}是等差数列，而且正整数s，t，p，q满足s+t=p+q，则as+at=ap+aq. （1）特别地，如果2s=p+q，则2as=ap+aq. （2）对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1+an=a2+an-1=…=ak+an-k+1=…. （3）若{an}是公差为d的等差数列，则 ①{c+an}（c为任一常数）是公差为d的等差数列； ②{can}（c为任一常数）是公差为cd的等差数列； ③{an+an+k}（k为常数，k∈N+）是公差为2d的等差数列. （4）若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan+qbn}（p，q是常数）是公差为pd1+qd2的等差数列. 基础落实训练 1.如果等差数列{an}中，a3+a4+a5=12，那么a4等于 （　　） A.2 B.3 C.4 D.5 解析：选C　 a3+a4+a5=3a4=12，a4=4. 2.等差数列{an}中，a3=7，a7=-5，则公差d= （　　） A.3 B.-3 C.2 D.-2 解析：选B　由题意得4d=a7-a3=-5-7=-12，所以d=-3. 3.已知等差数列{an}：1，0，-1，-2，…；等差数列{bn}：0，20，40，60，…，则数列{an+bn}是 （　　） A.公差为-1的等差数列 B.公差为20的等差数列 C.公差为-20的等差数列 D.公差为19的等差数列 解析：选D　（a2+b2）-（a1+b1）=（a2-a1）+（b2-b1）=-1+20=19，即数列{an+bn}是公差为19的等差数列. 4.若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{an+2an+2}是公差为　　　　的等差数列.  解析：（an+1+2an+3）-（an+2an+2）=（an+1-an）+2（an+3-an+2）=d+2d=3d. 答案：3d 题型（一）　 等差中项及应用 [例1]　已知2a=3b=m，ab≠0，且a，ab，b成等差数列，则m等于 （　　） A. B. C. D.6 解析：选C　∵2a=3b=m，∴a=log2m，b=log3m， ∵a，ab，b成等差数列，∴2ab=a+b. ∵ab≠0，∴+=2，∴=logm2，=logm3， ∴logm2+logm3=logm6=2（m>0），解得m=. [例2]　在-1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列. 解：∵-1，a，b，c，7成等差数列， ∴b是-1与7的等差中项，∴b==3. 又a是-1与3的等差中项，∴a==1. 又c是3与7的等差中项，∴c==5. ∴此数列为-1，1，3，5，7. 　　|思|维|建|模|　等差中项的计算 条件 若A是a与b的等差中项 计算公式 A= 　　[针对训练] 1.已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则2m-n和2n-m的等差中项是 （　　） A.8 B.6 C.4.5 D.3 解析：选D　∵m+2n=8，2m+n=10，∴3m+3n=18，∴m+n=6，∴2m-n和2n-m的等差中项是==3. 2.已知成等差数列，求证：也成等差数列. 证明：∵成等差数列，∴=+，即2ac=b（a+c）. ∵+=====， ∴成等差数列. 题型（二）　等差数列的性质及应用 [例3]　（1）已知{an}是等差数列，且a1-a3+a9-a15+a17=117，求a3+a15的值； （2）在等差数列{an}中，a2，a8是方程x2+mx-8=0的两根，若a4+a6=+1，求m的值. 解：（1）∵{an}是等差数列，∴a1+a17=a3+a15=2a9，∴a9=117，∴a3+a15=2a9=234. （2）因为a2，a8是方程x2+mx-8=0的两根， 所以a2+a8=-m，a2a8=-8，Δ=m2+32>0.在等差数列{an}中，a2+a8=a4+a6=2a5，又a4+a6=+1， 所以2a5=+1，所以a5=1，所以-m=a2+a8=2a5=2，所以m=-2. 　　[变式拓展] 若本例（2）变为“a3与a9是方程2x2-x+m=0的两根”，求. 解：因为a3与a9是方程2x2-x+m=0的两根，由根与系数的关系得a3+a9=. 因为数列{an}为等差数列，所以a1+a11=a2+a10=a3+a9=2a6=，a6=， 所以=====. 　　|思|维|建|模| 等差数列运算常用的两种思路 （1）根据已知条件，寻找、列出两个方程，确定a1，d，然后求其他； （2）利用性质巧解，其中m+n=k+l=2s（m，n，k，l，s∈N+）⇔am+an=ak+al=2as. 　　[针对训练] 3.已知等差数列{an}的前5项和S5=120，且a1+a2+a3=4（a4+a5），则公差d= （　　） A.-6 B.-7 C.-8 D.-9 解析：选C　由a1+a2+a3=4（a4+a5）可得S5=a1+a2+a3+a4+a5=5（a4+a5）=120⇒a4+a5=24，a1+a2+a3=3a2=96⇒a2=32， 故a2+a7=a4+a5⇒a7=-8，所以a7=a2+5d=-8，解得d=-8. 4.已知数列{an}满足3+an=且a2+a4+a6=9，则log6（a5+a7+a9）的值是 （　　） A.-2 B.- C.2 D. 解析：选C　由3+an=，得-an=3.所以{an}是公差为3的等差数列.又a2+a4+a6=9，且a2+a6=2a4， 所以3a4=9，则a4=3，所以a7=a4+3d=3+3×3=12，故log6（a5+a7+a9）=log6（3a7）=log636=2. 题型（三）　等差数列的实际应用 [例4]　某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km（不含4 km）计费10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付多少车费? 解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元. 所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费. 令a1=11.2，表示4 km处的车费，公差d=1.2， 那么当出租车行至14 km处时，n=11， 此时需要支付车费a11=11.2+（11-1）×1.2=23.2（元）.即需要支付车费23.2元. 　　[变式拓展] 　在本例中，若某人乘坐该市的出租车去往18.5 km（不足1 km，按1 km计费）处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需支付多少车费? 解：由题意知，当出租车行至18.5 km处时，n=16，此时需支付车费a16=11.2+（16-1）×1.2=29.2（元）.即需要支付车费29.2元. 　　|思|维|建|模| （1）解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息.若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列. （2）合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题. 　　[针对训练] 5.世界上最古老的数学著作《莱因德纸草书》中有一道这样的题目：把60磅面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的两份之和的是较小的三份之和，则最小的一份为 （　　） A.磅 B.磅 C.磅 D.磅 解析：选D　设五个人从小到大所得面包为a1，a2，a3，a4，a5，设其公差为d.则由题意可得（a4+a5）=a1+a2+a3，即（2a1+7d）=3a1+3d，整理可得d=4a1.又a1+a2+a3+a4+a5=60，即5a1+10d=60，即有a1+8a1=12，即a1=，即最小的一份为磅.故选D. 学科网（北京）股份有限公司 $