5.2.1 第2课时 等差数列的性质-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教B版）

第2课时　等差数列的性质 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学]

[课时目标]

了解数列的等差中项，能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质；并能运用等差数列的性质简化计算，能根据实例抽象出等差数列进行简单的应用.

 

1.等差数列的增减性

对于an=dn+（a1-d），

（1）当d>0时，数列{an}为递增数列.

（2）当d<0时，数列{an}为递减数列.

（3）当d=0时，数列{an}为常数列.

2.等差中项

（1）如果x，A，y是等差数列，那么称A为x与y的等差中项.

（2）在一个等差数列中，中间的每一项（既不是首项也不是末项的项）都是它的前一项与后一项的等差中项.

3.等差数列的性质

一般地，如果{an}是等差数列，而且正整数s，t，p，q满足s+t=p+q，则as+at=ap+aq.

（1）特别地，如果2s=p+q，则2as=ap+aq.

（2）对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1+an=a2+an-1=…=ak+an-k+1=….

（3）若{an}是公差为d的等差数列，则

①{c+an}（c为任一常数）是公差为d的等差数列；

②{can}（c为任一常数）是公差为cd的等差数列；

③{an+an+k}（k为常数，k∈N+）是公差为2d的等差数列.

（4）若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan+qbn}（p，q是常数）是公差为pd1+qd2的等差数列.

基础落实训练

1.如果等差数列{an}中，a3+a4+a5=12，那么a4等于 （　　）

A.2 B.3

C.4 D.5

解析：选C　 a3+a4+a5=3a4=12，a4=4.

2.等差数列{an}中，a3=7，a7=-5，则公差d= （　　）

A.3 B.-3 

C.2 D.-2

解析：选B　由题意得4d=a7-a3=-5-7=-12，所以d=-3.

3.已知等差数列{an}：1，0，-1，-2，…；等差数列{bn}：0，20，40，60，…，则数列{an+bn}是              （　　）

A.公差为-1的等差数列

B.公差为20的等差数列

C.公差为-20的等差数列

D.公差为19的等差数列

解析：选D　（a2+b2）-（a1+b1）=（a2-a1）+（b2-b1）=-1+20=19，即数列{an+bn}是公差为19的等差数列.

4.若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{an+2an+2}是公差为　　　　的等差数列. 

解析：（an+1+2an+3）-（an+2an+2）=（an+1-an）+2（an+3-an+2）=d+2d=3d.

答案：3d

题型（一）　 等差中项及应用

[例1]　已知2a=3b=m，ab≠0，且a，ab，b成等差数列，则m等于 （　　）

A. B.

C. D.6

解析：选C　∵2a=3b=m，∴a=log2m，b=log3m，

∵a，ab，b成等差数列，∴2ab=a+b.

∵ab≠0，∴+=2，∴=logm2，=logm3，

∴logm2+logm3=logm6=2（m>0），解得m=.

[例2]　在-1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列.

解：∵-1，a，b，c，7成等差数列，

∴b是-1与7的等差中项，∴b==3.

又a是-1与3的等差中项，∴a==1.

又c是3与7的等差中项，∴c==5.

∴此数列为-1，1，3，5，7.

　　|思|维|建|模|　等差中项的计算

 

　　[针对训练]

1.已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则2m-n和2n-m的等差中项是 （　　）

A.8 B.6

C.4.5 D.3

解析：选D　∵m+2n=8，2m+n=10，∴3m+3n=18，∴m+n=6，∴2m-n和2n-m的等差中项是==3.

2.已知成等差数列，求证：也成等差数列.

证明：∵成等差数列，∴=+，即2ac=b（a+c）.

∵+=====，

∴成等差数列.

题型（二）　等差数列的性质及应用

[例3]　（1）已知{an}是等差数列，且a1-a3+a9-a15+a17=117，求a3+a15的值；

（2）在等差数列{an}中，a2，a8是方程x2+mx-8=0的两根，若a4+a6=+1，求m的值.