2026年中考数学一轮复习 第14讲 全等三角形【2大考点21大题型】

第14讲 全等三角形（举一反三复习讲义） 【2大考点21大题型】 中考考情分析（结合2023-2026年中考趋势） 2 （一）考查分值 2 （二）考查题型 2 （三）高频考点（2023-2026 年重点） 2 （四）命题趋势（2026 年预测） 2 （五）复习建议 3 考点一 全等三角形的基本性质 3 【题型1 全等三角形的概念和性质】 4 【题型2 全等三角形的判定】 7 【题型3 添加条件使得三角形全等】 13 【题型4 灵活选用判定方法证明全等】 17 【题型5 结合尺规作图的全等问题】 19 【题型6 证明一条线段是两条线段的和与差】 24 【题型7 角平分线的性质与判定】 30 【题型8 线段的垂直平分线】 33 考点二 常考的全等模型 38 【题型9 公共边模型】 41 【题型10 公共角模型】 49 【题型11 X模型】 60 【题型12 角平分线模型】 70 【题型13 垂直模型】 79 【题型14 一线三等角模型】 86 【题型15 手拉手模型】 94 【题型16 半角模型】 104 【题型17 做平行线法模型】 115 【题型18 做垂线模型】 124 【题型19 倍长中线模型】 135 【题型20 截长补短模型】 144 【题型21 旋转模型】 152 特色专项练 161 【新考向：新考法】 161 【新考向：新情境】 166 【新考向：跨学科】 174 中考真题练 175 中考考情分析（结合2023-2026年中考趋势） 全等三角形是中考几何核心模块，是几何推理、证明的基础，衔接相似三角形、四边形，近 4 年坚持 “素养立意”，侧重推理能力与规范表达，核心考情如下： （一）考查分值 全国各省市中考中，分值 6～10 分，占总分 6%～10%，覆盖选择、填空、解答题，属重点必拿分模块，常作为几何综合题的基础铺垫。 （二）考查题型 基础题型（60%）：选择、填空，考查全等三角形的判定定理、性质应用； 中档题型（30%）：解答题，考查全等三角形的判定与性质综合证明； 压轴题型（10%）：结合几何图形（四边形、折叠），考查全等与其他知识综合应用。 （三）高频考点（2023-2026 年重点） 核心：全等三角形判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）； 必考：全等三角形的性质（对应边相等、对应角相等）及简单证明； 高频：利用全等证明边相等、角相等，衔接后续几何推理。 （四）命题趋势（2026 年预测） 整体难度适中，侧重判定定理的灵活运用与证明规范； 常与角平分线、垂线、折叠等知识结合，强化综合推理； 重点考查判定定理的选择、证明步骤规范，规避判定条件遗漏、对应关系混淆。 （五）复习建议 牢记 5 种判定定理，明确每种定理的适用条件（如 HL 仅适用于直角三角形）； 规范证明步骤，找准对应边、对应角，避免推理逻辑混乱； 专项训练综合证明题，培养几何推理能力，突破对应关系判断易错点。 考点一 全等三角形的基本性质 1、全等三角形的概念 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 2、全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。 3、三角形全等的判定 (1)边边边(SSS)：三边分别相等的两个三角形全等。 (2)边角边(SAS)：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。 (3)角边角(ASA)：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。 (4)角角边(AAS)：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等。 (5)斜边、直角边(HL)：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 4、全等变换 只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。 全等变换包括一下三种： （1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。 （2）对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。 （3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。 【题型1 全等三角形的概念和性质】 【例1】 （2025·江苏无锡·中考真题）如图，在矩形中，点在延长线上，点在延长线上，且，连接、． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质： （1） 结合矩形的性质，根据“边角边”证明； （2）根据全等三角形的对应边相等得，结合，可得． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ，， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ， 又， ， ． 【变式1-1】 （2025·四川内江·中考真题）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)11 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先根据平行线的性质得到，再由“”直接证明即可； （2）由，，再由线段和差即可得到，最后由即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1-2】 （2025·四川南充·中考真题）如图，在五边形中，． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边对等角等知识点，灵活运用相关判定与性质成为解题的关键． （1）先说明，再根据即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，再根据等边对等角的性质可得，然后根据角的和差即可证明结论． 【详解】（1）证明：， ． ． 在与中， ． （2）解：， ． ， ． ， ． 【变式1-3】 （2024·江苏南京·中考真题）如图，在的内接四边形中，，对角线是的直径．求证：四边形是矩形．    【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的判定，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．由是的直径，可得，证明，得到，可证明四边形是平行四边形，即可解答． 【详解】证明：是的直径， ，     在和中， ， ，     ， 又， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形． 【题型2 全等三角形的判定】 【例2】 （2025·四川绵阳·中考真题）如图，在正方形中，点在的延长线上，点是的中点，连接并延长交于点，连接，则（） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】先根据正方形边长和已知条件求出各线段长度，通过证明三角形全等得到的长度，再利用勾股定理求出、、的长度，最后通过勾股定理逆定理判断三角形形状，进而求出． 【详解】解：∵正方形中，， ∴，． ∵， ∴． ∵是的中点， ∴． ∵，，， ∴（）， ∴，． 在中，，， ∴． 在中，，， ∴． 在中，，， ∴． ∵， ∴是直角三角形，且． ∴． 故选：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及勾股定理逆定理、锐角三角函数的定义，熟练掌握正方形的性质并结合全等三角形和勾股定理求解线段长度是解题的关键． 【变式2-1】 （2023·辽宁大连·中考真题）如图，在和中，延长交于点，，，，求证：． 【答案】证明过程见解析 【分析】本题主要考查了利用全等三角形的判定条件来证明两个三角形全等，准确分析条件并判断是解题的关键． 根据等量代换得到，证明，可得出结论． 【详解】证明：， ， 在和中， ， ， ． 【变式2-2】 （2025·山东淄博·中考真题）如图，是以正方形的顶点为圆心，为半径的弧上的点，连接，，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连接．若，则的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理；过点Q作于点E，过点C作交延长线于点F，连接交弧于点，则可得到，即可得到，根据垂线段最短和三角形三边关系得到，即可得到点P在时，的值最大为长，利用勾股定理和三角形的面积公式计算解答即可． 【详解】解：过点Q作于点E，过点C作交延长线于点F，连接交弧于点， 则， 又∵， ∴， ∴， 由旋转得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即当点P在时，的值最大为长， ∵是正方形， ， ∴， ∴的值最大为， ∴的最大面积是， 故选：C． 【变式2-3】 （2025·山东济南·中考真题）如图，是的直径，C为上一点，P为外一点，，且，连接． (1)求证：与相切； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用平行线的性质及等边对等角，通过等量代换可得，进而证明，推出，即可证明与相切； （2）由可推出垂直平分，利用等面积法求出，进而求出，由圆周角定理得，最后用勾股定理解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 与相切； （2）解：如图，连接交于点D， ， ，， 垂直平分， ，，， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ． 【点睛】本题考查切线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键． 【题型3 添加条件使得三角形全等】 【例3】 （2024·山东德州·中考真题）如图，C是的中点，，请添加一个条件________，使． 【答案】或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定定理，是解决问题的关键． 要使，已知，，则可以添加一对边，从而利用来判定其全等，或添加一对夹角，从而利用来判定其全等（填一个即可，答案不唯一）． 【详解】解：∵C是的中点， ∴， ∵， ∴添加或， 可分别根据判定（填一个即可，答案不唯一）． 故答案为：或． 【变式3-1】 （2024·山东淄博·中考真题）如图，已知，点，在线段上，且． 请从①；②；③中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得． 你添加的条件是：__________（只填写一个序号）． 添加条件后，请证明． 【答案】①（或②） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质及平行线的判定，解答的关键是熟记全等三角形的判定定理与性质并灵活运用．利用全等三角形的判定定理进行分析，选取合适的条件进行求解，再根据全等三角形的性质及平行线的判定证明即可． 【详解】解：可选取①或②（只选一个即可）， 证明：当选取①时， 在与中， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ； 证明：当选取②时， 在与中， ， ， ，， ， ， 在与中， ， ， ， ； 故答案为：①（或②） 【变式3-2】 （2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，中，D是上一点，，D、E、F三点共线，请添加一个条件______，使得．（只添一种情况即可） 【答案】或（答案不唯一） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定解答．根据题目中的条件和全等三角形的判定，可以写出添加的条件，注意本题答案不唯一． 【详解】解：∵ ∴，， ∴添加条件，可以使得， 添加条件，也可以使得， ∴； 故答案为：或（答案不唯一）． 【变式3-3】 （2024·江苏盐城·中考真题）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，，． 若________，则． 请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 【答案】①或③（答案不唯一），证明见解析 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，①根据平行线的性质得出，再由全等三角形的判定和性质得出，结合图形即可证明；②得不出相应的结论；③根据全等三角形的判定得出，结合图形即可证明；熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 【详解】解：选择①； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； 选择②； 无法证明， 无法得出； 选择③； ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴，即； 故答案为：①或③（答案不唯一） 【题型4 灵活选用判定方法证明全等】 【例4】 （2024·黑龙江大庆·中考真题）下列说法正确的是(    ) A．若，则 B．一件衣服降价20%后又提价20%，这件衣服的价格不变 C．一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等 D．若一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是六边形 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质，一元一次方程的应用，全等三角形的判定，多边形的外角与内角和问题，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. 若，且，则，故该选项不正确，不符合题意； B. 设原价为元，则提价%后的售价为：元； 后又降价的售价为：元． 一件衣服降价后又提价， 这件衣服的价格相当于原价的，故该选项不正确，不符合题意； C. 一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形不一定全等，相等的边不一定对应，故该选项不正确，不符合题意； D.设这个多边形的边数为， ∴由题意得：， ， ， 即这个多边形的边数是6；故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【变式4-1】 （2025·四川成都·模拟预测）如图，，，，那么图中的全等三角形有（   ） A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，先由平行线的性质得到，，再证明，，得到，进一步可证明，据此可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， 又∵， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴图中的全等三角形一共有3对， 故选：B． 【变式4-2】 （2025·湖南娄底·三模）下列命题中，正确的是（      ） A．三角形的重心是三条角平分线的交点 B．五边形的外角和为 C．菱形是轴对称图形，但不是中心对称图形 D．三个角对应相等的两个三角形全等 【答案】B 【分析】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据三角形的重心的概念、多边形的外角和、菱形的性质、全等三角形的判定判断即可． 【详解】解：A、三角形的重心是三条中线的交点，故本选项是假命题，不符合题意； B、五边形的外角和为，是真命题，符合题意； C、菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项是假命题，不符合题意； D、三个角对应相等的两个三角形不一定全等，故本选项是假命题，不符合题意； 故选：B． 【变式4-3】 （2025·江西新余·模拟预测）下列命题中，是真命题的是（   ） A．有两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等 B．平分弦的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧 C．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形 D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 【答案】C 【分析】本题考查了命题真假的判断，涉及全等三角形的判定，垂径定理，平行四边形的判定及平行线的性质等知识；根据这些知识判断即可． 【详解】解：A、有两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，原说法错误； B、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，原说法错误； C、一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，原说法正确； D、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，原说法错误； 故选：C． 【题型5 结合尺规作图的全等问题】 【例5】 （24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，已知与，分别以点，为圆心，以同样长为半径画弧，分别交，于点，，交，于点，，以点为圆心，以长为半径画弧，在的内部交弧于点．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定与性质是解题的关键．连接和，根据全等三角形的判定及性质即可求解． 【详解】解：连接和， 由作图过程可知， ，，， 在和中， ， 所以， 所以． 故选：D． 【变式5-1】 （2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，正方形网格中每个小正方形的边长均为1，线段的两个端点均在小正方形的顶点上． (1)在网格中画菱形，点 C、D在小正方形的顶点上，直接写出四边形的周长； (2)用无刻度的直尺利用网格，过点B画的垂线，垂注为E，直接写出的长． 【答案】(1)图见解析，四边形的周长为20 (2)图见解析， 【分析】本题主要考查了菱形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定， 对于（1），先根据勾股定理求出，作且，可知四边形是菱形，再求出周长即可； 对于（2），标注各点，根据题意可知，取点H，G，使，且，所以，可得，再由，即，可得；再说明，可得，所以． 【详解】（1）解：如图所示，菱形的周长为； （2）解：如图所示，． 【变式5-2】 （24-25八年级下·广东阳江·期中）如图， 在中， ， 分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了基本的尺规作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握基本的尺规作图和全等三角形的判定定理． 通过尺规作图操作得出相等的边，然后利用边边边证出两个三角形全等，利用全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：通过尺规作图操作可得， 又， ∴， ， 故选：B． 【变式5-3】 （2025·福建南平·二模）如图，在等腰三角形中，，点为边上的点． (1)尺规作图：在的外侧作，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图形中，当时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了利用尺作一个三角形，全等三角形的判定与性质综合，解直角三角形等知识，解题关键是掌握上述知识，并能熟练运用求解． （1）法一，利用作全等三角形；法二：利用作全等三角形；法三：通过作一次垂直构造全等三角形；法四：通过作两次垂直构造全等三角形； （2）先利用等腰直角三角形的性质，说明，再设，可用表示出，接着用表示出，就可用表示出，然后利用全等三角形的性质证得，就可求得的值． 【详解】（1）解：作图． 法一：作．   法二：作． 法三：作．     法四：作． 如图所示，即为所作的三角形． （2）过点作，垂足为点， 等腰三角形中，， ， 设，则， ， ． 又， ， ． 【题型6 证明一条线段是两条线段的和与差】 【例6】 （22-23八年级上·重庆江北·期末）如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的定义、三角形外角的性质，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 在上截取点使得，连接，根据角平分线的定义得到，，进而得到，先证明，得到，再证明，推出，再利用三角形的周长公式求出的长，即可得出答案． 【详解】解：如图，在上截取点使得，连接， ∵， ∴， ∵和的平分线、相交于点O， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，， ∵周长为20，， ∴， 即， 解得， ∴， 故选：B． 【变式6-1】 （2024·河北·模拟预测）课堂上老师给出问题∶在中，，使用尺规在上作出点 P，使得．如图1是给出的部分作图痕迹，图2是嘉嘉和淇淇各自补充的作图，则下列选项说法正确的是（   ） A．嘉嘉，淇淇的作法都对 B．嘉嘉，淇淇的作法都不对 C．嘉嘉的作法对，淇淇的作法不对 D．嘉嘉的作法不对，淇淇的作法对 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，尺规作图---作角平分线，作一个角等于已知角，作垂线，熟练掌握各知识点是解题的关键． 由嘉嘉的尺规作图痕迹可得，证明即可得到；由淇淇的尺规作图痕迹可得，然后证明即可得到． 【详解】解：由图1可得平分， 则， 由嘉嘉的尺规作图痕迹可得， 则， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴嘉嘉的作法正确； 由淇淇的尺规作图痕迹可得， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴淇淇的作法正确， 故选：A． 【变式6-2】 （22-23九年级·全国·单元测试）已知、、、顺次在圆上，，于点，求证：． 【答案】见解析 【分析】在上截取，连结，证明，得到，即可得到． 【详解】证明：在上截取，连结，如图， ∵，而， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握截长补短法证明线段之间的和差关系，是解题的关键． 【变式6-3】 （25-26八年级上·广东潮州·期中）如图，，点E在线段上，分别是、的角平分线， (1)线段与有怎样的位置关系？请说明理由． (2)若，，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)5 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定和性质， （1）先根据角平分线得，再根据就可得出，即可得出结论； （2）在上截取，先证，再证，即可得出答案． 【详解】（1）解：，理由如下： 分别是、的角平分线， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，在上截取，连接， 分别是、的角平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【题型7 角平分线的性质与判定】 【例7】 （2026八年级下·上海徐汇·专题练习）如图，在中，E为上一点，F为上一点，且与交于点G，求证：． 【答案】见详解 【分析】过点C作于点N，于点H，连接，根据等积法可得，进而即可得到结论． 【详解】解：过点C作于点N，于点H，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分， ∴． 【变式7-1】 （25-26九年级下·广东广州·月考）如图，在中，，平分，，，则点B到的距离为______． 【答案】 【分析】作于，，交的延长线于点，根据角平分线的性质得，根据三角函数求出即的长，最后利用等面积法即可求解． 【详解】解：作于，，交的延长线于点， 平分，，即， ， ，， ， ， 在中，， 中， ， ，即， ， 中，， ，即， ，即点B到的距离为． 【变式7-2】 （25-26八年级下·陕西西安·开学考试）如图，中，，，请你用尺规在的边上求作一点M，使得点M到的距离等于．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】作的角平分线交边于点M即可． 【详解】解：如图，点M即为所求． 证明：根据角平分线的性质可知点M到的距离等于点M到的距离， 即点M到的距离等于． 【变式7-3】 （24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在中，于点平分交于点E． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）由于点D，得，则，由，得，推导出，而，则，即可证明为等腰三角形； （2）由，推导出，则，因为，所以，则，由，得，则，求得． 【详解】（1）证明：∵于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分交于点E， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长为3． 【题型8 线段的垂直平分线】 【例8】 （2026年吉林省长春市九年级阶段性练习数学（一模数学试题））如图，在中，，，．分别以点和点为圆心、相同长度（大于线段长的一半）为半径作弧，两弧分别相交于点和点，作直线交于点．连接，则的周长是（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【分析】根据线段垂直平分线的性质得出，求出，即可求出结论． 【详解】解：由题意得：是线段的垂直平分线， ， 在中，，，， ， 则的周长． 【变式8-1】 （25-26九年级下·广东广州·月考）如图，、是的两条直径，且，，P为直径上一动点．若的直径，则周长的最小值是（   ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】连接、，交于P，则周长的最小值，根据已知条件得到，求出，，于是得到结论． 【详解】解：连接、，交于P， ∵、是的两条直径，且， ∴与互相垂直平分， ∴, ∴周长的最小值， ∵ ， ， ∵是的直径， ， ∵， ，， ∴周长的最小值． 【变式8-2】 （24-25八年级上·宁夏银川·期中）请回忆北师大版八年级上册数学教材的部分内容，该内容阐述了垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等；并给出了证明的方法． (1)结合图①，用几何语言表示上述定理 几何语言：​ ∵ ∴ （ ） (2)如图②，在△ABC中，直线m、n分别是边的垂直平分线，直线m、n交于点O，过点O作于点H．求证：． (3)如图③，在△ABC中，，边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E．若，求的值是多少？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)3 【分析】（1）根据题意，利用几何语言作答； （2）连接，利用线段的垂直平分线的性质推出，即可解答； （3）连接，证明是等边三角形，然后根据等边三角形的性质即可解答． 【详解】（1）解：几何语言：​于点，，点为上一点， ∴（线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）； （2）证明：如图，连接， 直线m是边的垂直平分线， ， 直线n是边的垂直平分线， ， ， ， ； （3）解：连接， ， 边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E， ， ， ， 是等边三角形． ， ， ． 【变式8-3】 （24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图所示，E为边长是4的正方形的边的中点，M为上一点，N为上一点，连接、、，则四边形周长的最小值为（　　） A．10 B．12 C． D． 【答案】B 【分析】延长至，使，延长至，使，连接，交于M，交于N，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据两点之间线段最短可知，就是四边形周长的最小值，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，延长至，使，延长至，使，连接，交于M，交于N， ∵四边形是正方形， ∴， ∴垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴四边形周长， 根据两点之间线段最短可知，就是四边形周长的最小值． ∵E为边长是4的正方形的中点， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形周长的最小值为． 考点二 常考的全等模型 1.平移模型 把△ABC沿着某一条直线l平行移动，所得到△DEF与△ABC称为平移型全等三角形，图①，图②是常见的平移型全等三角线. 2.轴对称模型 将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为轴对称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等. 3.旋转模型 将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共角的条件. 4.一线三等角模型 三个等角的顶点在同一条直线，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角.这个模型称为一线三等角模型. （同侧）已知∠A=∠CPD=∠B=∠α，CP=PD （异侧）已知∠EAC=∠ABD=∠DPC=∠α，CP=PD 5.截长补短模型 该模型适用于求证线段的和差倍分关系，该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明。其中截长指在长线段中截取一段等于已知线段，补短指将短线段延长，使短线段加上延长线段长度等于长线段。 (1)截长: 在较长线段上截取一段等于某一短线段, 再证剩下的那一段等于另一短线段。 如图, 求证BE+DC=AD； 方法:①在AD上取一点F,使得AF=BE,证DF=DC;②在AD上取一点F,使DF=DC,证AF=BE (2)补短:将短线段延长,证与长线段相等 6.倍长中线模型 当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，使得延长后的线段是原中线的二倍，从而构造一对全等三角形(SAS)，并将已知条件中的线段和角进行转移. 已知点D为∆ABC中BC边中点，延长线段AD到点E使AD=DE, 1）连接EC,则∆ABD≌∆ECD，AB∥CE 2）连接BE,则∆ADC≌∆EDB，AC∥BE 7.手拉手模型 两个顶角相等的等腰三角形共用顶角顶点，分别连接对应的两底角顶点，从而可以得到一个经典的全等模型.因为顶点相连的四条边，形象可以看作两双手，通常称为“手拉手模型”. 如图，△ABC是等腰三角形、△ADE是等腰三角形，AB=AC，AD=AE， ∠BAC=∠DAE=α。结论：△BAD≌△CAE。 8.半角模型 当一个角包含着该角的半角，如90°角包含着45°角，120°角包含着60°角，270°角包含着135°角，即出现倍角关系，且这两个角共顶点，共顶点的两条边相等，则该模型为半角模型。解题方法为：1）过公共点作旋转，2）截长补短的方法构造全等解题。 如图：已知∠2=∠AOB，OA=OB 【题型9 公共边模型】 【例9】 （23-24八年级上·湖南长沙·期中）如图，在四边形中，，为上一点，连接，交于点，且， (1)连接，求证：直线是线段的垂直平分线； (2)求证：是等边三角形； (3)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）通过 SSS 证明三角形全等，结合等腰三角形三线合一证明垂直平分线； （2）先证是等边三角形，再利用平行线的性质得角相等，进而证明三个角均为； （3）利用平行线的性质、等边三角形的性质，结合直角三角形的边角关系求CF的长． 【详解】（1）证明：连接， ∵，，； ； ； 垂直平分(等腰三角形三线合一）; ∴直线是线段的垂直平分线； （2）证明：，， 是等边三角形． ． ， ，， ， 是等边三角形； （3）解：如图所示， ，， 是的垂直平分线， 即． ，， ． ， ， ， ． 是等边三角形， ， ． 【点睛】本题考查垂直平分线的判定、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定等知识点，解题中用到的思想有转化思想（将垂直平分线的证明转化为三角形全等与等腰三角形性质）、数形结合思想（结合图形推导角的关系）；方法技巧是利用全等三角形证角相等、利用平行线的性质转移角的度数、利用等边三角形的角特征判定图形形状．解题关键是熟练掌握垂直平分线的判定条件、等边三角形的判定定理，准确推导角与边的关系．易错点是在证明等边三角形时忽略角的推导过程，或在求线段长度时未能准确利用直角三角形的边角关系． 【变式9-1】 （24-25九年级上·浙江·期末）如图，为的直径，点是半径上一动点（不与，重合），过点作弦垂直，连接，，以为直角边作等腰，且，连接，分别与和交于、两点． (1)求证：； (2)求证：； (3)当点在半径上运动时，的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)不变，，理由见解析． 【分析】（1）根据垂径定理及等腰三角形的性质得，再根据同弧所对的圆周角相等得，即可得出答案； （2）先根据“边角边”证明，可得， ，由（1）得，进而得出，然后根据是等腰直角三角形，可知，接下来说明，再最后根据勾股定理得出答案； （3）连接，先说明，可得，再证明，然后根据勾股定理得，即可得出答案． 【详解】（1）证明： ， ∵是等腰直角三角形， ∴ ； （2）证明：如图， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据勾股定理，得 ∵， ， ； （3）解：不变，，理由如下： 如图，连接， ， ∵ 根据勾股定理，得即 ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，垂径定理，勾股定理，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，同弧(等弧)所对的圆周角相等，作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 【变式9-2】 （23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，是四边形的对角线，，过点B作交于点E，若，，，，则的长为______．    【答案】 【分析】根据题意连接作利用证明，进而利用证明，结合勾股定理进行分析求解． 【详解】解：连接,作    设 得 解得：即 又 设 由勾股定理可得： 即有 解得： 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定以及勾股定理的应用，熟练结合题目条件作出对应辅助线证明全等并利用勾股定理进行分析求解是解题的关键． 【变式9-3】 （22-23八年级下·江苏无锡·期中）如图，P为的边上的一点，E，F分别为，的中点，三角形，，的面积分别为S，S1，S2．若，则的值是（　　）    A．24 B．12 C．6 D．10 【答案】B 【分析】过P作平行于，由与平行，得到平行于，可得出四边形与都为平行四边形，进而确定出与面积相等，与面积相等，再由为的中位线，利用中位线定理得到为的一半，且平行于，得出与相似，相似比为1：2，面积之比为1：4，求出的面积，而面积＝面积+面积，即为面积+面积，即为平行四边形面积的一半，即可求出所求的面积． 【详解】解：过P作交BC于点Q，由，得到，    ∴四边形与四边形都为平行四边形， ∴，， ∴，， ∵为的中位线， ∴，， ∴，且相似比为1：2， ∴，， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键． 【题型10 公共角模型】 【例10】 （2022·湖北襄阳·中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线． (1)作∠ACB的角平分线，交AB于点E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：AD＝AE． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）按照角平分线的作图步骤作图即可． （2）证明△ACE≌△ABD，即可得出AD＝AE． 【详解】（1）解：如图所示，CE即为所求． （2）证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵BD是∠ABC的角平分线，CE是∠ACB的角平分线， ∴，， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵AB＝AC，∠A＝∠A， ∴△ACE≌△ABD（ASA）， ∴AD＝AE． 【点睛】本题考查尺规作图、全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的作图步骤以及全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 【变式10-1】 （21-22八年级上·吉林·期中）在中，∠BAC＝90°，，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为直角边在AD右侧作等腰直角三角形ADE（，），连接CE． （1）如图1，当点D在线段BC上时，猜想：BC与CE的位置关系，并说明理由； （2）如图2，当点D在线段CB的延长线上时，（1）题的结论是否仍然成立？说明理由； （3）如图3，当点D在线段BC的延长线上时，结论（1）题的结论是否仍然成立？不需要说明理由． 【答案】（1）BC⊥CE，见解析；（2）成立，见解析；（3）成立 【分析】（1）先证∠2=∠3，再证△ABD≌△ACE（SAS），得出∠4=∠5，求出∠4=∠6=45°，∠5=45°即可； （2）先证∠2=∠3，再证△ABD≌△ACE（SAS），得出∠ABD=∠ACE，求出∠ABC=∠ACB=45°，得出∠ABD=∠ACE=135°即可； （3）先证∠BAD=∠CAE，再证△ABD≌△ACE（SAS），得出∠ABD=∠ACE，再求∠ABC=∠ACB=45°，得出∠ABD=∠ACE=45°． 【详解】解：（1）BC与CE的位置关系是BC⊥CE，理由是： ∵∠BAC=∠DAE=90°， ∴∠BAC-∠1=∠DAE-∠1， 即∠2=∠3， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠4=∠5， ∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠4=∠6=45°， ∴∠5=45°， ∴∠BCE=∠5+∠6=45°+45°=90°， 即BC⊥CE； （2）成立.理由是： ∵∠BAC=∠DAE=90°， ∴∠BAC-∠1=∠DAE-∠1， 即∠2=∠3， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD=∠ACE， ∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=45°， ∴∠ABD=∠ACE=135°， ∴∠BCE=∠ACE-∠ACB=135°-45°=90°， 即BC⊥CE； （3）成立 ∵∠BAC=∠DAE=90°， ∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD， 即∠BAD=∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD=∠ACE， ∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=45°， ∴∠ABD=∠ACE=45°， ∴∠BCE=∠ACE+∠ACB=45°+45°=90°． 【点睛】本题考查图形变换中结论问题，等腰直角三角形性质，三角形全等判定与性质，角的和差运用，直线位置关系，掌握等腰直角三角形性质，三角形全等判定与性质，角的和差运用，直线位置关系垂直的证法是解题关键． 【变式10-2】 （21-22八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在四边形ABCD中，∠DAB+∠DCB＝180°，AC平分∠DAB． （1）如图1，求证：BC＝CD； （2）如图2，连接BD交AC于点E，若∠ADB＝90°，AE＝2DE，求∠ABD的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，过点C作CH⊥AB于点H，△BCH沿BC翻折，点H的对应点为点F，点G在线段AB上，连接FG，若∠CGF＝30°，S△CHG＝9，求线段CG的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）CG=6 【分析】（1）过点C作CP⊥AB于点P，作CQ⊥AD的延长线于点Q，证明△CQD≌△CPB，即可得到答案； （2）延长ED，让MD=ED，△AME是等边三角形，然后利用等边三角形的性质和角平分线的定义即可求得答案； （3）延长GC，过点F作FK⊥GC的延长线于点K，过点H作HL⊥GF于点L，连接HF，通过证明△CFK≌△HFL，得到FK=FL，又有直角三角形中所对的直角边是斜边的一半，求得FK=GF，根据等腰三角形的三线合一，进一步求得∠FGH=，从求得到∠GCH=，然后在直角三角形中利用勾股定理求解即可得答案． 【详解】解：（1）过点C作CP⊥AB于点P，作CQ⊥AD的延长线于点Q，如下图： ∵AC平分∠DAB，CP⊥AB，CQ⊥AD ∴CQ=CP 在四边形APCQ中，∠APC=∠AQC= ∴∠QAP+∠PCQ= 又∵∠DAB+∠DCB＝180° ∴∠PCQ=∠DCB ∴∠QCD+∠DCP=∠DCP+∠PCB ∴∠QCD=∠PCB 又∵∠CQD=∠CPB= ∴△CQD≌△CPB（ASA） ∴CD=CB （2）延长ED，让MD=ED，如下图： ∵∠ADB＝90° ∴AD⊥ME 又∵MD=ED ∴AM=AE，ME=2DE 又∵AE=2DE ∴ME=AE=AM ∴△AME是等边三角形 ∴ 又∵∠ADE＝90° ∴ ∵AC平分∠DAB ∴ 又∵ ∴ （3）延长GC，过点F作FK⊥GC的延长线于点K，过点H作HL⊥GF于点L，连接HF，如下图： ∵在中， ∴∠HCB= 又∵折叠 ∴CH=CF, ∠HCB=∠FCB= ∴∠HCF= ∴△CHF是等边三角形 ∴∠CFH=∠CHF=，CF=HF 又∵在中，∠CGF=，∠GKF= ∴∠GFK= ∴∠CFH=∠GFK ∴∠CFK+∠CFG=∠CFG+∠HFL ∴∠CFK=∠HFL 又∵∠CKF=∠LHF=，CF=HF ∴△CFK≌△HFL ∴FK=FL 又∵在中，∠CGF= ∴FK=GF ∴FL=GF ∴GL=FL 又∵HL⊥GF ∴HG=HF ∴∠FGH=∠GFH 又∵∠CHF=，∠CHB= ∴∠FHB=∠CHB-∠CHF= ∴∠FGH= ∴∠CGH=∠CGF+∠FGH= 又∵∠CHG= ∴∠GCH= ∴GH=CH，△GCH是等腰直角三角形 又∵ ∴ ∴ 在中，由勾股定理得： ∵CG＞0 ∴CG=6 【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，含的直角三角形性质，等边三角形的性质和判定，直角三角形的勾股定理等知识点，能够熟练利用化归的思想和数形结合的思想去解题，是本题的重点． 【变式10-3】 （21-22八年级上·福建福州·期中）如图1，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点E，F分别为AB，AC的中点，H为线段EF上一动点（不与点E，F重合），过点A作AG⊥AH且AG＝AH，连接GC，HB． （1）证明：AHB≌AGC； （2）如图2，连接GF，HG，HG交AF于点Q． ①证明：在点H的运动过程中，总有∠HFG＝90°； ②当AQG为等腰三角形时，求∠AHE的度数． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②当△AQG为等腰三角形时，∠AHE的度数为67.5°或90°． 【分析】（1）根据SAS可证明△AHB≌△AGC； （2）①证明△AEH≌△AFG（SAS），可得∠AFG=∠AEH=45°，从而根据两角的和可得结论； ②分两种情况：i）如图3，AQ=QG时，ii）如图4，当AG=QG时，分别根据等腰三角形的性质可得结论． 【详解】（1）证明：如图1， 由旋转得：AH=AG，∠HAG=90°， ∵∠BAC=90°， ∴∠BAH=∠CAG， ∵AB=AC， ∴△ABH≌△ACG（SAS）； （2）①证明：如图2，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°， ∴∠ABC=∠ACB=45°， ∵点E，F分别为AB，AC的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF∥BC，AE=AB，AF=AC， ∴AE=AF，∠AEF=∠ABC=45°，∠AFE=∠ACB=45°， ∵∠EAH=∠FAG，AH=AG， ∴△AEH≌△AFG（SAS）， ∴∠AFG=∠AEH=45°， ∴∠HFG=45°+45°=90°； ②分两种情况： i）如图3，AQ=QG时， ∵AQ=QG， ∴∠QAG=∠AGQ， ∵AG⊥AH且AG=AH， ∴∠AHG=∠AGH=45°， ∴∠AHG=∠AGH=∠HAQ=∠QAG=45°， ∴∠EAH=∠FAH=45°， ∵AE=AF，AH=AH， ∴△AEH≌△AFH（SAS）， ∴∠AHE=∠AHF， ∵∠AHE+∠AHF=180°， ∴∠AHE=∠AHF=90°； ii）如图4，当AG=QG时，∠GAQ=∠AQG， ∵∠AEH=∠AGQ=45°， ∴∠GAQ=∠AQG==67.5°， ∵∠EAQ=∠HAG=90°， ∴∠EAH=∠GAQ=67.5°， ∴∠AHE=∠AQG=67.5°； ∵H为线段EF上一动点（不与点E，F重合）， ∴不存在AG=AQ的情况． 综上，当△AQG为等腰三角形时，∠AHE的度数为67.5°或90°． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，也考查了全等三角形的判定与性质，第二问要注意分类讨论，不要丢解． 【题型11 X模型】 【例11】 （25-26九年级上·辽宁抚顺·月考）已知中，，．以为旋转中心，将顺时针方向旋转，得到． (1)如图，当点在线段的延长线上时，求证：； (2)如图，当点在线段的延长线上时，过点作，交于点，延长至，使，过点作，交于点，过点作，交于点． ①求（用含的式子表示）； ②求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析 【分析】（1）根据旋转的性质得到，求出的度数，从而得到，判定； （2）①根据旋转的性质，得到，而，从而用含的式子表示出； ②如图，取线段中点，连接，则，然后证明，从而得到． 【详解】（1）证明：∵以为旋转中心，将顺时针方向旋转，得到， ， ，， ， ， ∴， ∴； （2）①解：∵以为旋转中心，将顺时针方向旋转，得到， ， ，，． ． ． ， ， ． ②证明：如图，取线段中点，连接， ∵，是直角三角形． ∴， 是等腰三角形． ． ∵， ， ． ∵， ． 由①，得， ， ， ， 是等腰三角形． 在与中， ， ． ，， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，利用旋转的性质进行边角关系转换、构造全等三角形是解答本题的关键． 【变式11-1】 （25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，在四边形中，，． (1)求证：平分； (2)在边上，连接，若，求证：； (3)在（2）的条件下，，交于，在边上，，交于，过作于，若，，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）延长，过点C作，，证，得到，即可得到平分． （2）延长至点N，连接，通过角度转化，得到，由得到，则，得到． （3）连接，延长、交于点T，过点F作CD的平行线交的延长线于点Q，设，则，，，先证是等边三角形，得到，证，得到，，再证，得到，再证，得到 ，根据列方程，即可求解． 【详解】（1）解：如图，延长，过点C作，， ， ， 又， ， ， 平分． （2）如图，延长至点N，连接， 由（1）可知， ， ， ， ， ， 又， ， ， ． （3）如图，连接，延长、交于点T，过点F作CD的平行线交的延长线于点Q，设，则，，， 由（1）可知，由（2）可知， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 又， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 又， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 是的中位线， ， ， ，解得， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，角平分线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的三线合一，掌握相关知识点的应用和添加辅助线构造全等是解题的关键． 【变式11-2】 （25-26九年级上·福建宁德·期中）如图，在正方形中，点E是的中点，F、G分别是、上的动点，且交于点H，连接和，则下列结论正确的是______． ①；       ②； ③；             ④当时，的最小值是． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，正方形的性质，相似三角形的性质． 以为邻边作平行四边形，连接，过点G作于点I，连接，根据垂线的定义证明，根据正方形的性质得到，，根据平行线间的距离处处相等得到，可知，根据证明，进而得到，，故①、③正确；根据正方形的性质得到，，根据勾股定理求出，根据平行四边形的性质得到，进而证明是等腰直角三角形，根据勾股定理得到，由可知当A、G、N在一条直线上时最小，为，故④正确；假设成立，可得，与实际情况不符，故②错误． 【详解】解：如图，以为邻边作平行四边形，连接，过点G作于点I，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，，故①、③正确； ∵正方形， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴当A、G、N在一条直线上时最小，为，故④正确； 若，则， ∵， ∴F、G在、上同向运动， 当F、G在、上向上运动时，变大，变小， ∴不成立，故②错误； 则结论正确的是①③④． 故答案为：①③④． 【变式11-3】 （2023·安徽合肥·一模）如图1，，，将绕点逆时针旋转得到，使点落在的点处，与相交于点，与相交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)若点，，在同一条直线上，如图2，求的值．（温馨提示：请用简洁的方式表示角） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据旋转变换的性质得到旋转前后两个三角形全等，从而得到，根据，就能得到，然后利用平行可以得到内错角相等，最后加上，就可以通过边角边证明两个三角形全等． （2）根据旋转和第一小题的结论，可以得到，然后用等角对等边即可得到，又可以从前面的两个全等中得到，从而得到，那么和就是顶角互为对顶角的一组等腰三角形，所以就能得到底角相等，即，那么内错角相等，两直线平行即可证结论． （3）根据，，在同一条直线上，可以证明和全等，即可得到，那么就是中位线，则，加上第二小题结论就能得到四边形是平行四边形，那么，然后通过三角形外角的性质，可以证得，就能证和是一组子母型相似，然后根据相似比可得最终答案． 【详解】（1）解：将绕点逆时针旋转得到， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． （2）解：由（1）得，， ， ，， ，， ， ，， ， ， ， ，， 又， ， 即， ， （3）解：在和中， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形全等的证明，平行线的判定以及利用相似三角形求线段长之比，解题时需要学会将多个小题的结论联系起来，把前面小题的结论用到后面小题的思路中，熟练寻找证明三角形全等或相似所需要的条件是解题的关键． 【题型12 角平分线模型】 【例12】 （25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，四边形内接于，对角线平分，于点E，的延长线交于点F，连接和， (1)如图1，若点O在线段上，的弦为的直径，，求劣弧的长． (2)如图2，过点C作于点H，，探究：当时，与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，连接，，，，求的长． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）利用同角的余角相等结合圆周角定理证明，进而求出，由此即可求解； （2）过点C作，交的延长线于点G，利用“角平分线+对角互补模型”证明，，可得，，再由，证明，进而可得，可得，进而可得四边形是平行四边形，从而得出是直径，由可得，进而可得，由此求出，，根据直角三角形的性质可得，，由此即可求出． （3）过点C作，交的延长线于点G，延长到，使，由（2）可知，，设，则，，再根据，结合，可得，由此证明，进而可得，，由相似三角形的性质列比例式即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 根据题意得：为的直径， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴半径为1， ∴劣弧的长为； （2）解：如图，过点C作，交的延长线于点G， ∵平分，， ∴， ， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴，即， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴，∴是直径， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴． （3）过点C作，交的延长线于点G，延长到，使， 由（2）可知，，， ∴， 设，则，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴，即， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了圆与三角形的综合，解（2）题关键是利用“角平分线+对角互补模型”构造三角形全等得出线段和角的关系，解（3）问的关键是利用已知角的关系证明，从而构造等腰三角形，再利用相似解题． 【变式12-1】 （25-26八年级上·重庆·期中）如图，，，垂足分别为、，和相交于点，平分． (1)求证：是等腰三角形． (2)求证：垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查三角形与全等三角形的综合应用，解题的关键是用角平分线和双垂直模型，找到合适的全等三角形去推出自己想要的条件；本题的易错点在于找全等关系时需要找对判定条件，不要混淆． （1）利用角平分线和双垂直模型，利用角平分线上的点到线段两端距离相等，找到，从而再找条件得到，，得到等腰三角形； （2）根据，找到，，根据角平分线上的点到线段两端的距离相等，点，点在线段的垂直平分线上，即可得垂直平分； 【详解】（1）证明：∵平分，，， ∴（角平分线上的点到线段两端的距离相等）． ∵在与中， ∴ ∴， ∴是等腰三角形． （2）证明：∵，， ∴． ∴在与中， ∴， ∴，， ∴点，点在线段的垂直平分线上． ∵两确定一条直线， ∴垂直平分． 【变式12-2】 （24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中）在四边形中，，，过点作垂足为，且，四边形的面积为8，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．过点作交延长线于点，连接，利用证明，推出，，再利用证明，推出，再根据，利用三角形面积公式列式计算即可求解． 【详解】解：过点作交延长线于点，连接， 则， ， ． ，， ． 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ． 【变式12-3】 （24-25八年级上·江西宜春·期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．依据上述材料，解答下列问题：如图1，在中，平分，交于点，且，求证：． (1)为了证明结论“”，小亮在上截取，使得，连接，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；（提示：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等） (2)如图2，在四边形中，已知，，，，是的高，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为14 【分析】（1）在上截取，使得，连接，根据角平分线的定义得出，利用证明，从而可得，，再利用三角形外角的性质可得，从而可得，推出，进而得出，即可得证； （2）在上截取，连接，由三角形内角和定理可得，证明得出，再证明得出，求出，即可得解． 【详解】（1）证明：在上截取，使得，连接， 平分， ∴， ， ∴， ，， ∵， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ； （2）解：在上截取，连接， ，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长为14． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【题型13 垂直模型】 【例13】 （25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，，，于E，于D．，，______ 【答案】2 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． 证明，根据全等三角形的对应边相等即可证得，，从而求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 【变式13-1】 （25-26八年级上·湖南株洲·期末）如图，在四边形中，，、相交于点．若，试求的长．    【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定定理和垂直平分线的判定与性质，掌握“两边相等且夹角为的三角形是等边三角形”、“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”等知识点是解题的关键． 先由题意推出是等边三角形，得到，再由，推出是的垂直平分线，即可求解． 【详解】解：， 是等边三角形， ， ， 垂直平分， 是中点， ， 答：的长为． 【变式13-2】 （25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，直线 和x轴、y轴分别交于点A、点B，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，则C 的坐标为___________． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数综合题，涉及全等三角形的判定与性质，一次函数与坐标轴交点，解题的关键是根据题意作出辅助线，构造出全等三角形．先根据一次函数的解析式求出两点的坐标，再作轴于点，由全等三角形的判定定理可得出，由全等三角形的性质可知，故可得出点坐标． 【详解】解：∵一次函数中， 令得：，令，解得， ∴的坐标是的坐标是， 如图，作轴于点， ， ， 又， ， 在和中 ， ， ， 则点C的坐标是． 故答案为：． 【变式13-3】 （25-26八年级上·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，点A的坐标为，直角顶点B在x轴上． (1)如图1，若点B的坐标为，直接写出点C的坐标______； (2)如图1，若y轴恰好平分，与y轴交于点E，过点C作轴于F，问与有怎样的数量关系？并说明理由； (3)如图2，若点B在x轴负半轴，以为直角边在第三象限作等腰直角三角形，连接交于x轴点M，当点B在x轴负半轴运动时，的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出的长度． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）过点C作轴于H，证明，得出，，求出，即可得出答案； （2）延长，交于点G，证明，得出，证明，得出即可； （3）过点C作轴于P，证明，得出，，证明，得出． 【详解】（1）解：如图1，过点C作轴于H， 点A的坐标为，点B的坐标为， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ，， ， 点C的坐标为； （2）解：，理由如下： 如图2，延长，交于点G， 轴恰好平分，， ，， ， ， ， ，， ， ，， ， ； （3）解：的长不变， 如图3，过点C作轴于P， ， ， ， ， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ，， ， ，， ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，坐标与图形，等腰直角三角形的性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 【题型14 一线三等角模型】 【例14】 （25-26八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在中，是边上的高，．连接，交的延长线于点E，连接．则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】先证即可判断①，利用及三角形内角和定理与对顶角即可判断②，点F作于点M，过点G作交的延长线于点N，证明，得出，同理得到，从而得出，证明，从而得到，即可判断③④，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴，故①正确， ∵， ∴， 如图，记交于点，的交点为， ∵， ∴， ∴，故②正确， 过点F作于点M，过点G作交的延长线于点N， ， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 同理， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故③正确，④正确． 【变式14-1】 （25-26八年级下·云南玉溪·开学考试）如图①，在中，，过点在外作直线，于点，于点． (1)试说明：； (2)如图②，将（1）中条件改为，，请问（1）中的结论是否还成立？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)成立，理由见解析 【分析】（1）利用“”，可得，从而，，根据，等量代换即可说明； （2）利用“”，可得，从而，，再根据，等量代换即可． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ， ， 在和中， ， （） ，， ， ； （2）解：成立，理由如下， ， ， ， ， ， 在和中， ， （） ，， ， ． 【点睛】注意识别题中的“一线三等角”模型和类比的数学思想． 【变式14-2】 （25-26八年级上·广西来宾·期末）（1）如图①，在中，，，是过点A的直线，于点D，于点E，且．求证：． （2）如图②，在中，，D，A，E三点都在直线l上，并且有，且，请问是否成立？若成立，请给出证明，如不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图③，D，E是D，A，E三点所在直线l上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，．若，试判断的形状． 【答案】（1）见解析；（2）成立，证明见解析；（3）为等边三角形 【分析】（1）只需要证明，根据已知条件，结合全等三角形的判定定理即可解答； （2）运用类比的方法，同样可以证明； （3）结合（2）及已知条件，利用可以证明； 接下来根据全等三角形的性质可以得到，，至此问题即可解答． 【详解】（1）证明：直线l，直线l， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （2）解：成立，证明如下： ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）解：由（2）可知，， ，， 和均为等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 为等边三角形． 【点睛】根据“一线三等角”模型，准确证明三角形全等是正确解答此题的关键． 【变式14-3】 （25-26八年级上·安徽合肥·期末）（1）【探究发现】 在中，，，直线l经过点C，，，D、E为垂足，则有结论．请在图1、图2中任选一图给予证明． （2）【知识迁移】 如图3，已知：，，，，，连接、、，则点C的坐标为________，点E的坐标为________，的面积为________． （3）【拓展应用】 如图4，已知：点A的坐标为，分别以、为直角边在第一、第二象限作等腰与等腰，且，连接交y轴于点P，求的长． 【答案】（1）见解析；（2），，2；（3） 【分析】（1）先证，再证，利用“”即可求证； （2）过点C作轴于点，过点作轴于点，延长交x轴于点H，利用“”可得，，从而求出、、、，即可求出坐标，再根据三角形面积公式，计算即可求出面积； （3）过点E作轴于G，利用“”可得，则． 【详解】证明：（1）如图1，（图2证明略） ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； 解：（2）如图3，过点C作轴于点，过点作轴于点，延长交x轴于点H， ，， ，， ，x轴y轴， ， 轴， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 同理可证， ，， ， ， ，， 轴， ，， ； 故答案为：，，2； 解：（3）如图4，过点E作轴于G， 由（1）知， ，， ，轴，， 在和中，， ， ． 【点睛】本题考查平面直角坐标系点的坐标，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握“一线三直角模型”是解题的关键． 【题型15 手拉手模型】 【例15】 （2026八年级下·全国·专题练习）如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，．求证： (1)，； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明得到，，进而利用三角形的内角和定理证明即可证得结论； （2）先根据勾股定理得到，再根据正方形的性质和勾股定理可证得结论． 【详解】（1）证明：如图，设与交于点M，与交于点N． 四边形和四边形都是正方形， ，，， ， ， ，． ， ，即； （2）证明：如图，连接，． ， ， ， ． ，． ． 四边形和四边形都是正方形， ，，， ，， ． 【点睛】本题重点考查“手拉手模型”和勾股定理，找到全等三角形和直角三角形是解答的关键． 【变式15-1】 （25-26九年级上·江西上饶·期末）【课本再现】（1）如图1，和都是等边三角形，且点B、C、E在一条直线上，连接和相交于点，线段与的数量关系是 ；请你用旋转的性质说明上述关系成立的理由． 【深入探究】（2）如图2，将绕点逆时针旋转一定的角度，其他条件与（1）中相同． ①线段与的数量关系是 ； ②的度数为 ． 【拓展应用】（3）如图3，是等边三角形，，，，求边的长度． 【答案】（1）；理由见解析（2）①；②；（3）8 【分析】（1）利用等边三角形的性质，可得绕点逆时针旋转得到，即可得到； （2）由（1）可知，则，，再根据等边三角形的性质和角之间的等量代换，易得，从而可求； （3）将绕点逆时针旋转得到，连接，易得是等边三角形，由旋转的性质知，从而可得，再根据勾股定理，计算即可． 【详解】解：（1），理由如下： 和都是等边三角形， ，，，， ，， ， 将绕点逆时针旋转得到， ； （2）①；② 理由：由（1）可知绕点逆时针旋转得到， 则， ，； 等边三角形， ， ， ， ； 故答案为：①；②； （3）如图所示，将绕点逆时针旋转得到，连接， ，，， 是等边三角形， ，， 由旋转的性质知， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ． 【点睛】本题考查等边三角形的性质和判定，旋转的性质，全等的性质，勾股定理等知识点，掌握“手拉手模型”是解题的关键． 【变式15-2】 （25-26八年级上·河南新乡·期末）【问题提出】如图，、都是等边三角形，求证：． 【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题． 【方法应用】 (1)在等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边三角形，连接． ①如图，若点在边上，求证：． ②如图，若点在边的延长线上，线段之间的数量关系为______，并加以说明． (2)如图，在等腰中，，，，且交于点，以为边作等边，直线交直线于点，连接交于点，写出之间的数量为______．（直接写出结论不用说明理由） 【答案】(1)①见解析；②，见解析； (2)． 【分析】（1）①如图，过点作，交于点，易证是等边三角形，得出，证明，得出，即可得出结论； ②如图，过点作，交于点，易证是等边三角形，得出，证明，得出，即可得出结论； （2）先根据等边的性质结合三角形的内角和定理和外角的性质推出，再如图，在上截取，连接，易证是等边三角形，证明，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：①证明：如图，过点作，交于点， ∵是等边三角形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∵在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． ② 证明：如图，过点作，交于点， ∵是等边三角形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴． ∵是等边三角形， ∴，， ∴，即． ∵在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． （2） 证明：∵是等边三角形， ∴，． 又∵， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， 如图，在上截取，连接， ∴是等边三角形， ∴，． ∴，即． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形全等的性质和判定，三角形外角的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 【变式15-3】 （25-26八年级上·福建泉州·期末）(1)如图1，和都是等腰三角形，、分别是和的底边，． ①求证：； ②如图2，若，E、B、C三点在同一条直线上，G为中点，判断线段，，之间的数量关系，并说明理由； (2)如图3，在四边形中，，对角线交于点O，，，垂足为E，交于点F，连接，若，，求的值． 【答案】(1)①见解析；②，理由见解析； (2) 【分析】（1）①利用“”，证明即可；②由（1）易得，再证，根据线段之间的关系和等量代换，即可求解； （2）延长相交于点M，过点C作，垂足为N，先利用“”证，利用“”证，再证，根据勾股定理求出即可． 【详解】（1）证明：①和都是等腰三角形， ，， ，， ， 在和中 ， ， ； ②数量关系：，理由如下： 由（1）得， ， ，是等腰三角形，G为中点， ，，即， 和都是等腰直角三角形， ， ， ； （2）解：如图，延长相交于点M，过点C作，垂足为N， ，， ，， ， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， 设为x，则， 在中，由勾股定理得，， 即，解得（负值舍去）， ， 在中，由勾股定理得，, ∵ 的值为． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，平行线的性质等知识点，掌握相关知识和“手拉手模型”是解题的关键． 【题型16 半角模型】 【例16】 （25-26八年级上·福建泉州·期末）在Rt中，，，点为中点，点为线段上一动点． (1)求的长； (2)如图1，，点为射线上一动点，求的最大值； (3)如图2，点在线段上，且，的长为有理数，求证：为无理数． 【答案】(1)1 (2) (3)见解析 【分析】（1）利用勾股定理求出，结合点为中点即可得出， （2）作点关于射线对称点，利用对称的性质可得，再根据三角形两边之差小于第三边，即可得出，再证明为等边三角形，即可得出结论. （3）过点作，且，利用旋转模型和半角模型，证明，，进而可得，设，则，，利用勾股定理求出，由是无理数，为有理数，即可得出结论. 本题考查了三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形的中位线等知识，利用对称构造全等三角形转化线段是解题的关键． 【详解】（1）解：， 为等腰直角三角形， 点为的中点， ； （2）方法一：如图所示，作点关于射线对称点，连接并延长交延长线于点，连结， 则， ， ， ， 又， 为等边三角形， ， ， 即当三点共线时，取得最大值； 方法二：作点关于射线的对称点，连接交的延长线于点， 由对称性质得：， ， ， ， ， ， 得为等边三角形，， ， 即当三点共线时，取得最大值； （3）如图，过点作，且， ， ， 即， 又， （）， ，， ， ， ， ， ， （）， ， 设，则， 由（1）得， ， 在Rt中由勾股定理得：， ， ， 解得：， 由（1）知且， ， ， 将代入中，得， ， ， 是无理数，为有理数， 是无理数， 即是无理数． 【变式16-1】 （25-26八年级上·江西新余·期末）【经典再现】 （1）如图1，为等边外一点，，，，连接．则： ①线段和线段的位置关系是______（直接写出结果）． ②______． 【深入探究】 （2）如图2，为等边外一点，，，点M和点N分别为等边的边AB和AC上任意一点，，试探究线段，和的数量关系，并加以证明． 【拓展应用】 （3）①把（2）中的条件“点和点为等边的边和上任意一点”改为“点和点为直线和直线上任意一点”，其他条件不变，直接写出线段，和的数量关系． ②当（2）中的点和点在等边的边和上运动时，记的周长为P，记的周长为，则的值是否改变？若不变，请求出的值：若改变，请说明理由． 【答案】（1）①垂直平分（或）；②，（2），（3）①当点在上时，，当点M在延长线上时，，当点在延长线上时，，②． 【分析】（1）根据、，由线段垂直平分线的判定定理即可得出垂直平分，根据等边三角形的性质求出，再根据，，求出，进而可得，由含直角三角形性质可得； （2）延长到使，连接，可得，进而可得，由此得出， （3）①分三种情况同理（2）可以证明结论． ②由（2）可得，由此即可得出． 本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质、半角模型的应用，解题关键是利用截长补短法构造全等三角形． 【详解】（1）结论：， ∵等边 ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∵，等边中， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， （2）证明：延长到使，连接，如图2， ∴， ∵等边中， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴， ∴， （3）①结论：当点在上时，，当点在的延长线上时，，当点在的延长线上时，， 证明：当点在上时，由（2）得， 当点M在延长线上时，在取使，则：，连接，如图3， 同理可证 ， ∴ 当点在延长线上时，在取使，则：，连接，如图4， 同理可得：， ∴ 综上所述：当点在上时，，当点在延长线上时，，当点M在延长线上时，． ②， 解：记的周长为P， 由（2）得：， ∴， 记的周长为Q，， ∴ 【变式16-2】 （2025·安徽池州·三模）如图，菱形中，是边上一点，是边上一点，，连接交于点． （1）若，则______（用表示）； （2）若，则的最大值是______． 【答案】 3 【分析】（1）先证明是等边三角形；得出，再利用三角形的内角和定理进一步可得答案； （2）设，，根据，根据二次函数性质，说明有最大值，求出最大值为3即可． 【详解】解：（1）∵四边形是菱形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在和中， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形； ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为： （2）∵， ∴， ∴， 设，， ∴ ， ∴当时，取最大值， ∴此时， ∴此时， ∵为等边三角形， ∴此时，， ∴此时， ∴平分， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的最大值为3． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，二次函数的最值，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，数形结合． 【变式16-3】 （24-25七年级下·山东济南·月考）如图，正方形纸片的边长为6，点E，F分别在边，上，已知，，则的长为（   ） A．5 B．5.5 C．6 D．6.5 【答案】A 【分析】此题考查了正方形的性质、翻折变换以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 由正方形纸片的边长为6，可得，，根据折叠的性质得：，，然后设，在中，由勾股定理，即可得方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：延长到点，使，连接，如图， 四边形是正方形， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； ，， ， ， 在中，根据勾股定理得：， ， ， ， 故选：A． 【题型17 做平行线法模型】 【例17】 （25-26九年级上·浙江宁波·月考）如图，在矩形中，，将矩形绕点A逆时针旋转至矩形，点在边上，与交于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质、三角形全等的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识点，作平行线构造证明是中点解题关键． 延长交于，连接，交于，过点作交延长线于，证明可得，，进而可得，再求出，利用平行+等腰模型证明，进而可得，从而证明，由此得出． 【详解】解：延长交于，连接，交于，过点作交延长线于， 由旋转性质可知：，，， ∵矩形中，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴是垂直平分线， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴ ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 即， 故选C． 【变式17-1】 （25-26八年级上·福建福州·月考）初二某班开展数学综合与实践活动，遇到了如下几个问题： 问题1：在中，，是中点，证明：． 老师给学生们提示解这类问题的思路：条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑“倍长”中线，或通过引平行线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． （1）请利用以上思路完成该证明． 问题2：有这样一个数学故事，从前，一群海盗用船装着他们抢来的财物，来到一个荒岛上，要把这些财物埋下．因为怕时间久了会被人发现，所以他们来不及画标记位置的藏宝图了．但海盗们发现，岛上有三棵树，，，海盗头对一个水手说：“从到拉一根绳子，然后从出发，沿着垂直于绳子的方向，往岛里走一段等于这段绳子的长度．这一点叫做1号地点．“海盗头又对另一个水手说：”从到拉一根绳子，然后从出发，沿着垂直于绳子的方向，往岛里走一段等于这段绳子的长度．这一点叫做2号地点．”第二个水手也这样做了．等水手找到1号、2号地点的时候，海盗头便下令说：“伙计们，我们把财宝埋在这两点的正当中吧！”海盗们把财宝埋好了，上船走了． （2）设1号地点为点，2号地点为点，埋藏财宝的地点为点，连接、、，判断的形状，并证明． （3）过了几个月，其中一个水手想利用这笔财宝救助难民，于是就偷偷回到岛上．可树被台风刮走了，没有留下一点儿痕迹，只有另外两棵树、还在，水手非常懊恼．请你利用作图的方式，帮助他找到藏宝的地点，并简要说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）为等腰直角三角形，见解析；（3）作图步骤：连接，作且，取中点，即为藏宝地点． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质和等腰三角形的三线合一性质，利用中点模型构造全等三角形是解题关键． （1）过点C作，交延长线于点D，容易证明，由此得出，，进而可证明，即可得出，由此证明； （2）过点作，交延长线于点，连接，同理可以证明，进而可得，，再利用五边形内角和为，结合，，可得，而，由此证明，进而可得，得出，，由可得是等腰直角三角形，再由是中点得出，即可得出为等腰直角三角形． （3）构造同（2）的是等腰直角三角形，取的中点即可． 【详解】（1）如图，过点C作，交延长线于点D， ∴， ， 又∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴．， 　（2）为等腰直角三角形， 理由如下： 过点作，交延长线于点，连接 ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵五边形内角和为，即：， ，， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形． （3）如图：连接，过点B作，且，取中点，即为藏宝地点， 由作法可知：是等腰直角三角形， 由（2）可知：藏宝地点是的中点． 【变式17-2】 （25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，是边上的高，点与点关于直线对称，点是线段上的点，． (1)求证：； (2)连接，过点作于点，交于点． ①依题意补全图形： ②用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析． (2)①图见解析，②． 【分析】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．解题关键是利用对称和全等转化线段关系从而证明结论． （1）连接，结合对称可得，进而证明，可得，由四边形内角和等于即可得出结论， （2）①按要求作图即可，②延长交于，连接，过点作交于点，证明，得出，，进而证明，可得，进而证明，再证明，利用等角对等边证明，从而证明，由此得出结论． 【详解】（1）证明：连接， 由对称可知：，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， （2）①如图， ②延长交于，连接，过点作交于点， ∵， ∴， 又∵，， ∴ ∴，， 又∵，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式17-3】 （2025·黑龙江·中考真题）如图，在中，，点、分别在边和上，且，，连接，点、分别是、的中点，连接，则的长度为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线的性质，利用平行线+中点模型构造全等三角形，正确作出辅助线是解题的关键． 过点作，连接并延长交于点，连接，可证，可得，，再根据平行线的性质得，即得，最后根据三角形中位线的性质解答即可求解， 【详解】解：如图，过点作，连接并延长交于点，连接， ∴， ∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，点是的中点， ∴是中位线， ∴， 故选：A． 【题型18 做垂线模型】 【例18】 （25-26七年级上·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中，，为轴正半轴上一点，连接，作交轴正半轴于点，求． 【答案】 【分析】本题主要考查图形与坐标、四边形的内角和等于、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 先过点作轴交于点，轴交于点，求出、，再通过，求出、、、的值，然后通过，推出，最后证明，通过等量代换求解即可． 【详解】解：过点作轴交于点，轴交于点， ∵轴，轴， ∴， ∵四边形的内角和为， ∴， ∴ ∵， ∴，， ∴，，，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ， ． 【变式18-1】 （24-25八年级下·上海黄浦·期末）如图，已知梯形，，，点、分别是边和上的动点（点不与点重合，点不与点重合），且，，联结． (1)若，则点到的距离是_______； (2)判断的形状并加以证明； (3)若，设，，求y关于x的函数解析式，并写出定义域． 【答案】(1) (2)为等腰直角三角形，证明见解析 (3)（） 【分析】本题考查了四边形与三角形综合，主要涉及了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识点， （1）过点做，垂足为，由，，可得，从而证明是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求出； （2）根据等边对等角可得，，结合四边形内角和等于，可得， 由此求出，进而即可判定是等腰直角三角形， （3）过点做，垂足为，交于，过点作，垂足为，容易证明平行四边形是矩形，，结合由（1）得，再由（2）得是等腰直角三角形，求出，，在中，根据，求出y关于x的函数解析式． ∴． 【详解】（1）解：过点做，垂足为， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴点到的距离是， （2）解：结论：是等腰直角三角形， 证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，， 即是等腰直角三角形， （3）解：过点做，垂足为，交于，过点作，垂足为， 又∵， ∴，即， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 由（1）得， ∴， 由（2）得是等腰直角三角形， ∴， ∵在矩形中，，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴，函数定义域为． 【变式18-2】 （25-26九年级上·辽宁大连·期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型建立】 （1）如图1，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到，进而得到__________，_________，我们把这个数学模型称为“K字”模型 【模型应用】 （2）在中，，将边绕点B顺时针旋转得到，连接并延长交边的延长线于点F，若，则的长为_________； 【模型拓展】 （3）如图3，在矩形中，，当点P在直线上运动，（点P不与点D、C重合），将绕点A顺时针旋转得到，连接，，当的面积等于5时，请直接写出的长。 【答案】（1） （2） （3）或5或2或 【分析】（1）根据全等三角形的性质，即可求解． （2）过点D作，设长度为x，先证，用含x的式子将表示出来，再证，根据列方程，即可求解． （3）设，根据点P在直线上的不同位置分为四种情况，分析每种情况，过点Q作的平行线，交于点H，交于点G，证，用含y的式子将表示出来，再根据列方程，即可求解． 【详解】（1）解：， ． （2）如图，过点D作，设长度为x， 由旋转可知， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得或（不合题意，舍去）， 故长度为． （3）设，根据点P在直线上的不同位置分为四种情况， ①如图，当点P在点D左侧且点Q在上方时，过点Q作的平行线，交于点H，交于点G， 根据题意可知四边形为矩形， ， 根据旋转可知， ， 又， ， ， ， 故， 解得，（不合题意舍去）； ②如图，当点P在点D左侧且点Q在下方时，过点Q作的平行线，交于点H，交于点G， 根据题意可知四边形为矩形， ， 根据旋转可知， ， 又， ， ， ， 故， 解得，（不合题意舍去）； ③如图，当点P在点两点之间时，过点Q作的平行线，交于点H，交于点G， 根据题意可知四边形为矩形， ， 根据旋转可知， ， 又， ， ， ， 故， 解得，（不合题意舍去）； ④如图，当点P在点C右侧时，过点Q作的平行线，交于点H，交于点G， 根据题意可知四边形为矩形， ， 根据旋转可知， ， 又， ， ， ， 故， 解得，（不合题意舍去）； 综上所述，的长度为或5或2或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的动点问题，旋转的性质，掌握相关知识点并做适当的辅助线构造全等是解题的关键． 【变式18-3】 （24-25八年级下·辽宁铁岭·月考）如图，在中，，，以为边，在外作等边，作，交的延长线于点，连接，若，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含30°的直角三角形的性质，利用已知条件构造全等三角形，灵活运用含有30°的直角三角形的性质求解，是解决本题的关键． 根据等边可得，再根据可以得出，过点作于点，进而证明，得，．设，可得，，由可得．从而求出，进而可得，．，，在中，由，即可求解． 【详解】解：等边， ，． ． ， ． ． 过点作于点， ． ， ． 在和中， ． ，． 设， ， ，． 在中，， ∴， ，即． 解得：， ∴，． ∴， ∴， 在中，， 故答案为：． 【题型19 倍长中线模型】 【例19】 （25-26八年级上·云南昆明·期末）【发现问题】小明遇到这样一个问题，如图1，在中，，求边上的中线的取值范围． 【初步探索】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到，使得； ②连接，易证，于是我们把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围． 【总结方法】在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍构造全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． 【问题解决】（1）如图1，与的位置关系是_____；的取值范围是_____． 【问题应用】（2）如图2，是的中线，点在的延长线上，平分，，试探究线段与的数量关系． 【拓展延伸】（3）如图3，在中，平分，且交于点，的中点为，过点作平行于，交于点，交的延长线于点．若，求的长． 【答案】 （1）平行； （2） （3） 【分析】本题主要考查三角形全等的判定与性质、三角形三边关系、以及等腰三角形的判定，核心方法是“倍长中线法”和构造全等三角形，同时结合平行线与角的转化解决问题． （1）考查倍长中线法构造全等三角形，利用全等得到平行关系，再结合三角形三边关系求中线范围； （2）考查倍长中线法构造全等三角形，结合角平分线性质与全等三角形的判定，推导线段的倍数关系； （3）考查平行线的性质、等腰三角形的判定与全等三角形的构造，通过角的转化和线段的等量代换求解长度． 【详解】解：（1）由，得，故． 在中，，，由三边关系，即，化简得． 故答案为：平行；． （2）如图，延长到，使，连接． ∵，，， ∴， ∴，． ∵平分， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； （3）如图，过作，交的延长线于，则． ∵是中点， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵，平分， ∴， ∴，， ∴， 设，则，，故． 由，解得， ∴． 【变式19-1】 （25-26八年级上·江苏扬州·期末）八年级某班开展数学综合与实践活动，遇到了如下几个问题： 问题1：如图1，在中，，，O是中点，求的取值范围； 老师给学生们提示解这类问题的思路：条件中若出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑“倍长”中线，或通过作平行线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的结论集中到同一个三角形中； (1)的取值范围为________； 问题2：如图2，分别以的边，为斜边向外作等腰直角，，，，，O为的中点，连接，判断的形状，并说明理由； (2)某数学学习小组发现了解题思路：延长至点F，使，连接，，请按照这个思路写出解题过程； (3)点D，E表示两个养殖场位置，村民想在O处修建一口水井，若只知道D，E的位置（如图3），请你利用无刻度的直尺和圆规，帮助村民确定水井的位置O（点O在的下方），并作简要说明（提醒：作图痕迹需要加粗）． 【答案】(1) (2)是等腰直角三角形，理由见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据“倍长”中线法，构造，再根据三角形三边关系即可求解； （2）根据“倍长”中线法，构造，再根据角之间的关系，证明，从而，易证是等腰直角三角形，最后利用“三线合一”即可求证； （3）根据题意，易得点在线段的垂直平分线上，作垂直平分线的尺规作图，即可求解． 【详解】（1）解：如图，延长至点M，使，连接， O是中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ，即， 则， ，即O是中点， ， ； 故答案为：； （2）解：是等腰直角三角形，理由如下， 如图，连接， O为的中点， ， ，， ， ，， ， ， 和是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，即，则是等腰直角三角形， ， ，即， 是等腰直角三角形； （3）解：如图，点O即为所作， 由（2）可知，，故点在线段的垂直平分线上，分别以点、为圆心，大于为半径，作圆弧交于两点，作过这两点的直线，即是线段的垂直平分线， 点O在的下方， 在的下方的垂直平分线上取一点，即为点． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，等腰直角三角形的性质和判定，垂直平分线的尺规作图等知识点，读懂材料，理解倍长中线法是解题的关键． 【变式19-2】 （25-26八年级上·安徽阜阳·期末）如图，中，D、E在上，平分，且，．求证：． 【答案】见解析 【分析】延长至G，使得，连接，利用“”易证，得，，根据“等边对等角”，得，根据角平分线的定义可得，等量代换可得，根据“同位角相等，两直线平行”即可求证． 【详解】证明：如图，延长至G，使得，连接， 在和中， ， ， ，， ， ，即为等腰三角形， 则， 平分， ，则， 又， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，平行线的判定等知识点，掌握倍长中线法和平行线的判定定理是解题的关键． 【变式19-3】 （25-26八年级上·四川成都·月考）如图，与均为直角三角形，且，，，点是的中点，则的长为________． 【答案】/ 【分析】本题考查全等三角形性质和判定、勾股定理，平行线的判定（垂直于同一直线的两直线平行）等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 通过延长线构造全等三角形，得出的长度，结合勾股定理先求出的长度，再求出的长度，即可得出答案． 【详解】解：延长交的延长线于点，如下图所示： ∵， ∴， ∴， 又∵点为中点， ∴， ∵， ∴, ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型20 截长补短模型】 【例20】 （25-26八年级上·重庆九龙坡·期末）在等腰中，，点D是上一动点（不含端点），点E在的延长线上，且，平分交于点F，连接． (1)如图1，求证：． (2)如图2，若，，求证：． (3)若，，点G为上一动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．将在同一平面内沿直线翻折，使得点A落在点处，连接．若，，当的值最小时，过点C作，垂线交于点K．请直接写出的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质： （1）由等腰三角形的性质得，再证，得，即可得出结论； （2）取的一点使，连接，由已知求出，进而可求，由此证明，进而可得，即可利用等角对等边可以证明，从而得出结论； （3）当的值最小时，点在上，过点作的垂线，交于点. 根据题意可知，， ，，可求得，得到，进而求得． 【详解】（1）证明：平分， ， ，， ，， 在和中， ， ， ， ； （2）证明：如图2，取的一点使，连接， ∵，， ∴．， 又∵， ∴，， 由（1）可知：，，， ∴，， 在和中， ， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3） 解： 如图所示，当的值最小时，点在上，过点作的垂线，交于点. 根据题意可知，， ，． 根据图形翻折的性质可知． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 【变式20-1】 （25-26八年级上·广东珠海·期末）实验与探究： 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？某校数学兴趣小组的同学们对此展开探究： 例如，如图1（1），在中，，怎样证明呢？ 把沿的平分线翻折，因为，所以点落在AB上的点处（如图1（2））．由，，可得． 【类比探究】 （1）如图2，在中，，类比上述的方法，请证明． 【方法运用】 （2）如图3，在中，，若，写出，，之间的数量关系并说明理由． 【答案】（1）见解析，（2），理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和判定、三角形外角的性质，三角形内角和定理．构造全等三角形，转化线段和角的关系是解题的关键． （1）把翻折，使点落在点上，折痕分别交、于点D、E，由翻折可得：， （2）在上取，使，连接，可得，进而可得，由此证明， ，进而得出结论． 【详解】（1）证明：把翻折，使点落在点上，折痕分别交、于点、 由翻折的性质可知，， ， ，即 ［方法运用］ （2）解：，理由如下： 如图（3），在上取，使，连接， ，，， ， ，， ， ， ， ，即 【变式20-2】 （25-26八年级上·北京·月考）如图，是的高，，，，过点作交于点．下列四个结论中： ①；②当时，；③；④． 所有正确结论的序号是___________． 【答案】②④ 【分析】①在线段上截取，连接，可证，得，，可证，得，即； ②当时，，由得，利用角的和差可证，即； ③由得，利用角的和差可证，则与不一定相等； ④由得，利用角的和差可证，，由三角形全等的性质可证，从而可证． 【详解】解：①在线段上截取，连接， ∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； 则①错误； ②当时，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 则②正确； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 则当时，， 此时， 但题目中未给出的具体值，所以与不一定相等； 则③错误； ④∵， ∴， ∴， 由③得， ∵， ∴， 则， ∴， ∴； 则④正确； 故答案为：②④． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形、平行线的性质，角的和差等，在线段上截取，连接，利用截长补短构建全等三角形是解题的关键． 【变式20-3】 （25-26八年级上·上海普陀·月考）在中，，平分交边于点，，则____________°． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及角度计算．已知，说明是等腰三角形，底角相等；由，可能通过截取线段（在上取一点，使，连接）构造全等三角形来转化等量关系，得到等腰，进而结合三角形内角和定理求解． 【详解】解：设， ∵， ∴， 在上取一点，使，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：45． 【题型21 旋转模型】 【例21】 （25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，，，是直角边上的一个动点，连接，以为边向外作等边，连接．在点运动的过程中，线段的长的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，线段最短问题，解题的关键是掌握相关知识，并正确作出辅助线． 延长到点，使得，连接，，由，，，可得：，，证明是等边三角形，得到，结合是等边三角形，可证明，得到，推出，得到点在经过点且与垂直的射线上运动，作交射线于点，则，得到，由可得，即可求解． 【详解】解：延长到点，使得，连接，， ，，， ，， ， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 点在经过点且与垂直的射线上运动，作交射线于点，则， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 【变式21-1】 （25-26八年级上·河南洛阳·月考）如图，点在等腰直角三角形的斜边所在直线上，，交于点． (1)当点在上，点在上方时，如图①，求证：； (2)当点在的延长线上，点在上方时，如图②；当点在上，点在下方时，如图③，猜想线段，，之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需要证明． 【答案】(1)见解析 (2)图②结论：；图③结论： 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． （1）过点作交于，先判断出，再判断出，进而判断出，得出，，再判断出，进而判断出，得出，即可得出结论； （2）如图2，同（1）的方法得出，，即可得出结论；如图3，同（1）的方法得出，，即可得出结论； 【详解】（1）证明：如图①，过点作交于， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图②，过点作交于， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； 如图③，过点作交的延长线于， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 综上所述：图②结论：；图③结论：． 【变式21-2】 （25-26九年级上·江西宜春·月考）【发现问题】 （1）如图①，在正方形中，，分别是，边上的动点，且．试判断，之间的数量关系．小明把绕点顺时针旋转至，使与重合，发现．请你给出证明过程． 【类比延伸】 （2）如图②，在正方形中，若，分别是边延长线上的动点，且，则（1）中的结论还成立吗？请说明理由． （3）如图③，如果分别是边延长线上的动点，且，直接写出之间的数量关系． 【答案】（1）见解析（2）不成立，理由见解析（3） 【分析】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是旋转三角形，构造全等三角形． （1）由旋转的性质可得，进而证得，从而得出，进一步得出结论； （2）把绕点A顺时针旋转至，使AB与AD重合，可证得，进而证得，进一步得出结果； （3）与（2）的证法类似，可得到结论； 【详解】解：（1）证明：由旋转的性质可得， ． 又，三点共线． ， ， ， ． 又， ， ． （2）不成立． 理由：如图，把绕点A顺时针旋转至，使AB与AD重合． ， F，G，D三点共线． 由旋转的性质可知， ， ． 又， ， ； ∴（1）中的结论不成立． （3）． 理由：如图，把绕点A逆时针旋转至，使与重合． ， B，G，E三点共线． 同理可证：， ∴， ． 【变式21-3】 （25-26九年级上·全国·期末）【模型建立】（1）如图，四边形是正方形，当点在边上，在边上，时，用等式写出，与之间的数量关系，并说明理由； 【模型应用】（2）如图2，当点在的延长线上，在的延长线上时，其他条件与（）相同．用等式写出，与之间的数量关系，并说明理由； 【模型迁移】（3）如图，在中，，，点，均在边上，且．若，，求的长． 【答案】（1），见解析；（2），见解析；（3） 【分析】（1）将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，然后求出，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解； （2）类似（1），通过旋转构造全等三角形，结合全等性质得线段相等； （3）将绕点逆时针旋转至，使与重合，连接，根据全等三角形的性质、勾股定理计算． 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到， ∵， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵， ∴； （2）结论：． 理由：如图，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵， ∴； （3）将绕点逆时针旋转至，使与重合，连接， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴． ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了旋转变换的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识是解题的关键． 特色专项练 【新考向：新考法】 1（2026九年级下·辽宁沈阳·专题练习）如图1，在正方形中，点是边上任意一点，点是对角线上一点，连接，连接交于点． (1)如图2，连接，求证：； (2)如图3，连接，若，求：的度数； (3)如图4，过点作交于点，若点是中点，且满足，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）证明即可解答； （2）设，先利用三角形的外角性质和正方形的性质得到，，然后利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得到，，进而可推导出，进而可求解； （3）连接、，过点P作于H，先证明，利用平行线分线段成比例推导出，则垂直平分，利用线段垂直平分线得到，设，则，，，分别证明和，利用相似三角形的对应边成比例可得答案． 【详解】（1）证明：如图2，∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ∴， ∴； （2）解：如图3，连接， 由（1）知， ∴，设， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； （3）解：如图4，连接、，过点P作于H， ∵， ∴， ∴， ∴，又点是中点， ∴，则垂直平分， ∴， ∵， ∴， 设，则， 由（2）知，是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2.（2026八年级下·上海徐汇·专题练习）请阅读下列材料： 小海在学习了平行四边形的相关知识后，查阅相关资料，发现平行四边形还有如下的性质：平行四边形四条边的边长的平方和等于两条对角线长的平方和．小海很感兴趣，并尝试进行了证明． (1)请完成小海的证明过程． (2)如图，在中，，，，求的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2)的周长为 【分析】（1）过点，作的垂线，分别与交于点，与的延长线交于点，设，，，则，再利用勾股定理计算出，即可证明； （2）由四边形是平行四边形，可得，，再由，设，则，再利用（1）的结论即可求解． 【详解】（1）证明：如图1，过点，作的垂线，分别与交于点，与的延长线交于点，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， 设，，，则， ∴， 在中，，即， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴，即平行四边形四条边的边长的平方和等于两条对角线长的平方和． （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴设，则， 由（1）可知，， ∴， 解得， ∴，， ∴的周长为． 【新考向：新情境】 1．（2026年吉林省长春市九年级阶段性练习数学（一模数学试题））【问题背景】小明遇到了这样一个问题：如图①，在正方形中，，点、分别为边、的中点，以为边向下作正方形．点、分别在边、上运动，且，连结、．求的最小值． 【问题探究】小明发现，可以利用正方形的轴对称性质将“分离”的线段与成功“接轨”，再依据“两点之间，线段最短”解决问题．具体做法如下： 证明：如图②，取边的中点，连结． 证明过程缺失 ． ． 请你帮助小明补全上述证明过程． 【问题解决】的最小值为______． 【拓展提升】如图③，在正方形中，，点、分别在边、上运动，且，点在边上，连结、．若，则的最小值为______． 【答案】问题探究：见解析；问题解决；拓展提升： 【分析】问题探究：利用正方形的性质和中点性质得，，再由，得，即可由得出，从而由全等三角形的性质得出结论； 问题解决：连接，根据两点之间，线段最短得，当M、Q、F三点共线时，值最小，最小值等于，延长、相交于N，利用正方形的性质和勾股定理求得，即可求解； 拓展提升：在正方形下方作正方形，在边上取点M，使，在边上取点N，使，连接，则，，根据两点之间，线段最短得，，所以当M、Q、N三点共线时，最小，最小值等于，利用正方形的性质和勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：问题探究： 证明：如图②，取边的中点，连结． ∵正方形， ∴，， ∵M，分别为边、的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ， ． 问题解决：如图②，连接， ∵， ∴当M、Q、F三点共线时，值最小，最小值等于， 延长、相交于N， ∵正方形，正方形，为边的中点，， ∴正方形， ∴，， ∴ 由勾股定理，得， ∴的最小值为． 拓展提升：在正方形下方作正方形，在边上取点M，使，在边上取点N，使，连接，如图③， 由问题探究可知：，， ∵ ∴当M、Q、N三点共线时，最小，最小值等于， ∵正方形，正方形，，， ∴，，， ∴ 由勾股定理得：， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，两点之间，线段最短，利用正方形的对称性质，正确作出辅助线是解题的关键． 2．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，，为边上一点，连接，过点作交于，把沿翻折得，连接．下列说法正确的是（   ） ①；         ②当时，； ③当时，折痕的长；     ④当是等腰三角形时，的长或． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查翻折的性质，等角的余角相等，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，一元二次方程的根的判别式． 由翻折的性质，结合等角的余角相等，可判断；与的交点记作点，延长，交于点，由平行线的性质，结合翻折的性质，可证明，可得，可判断；证明，可得，证明，，设，证明，可得，证明，，可得，，由勾股定理可得，可判断；当是等腰三角形时，，或，或，分类讨论，用勾股定理，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，可得，可判断． 【详解】解：由翻折可得， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴正确， 当时， 与的交点记作点，延长，交于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由翻折可得，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴正确， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴，， ∴， ∴正确， 当是等腰三角形时， 若， 由翻折可得， ∴， ∴， ∴， 若， 作于点，则，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 若， 作，则，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴方程在实数范围内无解， ∴， ∴当是等腰三角形时，的长或， ∴正确， ∴正确的是． 故选：D． 【新考向：跨学科】 1．（25-26八年级上·福建泉州·期末）“燕尾脊”是闽南传统建筑最具代表性的屋顶形式，如图是小明设计的一个“燕尾”平面图案，已知求证： 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 连接，由证得，根据全等三角形对应角相等可得结论． 【详解】证明：连接， 在和中， （） ． 2．（25-26八年级上·福建泉州·期末）在“小孔成像”实验中，如图所示，O是小孔位置．同学们发现：当为，的中点（即，），像与蜡烛大小相等，从数学角度分析，证明的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键．根据“”证明即可． 【详解】解：∵在和中， ∴， ∴证明的依据是． 故选：D． 中考真题练 1．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知：内接于，圆心在的内部，为的直径，连接，． (1)如图①，求证：； (2)如图②，过点作的切线，交的延长线于点，求证：； (3)如图③，在（2）的条件下，，连接并延长至点，连接交于点，，为上一点，，连接，点在上，连接，，，点为的中点，连接，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）通过直径所对的圆周角是直角及同弧所对的圆周角相等得出两角相等，从而得出两边相等； （2）利用圆的性质及矩形的性质与判定来论证线段的关系； （3）先通过全等三角形得到线段长度，再结合已知条件求出相关线段长度，最后求三角形面积． 【详解】（1）证明：为的直径， ． 设． ， ， ， ． ． ． ． （2）证明：连接，，并延长交于点． ， 垂直平分， ，， 是的切线， ． 是的直径， ， 四边形是矩形， ， ． （3）解：如图，连接，，并延长交于点， 为的中点， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴≌， ， ， 设，则． 四边形是矩形， ， ， ， ， ，， ∴， ，， ， ， 过点作于点， ， ， ， ， ，， ，　　　 ， ， ． 【点睛】本题考查了圆的有关性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角函数及三角形的面积等知识点，关键是灵活应用知识点解决问题． 2．（2025·山东德州·中考真题）已知点O是正方形的中心，点P，E分别是对角线，边上的动点（均不与端点重合），作射线． (1)将射线绕点P逆时针旋转90°，交边于点F． ①如图1，当点P与点O重合时，求证：； ②如图2，当时，请判断是否为定值．如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； (2)如图3，连接BP，当时，将射线绕点P顺时针旋转90°，交边于点F．若，，求四边形的面积（用含a，k的式子表示）． 【答案】(1)①证明见解析 ②为定值，该定值为 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、正方形的性质，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）①过点P作、，根据四边形是正方形得到，证四边形是矩形，又得到，进而证明四边形是正方形，利用角度关系得到，证出，根据全等三角形的性质得到即可； ②过点P作、，根据①可得到，根据，证得并且，利用相似三角形的性质得到，最后进行面积转化得到定值即可； （2）过点P作、，连接，易证得，根据相似三角形的性质得到，再证，根据相似三角形的性质，同理可得，进而得到，是等腰直角三角形，根据三角形面积公式进行求解即可． 【详解】（1）①证明：过点P作、，如图所示： 则 四边形是正方形 四边形是矩形 在中， 四边形是正方形 ， ； ②过点P作、，如图所示： 由①可知四边形是正方形 、 故 为定值，该定值为； （2）解：过点P作、，连接，如图所示： 四边形是正方形 射线绕点P顺时针旋转90°，交边于点F 、 同理可得 是等腰直角三角形 在中， 由勾股定理得 ． 答：四边形的面积为． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 全等三角形（练习） 1．（2025·四川·中考真题）和中，，． 【初步感知】 （1）如图1，若，连接，则与之间的数量关系是____，位置关系是_____；（直接写出结论，不写推理过程） 【深入探究】 （2）如图2，若，将绕点C旋转，设直线与交于点M，与交于点N，试确定与之间的数量关系和位置关系，并说明理由； 【迁移应用】 （3）如图3，当点D在内部，且时，若，，连接，作于点F，交于点G，求的长． 2．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图1，在矩形中，，点是边上一个动点，点在射线上，．线段的垂直平分线分别交直线于点、、、． (1)直接写出___________°，___________； (2)当时，求的值； (3)如图2，连接并延长交直线于点． ①求证：； ②如图3，过点作直线的垂线，分别交直线于点，连接，求线段的最小值． 3．（2025·江苏宿迁·中考真题）实验活动：仅用一把圆规作图． 【任务阅读】如图，仅用一把圆规在内部画一点，使点在的平分线上． 小明的作法如下： 如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线于点，再分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，则点为所求点．理由：如图3，连接，由作图可知，， 又因为， 所以 ． 所以， 所以平分， 即点为所求点； 【实践操作】如图，已知直线及其外一点，只用一把圆规画一点，使点所在直线与直线平行，并给出证明．（保留作图痕迹，不写作法） 4．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，四边形是正方形，点在边上，点在边的延长线上，，射线交对角线于点，交线段于点． (1)求证：．（温馨提示：若思考有困难，可尝试证明） (2)求证：． (3)若，直接写出的值（用含的式子表示）． 5．（2025·甘肃兰州·中考真题）【提出问题】数学讨论课上，小明绘制图1所示的图形，正方形与正方形（），点E，G分别在上，根据图形提出问题：如图2，正方形绕点B顺时针旋转，旋转角为，直线与相交于点H，连接，探究线段，，之间的数量关系． 【解决问题】（1）小明将上述问题特殊化，如图3，当点G，H重合时，请你写出，，之间的数量关系，并说明理由； （2）小明借鉴（1）中特殊化的解题策略后，再解决图2所示的一般化问题，当点G，H不重合时，请你写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展问题】（3）小明将图2所示问题中的旋转角的范围再扩大，正方形绕点B顺时针旋转，旋转角为，直线与相交于点H，连接，请直接写出，，之间的数量关系． 6．（2025·江苏连云港·中考真题）综合与实践 【问题情境】 如图，小昕同学在正方形纸板的边、上分别取点、，且，交于点．连接，过点作，垂足为，连接、，交于点，交于点． 【活动猜想】 （1）与的数量关系是_______，位置关系是_______； 【探索发现】 （2）证明（1）中的结论； 【实践应用】 （3）若，，求的长； 【综合探究】（4）若，则当_______时，的面积最小． 7．（2025·山东烟台·中考真题）【问题呈现】 如图1，已知是正方形外一点，且满足，探究，，三条线段的数量关系． 小颖通过观察、分析、思考，形成了如下思路： 思路一：如图2，构造与全等，从而得出与的数量关系； 思路二：如图3，构造与全等，从而得出与的数量关系． （1）请参考小颖的思路，直接写出与的数量关系______________； 【类比探究】 （2）如图4，若是正五边形外一点，且满足，，，求的长度（结果精确到，参考数据：，，，）； 【拓展延伸】 （3）如图5，若是正十边形外一点，且满足，则，，三条线段的数量关系为_________（结果用含有锐角三角函数的式子表示）． 8．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）在中，弦，相交于点，，连接，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接并延长交于点，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，作于点，连接，点在上，连接，点在上，连接交于点，交于点，连接，若，，，，，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 全等三角形（练习） 1．（2025·四川·中考真题）和中，，． 【初步感知】 （1）如图1，若，连接，则与之间的数量关系是____，位置关系是_____；（直接写出结论，不写推理过程） 【深入探究】 （2）如图2，若，将绕点C旋转，设直线与交于点M，与交于点N，试确定与之间的数量关系和位置关系，并说明理由； 【迁移应用】 （3）如图3，当点D在内部，且时，若，，连接，作于点F，交于点G，求的长． 【答案】（1），；（2）数量关系：，位置关系：，理由见解析；（3） 【分析】（1）证明，则，，再由对顶角结合互余的性质证明； （2）证明，则，，，再由对顶角结合互余的性质证明； （3）先求出，，过点作平行线交延长线于点，则，过点作延长线的垂线，垂足为点，证明，则，求出，即可证明，则，证明，则，求出，，则，那么由勾股定理得，再对运用面积法求解，最后由求解即可． 【详解】（1）解：如图， ， ，， 又， ， 即， 在△和△中， ， ， ，， 设与交于点， ，， ， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：数量关系：，位置关系：． 理由如下：， ，即， 又， ， ，， ，， ， 则， 即； （3）解：∵，， ∴，， 过点作平行线交延长线于点，则，过点作延长线的垂线，垂足为点， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则在中，由勾股定理得， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，难度较大，解题的关键是正确运用类比的思想条件并添加辅助线求解． 2．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图1，在矩形中，，点是边上一个动点，点在射线上，．线段的垂直平分线分别交直线于点、、、． (1)直接写出___________°，___________； (2)当时，求的值； (3)如图2，连接并延长交直线于点． ①求证：； ②如图3，过点作直线的垂线，分别交直线于点，连接，求线段的最小值． 【答案】(1)， (2) (3)①见解析  ② 【分析】（1）过点E作于点K，即可得到四边形是矩形，然后证明，即可求出的值，然后根据正切的定义求出的度数即可； （2）根据勾股定理求出长，利用（1）的结论求出长，然后证明是等边三角形，根据正弦的定义求出长解答即可； （3）①根据（2）的证明得到，过点M作交于点L，则有，得到，即可得到，然后根据平行线分线段成比例得到结论即可； ②连接，，根据直角三角形斜边上的中线性质和平行线分线段成比例得到，进而判断，即可得到点Q在与线段夹角为的射线上，然后根据垂线段最短解答即可． 【详解】（1）解：过点E作于点K， ∵是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴    ，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴    ， 根据（1）中结论可得， 又∵垂直平分， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； （3）①证明：根据（1）中结论可得， 又∵垂直平分， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； 过点M作交于点L， 则，， 又∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，即， ②连接，， ∵，， ∴， 又∵垂直平分，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即点Q在与线段夹角为的射线上， ∴过点D作于点， 当点Q在时，最小， 这时． 【点睛】本题考查矩形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理和等边三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 3．（2025·江苏宿迁·中考真题）实验活动：仅用一把圆规作图． 【任务阅读】如图，仅用一把圆规在内部画一点，使点在的平分线上． 小明的作法如下： 如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线于点，再分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，则点为所求点．理由：如图3，连接，由作图可知，， 又因为， 所以 ． 所以， 所以平分， 即点为所求点； 【实践操作】如图，已知直线及其外一点，只用一把圆规画一点，使点所在直线与直线平行，并给出证明．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】[任务阅读]；[实践操作]图形见解析；证明见解析． 【分析】本题考查了圆规作图——作角平分线，作一个角等于已知角，掌握知识点的应用是解题的关键． [任务阅读]根据作图可知，作图可知，，又，所以，然后通过全等三角形性质即可求证； [实践操作] 以点P为圆心，的长为半径画弧，再以点B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点Q，即可；然后根据平行四边形的判定和性质即可求证． 【详解】[任务阅读]解：理由：如图，连接，由作图可知，， 又因为， 所以， 所以， 所以平分， 即点为所求点， 故答案为：； [实践操作]解：如图，以点P为圆心，的长为半径画弧，再以点B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点Q，即可； 理由：连接, 由作图可知，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴点为所求． 4．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，四边形是正方形，点在边上，点在边的延长线上，，射线交对角线于点，交线段于点． (1)求证：．（温馨提示：若思考有困难，可尝试证明） (2)求证：． (3)若，直接写出的值（用含的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，线段比例关系的推导，熟练掌握这些知识点是解题的关键． （1）先证明，再根据全等三角形的性质及外角的定义得出，由等角对等边即可证明； （2）通过证明和，利用相似三角形的性质证明即可； （3）设，根据比例关系得出，，再根据全等关系得出，进而求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴； （2）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， 设， ∴， ∴，， ∴， 由（1）得， ∴， ∴． 5．（2025·甘肃兰州·中考真题）【提出问题】数学讨论课上，小明绘制图1所示的图形，正方形与正方形（），点E，G分别在上，根据图形提出问题：如图2，正方形绕点B顺时针旋转，旋转角为，直线与相交于点H，连接，探究线段，，之间的数量关系． 【解决问题】（1）小明将上述问题特殊化，如图3，当点G，H重合时，请你写出，，之间的数量关系，并说明理由； （2）小明借鉴（1）中特殊化的解题策略后，再解决图2所示的一般化问题，当点G，H不重合时，请你写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展问题】（3）小明将图2所示问题中的旋转角的范围再扩大，正方形绕点B顺时针旋转，旋转角为，直线与相交于点H，连接，请直接写出，，之间的数量关系． 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】（1）利用正方形的性质求得，证明，推出，根据即可求解； （2）在上截取，证明，推出，，证明是等腰直角三角形，求得，根据，即可求得； （3）在上截取，证明，得到，，同理，得到是等腰直角三角形，求得，根据，即可求得． 【详解】解：（1），理由如下， 如图，当点G，H重合时， ∵正方形与正方形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下， 由（1）得， ∴， 在上截取， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； （3），理由如下， 由（1）得， ∴，， 在上截取， ∵，， ∴， ∴，， 同理，是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识点，作出辅助线，证明三角形全等是解本题的关键． 6．（2025·江苏连云港·中考真题）综合与实践 【问题情境】 如图，小昕同学在正方形纸板的边、上分别取点、，且，交于点．连接，过点作，垂足为，连接、，交于点，交于点． 【活动猜想】 （1）与的数量关系是_______，位置关系是_______； 【探索发现】 （2）证明（1）中的结论； 【实践应用】 （3）若，，求的长； 【综合探究】（4）若，则当_______时，的面积最小． 【答案】（1）相等，垂直 （2）证明见解析 （3） （4） 【分析】（1）根据图形进行猜想即可； （2）过点作于，过点作分别交、于、， 证明四边形为矩形，四边形为正方形，结合正方形性质证明，则可得，证明，得出，，再利用，得出，即可证明； （3）证明，得出，，再证明，在中，利用勾股定理求出，由等面积法得求出，在中，利用勾股定理求出，再证明为等腰直角三角形，得出，利用线段和差即可求解； （4）构造的外接圆，连接，，，过点作于点，设的半径为，过点作于，证明是等腰直角三角形，得出，求得，则当最小时，的面积最小，则最小时，的面积最小，由，可知当最小时，的面积最小，由点到直线的最短距离可得，当、、依次共线，且时，最小，此时，点与重合，再进行计算即可． 【详解】解：（1）相等，垂直； （2）过点作于，过点作分别交、于、， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形，四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）在正方形中，由，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， 得， 由等面积法得， 即， ∴， 在中，， 由（2）可知，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； （4）如图，构造的外接圆，连接，，，过点作于点，设的半径为，过点作于， 由（2）可知，， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵正方形中，，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴当最小时，的面积最小， ∴最小时，的面积最小， ∵， ∴当最小时，的面积最小， 由点到直线的最短距离可得，当、、依次共线，且时，最小， 此时如图，点与重合， 则， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，外接圆，二次根式，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． 7．（2025·山东烟台·中考真题）【问题呈现】 如图1，已知是正方形外一点，且满足，探究，，三条线段的数量关系． 小颖通过观察、分析、思考，形成了如下思路： 思路一：如图2，构造与全等，从而得出与的数量关系； 思路二：如图3，构造与全等，从而得出与的数量关系． （1）请参考小颖的思路，直接写出与的数量关系______________； 【类比探究】 （2）如图4，若是正五边形外一点，且满足，，，求的长度（结果精确到，参考数据：，，，）； 【拓展延伸】 （3）如图5，若是正十边形外一点，且满足，则，，三条线段的数量关系为_________（结果用含有锐角三角函数的式子表示）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，解直角三角形，多边形的内角和问题，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据思路一：构造与全等，从而得出是等腰直角三角形，即可与的数量关系； （2）在射线上截取，连接，过点作于点，同（1）得，则，，可得，根据，即可求解； （3）同（2）的方法，即可求解． 【详解】（1） 如图2，在射线上截取，连接， ∵， ∴ 又∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 又∵四边形是正方形， ∴ ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ 故答案为：． （2）解：正五边形的一个内角为 如图4，在射线上截取，连接，过点作于点 同理可得， ∴， ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴； （3）如图，在射线上截取，连接，过点作于点 同理可得 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴即 故答案为：． 8．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）在中，弦，相交于点，，连接，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接并延长交于点，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，作于点，连接，点在上，连接，点在上，连接交于点，交于点，连接，若，，，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）可得出，，从而，从而； （2）连接，，可证得，从而得出； （3）先证明是等边三角形，是等边三角形，在上取一点，使，连接．得出，设．则，，求出，设．则，证明，得出，过作于点，则，．列方程得出，根据勾股定理得出，在中，，设与的交点为．证明，，得出，过作于点．则．设，，根据，得出进而可得出答案． 【详解】（1）证明：， ． ， ． ， . （2）证明：． ， ， 连接，． 则． ． ． ． （3）解：． ． ， ． 在中， ． ， ． ， 为等边三角形． ，． ，． 为等边三角形， ． 在上取一点，使，连接． ，． ， ，． 设．则，． ，， ． ， ． 设．则． ． ． ． 过作于点，则，． ． ． 或． ，，． ． 在中， 设与的交点为． ， ． ， ． ， ， ． ． ，， ． ． ． ， 过作于点． 则． ． 设，， ， ， ． 在中，． ． ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆的弧、弦、圆周角之间的关系，确定圆的条件，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 全等三角形（举一反三复习讲义） 【2大考点21大题型】 中考考情分析（结合2023-2026年中考趋势） 2 （一）考查分值 2 （二）考查题型 2 （三）高频考点（2023-2026 年重点） 2 （四）命题趋势（2026 年预测） 2 （五）复习建议 2 考点一 全等三角形的基本性质 3 【题型1 全等三角形的概念和性质】 4 【题型2 全等三角形的判定】 5 【题型3 添加条件使得三角形全等】 6 【题型4 灵活选用判定方法证明全等】 7 【题型5 结合尺规作图的全等问题】 8 【题型6 证明一条线段是两条线段的和与差】 10 【题型7 角平分线的性质与判定】 11 【题型8 线段的垂直平分线】 12 考点二 常考的全等模型 14 【题型9 公共边模型】 17 【题型10 公共角模型】 19 【题型11 X模型】 21 【题型12 角平分线模型】 23 【题型13 垂直模型】 24 【题型14 一线三等角模型】 26 【题型15 手拉手模型】 28 【题型16 半角模型】 30 【题型17 做平行线法模型】 32 【题型18 做垂线模型】 34 【题型19 倍长中线模型】 36 【题型20 截长补短模型】 38 【题型21 旋转模型】 40 特色专项练 42 【新考向：新考法】 42 【新考向：新情境】 42 【新考向：跨学科】 44 中考真题练 44 中考考情分析（结合2023-2026年中考趋势） 全等三角形是中考几何核心模块，是几何推理、证明的基础，衔接相似三角形、四边形，近 4 年坚持 “素养立意”，侧重推理能力与规范表达，核心考情如下： （一）考查分值 全国各省市中考中，分值 6～10 分，占总分 6%～10%，覆盖选择、填空、解答题，属重点必拿分模块，常作为几何综合题的基础铺垫。 （二）考查题型 基础题型（60%）：选择、填空，考查全等三角形的判定定理、性质应用； 中档题型（30%）：解答题，考查全等三角形的判定与性质综合证明； 压轴题型（10%）：结合几何图形（四边形、折叠），考查全等与其他知识综合应用。 （三）高频考点（2023-2026 年重点） 核心：全等三角形判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）； 必考：全等三角形的性质（对应边相等、对应角相等）及简单证明； 高频：利用全等证明边相等、角相等，衔接后续几何推理。 （四）命题趋势（2026 年预测） 整体难度适中，侧重判定定理的灵活运用与证明规范； 常与角平分线、垂线、折叠等知识结合，强化综合推理； 重点考查判定定理的选择、证明步骤规范，规避判定条件遗漏、对应关系混淆。 （五）复习建议 牢记 5 种判定定理，明确每种定理的适用条件（如 HL 仅适用于直角三角形）； 规范证明步骤，找准对应边、对应角，避免推理逻辑混乱； 专项训练综合证明题，培养几何推理能力，突破对应关系判断易错点。 考点一 全等三角形的基本性质 1、全等三角形的概念 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 2、全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。 3、三角形全等的判定 (1)边边边(SSS)：三边分别相等的两个三角形全等。 (2)边角边(SAS)：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。 (3)角边角(ASA)：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。 (4)角角边(AAS)：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等。 (5)斜边、直角边(HL)：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 4、全等变换 只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。 全等变换包括一下三种： （1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。 （2）对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。 （3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。 【题型1 全等三角形的概念和性质】 【例1】 （2025·江苏无锡·中考真题）如图，在矩形中，点在延长线上，点在延长线上，且，连接、． 求证： (1)； (2)． 【变式1-1】 （2025·四川内江·中考真题）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式1-2】 （2025·四川南充·中考真题）如图，在五边形中，． (1)求证：． (2)求证：． 【变式1-3】 （2024·江苏南京·中考真题）如图，在的内接四边形中，，对角线是的直径．求证：四边形是矩形．    【题型2 全等三角形的判定】 【例2】 （2025·四川绵阳·中考真题）如图，在正方形中，点在的延长线上，点是的中点，连接并延长交于点，连接，则（） A． B． C． D．2 【变式2-1】 （2023·辽宁大连·中考真题）如图，在和中，延长交于点，，，，求证：． 【变式2-2】 （2025·山东淄博·中考真题）如图，是以正方形的顶点为圆心，为半径的弧上的点，连接，，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连接．若，则的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】 （2025·山东济南·中考真题）如图，是的直径，C为上一点，P为外一点，，且，连接． (1)求证：与相切； (2)若，，求的长． 【题型3 添加条件使得三角形全等】 【例3】 （2024·山东德州·中考真题）如图，C是的中点，，请添加一个条件________，使． 【变式3-1】 （2024·山东淄博·中考真题）如图，已知，点，在线段上，且． 请从①；②；③中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得． 你添加的条件是：__________（只填写一个序号）． 添加条件后，请证明． 【变式3-2】 （2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，中，D是上一点，，D、E、F三点共线，请添加一个条件______，使得．（只添一种情况即可） 【变式3-3】 （2024·江苏盐城·中考真题）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，，． 若________，则． 请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 【题型4 灵活选用判定方法证明全等】 【例4】 （2024·黑龙江大庆·中考真题）下列说法正确的是(    ) A．若，则 B．一件衣服降价20%后又提价20%，这件衣服的价格不变 C．一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等 D．若一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是六边形 【变式4-1】 （2025·四川成都·模拟预测）如图，，，，那么图中的全等三角形有（   ） A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 【变式4-2】 （2025·湖南娄底·三模）下列命题中，正确的是（      ） A．三角形的重心是三条角平分线的交点 B．五边形的外角和为 C．菱形是轴对称图形，但不是中心对称图形 D．三个角对应相等的两个三角形全等 【变式4-3】 （2025·江西新余·模拟预测）下列命题中，是真命题的是（   ） A．有两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等 B．平分弦的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧 C．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形 D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 【题型5 结合尺规作图的全等问题】 【例5】 （24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，已知与，分别以点，为圆心，以同样长为半径画弧，分别交，于点，，交，于点，，以点为圆心，以长为半径画弧，在的内部交弧于点．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】 （2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，正方形网格中每个小正方形的边长均为1，线段的两个端点均在小正方形的顶点上． (1)在网格中画菱形，点 C、D在小正方形的顶点上，直接写出四边形的周长； (2)用无刻度的直尺利用网格，过点B画的垂线，垂注为E，直接写出的长． 【变式5-2】 （24-25八年级下·广东阳江·期中）如图， 在中， ， 分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】 （2025·福建南平·二模）如图，在等腰三角形中，，点为边上的点． (1)尺规作图：在的外侧作，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图形中，当时，求的值． 【题型6 证明一条线段是两条线段的和与差】 【例6】 （22-23八年级上·重庆江北·期末）如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（   ） A． B． C． D．4 【变式6-1】 （2024·河北·模拟预测）课堂上老师给出问题∶在中，，使用尺规在上作出点 P，使得．如图1是给出的部分作图痕迹，图2是嘉嘉和淇淇各自补充的作图，则下列选项说法正确的是（   ） A．嘉嘉，淇淇的作法都对 B．嘉嘉，淇淇的作法都不对 C．嘉嘉的作法对，淇淇的作法不对 D．嘉嘉的作法不对，淇淇的作法对 【变式6-2】 （22-23九年级·全国·单元测试）已知、、、顺次在圆上，，于点，求证：． 【变式6-3】 （25-26八年级上·广东潮州·期中）如图，，点E在线段上，分别是、的角平分线， (1)线段与有怎样的位置关系？请说明理由． (2)若，，求的长． 【题型7 角平分线的性质与判定】 【例7】 （2026八年级下·上海徐汇·专题练习）如图，在中，E为上一点，F为上一点，且与交于点G，求证：． 【变式7-1】 （25-26九年级下·广东广州·月考）如图，在中，，平分，，，则点B到的距离为______． 【变式7-2】 （25-26八年级下·陕西西安·开学考试）如图，中，，，请你用尺规在的边上求作一点M，使得点M到的距离等于．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式7-3】 （24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在中，于点平分交于点E． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的长． 【题型8 线段的垂直平分线】 【例8】 （2026年吉林省长春市九年级阶段性练习数学（一模数学试题））如图，在中，，，．分别以点和点为圆心、相同长度（大于线段长的一半）为半径作弧，两弧分别相交于点和点，作直线交于点．连接，则的周长是（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【变式8-1】 （25-26九年级下·广东广州·月考）如图，、是的两条直径，且，，P为直径上一动点．若的直径，则周长的最小值是（   ） A．3 B．4 C． D． 【变式8-2】 （24-25八年级上·宁夏银川·期中）请回忆北师大版八年级上册数学教材的部分内容，该内容阐述了垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等；并给出了证明的方法． (1)结合图①，用几何语言表示上述定理 几何语言：​ ∵ ∴ （ ） (2)如图②，在△ABC中，直线m、n分别是边的垂直平分线，直线m、n交于点O，过点O作于点H．求证：． (3)如图③，在△ABC中，，边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E．若，求的值是多少？ 【变式8-3】 （24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图所示，E为边长是4的正方形的边的中点，M为上一点，N为上一点，连接、、，则四边形周长的最小值为（　　） A．10 B．12 C． D． 考点二 常考的全等模型 1.平移模型 把△ABC沿着某一条直线l平行移动，所得到△DEF与△ABC称为平移型全等三角形，图①，图②是常见的平移型全等三角线. 2.轴对称模型 将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为轴对称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等. 3.旋转模型 将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共角的条件. 4.一线三等角模型 三个等角的顶点在同一条直线，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角.这个模型称为一线三等角模型. （同侧）已知∠A=∠CPD=∠B=∠α，CP=PD （异侧）已知∠EAC=∠ABD=∠DPC=∠α，CP=PD 5.截长补短模型 该模型适用于求证线段的和差倍分关系，该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明。其中截长指在长线段中截取一段等于已知线段，补短指将短线段延长，使短线段加上延长线段长度等于长线段。 (1)截长: 在较长线段上截取一段等于某一短线段, 再证剩下的那一段等于另一短线段。 如图, 求证BE+DC=AD； 方法:①在AD上取一点F,使得AF=BE,证DF=DC;②在AD上取一点F,使DF=DC,证AF=BE (2)补短:将短线段延长,证与长线段相等 6.倍长中线模型 当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，使得延长后的线段是原中线的二倍，从而构造一对全等三角形(SAS)，并将已知条件中的线段和角进行转移. 已知点D为∆ABC中BC边中点，延长线段AD到点E使AD=DE, 1）连接EC,则∆ABD≌∆ECD，AB∥CE 2）连接BE,则∆ADC≌∆EDB，AC∥BE 7.手拉手模型 两个顶角相等的等腰三角形共用顶角顶点，分别连接对应的两底角顶点，从而可以得到一个经典的全等模型.因为顶点相连的四条边，形象可以看作两双手，通常称为“手拉手模型”. 如图，△ABC是等腰三角形、△ADE是等腰三角形，AB=AC，AD=AE， ∠BAC=∠DAE=α。结论：△BAD≌△CAE。 8.半角模型 当一个角包含着该角的半角，如90°角包含着45°角，120°角包含着60°角，270°角包含着135°角，即出现倍角关系，且这两个角共顶点，共顶点的两条边相等，则该模型为半角模型。解题方法为：1）过公共点作旋转，2）截长补短的方法构造全等解题。 如图：已知∠2=∠AOB，OA=OB 【题型9 公共边模型】 【例9】 （23-24八年级上·湖南长沙·期中）如图，在四边形中，，为上一点，连接，交于点，且， (1)连接，求证：直线是线段的垂直平分线； (2)求证：是等边三角形； (3)若，求的长． 【变式9-1】 （24-25九年级上·浙江·期末）如图，为的直径，点是半径上一动点（不与，重合），过点作弦垂直，连接，，以为直角边作等腰，且，连接，分别与和交于、两点． (1)求证：； (2)求证：； (3)当点在半径上运动时，的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值，请说明理由． 【变式9-2】 （23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，是四边形的对角线，，过点B作交于点E，若，，，，则的长为______．    【变式9-3】 （22-23八年级下·江苏无锡·期中）如图，P为的边上的一点，E，F分别为，的中点，三角形，，的面积分别为S，S1，S2．若，则的值是（　　）    A．24 B．12 C．6 D．10 【题型10 公共角模型】 【例10】 （2022·湖北襄阳·中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线． (1)作∠ACB的角平分线，交AB于点E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：AD＝AE． 【变式10-1】 （21-22八年级上·吉林·期中）在中，∠BAC＝90°，，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为直角边在AD右侧作等腰直角三角形ADE（，），连接CE． （1）如图1，当点D在线段BC上时，猜想：BC与CE的位置关系，并说明理由； （2）如图2，当点D在线段CB的延长线上时，（1）题的结论是否仍然成立？说明理由； （3）如图3，当点D在线段BC的延长线上时，结论（1）题的结论是否仍然成立？不需要说明理由． 【变式10-2】 （21-22八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在四边形ABCD中，∠DAB+∠DCB＝180°，AC平分∠DAB． （1）如图1，求证：BC＝CD； （2）如图2，连接BD交AC于点E，若∠ADB＝90°，AE＝2DE，求∠ABD的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，过点C作CH⊥AB于点H，△BCH沿BC翻折，点H的对应点为点F，点G在线段AB上，连接FG，若∠CGF＝30°，S△CHG＝9，求线段CG的长． 【变式10-3】 （21-22八年级上·福建福州·期中）如图1，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点E，F分别为AB，AC的中点，H为线段EF上一动点（不与点E，F重合），过点A作AG⊥AH且AG＝AH，连接GC，HB． （1）证明：AHB≌AGC； （2）如图2，连接GF，HG，HG交AF于点Q． ①证明：在点H的运动过程中，总有∠HFG＝90°； ②当AQG为等腰三角形时，求∠AHE的度数． 【题型11 X模型】 【例11】 （25-26九年级上·辽宁抚顺·月考）已知中，，．以为旋转中心，将顺时针方向旋转，得到． (1)如图，当点在线段的延长线上时，求证：； (2)如图，当点在线段的延长线上时，过点作，交于点，延长至，使，过点作，交于点，过点作，交于点． ①求（用含的式子表示）； ②求证：． 【变式11-1】 （25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，在四边形中，，． (1)求证：平分； (2)在边上，连接，若，求证：； (3)在（2）的条件下，，交于，在边上，，交于，过作于，若，，求线段的长． 【变式11-2】 （25-26九年级上·福建宁德·期中）如图，在正方形中，点E是的中点，F、G分别是、上的动点，且交于点H，连接和，则下列结论正确的是______． ①；       ②； ③；             ④当时，的最小值是． 【变式11-3】 （2023·安徽合肥·一模）如图1，，，将绕点逆时针旋转得到，使点落在的点处，与相交于点，与相交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)若点，，在同一条直线上，如图2，求的值．（温馨提示：请用简洁的方式表示角） 【题型12 角平分线模型】 【例12】 （25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，四边形内接于，对角线平分，于点E，的延长线交于点F，连接和， (1)如图1，若点O在线段上，的弦为的直径，，求劣弧的长． (2)如图2，过点C作于点H，，探究：当时，与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，连接，，，，求的长． 【变式12-1】 （25-26八年级上·重庆·期中）如图，，，垂足分别为、，和相交于点，平分． (1)求证：是等腰三角形． (2)求证：垂直平分． 【变式12-2】 （24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中）在四边形中，，，过点作垂足为，且，四边形的面积为8，求的长． 【变式12-3】 （24-25八年级上·江西宜春·期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．依据上述材料，解答下列问题：如图1，在中，平分，交于点，且，求证：． (1)为了证明结论“”，小亮在上截取，使得，连接，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；（提示：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等） (2)如图2，在四边形中，已知，，，，是的高，，，求的长． 【题型13 垂直模型】 【例13】 （25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，，，于E，于D．，，______ 【变式13-1】 （25-26八年级上·湖南株洲·期末）如图，在四边形中，，、相交于点．若，试求的长．    【变式13-2】 （25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，直线 和x轴、y轴分别交于点A、点B，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，则C 的坐标为___________． 【变式13-3】 （25-26八年级上·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，点A的坐标为，直角顶点B在x轴上． (1)如图1，若点B的坐标为，直接写出点C的坐标______； (2)如图1，若y轴恰好平分，与y轴交于点E，过点C作轴于F，问与有怎样的数量关系？并说明理由； (3)如图2，若点B在x轴负半轴，以为直角边在第三象限作等腰直角三角形，连接交于x轴点M，当点B在x轴负半轴运动时，的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出的长度． 【题型14 一线三等角模型】 【例14】 （25-26八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在中，是边上的高，．连接，交的延长线于点E，连接．则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【变式14-1】 （25-26八年级下·云南玉溪·开学考试）如图①，在中，，过点在外作直线，于点，于点． (1)试说明：； (2)如图②，将（1）中条件改为，，请问（1）中的结论是否还成立？请说明理由． 【变式14-2】 （25-26八年级上·广西来宾·期末）（1）如图①，在中，，，是过点A的直线，于点D，于点E，且．求证：． （2）如图②，在中，，D，A，E三点都在直线l上，并且有，且，请问是否成立？若成立，请给出证明，如不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图③，D，E是D，A，E三点所在直线l上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，．若，试判断的形状． 【变式14-3】 （25-26八年级上·安徽合肥·期末）（1）【探究发现】 在中，，，直线l经过点C，，，D、E为垂足，则有结论．请在图1、图2中任选一图给予证明． （2）【知识迁移】 如图3，已知：，，，，，连接、、，则点C的坐标为________，点E的坐标为________，的面积为________． （3）【拓展应用】 如图4，已知：点A的坐标为，分别以、为直角边在第一、第二象限作等腰与等腰，且，连接交y轴于点P，求的长． 【题型15 手拉手模型】 【例15】 （2026八年级下·全国·专题练习）如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，．求证： (1)，； (2)． 【变式15-1】 （25-26九年级上·江西上饶·期末）【课本再现】（1）如图1，和都是等边三角形，且点B、C、E在一条直线上，连接和相交于点，线段与的数量关系是 ；请你用旋转的性质说明上述关系成立的理由． 【深入探究】（2）如图2，将绕点逆时针旋转一定的角度，其他条件与（1）中相同． ①线段与的数量关系是 ； ②的度数为 ． 【拓展应用】（3）如图3，是等边三角形，，，，求边的长度． 【变式15-2】 （25-26八年级上·河南新乡·期末）【问题提出】如图，、都是等边三角形，求证：． 【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题． 【方法应用】 (1)在等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边三角形，连接． ①如图，若点在边上，求证：． ②如图，若点在边的延长线上，线段之间的数量关系为______，并加以说明． (2)如图，在等腰中，，，，且交于点，以为边作等边，直线交直线于点，连接交于点，写出之间的数量为______．（直接写出结论不用说明理由） 【变式15-3】 （25-26八年级上·福建泉州·期末）(1)如图1，和都是等腰三角形，、分别是和的底边，． ①求证：； ②如图2，若，E、B、C三点在同一条直线上，G为中点，判断线段，，之间的数量关系，并说明理由； (2)如图3，在四边形中，，对角线交于点O，，，垂足为E，交于点F，连接，若，，求的值． 【题型16 半角模型】 【例16】 （25-26八年级上·福建泉州·期末）在Rt中，，，点为中点，点为线段上一动点． (1)求的长； (2)如图1，，点为射线上一动点，求的最大值； (3)如图2，点在线段上，且，的长为有理数，求证：为无理数． 【变式16-1】 （25-26八年级上·江西新余·期末）【经典再现】 （1）如图1，为等边外一点，，，，连接．则： ①线段和线段的位置关系是______（直接写出结果）． ②______． 【深入探究】 （2）如图2，为等边外一点，，，点M和点N分别为等边的边AB和AC上任意一点，，试探究线段，和的数量关系，并加以证明． 【拓展应用】 （3）①把（2）中的条件“点和点为等边的边和上任意一点”改为“点和点为直线和直线上任意一点”，其他条件不变，直接写出线段，和的数量关系． ②当（2）中的点和点在等边的边和上运动时，记的周长为P，记的周长为，则的值是否改变？若不变，请求出的值：若改变，请说明理由． 【变式16-2】 （2025·安徽池州·三模）如图，菱形中，是边上一点，是边上一点，，连接交于点． （1）若，则______（用表示）； （2）若，则的最大值是______． 【变式16-3】 （24-25七年级下·山东济南·月考）如图，正方形纸片的边长为6，点E，F分别在边，上，已知，，则的长为（   ） A．5 B．5.5 C．6 D．6.5 【题型17 做平行线法模型】 【例17】 （25-26九年级上·浙江宁波·月考）如图，在矩形中，，将矩形绕点A逆时针旋转至矩形，点在边上，与交于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式17-1】 （25-26八年级上·福建福州·月考）初二某班开展数学综合与实践活动，遇到了如下几个问题： 问题1：在中，，是中点，证明：． 老师给学生们提示解这类问题的思路：条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑“倍长”中线，或通过引平行线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． （1）请利用以上思路完成该证明． 问题2：有这样一个数学故事，从前，一群海盗用船装着他们抢来的财物，来到一个荒岛上，要把这些财物埋下．因为怕时间久了会被人发现，所以他们来不及画标记位置的藏宝图了．但海盗们发现，岛上有三棵树，，，海盗头对一个水手说：“从到拉一根绳子，然后从出发，沿着垂直于绳子的方向，往岛里走一段等于这段绳子的长度．这一点叫做1号地点．“海盗头又对另一个水手说：”从到拉一根绳子，然后从出发，沿着垂直于绳子的方向，往岛里走一段等于这段绳子的长度．这一点叫做2号地点．”第二个水手也这样做了．等水手找到1号、2号地点的时候，海盗头便下令说：“伙计们，我们把财宝埋在这两点的正当中吧！”海盗们把财宝埋好了，上船走了． （2）设1号地点为点，2号地点为点，埋藏财宝的地点为点，连接、、，判断的形状，并证明． （3）过了几个月，其中一个水手想利用这笔财宝救助难民，于是就偷偷回到岛上．可树被台风刮走了，没有留下一点儿痕迹，只有另外两棵树、还在，水手非常懊恼．请你利用作图的方式，帮助他找到藏宝的地点，并简要说明理由． 【变式17-2】 （25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，是边上的高，点与点关于直线对称，点是线段上的点，． (1)求证：； (2)连接，过点作于点，交于点． ①依题意补全图形： ②用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【变式17-3】 （2025·黑龙江·中考真题）如图，在中，，点、分别在边和上，且，，连接，点、分别是、的中点，连接，则的长度为（   ） A． B． C．2 D． 【题型18 做垂线模型】 【例18】 （25-26七年级上·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中，，为轴正半轴上一点，连接，作交轴正半轴于点，求． 【变式18-1】 （24-25八年级下·上海黄浦·期末）如图，已知梯形，，，点、分别是边和上的动点（点不与点重合，点不与点重合），且，，联结． (1)若，则点到的距离是_______； (2)判断的形状并加以证明； (3)若，设，，求y关于x的函数解析式，并写出定义域． 【变式18-2】 （25-26九年级上·辽宁大连·期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型建立】 （1）如图1，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到，进而得到__________，_________，我们把这个数学模型称为“K字”模型 【模型应用】 （2）在中，，将边绕点B顺时针旋转得到，连接并延长交边的延长线于点F，若，则的长为_________； 【模型拓展】 （3）如图3，在矩形中，，当点P在直线上运动，（点P不与点D、C重合），将绕点A顺时针旋转得到，连接，，当的面积等于5时，请直接写出的长。 【变式18-3】 （24-25八年级下·辽宁铁岭·月考）如图，在中，，，以为边，在外作等边，作，交的延长线于点，连接，若，则的长为______． 【题型19 倍长中线模型】 【例19】 （25-26八年级上·云南昆明·期末）【发现问题】小明遇到这样一个问题，如图1，在中，，求边上的中线的取值范围． 【初步探索】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到，使得； ②连接，易证，于是我们把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围． 【总结方法】在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍构造全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． 【问题解决】（1）如图1，与的位置关系是_____；的取值范围是_____． 【问题应用】（2）如图2，是的中线，点在的延长线上，平分，，试探究线段与的数量关系． 【拓展延伸】（3）如图3，在中，平分，且交于点，的中点为，过点作平行于，交于点，交的延长线于点．若，求的长． 【变式19-1】 （25-26八年级上·江苏扬州·期末）八年级某班开展数学综合与实践活动，遇到了如下几个问题： 问题1：如图1，在中，，，O是中点，求的取值范围； 老师给学生们提示解这类问题的思路：条件中若出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑“倍长”中线，或通过作平行线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的结论集中到同一个三角形中； (1)的取值范围为________； 问题2：如图2，分别以的边，为斜边向外作等腰直角，，，，，O为的中点，连接，判断的形状，并说明理由； (2)某数学学习小组发现了解题思路：延长至点F，使，连接，，请按照这个思路写出解题过程； (3)点D，E表示两个养殖场位置，村民想在O处修建一口水井，若只知道D，E的位置（如图3），请你利用无刻度的直尺和圆规，帮助村民确定水井的位置O（点O在的下方），并作简要说明（提醒：作图痕迹需要加粗）． 【变式19-2】 （25-26八年级上·安徽阜阳·期末）如图，中，D、E在上，平分，且，．求证：． 【变式19-3】 （25-26八年级上·四川成都·月考）如图，与均为直角三角形，且，，，点是的中点，则的长为________． 【题型20 截长补短模型】 【例20】 （25-26八年级上·重庆九龙坡·期末）在等腰中，，点D是上一动点（不含端点），点E在的延长线上，且，平分交于点F，连接． (1)如图1，求证：． (2)如图2，若，，求证：． (3)若，，点G为上一动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．将在同一平面内沿直线翻折，使得点A落在点处，连接．若，，当的值最小时，过点C作，垂线交于点K．请直接写出的面积． 【变式20-1】 （25-26八年级上·广东珠海·期末）实验与探究： 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？某校数学兴趣小组的同学们对此展开探究： 例如，如图1（1），在中，，怎样证明呢？ 把沿的平分线翻折，因为，所以点落在AB上的点处（如图1（2））．由，，可得． 【类比探究】 （1）如图2，在中，，类比上述的方法，请证明． 【方法运用】 （2）如图3，在中，，若，写出，，之间的数量关系并说明理由． 【变式20-2】 （25-26八年级上·北京·月考）如图，是的高，，，，过点作交于点．下列四个结论中： ①；②当时，；③；④． 所有正确结论的序号是___________． 【变式20-3】 （25-26八年级上·上海普陀·月考）在中，，平分交边于点，，则____________°． 【题型21 旋转模型】 【例21】 （25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，，，是直角边上的一个动点，连接，以为边向外作等边，连接．在点运动的过程中，线段的长的最小值为______． 【变式21-1】 （25-26八年级上·河南洛阳·月考）如图，点在等腰直角三角形的斜边所在直线上，，交于点． (1)当点在上，点在上方时，如图①，求证：； (2)当点在的延长线上，点在上方时，如图②；当点在上，点在下方时，如图③，猜想线段，，之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需要证明． 【变式21-2】 （25-26九年级上·江西宜春·月考）【发现问题】 （1）如图①，在正方形中，，分别是，边上的动点，且．试判断，之间的数量关系．小明把绕点顺时针旋转至，使与重合，发现．请你给出证明过程． 【类比延伸】 （2）如图②，在正方形中，若，分别是边延长线上的动点，且，则（1）中的结论还成立吗？请说明理由． （3）如图③，如果分别是边延长线上的动点，且，直接写出之间的数量关系． 【变式21-3】 （25-26九年级上·全国·期末）【模型建立】（1）如图，四边形是正方形，当点在边上，在边上，时，用等式写出，与之间的数量关系，并说明理由； 【模型应用】（2）如图2，当点在的延长线上，在的延长线上时，其他条件与（）相同．用等式写出，与之间的数量关系，并说明理由； 【模型迁移】（3）如图，在中，，，点，均在边上，且．若，，求的长． 特色专项练 【新考向：新考法】 1（2026九年级下·辽宁沈阳·专题练习）如图1，在正方形中，点是边上任意一点，点是对角线上一点，连接，连接交于点． (1)如图2，连接，求证：； (2)如图3，连接，若，求：的度数； (3)如图4，过点作交于点，若点是中点，且满足，求的值． 2.（2026八年级下·上海徐汇·专题练习）请阅读下列材料： 小海在学习了平行四边形的相关知识后，查阅相关资料，发现平行四边形还有如下的性质：平行四边形四条边的边长的平方和等于两条对角线长的平方和．小海很感兴趣，并尝试进行了证明． (1)请完成小海的证明过程． (2)如图，在中，，，，求的周长． 【新考向：新情境】 1．（2026年吉林省长春市九年级阶段性练习数学（一模数学试题））【问题背景】小明遇到了这样一个问题：如图①，在正方形中，，点、分别为边、的中点，以为边向下作正方形．点、分别在边、上运动，且，连结、．求的最小值． 【问题探究】小明发现，可以利用正方形的轴对称性质将“分离”的线段与成功“接轨”，再依据“两点之间，线段最短”解决问题．具体做法如下： 证明：如图②，取边的中点，连结． 证明过程缺失 ． ． 请你帮助小明补全上述证明过程． 【问题解决】的最小值为______． 【拓展提升】如图③，在正方形中，，点、分别在边、上运动，且，点在边上，连结、．若，则的最小值为______． 2．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，，为边上一点，连接，过点作交于，把沿翻折得，连接．下列说法正确的是（   ） ①；         ②当时，； ③当时，折痕的长；     ④当是等腰三角形时，的长或． A． B． C． D． 【新考向：跨学科】 1．（25-26八年级上·福建泉州·期末）“燕尾脊”是闽南传统建筑最具代表性的屋顶形式，如图是小明设计的一个“燕尾”平面图案，已知求证： 2．（25-26八年级上·福建泉州·期末）在“小孔成像”实验中，如图所示，O是小孔位置．同学们发现：当为，的中点（即，），像与蜡烛大小相等，从数学角度分析，证明的依据是（    ） A． B． C． D． 中考真题练 1．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知：内接于，圆心在的内部，为的直径，连接，． (1)如图①，求证：； (2)如图②，过点作的切线，交的延长线于点，求证：； (3)如图③，在（2）的条件下，，连接并延长至点，连接交于点，，为上一点，，连接，点在上，连接，，，点为的中点，连接，，求的面积． 2．（2025·山东德州·中考真题）已知点O是正方形的中心，点P，E分别是对角线，边上的动点（均不与端点重合），作射线． (1)将射线绕点P逆时针旋转90°，交边于点F． ①如图1，当点P与点O重合时，求证：； ②如图2，当时，请判断是否为定值．如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； (2)如图3，连接BP，当时，将射线绕点P顺时针旋转90°，交边于点F．若，，求四边形的面积（用含a，k的式子表示）． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $